Akulturasi Budaya Tionghoa dan Cirebon di Kesultanan ... - OSF
ABSTRACT ALGEBRA - IAIN Syekh Nurjati Cirebon
-
Upload
khangminh22 -
Category
Documents
-
view
4 -
download
0
Transcript of ABSTRACT ALGEBRA - IAIN Syekh Nurjati Cirebon
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)
SYEKH NURJATI CIREBON
DIKTAT
ALJABAR ABSTRAK (TEORI RING)
(Kode MK: MAT720)
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas perkenaan-Nya sehingga penyusunan dan penulisan
Diktat Aljabar Abstrak ini dapat terselesaikan dengan baik dan tepat waktu. Salam dan doa tak
lupa pula penulis haturkan kepada suri tauladan kita, Nabi Muhammad SAW. Diktat ini
bertujuan untuk mendapatkan pengertian yang lebih mendalam mengenai materi kuliah Aljabar
Abstrak yang diberikan.
Diktat ini berisi materi mata kuliah Aljabar Abstrak yaitu ring dan subring, daerah integral
dan lapangan, ideal dan faktor ring, dan homomorfisma ring. Diktat ini juga memuat contoh soal
dan latihan soal yang diharapkan dapat membantu pembaca memahami materi.
Penyusun menyadari sepenuhnya bahwa diktat ini masih banyak kekurangan. Untuk itu,
penyusun mengharapkan masukan dari semua pihak terkait untuk perbaikan penuntun ini. Akhir
kata, semoga buku ini bermanfaat bagi pengguna, khususnya para mahasiswa S-1 Jurusan Tadris
Matematika IAIN Syekh Nurjati Cirebon.
Cirebon, September 2018
Penyusun
ii
DAFTAR ISI
I. RING DAN SUBRING ................................................................................................................... 1
A. RING ................................................................................................................................................... 1
B. SUBRING ......................................................................................................................................... 12
II. DAERAH INTEGRAL (INTEGRAL DOMAIN) DAN LAPANGAN (FIELD) ......................... 15
A. DAERAH INTEGRAL ................................................................................................................... 15
B. LAPANGAN .................................................................................................................................... 17
C. KARAKTERISTIK RING .............................................................................................................. 19
D. ELEMEN NILPOTEN DAN IDEMPOTEN .............................................................................. 23
III. IDEAL DAN FAKTOR RING ...................................................................................................... 24
A. IDEAL ............................................................................................................................................... 24
B. RING FAKTOR ............................................................................................................................... 29
IV. HOMOMORFISMA RING ........................................................................................................... 35
A. HOMOMORFISMA RING ............................................................................................................ 35
B. KERNEL ........................................................................................................................................... 39
C. ISOMORFISMA .............................................................................................................................. 41
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................................................... 43
1
I. RING DAN SUBRING
A. RING
DEFINISI I.1Ring
Sebuah himpunan tak kosong R dengan dua operasi biner penjumlahan (a+b) dan
perkalian (ab) disebut ring jika :
1. R merupakan grup komutatif terhadap penjumlahan
2. R bersifat asosiatif terhadap perkalian
3. Memenuhi hukum distributif
(R,+) merupakan grup komutatif jika untuk semua
a,b,c โ R berlaku
1. Tertutup
2. a+b = b+a
3. (a+b) + c = a + (b+c)
4. Ada 0 di R sehingga a+0 = 0+a = a.
5. Ada โa di R sehingga a+(-a) = 0
DEFINISI I.2. Hukum Distributif
Suatu struktur aljabar (R,+,.) disebut memenuhi hukum distributif jika untuk
setiap ๐, ๐, ๐ โ ๐ berlaku:
1. ๐ ๐ + ๐ = ๐๐ + ๐๐
2. ๐ + ๐ ๐ = ๐๐ + ๐๐
CONTOH RING
1. (โ, +, .) 6. (โคn, +, .)
2. (โ, +, .) 7. (M 2x2 (โ), +, .)
3. (โ, +, .) 8. (โ 2, +, .) dengan โ 2 = ๐ + ๐ 2 ๐, ๐ โ โ}
4. (โค, +, .) 9. (โค 2, +, .) dengan โค 2 = ๐ + ๐ 2 ๐, ๐ โ โค}
5. (nโค, +, .)
2
CONTOH I.1
Tunjukkan bahwa (โค3, +, .) sebuah ring
Langkah pembuktian: 1. Buktikan bahwa (โค 3 , +) grup komutatif
2. Buktikan (โค 3 ,.) bersifat asosiatif
3. Buktikan Z3 bersifat distributif
Bukti:
โค3 = {0,1,2)
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
. 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
1. Akan dibuktikan (โค3 , +) grup komutatif
a. Dari tabel cayley penjumlahan pada โค3, terlihat bahwa โค3 tertutup pada
penjumlahan.
โ ๐, ๐ โ โค3, ๐ + ๐ โ โค3
b. Ambil ๐, ๐, ๐ โ โค3
dengan ๐ = 3๐ + ๐ฅ, ๐ = 3๐ + ๐ฆ, ๐ = 3๐ + ๐ง; ๐, ๐, ๐, ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง, โ โค
x, y, z sisa pembagian a, b, c jika dibagi 3.
๐ + ๐ + ๐ = (3๐ + ๐ฅ) + ( 3๐ + ๐ฆ + 3๐ + ๐ง )
= (3๐ + ๐ฅ) + (3 ๐ + ๐ + ๐ฆ + ๐ง)
= (3๐ + ๐ฅ) + (3 ๐ + ๐ + ๐ฆ + ๐ง)
= 3 ๐ + ๐ + ๐ + (๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง)
= 3 ๐ + ๐ + 3๐ + ((๐ฅ + ๐ฆ) + ๐ง)
= (3๐ + 3๐ + (๐ฅ + ๐ฆ)) + 3๐ + ๐ง
= 3๐ + ๐ฅ + 3๐ + ๐ฆ + (3๐ + ๐ง)
= (๐ + ๐) + ๐
Dari tabel cayley penjumlahan โค3 jelas bahwa
0 + (1 + 2) = (0 + 1) + 2 = 0
1 + (1 + 2) = (1 + 1) + 2 = 1
2 + (2 + 1) = (2 + 2) + 1 = 2
2 + (0 + 2) = (2 + 0) + 2 = 1
Jadi โค3 bersifat asosiatif terhadap penjumlahan.
3
c. Ambil 0,1,2 โ โค3
0 + 1 = 1 + 0 = 1
1 + 2 = 2 + 1 = 0
2 + 0 = 0 + 2 = 2
Jadi โค3 bersifat komutatif terhadap penjumlahan.
d. (โค3, +) mempunyai elemen identitas yaitu 0 sehingga ๐ + 0 = 0 + ๐ =
๐, โ๐ โ โค3 .
Dari tabel cayley diperoleh:
0 + 0 = 0 + 0 = 0
0 + 1 = 1 + 0 = 1
0 + 2 = 2 + 0 = 2
e. โ๐ โ โค3 , โ โ๐ โ โค3 โ ๐ + โ๐ = 0.
Dari tabel cayley diperoleh:
0 + 0 = 0 invers dari 0 adaalah 0
1 + 2 = 0 invers dari 1 adaalah 2
2 + 1 = 0 invers dari 2 adaalah 1
2. Akan dibuktikan (โค3 , . ) bersifat asosiatif
Dari tabel cayley jelas bahwa โค3 bersifat asosiatif terhadap perkalian
Ambil 0,1,2 โ โค3
0. (1.2) = (0.1).2 = 0
1. (1.2) = (1.1).2 = 2
2. (1.2) = (2.1).2 = 1
2. (0.2) = (2.0).2 = 0
3. Akan dibuktikan (โค3 , +, . ) bersifat distributif
Dari tabel cayley jelas bahwa โค3 bersifat distributif
Ambil 0,1,2 โ โค3
0. (1 + 2) = 0.1 + 0.2 = 0
0. (2 + 2) = 0.2 + 0.2 = 0
1. (1 + 2) = 1.1 + 1.2 = 0
1. (0 + 2) = 1.0 + 1.2 = 2
1. (1 + 0) = 1.1 + 1.0 = 1
2. (1 + 2) = 2.1 + 2.2 = 0
2. (0 + 2) = 2.0 + 2.2 = 1
2. (1 + 0) = 2.1 + 2.0 = 2
4
DEFINISI I.3
Misalkan (R, +, ยท) suatu ring.
a. Ring R disebut ring komutatif jika R komutatif terhadap perkalian
๐. ๐ = ๐. ๐, โ ๐, ๐ ๐ ๐
b. Ring R disebut ring dengan elemen satuan (identitas) jika R mempunyai
identitas terhadap perkalian.
c. Ring R disebut ring komutatif dengan elemen satuan jika R komutatif dan
mempunyai identitas terhadap perkalian.
d. Sebuah ring kesatuan R disebut ring pembagian jika โ aโ 0 di R, terdapat a-1 โ R
sehingga a. a-1 = a-1.a = 1R.
1R adalah elemen satuan atau identitas terhadap perkalian di R.
a kemudian disebut unit
e. Unit adalah elemen tak nol dari suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan
yang mempunyai invers terhadap perkalian
CONTOH I.2
Buktikan bahwa 2โค = 2๐ฅ ๐ฅ โ โค} dengan operasi penjumlahan dan perkalian
adalah sebuah ring komutatif.
Bukti:
1. Akan dibuktikan (2โค, +) grup komutatif
a. Ambil sebarang a = 2x dan b = 2y โ 2โค, dimana x,y โ โค
Akan ditunjukkan a+b โ 2โค.
a+b = 2x + 2y
= 2(x+y) sifat distributif pada โค
Karena x,y โ โค, maka x+y โ โค. Jadi a+b = 2(x+y) โ 2โค
Jadi 2โค tertutup terhadap penjumlahan.
b. Ambil sembarang a = 2x, b = 2y, dan c = 2z โ 2โค, dimana x,y,z โ โค
Akan ditunjukkan a+(b+c) = (a+b)+c
a + (b + c) = 2x + (2y + 2z)
5
= 2x + 2(y + z) sifat distributif pada โค
= 2(x + (y + z)) sifat distributif pada โค
= 2((x + y) + z) sifat asosiatif pada โค
= 2(x + y) + 3z sifat distributif pada โค
= (2x + 2y) + 2z sifat distributif pada โค
= (a + b) + c
Jadi 2โค bersifat asosiatif terhadap penjumlahan
c. (2โค, +) mempunyai elemen identitas 0 sehingga ๐ + 0 = 0 + ๐ = ๐, โ๐ โ 2โค
Ambil sebarang a = 2x โ 2โค, dimana x โ โค
a + 0 = 2x + 2.0
= 2(x + 0)
= 2x
= a
0 + a = 2.0 + 2x
= 2(0 + x)
= 2x
= a
Jadi 0 adalah unsur identitas penjumlahan pada 2โค
d. Ambil sebarang a = 2x โ 2โค, dimana x โ โค
2x + (โ2x) = 0
Pilih b = 2(โ x).
