A propos des cycles analytiques de dimension infinie

Inventiones math. 8, 2 6 7 - 3 1 2 (1969)

Apropos des cycles analytiques de dimension infinie

G A B R I E L R U G E T (Montrouge)

Table des mati~res Premiere partie: Cycles analytiques de dimension infinie . . . . . . . . . . . . 268

1. La codimension topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 2. Cycles analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 3. Multiplicit6s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 4. Un th6or6me d' image directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5. Une formule de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Deuxi~me partie: L'espace des op6rateurs ~ indice . . . . . . . . . . . . . . . 294

Troisi6me partie: Un autre th6or6me d' image directe . . . . . . . . . . . . . . 306

Introduction

L'origine de ce travail est la question suivante, que nous avait sugg6r6e l'~tude des families d'op6rateurs elliptiques sur une vari6t6 compacte: depuis un beau th6or6me de Kuiper, on salt que l'ensemble t~ des op6rateurs/~ indice d'un espace de Hilbert complexe de dimension infinie, muni de la topologie de la norme, est un classifiant pour le groupe unitaire infini; on connait done bien son anneau de cohomologie enti&e, mais peut-on donner une interpr6tation g6om6trique simple de chaque classe de cohomologie? I1 nous semblait que toute classe de degr6 2n pourrait ~tre << repr6sent6e >> par un sous-ensemble analytique complexe de t~, de codimension n. Il fallait d'abord expliquer ce qu'est la classe de cohomologie enti6re associ6e ~ un sous-ensemble analytique complexe d'une vari6t6 banachique. Les sous-ensembles que nous avions en vue 6talent un peu sp6ciaux (<<jolis >)), mais, puisque J. P. Ramis avail 6tudi6 les sous-ensembles analytiques g6n6raux de codimension finie, nous avons voulu 6crire nos pr61iminaires dans le m~me cadre, ce qui nous a conduit ~ introduire la notion de codimension topologique (w 1.1).

Nous d6finissons ensuite ce qu'est la classe associ6e ~t un sous- ensemble analytique complexe (plus g6n6ralement ~ une ~sous-vari6t6 entrouverte))), et nous disons un mot du cas r6el:/t un joli sous-ensemble analytique r6el, on peut associer une classe modulo 2. Puis, revenant d6finitivement au cas complexe, nous envisageons, avec plus de d6tails que n'en exige notre probl6me initial, les intersections et images r6ci- proques de sous-ensembles analytiques, d6finissant des multiplicit6s et t9 Inventiones math., Vol. 8

268 G. Ruget:

6tudiant leurs propri6t6s. On peut passer de 1.3 au chapitre II, o6 nous r6solvons le probl6me initial, explicitons toutes les classes de cohomologie enti6re de (2, indiquons le comportement du cup-produit dans cette interpr6tation, signalons les classes de Chern et les composantes homog6nes du caract6re de Chern.

Mais l'6tude, en g6n6ral, des intersections et images r6ciproques d'ensemble analytiques nous avait fait regretter l'absence de th6or6me d'image directe (en dimension infinie), et nous avions sugg6r6 /t J.P. Ramis l'6nonc6 suivant:

Soient V, W deux vari~tds analytiques banachiques, f une application analytique de V dans W, qui soit <<@idermique>> (i. e., en tout point de V, la dOrivOe de f est un opdrateur d indice). Soit X un sous-ensemble analytique de V, localement dOfinissable par un nombre fini d'dquations, tel que la restriction de f fi X soit propre. Alors, f ( X ) est un sous-ensemble analytique de W,, localement d~finissable par un nombre fini d'~quations.

Nous avons (w 1.4) d6montr6 ce th6or6me en collaboration avec J. P. Ramis, utilisant la codimension topologique, mais, aussi, bien des r6sultats expos6s dans le livre de ce dernier. Puis, nous avons d6fini la multiplicit6 d'image directe d'un sous-ensemble analytique, et d6montr6 une formule <<de projection>>.

Parall6tement, une autre question nous 6tait naturellement apparue (de m6me que l'on peut 6tudier l'intersection de deux sous-ensembles analytiques d'une vari6t6 banachique, l'un de codimension finie, rautre de dimension finie): que peut-on dire de l'image d'une application analytique propre d'un espace analytique de dimension finie dans une vari6t6 de dimension infinie? Au chapitre III, nous d6montrons essentiellement le th6or6me suivant:

Soient V un espace analytique (complexe) de dimension finie (resp. une surface de Riemann), W une variOtO analytique hilbertienne (resp. banachique), f une application analytique propre de V dans W. Alors, f ( V ) est un sous-ensemble analytique de W de dimension finie.

Les principaux r6sultats de ce travail ont 6t6 r6sum6s dans des Notes aux Compte-Rendus de l'Acad6mie des Sciences de Paris, parues les 17 avril, 17 juin, 4 novembre et 23 d6cembre 1968.

Premiere partie: Cycles analytiques de dimension infinie 1. La codimension topologique

Soit E un espace topologique. Nous appellerons simplexe de dimension n de E toute application continue a du simplexe g6om6trique type A, dans E; le bord de a, not6 dtr, sera la restriction de a au bord

Apropos des cycles analytiques de dimension infinie 269

de A n. Si f et g sont deux applications continues d'un m~me compact dans un m~me espace topologique, nous entendrons par ~<d6formation de f e n g~> une homotopie joignant f fig.

Soit X un ferm6 de E. Nous dirons que la paire (E, X) poss6de la propri~t~ C~ si tout simplexe de E de dimension strictement inf6rieure

n, dont le bord ne rencontre pas X, peut 6tre d6form6, ~t bord fixe, en un simplexe de E - X . I1 est 6quivalent d'imposer que l'application no(E-X) - -+no(E) soit surjective et que les ensembles rcp (E ,E-X) soient nuls pour tout p strictement inf6rieur/l n (et pour tout point de base dans E - X ) .

D6finition 1.1. Nous dirons que le ferm~ X est de codimension topologique dans E au moins ~gale ~i n si E possdde une base d' ouverts U, telle que toutes les paires (U,, X n U,) v~rifient Cn. Nous appellerons codimension topologique de X dans E, et nous noterons cotop(X, E) ou simplement cotop X, le plus grand entier n tel que X soit de codimension topologique au moins ~gale d n dans E.

Lorsqu'on se restreint fi un ouvert de l'espace ambiant, la codimension de la trace de X ne peut qu'augmenter, ce qui permet de d6finir la codimension de X en un de ses points x (not6e cotop~ X) comme limite suivant le filtre des voisinages V de x de cotop(Xc~ V, V). La fonction x ~ cotop~ X est semi-continue inf6rieurement (ce qui n'emp6che qu'il peut y avoir, dans tout voisinage d'un point off X est de codimension infinie, des points off X est de codimension finie).

Exemples. Si E est localement connexe par arcs, les ferm6s de E de codimension au moins 6gale h 1 sont les ferm6s sans point int6rieur. Si E est localement simplement connexe, un ferm6 X de E est de codimension > 2 lorsque, pour tout ouvert U d'une base d'ouverts simplement connexes de E, U - X est connexe. Le bord de toute vari6t6/l bord,

coins . . . . est de codimension infinie dans la vari6t6.

Proposition 1.2. Soient E un espace topologique et X un ferm~ de codimension au moins dgale d n de E. Etant dorm,s un simplexe a de E de dimension strictement inf~rieure dtn et une d~formation h de Oa telle que h(1) ne rencontre pas X , il existe une d~formation prolongeant h de a en un simplexe de E - X .

Proc6dons par r6currence sur la dimension de a. Pour faire le pi~me pas, choisissons un hom6omorphisme naturel de Ap sur Ap U t?Ap • I

t3Ap• 0

(cf. fig. 1). Si on le compose avec l'application form6e de la juxtaposition de a et h, on obtient ce que nous appellerons le simplexe , a couronn6 par h , et noterons O "h. Pour r6soudre notre probl~me, il suffit de savoir d6former O "h, ~t bord fixe, en un simplexe de E - X . Prenons un recouvre- 19"

270 G. Ruget:

/& Fig. 1

ment II de E par des ouverts U, tels que tous les (U, X • U3 v6rifient Cn, et une subdivision barycentrique de Ap telle que tous les fragments de ~r h soient petits d 'ordre 11. Pour construire une solution, en grimpant sur le squelette de la subdivision et en utilisant l'hypoth~se de r~currence, on est ramen6 au probl~me de d6part, mais dans un ouvert U tel que (U, X c~ U) v6rifie Cn. I1 suffit alors de reprendre la remarque initiale.

Corollaire 1.3. Soient E un espace topologique, et X un ferm~ de E de codimension infinie. Alors, Pinclusion de E - X dans E est une ~quivalence d'homotopie faible. Si E est une vari~t~ banachique paracompacte, c'est une ~quivalence d'homotopie.

Corollaire 1.4. Soient E un espace localement connexe par arcs, et X un ferm~ de E de codimension au moins dgale d n. Alors, pour tout p < n - 1, les groupes Hp(E, E - X ; Z) et HP(E, E - X ; Z) sont nuls.

Si E est homologiquement localement contractile (H LC), H p (E, E - X; Z) est isomorphe fi H~(E; Z). On peut alors d6montrer le r6sultat global de nullit6/l partir de la nullit6 locale impliqu6e par la propri6t6 Cn sans utiliser 1.2., fi l'aide de la suite spectrale qui lie HP(E; Z) aux ~P(E; Z) faisceautiques.

Proposition 1.5. Soient E un espace topologique, et Y c X deux ferm~s de E. Alors, la codimension de Y dans E est au moins ~gale d celle de X.

Pla~ons-nous dans un ouvert U de E, of 1 la codimension de X soit n. Soit a un simplexe de U, de dimension < n, dont le bord ne rencontre pas Y; Oa 6rant une application d'un poly6dre de dimension <n dans U - Y, on peut, en grimpant sur le squelette de ce poly6dre et en utilisant 1.2, trouver une homotopie h qui ne rencontre pas Y et qui d6forme ~a en une application ne rencontrant pas X. On d6forme ensuite a h,/~ bord fixe, en un simplexe z ne rencontrant pas X. Le simplexe z -hes t un d6- form6 de a, ~ bord fixe, ne rencontrant pas Y.

Proposition 1.6. Soient E un espace topologique, n u n entier, et Xp (p~N) une suite de sous-ensembles de E tels que Xp+I soit un ferm~ de E - Xp de codimension au moins ~gale d n. Alors, pour tout entier q, ~ Xp

l ~p~q est un ferm~ de E de codimension au moins ~gale & n. Si la topologie de E peut localement ~tre d~finie par une m~trique compldte, X = ~ Xp n'est

pen peut-dtre pas ferm~, mais, pour tout ouvert U de E, (U, X n U) v~rifie C~.


Grgtce ~t 1.2, la premiere assertion est 6vidente. La seconde est analogue au th6or6me de Baire: pour la d6montrer, on d6forme un simplexe de proche en proche de fagon/t 6viter tous les Xp, et de moins en moins pour que le processus converge.

Lemme 1.7. Soient V un EVTLC, E un ouvert de V, et X un ferm~ de E. Pour que la paire (E, X) vkrifie C, , il suffit que tout simplexe de E de dimension < n, dessin~ dans un sous-espace affine de dimension finie de V, dont le bord ne rencontre pas X, puisse 6tre d~form~, ~ bord fixe, en un simplexe de E - X .

Soit o- un simplexe de E, de dimension p < n,/l bord dans E - X . Soit ~[ un recouvrement de E par des ouverts convexes, tel que les ouverts de II qui rencontrent 90- ne rencontrent pas X. Choisissons une subdivision barycentrique de Ap qui d6coupe a en morceaux petits d'ordre 11. A cette subdivision, est associ6 un simplexe 2 de E lin6aire par morceaux, qui est un d6form6 de a (dans E, par lin6arit6). Par hypoth+se, on peut d6former 2,/t bord fixe, en un simplexe ~ ne rencontrant pas X. Si h est l 'homotopie d6formant 9a en 92, ~-h est un d6form6 de a , / t bord fixe, ne rencontrant pas X.

Indiquons une premi6re application de ce lemme:

Proposition 1.8. Soit E une vari~t~ model~e sur un EVTLC de dimension infinie, et X un ferm~ localement compact de E. Alors, la codimension de X dans E est infinie.

I1 suffit de voir que, si E est un ouvert d'un EVTLC V de dimension infinie, et si X est un compact de V, la paire (E, X c~ E) v6rifie Cn pour tout n. Soit a un simplexe de E dont le bord ne rencontre pas X, et dont l'image soit parall61e /t un sous-espace W de V de dimension finie. Appelons n la projection de V sur V/W; re(X) est compact, donc sans point int6rieur. D'autre part, il existe un voisinage 6quilibr6 de 0 dans V, soit U, tel que 1. les translat6s de a par un vecteur de U restent dans E, 2. les translat6s de 9a par un vecteur de U ne rencontrent pas X. Soit t un vecteur appartenant ~t U, mais pas /l rc-l(rc(X)-n(tr)); on peut d6former a en le simplexe a + t couronn6 par rhomotopie lin6aire qui d6forme 9 a + t e n 9a.

Proposition 1.9. Soit E une vari~t~ topologique s~par~e de dimension n. Les fermds de E de codimension topologique 1 (resp. 2) sont exactement ceux de Z-dimension cohomologique n - 1 (resp. n - 2). En g~n~ral, on a

cotop (X, E) + dimz X < n.

Si dimz X < n - 2, l'~galit~ a lieu lorsqu'il existe une base d'ouverts U~ de E telle que tousles U , - X soient simplement connexes.

272 G. Ruget:

Montrons que cotop(X, E)__> p entraine dim z X_-< n - p (l'assertion r6ciproque se d6montre de fa~on semblable, /~ l'aide du th6or6me de Hurewicz). D'apr6s [2] (corollaire II.15.13), il suffit de montrer que, pour tout ouvert V de X et tout point x de V, il existe un voisinage W c V de x tel que H~ (W; Z) soit nul pour tout q > n - p . Or, on peut prendre W hom6omorphe/ l un ferm6 Y de R" de codimension topologique __>p. D'apr6s un th6or6me de dualit6 [19] (th6or6me 6.9.10), Hq(Y; Z) est isomorphe ~ Hn _q (R", R" - Y; Z), tequel est nul pour n - q < p d'apr6s 1.4.

Soit E un espace topologique et X un ferm6 de E. Supposons qu'il existe un entier n tel que, pour tout x ~ X, il existe un voisinage U de x dans E tel que la paire (U, Xc~U) soit hom6omorphe h la paire (U c~ X x R", U n X x 0). Nous dirons alors que X est un ferm~ r~gulier de E de codimension n, et il est clair que cette codimension est 6gale/~ cotop(X, E). Cette remarque, jointe/~ 1.6, montre que, si E est une vari6t6 analytique complexe de dimension p + n et si X est un sous-ensemble analytique de E de dimension p, cotop(X, E) est 6gal ~t 2n (on filtre X par ses ensembles singuliers successifs SX, S(SX), ...). Dans le cas r6el, cotop(X, E) serait 6gal ~ n (pour le voir, on peut utiliser 1.5: SX n'est pas forc6ment un sous-ensemble analytique de E de dimension p - 1 , mais il est localement enfermable darts un tel sous-ensemble).

D6finition 1.10. Soit V une vari~td analytique banachique (rdelle ou complexe) et X un ferm~ de V. Nous dirons que X est un joli sous-ensemble analytique de V si, localement, V poss~de des cartes q~, d'images F, �9 G,, off la dimension de G, soit finie, et telles que q~,(X) soit le produit de F, et d'un sous-ensemble analytique de G,.

On rencontrera dans la deuxi6me pattie de nombreux jolis sous- ensembles analytiques, mais il faut signaler que la famille de ces sous- ensembles n'est pas elle-m~me tr~s jolie: elle n'est pas stable par image inverse, ni par :ntersection (dans t~E(C)E)C, l'intersection des sous- vari6t6s d'6quations y = 0 et y = ~ x 2 est te c6ne de E2(C) d'6quation ~ x 2 = 0 ; ce c6ne, ayant pour seul point singulier l'origine, ne peut 6tre joli).

