A finite element method for magnetohydrodynamics

26
A ®nite element method for magnetohydrodynamics Nizar Ben Salah a , Azzeddine Soulaimani a, * , Wagdi G. Habashi b a Ecole de Technologie Sup erieure, D epartement de G enie M ecanique, 1100 rue Notre-Dame Ouest, Montr eal, Qu e., Canada H3C 1K3 b Mechanical Engineering, Concordia University, Montr eal, Qu e., Canada H3C 1K3 Received 22 December 1999; received in revised form 21 October 2000 Abstract This paper presents a ®nite element method for the solution of 3D incompressible magnetohydrodynamic MHD) ¯ows. Two important issues are thoroughly addressed. First, appropriate formulations for the magnetic governing equations and the corre- sponding weak variational forms are discussed. The selected B; q formulation is conservative in the sense that the local divergence- free condition of the magnetic ®eld is accounted for in the variational sense. A Galerkin-least-squares variational formulation is used allowing equal-order approximations for all unknowns. In the second issue, a solution algorithm is developed for the solution of the coupled problem which is valid for both high and low magnetic Reynolds numbers. Several numerical benchmark tests are carried out to assess the stability and accuracy of the ®nite element method and to test the behavior of the solution algorithm. Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. Keywords: Incompressible magnetohydrodynamics; Finite element methods; Hartmann ¯ows; Segregated algorithm; ILUT; GMRES 0. Introduction Despite the great development of computer resources and numerical methods in the two last decades, magnetohydrodynamic MHD) research is still mainly analytical or experimental in nature although the absolute number of numerical articles on MHD has been constantly increasing. Research on MHD ¯ows can be divided into two categories, inviscid compressible ¯ows mainly concerned with plasmas and viscous incompressible ¯ows for liquid metals. For a review of the mathematical modeling and numerical methods of compressible inviscid MHD problems, see [1,2]. Numerical modeling of incompressible MHD ¯ows has been done essentially in the framework of the development of a fusion reactor liquid±metal coolant and the revival of liquid±metal MHD electricity generation. These MHD problems have been extensively studied by the method of as- ymptotic expansions see [3] for a review of the results of these studies). The obvious restrictions inherent in asymptotic methods have been partially overcome by the development of semi-numerical methods [4,5]. However, these methods are still unable to solve the boundary layers. These ¯ow details could be obtained by means of a fully numerical approach. Yet, only a relatively small number of articles have used this approach mainly in one or two dimensions. For instance, Ramos and Winowich [6] proposed three nu- merical methods, a ®nite element formulation, a stream function-vorticity ®nite dierence method and a control volume type scheme. Regarding electromagnetic quantities, they solved for the electric potential, while the imposed magnetic ®eld is supposed to remain unperturbed. Scandiuzzi and Schre¯er [7] presented a ®nite element method for solving 2D MHD ¯ows. The method solves for the only non-zero component of www.elsevier.com/locate/cma Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190 2001) 5867±5892 * Corresponding author. Tel.: +1-514-396-8977; fax: +1-514-396-8530. E-mail address: [email protected] A. Soulaimani). 0045-7825/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII: S 0 0 4 5 - 7 8 2 5 0 1 ) 0 0 1 9 6 - 7

Transcript of A finite element method for magnetohydrodynamics

� ����� ������� ���� � �������� ��������

���� ��� ���� �� ��������� ��������� ���� ����� �� ������ �

� ������ �� ��������� �� �������� ��� �������� �� ����� ���������� ���� ��� ���������� ������ ���������� ������ ������ !� �"!� ��������� #������� �������� $�%����&� ���������� ������ ������ !� �"!

����� �� !! "������ #$$$% ���� �� �� � ���� � � !# &���� !'''

��������

(�� )�)� ) ������ � ����� ������� ���� � �� ������ � *" ����) ������� �������� ������� +,�"- ./�� (/

��) ���� ������ � � � ���� ��� ������ 0� ��� �)) ) ���� � �������� � �� �������� � � ���� �1������ ��� �� � �2

�)����� /��3 � ������� � �� � � ���������� (� �������� ��� �� � ������� �� ���� ��� � �� �� ����� ��� �� ���� �� � �����2

� �� ������� � �� �������� ���� �� �������� � �� �� � ������� ������ � ���� 3��2�����2�1�� �� � ������� � ������� �� ����

���/��� �1���2 �� �)) 4������� � ��� ��3�/��� 5� �� ����� ������ � ������ ��� ��� �� �� ��)�� � �� ������ � ��

��)��� ) ���� /�� �� ���� � �� �� ��� �/ �������� ������� ����� �� �� � �� ���� ���� ������ 3 ����� � � �� ��� ��

� ������ �� ��������� ��� ���� ��� � �� ����� ������� ���� ��� � ���� �� ��� � � �� ������ ��� ���� � !''# 6��� ��

������� ��7� ��� ���� ��� ���

"�&'����( 5���) ������� �������� ��������% 0����� ������� �����% �� ����� ./�% ��� ������ ��� ���% 589(% �,�6�

���� ����� �

"��)��� �� � ��� �� ��)���� � ��)��� ��� ��� ��� ���� ���� ����� �� �� �/ ���� ���������������� ������� +,�"- ���� � �� ����� ������ ���������� �4)� ������� �� ���� � ����� ��������� ����� � ���� ���� � ������ � ,�" �� ���� ��������� ��� ������� ����� � � ,�" ./���� �� �� ���� ��� �/ ����� ���� �� ����� ��) ������� ./� ������ ���� ��� /�� )������ ��� ���������) ������� ./� � ��1��� �������

0 � � ��/ � �� ����������� ������� ��� ���� ���� ����� � ��) ������� �� ����� ,�") ������ ��� :#�!;� ���� ���� ������� � ����) ������� ,�" ./� �� ���� ��� ����������� �� ��� ���/ 3 � �� �� ��)���� � � ����� ���� ��1���<����� ����� ��� �� � � �� � ��1���<�����,�" ����� ����� ���� ����� (��� ,�" ) ����� � � ���� �4����� ��� ������� �� �� ���� � ��2��)���� �4)������ +��� :*; � � � ��/ � �� ������ � ���� �������-� (� � ��� ��� ������ ��� ��� ������)���� ����� � � ���� )� ������ � ��� �� �� �� ��)���� � ����2���� ���� ����� :=�>;��/� � � ���� ����� � � ����� ������ � �� � �� ����� � ���� �� (��� ./ ������� ���� �� ��������� ����� � � ����� ���� ���� �)) ��� ?��� ��� � ����� ��� ����� ����� � � ������ � � ���� ����)) �� ������ �� �� �/ ���������� 0 ��������� ���� ��� ���/�� :@; ) )��� � �� ��2�� ���� ������ � ����� ������� � �������� � �� ��� �������2 ������ ����� ��A� ���� ���� ��� ���� � ���� ��)� ������ ���� ���� ����� �������� 1���������� ��� �� �� � �� ����� �� )��������/��� �� ��)��� �������� ���� �� ��))��� � ����� ��)� �� ���� ���������� ��� �� �.� :B; ) �������� ����� ������� ���� � �� ��� !" ,�" ./�� (� ���� �� �� � �� ��� ��2�� ��)���� �

///����� �� ���C�����C���D�)��� ,���� �))�� ,��� 6�� �� #$' +!''#- >E@B<>E$!

�D ��)����� ��� � (���F G#2>#=2*$@2E$BB% ��4F G#2>#=2*$@2E>*'�

#���� �������( ����������H������������� +�� ���������-�

''=>2BE!>C'#CI 2 ��� � �� ����� � !''# 6��� �� ������� ��7� ��� ���� ��� ���

J55F � ' ' = > 2 B E ! > + ' # - ' ' # $ @ 2 B

�� ������ ��� �� �������� ����� 0 �� ����� � �������� � �� �������� ����� �� �1����� ���� ��)�� ������� �� �������� ���� ��)���� � �� ����� � ������� ��� � �� /�����

*" ���������� � ,�" ����) ������� ./� � � � �� � � � �� 0 � �� >@# ���� ���� ,�" � 2������ )������� �� ��� �� ��������� ��� >@ � � �� 3��/ � KK*" � �� ���������LL� ��� ���/� � ��� �� �����)� � � ��/ �� )�)� � ) )���� ����� � �� ��� *" ,�" ./��

��� � :!#; ) ������� � ����� ��A� ���� ���� � ,�" ./� �� ��������� ������ (� ���� ��2��)��� �� �������� ���� ) ���� � � �� .��� �� ������ ��� �� ����� ��� � )� �� ����� �� �������� �� �������� ����� 5� �� �� � �� ������ ���� ��� �� ����� �� ����� )������� /�� �� �� ������������� ������ �� ������� �� �� �1������ ��� ) ������ ������ � *" �A���� � �� �� ��)��� ��� � �� ��������� ������ ����� � �� / 3 �� :*;� ��� � ���� ������ �� ����� � �������� ��� � � � ���������� � �� ����� �� )������� � �� �� � ������ � � � ���� ����� � ������� ��� ���� ��������� "���3 � �� :!!; ) )��� � ����� ��A� ���� ���� �� �� ���� �� ��2 ����� �� ������ ����� �2��� ���� � ������ ������� (� ������ ��� ��� �� ����� � �� �4)����� �����<M��������2���))��� ������ (�� ���� �� �� � �� ������� �� �������� ��� �� ���)� ��� � ����� ��� ������ /� � ) ������� � �� *" �� ����� ./ ��� ���� � ���� ) ����� (� ���� ���� ������ �/���� �������� /��3����� � �� �� ����� ������� ����� ��� �� � ������ ���)��� � ������� � �2���� /�� �� �� ����� ����� �� �� ��� � #'� �� � *'''��

"���3 � �� �� ��� :!*; �� �� � �� *" ������ ����� ./ ���� ���� ����������� ������� ���� �� ��.����� � � ��� � ��� ������ �4�� ����� �))���� �������� ����� (� ��� ��� ���� �� �� ���� �� ��:!!; /�� �� ��A� ���� ��� �� �������� ���� �� ����)��� � � �� ������ ��� �� ���)� ��� � ����� � ����� �������� ������� ����� � ���� � #� ��� �� ��� �� ���� ������� � � ���)� ��� � ��)�������� �� )������ ) )� ����� 5� :!=; ���� ����� ��A� ���� ���� � *" ,�" �1������ �� ) ������������ ���� ������ ���� � �� �� �����<J�������� ./ ��� �� �������� �3�� �A����

���� ���� �� ��������� ���� � �� ��� ,�" �1������� �� ����� ������� ���� �� �� �������� �� ���� �� �� ����� ��A� ���� �� ����� ���� ������ J��� �� :!>; ������� �� �������� � ������������ � ������� � ������ ����) ������� ./� � ����� ������ ��������� .���� �� ������ ��� ���)����� ���� � ������� ��� �4�� ��� �������� ����� (�� ����� ) �� �� ���������� �4������� ��� ���1������� �� ������� �)���������� �� ����� �� ����� � �� � �� ���� �� �� ���� ��������� ����)��� �� �� ������ ����� 0 ���� 3��� � ����� ������� �)) 4�������� �� ��� ��� �� ��� :!@; ) ������� � !"��2����� �2�)���� ����� ������� ���� � �� ,�" ������ ./�

�� ��� �� �������� ��� �� ��������� �1������ � �� �������� ���� � /��� � ����� ����� �� �� � 2���� ����� ������ � �1������� (�� ) ���� ��� �� � ��� �� � ))��� �� ��������� �1������(� �������� ��� ��� �1����� �� � ��A����<�� ����� �������2��3� �1������ ���� ��� �� ��� �� ����� �� � ��� ������ �� ��� �� ��� �� �� ��)��� � �� � �� ����������� ,�4/��� �1������� &� ���� ���� ������� � ����� �� �������� ���� � �� �� ���� ����� �������� 1�������� ���� ��� ���� � �� � � �� ��� )������� �� ����� �� �� ����4� � )� � ����� ���������� 0 � ���� �� � ��/ � �� ��� )������� ����� ��� ��� � ��� ����� �������� �))��������� ��� :E;�

5� �� ����4� � ,�"� ��� )������� ����� � � ���� ))��� ��� ������� ��� ���� ��)������� � ������� ����� �))�������� :!B;� 0��� ���� :$; ���� � ��� )������� � ������� � �� � �� �������� )� �� ����� �������� ��� ��� ) ����� (�� ���� � ����� �� �� � )� � ����� �������� ) ���� �� � ))����� ���� �A���� �� �� ,�4/��� �1������� ,����� :#'; �4������ ������������ ��� ���� ������ �� ) ����� �� ������ ������� � ������� 8��)��� �� ��� :##; ) ������� ���� ���� ������ � �� ,�" �A���� ���������� ������� ������ �������� � ������ !" )������� ��� �� �� � �� ����� )������� � ���������� �� �������� ���� ����� �� ���<�� � � ��/�

����� �� ��� :#!; �� ��)�� � !" ������2����� ����� ������� ���� � �� ��� �� �� ,�" ��� ��� �� �� ���� ) ����� ��������� /�� ����� �������� ������� +6,D-� (�� �) ������� �� ������ )2������� �� �� ����� �� �1������ � ��� ���� ���� �� ���� ���� �� 06,C�6,� D� ��� :#*; ���� ������ �������� ���� � �� �� ����� �� ��� )������� ��� � �������� ����� )������� � ������� ��������� � ������ �� ��� � ��� � ��� ����� �� �)��

,���� �� ��� :#=; ) ������� �� ��) ���� � ���� �)��� � �� ���� ��������� � ��� ��� � � ���� ����������� �� ,�" ����� �� ��� )������� � ��������� ���� � ������� � �� ��� ��)��� ./�/�� ) )��� /�� ������� ��A� ��� ���� ���� �)) ����� � ����� ���� ���� � �� .���) ����� � ����� ������� ���� � �� �������� ) ���� �� �� ��������� ����� ��� �� ����� ��

>E@E �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

���� � �� ��2��������� ������ ���� ��� ���� ��� � �� �� �� �� � ����� �4����� �� �� ������ ������ ���� �� ��� � ��� )������� � �������� ��� ��������� ��� /��� ))��� ����

(� ���� ���� ����� ��� )������� ����� �� ��� ����� �� �������� ���� �� �������� ��� ���� � �� � � � ��� )�������� 5�� ������ ��� ��� )������� /��� ��� ��)������� ��)��� �� � ��2�� � ����� ���� ���� � �� �������� ����� ( �� ���� � � 3�/������ ��� &3� ��� (������ :!$;� � �� ��)�� ���� ���� ������ /�� �4)������� ������� �� �������� ������� � �� �������� �����(�� ��� ����� � � ����� ������ �� 2�������� � ��2������� � � � � � ��� ������� �� � ��2�� � ������1����� /���� ��� ������ � �1������� (�� ) ������� ������ � �� ���� �� �� ����� � � �� �2����� ������ ��������� .��� ���� � �������� ����� ��� ���� �� ��� :#$�!'; � � ��� �4)������� ��)����� ��� ��2�� � ����� ������� �� ��������� �� �� ����� �� �� ������ � �1������ /��� � ����� �� � 2���� ������� � �� �������

�� ���������� � ���� ) � ��� / 3� :#$�!';� ��� )�)� ���� � �� ��) � ���� ��� ���2�A���� �,�" ��� ��� ��� ������� � �� �� <��3�� ./ �� � ��� � �������� �� � � �� ������ � *",�" �1������� ��������� �� ���� �� �� �� ������ � �� �/ ������� � �1������ �� � ����� ��)���������

(� ������� � �� )�)� �� ������� �� � � �������� 5� ������ #� �� � � ���� �1������ � ,�"./� � � � ��/��� (� ������� � ������� ��� �� ��� )������� � ������� � �� �������� ��2������ � � ) �������� (��� �� ���� ��� � � ������� �� �� ��)��� /�� ��3�� ��� ������ �� �42)����� ��)��� � �� � ��2�� � ����� ���� ���� � �� �������� ���� �� �� ���� ���� ������ ������ !����� /�� �� � ������� � �������� � �� ��A� ��� ������� � �1������ ��� � � ���� � ���� ���)�)� � (� ���� 3�� /��3 � � � �� +�� �- � ������� �� �������� �� ��� ��� � � ��4�� ����� �������� �������� � ������������ �����1�� �� ��� ����� � �� ��� ��� �� ����� � ����<�����3� ���������������� ��� � ���/ �1��� ���� )����� � ��� �� � ������� � )������ ���� �� ��� ��� ����� �� �� � � �� �� �������� �� � ����� �/� �� �� � 0 �� ��� )������� � �������� �� ���� 3�� /��3� � ���/� � �� ��� � �1��� ���� )����� � ��� � ������� (��� � ������������ �����1�� �� �1�� ��� ��� � ��������� (� �� �� <��3�� �1������ � � ���������� � �� � ���� 3��2�����2�1�� �� �� ��5� ������ *� �� ������ �� ����� � �� ����)��� � �������� +�� �- ��� +���- ��� �� ��)��� � 2������� +�� �� �� - �� ) �������� (� �� ����� � �� ��)��� ) ���� �� ����� � � ��2����� �,�6���� ��� ��������� /�� �� 589( ) ������������ (� ���� �� � � � �� ��� ������ ��� ��� ���/�� �� )��������� � �)���� �� �������� ��� �4 /��� � �� )������ )� ����� � �1�� � ��� �)�������5� ������ = �� � �� ������ 3 ����� /�� ���� � �� ���� ��� ��� ��������� � �� ��A� ��� ����� ������������ � � �� ��� ��� 0� �� ������ � � ) ������� � �� ��)��� � ������� +�� �� �� - �� �� ������� �� ) )��� ������ ��� ��� ��������� 5� ������ @� ���� ��������� � ��� / 3 ��� ���2������� � ���� � / 3 � � ) ��������

� ��� � ������� ������ ��

9��� �� ��������� ,�" �����)���� :#E; ��� �������� �� ����� �� ������� ��� � �� �������� ��,�" ��� � �1������ ��� �� ����� ��F

��

���� �� � �� ��� �� � �� � '� �#�

� � � � '� �!�

/� � � � #��� �� �� �������� ��A��� ��� ��N����� +� ��� � � �� ��)���� ���� �� �������� )� ������������ �� ����� �� ������� ���-� 5� 61�� +#- ��� +!-� � ��� � � � �� �������� ��� �� ������ ������ 61� +#- ���� /���23�/� � � � �� �������� �������� �1������ 5� ������� � � ��A��� � �����2 �� �� �<�� ��� �� � �� ���� � � ��2 �� �� � �� � ��� � �)� ���� �� ���� � ��2 �� �� �� 5� � ���� �� �� ������ ��� ����� ������� �� ���� �� ������� 1�������� �� ������ ����� � �� ���� ����� �������� ��� ���������� ����� /���� ��� ���� �� ����� 61� +!- �4) ����� �� ��������� � �� �������� ���� ��� �� �� ��� ������ ,�4/��� �1������� &��� 61�� +#- ��� +!- � � �� �� � �� �������� ����� �� ����� �� ���� �

��� �� ������� � � �� ���/��� �1�����F

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >E@$

� � ��� � �� � � � �� �*�

�� �� �� ���� �� )����� �� ��� �� �������� � ��2�� � ����� ���� ���� +!- �� ��)����� �� 61� +#-� 5�������� �� �� � ����� � 61� +#- �� ��3�� �� � �� �� � �� ���/��� ������� � �� �� � ����� � � �� �������F

��� � ���

� '� �=�

61� +=- ���)������ ��� �� �� � ����� � � ������ ������� � ���� ��� ��� �� �� �� �� ��������� ������/� � � �� �� /��� 3�/� ��� �� ���� ����� � ��� �� ������� �� � �����2� �� ���� �� ���� ���� �� ������ ���3� , � � � ����� �� ���� ���� ���� � �� �������� ���� �� �������� �� +!-� ��� ) )� ������ �� �� �4����� � � ���� ��� � ��� �� ��)�� � � ���� ���� ������ � �� )� ���� ��A� �������1������� (�� �� �������� ������ � �1������ ���� ������ � �� 61�� +#- ��� +!-�

���� ��� 55 �������677 8���������

�� ������ �� ������ '� ��� � ������� �� /����� ���� �� �� ���� ��� �� (� ��� ���� )��� � ��� � 2������� �� 61�� +#- ��� +!-� ��� ����� �� ��� �������� ������� ���

�� �� � �� � ��!� ��� � �� �>�

��� ����� 61� +!-� �� ���/��� ������� �1����� �� �������F

��

���� �� � �� � ��!� � '� �@�

���� ������� �� ,�" ������ � 61�� +#- ��� +!- � 61� +@- /�� �� �)) ) ���� ��� � ����� ���������� 5� ���� �� ���� ��� �� ��� ������ �� ���� ���� +!- �� �� ��� 61� +@- ������ �� � ������)�� ������ � �� �� �/� � � 61� +@- � ���� ������ ��� �� �� � ����� � � ������ ������� � ����� 5� ��� ������ ���

��� � ���

� � � ���!��� �B�

(�� �� � ����� ��� �� �4)����� � )��� � ��2���������� �� �� �� ���� ��� � � � �� /��3 ) ������������� /�� �� �������� �� �� ) ���� +@-�

������ � �� /��� ��3� � )��� �� � � �� ������ /�� �� ��3�� ) ���� � �� ����) ������� .���/�� ������� �������� (� ��3�� ) ���� �� / ����� ��F

�� � �!������ �� � �� �E�� � � � ' �$�

/�� � �� ������� ������� ��N����� ��� ���� �� ������ �� )� � � �� ������ � ������ ���� � 5� ���� � �� � � +E- ��� +$-� �� �1������ � �� �)����� ���� � ������� ������� �� ��� �� ��3��� ��� �61� +$-� ��� ������ ��

���!� �� � �� �#'�

����� 61� +$- �� ���� ���� �� �� � �� � � +#'-� �� �� /��� 3�/� ��� �� �� � 3��) �� �� � �����2� �� ���� ���� +$- /���� �� ������ � �1������ /��� �� ��)��� ��� ���� ���� ������ � �� ��3��) ����� (� ) ���� � � )���� �� �� � � 8�� ���� �����)��� �� �� � ��� �� �� ������ �� � �����2� �� �������� (�� ������ �� ��� ���� � �� �� �� <��3�� �1������� (� �������� ��������� 61� +!-�� �� ����� �������� �1�� ����� � �� �� ������� ��������� 61� +$- ��� ���� �� ��� ���������

>EB' �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

��.� ��� %����� ������� 8���������

���� ���� ��� � �� �� � ��� ������ � �� �������� �������� �1����� /�� ������ �� ����������� �� ������ ����� � ��� �� �� ��� ��� ���� � ��� )������� � �������� 0 � 61� +!-� �� �� ������� �� �������� ���� ������ � � � ��� )������� �

�� � � �� �##�(�� 61� +!- �� ������������ ��������� ����� ��� �� ����� �� ���� �� ������ ��

� � ���� ��

�� �#!�

/� � � �� �� ����� ����� �� )�������� �� ��� / ���

��

�� � � �� � �� #

���� �� � �� �� � '� �#*�

(�� �1������ 3�/� �� �� ��� )������� �1������ �/� ��� �� ���� � ����� � �� ��� )��������� ���� ����� �� �� ��A���� ��� �� �� ����� � �� ��� �������� )������� ��� �� �� ����� ����� ��)������� � ������� (� ���� ��� 61� +#*- ������ ��� �� �� � � � ��)���� ��� �� ��� )������� �������� �) � �� � ������ � �� � ��� � � ����� ������� +��� :!B;-� 5� �� ��������� �� �� ����� ������������4� � ��� �� D���� ����� ������ ��

� � � � '� �#=�(�� ����� ���� �� ���� ��)��� �4)������� �� ������ 61� +#=- � 61� +#*- �� ��������� �� �� ���J ���� :E;� �� ������ � )������ �� � � �� ��� )������� �1����� +#*-

��

�� � � �� � �� #

���� �� � �� � � #

��� � �

� ��� � '� �#>�

5� ���� � ������� �������� )� ���������� �� ���� �� ,�" �����)����� ��� �� ���� � ������� ��2����� ���� ��� ������ �� �� 8�)������ )� �� �)������ �� �� �<�� � )� ��

��

�� � � �� � �� � #

���!� �� � '� �#@�

(� ���� ���� � �� ����� �� �� ��� �� ��)����� �� �� ��� )������� �1����� +#*-� ��������� ��3��� ���� � ����� � 61� +#*- �� � �� �� � ������ ��

� ��� ��

���� � � �� � ��

�� '� �#B�

�/� � � ��� ���� ���� ���� ������� � ���� ���/� � � �� ������ ��� )������� �1�����+#@-� (� ����� �� �� ��� ���� ���� +#B- ��� �� � �� ) ��� ����� (�� ����� �� ����� � �������/��� ����� �� �� ������ � 61�� +#@- ��� +#B-�

��.��� 9������ %����� ������� 8����������� ������ �� 6��� ��� ���3�� :#>;� �� �� )������ � ����� � ��/ ��� )������� �� �� �� ���/���

�1�����F

�� � � �

���� �#E�

(�� ��� ���� � � �� ��� )������� �1����� +#*-� �� ��� �����

����

� � � �� � ��� #

���� �� � ��� � '� �#$�

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >EB#

6��� ���� ��� 61� +#$- �� � ���1�� ������ /�� �� ��)���� ����� ����� +#=- /�� /�� �� �� ��� ��)���� �� �� ���� ���� � � 6���L� ����� �� ���� ���/ �� ���� ) ���� � ��� ���� �� ��� )������� � ������� �� ������ � )������ �� � � 61� +#$- �� �� � ��)�� �� �� � �����2� ��������� +#=-� (�� /��� ������ �� �� ���� � ������� ��A��� ���� �� ���/��� ������ ��� )��������1�����F

����

� � � �� � ��� � #

���! �� � '� �!'�

��!� ��� ������%��%� 8���������

(� ���� ������� � �� ������� � ������� �� ��� �� ������ +#- ��� +!- �� � 2�)������� 0 �42��)�� �� �� *" ���� ��� �� �� ������ ���� �� ������� 3�/�� �� ������ ����� � �� ����� �1������/�� � �� ��3�/��� 5� :#@;� O���� �� ��� �/�� ��� �� �1�� ����� �������� �4���� �� �� )� � ����� 2�������� ����4�� �� ��� ������ �/ ����� ����� � ������� ��� �/�� ��� �� � ��2 �� �� 2�� �,�4/���L� ������ � �1������ �� �1�� ����� � � ��2 � 2�)������ ������ � �1�������

0��/��� �� ���� �����1��� /� /��� �/ ��� �� ������ +#- ��� +!- �� �1�� ����� � � ��2 � 2�)������ ������ � �1������� 8�� � �� � ������� ���)�� ��������� �� �4 ��� )�� ����� /�� ���������� �� �*� /�� � )����/��� ��� ����� � �� �� ���� � �# ��� �!� /�� � �� ���� � �����/� � ��� � 8�� 61�� +#- ��� +!- �� �� �� ����� � ��� �� ��������� /�� �)) ) ��������� � �������� � �� ������ �� � ������ � � ����� � ����� � � 61� +#- ������ �� �� ���/����1�����F

��

���� �� � �� ��� �� � �� �� � ' �� �� �!#�

8�� �� ������� "� ����� �������

� � ' �!!��� � �� ����� � �� (�3��� �� �� � ����� � 61� +!#- ��� ����� 61� +!- ������ ��

�� � ' �� �� �!*��� 61� +!*- �� ���P����� � �� ����� � ������� +!!-� ��� ����� � �� ���1�� )������ ������ � � ' � ��� �� ����� �� (�� �� ����� � �� ����� � ����� � ����� +/�� �� �� � ���� �� ����- ��� �������� � 61�� +!- ��� +!#- �� �1�� ����� � �� ������ +#- ��� +!-� (� ��/ ������ � �1������ �� �� ��*" ����� �� �1������ /�� �� ��3�/�� ��� �� � ���� � 2���� ������ �� ������ � �� ��3����� �� �� �� <��3�� �1������� � �� ���� ) ���� �� � 8�� ���� �����)��� ���� � ��� �� �� �� � �����2� �� ������� +!-�

������ � 61� +!#- ���� �� �/ ����� �� ���� �1�� ����� � ��� �)���������� �� ���/��� �1�� ������1����� �� �������F

��

���� �� � �� � ��!� ���� � �� �� � ' �� �� �!=�

5� �� ������� � �� )�)� � /�� /� ��� � �� ��� �� � �������� /� /��� �� ��� ��� � �� ������� �1������ +!- ��� +!=-�

������ � 5� �� ������ ) ��������� ��� �� ��2�4)����� ��)��� � �� ���� ���� +!- ���� ���� � ������ ������� ���� �������� 5� �� � �/ ���� ��))�� �� ����� �� �� �� � �����2� �� �1����� ��� ��������� 61� +#-� 0 ���)������� ��� �� ������ ���� �� �1��� � �� ��� ������ �� ) ���� � �� �������0 � +#-� �� ������

�� �� � �� � ' �� � �!>�

>EB! �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

/�� �� ��� ) ����� ����� � ��������

� � � � ' � �#� �!@�� � � � ' � �!� �!B�

(� ������ � 61� +!>-� ���P��� � �� ����� � �������� +!@- ��� +!B-� �� �� ���1��� 5� ������ � 3� �����)��� � �� � ������ � ����� � ������ ���������� �� �������� +!@- ��� +!B-� ��� ���� ���� ����� ) ���� +!>-<+!B- /��� ���� � ) ��� � ���1�� ������� (� ���� ���� +!- ���� ��� �� ��3�� ��������� ��� �� ��� �� ��3� � ����� ������� ���� ��� �� �� � �����2� �� ������� (� ��)��� � ���������� ������ �� 3� ��� � �)� ��� ������� � � ���1�� ���� ����� ��������

5������ ��� ���� � �� ����� )� ����� �� �� :#B;� �� � �4��� ����� �������� � ��� � � �� �����2����� ����� � ' � �#� � ��� � ' � �! ��� � ��2���� �� � )� � � �� (�� �� � �� � )� ������ ������� +!>-<+!B- ��� ��� ��� � � � �� �� ��� � ������� ��� �� �� ��� ������ �� � ������� ���� � �����2� �� �������� ��� �� � ' �� �� �� ����� � ' � �# ��� � ��� � ' � �!� ��� � �� �1��� �� ������� �� �� ����� � �� ) ��� ���� �� � )� � � �� ������ ��� � � ' � ��� �� ����� ��

��:� ��� � � ��������

(� ���� ��� ������� ���� ����� �1������ � � / ����� � �� ����) ������� .��� ��

� � � � '� �!E���

� �� � ��� � ��!� #

� � �� �!$�

/� � �� � � ��� � � �� ��)���� ���� �� ) ���� �� �������� 3�������� ������� ��� ��� � �� ����� 0 ,�" ) ������ �� ��� � �� �� � �� � � #

� � ��� ��� �) ������ �� 8 ���� � ��� ��� � �� ���� 2����� ���/��� �� �� ��� ������� ��� �� �������� ����� ��)������ �� �� ��� ������� �� ��� �4) ������� ��

��

� �� � ��� � ��!� #

� � #

��� � �� � � � '� �*'�

61�� +!- ��� +!=- ���� /�� 61�� +!E- ��� +*'- �) ����� �� � � ���� �1������ ��� ���� ������� �� ��� �� �� �� � ���� ��� ) )� �� ��� ,�" )������� (��� �1������ � � ����� ��)���� ����� ��/2/�� ��)���� �4���� ���/��� �� .��� ��� �� ����� �������� ������ (� ��2���������� � � ��1������ �������� �� ����� � ��.����� � �� �� �� � �� /�� �� ��)���� �� �4� ��� ��� �� / �����F

���

� ��� � ���� � #

���!�� �� � ��!

������� � ��� � �� � '� �*#�

� � �� � '� �*!����

��� � � ��� � ��� #

����� �� � ��� ��� � '� �**�

� � �� � '� �*=�

/� � �� �������� ������� ����� ��� ��� �� �� ����� ����� �� � �

��� � �� '�� �� � �'���

� �#�!

�*>�

���� ��)���� ���� ����� � �� ����� � ��) ����� � �� �� ����� � �� �������� ���� � ��� ��A�������� �� ����� � ��) ����� � �� ����� �������� � ��� � �� ����� ����

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >EB*

� !������ ��" � ���"��� �� ��� #���� �"����� ��������$��� �

(� ���� 3�� /������ ������� � �������� � � ������� �� �����)����� �� �1������ �� ���� ����2����� ��)���� ���� ���� �� �)) ) ���� ��������� �)����� ���� ����� ���� � �������� � � � ��4�� ��)���� ���� �1�� � �� ��)��� � �� ����� ��������� �������� :*#;� �� ���� ���� � /�� � �������� ����������� ������� � ��������� �� � �� ��� ��� �� 8����� �������� �� ����� � �������� �� ���� 3��2�����2�1�� �� ���� :*!;�

.��� ��� ���;�6�� <��� ������� ������ 8�� ��� ������%��%� 8���������

��))�� �� � ���� � �� ���� )� ����� � �� ����� � ��� �������� ��� � �� KK����LL � �� ������� ���0��/��� � ���� ��� J��3� ���� :*';� �� ���������� /��3 ���� ������ � � � �� ���� ��� � � �������+!- ��� +!=- ��� �� ��� ����� ��F�

���

� ����

���

������

� � ��� �����

��� � � � �� � �����

��

��� � ��� ��

������ � ����� � ��

���������� � ���� � ��

� ������� � ��

���� � ����� � '� �*@�������� � �����

��� ��

���

#��� � ���� �� � '� �*B�

/� � ��� ��� ��� � � ���� �������� �������� � �)) ) ���� ��������� �)���� ��� # �� � ������� � ��

��� ���� � ��� ��� �� ��� �

# � ��!

=��*E�

# � �!�����

� �!�

=��!