Akan ditunjukkan 2(โx) = โ2x
2x + 2(โx) = 2(x+(โx)) sifat distributif pada โค
= 2.0
= 0
Jadi 2(โx) = โ(2x) 2(โx) adalah invers dari 2x
Jadi โ๐ โ 2โค, โ โ๐ โ 2โค โ ๐ + โ๐ = 0
e. Ambil sebarang a = 2x dan b = 2y โ 2โค, dimana x,y โ โค
Akan ditunjukkan a+b = b+a
a+b = 2x + 2y
= 2(x + y) sifat distributif pada โค
= 2(y + x) sifat komutatif pada โค
= 2y + 2x
= b + a
Jadi 2โค bersifat komutatif terhadap penjumlahan
6
2. Ambil sebarang a = 2x, b = 2y, dan c = 2z โ 2โค, dimana x,y,z โ โค
Akan ditunjukkan a(b.c) = (a.b)c
a (b.c) = 2x (2y.2z)
= 2x (2(2yz)) sifat asosiatif pada โค
= 2.2.2 (x(yz)) sifat asosiatif pada โค
= 2.2.2 ((xy)z) sifat asosiatif pada โค
= 2.2 (xy). 2z sifat asosiatif pada โค
= (2x . 2y). 2z sifat asosiatif pada โค
= (a.b). c
Jadi 2โค bersifat asosiatif terhadap perkalian
3. Ambil sebarang a = 2x, b = 2y, dan c = 2z โ 2โค, dimana x,y,z โ โค
Akan ditunjukkan a.(b + c) = ab + ac dan (a + b).c = ac + bc
a (b + c) = 2x (2y + 2z)
= 2x (2(y + z))
= 2.2 (x(y + z))
= 2.2 (xy + xz)
= 2.2.xy + 2.2.xz
= 2x.2y + 2x.2z
= ab + ac
(a + b).c = (2x + 2y). 2z
= ((x + y) 2). 2z
= ((x + y) z). 2.2
= (xz + yz). 2.2
= 2.2.xz + 2.2.yz
= 2x.2z + 2y.2z
= a.c + b.c
Jadi 2โค bersifat distributif terhadap perkalian dan penjumlahan.
4. Ambil sebarang a = 2x dan b = 2y โ 2โค, dimana x,y โ โค
Akan ditunjukkan a.b = b.a
a .b = 2x. 2y
= 2.2.xy sifat komutatif pada โค
= 2.2.yx sifat komutatif pada โค
7
= 2y. 2x sifat asosiatif pada โค
= b.a
Jadi 2โค bersifat komutatif terhadap perkalian.
Jadi 2โค adalah ring komutatif.
CONTOH I.3
Tentukan unit-unit pada โค dan โค6
Penyelesaian:
a. Elemen identitas pada โค adaalah 1. Namun, tidak semua anggota (โค, +, . )
mempunyai invers di โค. Elemen (โค, +, . ) yang mempunyai invers hanya 1 dan -1
karena:
1.1 = 1 dan (-1)(-1) = 1.
Jadi unit dari (โค, +, . ) adalah : ๐ โค = {1, โ1}
b. Untuk menentukan unit pada โค6, dibuat tabel cayley perkalian pada โค6
. 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
Dari tabel cayley di atas, terlihat identitas dari (โค6, +, . ) adalah 1. Unit dari
(โค6, +, . ) adalah elemen-elemen โค6 yang memiliki invers. Elemen-elemen
tersebut jika dikalikan dengan inversnya hasilnya 1. Dari tabel cayley, didapat
bahwa elemen yang punya invers adalah 1 dan 5.
Invers dari 1 adalah 1 1.1 = 1
Invers dari 5 adalah 5 5.5 = 1
Jadi : ๐ โค6 = {1,5}
8
CONTOH I.4
1. (2โค, +, ยท)
Merupakan ring komutatif karena ๐. ๐ = ๐. ๐, โ ๐, ๐ ๐ 2โค
Tidak mempunyai unsur satuan atau identitas perkalian e
Bukan termasuk ring pembagian karena tidak punya identitas e sehingga
โ aโ 0 โ 2โค, tidak terdapat a-1 โ 2โค sehingga a. a-1 = a-1.a = e.
2. ๐2๐ฅ2 โ , +, .
Bukan merupakan ring komutatif karena ๐ด. ๐ต = ๐ต. ๐ด, โ ๐ด, ๐ต ๐ ๐2๐ฅ2 โ
Mempunyai unsur satuan atau identitas perkalian yaitu ๐ผ = 1 00 1
Bukan ring pembagian karena tidak semua ๐ด โ ๐2๐ฅ2 โ mempunyai invers.
Matriks ๐ด โ ๐2๐ฅ2 โ mempunyai invers hanya jika det โ 0.
3. (โค, +, . )
Merupakan ring komutatif karena a. b = b. a, โ a, b ฯต โค
Mempunyai unsur satuan atau identitas perkalian yaitu 1.
Bukan ring pembagian karena tidak semua a โ 0 โ โค mempunyai invers.
4. (โ, +, . )
Merupakan ring komutatif karena ๐. ๐ = ๐. ๐, โ ๐, ๐ ๐ โค
Mempunyai unsur satuan atau identitas perkalian yaitu 1.
Termasuk ring pembagian karena โ aโ 0 โ โ, terdapat a-1 โ โ sehingga a. a-1
= a-1.a = 1.
5. (โ, +, . )
Merupakan ring komutatif karena a. b = b. a, โ a, b ฯต โค
Mempunyai unsur satuan atau identitas perkalian yaitu 1.
Termasuk ring pembagian karena โ aโ 0 โ โ, terdapat a-1 โ โ sehingga a. a-1
= a-1.a = 1.
6. (โ, +, . )
Merupakan grup komutatif karena a. b = b. a, โ a, b ฯต โค
Mempunyai unsur satuan atau identitas perkalian yaitu 1.
Termasuk ring pembagian karena โ aโ 0 โ โ, terdapat a-1 โ โ sehingga a. a-1
= a-1.a = 1.
9
SIFAT-SIFAT RING
TEOREMA I.1. Aturan operasi perkalian
Jika (R,+,.) merupakan ring, โa, b, c โ R berlaku:
a. a. 0R = 0R .a = 0R (0R adalah identitas penjumlahan di R)
b. a(โ b) = (โ a)b = โ (ab)
c. (โ a)(โ b) = ab
d. a(b โ c) = ab โ ac dan (a โ b)c = ac โ bc
Akibat dari sifat (b) dan sifat (c)
e. (โ1)a = โa
f. (โ1) (โ1) = 1
Bukti:
a. Ambil aโR.
0 bisa ditulis sebagai (0+0) karena 0+0 = 0.
a (0+0) = a. 0
a.0 + a. 0 = a.0 hukum distributif
a.0 + a.0 = a.0 + 0 penambahan elemen netral 0
a.0 = 0 hukum kanselasi kanan
(0+0).a = 0.a
0.a + 0.a = 0.a hukum distributif
0.a + 0.a = 0.a + 0 penambahan elemen netral 0
0.a = 0 hukum kanselasi kanan
Jadi a.0 = 0.a = 0
b. โ ๐, ๐ โ ๐ , โ โ๐ , โ๐ โ ๐ sehingga โ๐ + ๐ = 0 dan โ๐ + ๐ = 0
Jelas โ ๐๐ + ๐๐ = 0
Akan dibuktikan bahwa ๐ โ๐ = โ๐ ๐ = โ(๐๐)
a(โb) + ab = a(โb+b) hukum distributif
= a.0
= 0 teorema (a)
10
(โa)b + ab = (โa+a)b hukum distributif
= 0.b
= 0 teorema (a)
Jadi a(โb) dan (โa)b masing-masing merupakan invers dari (ab). Karena elemen
invers itu tunggal, maka a(โb) = (โa)b = โ (ab)
c. Ambil a,bโR
(โa)( โb) = โ (a(โb))
= โ( โ(ab))
= ab
d. Ambil a,bโR
a(b โ c) = a(b + (โc)) definisi b โ c = b+(โc)
= ab + a(โc) hukum distributif
= ab + (โac) teorema (b)
= ab โ ac definisi b โ c = b+(โc)
(b โ c)a = (b + (โc)).a definisi b โ c = b+(โc)
= ba + (โc)a hukum distributif
= ba + (โca) teorema (b)
= ba โ ca definisi b โ c = b+(โc)
TEOREMA I.2. Keunikan elemen identitas dan Invers
a. Unsur kesatuan/ identitas dari sebuah ring adalah unik/tunggal.
b. Invers setiap elemen ring pada operasi perkalian adalah unik/tunggal.
Bukti:
a. Misal ๐1 dan ๐2 adalah elemen identitas pada ring R.
๐1. ๐2 = ๐2 (karena ๐1 adalah identitas dari R)
dan ๐1. ๐2 = ๐1 (karena ๐2 adalah identitas dari R)
Jadi ๐1 = ๐1. ๐2 = ๐2.
โบ ๐1 = ๐2
Jadi identitas sebuah ring adalah tunggal.
11
b. Misal ๐ adalah elemen identitas pada ring R.
Misal ๐1โ1 dan ๐2
โ1 adalah invers dari ๐ โ ๐ .
maka ๐. ๐1โ1 = ๐1
โ1. ๐ = ๐ dan ๐. ๐2โ1 = ๐2
โ1๐ = ๐
๐1โ1 = ๐1
โ1. ๐
= ๐1โ1. (๐. ๐2
โ1)
= (๐1โ1. ๐). ๐2
โ1)
= ๐. ๐2โ1
= ๐2โ1
Jadi ๐1โ1 = ๐2
โ1
Jadi invers setiap elemen ring pada operasi perkalian adalah unik/tunggal.
LATIHAN SOAL
1. Misalkan (R,+,.) didefinisikan operasi โ dan โ pada R sbb:
a โ b = a + b + 1 dan a โ b = ab + a + b.
Tunjukan apakah merupakan suatu ring komutatif.
2. Tunjukkan apakah himpunan bilangan ganjil yg ditunjukkan oleh:
1 + 2โค = {2n + 1 | n โ โค } sebuah ring atau bukan.