Si X est un joli sous-ensemble analytique d'une vari6t6 V, on d6finit de fa~on naturelle les points r6guliers de X, l'ensemble singulier SX de X comme l'ensemble des points de X qui ne sont pas r6guliers de codimension minimum, la codimension analytique de X, qui a l e s rapports que l'on pense avec sa codimension topologique. En particulier, dans le cas complexe, SX est un joli sous-ensemble analytique de V dont la codimension topologique exc~de d'au moins 2 celle de X; dans le cas r6el, SX est un ferm6 de V dont la codimension topologique est strictement sup6rieure ~ celle de X.


Soit maintenant V une vari6t6 analytique banachique complexe. Nous allons envisager les sous-ensembles analytiques complexes quelconques de V. Rappelons d'abord quelques r6sultats de [17] sur ces sous-ensembtes.

Soit X un sous-ensemble analytique de V, et x un point de X. La codimension analytique de X en x est, pour une quelconque carte de V en x, le maximum de la dimension des plans complexes passant par x et tels que x soit isol6 dans l'intersection du plan et de X. Cette codimension est aussi 6gale ~ la limite inf6rieure en x des codimensions aux points r6guliers de X. Les sous-ensembles analytiques irr6ductibles de V de coclimension finie ont une codimension constante; ils sont localement d6finissables par un nombre fini d'6quations scalaires. Pour tout entier n, on peut trouver un voisinage U de x dans Vet une d6- composition X n U = U A, wB, off les A, sont en nombre fini et sont irr6ductibles dans U de codirnension < n, et off B est analytique de codimension > n. Si X est d6finissable dans U par p 6quations scalaires, et si la d6composition de X n U n'est pas redondante, il n'y figure que des sous-ensembles de codimension <p. On voit ainsi que les sous- ensembles analytiques de V de codimension localement born6e sont exactement ceux que l'on peut localement d6finir ~ l'aide d'un nombre fini d'6quations scalaires (ensembles de d~finition finie). L'ensembte singulier d'un tel sous-ensemble est analytique.

Proposition 1.11. Soit V une vari~t~ analytique banachique complexe et X un sous-ensemble analytique de V de codimension analytique n. Alors, cotop(X, V) vaut 2n et cotop(SX, V) est au moins ~gal d 2n+2 .

La premi6re assertion r6sulte de la premiere caract6risation de la codimension analytique, de l'assertion analogue lorsque Vest de dimension finie, et de 1.7. Pour d6montrer la seconde assertion (SX n'est pas n6cessairement analytique), d6composons localement X en un nombre fini de nappes irr6ductibles A, de codimension n et en un ensemble analytique B de codimension > n. L'ensemble singulier SX est contenu dans S (U A,)w B, ce qui permet de conclure puisque U A, est de d6fini- tion finie.

2. Cycles analytiques

Coorientations

Soient E un espace topologique HLC m6trisable, et A l'un des anneaux Z ou Z2. Si X est un ferm6 de E, les faisceaux de cohomologie locale de E ~ support dans X, not6s .~x(A), sont li6s aux groupes de cohomologie de E ~ support dans X par la suite spectrale [7] (c'est la

274 G. Ruget:

suite spectrale relative aux foncteurs d6riv6s d'un compos6 de deux foncteurs)

H~(E; ~ ( A ) ) =E{ ~ =- H~.+q(E; A)~ HP+q(E, E - X ; A). (1)

Si X est un ferm6 r6gulier de codimension n de E, le faisceau ~3](A), qui a pour support X, est localement isomorphe au faisceau constant A le long de X; les autres .~](A) sont nuls. Nous dirons que X est coorien- table dans E si .~(A)I x est isomorphe au faisceau constant A; choisir une coorientation de X dans E sera alors choisir un tel isomorphisme (c'est toujours possible, et de fagon unique, si A est Z2 !). Si X est un ferm6 coorient6 de codimension n de E, la suite spectrale (I) ddg6n6re en une collection d'isomorphismes de Hi-"(X; A) sur Hi(E, E - X ; A); si c~ d6signe l'injection coorient6e de X dans E, nous noterons c~ ces isomorphismes.

D6finition 2.1. Nous appellerons classe fondamentale de X dans E, et nous noterons [X]~ l'~l~ment ~: 1 de H~(E, E - X ; A).

En fait, d6s que nous connalssons [X]e, c'est-~-dire d6s que nous avons choisi une coorientation de X dans E, nous pouvons donner une autre construction du morphisme ~, et m~me le prolonger: 6tant donn6 un quelconque ferm6 Yde X, nous allons construire un morphisme

0~!: Hi -n(x , X - Y; A)--~ Hi(E, E - Y; A)

qui, au signe prds peut-~tre, commutera avec les restrictions et le pr6- c~dent ~:. C'est ce nouvel ~: que nous utiliserons.

Soit @ la famiUe, ordonn6e par l'inclusion, des paires d'ouverts (U, V) de E, off U est un voisinage de X et ofl Vest un voisinage de X - Y. Le morphisme naturel x* de Lira H i (U, V; A) dans H i (X, X - Y; A)

est un isomorphisme: X est terne dans E (<<taut>> [19] 6.1.6) comme ferm6 d'un paracompact, et X - Y est terne dans E - Y , donc dans E, pour la m~me raison; la paire (X, X - Y ) est donc terne dans E. Si b~Hi-n(X, X - Y; A), choisissons b'~Hi-n(U, V; A) telle que ~* b'=b. On peut poser ~ b= [X]vwb'. En effet, deux classes b' et b" repr6sen- tant b coincident n6cessairement dans un voisinage de (X, X - Y).

Si Y est un ferm6 de X, a une classe de H* (X, X - Y; A), Z un fermd de E, et b une classe de H*(E, E - Z ; A), on a

a!(au ~* b)=~: a u be l l* (E, E - Y n Z ; A). (2)

En effet, si a' est un prolongement de a A un voisinage (U, U - Y') de (X, X - Y ) (avec Y ' n X = Y), les deux membres, consid6rds comme 616ments de H* (U, U - Y n Z; A) sont 6gaux A [X]v u a' w b.


Si Ye t Z sont deux ferm6s de X et si a et b sont des classes de H* (X, X - Y; A) et H* (X, X - Z ; A) respectivement, on a

c t ! (aub)u[X]E=(-1)"degb ctzauo::b~H*(E,E - Y n Z ; A ) . (3)

Si Y est un ferm6 r6gulier de codimension p de X, et si fl d6signe l'injection de Y dans X, la coorientabilit6 simultan6e de 0t et fl entraine celle de ~ fl; la coorientation de a fl que nous associerons ~ des coorientations de ct et fl sera celle qui assure l'6galit6 de (~t fl)~ et de ~, ft.,.

Supposons maintenant que E soit une vari6t6 banachique r6elle de classe C 1, paracompacte. Si A et B sont deux sous-vari6t6s (ferm6es) de classe C ~ de E, A-coorient6es, et transverses dans E, on sait que l'on a

[Ale w [B]~ = [ A n B]E~ H* (E, E - A r~ B; A),

pour une coorientation convenable de A n B. Si X est une sous-vari6t6 coorient6e de E, et si A et B sont deux sous-vari6t6s coorient6es de X, transverses dans X, si nous coorientons A et B dans E, A n B dans X et dans E conform6ment aux conventions ci-dessus, la formule (3) nous donne

[ A n B ] E u [ X ] ~

=(-- 1) e~162176 [A]ru[B]e~H*(E , E - A n B ; A ) . (4)

Lorsque X admet un voisinage tubulaire dans E, on peut d6montrer (4) en poussant B normalement ~t X de faqon g6n6rique, c'est-~t-dire en ajoutant ~t la figure l'image B' d'une section diff6rentiable g6n6rique du fibr6 normal ~t X dans E; les deux membres de la formule sont alors repr6sent6s par rintersection de A et B', qui sont deux sous-vari6t6s transverses de E.

Sous-vari6t6s entrouvertes

D6finition 2.2. Soient E une variOtk banachique r~elle de classe C 1, et X un ferm~ de E. Nous dirons que X est une sous-vari~td entrouverte A-coorient~e de codimension n de E s'il existe un fermd L de X tel que cotop(L, E) >-- n + 2 et tel que X - L soit une sous-variOt~ A-coorientde de codimension n de E - L . Nous dirons que L e s t une Idvre de X.

Si E est une vari6t6 analytique complexe, et si X est un sous-ensemble analytique de E de codimension complexe n, X est une sous- vari6t6 entrouverte (canoniquement) Z-coorient6e de codimension 2n de E (d'apr6s 1.11, SX est une 16vre de E).

Reprenons les notations de 2.2: la suite exacte de cohomologie du triple (E, E - L , E - X ) , jointe h 1.4, nous enseigne que l'applica-

276 G. Ruget:

tion naturelle de H q ( E , E - X ; A ) dans H q ( E - L , E - X ; A ) est un isomorphisme pour q<n. Ainsi, ces groupes sont nuls pour q<n, et H" (E, E - X; A) est muni d'un isomorphisme canonique sur H ~ (X - L; A). Nous appellerons classe fondamentale de X dans E, et nous noterons [X]~, l'image de 1 ~ H ~ ( X - L ; A) par cet isomorphisme; cette classe ne d6pend pas de la l~vre L car, d'apr~s 1.6, la r6union de deux l~vres de X est une l+vre de X. Lorsque nous consid6rerons la classe fondamentale de X comme appartenant ~ H"(E; A), nous la noterons encore [X]E.

Proposition 2.3. Soient E, F deux vari~t~s de classe C 1, f une application de classe C 1 de F dans E, et X une sous-vari~t~ entrouverte A-coorient~e de codimension n de E. Supposons que X possdde une l~vre L telle que cotop ( f - l (L), F) > n + 2 et teIIe que la restriction de f d F - f - 1 (L) soit transverse d X - L . Alors, f - l [ X ) est une sous-vari~t~ entrouverte de F de codimension n munie d'une A-coorientation canonique, et on a

f , [X]E = i f - 1 (X)]v.

C'est une cons6quence imm6diate des d6finitions qui pr6c6dent.

Jolis sous-ensembles analytiques r6els

Soient V une vari6t6 analytique banachique r6elle, et Y un joli sous- ensemble analytique de codimension n de V. En g6n6ral, Y n'est pas une sous-vari6t6 entrouverte de codimension n de V. Nous allons montrer qu'on peut toutefois lui attacher de fa~on naturelle une classe fondamentale [Y]v~H~(V, V - Y; Z2). Si Y est un espace analytique r6el de dimension finie, cela nous permettra de retrouver la classe fondamentale d'homoiogie de Y introduite par Borel et Haefliger [1] : il suffit en effet de construire cette classe localement, auquel cas on r6alise Y comme sous-ensemble analytique d'un R", et on prend l'image de [Y]R- par la dualit6 de Poincar6 (on obtient bien stir une classe d'homologie /t support non n6cessairement compact).

Si nous appelons SY l'ensemble singulier de Y, qui est de codimension topologique au moins 6gale/t n + 1, la suite ci-dessous est exacte

0___~Hn(V,V__y;z2) P ,Hn(V__SY, V__Y;Z2)

, H"+ 1 (V,, V - SY; Z2).

Nous allons montrer que 0 [ Y - S Y ] v - s r est nul. Nous d6finirons alors [YJv comme 6tant l'unique contre-image par p de [Y-SYjv-sY. Remarquons que les groupes Hn_l(V, V - Y; Z), H n - I ( V - SY, V - Y; Z) et H,(V, V - S Y ; Z) sont tous nuls. D'apr6s la formule des coefficients


universels, la suite ci-dessus est isomorphe ~t la suite

0-+ Hom(H.(V, V - Y; Z), Z2) o ) H o m ( H , ( V - SY, V - Y; Z), Zz)

e , Hom(H,+,(V, V - SY; Z), Z2).

Choisissons un point de base ~ l'extOrieur de Y, et rappelons-nous que Hn+I(V, V - S Y ; Z ) est un quotient de rt,+l(V, V - S Y ) . Prenons donc une boule B de dimension n + 1 de V, ~ bord dans V - SY, et montrons que l'entier modulo 2 que lui associe l 'homomorphisme ~ [ Y - SY] v_ sr est nOcessairement nul: pour calculer cet entier, nous considOrons le bord D de B comme une boule de dimension n de V - SY, ~ bord dans le point de base, donc dans V - Y, et nous appliquons ~ D l'homomorphisme [Y-SY,]v_sr , dont il nous faut maintenant donner une interprOtation gOomOtrique: si D est approchOe, da fa~on quelconque, par une boule b diffOrentiable par morceaux, telle que b ne rencontre la vari6t6 Y - SY qu'h l'intOrieur des morceaux, et ceci transversalement, ( [ Y - S Y ] , D) est le nombre modulo 2 de ces intersections. Sachant que bes t , dans V, le bord d'une boule/3, nous devons donc montrer, utilisant l'hypoth6se d'analyticit6 de Y, que les intersections de b e t Y sont en nombre pair. Par fragmentation, et en nous plagant localement dans des cartes de V, nous pouvons nous ramener au cas off/~ est dessinOe dans un espace affine de dimension n + l , et rencontre Y suivant un ensemble analytique r6el A de dimension 1. D'aprOs l'hypoth6se de transversalit6 sur Y~ D, les branches de A coupent simplement D. I1 suffit donc de montrer que le nombre de branches issues d'un point de A est pair. Or, ceci rOsulte de la description locale de A comme rev0tement ramifi6 1-15,] au-dessus de R point0 par l'origine (au-dessus de 0, il y a un seul point de A; au-dessus de R + et R- , des branches dont le hombre est celui des racines, toutes simples, d'un polyn6me de m6me degrO).

exclu.

/ [u exc[u

Fig. 2

3. Multiplicit~s

Nous bornerons ici notre 6tude aux sous-ensembles analytiques des vari6t6s analytiques banachiques complexes.

278 G. Ruget:

Contre-image d'un sous-ensemble analytique de codimension finie

Soient V, W deux vari6t6s, et f une application analytique de W dans V. Si X est un sous-ensemble analytique de V de codimension pure n, les composantes irr6ductibles de f - l ( X ) sont localement en nombre fini et ont toutes une codimension au plus 8gale it n: en effet, en consid6rant le graphe de f, on se ram~ne au cas ofifest un plongement; si P est une composante de f - t (X) de codimension p, et si y est un point de f -~ (X) appartenant it cette seule composante, on peut trouver un germe en y de sous-vari6t6 de W de dimension p ne rencontrant f - t ( X ) qu'en y; en regardant l'image par f de ce germe, on voit que p ne peut 8tre sup6rieur ~ n. Nous appellerons propres les composantes de f - ~ (X) de codimension n.

Les notations V, W, f, X, n 8tant celles de l'alin6a pr6c6dent, soient P une composante propre de f - t (X) (s'il y e n a) et Q la r6union des autres composantes de f - t (X). L'intersection de P e t Q est de codimension complexe au moins 6gale ~ n + 1, donc de codimension topologique au moins 6gale it 2n+2 . La suite de Mayer-Vietoris, jointe ~ 1.4, nous dit alors que le morphisme naturel 0 de

Hzn(w, W - P ; Z)• H2n(w, W - Q ; Z)

dans H2n(w, W - f - I ( X ) ; Z) est un isomorphisme (nous omettrons dans la suite de ce paragraphe de pr6ciser le groupe de coefficients, qui res- tera Z). Or, H 2 n(w, W--P) est canoniquement isomorphe h H ~ (P-SP), donc h Z: il est engendr6 par [P]w.

D6finition 3.1. Nous appellerons multiplicitd le long de P de la contre- image de X par f, et nous noterons #(X, f ; P), ta coordonn~e suivant [P]w de O - i f * [X]v.

Propri6t~ 3.2. Gardons les notations de l'alin~a precedent, et soient U un ouvert de W, M une composante irrdductibte de U c~f-~(X) contenue dans P, et N la r(union des autres composantes de U c~f-l(X). On a #(X, f v ; M)=l~(X,f; P).

Consid6rons le diagramme ci-dessous, que les fl6ches de gauche rendent par hypoth6se commutatif:

H2n(w, W-P)(~H2n(w, W - Q ) ow ,Hzn(w, W_T_t(X))

,1 1 U-M) H2R(U, , H2n(Cr, U - f -'(X)).

L'assertion r6sulte de ce que a est nulle, et que p [P]w est [M]v.

PropN6t6 3.3. Si F est une varidtd connexe, et ~ la projection de F x V sur V, (X, g; ~-I(X)) vaut 1.