� �!��#�!

� �*$�

(�� � ������� +*@- ��� +*B- � ����� �� ������� � ��)���� ���/��� �� �������� ��� �� ����������1������� (�� ��)���� ��� �� ���� �� �� ����� )� � � �� ��� � ������ �� � ��� �� ����� ��A� ����������� &��� �� ��������� � �� � ������� �� ���� ��� �� ���� ����� �� ��������� � � �� ��� � ���� � �� )�������� /�� � �� � !� �� �� � ��� �� �� �������� �� � ����� �/� �� ����� ����� /�� ���� ����� �� ������� +���� ����� ����� � �-� (�� �� � ������� ���� ���

���

� ����

� ���

������

� � ��� �����

��� � � � �� � �����

��

��� � ��� ��

���! � ���� � ����� � ��

���������� � ���� � ��

� ������� � ��

���� � ����� � '� �='�������� � �����

��� ��

#

���

#��� � ���� �� � '� �=#�

/� � ! �� ��� � ����

! � '� �=!�/�� � ��)��� � �� ������ )������ ����� �

! � �������!� �=*�5� �� ����� ����� �� ��N����� � � ! � � ���� �) � �� � � ��#� ������!��� /� � ���� � �������� �� ������ �������� ������� ����� � (� ���������� ���� ������ �� +='- ��� +=#- ���/� � �� ��� � �1���

>EB= �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

���� )����� � �� �/ � ������ +���� �

��-� ��� ������������ �� ��)���������� ��� )� ������� �� ��� �

�������� ���� ����� �� �� �� � ������������

.�.� �����=� ������ 8�� ��� %����� ������� 8���������

(� ���� ������ ���� 3�� /������ ������� � ������� � �� ������ � �1������ +#@- ��� +#B- ��) ������� ��F�

���

� ����

���

������

� � ��� ����

��� � ��� ���

��

��� � �� � �� � �����

������ � ���� � ��

� �� � '� �==���

���

�� �� � �� � ��� ���

�� ���

� ����

� � �� � � ��� �� � '� �=>�

����� 61�� +#@- ��� +#B- ������� �����2 �� �� �� �� �� � ��� �� �� � ������� +==- ��� +=>- ��� ������ ��������� ����������� �� �� � ���/ �1��� ���� )����� � �� � ������ ������

.�!� �����=� ������ 8�� ��� ������� %����� ������� �������

(� ���� ��� /��3 ���� 3�� � � � �� ������ ��� )������� �1����� +!'- �� ) ������� ����

���� �

����

�� �� � �� � ����

���

�������

� � ���� �������� � ����� � ���

� �� � ' �=@�

� ��� ���� �������� � ��� �����2���������� ���2�)�����

.�:� �����=��������������� 8���������

5� �� ����4� � .��� ��������� ���� 3��2�����2�1�� �� � �������� :**; � � ���� ���� �������������� ���� ��� �� �� �� � ���� � �� �� ������������ � �1���2 �� ���� )����� ��� � ��������� ����� �� 5� ��� ����� ��� � ������� �� ) ������� �� �� ���/��� ��)��� � � ���

��� � ���

� ��� � ����

��� �

����� � ������ #

���� � ����

��� ��

���

#���

� ��� � ���� � ��!�� #

��

�� ��� � ����

� ��!�� #

���

����

���

#

�������� ���� � ���� #

����� � ���� �

������ � �� � ����

������ � ������ ' �=B�

0 � �� �� � ���������� � �������� �� ��� ����� �� � ��)����� ������� �1������ ������� �� � '� ����� �� � ��)����� ��������� �1����� � �� � '�

������ % 5� �� ���� ��� �� ��)� �������� � � ���� )����� � � ����� ������ ��� �� �����2 �� �� ���))�� ��� �� �� ������������ �� �� � +=B- ������ ��� �� � ������� ���)����� ��

��� � ���

� ��� � ����

��� �

����� � ��� ��� #

���� � �� ��

��� ��

���

#���

� ��� � ���� #

��

�� ��� � ����

� #

���

����

������ � �����

���

#

���� � ��� � ��� � �� �� #

����� � ���� �

������ � �� � �� �� � '� �=E�

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >EB>

5� �� ��� � �� )�)� �� ���� ��� �� ��)� �������� � � ���� )����� � ����� ��� ��� �� ��������� (����� �� � ��� � ��� � � � � ������� �� � ����� ��A� ����2��3� �4) ������ 9���� �� �����2 �� ��� ������ ��� ��3�/� ��� �� �� / ����� ��

�� � *�� � =���# ���!

!�� �=$�

��� � ����� �1�� �� ������ ��� � �� �/ ���� ���)� � � ! ��� � � #� �� �� � �� ��)���������"� ��� �� � �� ���� ���)� �� � ��2 �� ��)����� 6��� ����� �� ����

�� � �� � ���#

�� �>'�

� & "��� � ����������

���� ���� ��� �)��� ���� ���������� �� � ������� ) ����� +='- ��� +=#-� +==- ��� +=>- + +=@-- ���+=B- � � �1�� ����� � �� ��� ����� ��2����� ���� � �1������ ��)������ /��� �� ��������) ����� �� .��� ) ���� �� � ��� � � �� ��� �� � /� ��� � �� ��) � �/2���)� �)) ��F ���� � �� ��� �� �������� ) ���� ++='- ��� +=#-� +==- ��� +=>- +=@-- �� ����)��� � � �� .��� ) ����/�� �� ������ �� �� �� ���� � �� �������� ) ����� 5� �� ����� ���)� �� ��)��� ) ���� +='- ���+=#- ��� +=B- �� �� ��� (�� �/ �� � � +�� .��� �� � ��� �� �������� ��- ��� � ��)���� ��� ���� � �� � �� �� �� ������ �� ��������

!��� ��� >�� ���%��

(� ��2����� ��� � �1������ � ����� � � �� � ������� ��������� +=B- ��� �� )�� �� �� ���/������� �� � �F

����� � �� � � � �� ���� �� �>#�/� � ������� �� �� ���� ��� ��� � �� ��)���� ���� �� ����� ��� �4� �� ����� ���2��� ���� ��� ����� ����� ���� � ������� � ��)����� � �� .��� ) ����� 5� �� � �� � ��� � ��2����� ��������� �� � ����� ��� ��� � �������� ����� ��/�� ���� /�� ������� � �� ��� �� ���� ���� � ����� ������

�������#�� ������� � � � �������#����

� �>!�/� � ������ ��� ���� � �� ��)���� ���� �� ����� ������ ��� � � �� .��� ) ���� �� ���� ���) � ������ ���� � ��� � �� �������� ) ���� �� ���� ���) �� ��� �� �� ������� ��� ��� �� � �� �� O��������� �4�

�"� ����� � ��� ������� �-�#� �� �� �� ������� ������ �� '��!� 0 � � #� !� � � � �F*� �����' � �����#

�=� 0 � � #� !� � � � �F>� D�)��� ��������#�� ��� ��������#������@� �� � �� ����� ������ +>!-�B� 9)���� ������ � ������#� ��������E� 5� �� � ����� � ��� �� �� �������� �� #'�$� 6�� � ��/�� ��� ������

#'� 6�� � ���� ��� ������

5� �� �� � ��� ���� ��� � ��)������� ��� �� ��� �1�� ������ � � ��)���� �� �� /�� ������� ������ +>!- �� �� ��� ����� �� O������ ��� �4 �� �)� �� ��� ��2������ �� ��� � �� ��2�����

>EB@ �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

�������� ���� M �� �)��� ��� ��� � ������ �� �,�6� ��� ��� �� ) �� � �� �� ���� ������)��� :*>;�

!�.� ?@$� ����������

&�� ��� ���������� �/ ������� � ����)���� �� ���� ������ ) ������������ :*=;F#� (� �� <��2�� �� ���� � � ��� �� � �� �� ���� �� �� ������ ��� �4 ���� ����� ��� �� � ��2�� �2

�N����� � �� � � ��� �� �� �� ) ����������� ��� �4� �� ��� ��� �� ��� ������ �� ��2�� �!� � �� ���� ����� � ���2�� �� ���/�� � ��3� )���� �� �� �� ���� � � ��� �� �� 5� �� ����� � �� �� ���2��

������ �� ���� ������ � ��� ������ ��)�����589+'- �� � �) �������� � � �� � �� ����� :*@;� , � �������� ���� :*B�*E; �� ��)�� �� � � ) ������

589( ����� (� ) ����������� ��� �4 �� ������� �� ���� ������ ��� ��� �� � ���P��� � �� ��� �������� � ��� / � �� � ������� ��� ����� ��� � ��� ���� ����� � ��2�� ��N������ � � ���/���� ��� ��� �� � �� ��� �� ����� ����������� 0� �� � �� ��N������ � �� ��� �4 ������ � � ��� �������������� ��� ������ � �� ����)���� ����)����� � � � ))��� (��� �/ ����� �� ���� ��� ��589( ����F �� ������ ��� ����� � �� ����� � ��2�� ���������� )� / ��� � ��� ��� � �� /���� � � ��� �� � ����� � �� ��.����� � � ��������� � �� ����)���� �� ����)������ �� ���� ��� � �� � � �� ��� �� �� ��� �

�"� ����� � �����-�#� � � � #� �!� � � � #� � � #*� ���� � ���������

=� 5� ���� �� �� � ����� ��� � � � � #� �>� ���� � ���� � ���� � ����

@� ����B� ����E� " ) ����� �������� �� / ����$� ����

�� � ������ �� 589( ) ���������� ��/��2�,�6� ��� ��� ���� ��F

�"� ����� � ��� ������������-�#� �� �� �� ������� ������ � ' ��!� 0 � � #� !� � � � �F*� �����' � �����#

�=� D�)��� � ��� ��� 589( ���� �������>� 0 � � #� � � � ���� � �������� �F@� D�)��� ��# � � ��� ��# � ����B� �� �,�6� � �� � ������ +>!-�E� 9)���� ������ � ������#� ��������$� �� �� � ����� � ��� �� � � �������� �� ##�

#'� ����##� ����

�� ��) ���� ��)��� � �� �,�6� ��� ��� �� ��� �� ��� �1�� �� �� �� ) ���� � �� O��������� �4 �� � ��� � (�� )� ���� ��� �� �)) 4������ �� �� ���/��� ��A� ���� 1������

�� �� �����#� � �� � � �� �� �� �����# � �� �� � �� �� �� �����#��

� �>*�

/� � � �� � ����� ����� � �� �)�������

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >EBB

!�!� ��� ������ ���%��

�� �� ���� ��� � � ������� ��� �� ��� �� ��� )������� � ������� ����� + �� ������ ��� )������� �� � �������- �� � ��� � � ������ � �1������ /�� ���� �� �� ���� �� ���/���� � ��

� ����� ��� � � � ������

� �>=�

/� � �� ������ �� ������� ��� ��� � �� ��)���� ���� �� ����� ��� �4� �� ����� ���2��� ���� ��� ����� ����� ���� � �������

0 ����� ��� �� �� ) ������ �� �� ) ��� ���� � �� � ) ���� +>=- �� �� ��� ��� � �� � � �/� � � � � �������� )� )��� ��� ����� �� ������ �� ����� � � �� ��� �� � � ����� � �� /���23�/� ���������������� �� ����� � �������� �� ����� � �� ������� � ������ +>=-�

% ��� � ��"��� �������'

(� ����� ��)��� ) ���� �� ���� ���� �� ��� /��3 � � �� �� � ������� ���������� +='- ��� +=#-� ���+=B-� �� ��� ��� � ������� ��� ��� ��� �� ��)��� � ������� +��)����� �� ��� )�������-������� �� �� �� �� ������ � �� ����� ������� �� ���� �� ������� 1������� +�� ������ ����- /���� ���� ����� �������� �� +�� �������� ����-� �� �� ���� ���� � � �� ����������� ������ �)) ���/�� /��� �1�� � ��� ��)�������� �1�� ������ �� �� �� � ��� � ��� ��)�������� ����� ����� ��� � ��� ������ ������

��� ������ ����� ������ � � ��1����� � ������� � �� �/ ) ������ (� ) ���� �� �� �������/�� � �� ���� �� � ����� � ��� �� �� ���� �� �� ��� �� ��� ��� � ) ����� 0 ����2��)������ ) ��������)���� ��� ����� � � �������� ���� ���)� ��� �� � ����� �� ���� �� /�� ������2����� ������� � ��������� (� ���� �� � � � �� ��� ������ ��� ��� ���� ��� �� ) ������� ��F

�"� ����� % ����� � �! � �� ������" ��� ����!-�#2 D�� ������� ������� �� '� ��� ��'� ��� �� � ����� � ��� �� �!2 (��� ���)�F 0 � � #� !� � � � � � ���)�

2!�>� 5� ��������������! � � ��)*2 6�� � (��� ���)�=2 6��

2!�#� �� � �� ,������� J ����F

� ������ ����� � � � ������#����#�

2!�!� 9)���� �� ,������� ������F

��� � � ���# ���� ��

2!�*� �� � �� 0���� J ����F

������ � ���� � � � �����#���� �

2!�=� 9)���� �� 0���� ������F

��� � � ���# ���� ��

>EBE �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

5� �� �� � ��� ���� ���� ��� ���� � �� ��)���� ���� �� .��� ��� �� �������� ������� �� �� ����) � ��� !� ��� �� ��� ����� /�� � � � ��� �� �� 8������ ! ��3� ����� ��� ����� ���� '� #� � � � � � ��� ���3� ����� ��� ����� ���� '� #� !� � � � � � � #� ����� � � /�� ������ � �4)����� ������� 0 ���������������� � � � � # ��� � � � �� �� �� ���)���� ��� ������ ��� ���� KK���)����LL ����� �� ��� � ������ ���� �� �� ��� ����� ������

���)� +!�#- ��� +!�!- �� �� ��� ������ ��� ���� ������ � �� ��� ��� �)������ �� �������� �������5� /�� �� ���� ���� ��� �� �� ��� �� � ���� � �� ������ � �� �������� ) ���� �� ����� �� ��2��)����� �� ����� /�� �� �������� ) ���� �� ����)��� � � �� .��� ��� �/� � � /�� �� .��� ����� �������� ) ����� � � ��)���� ��� �� ����� �� � ���� ) ������� ������� �� /��� �� � � ����)���� �� ����)����� � �� �������� ��� �4 �� ��� ���� ���) � �� ��� ������ ��� ���� &������ ��� �3 � ���� �� ����� /�� /��� ��)�� �� �������� ��)�������� �1�� ������ ��� �������� � ��� ����

&�� /�� � ������� ���� �/ �1�� ������ �� � ��3� ! ��3� �� ����� ��� � � #� (�� ������ �� ������ �� �������� ��� �4 �� ������ � � �� ���� ����� � � ���� ���)�� (��� /� � � ���� �� ����������� �4 ����� �� ������� �������� ��� ��� �1�� ��� �� ��)���������� � �� ���� ��� ���� � ���������� ) ����� (�� ���� ��� ���� ���� �� ���� �� � �4��2)��� ���� �� � ,����� ��/������ � �� ����� �������� ) ����� 5� ��� ����� �� ��� ������ ��� ��� ������F

�"� ����� ( �������" ��� ����! ���� ���� !����� ������ ��-�#2 D�� ������� ������� �� '� ��� ��'� ��� �� � ����� � ��� �� ��!2 D�)��� �� �� ����)����� � �� ��� �4 �� ��� '�� � ����� ��*2 (��� ���)�F 0 � � #� !� � � � � � ���)�

2*�E� D� � ����� (���F 5� ��������������! � �=2 6�� � (��� ���)�>2 6��

2*�#� 5� ��������� � ' ��� � �� ' ��)��� ����� � � �� ������2*�!� ��� ����#

' � � ����#�2*�*� 5��� ,������� 5�� �����F 0 � � #� � � � � ����

2*�*�#� �� � �� ,������� J ����F

�� � �� � ����#�

� �� � ������#

��#����#�

� ��

2*�*�!� 9)���� �� 5��� �������� ������F

���#�

� �� ���#

��#

� � ����#

� ��

2*�*�*� 5� ���������#� ����#����! � � ��)

2*�=� 6�� � ,������� 5�� �����2*�>� 9)���� ,������� 0����F

��� � � ���#�

� �

2*�@� �� � �� 0���� J ����F

������ � ���� � � � �����#���� �

2*�B� 9)���� �� 0���� ������F

��� � � ���# ���� ��

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >EB$

5� �� �� � ��� ���� �� �)������ � �� �������� ��� �4 ��3�� )���� ��� /�� ������� (��) )� �� �� ���� ���� �� �� �� � ��3� ��� ������ �� �/ ��� �� �������� ������� ����� � ����5� ����� �� ��������� �� ������ +!�B-� /�� ��A���� �� �� ������� �������� �� /�� �� �������� ������ � ���) ���� � �� ���� ����)���� �4���� ���/��� �� �������� ���� ��� �� .��� ��� ������� � � ' ����N����� � �� �� � ����� � �� ��� ������ ��� ��� /��� �������� �� � ��� ��� � ��� ����)2����� � �� �������� ��� �4�

�/� � � /�� �� �������� ������� ����� ��� �� ��� �� �������� ��� �4 ���� �� �)����� � �� �1������� 5� ����� �� ��� ������ �� �������� ���� �� � ��� �� �� ������ ���� +�� �� )������ �����-� ������ ����� �� �� .��� ���� �� ����������� ��)�� �� �� �� �������� ����� (��� � ������ �� ����������� �4 +/�� �� ������� ������ ����- ������ �� �� �� � ����� � �� ��� ���� ������ ! ��� � ���� ����� � �� � (� ���� � ! �� �� �)������ � ��� �� ��)���� � �� �������� ������� ����� ���� (���� �� �������� ������� ��� �� � � � �1���� �� ������� � �)������ � �� ��� �4�

(� ��� ��� ���� ���� �� � ��� �� ���� �� � ��) ���� ���/��� ��� �� � ��4�� � � ��������/�� ���� /� � �� ��� �4 �� ����)��� ��� ��� � ���� ��� �� �4��� ��/�� ���� /� � ����� �4 �� �)����� �� ��� ��� �����

( )�������" ����"��

5� :#$;� /� ) ������� ���� ���� ������ ���� ���� �� ��� �� ����)��� � �������� (��� ������ /� ��������� � ������ ��������� ��� ���� ��� �� /��� �� � ������� �� ���� ���� ��� �� ��)�� � ������)��� ����� ������� � ������� +='- ��� +=#-� (�� ���� ����� � � /��� ���� ���� �� :!E; � � /�/��� ��3� � ������� ��� ���� ��������� /�� ��� �� ����� ���� ��F� ��� �� �������� �� ����� �� �� ������� ��������� �� )����� �� � ����� ���� ��� �� � �

���� ��� � ��� ���� ��� � �������� � � ������� /�� ! � �������! ���

# � �!�����

� �!�

=��!

� �!��#�!

/�� � � '�#�� ��� �� �������� ��A���� �� �� ������� ��������� ����� ! � ' ��� # � � �!

=� /�� � � '�# �� �� ������ ���� ���� �������

� (� �� �����<J�������� ./ ��� �� �������<�� ����� ���� ����� ���)��� �/ ���1�� ,�" )����������� ��� ������� �� �������� � �� �� ����� ���� ��� �� �� ��)���� � ��� �� /� ��� ��� �/1���� �� �� ������ /�� ���������� ��������(� �� �����<J�������� ��� �� �����<������� ����� � � ��2�� ������� ��� �� �� ��4� ������� /�

) ����� � *" ���� ���� ���� � �� ����)��� �� � � ��������

0��� @����%�� ��%�& ��;��� 8�� ��� ����� ��� 8��������� �� �

8�� �� ����� � ����� �� � ����� ����� ����� +'� �� #� '� � � #� '� � #-� ��))�� �� �� 2������� ������ � �� ��������� ���2� � �� �� ��� ) ���� �� � �� ���� ������� ����� � �� �� �� ����)�� ����� ��))�� ��� ��� � � ��� � �� ���� � �������� ���� � �� ��)��� �� �� # �� ����� +0��� #-�

(� *" ������ ���� /��� �� ��� �� �������� ���� � �� ��� ����� ��� ��� ��)����� � � � ��)���� ��� �������� ������� ����� � ���� ��� ��� �� �/� �� �������� ���� �� � ���) ��� �� � 1����2)� ���A��� � ����� � (� �� ����� � �� �������� ���� �� �� ������ ���� ���� �� ���������� �� ���������� ������� ����� ��� ������ �� �� ����� � �� �������� ���� ������ � � ��) ����� ������ �� �� ����� �� �� ����� � �� �������� ���� ������ �� ������� ����� � �� � ���) ��������� ��� �� �������� ���� �� ���� � �� KK� ���LL �� �� ������ �����

D�)������� � � ���� �� ��� �� �� �� �� �2���� ���� ����� � � ��A� ��� �������� ������������ � +��� � '�#� #� #'� #''� =''� #'''-� �� ���� ���� �� �� �� ��� ��������� � =# EB* �������� ���E#=B ���� �� ����� 5� ��� ����� /� ���3 �� ������2����� ������� (� ������ ���� �� �� �� ��)�� ����

>EE' �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

�) ������ �� �� ������� ������ � �� � =''� "� ����� ����� � �������� � � ��)���� ��� �)2 �������� �� ��2)� �� ����� � �� �4�� ��� �������� ���� �� �� ���� ��� ������� ��� (� ��)����������� �/ �� � ����� � ����� � �� �������� ���� � ���) � � � � 1����2��A��� � ����� � � 1����2�� ���� � ��� 5� 0���� ! ��� *� �� �������� ���� �� �� ���2)���� � '�> �� �/� � ��� � '�#�#''� =''� #''' ��� �� � ����� � ����� � � ��A��� � � ���) � � �� ���� � � ���) � �� ���)������

X

Y

Z1

2

3

1 1 1 1 1 1

sqrt((B_x)^2+(B_y)^2+(B_z)^2)

X

Y

Z1

2

3

0.82 1.4 2 2.6 3.2 3.8

sqrt((B_x)^2+(B_y)^2+(B_z)^2)

0��� !� ,������� ���� �� �� ���2)���� � '�>% 0 � ���� � ��� ��� � '�#� #''�

X

Y

Z1

2

3

5.6 6.7 7.8 8.9 10 11

sqrt((B_x)^2+(B_y)^2+(B_z)^2)

X

Y

Z1

2

3

15 17 18 20 22 24

sqrt((B_x)^2+(B_y)^2+(B_z)^2)

0��� *� ,������� ���� �� �� ���2)���� � '�>% 0 � ���� � ��� ��� � =''� #'''�

0��� #� ����� � � �� �� ���2� � �� ) �����

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >EE#

5� 0���� = ��� >� �� �������� ���� � � ��� �� #2��)���� � �� �������� ���� � � �/�� �2�)���� ���� ���� �� ������� � � '�> ��� � � '�>� (� �� ���� � � ���) � �� ����� �/� �� �� ���� /� � � '�# � #'''� 0��� @ �/� �� ������ ���� +�� �� �� �� ��)�� ���� � ��� ����- � � ��� �� #2��)���� � �� ������ ���� �� ������ � � '�>� D�)� ��� �� 1�������� � ��� � � � �� ������+0��� @- ��� � �� �������� ���� +0��� >- �� �� �� �������� �4)������� � �� ��������� �� !����� ���"��$��� �� �� %� ��# ���"�

0�.� 9������ 8�� ��� %����� ������� 8����������

0 �� ��� )������� � ��������� /� � �� ����� �� ��������� ��� �� � ����� � �� ����� �������� ������� +==- ��� +=>-� &��� ��� � �� ���) �� �� ��� ��� �/ �� ���� ���� ����� � � ) �������F � #"����� /� � �� �4�� ��� �������� ���� �� �))���� � � ����� ������� .��� ./ ��� � !" ����� /� � �� ����� � � ���� ������� �� ���� �� ������� ��)��� �������� ����� (��� �/ ����� ���� � �� ������������ � ������� +=@-�

0�.��� ���;��& �8 ��� 8���������5� �� � ������ �� ��������� ��� 1������ � �� ����� ������� � ������� +==- ��� +=>-� /� ����� ���

) ���� �� � ����� ����� +'� �� #� '� �� #� '� � #-� (� ������ ��� �� �4�� � � � �#� #� #�(� (�

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

||B||

y

The magnetic field norm vs the y-coordinate along x=0.5 in the plane z=0.5

Rem=0.1Rem=100Rem=400

Rem=1000

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

B_y

y

The y-component of the magnetic field vs the y-coordinate along x=0.5 in the plane z=0.5

Rem=0.1Rem=100Rem=400

Rem=1000

0��� =� (� �������� ���� ���� �� ������ � � '�>% ����F �� &2��)���� � �� �������� ����� ���F �� �������� ��� � ��

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

B_y

x

The y-component of the magnetic field vs the x-coordinate along y=0.5 in the plane z=0.5

Rem=0.1Rem=100Rem=400

Rem=1000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

||B||

x

The magnetic field norm vs the x-coordinate along y=0.5 in the plane z=0.5

Rem=0.1Rem=100Rem=400

Rem=1000

0��� >� (� �������� ���� ���� �� ������ � � '�>% ����F �� &2��)���� � �� �������� ����� ���F �� �������� ��� � ��

>EE! �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

"� ����� ����� � �������� ��� �� ���2��� ���� ��� � � �! � !� #� ! � !� #� #� = � =�( � ���)��� �� ��� � /�� �� � �) ���� �)) 4������� �� � ��� � � ������ � �� �������� ) ����������� � � ��!� �!��!�� �� �( ��� � � � � � D�)������� � � ���� )� � ��� /�� � � '�#� ����)��� �� ��� � ����� � �� �!���2� �� � �� �������� ��� )������� �� � ����� ��� � ����� �� ��� )������� � ���� � ���� �� ����� �� ����� )������� ������ ��� ��� � ������ �������� 0��� B �/� �� � ����� � ���� � ��� (� ���� �� ������� (� �� � ����� ���� +��)��- � � ���� ��)���� � �� ��� )�������� (� ��)�� � � � ��� ����� � �� �� � ����� � �� ��� )������� ��� � ��� ! � �� ��� )������� �������

0�.�.� $�8��� >�' ����� � ������ <�����))�� �� ����� ������ ��������� .��� ����� � �� � ���� � �2��)���� ������ &� �� �4�� ���

���� ���� � �������� ���� � /�� � �1����� �� �� �))���� � �� .��� ������ ��))�� �� �� ��� � ����� �� ��)���� ���� �� ' �� ����� /�� �� ����� ��� � ������� � #F � � ������ '� '� �� (��� �� ������ �� ������ ��� )������� �� � �������� �� �������� ���� ������� � � ������ '� '� � ������ ���� �� � �� ������ )�������� �� � '� '���

��� �

� (� ���� ���� ) ���� �� �� ���������� ������+( )��� :!B;- �� �� �� � �� ������ ��� )������� �� /�� ��� �� / ������ /�� �� � �1����� � ������� �� +� ���)������ � ������ �� ������ � ��

-

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2-log h

-log ||div A_h||-log ||A_h - A||

-log ||phi||-log ||grad phi||

0��� B� "�A� ��� �! � �� � �� ��� �����

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

||u||

x

The velocity field norm vs the x-coordinate along y=0.5 in the plane z=0.5

Re=400

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u_y

x

The y-component of the velocity vs the x-coordinate along y=0.5 in the plane z=0.5

Re=400

0��� @� (� ������ ���� ���� �� ������ � � '�>% ����F �� &2��)���� � �� ������ ����� ���F �� ������ ��� � ��

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >EE*

����� � �' ���� � #� � ��# � �'� ������� � # �

���� � #�>>�

/�� �� ����� � �������� �����F

���'� � �'� �>@������ � �#� �>B�

���� ���� ������� � � ���� ��)���� � ��A� ��� �������� ������� ����� � +��� � #� >� #'�!'� ='� >'-� (� ������ �/ � 1���� �� �� ������ ���/��� ��)���� ��� ���������� ������� +0��� E-�

0�.�!� ���%����� �8 � ������ <��� ;& � ������ %�����& <���� � � ��� ������� � ����� �' /�� � ������� ��� � �� ������ �� �� '# )���� /�� �� ������ ������

�'� ��))�� ��� ��� �� ������� �� ���� ��� �� � ���� � �������� ���� � �� ����� ���� �� '2�4��+0��� $-� (� �������� ���� ����� � � ��� �� ����� �� �� ������ � �� ������� � (� ������ � �� ������� ) ) ����� � �� �������� ������� ����� ���� � ���'�!'�� 5� �� ����� � ������� ���� �� ������������ �� �4)����� �� � �� ������� � �������� �� ������� � �� ������� ���� �� $2�4�� ��� ������2�����

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Y/L

0��� E� (� ������ )������� ���� �� &2�4��� D�)� ��� ���/��� ���������� ��� ���� ���� ������� � ��� � #� >� #'� !'� ='� >'

+� � ���� � �� �-�

0��� $� ����� � � �� �������� ���� �� ����� �� � ������ ������� �

>EE= �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

�������� ���� � '�� �� ��� )������� �� ��� �� ��2� � ��� ��)���� � /�� �� � ������� � '��� #� (� ��� )������� ) ���� ������� � ������ � � ��� ���F

�!� � �� � � � �� � '� � � �'� �>E��!� � '� �� �'� �>$�

(� ) ���� �� �� ���������� ������ /�� �� ���� �� ��)�� �� ,A�� :*$; ��� �� / ����� ��

� � 5���! ����� �� �@'�/� �

! ��� � � ��� � � �'� �@#�

! ��� � "�#���� �� �' �@!�/��

� �#� ���'���!

� � �@*�

�!' �����!'

� �@=�

(� �������� ( ��� ) � �F

� � �'�!�#��'� � �'�'��'���'��'� � �@>�

" � !

�'��'� � �@@�

(� ����� � �������� � � ��)��� �� �� 0��� $� ���� ���� ������� � � ���� ��)���� � ��A� ����������� ������� ����� +��� � '� @� #!� !=� =E-� (� ���� ���� �� ��� �� ���� � ��� ������� � ===@�������� ��� #@'' ����� 0���� #' ��� ## �/ �� �A��� � ��� ������ �� ������ ������ �' � ���� ����� � �� �������� ����� (��� ������ � � �� �� �� ������ /�� �� ���������� ������� &��� �� ���� �� ��������� � �� �4)����� � �� �������� ���� �� �/� �� 0��� #!� &�� ��� ��� ��� ��

X

Y

Z 1

2

3

X

Y

Z 1

2

3

-0.5 -0.36 -0.21 -0.071 0.071 0.21 0.36 0.5

B_z

X

Y

Z 1

2

3

-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5

B_z

0��� #'� (� ������� � �� ��� )������� � ��� ��� ���� ���� ������� � ��� � '� @� #! +� � �� � � ���� ���-�

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >EE>

�� �������� ������� ����� ��� ��� ������ �� ��� )������� ��� � �/� ����� �� �� ������� � ��������� � 5� ���� ��)�������� �� ����� � �� ������� �� ��� � �' � '�! ��

0�!� 9������ 8�� ��� -�� ��� �/ ��� ��� 8���������

0 �� ��)��� ) ����� ������ � � ������� � �� ���2� � �� �� ��� ) ���� ���� � �������� ��� � ��� �������� ���� �'� ��� �� �4�� ��� ��)��� �������� ���� �� �� � �� ) ���� ������ ����������� �� ������� ���2� � �� �� ��� ) ����� (� �� ��� �� � ����� ����� /�� +'� �� #� '� � � #�'� � #-� (� .��� � ����� �� �� �� ��� �� ������� �� �� ��)��� ����� � ������� � ' � ��)���� � � # +0��� #-� (� ������ ���� ������� � )� �� ����� � �� �������� ���� �� �� .��� ������, � � � �� ���� ����� ���/��� �� ������ ��� �� �������� ����� � ����� �� ����� �������� 8 ����� ���� (��� ��/ ��� � ��� � � ��)������ � �� ����� � �� �� ���� � � �� ./� (� �� �������������� ����� � �� ��� � �� � #'* ��� � )� ���� �� ����� � �� �������� ������� ����� ��� ����� �� ����� ����� �� �� ���� ��������� (� ���� ���� �� ��� �� ���� � ��� ������� � =# EB*�������� ��� E#=B ����� (� )� ����� � � �� ������ ��� ��� � � ��� � �� ���/���F� (��� ���) � � >�'�� ����� � ���� ���)� # � #''�� 0 �� 589( ��� ��� $!�$ � #> ��� �$ � #'�'$�� 0 �� �,�6� ��� ���� �� ����� � M �� ����� ��� � � � E�� 0 �� ��/�� ��� ������ ���� � >�(� "� ����� ����� � �������� � � ��)��� � �� �� ������ ���� ��� �� �������� ����� ����4) ������ �� ��2���) ) )� �� �� ���� /���� ��� �� ��2)� �� ����� � �� �4�� ��� �������� ���� ���� ������� ���

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

A_z

Y

The potential A_z along the median x=0

Rem=0Rem=6

Rem=12Rem=24Rem=48

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

A_z

X

The potential A_z along the median y=0

Rem=0Rem=6

Rem=12Rem=24Rem=48

0��� #!� (� ��� )������� � ��� �� � ��A� ��� ��� ����� �� ����F ���� �� ������ � � '� ���F ���� �� ������ � � '�

X

Y

Z 1

2

3

-0.5 -0.36 -0.21 -0.071 0.071 0.21 0.36 0.5

B_z

X

Y

Z 1

2

3

-0.5 -0.36 -0.21 -0.071 0.071 0.21 0.36 0.5

B_z

0��� ##� (� ������� � �� ��� )������� � ��� ��� ���� ���� ������� � ��� � !=� =E +� � ���� � ���-�

>EE@ �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

0�!��� @�' ������ 9�&����� ���;���0� ��� /� �� �������� �� ��.����� � �� �� ����� ����� �� �� � �/ �������� ������� �����

/� � �� �������� �������� �������� �� �������� �� ������ ( � �� /� ��� �� �������� ������������ � ��� � #� (� �� ����� ����� �� ��� �������� ��� � �� � #� !� >� B� #'� !'� *'� 5� �� ���2 ������ ��� ���� �� �������� ��� �4 �� ��)���� ��� ����)��� �� ��� �� � �� ���� ���) ��� 3�)�������� �� ��� ��� �� �� ���� ���)�� (� �������� ) ���� �� �� �� ��� �� ��� ���� ���)�

5� 0��� #*� �� �� � ����� ��� � � �� ������� � � �� �� �� � ���� ���)� � �� ��� ������ ���2 ��� �� �/� � ��A� ��� �� ����� ����� ��

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 20 40 60 80 100

log(

||r||/

||r_0

||)

Time steps

Normalized Residual norm vs time steps

Ha=0Ha=5Ha=7

Ha=10Ha=20

0��� #*� (� �� � ����� ��� � � �� ��� ������ ��� ����

X

Y

Z 1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

sqrt((Vitesu)^2+(Vitesv)^2+(Vitesw)^2)

X

Y

Z1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

sqrt((Vitesu)^2+(Vitesv)^2+(Vitesw)^2)

0��� #=� (� ������ ���� �� �� ���2)���� � '�> /�� �� � #'* ��� ��� � #� ����F �� � '� ���F �� � !�

X

Y

Z1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

sqrt((Vitesu)^2+(Vitesv)^2+(Vitesw)^2)

X

Y

Z

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

sqrt((Vitesu)^2+(Vitesv)^2+(Vitesw)^2)

0��� #>� (� ������ ���� �� �� ���2)���� � '�> /�� �� � #'* ��� ��� � #� ����F �� � >� ���F �� � B�

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >EEB

0���� #=<#@ �/ �� � ����� � �� ������ ���� �� �� ���2)���� � '�> � � �� � ' � �� � !'�&�� ��� ��� � �� � ������ ����� � �� �� ���� � � �� ������ ��� � �4�� ��� �������� ���� ���))���� +�� � '-� �� � � � �/ �����F � �� �� ���� �� �� �� �� � � ���� +���3/��� �����- ��� ������� �� �� �� ��� ���� � �� +����� ���3/��� �����-� �� �� �� ����� ����� �� ������� ���� � �� �� �� ���� �� ��4 ������ � � ������ ��� � �������� � ��3� ��� ���� ������ (������ ��4 �� �� ��� ���� � �� ������ �� �� � (��� ������ �� �� ����� �� ���� � � � ��� ��� ��� ������ ������ � �� ����� �������� � ��� /�� /��3�� �� ����� �� ����� ������� � ��� ��3��� � ������ �� ������ �4���� /�� �� �������<���� � ���� ) ���� ���� � �������� ����������� ��� "���3 � �� :!!; �/�� ���� ���� ������ ��� ���� �� �����)������� � ������� ������� ����� ���� �� ������ � � � ��� � ��� �������� �����

0�!�.� � ������� ���;������ �� �� ����� ����� ������ � ���� ��� � !'�� �� ���� �� ) ���� �� ���� ��� ��

����� � ������2����� ������� (� �� � ����� � �� ��� ��� +�� �� �� � ���� ���)�- ����� ��������� )������% /� � � �� ��� ��� �� � ��� ) ���� /��� /���� � ���� ���) +�� ������� �� �2����� �� @<B �� � � ���������-� 5� 0��� #B� � ��)���� ��� � � �� ������� � ����� �� �/��(�� ��� �� � ���� � �� ������� � � ������ ������ ���� ��� �������� ��� �� .��� 3��)� ��4������� �� �������� ��� � �� ���� �� ��� ������ 5� �� � �/ ���� /� ����� �� ��� � � ��.��� ) )� ���� +����������� �� ��A� ��� ��)����� � �� ������- �� �� �� � ���� ���)�� ���� �����/��� ��������F

X

Y

Z1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

sqrt((Vitesu)^2+(Vitesv)^2+(Vitesw)^2)

X

Y

Z1

2

3

0 0.24 0.48 0.71 0.95 1.2

sqrt((Vitesu)^2+(Vitesv)^2+(Vitesw)^2)

0��� #@� (� ������ ���� �� �� ���2)���� � '�> /�� �� � #'* ��� ��� � #� ����F �� � #'� ���F �� � !'�

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 200 400 600 800 1000 1200

log(

||r||/

||r_0

||)

iterations

Normalized Residual norm vs iterations

Ha=30

0��� #B� (�)���� �� � ����� ��� � � �� � #'*� ��� � # ��� �� � *'�

>EEE �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

� (��� ���) � � '�#�� ����� � ���� ���)� # � #$''�� (� �� ����� ����� �� � *'�0��� #E �/� �� ���� � ����� � �� ������ � � � � � ���� ������ �� ��A� ��� ������� � ������� +0��� #$-� &�� ��� ��� ��� � ������ ����� �� ������� ��� ��� �� ������ �������� � �������� ������� (�� ��� � ��� �� �� ������� � � ������������� �� ��)��� �� �� .��� ����� ��� � �� �A��� ��� ����� �������� � ��� /��� �� ��� ����� � � � �� ���� �� � ��������� �� �� �� ���� � � ����(� ������� � ) �������� � ��� ) � ���� �� �� ��)���� � � )���� � � ./ ������� � � ������2������������ (� ����� � �� ��������� � �� ./ �� ����� �� ��)� � ��� �����% /� � � � )� ���� ������� /�� �� �� ����� �� ���� � �� ������� � � �� ����� � ���� ������������� ��� �� ��) /������ .��� ��� � �� ����� � �� � ������ ���� ������ ��� ���� �� ���� �����

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

||u||

Time steps

The evolution of solution with time

||u|| n=3315||u|| n=4406||u|| n=1883||u|| n=3315

||u|| n=305

0��� #E� ( ������� ������ �� � � ��A� ��� ����� �� � #'*� ��� � # ��� �� � *'�

0��� #$� (� ���� ������ �� � �� ���������F �� �F ������ � �� ���� � �� ������ ����F � ������� ��� ����� � � ��

�����

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >EE$

0�!�!� �������� ��� �� ������ 9�&����� ���;������ ��� � #� �� �� ����� � �� �������� ���� �� �� ������ �� �� � ���� ���������� ��)� ��

� ��� ��A����� 5� ��� ������ �� �)������ � �� �������� ��� �4 ���� ��3� )���� � � ��� ��� �� ����� ���� �� ���� ) ����� 5� �� ��� �4 �� �)����� ��� ���� ��� �� ��� ��� �� � ���� �/� � � ��� �1����� � �� �)������ ��)���� � �� ��������� � �� ������� �������� ����� ���� 5� ����� /����� � #'� �� �� ����� )������ � �� � �� �� ��� ��� � �� ������ �� /�� �� �������� ��� �4��)���� ��� ����)��� ��� �� �� ��������� � �� ��� ��� � ) ����� ��� ��� � #''� �� ��� �4 ���)����� � � � #' ���� ���)�� ��� ��� � !''� �� �)������ ��3�� )���� � � � � � ���� ���)�� 0 ��� ��� �������� ������� ����� �� �� ��)���� ������ ��� �� �������� ����� � � �� �� �� �� )����

X

Y

Z 1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

sqrt((Vitesu)^2+(Vitesv)^2+(Vitesw)^2)X

Y

Z 1

2

3

0.92 0.97 1 1.1 1.1 1.2

sqrt((B_x)^2+(B_y)^2+(B_z)^2)

0��� !'� ������� �� �� ���2)���� � '�> /�� �� � #'*� ��� � #' ��� �� � #'F ����F �� ������ ����� ���F �� �������� �����

X

Y

Z 1

2

3

0.64 1.2 1.8 2.3 2.9 3.5

sqrt((B_x)^2+(B_y)^2+(B_z)^2)

X

Y

Z 1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

sqrt((Vitesu)^2+(Vitesv)^2+(Vitesw)^2)

0��� !#� ������� �� �� ���2)���� � '�> /�� �� � #'*� ��� � #'' ��� �� � #'F ����F �� ������ ����� ���F �� �������� �����

X

Y

Z 1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

sqrt((Vitesu)^2+(Vitesv)^2+(Vitesw)^2)

X

Y

Z 1

2

3

1.9 2.8 3.7 4.6 5.5 6.4

sqrt((B_x)^2+(B_y)^2+(B_z)^2)

0��� !!� ������� �� �� ���2)���� � '�> /�� �� � #'*� ��� � !'' ��� �� � #'F ����F �� ������ ����� ���F �� �������� �����

>E$' �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.