3. Ring {0,2,4,6,8} โ โค10 mempunyai unsur satuan (identitas) dan unit. Carilah
unsur kesatuan dan unit dari ring tersebut.
4. Buktikan bahwa jika R suatu ring, maka โa, b โ R, (a+b) 2 = a2 + b2 + a.b + b.a
Keterangan:
Misalkan R suatu ring, ๐๐ dengan ๐ โ โค dan ๐ โ โ didenisikan sebagai berikut:
a.a.a. ... .a (perkalian n buah a), jika n>0
1 , jika n=0
5. Buktikan bahwa jika R suatu ring abelian, maka โa, b โ R, (a+b) (aโb) = a2 โ b2
๐๐=
12
B. SUBRING
DEFINISI I.4. Subring
Misal S himpunan bagian tak kosong dari ring R.
S adalah subring dari R jika S juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan
dan perkalian yang sama pada ring R.
Dengan kata lain, S adalah subring dari R jika S memenuhi semua aksioma/syarat
ring R, yaitu:
1. S merupakan grup komutatif terhadap penjumlahan
2. S bersifat asosiatif terhadap perkalian
3. Memenuhi hukum distributif
TEOREMA I.3. Uji Subring
Misal S himpunan bagian tak kosong dari ring R.
S adalah subring dari R jika dan hanya jika
1. S tertutup terhadap operasi pengurangan โ๐, ๐ โ ๐, (๐ โ ๐) โ ๐
2. S tertutup terhadap operasi perkalian โ๐, ๐ โ ๐, (๐๐) โ ๐
Bukti
(โ) Diketahui S himpunan bagian tak kosong dari ring R.
S subring R
Akan dibuktikan (1) โ๐, ๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โ ๐
(2) โ๐, ๐ โ ๐, (๐๐) โ ๐
(1) Karena S adalah subring R, maka S tertutup terhadap penjumlahan dan
setiap elemen di S mempunyai invers pada penjumlahan.
Ambil a dan (โb) di S
a + (โb) โ S โบ a โ b โ S
Jadi S tertutup terhadap pengurangan.
(2) Karena S adalah subring R, maka S tertutup terhadap perkalian.
Jadi jika S subring R maka S tertutup terhadap pengurangan dan perkalian.
13
(โ) Diketahui S himpunan bagian tak kosong dari ring R.
โ๐, ๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โ ๐
โ๐, ๐ โ ๐, (๐๐) โ ๐
Akan dibuktikan S subring R.
Karena S himpunan tak kosong maka S mempunyai paling sedikit satu elemen,
misalkan x.
Ambil a = x dan b = x di S
(๐ โ ๐) โ ๐ โบ (๐ฅ โ ๐ฅ ) โ ๐
โบ 0 โ ๐
Jadi ada identitas penjumlahan di S, yaitu 0.
Ambil a = 0 dan b = x di S
(๐ โ ๐) โ ๐ โบ (0 โ ๐ฅ ) โ ๐
โบ 0 + (โ๐ฅ ) โ ๐
โบ โ๐ฅ โ ๐
Jadi untuk setiap ๐ฅ โ ๐ terdapat โ๐ฅ โ ๐ (terdapat invers penjumlahan untuk
setiap elemen S)
Untuk sembarang y di S, maka โy juga di S
Ambil a = x dan b = โy di S
(๐ โ ๐) โ ๐ โบ (๐ฅ โ (โ๐ฆ ) โ ๐
โบ ๐ฅ + (โ โ๐ฆ ) โ ๐
โบ (๐ฅ + ๐ฆ) โ ๐
Jadi S tertutup terhadap penjumlahan.
Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif pada penjumlahan dan perkalian di S
menurun dari sifat ring R, karena S merupakan himpunan bagian dari R.
Ambil a , b , c di S
Karena S adalah himpunan bagian dari ring R, maka pada S berlaku pula sifat
komutatif dan asosiatif penjumlahan seperti yang berlaku di R.
๐ + ๐ = ๐ + ๐
๐ + ๐ + ๐ = (๐ + ๐) + ๐
Ambil a , b , c di S
Karena S adalah himpunan bagian dari ring R, maka pada S berlaku pula sifat
asosiatif perkalian dan distributif seperti yang berlaku di R.
14
๐ ๐. ๐ = (๐. ๐)๐
๐ ๐ + ๐ = ๐๐ + ๐๐ dan ๐ + ๐ ๐ = ๐๐ + ๐๐
Karena S memenuhi semua aksioma ring, maka S merupakan subring R.
Dari hasil pembuktian (โ) dan (โ) maka teorema 3 terbukti dan bisa digunakan
untuk uji subring.
CONTOH I.5
โข {0} dan R adalah subring dari ring R
{0} disebut subring trivial, dan R disebut subring tak sejati. Subring selain {0}
dan R disebut subring sejati.
โข {0,2,4} adalah subring dari ring โค6
โข Himpunan ๐โค = {0, ยฑn, ยฑ2n, ยฑ3n, ...}, dengan n adalah bilangan bulat positif,
adalah subring dari ring โค.
โข Himpunan matriks segitiga atas dan matriks diagonal merupakan subring dari
M2x2 (R)
LATIHAN SOAL
1. Diketahui R sebuah ring dan a ada di R. Jika ๐ = ๐๐ฅ = 0 ๐ฅ โ ๐ }, tunjukkan
apakah S subring R atau bukan.
2. Diketahui ๐ = ๐ ๐ + ๐
๐ + ๐ ๐ | ๐, ๐ โ โค . Tunjukkan apakah S subring dari
M2x2(โค) atau bukan
3. Diketahui โ 2 = ๐ + ๐ 2 ๐, ๐ โ โ}. Buktikan bahwa โ 2 adalah subring
dari โ.
4. Prove that T = ๐ ๐
โ2๐ ๐ |๐, ๐ โ โค is a subring of M2x2(โค).
If T has a unity, determine the unity, and find the units.
15
II. DAERAH INTEGRAL (INTEGRAL DOMAIN) DAN LAPANGAN (FIELD)
A. DAERAH INTEGRAL
DEFINISI II.1. Pembagi Nol
Misalkan R ring.
Elemen ๐ โ 0 โ ๐ dikatakan pembagi nol jika terdapat ๐ โ 0 โ ๐ sehingga ๐๐ = 0.
CONTOH II.1
a. Perhatikan ring (โค, +, . )
Ambil ๐ โ 0 โ โค.
Jika ๐๐ = 0, maka ๐ = 0.
Jadi (โค, +, . ) tidak mempunyai pembagi nol karena tidak ada ๐ โ 0 โ โค sehingga
๐๐ = 0.
b. Perhatikan ring ๐2๐ฅ2(โ)
Ambil matriks tak nol ๐ด๐ด = 1 01 0
โ ๐2๐ฅ2(โ)
Terdapat ๐ต = 0 01 1
โ ๐2๐ฅ2(โ)
sehingga ๐ด. ๐ต = 1 01 0
0 01 1
= 0 00 0
โ ๐2๐ฅ2(โ)
Jadi 0 01 1
adalah pembagi nol.
DEFINISI II.2. Daerah Integral (Integral Domain)
Misalkan R ring komutatif yang mempunyai elemen satuan (identitas perkalian).
R disebut daerah integral jika R tidak memuat pembagi nol.
Karena daerah integral tidak memuat integral nol, jika ๐๐ = ๐๐ = ๐ maka
a = 0 atau b = 0.
16
CONTOH II.2
a. (โค, +, . ) adalah daerah integral
b. Ring ๐2๐ฅ2(โ) bukan daerah integral
c. Ring โค๐ adalah daerah integral jika n adalah bilangan prima.
Ring โค๐ bukan daerah integral jika n bukan bilangan prima.
CONTOH II.3
Tunjukkan apakah โค4 daerah integral atau bukan.
Penyelesaian:
โค4 = {0,1,2,3}
Tabel Cayley dari (โค4, . )
. 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Dari tabel terlihat bahwa โค4 mempunyai pembagi nol yaitu 2, karena 2.2 = 0.
Jadi โค4 bukan merupakan daerah integral.
TEOREMA II.1
Misal a, b, c adalah anggota daerah integral R. Jika ๐ โ 0 dan ๐๐ = ๐๐, maka ๐ = ๐.
Bukti:
Diketahui a, b, c adalah anggota daerah integral R, ๐ โ 0
๐๐ = ๐๐
๐๐ โ ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐
๐๐ โ ๐๐ = 0
๐ ๐ โ ๐ = 0
Karena R adalah daerah integral dan ๐ โ 0, maka ๐ โ ๐ = 0.
Jadi ๐ = ๐.
17
B. LAPANGAN
DEFINISI II.3. Lapangan (Field)
Ring komutatif R disebut lapangan (field) jika ring tersebut mempunyai elemen
satuan (identitas perkalian) dan setiap anggotanya yang tak nol mempunyai invers.
Dari definisi di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa syarat sebuah ring R dikatakan
lapangan (field) adalah:
1. R komutatif
2. R mempunyai elemen satuan (identitas perkalian)
3. R merupakan ring pembagian
TEOREMA II.2
Jika R adalah lapangan, maka R merupakan daerah integral.
Bukti:
Field ring komutatif
mempunyai elemen satuan (identitas perkalian)
Daerah integral ring komutatif
mempunyai elemen satuan (identitas perkalian)
tidak memuat pembagi nol
Untuk membuktikan R suatu integral, maka akan dibuktikan R tidak mempunyai
pembagi nol.
Ambil ๐, ๐ โ lapangan R, dengan ๐ โ 0 dan ๐๐ = 0.
Jelas ๐โ1 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐ = 0
๐โ1. (๐๐) = ๐โ1. 0 (kalikan kedua ruas dengan ๐โ1)
๐โ1. ๐ ๐ = 0
1. ๐ = 0
๐ = 0
Jadi jika ๐ โ 0 diperoleh ๐ = 0. Ini berarti R tidak mempunyai pembagi nol.
Jadi R merupakan daerah integral.
18
TEOREMA II.3
Setiap daerah integral berhingga merupakan lapangan.
Bukti:
Daerah integral ring komutatif
mempunyai elemen satuan (identitas perkalian)
Field ring komutatif
mempunyai elemen satuan (identitas perkalian)
ring pembagian (setiap elemen tak nol mempunyai invers)
Akan dibuktikan bahwa setiap elemen tak nol pada daerah integral mempunyai
invers
Misalkan D adalah daerah integral dengan identitas 1 yang semua elemennya
berbeda.