A propos des cycles analytiques de dimension infinie 279

Propri6t6 3.4. Soient V une varietY, X un sous-ensemble analytique de V de codimension pure n, W un voisinage ouvert de rorigine de C n, et f une immersion de W dans V telle que f (W) ne rencontre X qu'en f ( 0 ) = x . En nous pla~ant dans une carte en x de V, nous pouvons supposer que W est un plan de V; au voisinage de x, X peut alors ~tre d~crit comme rev~- tement ramifi~ audessus de V/W. Le degr~ d de ce revdtement n'est autre que # (X , f ; x).

Choisissons un suppl6mentaire W' de W dans V, une boule B de W centr6e en x, et un ouvert U de W' tel que x appartienne/l U x B, mais que U x ~B ne rencontre pas X. Soient a la projection de x sur U, et b un point de U tel que b x B coupe X en des points r6guliers seulement, et transversalement. Prenons la trace de [X]v sur U x (W, W - B ) , puis sur a x (W, W - B ) et sur b x (W,, W - B ) . D'apr6s 2.3, cette derni6re vaut d fois le g6n6rateur canonique de H2"(bx (W, W-B)) , et la propri6t6 s'ensuit.

Propri6t6 3.5. Soient T g ~ W f ~ V une suite de vari~t~s et d'applications analytiques, X un sous-ensemble analytique de V de codimension pure n, Y sa contre-image dans W, et Z la contre-image de Y dans T. Supposons que Z ait une composante irrdductible M de codimension n. Soient Pi ( ieI) les composantes de Y telles que g-l(p~) contienne M. Alors, I e s t fini, les Pt sont toutes des composantes propres de f - l ( X ) , M est une composante propre de chaque g-1 (Pi), et Fon a

# (X, f o g ; M) = ~ / a (X, f ; P~) # (P~, g; M). iEI

Si x est un point de M, tousles P~ passent par g(x); I est donc fini. Les assertions de propret6 r6sultent de consid6rations sur la codimension. Pour d6montrer la formule, on pourrait se localiser en un point qui n 'appart ienne/t aucune autre composante de Z que M. Nous pro- c6derons plut6t ainsi: soit N la r6union des composantes de Z autres que M, et Q la r6union des composantes de Y autres que les P~. Re- marquons d 'abord que g- t (Q) est contenu dans N (sinon, une composante au moins de g- l (Q) serait strictement contenue dans M, ce qui est absurde pour une raison de codimension). Ceci entralne, avec les notations du diagramme ci-dessous, la nullit6 de r~2 o g* (Ker ~h):

H2"(T, T - M ) d ~g*~' ~ H e ~ ( w , W-P~)

H:n(r, T-M) @ H2n(W, W-P~) He"w, V-X) @ , s" @ ~

H2"(T, T - N ) H2"(W, W - Q ) .

280 G. Ruget:

On a alors n2 g ' f * = (zr2 g* a0 (~1 f*), ce qui est 6quivalent/t la formule propos6e.

Propri6t63.6, Les multiplicit~s ici introduites sont des entiers strictement positifs. Elles sont les seules v~rifiant les propri~tOs 2, 3, 4 et la pro- priOt~ 5 dans le cas partieulier off Z = M , Y=l'un des P~, et g est une immersion.

En effet, si nous voulons calculer une mulliplicit6 p(X,J~P), restreignons-nous (Prop. 2) /l un ouvert de W sur lequel la trace de f - ~ ( X ) ne soit pas plus grande que la trace de P (notons encore W cet ouvert). Factorisons f par l'injection ~<graphe~> 7 de W dans W• V, et la deuxi6me projection de W• V. D'apr6s les propri6t6s 3 et 5 faible, nous sommes ramen6s au calcul de I~(W• y; P). Soit alors i une injection dans W d'un ouvert de C", telle que i - ~ f - l ( X ) = O . La pro- pri6t6 4 nous donne ju(Wx X, yoi; 0) et # ( f f l (X), i; 0). On conclut alors gt l'aide de la propri6t6 5 faible.

Intersection de deux sous-ensembles analytiques de codimension finie

Soient Vune varibt6, A l'injection diagonale de V dans Vx V, X et Y deux sous-ensembles analytiques de V, de codimensions pures n e t p respectivement. L'6tude de Xc~ Yest 6quivalente ~t l'6tude de A - ~ (X x Y). Ainsi, les composantes irr6ductibles de X n Y ont toutes une codimension inf6rieure ou 6gale ~ n+p; nous appellerons propres celles dont la codimension est n + p.

D6finition 3.7. Soit P une composante propre de X c~ Y. Nous appellerons multiplicit~ de rintersection de X et Y le long de P, et nous noterons #(X, Y; P) l'entier positif # ( X x Y, A ; P).

Si Q est la r~union des composantes de X c~ Y autres que P, et si 0 d6signe le morphisme naturel de H2n+2p(v,, V-P)~)H2n+2p(V, V-Q) darts H2n+2p(v, V-Xr-3Y), qui est un isomorphisme, #(X, Y; P) n'est autre que la coordonn6e suivant [P]v de O-l ( [X]vu[Y]v ) .

Propri6t63.8. La notion de multiplicitO d'intersection est locale (cf. Prop. 3.2 pour le sens pr6cis de cette assertion).

Propd~t~ 3.9. # (X, Y; P) = p (Y, X; P).

Propri~t~ 3.10. Si X et Y sont contenus dans une sous-vari~t~ W de V, et si M est une composante propre, de multiplicit~ p, de rintersection de X et Y consid~r~s comme sous-ensembles de W, la formule (3) donne immO-

diatement /2 [M] v u [ W] v + ~ = [X] v u [ Y] v,

off y est une classe ~ support dans la r~union N des composantes de X c~ Y autres que M.


Propri6t6 3.11. Associativits

Soient X , Y, Z trois sous-ensembles analytiques de V, de codimensions pures n, p, q respectivement. Supposons que X n Y n Z ait une composante irr~ductible M de codimension n + p + q. Alors, les composantes P~ (resp. R j) de X n Y (resp. de Y n Z ) qui contiennent M sont en nombre fini, et routes sont propres dans X n Y (resp. dans Yc~ Z) , M est une composante propre de chaque Pin Z (resp. X c~ R j), et on a l'~galit~

p(X, Y; P/) g(P~, Z; M) = ~ p(X, gj; M) I~(Y, Z; gi). i j

Pour d6montrer la formule, appelons Q la r6union des composantes de X c~ Y autres que les P~, et N la r6union des composantes de X c~ Yn Z autres que M. Consid6rons le diagramme

Hz"+2p(v, V - X n IO+ ~- OH2"+2P(V, V-P~) +H2"+z~(v, V - Q )

(0

H2"+2P+2q(v, V - X c ~ Yc~Z)~-H2~+2p+2q(v, V-M)OH2"+2p+2q(v, V - N ) ,

que les fl~ches verticales de droite rendent commutatif par hypoth6se. En fait, la fl~che en pointill6 est nulle car Q n Z est contenu dans N (sinon, une composante irr6ductibte de Q n Z serait strictement contenue dans M). I1 en r6sulte que ~ # ( X , Y; P/)#(Pi, Z; M) est simplement la

i coordonn6e suivant [M]v de co-I([X] w [Y] w [Z]), d'ofi l'associativit6 d6sir6e.

Propri6t6 3.12. CompatibilitO des multiplicit~s d'intersection et d'image r~ciproque.

Soient X, Y deux sous-ensembles analytiques de V de codimensions pures n, p respectivement, f un morphisme de W dans V, et M une composante de f - l ( X n Y) de codimension n+p, s'il en existe une. Appelons Pi (resp. Q j) les composantes de f - I ( X ) (resp. f - l (y ) ) qui contiennent M. Appelons Rk les composantes de X c~ Y dont la contre-image par f contient M. Pour ne pas lasser le lecteur, nous ne lui imposerons pas dedOmonstration de la formule

# (X, Y; Rk) p (Rk, f; M) = ~ kt (X, f; P~) # (Y, f; Qj) # (P~, Q j; M) k i.j

(off l'on peut s'assurer facilement que les enscmbles d'indice sont finis, et tous lcs symboles d6finis).

Remarque 3.13. I1 y a un cas off une multiplicit6 d'image r6ciproque peut aussi apparaitre comme une multiplicit6 d'intersection: c'est le cas off f est ~pidermique (cf. 1.4). En effet, localement dans W, on peut alors factoriser f par une immersion (6pidermique) de W dans un C q x V,

282 G. Ruget:

suivie de la deuxi6me projection de C q x E D'apr6s les propri6t6s 2 et 3, nous pouvons m~me nous restreindre au cas o f l f e s t l'injection ~ dans V d'une sous-vari6t6 Y de codimension p. Soient X un sous-ensemble irr6ductible de V de codimension n, M une composante propre de ~ - I ( X ) = X n Y, et N la r6union des autres composantes du m~me. D'apr6s la construction de ~:, le diagramme suivant est commutatif

H2n(y, Y - Y n X ) ~-- H2n(y, Y - M ) OH2"(Y, Y - N )

H2" (V,, V - X ) . . . . . .

H2"+2P(V, V - Yc~ X) ~-m-H2n+2p(V, V-M)@H2"+2p(V, V-N) .

Alors, l'6galit6 o~:[M]r=[M]v entraine l'6galit6 des multiplicit6s ~t(X, ~; M) et #(X, Y; M).

Intersection d'un sous-ensemble analytique de codimension finie et d'un sous-ensemble analytique de dimension finie

Soient V une vari6t6, X un sous-ensemble analytique de V de codimension pure n, et K un sous-ensemble analytique de V de dimension finie pure p - n (voir au chapitre III la d6finition des sous-ensembles analytiques de dimension finie; on d6finit sans difficult6 les composantes irr6ductibles globales d'un tel sous-ensemble, qui sont des vari6t6s Z-orient6es ~t singularit6s de codimension 2; si une telle composante C est de dimension c, le groupe H2c(C; Z) est canoniquement isomorphe

Z, son g6n6rateur &ant la classe fondamentale {C} d6finie dans [1] (il s'agit d'homologie h support ferm6)). Toutes les composantes irr6duc- tibles de X n K ont une dimension au moins 6gale ~t p - n . Soit L une composante de X c~ K de dimension p - n (s'il y e n a; nous dirons alors que L e s t une composante propre de l'intersection), et soit M la r6union des autres composantes de X n K. Alors, L n M est de dimension stricte- merit plus petite que p - n , et la suite de Mayer-Vietoris nous dit que le morphisme naturel

0: H2p_2n(L;Z)@H21,_2n(M; Z) --*H2v_2n(XnK; Z)

est un isomorphisme. Mais le terme de droite est 6gal/l Hxnr CV. Z), et .~2p--2nt,--~ contient un 616ment privi16gi6, le cap-produit {K}v n [X]v, oil {K}v est consid6r6 comme un 616ment de Hpr(V; Z). D'ofl la

D6finition 3.14. Nous appellerons multiplicit~ d'intersection de X et K le long de L, et nous noterons Iz(K, X; L), la coordonn~e suivant {L} de O-l({K}v n [X]v).

Apropos des cycles anatytiques de dimension infinie 283

Nous ne nous appesantirons pas sur les propri6t6s de cette multi- plicit6. Nous devons toutefois v6rifier une compatibilit6 avec les d6fini- tions pr6c6dentes, c'est-h-dire envisager le cas off K est une sous-vari6t6 de dimension finie de V, ou plus g6n6ralement est contenu dans une telle sous-vari6t6 W. Si les Pi (en nombre fini) sont alors les composantes de X n W contenant L, elles sont automatiquement propres, et nous avons envie d'6crire

p[K, X; L)= ~ p(K, P/; L) #(X, a; P~), i

off les #(K, P~; L) sont des multiplicit6s d'intersection de sous-ensembles de codimension finie de W, et off ~ dbsigne I'injection de Wdans V. De fa~on abr6g6e, nous devons v6rifier que le (~rapport~ de [ K ] w w a * [ X ] v [L]w est 6gal au rapport de {K} c~[X]v ~ {L}. On passe de l'une l'autre situation par la dualit6 de Poincar6; explicitement, on a les 6gatit6s

{W} n [L]w = {L}

{ w } n ( [ K ] , , u ~ * I X ] v) = ({ W} n [ K ] ~) n �9 * I X ] , , = { K} n I X ] ~.

Dans le cas off l'image de tout germe d'application analytique finie d'un C" dans V est contenue dans un germe de sous-vari6t6 analytique de dimension finie de V (par exemple, si V est model6e sur un espace de Hilbert; cfi III), on aurait pu d6finir tes derni6res multiplicit6s introduites sans l'aide du cap-produit, grace h la formule pr6c6dente: les d6finitions ainsi donn6es auraient 6t6 ind6pendantes de la vari6t6 de dimension finie interm6diaire, W ou W', comme on l'aurait vu par le truchement d'une troisi6me vari6t6 de dimension finie contenant W e t W' (lemme III.3).

4. Un th~or~me d'image directe

Soient V e t W deux vari6t6s analytiques banachiques complexes, et f une application analytique de V dans W. Nous dirons que f est ~pidermique si, pour tout point x de V, l 'op6rateur d6riv6e i f (x) est un op6rateur ~i indice. Plus pr6cis6ment, nous dirons que f est i-dermique en x si l'indice ind f ' (x) = dim Ker f" ( x ) - dim Coker f ' (x) vaut i.

Lemme 4.1. Si f est une application kpidermique de V dans W, on peut, localement dans V, trouver un entier n e t une factorisation de f en une immersion de V dans W• C ~ suivie de la projection sur le premier facteur de W• C ~.

Soit a un point de V, et i l'indice de f au voisinage de a. La question 6tant locale, nous identifierons Ve t W ~t des voisinages de l'origine de teurs espaces tangents en a et f(a) respectivement. On peut identifier V /l la sous-vari6t6 de V • W d'6quation y - f i x ) = 0, f devenant la projection 20 |nventiones math., Vot. 8

284 G. Ruget:

sur le second facteur. Soit q la codimension de l'image de f ' (0), et S u n q-plan de W suppl6mentaire/t cette image. L'6quation y - f ( x ) e S d6finit une sous-vari6t6 M de Vx HI,, telle que la projection de M sur W soit une submersion, ~t fibres de dimension i+q. Ainsi, M s'6crit localement W x C i+q, V est une sous vari6t6 de codimension finie de M, et f est induite par la projection sur le premier facteur de Wx C ~+q.

Soient maintenant X un sous-ensemble analytique de V, et g la restriction de f / t X. Nous appellerons profondeur en x de g, et nous noterons profx g, la dimension complexe en x de la fibre g - i g(x) (qui est bien un sous-ensemble analytique de dimension finie de V, d'apr6s le lemme pr6c6dent). Nous appellerons profondeur de g le hombre profg = inf profx g. x ~ X

Lemme 4.2. La fonction x ~ profx g est semi-continue sup~rieurement.

D'apr~s 4.1, on peut se ramener au cas o/l V= Wx C", f 6tant la premi6re projection. Si g - l g ( x ) est de dimension p en x, il existe un (n-p) -p lan Q de C" tel que x soit un point d'intersection isol6 de Q et x . Le lemme r6sulte alors de ce que, au voisinage de x, les plans paratl61es /~ Q rencontrent X suivant un ensemble discret.

Nous appellerons corang en x de g, et nous noterons corgxg, le nombre prof~ g + codim~ X - ind f ' ( x ) . C'est un nombre positif ou nul, comme on le voit en se ramenant au m6me cas qu'en 4.2, et en sachant qu'alors la codimension en x de g-~ g(x) dans la fb re de f qui le contient est au plus 6gale/t la codimension en x de X.

Lemme 4.3. Conservons les notations V, W,,f X, g, et supposons que X soit irrOductible de codimension finie. Alors, la fonction x ~ corg~ g est semi-continue supdrieurement et atteint son minimum sur un ouvert dense de X.

