Analyse exergétique

chap02 – Production d’entropie dans lesprocessus irréversibles

Objectifs

Calculer la variation d’entropie pour différentessituationsCalculer l’entropie générée au cours d’une transformation

Faire les bilans d’énergie et d’entropie pour unsystème fermé

Faire les bilans d’énergie et d’entropie pour unsystème ouvert

Dr Christophe AWANTO document.docx 1/18

1. Inégalité de ClausiusPour tout système fermé à température uniforme décrivant uncycle, l’inégalité de Clausius s’écrit :

∮ ∂QT≤0 (1)

avec δQ : la quantité de chaleur reçue sur un élément desurface du système et sur une portion du cycle et T : latempérature à cette portion de surface.1.1.Cas d’une machine thermique1.1.1. Machine réversibleOn considère par exemple une machine effectuant un cycle deCarnot ; on sait que les échanges de chaleur se font à latempérature de la source. On a donc :

∮ ∂QT

=QC

TC−QF

TF=0 (2)

Avec QC – quantité de chaleur prélevée à la sourcechaude à TC;

QF - quantité de chaleur cédée à la source froide à latempérature TF.1.1.2. Machine irréversibleConsidérons à présent un cycle suivant le même chemin thermodynamique, mais parcourues de manière irréversible sur certaines portions, tout en prélevant la même quantité de chaleur QC à la source chaude. Le cycle étant irréversible, en vertu du 2nd principe, on a Wirr<Wrév et doncQFirr>QFrév. On a donc :


∫C

❑ δQT=∫

C

❑ δQTC

=QCTC

∫F

❑ δQT

=∫F

❑ δQTF

=QFirrTF

>QFrévTF

En soustrayant membre à membre, on obtient :

∮ δQT

=∫C

❑ δQT

−∫F

❑ δQT

<QCTC

−QFrév

TF=0 (3)

1.2.Cas d’une machine frigorifique1.2.1. Machine réversibleOn considère par exemple une machine effectuant un cycleinverse Carnot :

∮ δQT=QFTF

−QCTC

=0 (4)

Avec QF – quantité de chaleur prélevée à la sourcefroide à TF;

QC - quantité de chaleur cédée à la source chaude à latempérature TC.1.2.2. Machine irréversibleSupposons que la même quantité de chaleur QF ait été prélevée à la source froide comme dans le cas réversible. Le cycle étant irréversible, on a Wirr>Wrév et donc QFirr>QFrév. On a donc :

∫F

❑ δQT=∫

F

❑ δQTF

=QFTF

∫C

❑ δQT

=∫C

❑ δQTC

=QCirrTC

>QCrévTC

En soustrayant membre à membre, on obtient :


∮ δQT

=∫F

❑ δQT

−∫C

❑ δQT

<QFTF

−QCrév

TC=0 (5)

2. Entropie2.1.Expression différentielleOn considère un processus réversible au cours duquel lesystème échange la quantité de chaleur δQrév avec une sourceà la température T. L’expression différentielle est donnéepar la relation

dS=δQrév

T (6)

2.2.Variation d’entropie au cours d’une transformationirréversible

Considérons le cycle ci-dessous formé par les 2transformations respectives (A) réversible et (B)irréversible.

Appliquons l’inégalité de Clausius à ce cycle ; on a :

∮AB

❑ ∂QT =∫

1

2

(δQT )BIrréversible

+∫2

1

(δQT )ARéversible

<0

∫1

2

(δQT )BIrréversible

<∫1

2

(δQT )ARéversible

=S2−S1=∆S


Ainsi, en passant à une transformation irréversibleinfinitésimale, on peut écrire :

dS>δQT (7)

La relation (7) indique que la variation d’entropie d’unsystème au cours d’une transformation irréversible estsupérieure à celle qui a lieu au cours d’une transformationréversible.

La différence entre dS et δQT est l’augmentation d’entropie

due aux irréversibilités. Elle représente la productiond’entropie :

dSi=δWi

T (8)

2.2.1. Conséquences La variation d’entropie d’un système au cours d’une

transformation irréversible provient de 2 sources : leséchanges de chaleur avec le milieu extérieur, et lesirréversibilités.