๐ท = {0,1, ๐1, ๐2, ๐3, โฆ , ๐๐}
Ambil ๐ โ ๐ท, ๐ โ 0.
Akan ditunjukkan bahwa โ๐ โ 0 โ ๐ท, โ ๐ โ 0 โ ๐ท โ ๐๐ = 1.
Dengan mengalikan ๐ dengan semua anggota D, diperoleh
๐. ๐ท = {0, ๐, ๐๐1, ๐๐2, ๐๐3, โฆ , ๐๐๐}
Andaikan ๐. ๐๐ = ๐. ๐๐ maka ๐๐ = ๐๐
kontradiksi dengan yang diketahui bahwa D memiliki elemen-elemen yang berbeda.
Jadi pengandaian salah, yang benar adalah ๐. ๐๐ โ ๐. ๐๐ .
Jadi elemen-elemen ๐. ๐ท adalah elemen-elemen yang berbeda dan tak nol.
Karena D berhingga dan ๐. ๐ท โ ๐ท, jadi haruslah ๐. ๐ท = ๐ท
Jadi ๐. ๐ท juga memuat elemen satuan 1.
Akibatnya, diantara anggota-anggota ๐. ๐ท ada yang sama dengan 1.
Jika ๐ = 1 maka invers dari a = 1 adalah 1.
Untuk ๐ โ 1,
๐๐๐ = 1 jadi terdapat ๐๐ yang merupakan invers dari a.
Jadi D adalah lapangan.
19
Akibat:
Ring ๐๐ adalah sebuah lapangan jika n adalah bilangan prima.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa ๐๐ adalah daerah integral (tidak punya pembagi nol).
Misal ๐, ๐ โ ๐๐ dan ๐๐ = 0.
Maka ab = nk untuk ๐ โ โค.
Lemma Euclid, โjika bilangan prima p membagi ab, maka p membagi a atau p membagi bโ
n|a โบ a = 0 mod n โบ a = 0
n|b โบ b = 0 mod n โบ b = 0
jadi ๐๐ adalah sebuah daerah integral.
CONTOH II.4
a. (โค, +, . ) bukan lapangan karena tidak semua elemen di โค mempunyai invers di โค
b. (โ, +, . ) adalah lapangan
c. Ring โค๐ adalah lapangan jika n adalah bilangan prima.
LATIHAN SOAL
1. Tunjukkan bahwa ring R = {0,2,4,6,8} dengan operasi penjumlahan dan
perkalian modulo 10 merupakan sebuah field.
2. Tunjukkan bahwa ring โค 2 = ๐ + ๐ 2 ๐, ๐ โ โค} adalah daerah integral dan
juga field.
C. KARAKTERISTIK RING
DEFINISI II.4. Karakteristik Sebuah Ring
Diketahui ring (R,+,.)
Karakteristik sebuah ring R adalah bilangan bulat positif terkecil n sehingga
๐๐ = 0๐ untuk semua ๐ โ ๐ .
Jika tidak ada n yang memenuhi, maka dikatakan R mempunyai karakteristik 0.
20
CONTOH II.5
Diketahui ring (โค3, +, . ).
Untuk setiap ๐ โ โค3, 3๐ = 0.
Jadi karakteristik ring โค3 adalah 3.
Karakteristik ring โค adalah 0 karena tidak ada bilangan bulat positif n sehingga
๐๐ = 0 untuk ๐ โ โค.
TEOREMA II.4. Karakteristik Ring dengan Elemen Satuan
Misalkan R adalah ring yang mempunyai elemen satuan 1.
Jika 1 mempunyai orde tak hingga terhadap penjumlahan, maka karakteristik R
adalah 0.
Jika 1 mempunyai orde n terhadap penjumlahan, maka karakteristik R adalah n.
Bukti:
Jika 1 memiliki orde tah hingga, maka tidak ada bilangan bulat positif n sehingga
n.1=0.
Jadi R mempunyai karakteristik 0.
Misal 1 memiliki orde n, maka n.1 = 0 dimana n adalah bil. bulat positif terkecil.
Jadi untuk setiap ๐ฅ โ ๐ ,
๐๐ฅ = ๐ฅ + ๐ฅ + โฏ + ๐ฅ = 1๐ฅ + 1๐ฅ + โฏ + 1๐ฅ = 1 + 1 + โฏ + 1 ๐ฅ = 0๐ฅ = 0
sebanyak n sebanyak n sebanyak n
Oleh karena itu, karakteristik R adalah n.
TEOREMA II.5
Karakteristik sebuah daerah integral adalah 0 atau bilangan prima.
Bukti:
Misal 1 memiliki orde berhingga terhadap penjumlahan.
Misal 1 = ๐ dan ๐ = ๐ . ๐ก dengan 1 โค ๐ . ๐ก โค ๐.
21
Ingat Lemma: Jika ๐, ๐ โ โค dan ๐, ๐ โ ๐ ๐๐๐ ๐ , maka (m.a)(n.b) = (mn).(ab)
0 = n.1 = (st).1 = (s.1)(t.1)
Karena R sebuah daerah integral, maka s.1 = 0 atau t.1 = 0.
Karena n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga n.1 = 0, maka haruslah s = n
atau t = n.
Jadi n bilangan prima.
Teori pembagi nol dalam ring memberikan alternatif penyelesaian yang berbeda
pada suku banyak yang koefisiennya adalah anggota ring.
Contoh.
Tentukan penyelesaian dari persamaan ๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 8 = 0.
๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 8 = ๐ฅ โ 2 ๐ฅ โ 4 = 0
Dalam bilangan bulat, penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 2 atau x = 4.
Jika kita menyelesaikan persamaan tersebut di โค8, maka x = 2 atau x = 4 juga
merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Namun, ada penyelesaian selain x = 2
atau x = 4. Untuk mendapatkan penyelesaian di โค8 yang lain, kita bisa
mensubstitusi setiap anggota โค8 ke persamaan ๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 8 = 0.
โค8 = {0,1,2,3,4,5,6,7}
x = 0 02 โ 6.0 + 8 = 0 mod 8
x = 1 12 โ 6.1 + 8 = 3 mod 8
x = 2 22 โ 6.2 + 8 = 0 mod 8
x = 3 32 โ 6.3 + 8 = โ1 = 7 mod 8
x = 4 42 โ 6.4 + 8 = 0 mod 8
x = 5 52 โ 6.5 + 8 = 3 mod 8
x = 6 62 โ 6.6 + 8 = 0 mod 8
x = 7 72 โ 6.7 + 8 = 7 mod 8
Jadi, solusi persamaan tersebut di โค8 adalah {0, 2, 4, 6}
22
Jika kita mencari solusi persamaan tersebut di โค5, solusi yang didapatkan akan
berbeda. Karena โค5 adalah integral domain, maka ๐ฅ โ 2 ๐ฅ โ 4 akan nol jika
๐ฅ โ 2 = 0 atau ๐ฅ โ 4 = 0. Jadi solusi persamaan ๐ฅ2 โ 6๐ฅ + 8 = 0 di โค5 adalah
{2,4}.
Jadi, jika โค๐ adalah integral domain, maka dengan pemfaktoran kita bisa
mendapatkan semua solusi persamaan suku banyak tersebut karena dalam integral
domain jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0.
Berikut adalah rangkuman ring dan sifat-sifatnya.
Tabel 1. Ring dan Sifat-Sifatnya
No Ring Elemen
satuan
Ring
komutatif
Ring
pembagian
Pembagi
nol
Daerah
Integral Lapangan
Karak
teristik
1 โค 1 โ x Tdk ada โ x 0
2 โ 1 โ โ Tdk ada โ โ 0
3 โ 1 โ โ Tdk ada โ โ 0
4 โ 1 โ โ Tdk ada โ โ 0
5 โค๐ ,
n bil. komposit 1 โ x Ada x x n
6 โค๐ ,
n bil. prima 1 โ โ Tdk ada โ โ n
7 ๐โค , n>1 Tdk
punya โ x Tdk ada x x 0
8 ๐2๐ฅ2(โค) 1 00 1
x x Ada x x 0
9 ๐2๐ฅ2(2โค) Tdk
punya x x Ada x x 0
10
โค[ 2]
๐ + ๐ 2 | ๐, ๐ โ โค
1 + 0 2 โ x Tdk ada โ x 0
11
โ[ 2]
๐ + ๐ 2 | ๐, ๐ โ โ
1 + 0 2 โ โ Tdk ada โ โ 0
23
D. ELEMEN NILPOTEN DAN IDEMPOTEN
DEFINISI II.5. Elemen Nilpoten
Misal R ring dengan elemen satuan, dan a anggota R.
a adalah elemen nilpoten jika an = 0 untuk n bilangan bulat positif.
CONTOH II.6
Di โค24 , ๐ฅ๐ = 0 (๐๐๐ 24) jika dan hanya jika 3|๐ฅ dan 2|๐ฅ.
Jadi, elemen nilpoten dari โค24 adalah {0, 6, 12, 18}
DEFINISI II.6. Elemen Idempoten
Misal R ring dan a anggota R. ๐ adalah elemen idempoten jika ๐2 = ๐.
CONTOH II.7
1. Contoh elemen idempoten di ๐2๐ฅ2(โ): 0 00 0
, 1 00 1
, 1 00 0
, 0 00 1
Karena 0 00 0
. 0 00 0
= 0 00 0
1 00 1
. 1 00 1
= 1 00 1
1 00 0
. 1 00 0
= 1 00 0
0 00 1
. 0 00 1
= 0 00 1
2. Contoh elemen idempoten di โค12
โค12 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
Cari elemen ๐ โ โค12 , sehingga ๐2 = ๐
๐2 = ๐ โ ๐2 โ ๐ = 12๐ , ๐ โ โค.
Setelah diperiksa, diperoleh elemen idempoten dari โค12 adalah {0,1,4,9}
3. Elemen idempoten di โ yaitu {0,1} karena 0.0 = 0 dan 1.1 = 1
4. Carilah elemen idempoten di โค11
24
III. IDEAL DAN FAKTOR RING
A. IDEAL
DEFINISI III.1. Ideal
Misal A subring R.
A disebut ideal (dua sisi) R jika untuk setiap ๐ โ ๐ dan ๐ โ ๐ด maka ๐๐, ๐๐ โ ๐ด.
A disebut ideal kiri jika hanya memenuhi ๐๐ โ ๐ด untuk setiap ๐ โ ๐ dan ๐ โ ๐ด.
A disebut ideal kanan jika hanya memenuhi ๐๐ โ ๐ด untuk setiap ๐ โ ๐ dan ๐ โ ๐ด.
CONTOH III.1
Diketahui 3โค = 3๐ ๐ โ โค} subring dari โค.