La premiere assertion provient de 4.2, de la constance de la codimension de X, et de la connexit6 de X, qui assure la constance sur X de l'indice de f. La fonction corang atteint donc son minimum sur un ouvert, qui rencontre n6cessairement la vari6t6 R X des points r6guliers de X; JiRX 6tant une application 6pidermique de R X dans 141, rensemble des points off le noyau de (fRx)' est de dimension minimum est le compl6- mentaire d'un ensemble analytique (cf. II.I), donc un ouvert dense, soit E, de R X ; les traces sur E des fibres de g sont des sous-lvari6t6s ayant toutes la m6me dimension, qui ne peut donc ~tre que inf prof~ g.

x~X

Nous appellerons codimension en x de g, et nous noterons codim~ g, la limite inf6rieure, lorsque y tend vers x dans X, du corang en y de g. Nous appellerons codimension de g le nombre codim g = inf corgx g.

x~X

Enonqons maintenant le th60r6me que nous voulons d6montrer:


Th~or~me 4.4. Soient V, W deux vari~t~s analytiques banachiques, f une application analytique ~pidermique de V dans W, X un sous-ensemble analytique de ddfinition finie de V, tel que la restriction g de f d X soit propre 1. AIors, f ( X ) est un sous-ensemble analytique de d~finition finie de W,, et l'on a, en tout point y de f (X) ,

c o d i m r f ( X ) = inf cod imxg . x~g- l(y)

Nous d6mont re rons d ' abo rd le

L e m m e 4.5. Conservons les hypotheses du th~or~me 4.4, sauJThypothdse que X est de d~finition finie. Alors, f ( X ) est un ferm~ de IV,, et l'on a co topy f (X)=2 inf codimxg.

x~g-l(y)

Pour d6mont re r ensuite 4.4, nous pour rons nous borner au cas ot~ X est irr6ductible (si y e W,, puisque la fibre g - X(y) est compacte , elle pos- s6de un voisinage U r6union d 'un n o m b r e fini de petites boules de V,, et ne rencont ran t donc qu 'un n o m b r e fini de composan tes irr6ductibles globales de X, soient Xi; la propret6 de g entra~ne l 'existence d 'un voisinage Q de y tel que g - l (Q) soit contenu dans U; la trace de f ( X ) sur Q est donc la r6union des traces des f(Xi) , et les applicat ions glx, sont bien propres). Dans ce cas, f ( X ) est n6cessairement irr6ductible s'il est analyt ique, et de codimens ion finie d 'apr6s 4.5 et 1.11, donc de d6finition finie; il suffira donc de mon t r e r que f ( X ) est analytique.

L e m m e 4.6. Sous les hypothdses du lemme 4.5, soient y un point de W, Funecartede Weny , etcunentierauplusdgaldy(y)= inf codim~g.

x e g - l ( y )

Alors, it existe un voisinage w de y tel que tout sous-espace B de w affine (au sens de F) de dimension finie puisse dtre enferm~ dans un sous-espace affine A de dimension finie tel que f (X) n A soit un sous-ensemble analytique de A, de codimension complexe dans A au moins ~gale d c.

On peut supposer que W e s t un ouvert d 'un espace de Banach, y l 'or igine de cet espace, et F l ' identit6; on peut aussi supposer que B passe pa r l 'origine (en consid6rant le c6ne sur B de sommet 0). Pour tout x ~ X , il existe une carte U de V en x telle que X n U = U X X u Y,

2 ~ A

(les ensembles X ~, en n o m b r e fini, &ant irr6ductibles, et Y &ant contenu dans une intersect ion comple te de codimens ion au moins 6gale c + ind f ' (x)) et telle que l 'on puisse t rouver des directions

1. D ~ de d imens ion codim X ~, telle que x soit isol6 dans (x + D ~) ~ X a, 2. D' de d imens ion c + ind f ' (x), telle que x soit isol6 dans (x + D') n Y, 3. A, direct ion de W,, de d imension finie, t ransverse aux images de

t o u s l e s op6rateurs f ' ( t ) , pou r t dans U. 1 C'r ferm6e, et telle que la contre-image de tout compact soit compacte.

En fait, si Vest paracompacte, donc m6trisable, et si X est de d6finition finie, la deuxi~me hypoth~se est inutile: cela tient ~ ce que l'application g ne peut ~tre constante sur aucun ouvert de X (sur RX, elle est 6pidermique!). 20*

286 G. Ruget:

Nous allons rapetisser la carte de faqon 5- ce qu'elle ait de meilleures propri6t6s: soit d la dimension de la direction f ' (x) D' + A; cette direction &ant transverse aux images des op6rateurs f'(t), la direction D'(t)= f ' ( t )- l( f ' (x)D'+A) est une fonction continue de t 5- valeurs dans la Grassmannienne des (d+ind f '(x))-directions de U. Pour t =x , on obtient une direction contenant D'; donc, s i t reste assez voisin de x, D'(t) contiendra une direction de m~me dimension que D', voisine de D', et dont le repr6sentant passant par t n e rencontrera Y que suivant un ensemble discret (nous passons en fait ici sous silence deux lemmes faciles). En reprenant pour les D a (en nombre fini) les consid6rations faites sur D', nous voyons que nous pouvons choisir U assez petit pour que

1. f '(t)-l(f '(x)D~+A) contienne une direction D~(t) de dimension codim X ~ telle que t soit isol6 dans (t+D~(t))c~ X ~,

2. la m6me assertion, relative/l D' et Y.

La contre-image g-1(0) 6tant compacte, elle poss6de un recouvrement fini par des domaines U~ de cartes de V en xl ayant toutes les propri6t6s ci-dessus 6num6r6es (nous nous donnons, en m6me temps que les cartes, l 'assortiment de directions D~,D'i,A~). Soit t2 le voisinage de g-l(0) r6union des U~. L'application g 6tant propre, il existe un voisinage w de 0 dans W tel que g-l(w) soit contenu dans t2. Ce w est une solution de notre probl6me. Soit en effet B u n sous-espace de dimension finie de w, et A la somme B+f'(xi) D~+f'(xl)D~+A i, Grace aux pr6cautions de transversalit6, f - l (A) est une sous-vari6t6 ferm6e 9.I de f - l (w)ng2, de dimension k + i, si k est la dimension de A, et i l'indice de f, que nous pouvons supposer constant si nous traitons s6par6ment les composantes connexes (en nombre fini) de g-l(0). Le sous-ensemble X c~ 9.I est analytique dans 9.I, et l'on a, en tout point x de 9.I

codimx, ~ X ~ 9.1 > inf(c + i, codimx X).

En effet, s ix appartient 5- un Y~, mais 5- aucun X{, comme l'espace tangent en x 5- 91 contient une direction voisine de D'~, X c~ 91 est en x de codimension au moins c+ i. Pour la m6me raison, s i x appartient 5- X~, on a codimx. ~(X~ c~ 9I) = codimx X/z.

Si nous appelons ~(x) le nombre dim~ X n 91-d imx g-1 g(x), nous avons ~(x) < k + i - inf(c + i, codim~ X ) - profx g < k - inf(c, corg~ g). Or, c est inf6rieur ou 6gal 5- inf codim~ g, donc, d'apr6s la compacit6 de

x~g-l(O) g-~(0), 5- infcorg~g, 0 6tant un certain voisinage de g-~(0). Ainsi,

sup~(x)<k-c, et le th6or6me de Remmert classique appliqu6 5- la x~O

fonction g restreinte 5- Xc~91 nous dit que g(Xn91) est un ensemble analytique de dimension en 0 inf6rieure ou 6gale 5. k - c ; la dimension de g(Xc~91) est en tout point inf6rieure ou 6gale 5- k - c si nous avons


pris soin de choisir les U/ inclus dans 0; alors, codimwg(X)c~w>= k - ( k - c ) = c .

Ddmonstration de 4.5. Les lemmes 4.6 et 1.7 donnent la minoration d6sir6e de la codimension topologique de f (X). Pour d6montrer que cotoPrf (X) est au plus 6gal ~ 2y(y), choisissons aeg-l(y) tel que codim, g=?(y) (< ~). I1 existe une suite aj convergeant versa teUe que corg~ g = 7(y). Soit vj un germe irr6ductible de la d6composition de X en aj de la plus petite codimension possible. La semi-continuit6 de la profondeur entraine que le corang de g reste 6gal ~ y(y) sur un voisinage de a i dans vj. Nous pouvons alors trouver (cf. 4.3) aussi pr6s que nous voulons de aj un ouvert r6gulier de X sur lequel g est de rang constant, et qui a donc pour image une sous-vari6t6 de W de codimension y(y). Lorsque j ~ ~ , les bouts de sous-vari6t6s ainsi obtenus tendent vers y, ce qui, grace h 1.5, permet de majorer cotopy f (X) .

Remarque. Si V, W sont deux vari6t6s diff6rentiables, f une application diff6rentiable d'indice i de V dans W, et X un ferm6 de V de codimension topologique n tel que flx soit propre, il ne faudrait pas croire que l'on a n6cessairement cotop(f(X), W ) > n - i (in6galit6 qui est v6rifi6e dans le cas analytique, d'apr6s 4.5). Soit en effet I un inter- valle de R, J un carr6 de R 2, X le graphe de la courbe de Peano qui applique contim~ment I sur J ; X est un ferm6 de codimension 2 de I x J (il est sans point int6rieur, et, localement dans I x J, son compl6- mentaire est connexe). Or, la deuxi6me projection de I • J, dont l'indice est 1, transforme X en J tout entier.

Donnons sans d6monstration deux autres cons6quences imm6diates de 4.6:

Corollaire 4.7. Sous les hypothdses du lemme 4.5, soient y un point de W, F une carte de Wen y, et P u n plan de W (pour F) tel que y soit un point isol~ de f ( X ) n P . Alors, il existe un plan Q contenant P, de dimension complexe codim r g, tel que y soit isol~ dans f (X) c~ Q.

Corollaire 4.8. Sous les hypothdses du lemme 4.5, si de plus la codimension de g est strictement positive, f (X) est un sous-ensemble nOgli- geable de W (i.e. toute fonction analytique sur W - f (X), localement born6e dans W, peut 6tre prolong6e en une fonction analytique sur W).

Le premier 6tage de la d6monstration de 4.4 est la Proposition 4.9. Soient, V,, W deux vari~t~s analytiques banachiques

connexes, X un sous-ensemble analytique de V,, et f une application analytique @idermique de V dans W telle que g =fix soit propre de codimen~ sion nulle. Alors, f ( X ) est dgal ~ W.

Par hypoth6se, il y a un point a dans X off le corang de g est nul. En a, X est de codimension finie; soit Y une composante irr6ductible globale de X passant par a, de la plus petite codimension possible. Le

288 G. Ruget:

corang en a de glr est n6cessairement inf~rieur ou 6gai h corg, g, donc nul, ainsi que codim glr. Nous sommes ainsi ramerl6s au cas oti X est irr6ductible de codimension finie, Dans cecas, l'ensemble singulier SX de X est analytique. Si la codimension de gtsx est strictement positive, tout va bien. Sinon, nous ne nous interessons plus qu'~ glsx et nous recommen~ons le travail d~crit dans ce paragraphe. Comme los codimensions des ensembles auxquels nous restreignons g vont en crois- sant strictement, nous arriverons ~ nous ramener h ]a situation suivante: X irrhductible de codimension finie, codina g = 0, el codlin glsx > O.

Alors, g(SX) est un ferm6 de W de codinaension topologique >2, d'aprbs 4.5. Considhrons l'application g restreinle ~t la vari6t6 X ' = X - g -1 g(SX), l'espace but 6tant W ' = W - g ( S X ) . Cette application est propre, analytique, 6pidermique. Uensemble F de sos points critiques est un sou>ensemble analytique de X', et, d'aprhs le thhorhme de Sard, g ( f ) est un ferm6 de W' sans point int6rieur (ceci est une variante du th6or6me de Sard-Smale [-18]). Mais alors, la codimension de glr ne peut pas 6tre nulle, car on aurait, d'aprhs 4.5, co topg(F)=0 . Elle est donc au moins 4gale ~ 1, et cotop g(F) est au moins egal ~ 2. I1 rhsulte alors de 1.6 que la codimension topologique de g ( S X ) u g ( F ) est au moins 4gale ~t 2, ce qui entraine que F n'est pas X' tout entier, puisque l'on sait que la codimension topologique de g(X) est nulle. D'aprhs le thhorhme du rang constant, g ( X ' - F ) est un ouvert non vide, soit f2, de W'. Dans W,, le ferm6 g(X) est la r4union de O e t de g(SX)~)g(F). Doric, g ( X ) - Q est de codimension topologique au moins 6gale h 2 (Prop. 1.5); son complhmentaire ~2~ C g(X) dolt ~tre connexe (Cot. 1.4), ce qui entraine la vacuit6 de C g(X).

ka d6monstration comportera encore deux +tages de forme semblable ~. cetle du premier, mais u~ilisant un argument de proIongement que nous allons pr6senter maintenanl. Rappelons d 'abord un r6sultat de [17], qui est d'ailleurs une cons6quence facile de 4.8 et du th6or6me sur los rev6tements ramifi6s banachiques:

Proposition 4.10. Soient (E', E") une d&omposition directe d' un espace de Banach E, avec dim E" = p, ~z la projection de E sur E', et A = 6' x c5" un bidisque ouvert de centre 0 assoeiO d (E', E"). Soient s u n nombre r&l strictement compris entre 0 et le rayon r" de 3", et A~ le produit de 6' par la couronne r " - s < [tx"[l < r " de E". Soient A un sous-ensemble n~gIi- geable de 3' et X un sous-ensemble analytique de ( 3 ' - A ) • 6", de codimension p en tout point, ne rencontrant pas A~, et tel que 1 t ( X ) = 6 ' - A . Alors, l'adh&ence de X est un sous-ensemble analyttque de A, de codimension pe n tout point.

Proposition4.11. Soient V, W deux vari~t&, X un sous-ensemble irr~ductible de codimension finie de V, f une application analytique


Opidermique de V dans W, telle que ta restriction g de f d X soit propre, de codimension p. Soit Y un sous-ensemble analytique de X tel que cod imgjy>p et que f ( X ) - f ( Y ) soit un sous-ensemble analytique de W - f (Y) de codimension pen tout point. Alors, f (X) est un sous-ensemble analytique de W de codimension pen tout point; f (X) est d' ailleurs radhd- rence de f ( X ) - f ( Y ) dans W.

La question 6tant locale dans IV,, supposons que West un ouvert d'un espace de Banach E, et que nous 6tudions f ( X ) au voisinage de l'origine, cens6e appartenir h f (Y) . D'apr6s 4.7, il existe un sous-espace E" de E, de dimension p, tel que 0 soit isol6 dans E" c~f(X). I1 y a alors une sph6re S de E", centr6e h l'origine, qui ne rencontre pas f (X); puisque f ( X ) est ferm6, il existe un voisinage de S dans E qui ne rencontre pas f(X), donc, si nous avons choisi un suppl6mentaire topologique E' de E", un ensemble du type d~ (cf. 4.10) qui ne rencontre pas f (X) . D6sormais, nous consid6rerons que Wes t A, que Vest f -~(d) . L'ensemble X n'est plus alors irr6ductible, mais, si les Xg sont ses composantes irr6ductibles, on a, pour tout i, c o d i m f x , = p (Lemme4.3). Appelons n la projection de A sur 6' parall61ement h 6"; les fibres de nli~x,) ou de nllty ) sont des sous-ensembles analytiques (Remmert classique) retativement compacts ( f(X)c~ d~ ~ O) d'espaces de dimension finie: elles sont donc finies. I1 en r6sulte que la profondeur de no fix, est 6gale/t celte de fix,, et que la profondeur de no fir est au moins 6gale

celte de fly. Ainsi, la codimension de no fix, est nulle, et, d'apr6s 4.9, nes t une surjection de f (X i ) sur 6'; la codimension de n ofi res t au moins 6gale ~ 1, et, d'apr6s 4.8, n o f (Y) est n6gligeable dans 6'. La proposition 4.10 nous dit alors que l'adh6rence de f ( X ) - n -1 n f ( Y ) est un sous- ensemble analytique Z de A de codimension p en tout point. Nous devons, pour conclure, montrer que g- l (Z) , qui est un sous-ensembte analytique de f - l ( d ) , contient X; ceci est vrai, puisqu'il contient X i - f -1 n -1 n f (Y) , qui est un ouvert non vide de la composante arbi- traire Xi de X.

2Ome Otage de la dOmonstration.

A. Le th~orOme est vrai pour X lisse connexe, et pro fg=0 .

Soit F l'ensemble des points de la vari6t6 X oO la diff6rentietle de g n'est pas de rang maximum: c'est un sous-ensemble analytique strict de X. Si xeF, on a

corgx fir = codimx F + prof~ f i r - ind f ' ( x ) > codim~ X - ind f ' (x ) .

Sip est la codimension de g, la codimension de glr est donc strictement plus grande que p. D'autre part, le th6or6me du rang constant nous dit que f ( X - f - l f ( F ) ) est un sous-ensemble analytique de codimension p en tout point de W - f (F). La proposition 4.11 donne alors l'assertion A.