Les échanges de chaleur, selon leur signe, peuventcontribuer à une augmentation ou à une diminution del’entropie d’un système.

Les irréversibilités quant à elles sont toujoursresponsables d’une augmentation d’entropie.


2.2.2. Principe de l’accroissement d’entropie d’unsystème isolé

Pour un système isolé quelconque, la relation (7) se ramèneà dS>0 qui exprime le principe d’accroissement del’entropie d’un système isolé. Les transformationsirréversibles d’un système isolé se produisent de tellemanière que son entropie croisse. Il indique également queles seules transformations possibles sont celles pourlesquelles l’entropie du système augmente. 3. Bilan d’énergie et d’entropieConvention de signesOn comptera comme positifs pour le système : le travail reçu (du milieu extérieur) et noté W. Pour

désigner le travail fourni par un système, on utiliserala notation W* (W*=-W)

la quantité de chaleur reçue. 3.1.Cas général d’un système uniforme avec écoulement

uniformeCes systèmes sont caractérisés par : la frontière du système est immobile ; les propriétés de la matière dans le système peuvent

varier dans le temps mais sont supposées uniformes danstout le système ;

les propriétés dans les sections d’entrée et de sortiesont constantes dans le temps, mais les débits peuventvarier.


Dans ces conditions, les équations générales applicablesaux systèmes deviennent :3.1.1 Bilan de masse

dmvcdt

=∑i=1

Ime−∑

j=1

Jms (9)

3.1.2 Bilan d’énergied (U+EC+EP)vc

dt =∑i=1

Ime(h+12 c2+gz)e−∑j=1

Jms(h+12 c2+gz)s+Qvc−Wvc (10)

3.1.3 Bilan d’entropiedSvcdt

=∑i=1

Imese−∑

j=1

Jmsss+∑

k=1

K QkTk

+Sgen (11)

Après intégration, on obtient :Bilan de masse

(m2−m1 )vc=∑i=1

Ime−∑

j=1

Jms

Bilan d’énergie

(U2+EC2+EP2 )vc−(U1+EC1+EP1)vc=∑i=1

Ime(h+12 c2+gz)

e−¿

−∑j=1

Jms(h+12 c2+gz)s+Qvc−Wvc

(12)

Bilan d’entropie

(m2s2−m1s1 )vc=∑i=1

Imese−∑

j=1

Jmsss+∫

t1

t2 Qk

Tkdt+∫

t1

t2

Sgendt

3.2.Système en régime permanentCes système sont caractérisés par : La frontière du système est immobile Les propriétés (vitesse, variables thermodynamiques) en

chaque point du système sont indépendantes du temps ;


Les débits de masse à chaque section d’entrée et desortie, et les propriétés sur chacune de ces

Sections sont indépendantes du temps ; Le taux de transfert de chaleur et la puissance reçue par

le système sont indépendants du temps.Bilan de masse

dmvcdt

=0⇒∑i=1

Ime=∑

j=1

Jms (13)

Bilan d’énergied (U+EC+EP)vc

dt =0

⇒∑i=1

Ime(h+12 c2+gz)e−∑j=1

Jms(h+12 c2+gz)s+Qvc−Wvc=0

(14)

Bilan d’entropiedSvcdt

=0⟹∑i=1

Imese−∑

j=1

Jmsss+∑

k=1

K Qk

Tk+ Sgen=0 (15)

3.3.Systèmes fermésBilan de masse

∑i=1

Ime=0et∑

j=1

Jms=0⇒

dmvc

dt=0 (16)

Bilan d’énergied (U+EC+EP)vc

dt =Qvc−Wvc (17)

Bilan d’entropiedSvcdt

=∑k=1

K Qk

Tk+Sgen (18)

Après intégration, on obtient :Bilan de masse mvc1=mvc2=mvc (1


9)

Biland’énergie

∆ (U+EC+EP )vc=Qvc−Wvc

Biland’entropie

∆Svc=∑k=1

K Qk

Tk+Sgen

4. Calcul de quelques variations d’entropie S d’un solide ou d’un liquide

(20)

S d’un gaz parfait

(21)

(22)


Travaux dirigés 01

TD1 - On échauffe, à pression constante, 2 kg d’air de 30 à100°C. Quel est :

A.La quantité de chaleur mise en jeu;B.La variation d’énergie interne;C.Le travail extérieur;D.La variation d’entropie;E.La variation d’enthalpie.