Ambil 3๐ โ 3โค, dan ๐ โ โค
๐ 3๐ = 3๐ ๐ = 3(๐๐) โ 3โค
Jadi 3โค adalah ideal (dua sisi) dari โค.
CONTOH III.2
Diketahui ๐พ = 0 ๐ฅ0 ๐ฆ
|๐ฅ, ๐ฆ โ โ subring dari ๐2๐ฅ2(โ)
Ambil 0 ๐ฅ0 ๐ฆ
โ ๐พ dan ๐ ๐๐ ๐
โ ๐2๐ฅ2(โ)
๐ ๐๐ ๐
. 0 ๐ฅ0 ๐ฆ
= 0 ๐๐ฅ + ๐๐ฆ0 ๐๐ฅ + ๐๐ฆ
โ ๐พ
Jadi ๐พ = 0 ๐ฅ0 ๐ฆ
|๐ฅ, ๐ฆ โ โ adalah ideal kiri dari ๐2๐ฅ2(โ)
CONTOH III.3
Diketahui ๐ฟ = ๐ ๐0 0
|๐, ๐ โ โ subring dari ๐2๐ฅ2(โ)
Ambil ๐ ๐0 0
โ ๐ฟ dan ๐ ๐๐ ๐
โ ๐2๐ฅ2(โ)
๐ ๐0 0
. ๐ ๐๐ ๐
= ๐๐ + ๐๐ ๐๐ + ๐๐
0 0 โ ๐ฟ
Jadi ๐ฟ = ๐ ๐0 0
|๐, ๐ โ โ adalah ideal kanan dari ๐2๐ฅ2(โ).
25
CONTOH III.4
โ[๐] ring polinomial dengan koefisien bilangan riil dan A himpunan bagian dari
polinomial dengan konstanta 0. A adalah ideal dari โ[๐].
(๐ฅ3 + 5๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 7) โ โ[๐] dan (2๐ฅ2 + 7๐ฅ) โ ๐ด
(๐ฅ3 + 5๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 7)(2๐ฅ2 + 7๐ฅ) โ ๐ด dan
(2๐ฅ2 + 7๐ฅ)(๐ฅ3 + 5๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 7) โ ๐ด
โค[๐] ring polinomial dengan koefisien bilangan bulat dan I himpunan bagian dari
polinomial dengan konstanta bilangan genap. I adalah ideal dari โค[๐].
Pada ring R, {0} dan R merupakan ideal dari R. {0๐ } disebut ideal trivial, dan R
disebut ideal tak sejati. Ideal selain itu disebut ideal sejati.
Pada definisi disebutkan bahwa A subring R. Oleh karena itu, A haruslah memenuhi
teorema uji subring yaitu A tertutup terhadap pengurangan dan perkalian.
TEOREMA III.1. Uji Ideal
Sebuah himpunan tak kosong A adalah ideal dari R jika:
1. ๐ โ ๐ โ ๐ด jika ๐, ๐ โ ๐ด (tertutup terhadap pengurangan)
2. ๐๐, ๐๐ โ ๐ด dimana ๐ โ ๐ด dan ๐ โ ๐
CONTOH III.5
Buktikan 3โค = 3๐ ๐ โ โค} ideal dari โค.
1) Akan dibuktikan 3๐ โ 3๐ โ 3โค untuk setiap 3๐, 3๐ โ 3โค
3๐ โ 3๐ = 3(๐ โ ๐)
Karena (๐ โ ๐) โ โค maka 3(๐ โ ๐) โ 3โค
Jadi, 3๐ โ 3๐ โ 3โค untuk setiap 3๐, 3๐ โ 3โค (tertutup terhadap pengurangan)
2) Akan dibuktikan ๐ 3๐ = 3๐ ๐ โ 3โค dimana 3๐ โ 3โค, dan ๐ โ โค
Ambil 3๐ โ 3โค, dan ๐ โ โค
๐ 3๐ = 3๐ ๐ = 3(๐๐) โ 3โค
Jadi 3โค adalah ideal (dua sisi) dari โค.
26
Tunjukkan apakah โค ideal dari โ atau bukan
Tunjukkan apakah โค ideal dari โ atau bukan
TEOREMA III.2
Diketahui A ideal dari ring R. Jika ideal A memuat 1, maka A = R.
Bukti:
Diketahui ๐ด โ ๐ . Misalkan 1 โ ๐ด.
Ambil sembarang ๐ โ ๐ .
Karena A ideal, maka berdasarkan definisi ideal, berlaku:
๐. 1 โ ๐ด โ ๐ โ ๐ด
Karena r adalah sembarang elemen di R, maka ๐ โ ๐ด.
Karena ๐ด โ ๐ dan ๐ โ ๐ด, maka ๐ = ๐ด
TEOREMA III.3
Jika A1 dan A2 adalah ideal dari R, maka ๐ด1 โฉ ๐ด2 juga merupakan ideal R.
Bukti:
๐ด1 adalah ideal dari ring R, maka ๐ด1 subgrup R terhadap operasi yang pertama.
๐ด2 adalah ideal dari ring R, maka ๐ด2 subgrup R terhadap operasi yang kedua.
Jadi ๐ด1 โฉ ๐ด2 adalah subgrup dari R.
Sehingga berlaku โ๐, ๐ โ ๐ด1 โฉ ๐ด2 berlaku (๐ โ ๐) โ ๐ด1 โฉ ๐ด2 .
Ambil sembarang ๐ โ ๐ด1 โฉ ๐ด2 , maka ๐ โ ๐ด1 dan ๐ โ ๐ด2
Ambil ๐ โ ๐ , maka
๐๐ โ ๐ด1 dan ๐๐ โ ๐ด1 karena ๐ด1 ideal dari R.
๐๐ โ ๐ด2 dan ๐๐ โ ๐ด2 karena ๐ด2 ideal dari R.
Karena ๐๐ โ ๐ด1 dan ๐๐ โ ๐ด2 maka ๐๐ โ ๐ด1 โฉ ๐ด2
Karena ๐๐ โ ๐ด1 dan ๐๐ โ ๐ด2 maka ๐๐ โ ๐ด1 โฉ ๐ด2
Jadi ๐ด1 โฉ ๐ด2 adalah ideal dari R.
27
Ada sebuah cara untuk menemukan ideal dari sebuah himpunan. Salah satunya
adalah dengan himpunan yang dibangun oleh a, atau disimbolkan dengan <a>.
DEFINISI III.2. Ideal Utama
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan ๐ โ ๐ . Ideal ๐ด = ๐๐ ๐ โ ๐ }
disebut ideal utama (principal ideal) yang dibangun oleh a dan disimbolkan dengan
< ๐ >.
Dengan kata lain < ๐ > adalah kelipatan dari semua a dengan sebarang elemen ๐ โ ๐
CONTOH III.6
Diketahui โค merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.
< 3 > = ๐ง. 3 ๐ง โ โค } = 3โค merupakan ideal utama dalam โค.
Secara umum, ๐โค adalah ideal โค untuk ๐ โฅ 1. Jadi ๐ผ = < ๐ > adalah ideal utama
yang dibangun oleh n
CONTOH III.7
Diketahui โค6 merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Ideal-ideal dari
โค6 yaitu:
< 0 > = {0}
< 1 > = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
< 2 > = ๐ง. 2 ๐ง โ โค6 } = {0,2,4}
< 3 > = ๐ง. 3 ๐ง โ โค6 } = {0, 3}
< 4 > = < 2 >
< 5 > = < 1 >
CONTOH III.8
Diketahui โค4 x โค6 ring. Tentukan ideal yang dibangun oleh < 2,2 >
< 2,2 >= ๐. (2,2) ๐ โ โค4 x โค6}
Jika (๐, ๐) โ โค4 x โค6 maka ๐, ๐ ๐ฅ 2,2 = (2๐, 2๐)
< 2,2 >= { 0,0 , 2,2 , 0,4 , 2,0 , 0,2 , 2,4 }
28
DEFINISI III.3. Ideal Prima dan Ideal Maksimal
1. Misalkan R adalah ring komutatif. Ideal sejati A disebut ideal prima di R jika
โ ๐, ๐ โ ๐ , ๐๐ โ ๐ด โ ๐ โ ๐ด atau ๐ โ ๐ด.
2. Misalkan R adalah ring komutatif dan A adalah ideal sejati dari R. A disebut ideal
maksimal jika ada ideal B dan ๐ด โ ๐ต โ ๐ maka ๐ต = ๐ด atau ๐ต = ๐ .
Dengan kalimat lain:
Misalkan R adalah ring komutatif dan A adalah suatu ideal dari R dengan A โ R.
A disebut ideal maksimal dari R, jika tidak ada ideal yang memuat A selain A dan
R sendiri.
CONTOH III.9
1. Ideal <3> = {3x | x โ โค } adalah ideal maksimal dalam โค, sebab <3> tidak
termuat dalam ideal lainnya kecuali <3> sendiri dan โค.
2. Ideal <6> = {6x | x โ โค } bukan ideal maksimal dalam Z, sebab <6> termuat
dalam ideal <2> = {2x | x โ โค } dan dalam ideal <3> = {3x | x โ โค } di โค.
3. Ideal <5> = {5x | x โ โค } adalah ideal prima dalam โค, sebab jika a.b โ <5>, maka
5|ab dan karenanya 5|a atau 5|b (ingat bahwa 5 adalah prima).
4. Ideal <6> = {6x | x โ โค } adalah bukan ideal prima di โค karena โ 12 โ โค dan 12 =
3 x 4, sedangkan 3 โ โค dan 4 โ โค
< ๐ > = ๐. ๐ ๐ โ โค} adalah ideal prima dan ideal maksimal dari โค jika ๐ bil. prima.
Dalam ring komutatif disertai elemen satuan, setiap ideal maksimal adalah ideal
prima.
5. Ideal sejati dari ring โค12 adalah:
<2> = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
<3> = {0, 3, 6, 9}
<4> = {0, 4, 8}
<6> = {0, 6}
<2> dan <3> merupakan ideal prima dan ideal maksimal (jelaskan alasannya!)
<4> dan <6> bukan merupakan ideal prima dan ideal maksimal (jelaskan
alasannya!)
29
B. RING FAKTOR
DEFINISI III.4 โ Koset
Diketahui R ring dan A ideal dari R. Jika ๐ โ ๐ , maka koset ๐น/๐จ (dibaca R mod A)
didefinisikan oleh ๐ /๐ด = ๐ + ๐ด ๐ โ ๐ }.