290 G. Ruget:

B. Le th~ordme est vrai pour X irr~ductible, et profg =0.

Appelons S l'ensemble singulier de X, qui est analytique, et p la codimension de g. Comme ci-dessus, on voit que la codimension de gls est strictement plus grande que p. Ceci interdit que X soit contenu dans f - i f ( S ) . Si nous restreignons f e n une application f ' de V - f - I f ( S ) dans W - f ( S ) , la restriction de f ' /~ la sous-vari6t6 X - f - I f ( S ) , qui est propre, a pour codimension p (Lemme 4.3). L'assertion A et la proposition 3 donnent alors rassertion B.

3~me ~tage. Nous allons proc6der par r6currence sur la profondeur de g, r6tage 2 constituant le d6marreur de la r6currence. Supposons donc trait6 le cas p r o f g < n - 1 :

A. Le thdor~me est vrai pour X lisse connexe, et profg = n.

Gardons ~ F et h p les m~mes significations qu'au 26me A. Si la codimension de glr est plus grande que p, le probl6me a d6j~ 6t6 r6solu. Sinon, soit L une composante irr6ductible de F telle que codim glL=P. La codimension de L 6tant strictement plus grande que celle de X, la profondeur de glL est strictement plus petite que celle de g, et rhypo- th6se de r6currence affirme que g(L) est un sous-ensemble analytique de W,, irr6ductible, de codimension p. Appelons Z la contre-image de g(L) par g, et i l'indice de f, qui est constant au voisinage de X; nous voulons montrer que Z e s t X tout entier. Soit a un point quelconque de Z. Nous avons les 6galit6s

corga f z = codima Z + prof a f l z - i

p = corg g = codim X + profg - i.

Puisque Z est satur6 pour g, profa f z est 6gal ~t prof, g, donc est au moins 6gal ~ profg. D'autre part, corga J]z est au moins 6gal h codim, f z =�89 cotopyt,~ f ( Z ) = p. Choisissons a de faqon ~t avoir l'6galit6 (prenons a tel que corg~ J/z soit le plus petit possible), Nous avons alors

codima Z < i + p - prof g = codim X.

Ceci entra~ne l'6galit6 de Z et X, donc de g(L) et g(X).

B. Le th~or~me est vrai pour X irr~ductible, et profg = n.

Comme au 26me B, si la codimension de gls est strictement plus grande que p, le probl+me est r6solu, h l'aide du 3+me A. Sinon, on recopie la d6monstration qui pr6c6de, r6utilisant ainsi l'hypoth6se de r6currence.

5. Une formule de projection

Soient V, W deux vari6t6s analytiques banachiques, X un sous- ensemble analytique irr6ductible de codimension finie de V, et f une application analytique 6pidermique de V dans W,, dont la restriction

Apropos des cycles analytiques de dimeasion infinie 291

g ~ X soit propre et de profondeur nulle. Nous allons d6finir la multi- plicit6 de l'image directe de X par g; ce sera un entier positif que nous noterons v(X, g) (si g est propre, mais de profondeur >0, nous pose- rons v(X, g)= 0).

Pour tout point a de g(X), ia fibre g-~(a) est un sous-ensemble analytique compact de dimension finie de V; appelons v(a) le nombre de ses composantes connexes. La restriction de la fonction a ~ v(a) b~ un quelconque ouvert de points irr6ductibles de g(X) est semi-continue inf6rieurement: soient en effet Ki tes composantes connexes de g-l(a), U~ des voisinages ouverts disjoints des K i, w un voisinage de a tel que g-l(w) soit contenu dons la r6union des U i, X~ la trace de X sur Ui c~ g-l(w); on v6rifie facilement,/l raide du th6or6me 4.4, que g(Xi) est un sous-ensemble analytique de w, de m6me codimension en a que g(X); g(Xi) est done 6gal ~ g(X), et, pour tout point b de wc~g(X), g-l(b) contient au moins un point darts chaque U i

D~finition 5.1. Nous appellerons multiplicitk de l'image directe de X par g la valeur gOn&ique de v, qui est aussi la valeur maximum prise par la fonction v sur un quelconque ouvert de points irr~ductibles de g(X).

Si nous conservons les notations de la d6monstration du th6or6me 4.4, la restriction de g h X - g - t g ( S ) - g - l g ( F ) est une immersion propre dans W - g ( S ) - g ( F ) , d'image analytique T. La restriction de g it X - g - t g ( S ) - g -1 g ( F ) - g - l ( S T ) est done un rev~tement de T - S T , qui est connexe. Le degr6 de ce rev6tement est la multiplicit6 v(X, g).

Lemme 5.2. Soient W' une troisidme varidtd, et f ' une application analytique ~pidermique de W dans W', dont la restriction g' d g(X) soit propre et de profondeur nulle. Alors, on a ( imm~diatement )

v (X, g' o g) = v (g (X), g') v (X, g).

Proposition 5.3. Conservons les notations V, W, X, f, g (en particulier, supposons toujours g propre et de profondeur nulle), et soit Y un sous- ensemble analytique irr~ductible de codimension finie de W. Supposons que toutes les composantes irr~ductibles de f - l ( y ) soient propres, et appetons tes P~; supposons de plus que, pour tout i, toutes tes composantes de Pi ~ X soient propres, et appelons les Qi~. Alors, les composantes de f ( X ) n Y, soient Rk, sont routes propres, et ron a

P(Y,, f ; Pi) P (Pi, X ; Qij)v (Qij, f ) f ( Q i 9 i,j (1)

= ~, v(X, f ) #( Y, f (X) ; Rk) Rk. k

Remarque. La formule (1) n'est vraisemblable que si toutes les composantes de f - l ( Y ) sont propres (prendre pour Vet X l'espace C 2 dans

292 G. Ruget:

lequel on a fait 6clater l'origine, pour f la projection canonique sur C 2, Y 6rant l'origine de C2). On voit de m~me qu'il faut supposer propres toutes les composantes des P~ c~ X (gardant le triplet V, f, W pr6c6dent, prendre pour Y une droite de C z passant par 0, et pour X la contre- image par f d'une autre droite passant par 0).

Pour d6montrer la premiere assertion de 5.3, remarquons que les composantes propres de f(X)c~ Y sont n6cessairement les images par f des Q~j telles que la profondeur de flQ,j soit nulle; les autres composantes de f(X)c~ Y devraient 6tre trop <~ grosses >>, mais, 6tant images de Q~j telles que la profondeur de ./]Q,~ soit strictement positive, elles ne peuvent qu'&re trop petites.

D~monstration de (1). La formule est 6videmment locale sur W. Nous pouvons ainsi supposer qu'il y a un seul Rk, qu'il est r6gulier, et que les Qgj en forment un rev~tement trivial. Nous pouvons alors nous localiser aussi sur V, et par suite factoriser f par un plongement z suivi d'une projection n propre, et m~me finie, sur r(X) (ne t ~ 6tant 6pider- miques). On v6rifie imm6diatement qu'il suffit de d6montrer la formule de projection pour ~e t rt successivement. D'ofl l'examen des deux cas:

1. f est un plongement: Toutes les multiplicit6s d'image directe sont alors 6gales & 1, et nous devons simplement v6rifier, dans le cas o~ Y coupe la sous-vari6t~ V suivant des ensembles irr6ductibles P~ en hombre fini, les P~ coupant X suivant le m~me ensemble irrbductible Q, la formule

/~(Y, f ; P~)#(P~, X; Q) =/~(Y,/(X); Q). i

C'est une g6n6ralisation de la remarque 3.13, qui tient simplement A la formule 2(2)

f ([ X]v u f * [ Y]w)= f [ X]v ~ [ Y]w,

/

et aux 6galit6s f [X]v = [f(X)]w, f [Q]v = [f(Q)]w. 2. f est une projection: La situation est symbolis6e par le dessin ci-

contre (l'espace ambiant est W= V• C q, R ~ Q sont des sous-vari6t6s). Choisissons un plan de dimension finie V' transverse ~t R, et posons W'=f- I (V ' ) . Appetons X~ les composantes de X ~ W', et Y,~ celles de

R

Fig. 3

Apropos des cycles anatytiques de dimension infinie 293

Yc~ V'. Les applications fx , 6tant finies (comme fx), et les intersections. f(X~) c~ Y/, 6tant r6duites au point B, toutes les composantes X~ et Y,~ sont propres. Appliquons 3.12:

#(X, f - l ( y ) ; Q)_ ~ fl(X, W'; X;)p(Y, V'; Y,~)#(X;, f - l ( y - ) ; A). l , m

Appelons x', les composantes de f ( X ) n V', qui sont les images des X~ (nous 6crirons l ~ r pour signifer que f (X;)= x',). Toujours en appliquant 3.12, nous avons

I~(f (X), Y; R)= Z kt(f(X), V' ; x'~) #(Y, V' ; Y/,) kt(x'r, Y/,; B), r, m

et nous rappelons que nous voulons d6montrer

#(X, f -l(y), Q)=~(f(X), Y; R)v(X, f ) .

Il suffirait pour cela que nous disposions des formules

~ # ( X , W';X~)v(Xi, f )=#( f (X ) , V'; x'r)v(X,f), (2) l~ (r

p(X;, f - l (y , ] ) ; A)=#(f(X;), Y~,; B)v(X~, f ) . (3)

Or, les formules (2) apparaissent comme des formules de projection, off Y serait un plan de dimension finie, et les formules (3) sont des formules de projection off Ves t de dimension finie, et off f ( X ) n Y est r6duit ~ un point. Dans ce dernier cas, en remplagant la situation ( X c W, f V= Y) par la situation (Xx Y c W• V, f • Vx V~A), off A est la diagonale de Vx V, on se ram6ne au cas (4) off Y est un plan ne rencontrant f (X) qu'en un point. De m6me, dans le cas (2), en rajou- rant ~t la figure un plan Z contenu dans Yet ((transverse)> h f(X), on se ram6ne, utilisant le propri6t6 de transitivit6 3.5, au cas (4) que nous allons enfin tra~ter.

Lemme 5.4. Soient E un espace de Banach, lz la projection de C q x E = F sur E, X un germe d~ l'origine de sous-ensemble analytique irrdductible de F, tel que la projection Ulx soit finie, Y un plan de E, passant par l'origine, de dimension ~gale ~ la codimension de u(X), et tel que 0 soit isol~ dans u(X)c~ Y. Alors, on a

#(X, 7t-' (Y); 0)= #(Tt(X), Y; 0) v(X, u).

Les multiplicit6s d'intersection qui interviennent dans cette formule peuvent 8tre interpr6t6es grfice /~ la propri6t6 3.4. On voit facilement qu'il existe une parallSle D h Y coupant u(X) transversalement en p(u(X), Y;0) points, soient Ai, et telle de plus que routes les fibres ~z-l(A~) coupent X transversalement en v(X, ~z) points. Une multiplication donne alors le nombre d'intersections (qui sont transverses) de X et u - 1 (D).

294 G. Ruget:

Fig. 4

C•

Remarque. Au cours de cette d6monstration, nous avons rencontr6 une situation de projection (2) que nous ne nous 6tions pas propos6s d'r Nous allons la d6crire dans une forme plus g6n6rale, sans toutefois 6noncer de thborCme.

Soient V, W deux vari6t6s analytiques banachiques, f une application analytique 6pidermique de V dans W, X un sous-ensemble analytique irr6ductible de codimension n de V, Y un sous-ensemble analytique irr6ductible de W, de dimension p>_>_n. Alors, la contre-image f - l ( y ) est un sous-ensemble analytique de dimension finie de V. Si nous supposons frx propre, f(X) est analytique (de codimension finie) dans W, et f ( X ~ f - l ( y ) ) est analytique de dimension finie dans V. On peut, avec des hypotheses sur les dimensions et des multiplicit6s, corn- parer f(X) n Yet f ( X n f - 1 (y)).

Une autre situation int6ressante est celle off X est un sous-ensemble analytique de dimension finie de V, l'application f n'6tant plus n6ces- sairement 6pidermique, mais 6tant toujours de restriction/l X propre; nous prenons dans ce cas Y de codimension finie dans W. Si ron sait que f(X) est analytique de dimension finie dans W, on a envie de com- parer f ( X ) n Ye t f (Xn f - l (Y ) ) . Mais la finitude de la dimension de f(X) ne semble pas 6vidente en g6n6ral. C'est le but du Chapitre III que de la d6montrer dans le cas off West une vari6t6 hilbertienne.

Deuxi~me partie: L'espace des op~rateurs ~ indice

On sait ([11, 10]) que rensemble des op6rateurs/~ indice d'un espace de Hilbert complexe de dimension infinie, muni de la topologie de la norme, est un classifiant pour le groupe unitaire infini. Nous reprenons toutefois/l z6ro r6tude de l 'anneau de cohomologie enti~re de cet espace, dans le but d'en obtenir une interpr6tation plus concr6te.

Soient b u n espace de Hilbert complexe de dimension infinie, et f2, l 'ensemble des op6rateurs d'indice i de .~ (f2 i est un ouvert connexe de L (:b)) 2. Nous noterons 0 7 (resp. Is//") l'ensemble des op6rateurs d'indice i dont le noyau a une dimension au plus ~gale h n (resp. une dimension 6gale/t n). Le compl6mentaire dans f2~ de 12~' (qui est ouvert) est ~,+1.

2 Nous appelons indice d'un op6rateur f la dimension du noyau de f diminu6e de la codimension de rimage de f.


Les f2~ constituent une filtration croissante de 0,, que nous allons utiliser pour d6terminer la structure additive de la cohomologie enti6re de cet espace (nous nous limiterons en fait ~t l'6tude de f2 o, puisque tous les f2 i ont le m~me type d'homotopie).

Lemme 1. V~" est une sous-vari~tO analytique com_plexe (localement fermOe) de f2 i, de codimension n ( n - i); son adhOrence Vii" est un joli sous- ensemble analytique de f2i.

Soit f u n 616ment de V/". Choisissons une d6composition directe K e r f • A de l'espace-source de f, et une d6composition B~)Im f de

son espace-but, de fa~on ~t repr6senter f par une matrice (~ ~), off 6

est inversible. Les op6rateurs voisins de f s'6crivent dans les m~mes

d6compositions g = ( a bd), Ofl d est inversible, et ofl a est une matrice ~

n colonnes et n - i lignes. Les op6rateurs g appartenant ~ V~ ~ sont ceux qui satisfont l'6quation analytique

a - b d - l c=O,

dont l'6quation lin6aire tangente au point f est a = 0. Quant aux op6- rateurs g voisins de f et situ6s dans V//P (pour n>__p> i), ce sont ceux qui satisfont tes 6quations analytiques

rang(a -bd -1 c)<__n-p.

Cohomologie de ia vari~t~ V~": Appelons flip la Grassmanienne des p-plans complexes de .~; c'est une vari6t6 analytique banachique, dont l'anneau de cohomologie enti6re est un anneau de polyn6mes en des variables c 1 . . . . , c v de poids respectifs 2 . . . . ,2p; le rang de H2S(flip) est donc 6gal au nombre top(S) de partitions de S e n entiers inf6rieurs ou 6gaux h p (ce qui est aussi 6gal au nombre de partitions de Sen p entiers ou moins). La vari6t6 V~" est fibr6e sur fli, x fli._~ par l'application qui,

un op6rateur, associe son noyau, et l 'orthogonal de son image. La fibre-type de cette fibration est l'espace des automorphismes d'un espace de Hilbert: elle est contractile [14], et t'anneau de cohomologie de V~" est 6gal ~ celui de t5. x fli._ i, c'est-~t-dire, d'apr6s le th6or~me de

! t KiJnneth, ~t un anneau de polyn6mes en des variables ci, ..., c,, cl . . . . . c,_ i de poids respectifs 2 . . . . . 2n, 2 . . . . , 2 (n- i ) . En particulier, le rang de HZS(Vo ") est ~ rt ,(q)n,(S-q).

0_~q~s

Proposition 2. La cohomologie entidre de f2 o est nulle en degr~s impairs. Le groupe H2S(f20; Z) est libre de rang rt(S)=n~(S). I I en va de m~me pour les groupes d'homologie entidre, dont les groupes de cohomo- Iogie sont exaetement les duals.