TD2 - Dans un ballon indéformable, 2 kg d’air sont chauffésde 30 à 100°C. Calculer

A.La quantité de chaleur ruse en jeu;B.La variation d’énergie interne;C.Le travail extérieur;D.La variation d’entropie;E.La variation d’enthalpie.F.Comparer les résultats à ceux du problème précédent.

TD3 - Une masse d’air occupant initialement à 140°C unvolume de 0,2 m3 sous la pression de 5 bars absolus subitune évolution (détente) qui l’amène à un volume final de0,58 m3 et à 17°C. Quelle est la pression finale et etquelle est la variation d’entropie. On donneCp=0,244 kcal/kg.K; r= 287,1 J/kg.K; =1,39.


TD4 – 1 kg de CO2 subit une compression isotherme à 17°C,partant d’une pression initiale de 2 bars. Pour maintenirla température, il faut enlever au gaz 30 kcal. On demandela pression la pression finale, sachant que rCO2=188,9J/kg.K

TD5 – On comprime une masse de 2 kg de CO. Ce processusélève sa pression de 1,4 à 6 bars absolus en même temps quesa température qui passe de 17 à 115°C. Déterminer :

A.La nature de la compression et le cas échéantl’exposant polytropique;

B.La variation d’entropie au cours de la compression;C.La quantité de de chaleur enlevée au gaz;D.Le travail absorbé par la compression.

rCO - 296,9 J/kg.K; cp = 0,249 kcal/kg.K; =1,40

TD6 – Une masse d’air de 1 kg décrit un cycle ABCD dérivédu cycle de Carnot et composé de deux isothermes, AB, CD,et de deux polytropes, BC, DA, présentant l’exposantpolytropique k = 1,25. Les températures des évolutionsisothermiques sont respectivement de 500 et 200°C, et lespressions au début et à la fin de la détente isothermiquesont respectivement de 20 et 13 bars. Calculer

A.La chaleur absorbée et le travail fourni par le gaz;B.Le rendement thermique.C.Représenter le cycle sur le diagramme de Clapeyron et

sur le diagramme entropique.


Pour l’air, prendre r = 287,1 J/kg.K; cp=0,171kcal/kg.K; = 1,40.

TD7 - Dans un cylindre fermé par un piston, dont on négligele poids ainsi que les frottements, est enfermée, sous unepression relative de 20,6 bars, une certaine masse de gazqui occupe un volume de 5 litres, à la température de 37°C,la pression atmosphérique étant de 980 mbars. On laisse sedéplacer lentement le piston jusqu’à ce que le volume dugaz emprisonné soit passé à 12 litres, la température étantdemeurée constante.

A.Calculer le travail disponible sur la tige du piston.B.Le processus est rendu isotherme grâce à une chemise

d’eau qui entoure le cylindre, quel devra être le débitminimal de cette eau pour que sa température entrel’entrée et la sortie de la chemise d’eau ne varie pasde plus de 0,5°C ?

C.Calculer la variation d’enthalpie et la variationd’entropie du gaz.

TD8 - Un réservoir de capacité 3 m3 renferme de l’aircomprimé à 17°C et sous une pression de 40 bars absolus.Par un robinet de purge défectueux, le réservoir se videlentement et, lorsqu’on s’en aperçoit, la pression de l’airest tombée à 30 bars absolus, la température de l’air duréservoir et de l’atmosphère ambiante étant lors de 25°C.Déterminer


A.L’augmentation d’entropie du gaz du réservoir;B.Ce qu’aurait été cette augmentation d’entropie si le

réservoir s’était vidé totalement avant que l’on nes’aperçoive de la fuite.

La pression atmosphérique est de 1 bar; cp=0,24kcal/kg.K; r= 287,1 J/kg.K.

Travaux dirigés 02IV

V

VI


IX

TD9 – pour chacun de ces exercices, calculer la variationl’exergie détruite.


