Uswatun Chasanah, S.Pd MODUL 6

TRIGONOMETRI

I. PENDAHULUAN

A. DeskripsiModul 6 ini membahas tentang “ Trigonometri “ yang mana akan mempelajari sisi-sisi dan sudut-sudut yang ada dalam suatu segitiga. Perkembangan ilmu trigonometri telah dimulai sejak zaman Yunani Kuno. Penerapan ilmu ini sering digunakan dalam bidang fisika, tehnik, dan navigasi

B. PrasaratUntuk mempelajari modul ini, terlebih dahulu harus menyelesaikan kompetensi dasar dari modul sebelumnya.

C. Petunjuk Penggunaan ModulPenggunaan modul ini sangat sederhana. Siswa terlebih dahulu mempelajarinya. Jika mengalami kesulitan bisa mendiskusikannya dengan teman-teman dan guru sebagai fasilitator beserta siswa menyimpulkan materi yang di pelajari.

D. Tujuan AkhirDiharapkan siswa dapat mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih dari materi yang disajikan.

E. Kompetensi Dasar1. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan

perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri. 2. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi,

persamaan, dan identitas trigonometri. 3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan,

fungsi, persamaan, identitas trigonometri, dan penafsirannya.

F. Cek Kemampuan1. Tentukan nilai a, b, dan c pada tiap gambar di bawah ini!

2. Perhatikan Gambar disamping! a. Tunjukin bahwa Δ ABC dan Δ PQR sebangun. b. Sebutkan perbandingan sisi yang sama

pada ke dua segitiga itu. 3. Perhatikan gambar di bawah ini! A B a. Apakah ke dua segitiga itu memiliki perbandingan

yang sama? Jika jawabanmu ya, sebutkan!b. Apakah ke dua segitiga itu sebangun?

c. Apakah ke dua segitiga itu kongruen? Berikan

alasanmu.

6 cm

6 cm

11 cm 5 cm 5 cm

3 cm

6 cm 15 cm

9 cm

2 cm

5 cm 3 cm

A

B C

P

R

Q

a

b

5 4

3

13

3

25

c

4. Gambarlah sebuah segitiga, ukurlah ke-3 sisinya, berapakah jumlah seluruh sudutnya? Cobalah dengan cara yang sama untuk segitiga yang lain, Apa kesimpulanmu?

Setelah kalian benar-benar dapat menjawab soal-soal di atas, mari kita lanjutkan ke materi berikut.

Peta Konsep

TRIGONOMETRI

PerbandinganTrigonometri pada

Suatu Sudut

PersamaanTrigonometri Sederhana

Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus Segitiga

- Aturan Sinus- Aturan Kosinus- Luas Segitiga dan segi – n beraturan

Penerapan Trigonometri dalam

Kehidupan Sehari-hari

r

r

r

II. PEMBELAJARAN

A. Rencana Belajar SiswaModul 6 ini akan dilaksanakan dalam waktu 18 jam pelajaran

B. Kegiatan Belajar

1. Kegiatan Belajar 1

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menjelaskan arti derajat dan radian.- Mengubah ukuran sudut dari derajat ke radian dan sebaliknya

b. Uraian materi Ukuran Sudut dalam Derajat

Dengan menggunakan gambar di samping, sudut saru putaran penuh 10 besarnya adalah 3600, sehingga dapat di artikan:

10 = x sudut satu putaran

catatan: 10 dibaca satu derajat 1 derajat = 60 menit ( ditulis 10 = 60’ ) 1 menit = 60 detik ( ditulis 1’ = 60 ‘’ )

CONTOH. Nyatakan besar sudut 320 15’ dalam bentuk desimal ! Penyelesaian:

15’ = 15 x = 0,250

320 15’ = 320 + 15’= 320 + 0,250

= 32, 250 CONTOH. Nyatakan besar sudut 185, 450 dalam bentuk derajat, menit, detik!

Penyelesaian: 185, 450 = 1850 + 0,450

= 1850 + 0,45 x 60’= 1850 + 27’= 1850 27’

Ukuran Sudut dalam Radian Ukuran radian suatu sudut AOB adalah bilangan yang menyatakan

A perbandingan antara panjang busur AB dengan jari-jari OA. Besar < AOB dikatakan satu radian ( biasa ditulis 1 rad ) jika

r panjang busur AB sama dengan jari-jari lingkaran.