296 G. Ruget:

La derni6re assertion d6coule 6videmment des premi+res et de la formule des coefficients universels. Le ferm6 V" de O (nous omettons d6sormais l'indice 0) 6tant de codimension topologique 2n 2, le groupe HP(f2 q) est constant pour q> p~/2, et 6gal ~ HP(s'2). Ecrivant, dans t'ouvert t2 q, la suite exacte de cohomologie ~ supports dans V q, utilisant l 'isomorphisme <<de Gysin~) et le r6sultat qui pr6c6de sur la cohomologie de V q, nous trouvons, par r6currence sur n, que la cohomologie de t2" est nulle en degr6s impairs, et que le groupe H2S(f2 ") est libre de rang

np (q)np(S-p2_ q). I1 ne reste plus qu'~ v~rifier l'6galit~ O<=p<_n

O<_q~S--p 2 noo(S) -- Z np(q)rcp(S-pZ-q) 3

O<=p,q

Le premier membre est le nombre des fonctions de N* dans N, d6crois- santes au sens large, dont la somme des valeurs soit S. Associons ~t une telle fonction x la partie D x de N * • N* situ6e au dessous du graphe de x (pour fixer les id6es, sur le dessin, la zone hachur6e correspond la fonction de valeurs successives 7, 5, 5, 2, 2, 1, 0 . . . . ). Le cardinal de D~ est S. Soit qx le c6t6 du plus grand carr6 s 'appuyant sur les axes de coordonn6es et contenu dans Dx. Otant ce carr6, on ~<disconnecte~ D x en deux r6gions de cardinal r et S - q Z _ r dont chacune permet de d6finir une fonction sur N* it valeurs enti6res inf6rieures ou 6gales ~ q~, d6crois- sante au sens large, et ~<d'int6grale>> r et S-qZ~-r respectivement; appelons x' et x" ces deux fonctions (sur le dessin, qx = 3 et ces fonctions prennent pour valeurs 2, 2, 1, 0 . . . . et 3, 3, l, 1, 0, ... respectivement). La construction que nous venons de d6crire 6tant r6versible, t'6galit6 est d6montr6e, q ~ a~

Fig. 5

Nous appellerons d6sormais X l'ensemble des fonctions de N* dans N d6croissantes (au sens large), asymptotiquement nulles. I1 est muni de l'involution qui, fi la fonction x, associe la fonction 2 telle que les ensembles de points situ~s au-dessous des graphes de x et 2 (dans N* x N*) soient sym6triques par rappor t / l la diagonale. Nous d6signerons une fonction de �9 par la suite des valeurs non nulles qu'elle prend, entre

3 Rappelons que zt0(n ) est nul pour n>0 , et que zcp(0) vaut 1 pour tout p>_0.


parenth6ses. Ainsi, (n)A=(1, 1 . . . . . 1) (n fois 1), symbole que nous 6cri- rons sous la forme abr6g6 (n). Nous noterons l (x) la somme des valeurs prises par la fonction x, L(x) le cardinal du support de x.

Prenons une fonction x~ 3~, et, dans l'espace .~, deux suites de sous- espaces ferm6s Fa c .. . ~ FL~ , G 1 c ... ~ G L(x) , avec dim G i =gi, i-- x (i) < gi<oC, c o d i m F ~ = x ( i ) - i + g ~ . Soit K(Fi, G~) le sous-ensemble de f2 form6 des op6rateurs f tels que, pour tout i, on ait

d i m ( f - l(Gi) n Fi)> i.

Proposition 3. K (Fi, Gi) es t un joli sous-ensemble analytique complexe de f2, de codimension I(x). La classe de cohomologie enti~re, de degr~ 2I(x), reprOsent~e par K(Fi, Gi) ne dOpend que de la fonction x. Nous la noterons [x].

Pour la premiere assertion, le seul probt~me est de calculer la codimension de K ( F i, Gi), qui est une r6union localement finie de sous- vari6t6s analytiques. Nous allons 6tudier, sur le dessin ci-contre, ce qui se passe (dans le cas L(x)=2) au voisinage d'un op6rateur f eK(F , . , Gi) situ6 dans une nappe de codimension minimum, c'est-~-dire tel que la dimension de f - l ( G x ) c ~ F 1 soit 1 (choisissons un vecteur non nul A de cet espace) et que la dimension de f - l ( G 2 ) c ~ F 2 soit 2 (choisissons un vecteur B qui, joint ~t A, engendre cet espace; sur le dessin, B semble encore 6tre contenu dans F~, mais ceci n'intervient pas en fait dans le calcul). Repr6sentons f par une matrice: la colonne donnant l'image de A (resp. B) est nulle au-dessous des lignes correspondant h G 1 (resp. G2), et les (<carr6s>r hachur6s obliquement repr6sentent des op6rateurs inversibles. Pour exprimer qu'un op6rateur g voisin de f poss6de les propri6t6s dim (g-~ (Gi)c~ F/)= i, on 6crit que les deux op6rateurs repr6- sent6s par les matrices encadr6es de lignes fortes ont un noyau de dimension 1 : on proc6de pour cela comme dans le Lemme 1, et on obtient autant d'6quations (tangentiellement ind6pendantes) qu'il y a de cases hachur6es horizontalement.

i

BA - ~ .~ F ig . 6

298 G. Ruget:

Dans la deuxi~me assertion de la proposition 3, il est 6vident que la classe [K(Fi, Gi)]o ne d6pend que de la fonction x et de la suite gi choisie. Si nous appelons Q (x) l'unique nombre entier v6rifiant les in6galit~s

Q(x)-x(Q(x))<=O, Q(x)+ l - x ( Q ( x ) + 1)>0,

la plus petite suite g~ convenable est gl . . . . . gQtx)--O, et g i = i - x ( i ) pour i plus grand que Q(x) (nous appellerons Zl(x ) cette suite). Soit k un entier compris entre 1 et L(x); nous allons montrer que la dasse de cohomotogie associ6e ~ une fonction x e X et h une suite g~ convenable pour x est la m~me que la classe associ6e h x et ~ la suite {gl . . . . , gk-l, gk+ l, . . . , gL(x)+ 1}. Ceci entra~nera ~videmment le r6sultat final. Trai- tons, toujours/t l'aide d'un dessin, le cas L = 2, k = 2. Soient F~, F 2 , G 1, G z,

I l l

9 - - F I - -

Fig. 7

~:(f)

des espaces relatifs/t la suite {g j, g2 }- Lorsqu'on passe ~t la suite {g j, g2 + 1 }, ils sont remplac6s par F1, F~, G 1, G~, off G~ = G 2 �9 A, F 2 = F~ @ B. S i f est un op6rateur d'indice nul repr6sent6 par une matrice comme ci- contre, la colonne donnant f (B) est fortune d'un hombre ~(f ) (la composante de f (B) sur A) et d'un vecteur /3(f); nous appellerons ? ( f ) l'op6rateur repr6sent6 par le reste de la matrice. Dire qu'un op6rateur f appartient ~t K(F/, Gi) 6quivaut ~t dire que le noyau de la matrice ha- chur6e obliquement (resp. verticalement) a une dimension au moins 6gale ~i 1 (resp. 2). Dire qu'un op6rateur f appartient h K(F'~, G~)6quivaut

dire que le noyau de la matrice hachur6e obliquement (resp. encadr6e) a une dimension au moins 6gale h 1 (resp. 2). Consid~rons l'application affine T de O o darts lui-m~me qui, ~ f, associe l'op6rateur reprbsent6 par la matrice (~:(f)l~). On voit facilement que T-t (K(Fi , G,)) est 6gal ~t K(F'~, G'i), et on v6rifie sans difficult6 la condition de transversalit6 de la proposition 1.2.3. On a par cons6quent

[K(F' i, G'i)]o= T* EK(F~, G,)] o.

A p r o p o s des cycles analytiques de dimension infinie 299

Mais l'application Test homotope h l'identit6 de f2 (on peut prendre une homotopie ~affine>)). La proposition 3 est donc d6montr6e.

Faisons quelques commentaires sur les diff6rents sous-ensembles analytiques de O que nous avons propos6s pour repr6senter une m~me classe [x]. Quatre d'entre eux nous semblent particuli6rement simples:

1. Celui qui correspond ~ la suite Z 1 : reprenons la figure 1, repr6sen- tant le graphe d'une fonction x. Le nombre que nous avions appel6 qx /t l'occasion de la proposition 2 est 6gal h Q (x). On se convainc facilement que K (x, Z 1) est l'adh6rence d'un sous-ensemble analytique M de V~ les op6rateurs de M sont tous ceux dont te noyau (qui appartient ffiQ~x)) satisfait certaines conditions correspondant ~t la fonction ~2" et dont le conoyau (qui appartient aussi ~ ~Q~) satisfait d'autres conditions donn6es par la fonction ~'. Si alors nous reprenons la d6monstration de la proposition 2 en pensant h la description habituelle [4] de la cohomo- logic d'une Grassmannienne, nous trouvons que les classes Ix] (x~X) engendrent tibrement le groupe H*(f2; Z). Nous remarquons aussi que la cohomologie enti~re de ~2 est 6gale/t la limite projective de la cohomologie de ses sous-espaces compacts.

2. Soit Z 2 la suite {gi=i}. L'ensemble K(x, Sz) peut &re dbcrit de la fagon suivante: soit n, une suite de projections orthogonales de E, le noyau de n, ayant pour dimension n et contenant le noyau de n ,_ l ; K(x, 2`z) est l'ensemble des op6rateurs f~f2 tels que

dim Ker(n, o fo np)>n+p

pour tout couple (n, p) appartenant h la r6gion D~ situ6e au-dessous du graphe de x.

3. Soit 2" 3 une suite constante {gi=g>L(x)}: alors, K(x, 2`3) est l'ensemble des op6rateurs dEf2 tels que la contre-image p a r f d ' u n plan fixe de E, de dimension g, d6crive le sous-ensemble analytique W de tSg form6 des plans P tels que

dim (P c~ F/) > i pour i = 1 . . . . . g,

off F~ est de codimension x( i ) - i+g. Nous d6signerons W par le symbole [x]g (avec les notations de [4], ce serait le symbole [ N - x (1) . . . . . N - x (g)], off N = ~).

4. On pourrait enfin (ce serait une situation ~< duale >> de la pr6c6dente) consid6rer les suites Z 4 du type {gi=x(i ) - i+g} off g est un entier fixe assez grand.

Proposition 4. Lorsque x parcourt Y., les classes [x] engendrent libre- ment le groupe H* ((2; Z). De plus, pour tout x~Y., on a

[-~] = ( - 1) t~x) Ix] *, (1) 21 lnventiones math., Vol. 8

300 G. Ruget:

off a d&igne l'invotution de H*(f2) induite par l'adjonction (consid&~e comme une involution de I2).

La deuxi6me assertion r6sulte de l'aspect 1., et encore plus clairement de l'aspect 2., sous lesquels viennent d'appara~tre les classes Ix]: prendre la contre-image par l'adjonction de K (x, Z2) revient ~t 6changer les r61es de ne t p, donc ~ remplacer la fonction x par la fonction ~. Mais il faut prendre garde que l'adjonction ne conserve pas les coorientations canoniques de notre figure: les normales aux vari6t6s qui nous int6res- sent sont munies de structures complexes de dimension I(x), et, sur chaque droite complexe, l'adjonction renverse l'orientation. D'ofi le signe dans la formule (1).

Nous avons d6j~t sugg6r6 une d6monstration de la premi6re assertion. En voici une autre, introduisant de nouveaux objets qui vont nous 6tre utiles par la suite. Soient y une fonction de X, et g un entier au moins 6gal & L(y). Soit D 1 c - . . c Dg ~ E, un drapeau d'espaces vectoriels complexes de dimension finie, la dimension de D i 6tant 6gale & y ( g - i + 1) + i. Nous d6signerons par le symbole {y}g (avec les notations de [4], ce serait [y(g) . . . . , y(1)]) ]e cycle analytique de (fig form6 des plans P tels que

dim (P ~ Di) > i pour i = 1 . . . . , g.

Ce cycle a pour dimension 2I(y). Son produit externe par le g6n6rateur de Ho (ffig) donne un cycle de V g, donc de f2, et ce dernier cycle ne d6pend plus de g: nous le noterons {y}. On peut voir {y} comme une famille d'op6rateurs d'image fixe R (codim R=g), dont la famille des noyaux est {y}g (il y a dans cette famille un seul op6rateur pour chaque noyau). I1 est facile de voir, dans ffig (/l 1'imitation de ce qui se passe dans les Grass- maniennes de dimension finie), que Faction du cocycle [x]g sur le cycle {y}g est 1 si x = y , 0 dans le cas contraire. On en conclut que, dans f2, [x] ({y}) vaut 1 s ix = y, 0 sinon. Les classes [x] sont donc ind6pendantes. Comme leur nombre est convenable (prop. 2), elles engendrent le groupe H*(~).

Proposition 5. Le cup-produit [x'] w [n], off n d&igne la fonction de prenant comme seule valeur non nulle n, est ~gal d la somme des [y] ~tendue aux fonctions y ~ telles que I (y)= I (x)+ ne t x <_ y <= t(x), off t(x) d&igne la translat~e d droite, d'un cran, de la fonction x.

Exemples: [2] w [-2] = [4] + [3, 1] + [2, 2]

[33 w [1] = [43 + [3, 13.

C'est une adaptation d'un th6or6me de Chern. Nous allons d6montrer que (Ix] w In]) ({y}) vaut 1 si y v6rifie les conditions de l'6nonc6, 0 autre- ment. Choisissons un entier g au moins 6gal ~ L(x) et ~ L(y), et une d6composition directe G @ R de l'espace-but :b, avec dim G=g. Le


cocycle [n] peut-Stre repr6sent6 par l'ensemble des op6rateurs f e f 2 tels que dim ( f - I (G) (h K) ~> 1, o1~1 K est un sous-espace farm6 de l'espace- source .~, de codimension g + n - 1. I1 est clair que le nombre d'intersections 6tudi6 est 6gal au nombre d'intersections, dans 15g, des cocycles et cycles [-X]g, [n]~, et {y}g. R6crivons/t notre faqon le calcul de Chern: il faut d 'abord choisir des plans F~, Di, et K e n position g6n6rale dans .~i.

Remarquons que si, pour un i, y(i) est strictement plus petit que x(i), on peut prendre des plans F~ et Dg_i+ 1 ne se rencontrant qu'en 0, ce qui assure la vacuit6 de l'intersection de [x]g et {y}g. Nous supposerons donc d6sormais que la fonction y est au moins 6gale/l x. Decomposons -f3 en E' @ E ' , off E', de dimension g, est muni de coordonn6es eh associ6es /l la base e h, et off E" est muni de coordonn6es hilbertiennes flit associ6es /~ la base e~. Nous prendrons

F i=C e 1 @.. . | Ce i @ {/~l . . . . . /~x,~=O},

Di=Ce~_r �9 ... 0 Ceg Q C al 0 .--~) C ~ytg_i+ 1).

Posons Mi=Fi~ Dg_i+ 1 = C el @ C ax(i)+l @ ---G Cer(i ).

Ainsi, M = ~ Mi est la somme de E' et d'un certain nombre de droites C ~t, ce hombre ~tant strictement plus petit que n si, pour un i au moins, y(i) est strictement plus grand que x ( i - 1) (rappelons que I (y) = l (x) + n).

D6montrons que tout plan P appartenant /t t'intersection de [x]g et {y}g (ceux que nous venons de choisir) est inclus dans M. Consid6rons le graphe ayant pour sommets les entiers compris entre t et g, off on a joint les sommets i et i+ 1 dans le seul cas od y(i + 1) est strictement plus grand que x(i). Soit (p . . . . . q) une composante connexe de ce graphe: nous affirmons que tout P e [x]~ n {y}g rencontre

q

M i = C e e 03"" O) C eq | C e~(q) +1 @ " " �9 C at(p) = Fq c~ D~_ p+ 1 P

suivant un espace de dimension au moins ~gale /t q - p + l; en effet, d i m P = g , d i m P n F ~ > q et d i m P n D g _ e + t > g - p + l . Par ailleurs,

q

les diff6rentes sommes ~ M~ ne se rencontrent deux /t deux qu'en 0. P

La dimension de P ~ M est donc au moins 6gale/L ~ ( q - p + 1)=g.

Ier cas. I1 existe au moins un i tel qua y ( i ) > x ( i - 1). Nous pouvons alors choisir l'espace K, de codimension g + n - 1 dans .~, de sorte qu'il ne rencontre M qu'en 0, et l'intersection [x]~ c~ {y}g ~ [-n]~ est clairement vide.