Anggota-anggota ๐ /๐ด berbentuk ๐ + ๐ด dan disimbolkan dengan ๐
CONTOH III.10
Diketahui ring โค dan ideal 5โค. Koset โค/5โค = ๐ + 5โค ๐ โ โค}
0 = 0 + 5โค
1 = 1 + 5โค
2 = 2 + 5โค
3 = 3 + 5โค
4 = 4 + 5โค
Jadi, koset โค/5โค = {0 + 5โค, 1 + 5โค, 2 + 5โค, 3 + 5โค, 4 + 5โค} = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 } sama
dengan kelas ekuivalensi modulo 5.
DEFINISI III.5. Ring Faktor
Misal A adalah ideal dari ring R. Himpunan koset ๐ /๐ด = ๐ + ๐ด ๐ โ ๐ } dengan
operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai berikut:
1. ๐ + ๐ด + ๐ + ๐ด = ๐ + ๐ + ๐ด
โ ๐ + ๐ด , (๐ + ๐ด) โ ๐ /๐ด
2. ๐ + ๐ด ๐ + ๐ด = ๐๐ + ๐ด,
โ ๐ + ๐ด , (๐ + ๐ด) โ ๐ /๐ด
disebut ring faktor dari R oleh ideal A.
Bukti:
Untuk membuktikan apakah ๐ /๐ด sebuah ring, maka ๐ /๐ด harus memenuhi semua
sifat-sifat ring.
a. Penjumlahan koset ๐ /๐ด bersifat tertutup
Ambil ๐ + ๐ด , (๐ + ๐ด) โ ๐ /๐ด
30
๐ + ๐ด ๐ + ๐ด = (๐ + ๐ ) + ๐ด
Karena ๐, ๐ โ ๐ , maka (๐ + ๐ ) + ๐ด โ ๐ /๐ด
b. Penjumlahan koset ๐ /๐ด bersifat komutatif
Ambil ๐ + ๐ด , (๐ + ๐ด) โ ๐ /๐ด
๐ + ๐ด ๐ + ๐ด = (๐ + ๐ ) + ๐ด
= (๐ + ๐) + ๐ด
= ๐ + ๐ด ๐ + ๐ด
c. ๐ /๐ด bersifat asosiatif terhadap penjumlahan (diturunkan dari sifat ring R)
Ambil ๐ + ๐ด , ๐ + ๐ด , (๐ก + ๐ด) โ ๐ /๐ด
๐ + ๐ด + ๐ + ๐ด + ๐ก + ๐ด = ๐ + ๐ + ๐ด + (๐ก + ๐ด)
= ๐ + ๐ + ๐ก + ๐ด
= ๐ + ๐ + ๐ก + ๐ด
= ๐ + ๐ด + [ ๐ + ๐ก) + ๐ด ]
= ๐ + ๐ด + [ ๐ + ๐ด + (๐ก + ๐ด)]
d. ๐ /๐ด mempunyai identitas penjumlahan, yaitu (0 + ๐ด).
Ambil ๐ + ๐ด โ ๐ /๐ด
๐ + ๐ด + 0 + ๐ด = ๐ + 0 + ๐ด
= ๐ + ๐ด
e. Semua (๐ + ๐ด) โ ๐ /๐ด mempunyai invers pada penjumlahan yaitu (โ๐ + ๐ด).
๐ + ๐ด + โ๐ + ๐ด = ๐ + โ๐ + ๐ด
= 0 + ๐ด
f. ๐ /๐ด bersifat asosiatif terhadap perkalian (diturunkan dari sifat ring R)
Ambil ๐ + ๐ด , ๐ + ๐ด , (๐ก + ๐ด) โ ๐ /๐ด
๐ + ๐ด ๐ + ๐ด . ๐ก + ๐ด = ๐. ๐ + ๐ด . (๐ก + ๐ด)
= ๐. ๐ . ๐ก + ๐ด
= ๐. ๐ . ๐ก + ๐ด
= ๐ + ๐ด [ ๐ . ๐ก) + ๐ด ]
= ๐ + ๐ด [ ๐ + ๐ด . (๐ก + ๐ด)]
g. ๐ /๐ด bersifat distributif (diturunkan dari sifat ring R)
Ambil ๐ + ๐ด , ๐ + ๐ด , (๐ก + ๐ด) โ ๐ /๐ด
๐ + ๐ด + ๐ + ๐ด . ๐ก + ๐ด = ๐ + ๐ + ๐ด . (๐ก + ๐ด)
= ๐ + ๐ . ๐ก + ๐ด
31
= ๐. ๐ก + ๐ . ๐ก + ๐ด
= (๐. ๐ก) + ๐ด + ( ๐ . ๐ก + ๐ด)
= ๐ + ๐ด ๐ก + ๐ด + ๐ + ๐ด (๐ก + ๐ด)
๐ + ๐ด . ๐ + ๐ด + ๐ก + ๐ด = ๐ + ๐ด . ๐ + ๐ก + ๐ด
= ๐. ๐ + ๐ก + ๐ด
= ๐. ๐ + ๐. ๐ก + ๐ด
= (๐. ๐ ) + ๐ด + ( ๐. ๐ก + ๐ด)
= ๐ + ๐ด ๐ + ๐ด + [ ๐ + ๐ด ๐ก + ๐ด ]
Dari poin (a) sampai (g), jadi disimpulkan bahwa ๐ /๐ด membentuk sebuah ring.
CONTOH III.11
Diketahui โค adalah ring, dan 5โค merupakan ideal dari โค.
Terbentuk ring faktor โค/5โค = ๐ + 5โค ๐ โ โค}
= {0 + 5โค, 1 + 5โค, 2 + 5โค, 3 + 5โค, 4 + 5โค}
= {0 , 1 , 2 , 3 , 4}
CONTOH III.12
Diketahui 2โค adalah ring, dan 6โค merupakan ideal dari โค.
0 + 6โค = {0, ยฑ6, ยฑ12, โฆ }
2 + 6โค = {โฆ , โ4, 2, 8, 14, โฆ }
4 + 6โค = {โฆ , โ2, 4, 10, 16, โฆ }
Terbentuk ring faktor 2โค/6โค = 2๐ + 6โค 2๐ โ 2โค}
= {0 + 6โค, 2 + 6โค, 4 + 6โค}
CONTOH III.13
Himpunan โค8 = { 0, 1, 2, โฆ, 7} merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian modulo 8. Ideal-ideal dalam Z8 adalah
<0> = { 0 }
<1> = <3> = <5> = <7> = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
32
<2> = { 0, 2, 4, 6 }
<4> = { 0, 4 }.
Ideal I = <2> merupakan ideal sejati dari โค8. Ring faktor โค8/๐ผ yang terbentuk
adalah โค8/๐ผ = ๐ + ๐ด ๐ โ โค8}
0 + I = {0, 2, 4, 6}
1 + I = {1, 3, 5, 7}
2 + I = {0, 2, 4, 6} = 0 + I
3 + I = {1, 3, 5, 7} = 1 + I
4 + I = {0, 2, 4, 6} = 0 + I
5 + I = {1, 3, 5, 7} = 1 + I
6 + I = {0, 2, 4, 6} = 0 + I
7 + I = {1, 3, 5, 7} = 1 + I
Hal itu berarti โค8/๐ผ hanya berisi 2 elemen, yaitu โค8/๐ผ = {0 + ๐ผ, 1 + ๐ผ}
CONTOH III.14
Jika ๐พ = {0,2,4} adalah ideal dari โค6. Tentukan โค6/๐พ dan buktikan bahwa โค6/๐พ ring
faktor.
Penyelesaian:
0 + K = {0, 2, 4} = 2 + K = 4 + K
1 + K = {1, 3, 5} = 3 + K = 5 + K
Jadi โค6/๐พ = { 0+ K, 1 + K}
Bukti bahwa โค6/๐พ adalah sebuah ring:
Tabel cayley โค6/๐พ
+ K 1+K . K 1+K
K K 1+K K K K
1+K 1+K K 1+K K 1+K
(i) Dari tabel cayley, dapat disimpulkan โค6/๐พ tertutup terhadap penjumlahan
โ ๐พ, ๐พ + 1 โ โค6/๐พ
๐พ + ๐พ = 0 + 0 + ๐พ = ๐พ
๐พ + 1 + ๐พ = 0 + 1 + ๐พ = 1 + ๐พ
1 + ๐พ + 1 + ๐พ = 1 + 1 + ๐พ = ๐พ
33
(ii) โค6/๐พ asosiatif terhadap penjumlahan
โ ๐พ, ๐พ + 1 โ โค6/๐พ
[K + (1+K)] + (1+K) = [(0+1)+K] + (1+K)
= ((0+1)+1) + K
= (0+(1+1)) + K
= (0+K) + [(1+1) + K]
= K + [(1+K) + (1+K)]
(iii) โค6/๐พ mempunyai identitas terhadap penjumlahan, yaitu (0+K)
โ ๐พ, ๐พ + 1 โ โค6/๐พ
0 + ๐พ + 0 + ๐พ = 0 + 0 + ๐พ = 0 + ๐พ
1 + ๐พ + 0 + ๐พ = 1 + 0 + ๐พ = 1 + ๐พ
(iv) โค6/๐พ mempunyai invers terhadap penjumlahan
Perhatikan tabel cayley penjumlahan.
Invers dari K adalah K karena K + K = K
Invers dari (1+K) adalah (1+K) karena (1+K) + (1+K) = K
(v) โค6/๐พ komutatif terhadap penjumlahan
โ ๐พ, ๐พ + 1 โ โค6/๐พ
๐พ + 1 + ๐พ = 0 + 1 + ๐พ
= 1 + 0 + ๐พ
= 1 + ๐พ + ๐พ
(vi) โค6/๐พ asosiatif terhadap perkalian
โ ๐พ, ๐พ + 1 โ โค6/๐พ
[K . (1+K)] . (1+K) = [(0.1)+K] . (1+K)
= ((0.1).1) + K
= (0.(1.1)) + K
= (0+K) . [(1.1) + K]
= K . [(1+K) . (1+K)]
(vii) โค6/๐พ distributif
K . [(1+K) + (1+K)] = K. [(1+1)+K]
= (0.(1+1)) + K
= ((0.1)+(0.1)) + K
= K.(1+K) + K.(1+K)
Jadi โค6/๐พ adalah sebuah ring.
34
TEOREMA III.4
1. Jika ring R komutatif dan A ideal dari R, maka R/A juga komutatif.
2. Jika ring R mempunyai elemen satuan e, maka R/A memiliki elemen satuan
(e+R)
3. Misalkan R suatu ring komutatif dan A ideal dari R. Maka ring faktor R/A
membentuk suatu lapangan jika dan hanya jika A merupakan ideal maksimal.