PROPOSITION DE SOLUTIONS

Exercice IVBilan entropique d’un système fermé :

dS=deS+diS=∑j=1

n δQj

Tj+diS⟺C dT

T=−R.I2.dt

T0+diS⟺CdT

T=−R.I2.dt

T0+diS

To étant la température du milieu environnant – la chambre àréchauffer.

∆Sduconducteur:∆S=C ∫Tini

Tfin dTT=C∙ln

TfinTini

=5∙ln 313293

=0,33J /K

Entropiereçue:∆eS=−R.I2.∆t

T0=−44.25.3600

293=−13515,36J /K

Productiond'entropie:∆iS=∆S−∆eS=0,33+13515,36=13515,67J /K

Exercice VBilan entropique d’un système fermé :

dS=deS+diS=∑j=1

n δQj

Tj+diS⟺

LvdmTcond

=−LvdmT0

+diS

To : température du milieu environnant ; Tcond : température dechangement de phase.

∆Sdusystème:∆S=Lv

Tcond=2250373

=6,032kJ /(K.kg)

Entropiereçue:∆eS=−Lv

T0=2250293

=−7,679kJ/ (K.kg)

Productiond'entropie:∆iS=∆S−∆eS=6,032+7,679=13,71kJ/ (K.kg )

Exercice VI1.Ecart d’entropie au point L1 par rapport à Lo :


En supposant que la capacité calorifique (C’ ) est constante lelong de la courbe de saturation, on peut écrire ;

dS=δQT

=m∙cl∙dTT⟺∆So−1=m∙cl∙ln

T1

T0

Ecart d’entropie au point M par rapport à Lo : si To est latempérature au point 0,

dS=δQT⟺∆So−M=

x∙m∙Lv (¿)T0

Le processus de détente isentropique peut être scindé en 2processus tels que :

∆S1−M=∆S1−0+∆S0−M=0⟹∆S0−1=∆S0−M⟹cl∙lnT1T0

=x∙Lv(¿)

T0

⟹x=cl∙T0Lv (¿ )

∙lnT1T0

=47∙2701280

∙ln 290270

=0,70

2.On sait que l’entropie du mélange liquide-vapeur s’écrit :

SM=(1−x )∙SLo+x∙SGo⟹SM−SLo=x∙ (SGo−SLo)⟹x=SM−SLoSGo−SLo

Exercice IX1.Bilan d’énergie et d’entropie : il s’agit d’un système à volumeconstant.dU=δQ+δW=δQ=CvdT⟹∆U=Q=Cv∙ (T−Ti)

dS=deS+diS=δQT0

+diS⟹∆S=∆eS+∆iS=QT0

+∆iS=Cv∙(T−Ti )T0

+∆iS

dS=δQT=CvdTT

⟹∆S=Cv∙lnTTi

deS=δQT0

⟹∆eS=QT0

=Cv∙(T−Ti)T0


diS=dS−deS⟹ ∆iS=Cv∙lnTTi

−Cv∙(T−Ti )T0

2.

∆iS=Cv∙lnTTi

−Cv∙(T−Ti )T0

=¿Cv∙(ln TTi

−TT0

+Ti

T0 )=Cv∙ [ln( TT0

Ti

T0)− T

T0+Ti

T0 ]∆iS=Cv∙ [(ln T

T0−TT0 )−(ln Ti

T0−Ti

T0)]≡Cv∙ [ (lnx−x )−(lnxi−xi) ]≡Cv∙ [f(x)−f(xi)]

avecx= TT0etxi=

Ti

T0etf (x)=lnx−x

3.

f' (x)=(1x−1)x≠0=1−xx

=0⟹x=1

Cette fonction passe par un maximum pour x = 14.

∆F¿=∆U−T0∆S=Cv∙ (T−Ti )−T0Cv∙lnTTi

=−Cv∙T0∙[ln TTi

−(T−Ti )T0 ]=−Cv∙T0∙ [f(x)−f(xi)]

Auneconstanteadditiveprès,∆F¿=−Cv∙T0∙f (x )=−T0∙∆iSLe tracé sous Excel pour x allant de 0,1 à 2 par pas de 0,1 estreprésenté ci-dessous.


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