2~me cas. Si y < t ( x ) , les espaces M i sont <~disjoints>>, et tout plan P e [x]~ c~ {y}~ rencontre chacun d'eux suivant une droite D i(P). Choisis- s o n s

K = {cq . . . . . ct~} ~ {fl~,~+ ~ . . . . . flr(o= 0 pour i = t . . . . . g}. 21"

302 G. Ruget:

L'intersection de K et M est alors r6duite/t la droite D = {a~ . . . . . ~g}. Cette droite devant &re une combinaison des droites Di(P) pour tout plan P ~ [x]g n {y}g c~ In]g, il est clair que la seule solution est D i(P) = C e i, donc P = E', et ceci avec la multiplicit6 1.

Corollaire 6. On a

[x] = d6terminant Ix (i) + j - i], 1 <=i, j<--L(x)

le ddterminant dtant pris pour le cup-produit, avec la convention de faire nul ce qui n'a pas de sens. L'anneau de cohomologie enti~re de ~ est donc l'anneau de polyn6mes Z [ I l l , ..., [n] . . . . ].

Exemple. [2, 21 = [2] u [2] - [3] u [1].

lntermdde. Etudions directement cet exemple, sans utiliser les classes d'homologie {y}. Choisissons deux sous-espaces E' et E" de .~, de codimension 1, dont l'intersection soit de codimension 2. Posons

K (E', 0) = V', K (E", 0) = V", K (E' c~ E", 0) = W.

Rappelons aussi que, pour tout p, la classe [VV]o n'est autre que,[p . . . . . p],. Nous pr6tendons d6montrer l'6galit6 p(o~

IV'] ~ [v " ] = I-F 2] + [ ~ ' ] u [ w ] .

Soit U t le compl6mentaire dans f2 de ~2, et U 2 celui de ~1 c~ W. On voit facilement que U 1 w U 2 est 6gal ~ 04 , / t un ferm6 de codimension topologique 16 pr6s, donc que H4(t2)=H4(U1uUz). On voit aussi que la cohomologie de U I n U 2 (i.e. l'ensemble des op6rateurs dont le noyau est de dimension au plus 1 et n'est pas contenu dans E' n E") s'annule en degr6s impairs. L'application naturelle de H4(U1 u U2) dans H4(U0O) H4(U2) est donc une injection, et il suffit de d6montrer ta formule con- voit6e dans U1 et U 2 successivement. Dans U2, elle tient/l ce que V' et V" se coupent transversalement le long de ~2. Dans U~, V' et V" se coupent le long de V~r~ W, mais pas transversalement; toutefois, l'intersection est transverse si l 'on consid6re V' et V" comme sous-~vari6t6s, de V~; on applique alors la propri&6 1.3.7.

Proposition 7. Si P,(c a . . . . . %) est le polyn6me qui exprime la somme des puissances n ia"~ d'un nombre suffisant de variables en fonction de leurs polynfmes sym(triques ~l~mentaires, posons Ch, = P~([1] . . . . . In]). On a

n - 1

C h , = ~. ( - 1 ) v [ p + l , n - p - 1]. p=O

Nous rappelons que (p+ 1, n - p - 1 ) d6signe la fonction de 3E qui prend la valeur p + 1, puis n - p - 1 lois la valeur 1.


Exemples. Ch 1 = [-1],

Ch2 = El, 1 ] - E2] = Eli u [ 1 ] - 2E2].

Nous proc6dons par r~currence sur n. Pour ealculer Ch.+ 1, consi- d~rons les n+ 1 racines du polyn6me T "§ - e l T " + - - - + ( - 1) ~+~ c,§ Nous trouvons

n

Ch.+ x = ( - 1)" (n+ 1) [n+ 1] + ~ ( - 1)P+' [p] w Chn_p+ 1. p = l

D'apr6s l'hypoth6se de r6currenee n--p

Ch,_e+x = ~( -1 ) i [ i+ l ,n -p - i ] . i = 0

D'apr6s la proposition 5, i n f (i , p)

si iNn-p- l , [ i+ l ,n-p- i ]w[p]= ~ [ i + l + p - q , l + q , n - p - i - 1 ] q = 0

inf (i, p - - 1)

+ ~. Ei+p-r , l+r ,n-p- i ] ; r = O

i n f ( p , n - p + l )

pour i=n-p,[n-p+l]u[p]= ~ [n-q+I,q]. q = O

Done

C h. + ~ = ( - 1)"(n+ I) [-n+ 1] + ( - 1) "+1 ~2 [n-q+l,q] p= 1 . . . . . .

q = 0 , . . . , i n f ( p , n - - p + l }

+ ~ (-1)P+'+lEi+l+p-q, l+q,n-p-i-1] p = l , . . . , n - - 1

i = O . . . . . n - - p - - 1 q = 0 . . . . . i n f t,p, i)

+ ~ (--1)P'+'[i+l+p'--q,l+q,n--P ' - i - l ] p ' = O . . . . . n - -2

i = 0 . . . . . n - p ' - 2 q = 0 . . . . . i n f (p ' , i)

n - - 2

Ch.+l~-(-1)"(n+l)En+l]+(-l)"(n, 1)+ ~(-1)i( i+l ,n-i) i = 0

+ ( - 1 ) " Z [n-q+l,q] p=I . . . . . n - - 2

q = l . . . . . i n f l p + 2 , n - p }

+ ( - 1 ) "+1 ~ [n-q+l,q]. p = l , ._, ,n

q=O . . . . . i n f ( p , n - - p + l )

On v~rifie facilement que la deuxi~me ligne de cette expression vaut

n ( - 1) "§ I-n+ 1] + 2 ( - 1)"+1 [n, 1].

304 G. Ruget:

D'ofi . - 2 Ch.+ , = ( - 1)"[n+ 1] + ( - 1)n-l[n, 1 ]+ ~ ( - 1) '[i+ I, n - i ] .

i=o Proposition 8. Soit S l' apflication de ~2 x ~ dan~ g2 qui r~sulte, par une

transmutation convenable, de l'application qui associe d deux opdrareurs

f et g la matrice ( f O) . on a g

I I

s* [n3 = ~ [p] • I n - p]. p=0

Ecrivons ~ = E ' G E " , off les espaces E ' e t E" sonl tous deux de dimension infinie, et consid6rons l'application S comme allant de O(E')• O(E") dans/2(.~). Nous voulons &udier S*[n] . {y} • {z} (off y et z sont des fonctions quelconques de ~), ou aussi bien In]. S({y} • {z}).

lercas. On a L(y)>l , ou L(z)>l . Puisque I(y)+I(z)=n, cela se traduit par l'in6galit~ y(1)+z(1)<=n-1. Choisissons dans E' (resp. E") un plan G' (resp. G") de dimension g'>L(y) (resp. g'>=L(z)) et un plan F' (resp. F") de codimension y(1)+g ' (resp. z(1)+g"). Le cycle {y} (resp. {z}) de P(E') (resp. ~(E")) peut &re repr6sent~ par une famille d'op&ateurs f ' (resp. f " ) tels que f ' - I(G') n F' = 0 (resp. f " - I(G") c~ F" = 0). Le cycle S({y} • {z}) de O(:b) peut donc &re represent6 par une famille d'op&ateurs f tels que f - I(G' @ G") n (F' �9 F") = 0. Or, le cocycle In] est par exemple associ6 ~ l'ensemble des op~rateurs de O(S3) tels que dim f -l(G' G G " ) n F > l, o~ F, de codimension g ' + g " + n - l > g ' + g" + y(1) + z(1) peut &re choisi centenu dans F' | F".

2~me cas. I1 ne nous reste plus qu'~ montrer que [n]. S({p} • {n-p}) vaut 1. Choisissons dans E' (resp. E") une droite G' (resp. G") et un plan D' (resp. D") de dimension p + 1 (resp. n - p + I). Choisissons dans .~ un plan F de codimension n + 1 rencontrant D' | D" suivant une seule droite A, qui ne soit situ6e ni darts D', ni dans D". Le cycle S({p} x { n - p}) peut &re repr&ent6 par une famille d'operateurs f tels que f - ~ (G' ~ G") soit un 2-plan s'appuyant sur D' et D". Et [n] esl par exemple associ6 g l'ensemble des f tels que dim f - 1 (G' | G") n F > 1. II y a alors un seul plan f - ~ (G' @ G") convenable, et ceci avec la multiplicith 1.

Remarque. L'application f ~ S(f, f") est homotope /t l'application

f - - , [10], donc ~ une constante 4. D'ofl la formule

( ~ [ ] ) ( ~ [ ] ) ( ~ [ ] ) ( ~ , 1) [n]) rt k.3 n a = n U __ n = 1 , \ n = 0 ! \ n = 0 I \ n = O I \ n = O

que l'on peut bien stir v6rifier par le calcul.

4 En effet, toute famille d'op~rateurs/l indice autoadjoints (complexes) est homotope (dans O) fi une constante. Cette m~me remarque montre que a est I'involution canonique de l'alg~bre de Hopf H*(O).


Classes et caract~re de Chern

Etant donn6 un espace connexe paracompact Y, le groupe de Grothen- dieck K(Y) des fibres vectoriels de rang fini de base Y s'injecte dans le groupe !;I(Y) fabriqu6 avec les complexes quasi-acycliques de fibres hilbertiens de base Y [10], lequel s'identifie /~ t'ensemble des classes d 'homotopie d'applications continues de Y dans ~2 (en g6n6ral, R(Y) est strictement plus grand que K(Y): prendre pour Y l'espace ~20; ces deux groupes coincident cependant lorsque Y est compact). Pr6cisons le ~ signe >> de notre application de K (Y) dans [ Y,, ~2] : ~ une diff6rence de fibr6s 4 - t / , nous associons la classe d 'homotopie d'une quelconque famille d'op&ateurs fi indice param6tr6e par Y dont la famille des noyaux <<soit>> q et dont la famille des conoyaux soit 4.

Nous pouvons d~finir une notion d'amplitude pour les classes c ~ [ Z f 2 ] : nous dirons qu'une classe e est d'amplitude inf6rieure ou 6gale/~ p s'il existe une application a de Y dans f2 repr6sentant e et un entier n tels que l'image de a soit contenue dans Q"+P- fP . Par exemple, les classes de [Y, ~2] qui appart iennent/ t l'image de K(Y) sont exacte- merit les classes d'amplitude 1. Nous allons d6finir des classes de cohomologie enti6re y,~H2"(g2;Z), qui induiront des classes 7,(~)e H2"(Y; Z) pour tout c~e[g, ~2]. Puis, nous v6rifierons que, pour les o~ d'amplitude 1, ces classes sont les classes de Chern.

D~finition. La composante dans O 0 de 7, sera In]. Sa composante dans un quelconque f2~ est d~finie de fa~on toute semblable: soient p, q deux entiers positifs ou nuls tels que p - q = n+ i - 1 , F un sous-espace ferm6 de 5, de codimension p, et G u n sous-espace de .~ de dimension q; soit K i (F, G) l'ensemble des op6rateurs f e ~ tels que f - 1 (G) c~ F ne soit pas r6duit /t 0. On v6rifie, comme dans le cas i=0 , que K+(F,G) est un joli sous-ensemble analytique comptexe de ~ , de codimension n, et que la classe [K~(F, G)]e, ne d6pend en fait que de n (et de i): c'est cette ctasse qui est, par d6finition, la composante de 7, dans f2~.

Proposition 9. Si ~ est d'amplitude 1, ?,(cO est ~gale d la classe de Chern c, (~).

l~re dOmonstration. Supposons que e soit l'image de la diff6rence - r / , avec rg q - r g ~= i. Soient P et Q deux espaces vectoriels de di-

mension finie, tels que dim P - d i m Q = n + i - l . Si nous appelons ~' (resp. q') le fibr6 4 G P (resp. q ~ Q), nous avons rg 4 ' - r g t / ' = n - 1 . Nous savons qu'alors c, ( 4 ' - q ' ) = c, ( ~ - q) est la premiere obstruction/~ trouver un morphisme injectif de q' dans ~'. Comme il suffit 6videmment de d6montrer la proposition dans le cas off tout est diff6rentiable, met- tons des structures diff6rentiables sur Y, ~ et q. Alors, c , (~ ' -q ' ) est repr6sent6 par la sous-vari6t6 entrouv~rte off un morphisme diff6ren- tiable g6n6rique q~ de q' dans 4' est de profondeur 1. I1 ne reste plus qu'&

306 G. Ruget:

superposer h ~ le morphisme nul de P dans Q et l'identit6 d'un fibr6 trivial h fibre hilbertienne .~' de dimension infinie, ~ trivialiser r / '~ ~ 'en F x Y, r / ' ~ )~ 'OP en .~x Y, ~ trivialiser 4'@-~'G Q en .~• Y: dans ces trivialisations, �9 �9 Id a, �9 0 devient a, qui repr6sente ~t, et, si l'on veut bien se souvenir que y. peut fitre repr6sent6 dans t2 i par Ki(F, Q), on voit que c. (4 -q) n'est autre que 7. (~).

2dine d~monstration. En vertu de la proposition 8, il nous suffit de voir que, si 4 est un fibr6 de rang p et zv le fibr6 trivial de m6me rang, on a, pour tout n, c, (~)= ~,(4-zv); c'est-~-dire de voir que les 7. (4-zv) v6rifient les axiomes des classes de Chern. Il y e n a en fait un seul que nous n'ayons pas examin6: c'est l'axiome de normalisation c(r/,)= 1 + h. (avec les notations de [8], p. 58). I1 r6sulte imm6diatement des d6fini- tions que

7 (z , - t /* )= ~ 7s(z,-r/*) = ~ (h.) j, j=o j=o

ce qui est bien 6quivalent.

Corollaire 10. Dans l'espace universel l/o, le caract~re de Chern (stabilis~) est la elasse

( - 1)n-~ [p, q]eH**(po; Z)"

Lr ( D + q ) ! -

Remarque. Ind6pendamment de nous, Koschorke a donn6 dans [13] une interpr6tation analogue des classes de Chern. En fait, ce qu'il prend comme n ~m~ classe de Chern est plut6t notre ( -1)" [n], ce qui est tout ~ fait compatible avec notre d6finition, la proposition 4, et le fait que son injection de K(Y) dans [Y, ~] est du <<signe~) oppos6 ~ la n6tre.

Troisi~me partie: Un autre th~r~me d'image directe

D~finition 1. Soient W une vari~t~ analytique banachique complexe, et A un ferm~ de W. Nous dirons que A est un sous-ensemble analytique de dimension finie de W si, localement dans W, A est un sous-ensembte analytique d'une sous-vari~t~ analytique de dimension finie de W.

Cette d6finition parait plus restrictive que celle donn6e par Douady [5]. Elle est cependant 6quivalente: soient en effet E un espace de Banach, et X un germe ~t l'origine de sous-ensemble analytique de dimension finie au sens de Douady, c'est-h-dire muni d'un mod61e M ~ ~, off M est un germe de sous-ensemble analytique ~ l'origine d'un C". Soit i , T une r6alisation de M dans son espace tangent de Zariski. Prolongeons

en une application analytique T de T dans E. Puisque M est un


mod61e de X, l'application ~*: (gE--~tP M est surjective; rapplication ~ . : Der (gM---~Der (ge est donc injective, et, i . 6tant bijective, ~'.: Der O r ~ Der (9~ est encore une injection. Or, ~u. n'est autre que ~'(0); 7J(T) est donc un germe de sous-vari6t6 de dimension finie de E, qui contient X.

Nous nous proposons de d~montrer le

Th~or~me 2. Soient V un espace analytique de dimension finie, W une vari~t~ analytique hilbertienne, et f une application analytique propre de V dans W. Alors, f ( V ) est un sous-ensemble analytique de dimension finie de W.

Si on examine une d6monstration du th6or6me classique de Remmert, on voit que le th6or6me 2 sera une cons6quence des deux lemmes suivant:

Lemme 3. Soit W une vari~t~ analytique hilbertienne. La r~union d' un hombre fini de sous-vari~tks analytiques de dimension finie de W e s t un sous-ensemble analytique de W de dimension finie.

Lemme 4. Soient E' un polydisque de C", E" une boule (ouverte) d'un espace de Hilbert, E le produit E' • E" et ~ la projection de E sur E'. Soit X un fermO de E, localement compact, tel que la restriction de rc f X soit une application finie. Supposons qu'il existe un sous-ensemble n~gligeable A de E' tel que X - ~z-l(A) soit une sous-varikt~ analytique de E-r~- l (A) , soit dense dans X, et tel que la restriction de zc gt X - iz- 1 (A) soit un rev~- tement sur E ' - A . Alors, X est un sous-ensemble analytique de dimension finie de E.