4. Misalkan R suatu ring komutatif dan A ideal dari R. Maka ring faktor R/A
membentuk suatu daerah integral jika dan hanya jika A merupakan ideal prima.
LATIHAN SOAL
1. Tunjukkan apakah โ ideal dari R atau bukan.
2. Tentukan ideal utama ring ๐2๐ฅ2(โ) yang dibangun oleh ๐ด = 1 00 0
3. Diketahui ring ๐ = ๐ ๐0 0
| ๐, ๐ โ โค adalah ring komutatif. Tunjukkan bahwa
๐ด = 0 ๐ฅ0 0
| ๐ฅ โ โค adalah ideal dalam M.
4. Diketahui ring ๐พ = ๐ ๐0 ๐
| ๐, ๐, ๐ โ โค adalah ring. Tunjukkan apakah
๐ = ๐ ๐0 ๐
| ๐ฅ โ โค adalah ideal (kiri/kanan/dua sisi) dalam N.
5. Tentukan semua ideal sejati dari โค12 dan tentukan mana yang merupakan ideal
prima dan ideal maksimal.
6. Diketahui ๐ = 2๐ฅ ๐ฅ โ โค} adalah subring dari โค 2 = ๐ + ๐ 2 ๐, ๐ โ โค}.
Tunjukkan apakah S ideal dari โค 2 atau bukan.
7. Tentukan ring faktor โค10/๐ผ dan โค10/๐ฝ dimana I = <2> dan J = <5>.
a. Tentukan apakah โค10/๐ผ dan โค10/๐ฝ daerah integral?
b. Tentukan apakah โค10/๐ผ dan โค10/๐ฝ lapangan?
8. 3โค adalah ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat, dan
12โค adalah ideal dari 3โค. Tentukan ring faktor 3โค/12โค.
a. Tentukan apakah 3โค/12โค daerah integral?
b. Tentukan apakah 3โค/12โค lapangan?
35
IV. HOMOMORFISMA RING
A. HOMOMORFISMA RING
DEFINISI IV.1. Homomorfisma
Misal R dan S adalah ring.
Sebuah homomorfisma ring ๐ dari ring R ke ring S adalah sebuah fungsi dari R ke S
yang mengawetkan dua operasi berikut.
โ ๐, ๐ โ ๐ ๐ ๐ + ๐ = ๐ ๐ + ๐(๐)
๐ ๐๐ = ๐ ๐ . ๐(๐)
Catatan:
1. Operasi di ruas kiri, yaitu ๐ ๐ + ๐ dan ๐ ๐๐ , adalah operasi pada R.
Operasi di ruas kanan, yaitu ๐ ๐ + ๐(๐) dan ๐ ๐ . ๐(๐), adalah operasi pada S.
2. Operasi pada R dan S tidak harus sama, baik penjumlahan maupun
perkaliannya.
3. Untuk membuktikan ๐ homomorfisma, haruslah dibuktikan dulu ๐ suatu
fungsi, jika belum diketahui fungsi.
๐ : R S disebut fungsi jika a, b R , (a = b) ๐(a) = ๐(b)
CONTOH IV.1
(โค, +, . ) adalah ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat.
(2โค, +, . ) adalah ring terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat dan operasi (.)
yang didefinisikan oleh: โ ๐, ๐ โ 2โค, ๐. ๐ =๐๐
2
Pemetaan ๐: โค โ 2โค didefinisikan oleh ๐ ๐ฅ = 2๐ฅ, โ ๐ฅ โ โค
Akan ditunjukkan ๐ sebuah homomorfisma dari โค ke 2โค.
Ambil sembarang ๐, ๐ โ โค, maka
๐ ๐ + ๐ = 2(๐ + ๐)
= 2๐ + 2๐
๐ ๐ + ๐ ๐ = 2๐ + 2๐
Jadi ๐ ๐ + ๐ = ๐ ๐ + ๐ ๐
36
๐ ๐. ๐ = 2๐๐
๐ ๐ . ๐ ๐ =2๐ .2๐
2= 2๐๐
Jadi ๐ ๐. ๐ = ๐ ๐ . ๐ ๐
Jadi ๐ sebuah homomorfisma dari โค ke 2โค.
CONTOH IV.2
๐ผ = ๐ + ๐๐ ๐, ๐ โ โ} adalah ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bil.
kompleks
๐ = ๐ ๐
โ๐ ๐ | ๐, ๐ โ โ adalah ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
matriks.
Pemetaan ๐: ๐ผ โ ๐ didefinisikan oleh ๐ ๐ + ๐๐ = ๐ ๐
โ๐ ๐ , โ ๐, ๐ โ โ
Akan ditunjukkan ๐ homomorfisma dari ๐ผ ke ๐.
Ambil โ ๐ , ๐ก โ ๐ผ dengan ๐ = ๐ + ๐๐ dan ๐ก = ๐ + ๐๐
๐ ๐ + ๐ก = ๐ ๐ + ๐๐ + ๐ + ๐๐
= ๐ ๐ + ๐ + ๐ + ๐ ๐
= ๐ + ๐ ๐ + ๐
โ๐ โ ๐ ๐ + ๐
๐ ๐ + ๐ ๐ก = ๐ ๐
โ๐ ๐ +
๐ ๐โ๐ ๐
= ๐ + ๐ ๐ + ๐
โ๐ โ ๐ ๐ + ๐
Jadi ๐ ๐ + ๐ก = ๐ ๐ + ๐ ๐ก
๐ ๐ . ๐ก = ๐ ๐ + ๐๐ . ๐ + ๐๐
= ๐ ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
= ๐๐ โ ๐๐ ๐๐ + ๐๐
โ๐๐ โ ๐๐ ๐๐ โ ๐๐
๐ ๐ . ๐(๐ก) = ๐ ๐
โ๐ ๐ .
๐ ๐โ๐ ๐
= ๐๐ โ ๐๐ ๐๐ + ๐๐
โ๐๐ โ ๐๐ ๐๐ โ ๐๐
Jadi ๐ ๐ . ๐ก = ๐ ๐ . ๐ ๐ก
Jadi ๐ sebuah homomorfisma dari ๐ผ ke ๐.
37
CONTOH IV.3
โค adalah ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat.
โค๐ adalah ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bil. bulat modulo n.
Pemetaan ๐: โค โ โค๐ didefinisikan oleh ๐ ๐ฅ = ๐ฅ ๐๐๐ ๐ , โ ๐ฅ โ โค
Akan ditunjukkan ๐ sebuah homomorfisma dari โค ke โค๐ .
Ambil sembarang ๐, ๐ โ โค, maka
๐ ๐ + ๐ = ๐ + ๐ ๐๐๐ ๐
= ๐ ๐๐๐ ๐ + ๐ ๐๐๐ ๐
= ๐ ๐ + ๐ ๐
๐ ๐. ๐ = ๐๐ ๐๐๐ ๐
= ๐ ๐๐๐ ๐ . ๐ ๐๐๐ ๐
= ๐ ๐ . ๐ ๐
Jadi ๐ sebuah homomorfisma dari โค ke โค๐ .
CONTOH IV.4
Diketahui โค4 dan โค6 ring.
Pemetaan ๐: โค4 โ โค6 didefinisikan oleh ๐ ๐ฅ = 3๐ฅ ๐๐๐ 6, โ ๐ฅ โ โค4
Akan ditunjukkan ๐ homomorfisma dari โค4 ke โค6.
Ambil sembarang ๐, ๐ โ โค4 , maka ๐ + ๐ = 4๐1 + ๐1 dan ๐. ๐ = 4๐2 + ๐2.
โ ๐1 = ๐ + ๐ โ 4๐1 dan ๐2 = ๐. ๐ โ 4๐2
Jadi ๐ + ๐ = ๐1 ๐๐๐ 4 dan ๐. ๐ = ๐2 ๐๐๐ 4
๐ ๐ + ๐ = ๐ ๐1 = 3๐1
= 3(๐ + ๐ โ 4๐1)
= 3๐ + 3๐ โ 12๐1 ๐๐๐ 6
= 3๐ + 3๐ ๐๐๐ 6
= ๐ ๐ + ๐ ๐
๐ ๐. ๐ = ๐ ๐2 = 3๐2
= 3(๐๐ โ 4๐2)
= 3๐๐ โ 12๐2 ๐๐๐ 6
= 3๐๐ ๐๐๐ 6
= 9๐๐ ๐๐๐ 6
= 3๐. 3๐ ๐๐๐ 6
= ๐ ๐ ๐ ๐
Jadi ๐ sebuah homomorfisma dari โค4 ke โค6.
38
CONTOH IV.5
Pemetaan ๐: โค โ โค dengan ๐ ๐ = 2๐, โ๐ โ โค
Akan ditunjukkan ๐ sebuah homomorfisma dari โค ke โค.
Ambil sembarang ๐, ๐ โ โค, maka
๐ ๐ + ๐ = 2(๐ + ๐)
= 2๐ + 2๐
๐ ๐ + ๐ ๐ = 2๐ + 2๐
Jadi ๐ ๐ + ๐ = ๐ ๐ + ๐ ๐
๐ ๐. ๐ = 2๐๐
๐ ๐ . ๐ ๐ = 2๐. 2๐ = 4๐๐
Jadi ๐ ๐. ๐ โ ๐ ๐ . ๐ ๐
Jadi ๐ merupakan sebuah homomorfisma dari โค ke โค.
CONTOH IV.6
Tentukan semua homomorfisma ring dari โค ke โค6
Jelas โค dibangun oleh 1.
Misalkan ๐: โค โ โค6 homomorfisma, maka โ๐ โ โค, ๐ ๐ = ๐. ๐, dimana ๐ = ๐(1).
Jelas ๐ ๐ + ๐ = ๐ + ๐ ๐ = ๐๐ + ๐๐ = ๐(๐) + ๐(๐) โ๐, ๐ โ โค
Dan ๐ ๐๐ = ๐ ๐ . ๐(๐) โ๐, ๐ โ โค
๐ ๐๐ โ ๐ ๐ . ๐ ๐ = 0
๐๐๐ โ ๐๐. ๐๐ = 0
๐๐ ๐ โ ๐2 = 0
Jika ๐๐ โ 0, maka ๐ โ ๐2 ๐๐๐ 6 = 0๐๐๐ 6
0 โ 02 = 0
1 โ 12 = 0
2 โ 22 = โ2 ๐๐๐ 6 = 4
3 โ 32 = โ6 ๐๐๐ 6 = 0
4 โ 42 = โ12 ๐๐๐ 6 = 0
5 โ 52 = โ20 ๐๐๐ 6 = 4
Jadi nilai m yang mungkin adalah 0, 1, 3, dan 4.