� '�> +0���� !'<!!-� 0��� !* �/� �� �� � ����� ��� � +��� � #''� !''- � �� ������� �� �� �� ����� ���)� � �� ��� ������ ��� ����

* + ��"��� �� ��� ������ , ��

� ����� ������� ���� �� ���� �� ��)�� �� ��� )�)� � �� ������ � *" ,�" �1������� (�� �� ����� /�� �� �������� � �� �)) ) ���� � ������� � � ����� �� � �� �������� ��)���� � ,�"./�� (� �������� ��� �� � ������� �� ���� ��� � �� �� ����� ��� �� ���� ���� ���� � �� ���2����� ���� �� �������� � � 0� �� � �� �� ����� ������� �)) 4������� ���� � � ��� � � � � �1���2 �� ��)�� (� ���������� ����� ������� � �������� ���� � �� �� �� <��3�� ��� �������� �1������) �� ���� � �� � ����� � ���� � ��� �� ����� ������� ./��

(� ����� ����� �� �� �� ��)���� ��� ���������� � �� �)) ) ���� ��� ��� � �� ������ � ����)��� ) ����� (� ������ �� ����� �� ����� � � ��� ������ ��� ��� /�� �� ���� � �� �� ����/ ��� ����� �� ���� ���� �4)� ������ ) �� ��� ��� ��� ��� )� � �� � � /���� � �� �� �� ����4�� �� �������� ������� ��� ����� �� (� ��2����� �,�6� ��� ��� ��������� /�� 589( ) �2���������� ) �� � �� � � � ���� ��� �N����� ��� ���� ��� �� �������� ������� ����� �� �/��� �������� ��� �4 ��� �� ��)���� ��� ��� � ��� ���� ���)�� ��� �����1���� �)����� � �� �������� � ������ ��� �� ��� ����� �� ������� ����)����� � �� �������� ��� �4 /���� �A������ �� �� � 2����� ����� �/� � � /�� �� �������� ������� ����� �� ��� �� ��� �4 �� � �� �)����� ��� ��2��)��� � � � �1������ � ��� ����� �� � ������ (�� � �1����� ��)���� ������ � �� ���� � ����

0������� /� /��� ��3� � ������ � �� ���/�� �����1���� /�� �� �������� ����� � ��������/� � ������ � �� �� ��� ������ 5� ����� /�� ��� �� ��� �� � �� � ���� � ��))�� ��� ���4�� ��� �������� ���� �� �� �A����� �� �� ������� �������� ����� (� �)) ) ���� /�� � �� � ��� �) ���� �� � �� � �� ,�" �1������ �� �/ ������� (� � �� ����� �� �� ��������� .���� /� � ��,�" �1������ � � / ����� �� �/� �� ������ #� (� ����� ������ �� ������ �� ��������� �2����� �� ��2��������� �� �������� ��� �� �� �� ���� � ��))�� ��� �� ������� �������� ���� �� �������� ��� �� ����� (� ,�" �1������ �� ��� ����� � � / ����� /���� �� �� ���� � �� �� ����� �� ������ �� ���� �� �� ����� ��� ���/��� �� �/ ������� ��� ����� �� ,�" �� )� ��������� �� ���������� �������� ���� �� �������� � �� ���� ���� ��� � ����� � �������� � � � �� �)�������

����������

:#; J�8� ��� "��� ����� �� ���� � �� ����������� � �������� ��������� �5�, O� �))�� ,��� >@ +#- +#$$@- >B�

:!; M��� J/���� ������ � 6��� ��� �������� ������� �1������ � ������2���)���� � D� ������ � ���� 7� M� ���

5�������� � 0���� "�������� 8���� � �� ��� #$$@2'@� D�)�������� 0���� "�������� D�� ��� 9�� � ����� ,�� ���� #$$@�

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 20 40 60 80 100

log

(||r

||/||r

_0||)

Time steps

Normalized Residual vs Time Steps

’Rem_200_seg.gnu’’Rem_100_seg.gnu’

0��� !*� D� � ����� ��� � � �� ��� ������ ��� ��� � ��� � #''� !''�

�� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,. >E$#

:*; O��� ���3� � ��F �� � �� � � J��� 8�3����� ,� ,� +6���-� 8����� "��� 0�/� �� �� �� ,������� 0�����F 8�1���<,����

0�/� ��� ,������� ��������� �� !� ��� ���� 5�������� � �� ������� ��� ��� ��������� ��/ ? 3� #$E@� )� *�

:=; (�Q� ���� O��� ���3� � ,�" ./ �� ��������� ����� /�� �������� ��2���� � � ��� � �� �������� ����� 0���� 6�� �� "�����

!B +#$$>- B'*�

:>; �� D�� ��� ��0� J������� O��� ���3� � �� (������� 8�1���<����� ,�" ./ �� ��������� ����� /�� ��� ���������

���������� /����F ������ ��� �� ������ �������� 5��� O� 6�� �� ���� *> +>- +#$$B- =E>�

:@; O�5� ����� ���� ���/��� 0����� ��A� ���� ��� ����� ������� ����� � ,�" ������ ./�� 5O�,0 ## +#$$'- $'B�

:B; �� ����������� ���� �� �.� � 0�6�,� �� ������ ,�" ���� ./ ) ������ 5O�,6 *' +#$$'- @=B�

:E; &� �� � M� J ����� &� �� ��� � �������� ��� )������� �� �� ����� ������� �������� � � ��2���������� ���� �� ����� 5666

( ���� ,�������� !> +=- +#$E$- *#=>�

:$; ?��� 0��� ����� ���������� ��� ���� ���� ��)���� � ����� �������� ��� ��� ������� �� ���� ������ �������� ������ O0, #'!

+#$E#- ='>�

:#'; ��O� ,������ ,������� �� ������ � ��1��� ������� O0, ##B +#$E!- !B�

:##; ��"� 8��)���� O��� 6 ���� �� , ���� ,������� ������� �A���� �� ��������� ������� ������ ��F ��M� ,A��� ,���6�

J �� +6���-� ,������ ����� �))�������� � ,������� ��������� J �������� � � ���)���� � �� 5��� ������� 9��� �

�� (� ������ ��� �))���� ,�������� D��� ����� 9M� @<#' ��)����� #$E!� (� ,����� ������� 8���� #$E=� )� #>�

:#!; &� ������ O� �� ����� J��� D� ���� � O� ��))��� �� (������ ���� ���� ������� � ����� �������� ������� ) ������� ODJ $!

+#$$#- =E!�

:#*; ��O� D� ���� 6��� �� ��� ��� ���)� ��� � ��������� �� ��� � ��� ����� �� �)�� 5O�,6 *$ +#$$@- #=#�

:#=; J� ,����� ?� 0��� ����� �� ������� D�)��� ����� � *" ��)��� ) ������ #' ��� � � �4)� ������ �� ,�"� 5666 ( ����

,�������� !E +#$$!- #!B>�

:#>; D� 6���� O� ���3��� �� )����� ���� � *" ���� �� ����� 5666 ( ���� ,�������� #$ +#$E*- !=>'�

:#@; �� O����� O� ��� 8��� J ������� (� ���� � �)� ��� ������� �� ��)�������� ����� ���������� ����2(,2#'@$!#� 62$@**�

5D&,J2$>2E� #$$>�

:#B; �� � ����� ������� 0����������� ,����� J� ��� #$E*�

:#E; 8�"� 8������ 6�,� 8������� 8�J� J���� �3��� 6���� �������� � D������� ,����� J� ���� J ���� &4� �� #$E=�

:#$; �� ��� ����� �� ���������� ���� ������� ,� 0 ���� � ���� ��� � ���������� ����� ������� ���� � ��

�������� ������� �1������� 5O�,0 !$ +#$$$- >*>�

:!'; �� ��� ����� �� ���������� ���� ������� ,� 0 ���� � ���� ��� � ���������� ����� ������� ���� � ��

�������� ������� �1������� ��F ���� ���� �� �� ?���/� +6���-� �� ����� �� D�)�������� 6������ ��� ��������

5��� ������� D�)�������� 6������ ��� ��� ������� $B� (�� ������� J ���� 0 ���� �� ���� #$$B� )� !@$�

:!#; �� ��� �� ���� ���� ��������� � ��1���<����� ,�" ./� �� ��������� ������ O0, !#@ +#$$'- #@#�

:!!; 8� ������� ���� "���3 � ��� ,������� ������� ������ ./ ��)������� �� � �� ���������� 5O�,0 #* +#$$#- $#B�

:!*; ���� "���3 � ��� 7� ��P�� 8� ������� ( ��2���������� ��� � � � ����� � /� ����� �������� ������ ��F J �������� �

�J56� (� 5��� ������� ������ � &)����� 6������ ��� J �������� � ��� � �� ���� �� ��� ,��� ����� �� #$#@� #$$*�

:!=; ���� ������ ,� ,�3���� ������ � �������� ������� ) ����� ����� � � �� ������� ��)�������� .��� ��������

���� 5O�,0 !# +#$$>- =**�

:!>; O��� J��� ��� &� �� ����� ������� �)) 4������ � ����) ������� ./� � �� ����� ������ ��������� .���� ���� � ,����

J� ���� "�A� 61������ = +#$EE- >B�

:!@; 8�(��� �� ��� � ���� �� ��� � � �/2���������� ��2����� ��� �2�)���� ����� �������F ���� �� � ����� � ,�" ���� ./�

D�)��� ,���� �))�� ,��� 6�� �� #!= +#$$>- *@>�

:!B; D� ( )���� ,���������� ����� �1�� �� D�)���� �������� ������1�� +,�"- 0 �� �))������� �� �� J )����� ,�"

�� ���� (���� �� "�� �� �� �L5������� ������� J�������1�� �� � ������ 0 ����� #$$>�

:!E; �� ��� ����� � ����� ������� ���� � �� ����� ��)��� �������� ��������� J�"� (���� �� D�� ��� 9�� � �����

,�� ���� D������ #$$$�

:!$; (� (������� ?� &3�� ���� ���� �������� � ���� �� �� ����� � �� �2����� ������ ��������� .���� �� � �1�� � �� ��� ���� �

���� � �������� ����� O�,6 5��� ������� O� ��� *$ +#$$@- >'E�

:*'; 0� � ����� O� J��3� ����� &� �� ������������ � ����� ������� �)) 4������� � �� ��3�� ) ����� ��F �� ���3���� +6��-�

6N����� ������� � 6���)��� �������� �� #'� ���� � ���� ���� 0���� ,�������� 7��/��� ���������� #$E=� )� ##�

:*#; 0� � ����� ,� 0 ���� ,�4�� ��� ��� �� 0����� 6������ ,����� �) ���� �� ��� �� D�)�������� ,���������� �� #>�

�) ���� � �� ���� #$$#�

:*!; (�O��� ������� 8� 0 ����� ,� ������� �� � ��/ ����� ������� � ������� � ��)�������� .��� ��������F 7 �� ��� ������ ��

�����3�<� ���� �������F � ������ J�� ���� 3�� � ������� � �� ��3�� ) ���� ����������� �1��� �� ���� )������

D�)��� ,���� �))�� ,��� 6�� �� >$ +#$E@- E>�

:**; (�O��� ������� 8� 0 ����� ��,� ���� �� � ��/ ����� ������� � ������� � ��)�������� .��� ��������F 7555 �� ���� 3��C

����� �1�� �� ���� � �� ���� �<��A��� � �1������� D�)��� ,���� �))�� ,��� 6�� �� B* +#$E$- #B*�

:*=; 8�D� "���� &� �� ��� ��� � ����� � �� ��� ����� ������� � �1������� �� �� 6� )������ ��� �6������� 0���� ! +#$$*- =!*�

:*>; ?� ����� ,��� ������� �,�6�F � ���� ������ ������� ������� ��� ��� � �� ��� ��2������ �� ����� �������� �5�, O�

���� ����� D�)��� B +#$E@- E>@�

:*@; ?� ����� 5�� ��� � ,���� � �)� �� 8���� �������� J�� J��������� ����� #$$@�

:*B; ?� ����� 589(F � ���� � ���� ����)���� 589 ���� ������� ���� � 8���� ����� � �))�� # +#$$=- *EB�

:*E; ?� ����� ���� � 8���� ����� � �))�� B +#$E@- E>@�

:*$; ��M� ,A��� ,������� 0���� ���� ���� �� 6���� ������ D�������� 0������ D��� ���� 9�� � ���� J ���� 8���� #$E*�

>E$! �� )�� ����� �� ��� * ��� ��� ������� + �� ����� #��� �,� -.���/ 0123401,.