Remarque. Si on d6sire seulement la conclusion << analytique >> (n6gligeant <~de dimension finie>>), ces lemmes, et le th6or6me2, se d6montrent comme dans le cas classique, sans aucune hypoth6se ~<hilbertienne>~.

Enonqons une proposition, dont les lemmes 3 et 4 seront des con- s6quences.

Proposition 5. Soient Y un germe de sous-ensemble analytique de C", E un espace de Hilbert, et f u n germe d'application analytique de X dans E, tel que 0 soit isol~ dans f - i f ( O ) (tous les germes sont pris f rorigine). Alors, f ( X ) est un germe de sous-ensemble analytique de dimension finie de E.

D~monstration de 5 =~ 3. Etudions la r6union de deux germes l'origine de sous-vari&6s de dimension finie d'un espace de Hilbert E. Soient #: C " ~ E et v: CP--*E des cartes de ces sous-vari6t6s (#(0)= v(0)=0). Dans C "+p, consid6rons le sous-ensemble analytique F = C" x 0 u 0 x C p. La juxtaposition de # et v donne une application 7 de F dans E qui est analytique et finie; la proposition 5 permet alors de conclure.

308 G. Ruget:

D~monstration de (5 et 3 ) ~ 4. D'apr6s un th6or6me de Grauert et Remmert [-6] (Satz 32), X est localement r6union d'un nombre fini de branches X, qui peuvent 6tre munies de structures analytiques X, dont la topologie sous-jacente soit celle induite par E, et qui prolongent la structure analytique induite par E - ~ - I ( A ) . Les fonctions holomorphes sur X, sont les fonctions continues dont la restriction ~ X , - ~ - i (A) est holomorphe. D'apr~s un lemme de Bungart [3], l'injection canonique de )~, dans E est analytique; son image X, est donc, d'apr6s la proposition 5, un sous-ensemble analytique de dimension finie de E.

Avant de d6montrer la proposition 5, indiquons un lemme qui permet de se limiter au cas off Y est lisse:

Lemme 6. Soient Y un germe de sous-ensemble analytique de C n, E un espace de Banach de dimension infinie, et f un germe d'applieation analytique finie de Y dans E. Ators, on peut prolonger f e n un germe g d" application analytique finie de C n dans E.

Soit �9 un prolongement analytique quelconque de f ~ C~; il existe un sous-espacc F de E de codimension finie tel que ~(Cn)~F--O. D'autre part, Y peut ~tre d6fini dans C ~ par un nombre fini d'6quations scalaires, done par une application analytique ~ de C ~ dans F. On peut prendre g = �9 + ~g.

La premiere 6tape de la d6monstration de la proposition 5, et c'est d'elle seule que provient la restriction ~<hilbertienne>> (que nous 16verons plus loin dans le cas off Y est C), consiste en la construction d'une suite ~ de formes lin6aires continues sur E, d'une suite e~ de vecteurs uni- taires de E, et d'un voisinage compact K de 0 dans Y tels que:

A. pour tout couple (i, j), 2~(ej) soit 6gal ~ ~j;

B. la s6rie ~ sup [2i(f(z))l soit convergente, i= 1 z e K

C. pour tout z~K, on ait f ( z )= ~ 21(f(z))el. i = l

Pour cela, ordonnons les vecteurs d6riv6es en 0 d'un prolongement quelconque de f ~t C ~ de fa~on compatible avec le poids de la d6rivation, et appelons E~ le drapeau engendr6 par cette suite de vecteurs (les espaces E i 6tant index6s par leur dimension). Soient e i une base orthonormale adapt6e au drapeau E i, et 2~ la base duale. Le vecteur d6riv6e Oj~...j, appartient sfirement ~ EIjl, ; on a done

oo

[~i(Oj~ ...j~)[ =< [jl~ [tOj~ ...j,[t i=1

et un calcul facile montre que, si (~i) est un point off la s6rie de Taylor de f converge absolument, on peut prendre pour K un polydisque de rayon strictement inf6rieur ~ min [~i[-

A propos des cycles ana ly t iques de d imens ion infinie 309

Cette 6tape franchie, notons toujours E~ te sous-espace de E en- gendr6 par e 1, ..., e i; appelons F~ l'intersection des noyaux de ,~1 . . . . . 21, qui est un suppl6mentaire de El; soit enfin f~(z) la fonction ,~(f(z)) et 4/(z) l'application de Y dans E /de coordonn6es fl(z) . . . . , f~(z). A partir d'un certain rang I, le morphisme 4 iest fini: en effet, la suite des germes 4 i - l (0)=f- l (F~) de sous-espaces de Y est d6croissante e t a pour intersection 0 (bien que ~F~ ne soit pas n6cessairement r6duit ~t 0). Le th6o- r6me de pr6paration [-9] nous enseigne alors que 4 " fait de 0 r u n (_rEx- module de type fini. Pour j plus grand que I, la suite des 4 " (ge~, qui est une suite croissante de sous-Oefmodules de (Pr, stationne done ~t partir d'un certain rang, soit J. Appelons ah(fl(z ) . . . . , fj(z)), pour h compris entre 1 et H, un syst6me de g6n6rateurs de 4 j ~ (fEj sur l'anneau (~E," Ce qui pr6c6de montre que, pour n plus grand que J, on peut 6crire

H

f,,(z)= E ah,(fl(z) . . . . . f1(z))ah(f, (z) . . . . . fj(z)), h = l

off les cth,(yl . . . . . Yl) sont des germes de fonctions holomorphes sur E I.

Nous voyons ainsi que, si nous savons bien choisir les coefficients uh, nous pourrons enfermer l'image de f dans le graphe d'une application analytique de Ej dans Fj. Utilisons pour cela la topologie <~canonique>> de Jurchescu [12-]. Le corps de base ~tant C, si X est un germe d'espace analytique, la topologie dont on munit O x n'est autre que la topologie limite inductive sur la rbunion des B(K), lorsque K parcourt l'ensemble des voisinages compacts de l'origine de X. D'apres le th6o- r6me du graphe ferm6 pour les limites inductives d6nombrables d'espaces de Banach, sur 4j~(OEj), la topologie de (Pefmodule de type fini et la topologie induite par (9 r coincident. D'apr6s le thaoreme 3.1 de [12], l'6pimorphisme a de ((PEr) n sur 4*(~0E~) r6sultant du choix du syst6me de g6n6rateurs a, admet une section continue s, de composantes s h. Les germes f , ( n>J ) 6tant d6finis sur un m6me voisinage compact K de 0 dans Y, les germes Sh(f ~) seront d6finis sur un mame polydisque A' de Ez. Soit A un polydisque de Ej , off les germes a h soient d6finis, et dont la trace sur E~ soit contenue dans A'. Consid6rons la fonction analytique sur A

H

g,(Yl, "'" Ys) = ~ sh(f~)(Yl .... Yt) ah(Yl, ..- YJ). h = l

II existe une constante C (ind6pendante de n) telle que

sup lg.(Y)] < C sup [ f.(x)l. yEA xEK

Ceci, joint ~t la condition B, montre que la s6rie G(y)= ~ g,(y)en n = J + l

310 G. R u g e t :

converge absolument uniform6ment sur A et d6finit un germe d'application analytique de Ej dans F s dont le graphe contient l'image du germe de f

Remarque. Si, dans la proposition 5, on supprime l'hypoth6se t~f finie~ l'image de f peut n'~tre contenue non seulement dans aucune sous-vari6t6 analytique de dimension finie de E, mais m6me darts aucune hypersurface analytique r6guli6re de E: consid6rons en effet le germe d'application de C 2 dans E2(C) qui, au couple (x, y), associe la suite (x, x y , x y 2 . . . . ); on v6rifie que toute fonction analytique scalaire ~ sur [2(C) qui s'annule sur l'image de f a n6cessairement une d6riv6e /t l'origine nulle (on regarde les coefficients des termes en x yi du d6velop- pement h l'origine de ~ of).

Th6or~me 7. Soient V une surface de Riemann, W une vari~td ana- Iytique banachique, et f une application analytique propre de V dans W. Alors, f (V) est un sous-ensemble analytique de dimension f inie de I4(.

D6montrons d'abord l'analogue de la proposition 5, dans le cas off Y est C et oti E est un quelconque espace de Banach. Cherchons des suites 2 iet ei v6rifiant les condition A, B, C. Soit E~ le drapeau engendr6 par la suite des vecteurs d6riv6es en 0 de f (dim E~ = i). Prenons pour e~ un vecteur unitaire de E~; indiquons comment, ayant choisi e~ . . . . e, et 2~, ... 2~_~, nous choisirons e.+~ et 2.: soit/G une forme lin6aire sur E, de norme 1, prenant la valeur 1 sure . ; appelons )., la forme lin6aire de noyau E~_ 1 G (ker 2~ c~ ... n ker ).~_ 1 n ker #~) prenant la valeur 1 sur e~, et prenons pour e n + l un vecteur unitaire de ker 2~ n ..- n ker 2. c~ E.+~.

oo

D6montrons que, six appartient a E,, on a ~, I,;tj(x)l < 2 ~ IIx II- Appliquant j = l

en effet #v ~t l'6galit6 d6finissant 2p(x), nous trouvons

p- - I

j = l

d'ofi p--1

IXv(x)l~ llxl}-4- ~ [;L~(x)t, . /=1

d'ofi [2v(x)l<2P-1 Ilxl[, et le r6sultat en vue. Soit maintenant ~ O~z i j = l

le d6veloppement ~ l'origine de f ; il converge absolument uniform6ment dans un disque de rayon R. D'autre part, 0j appartient certainement ~ E s. Donc

sup 12,(f(z))l __< ~ I;t,(0j)t p~_-< Z 2J II0jll pZ i = l Izl=l ~ i,j j= l


La condition B e s t donc v6rifi6e si nous prenons pour K le disque de rayon R/2. La condition A est 6videmment remplie, et C provient d'une interversion de sommations.

On peut maintenant recopier la fin de la d6monstration de la proposition 5. Remarquons toutefois qu'ici, on peut toujours prendre I 6gat ~ 1; les ~ -modules (gy et ~j~ d~ej sont alors libres, et, si nous choisissons les gbn6rateurs a h ind6pendants, les majorations d6sir6es sont automatiquement r6alis6es, comme on peut le v6rifier ~ la main.

D6montrons maintenant le th6or6me 7. Soit y un point de f(V); sa contre-image est la r6union d'un nombre fini de composantes connexes compactes de V e t d'un ensemble fini x i, et les points de f (V) voisins de y ne peuvent provenir que de points voisins des x i. Montrons par r6currence que la r6union des images de petits voisinages V~ des xl est contenue dans une sous-vari6t6 analytique de dimension finie de W: soit w une sous-vari6t6 contenant f ( V O u ..-wf(Vp); par un auto- morphisme local de W, nous pouvons supposer que w est un plan; soit n la projection parall~lement fi ce plan. L'application n o f de Vp+ 1 dans << W/w>> a son image contenue dans une sous-vari6t6 de dimension finie (m6me si cette application n'est pas finie, car elle est alors constante!) dont la contre-image par rc est une sous-vari&6 de W de dimension finie contenant f (VOu ... u f(Vp+ O.

Indiquons enfin une cons6quence du th6or~me 2, en r6ponse/l une question de Remmert:

Proposition 8. Soient V un voisinage ouvert de l'origine d'un espace de Banach, W un espace de Hilbert, et f une application analytique de V dans W, transformant 0 en O. Supposons que les fibres de f soient pure- ment codimensionelles de rn~me codimension n. Alors, il existe un voisinage de 0 dans V dont l'image par f soit un sous-ensemble analytique de dimension finie (pr~cisOment n) d'un voisinage de 0 dans W.

Ramenons-nous au cas off la dimension de Vest finie, qui est quasi- ment trait6 dans [-16] (proposition VII.2.3). Soit S u n plan de V, de dimension n, ne rencontrant f -1 (0 ) qu'en 0 (on restreint 6ventuelle- ment V). L'application fls 6tant/L fibres discr~tes, le germe d'ensemble f(S) est analytique de dimension finie n. Nous allons montrer que f - i f ( S ) est le germe de V tout entier: c'est un germe analytique et, s'il n'6tait pas V entier, il existerait une droite T n e le rencontrant qu'/~ l'origine. Or, consid6rons rapplication f restreinte ~i S @ T. Ses fibres sont a priori de codimension au plus 6gale/t nen tout point, mais, 6tant donn6 un point x de S ~ T assez voisin de 0, le parall+le/t S men6 par x rencontre f - 1 ( 0 ) suivant un ensemble fini non vide, done toute autre fibre de f suivant un ensemble fini, et f - i f(x) est de codimension en x

312 G. Ruget: Apropos des cycles analytiques de dimension infinie

au moins 6gale fin. Appliquons le r6sultat classique ~t r iser : f-~f(S) contient S ~ T, ce qui est contraire au choix de T.

Remarquons que l'hypoth6se faite dans la proposition 8 entraine que le rang de f est born6 par n, cette borne 6tant atteinte. Mais une hypoth6se de rang born6 s u r f ne suffit pas pour conclure.

Bibliographie 1. Borel, A., et A. Haefliger: La classe d'homotogie fondamentale d'un espace analytique.

Bull. Soc. Math. France 89, 461-513 (1961). 2. Bredon, G.E.: Sheaf theory. McGraw Hill series in higher mathematics. New York:

Mc Graw-Hill 1967. 3. Bungart, L.: Holomorphic functions with values in locally convex spaces and appli-

cations to integral formulas. Trans. Amer. Math. Soc. 111, 317- 344 (1964). 4. Chern, S.: On the multiplication in the characteristic ring of a sphere bundle. Annals

of Math. 49, 362- 372 (1948). 5. Douady, A.: Le probl~me des modules pour les sous-espaces analytiques compacts

d'un espace analytique donn6. Annales de l'Inst. Fourier 16, 1 (1966). 6. Grauert, H., u. R. Remmert: Komptexe Raume. Math. Annalen 136, 245- 318 (1958). 7. Grothendieck, A.: Local cohomology. Lecture Notes in Mathematics. Berlin-Heidel-

berg-New York: Springer 1967. 8. Hirzebruch, F. : Topological methods in algebraic geometry, third edit. Berlin-Heidel-

berg-New York: Springer 1966. 9. Houzel, C.: G6om~trie analytique locale. II. Th~orie des morphismes finis, expos6 19.

S6minaire Henri Cartan 1960-61. 10. Illusie, L.: Complexes de fibr6s et d6finition du foncteur K. S6minaire de Topologie,

I.H.E.S., 1964-65. 11. J~inich, K.: Vektorraumbiindel und der Raum der 'Fredholmoperatoren. Math.

Annalen 161, 129-142 (1965). 12. Jurchescu, M.: On the canonical topology of an analytic algebra and of an analytic

module. Bull. Soc. Math. France 93, 129-153 (1965). 13. Koschorke, U.: Infinite dimensional K-theory and characteristic classes of Fredholm

bundle maps. Dissertation, Brandeis, 1968. 14. Kuiper, N.: The homotopy type of the unitary group of Hilbert space. Topology 3,

19 (1965). 15. Malgrange, B.: Propri6t6s diff6rentiables des ensembles analytiques, expos6 13.

S6minaire Henri Cartan 1962-63. 16. Narasimhan, R.: Introduction to the theory of analytic spaces. Lecture Notes in

Mathematics. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1966. 17. Ramis, J.P.: Sous-ensembles analytiques d'une vari6t6 analytique banachique (h pa-

raitre chez Springer-Verlag). Consulter en attendant le S6minaire Pierre Lelong 1967- 68, Lecture Notes in Mathematics, expos6 15. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1968, ou l'expos6 de Henri Cartan au S6minaire Bourbaki, f6vrier 1969.

18. Smale, S.: An infinite dimensional version of Sard's theorem. Amer. Journ. Math. 87, 861 - 866 (1965).

19. Spanier, E.H.: Algebraic topology. McGraw Hill series in higher mathematics. Berlin- Heidelberg-New York: Springer 1967.

Gabriel Ruget 14, rue Gabriel P6ri 92 Montrouge, France

(Refu le 23juin 1969)

A propos des cycles analytiques de dimension infinie

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