Jadi semua homomorfisma yang mungkin adalah:
๐ ๐ = 0, โ๐ โ โค
๐ ๐ = ๐, โ๐ โ โค
๐ ๐ = 3๐, โ๐ โ โค
๐ ๐ = 4๐, โ๐ โ โค
39
TEOREMA IV.1 Sifat-Sifat Homorfisma
Misal ๐ sebuah ring homomorfisma dari ring R ke ring S.
1. ๐ 0๐ = 0๐ dengan ๐ adalah identitas pada R, dan ๐โฒ adalah identitas pada S.
2. ๐ 1๐ = 1๐ dimana 1 adalah elemen satuan R, 1โ adalah elemen satuan S, dan ๐
adalah fungsi onto
3. ๐ โ๐ = โ๐ ๐ , โ ๐ โ ๐
4. Jika R komutatif, maka ๐ ๐ juga komutatif.
5. Jika A subring R, ๐ ๐ด = ๐ ๐ ๐ โ ๐ด} adalah subring dari S
6. Jika R mempunyai elemen satuan 1, ๐ โ 0, dan ๐ adalah fungsi onto, maka ๐ 1
adalah elemen satuan dari S.
7. Untuk setiap ๐ โ ๐ dan n bilangan bulat positif, berlaku ๐ ๐๐ = ๐. ๐(๐) dan
๐ ๐๐ = ๐ ๐ ๐
8. Jika A adalah ideal dan ๐ adalah fungsi onto terhadap S, maka ๐ ๐ด adalah ideal.
B. KERNEL
DEFINISI IV.2. Kernel
Misal ๐: ๐ โ ๐ adalah suatu homomorfisma, inti atau kernel dari ๐ didefinisikan
๐พ๐๐ ๐ = ๐ โ ๐ ๐ ๐ = 0๐ }
Dimana 0๐ adalah identitas penjumlahan pada S.
Kernel dari sebuah homomorfisma tidak mungkin sebuah himpunan kosong.
Dan jika ๐ adalah fungsi injektif, maka ๐พ๐๐ ๐ = {0๐ }
TEOREMA IV.2
Jika ๐: ๐ โ ๐ adalah suatu homomorfisma, maka ๐พ๐๐ ๐ adalah ideal dari R.
40
CONTOH IV.7
Diketahui homomorfisma ๐: โค โ โค5 dengan ๐ ๐ = ๐๐๐๐ 5, โ๐ โ โค.
๐พ๐๐ ๐ = ๐ โ โค ๐ ๐ = 0๐๐๐ 5}
= ๐ โ โค ๐๐๐๐ 5 = 0๐๐๐ 5}
๐๐๐๐ 5 = 0๐๐๐ 5 โ ๐ = 5๐ โ ๐ = 5โค
Jadi ๐พ๐๐ ๐ = 5โค
CONTOH IV.8
Dari contoh IV.2,
Diketahui ring ๐ผ = ๐ + ๐๐ ๐, ๐ โ โ} dan ring
๐ = ๐ ๐
โ๐ ๐ | ๐, ๐ โ โ
Homomorfisma ๐: ๐ผ โ ๐ dengan ๐ ๐ + ๐๐ = ๐ ๐
โ๐ ๐ , โ ๐, ๐ โ โ
Ambil ๐ฅ = ๐ + ๐๐ โ ๐ผ
๐พ๐๐ ๐ = ๐ฅ โ ๐ผ ๐ ๐ฅ = 0}
= ๐ + ๐๐ โ ๐ผ ๐ ๐ + ๐๐ = 0}
Jelas ๐ ๐
โ๐ ๐ =
0 00 0
โ ๐ = 0 ๐๐๐ ๐ = 0
Jadi ๐พ๐๐ ๐ = 0 + 0๐ = {0}
CONTOH IV.9
Dari contoh IV.4,
Homomorfisma ๐: โค4 โ โค6 didefinisikan oleh ๐ ๐ฅ = 3๐ฅ ๐๐๐ 6, โ ๐ฅ โ โค4
Ambil ๐ฅ โ โค4
๐พ๐๐ ๐ = ๐ฅ โ โค4 ๐ ๐ฅ = 0}
= ๐ฅ โ โค4 (3๐ฅ)๐๐๐ 6 = 0}
Nilai ๐ฅ โ โค yang memenuhi (3๐ฅ)๐๐๐ 6 = 0 adalah 2โค
Pada โค4, nilai 2โค senilai dengan {0, 2}
Jadi ๐พ๐๐ ๐ = {0,2}
41
C. ISOMORFISMA
DEFINISI IV.3
Misal R dan S ring.
Fungsi ๐: ๐ โ ๐ disebut isomorfisma jika ๐ adalah suatu fungsi bijektif.
Jika ๐: ๐ โ ๐ suatu isomorfisma, maka R dikatakan isomorfik dengan S.
Untuk membuktikan suatu homomorfisma ๐ adalah suatu isomorfisma, maka harus
dibuktikan bahwa ๐ merupakan fungsi injektif dan fungsi surjektif.
๐ โถ ๐ ๐ disebut injektif jika โ ๐, ๐ ๐ , (๐ โ ๐) ๐(๐) โ ๐(๐)
๐ โถ ๐ ๐ disebut surjektif jika โ ๐ฆ ๐, โ ๐ฅ ๐ sehingga ๐ ๐ฅ = ๐ฆ
DEFINISI IV.4
Misal R dan S ring, dan ๐: ๐ โ ๐ suatu homomorfisma.
1. ๐ disebut monomorfisma jika ๐ adalah fungsi injektif
2. ๐ disebut epimorfisma jika ๐ adalah fungsi surjektif
3. ๐ disebut endomorfisma jika ๐ = ๐
4. ๐ disebut automorfisma jika ๐ = ๐ dan ๐ adalah fungsi bijektif
CONTOH IV.10
๐ผ = ๐ + ๐๐ ๐, ๐ โ โ} adalah ring dan ๐ = ๐ ๐
โ๐ ๐ | ๐, ๐ โ โ adalah ring.
Pemetaan ๐: ๐ผ โ ๐ didefinisikan oleh ๐ ๐ + ๐๐ = ๐ ๐
โ๐ ๐ , โ ๐, ๐ โ โ
Akan ditunjukkan ๐ isomorfisma.
Ambil ๐ + ๐๐ , ๐ + ๐๐ โ ๐ผ.
Misal ๐ ๐ + ๐๐ = ๐ ๐ + ๐๐
โ ๐ ๐
โ๐ ๐ =
๐ ๐โ๐ ๐
โ ๐ = ๐ ๐๐๐ ๐ = ๐
Jadi ๐ + ๐๐ = ๐ + ๐๐
Jadi ๐ injektif.
42
Ambil sembarang ๐ ๐
โ๐ ๐ โ ๐.
Akan dibuktikan โ ๐ฅ ๐ผ sehingga ๐ ๐ฅ = ๐ ๐
โ๐ ๐
Pilih ๐ฅ = ๐ + ๐๐, maka jelas ๐ ๐ + ๐๐ = ๐ ๐
โ๐ ๐
Jadi untuk setiap ๐ ๐
โ๐ ๐ โ ๐, โ (๐ + ๐๐) ๐ผ sehingga ๐ ๐ + ๐๐ =
๐ ๐โ๐ ๐
.
Jadi ๐ surjektif.
Jadi ๐ sebuah isomorfisma.
LATIHAN SOAL
1. Tunjukkan apakah fungsi ๐ merupakan homomorfisma atau bukan.
a. ๐: โค โ โค dengan ๐ ๐ = 4๐, โ๐ โ โค
b. ๐: โค โ โค6 dengan ๐ ๐ = 4๐, โ๐ โ โค
c. ๐: โค โ โ dengan ๐ ๐ = 2๐ , โ๐ โ โ
d. ๐: โค6 โ โค5 dengan ๐ ๐ = 3๐, โ๐ โ โค6
e. ๐: โค6 โ โค3 dengan ๐ ๐ = ๐ + 1, โ๐ โ โค6
f. ๐: โ โ โ dengan ๐ ๐ = ๐3, โ๐ โ โ
g. ๐: โ โ โ dengan ๐ ๐ = ๐๐ , โ๐ โ โ
h. ๐: โ โ โ dengan ๐ ๐ + ๐๐ = ๐ โ ๐๐, โ๐ โ โ
i. ๐: โ 2 โ โ 2 dengan ๐ ๐ + ๐ 2 = ๐ โ ๐ 2, โ๐, ๐ โ โ
j. ๐: โค[๐] โ โค2 dengan ๐ ๐ + ๐๐ = (๐ + ๐)๐๐๐ 2, โ๐, ๐ โ โค
k. ๐: โ 2 โ ๐ dengan ๐ = ๐ 2๐๐ ๐
๐, ๐ โ โ dan ๐ ๐ + ๐ 2 = ๐ 2๐๐ ๐
, โ๐, ๐ โ โ
2. Manakah diantara fungsi di atas yang merupakan isomorfisma?
3. Tentukan kernel-kernel dari fungsi di atas.
4. ๐ = ๐ ๐
โ๐ ๐ | ๐, ๐ โ โ adalah ring.
Buktikan pemetaan ๐: ๐ โ โ yang didefinisikan oleh
๐ ๐ ๐
โ๐ ๐ = ๐ + ๐๐ , โ ๐, ๐ โ โค adalah suatu homomorfisma.
5. Misal ๐: โค12 โ โค20 dengan ๐ ๐ = 5๐, โ๐ โ โค12 .
a. Tentukan ๐พ๐๐(๐)
b. Buktikan bahwa ๐ adalah homomorfisma.
43
DAFTAR PUSTAKA
Gallian, J.A. 2013. Contemporary Abstract Algebra, Eighth Edition. USA: Brooks/Cole.
Isnarto. 2008. Buku Ajar Pengantar Struktur Aljabar. FMIPA UNNES.
Setiawan, Adi. 2014. Dasar-Dasar Aljabar Modern: Teori Grup dan Teori Ring. Salatiga: Tisara
Grafika.
Subiono. 2016. Aljabar sebagai Suatu Pondasi Matematika. Jurusan Matematika ITS.
Suryanti, Sri. 2018. Teori Ring. UMG Press.
Wahyuni, S., Wijayanti, I.E., Palupi, D.J.E. 2013. Pengantar Struktur Aljabar 2. FMIPA UGM.