23

BAB III

LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

Pembahasan pada bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama dibahas limit

fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai limit suatu fungsi. Pada

bagian kedua dibahas pengertian kekontinuan fungsi dan sifat-sifatnya.

TIK: Setelah mempelajari pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan dapat

1. menghitung nilai limit fungsi yang diberikan.

2. menentukan kekontinuan suatu fungsi yang diberikan

3.1. Limit fungsi

Pengertian limit fungsi dapat disajikan secara aljabar dan secara geometri/grafis.

Secara Aljabar :

Misalkan 1

12

x

x)x(f , maka dengan mengambil beberapa nilai x untuk x

mendekati 1, diperoleh tabel nilai berikut.

x 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1

f(x) 1,9 1,99 1,999 1,999 2,0002 2,001 2,01 2,1

Dari tabel terlihat bahwa jika x 1, maka f(x) 2 dan ditulis

21

12

1

x

xlimx

.

Secara Grafis :

Jika nilai-nilai x dan f(x) pada tabel di atas digambarkan sebagai titik-titik yang kemudian

dihubungkan, akan diperoleh gambar berikut

2

1

Secara Analisis

Jika f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka tertentu yang memuat bilangan

a kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a

adalah L , dan ditulis L)x(flimax

24

jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan yang berpadanan yaitu > 0 sehingga

L)x(f bilamana 0 < ax < .

Jadi jika diterapkan pada contoh di atas

21

12

1

x

xlimx

jika untuk setiap > 0, terdapat > 0, sehingga untuk setiap x dengan

10 x berlaku 21

12

x

x < .

Limit Kiri dan Limit Kanan

Jika nilai x mendekati a dari sebelah kiri menyebabkan f(x) mendekati L, dituliskan

L)x(flimax

. Jika nilai x mendekati a dari sebelah kanan menyebabkan f(x) mendekati L,

dituliskan L)x(flimax

.

Sifat : Nilai )x(flimax

ada dan sama dengan L jika dan hanya jika )x(flimax

dan )x(flimax

keduanya ada dan sama dengan L.

Soal Latihan

I. Tentukan nilai limit fungsi di bawah ini secara aljabar dan secara grafis, kemudian jika

diberikan = 0,01, tentukan nilai yang bersesuaian.

1. 21

12

1

x

xlimx

3. 63

92

3

x

xlimx

2. 63

92

3

x

xlimx

4. 42

2

xlim

x

II. Carilah nilai limit di bawah ini.

1. 1

13

1

x

xlimx

2. 1

1

1

x

xlimx

3. 1

322

1

x

xxlimx

4. 2

2

2 4

53

x

xlimx

5. 1

1

1 xlimx

6. 21 1

1

)x(limx

25

7. 23

1

21

x

xlimx

8. h

xhxlimh

0

9. 1

12

1

x

xlimx

10. h

hlimh

33

0

11. xx

xlimx

53

4

4

12. )xx

(limx

1

1

1

221

13.

3

2

1 11

11

x

xlimx

14. 2

0)

x

x(lim

x

15. )x(xlimx

11

16. 65

92

2

3

xx

xlimx

17. xx

xxlimx

22

6

18. )xxx(limx

12654 2

III. 1. Misalkan

11

10

0

2

2

xjika,x

xjika,x

xjika,x

)x(f . Sketsalah grafik f dan tentukan

a. )x(flimx 0

c. )x(flimx 1

b. f(1) d. f(0)

2. Misalkan

25

211

11

2 xjika,x

xjika,x

xjika,x

)x(f . Sketsa grafik f dan tentukan

a. )x(flimx 1

c. )x(flimx 2

b. )x(flimx 2

d. f(1)

3.2. Limit Hasil e dan Limit Menuju Takhingga.

Rumus : e)x

(lim x

x

11 dan x)x(lim

x

1

10

= e.

26

Contoh

Hitunglah

1. x

x xlim

21 , jika ada.

2. 12

5332

2

xx

xxlimx

Penyelesaian :

1. Misalkan x = 2y maka x

2 =

y

1. Untuk x , maka y sehingga

x

x xlim

21 =

y

y ylim

21

1

=

21

1

.y

y ylim

= 2e .

2. 12

5332

2

xx

xxlimx

=

222

2

222

2

12

533

xx

x

x

x

xx

x

x

x

limx

=

2

2

112

533

xx

xxlimx

= 002

003

xlim =

2

3.

Soal Latihan

Hitunglah nilai limit fungsi di bawah ini

1. x

x)

x(lim 3

5

11

3.

1

12

32

x

x x

xlim

2. x

x x

xlim

1 4.

3

1

3

x

x x

xlim

2.3. Kekontinuan Fungsi

Limit sebuah fungsi ketika x mendekati a seringkali dapat ditemukan secara sederhana

dengan menghitung nilai fungsi tersebut di x=a. Definisi matematika untuk kontinuitas

sangat dekat dengan arti kata kontinuitas dalam kehidupan sehari-hari, yaitu istilah yang

digunakan untuk menjelaskan suatu proses yang berjalan terus menerus tanpa terputus oleh

gangguan.

Fungsi f dikatakan kontinu pada x = a, jika :

1. f(a) ada

2. )x(flimax

ada

3. )x(flimax

= f(a).

27

Jika f tidak kontinu di x=a, dikatakan f diskontinu di x=a.

Contoh

Gambar di bawah ini memperlihatkan grafik suatu fungsi f. Di bilangan manakah f

diskontinu dan mengapa?

Gambar 1

Penyelesaian:

Akan diselidiki kekontinuan fungsi f di x = -1, x = 1, dan x = 2.

Karena f(2) tidak ada, maka f diskontinu di x = 2.

Grafik terputus di x = 1, tetapi alasan diskontinuitas untuk titik ini berbeda. Di sini f(1) ada,

tetapi )x(flimx 1

tidak ada (karena limit kiri dan limit kanannya berbeda). Oleh karena itu f

diskontinu di x=1. Bagaimana dengan x = 1? Walaupun f(-1)=1 (ada) dan )x(flimx 1

= 3

(ada), akan tetapi )(f)x(flimx

11

, sehingga f diskontinu di x = -1.

Soal Latihan

Tentukan apakah fungsi di bawah ini kontinu pada nilai x yang diberikan :

1.

11

10

0

2

2

xjika,x

xjika,x

xjika,x

)x(f pada x = 0 dan x =1

2.

25

211

11

2 xjika,x

xjika,x

xjika,x

)x(f pada x = 1 dan x = 2

3.

15

11

1

2

2

xjika,x

xjika,x

x

)x(f pada x = 1

4.

11

11

12

xjika,

xjika,x

x

)x(f pada x = 1