B

CONTOH. Tentukan ukuran sudut pusat suatu juring, jika panjang jari-jari 40 cm dan panjang busur 86 cm.Penyelesaian:Diketahui : Panjang busur = 86 cm

Panjang jari-jari = 40 cmUkuran radian = panjang busur = 86 : 40 = 2, 15 rad

Panjang jari-jari Hubungan Satuan Derajat dan Radian

Besar < POR adalah 1 rad. Untuk satu putaran penuh, nilainya P sama dengan keliling lingkaran yaitu 2πr. Oleh karena itu

1 radO

rr 1 putaran penuh = = 2π rad. Karena sudut 1 putaran penuh =

3600 , maka 2π rad = 3600 ↔ π rad = 1800 ↔ 1 rad =

0180 ≈ 57,30.

Sebaliknya, dapat diperoleh hubungan berikut:

3600 = 2π rad ↔ 10 = ↔ 10 = 0180

rad ≈ 0.0174 rad.

Dengan demikian, hubungan antara satuan derajat dan radian dapat dinyatakan sebagai

berikut: 1 rad =

0180 ≈ 57,30

1800 = π rad

10 = 0180

rad ≈ 0.0174 rad

CONTOH. 1. Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat di bawah ini ke dalam satuan radian!

a. 600 b. 3300

Penyelesaian:

a. 600 = 600 x 0180

rad = π rad. b. 3300 = 3300 x = 1 π rad.

2. Ubahlah besar sudut di bawah ini ke dalam satuan derajat!

a. π rad b. 2 rad

Penyelesaian:

a. 53

π rad = x 1800 = 1080 b. 2 rad = 2 x = 2 x = 114,60

c. Rangkuman

Hubungan derajat dan radian adalah 1 rad = atau π rad = 1800

d. Tugas1. Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan radian.

a. 150 b. 2050 c. 5040 d. 6200

2. Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan derajat.

a. 100 rad b. 3π rad c. π rad d. π rad.

3. Nyatakan besar sudut berikut dalam bentuk derajat, menit, detik. a. 45,550 b. 235,150

4. Nyatakan besar sudut berikut ke dalam bentuk desimal. a. 370 20’ b. 58030’45’’

5. Jari - jari lingkaran sama dengan 16 cm. Tentukan panjang busurnya jika sudut pusatnya sama dengan 300

e. Tes Formatif 1Isilah titik-titik dibawah ini dengan jawaban yang ada di sebelah kanan

1. Nilai 2 π rad = … a. 286,60 e. 125015’

2. 2050 = … b. 4050 f. 125’27’

3. 5 rad = … c. π rad g. 13,50

4. 125,250 = … d.

5. 13030’ = …

f. Kunci Jawaban Tes formatif 1

1 radO

R

α

1. b 2. c 3. a 4. e 5. g

g. Lembar Kerja 11. Nyatakan sudut 185020’15’’ ke dalam bentuk radian.2. Jari-jari lingkaran 14 cm. Jika sudut suatu juring 300. tentukan panjang busur dan luas

juring tersebut.

3. Jika α = 49,40 dan β = 24045’. Hitunglah nilai dari:a. α - β b. α + β

2. Kegiatan Belajar 2

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menentukan sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut dengan perbandingan trigonometri

segitiga siku-siku.- Menentukan sinus, kosinus, dan tangen dari sudut khusus/istimewa.

b. Uraian Materi Perbandinan Trigonometri pada Segitiga.

Perhatikan gambar!Y

y adalah sisi di depan sudut α x adalah sisi di dekat sudut α r adalah sisi miring / hipotenusa

r y

X x

Perbandingan-perbandingan trigonometri di definisikan:

a. sin α = sisi di depan sudut α = y d. cosec α = sisi miring = rsisi miring r sisi di depan sudut α y

b. cos α = sisi di dekat sudut α = x e. sec α = sisi miring = rsisi miring r sisi di dekat sudut α x

c. tan α = sisi di depan sudut α = y f. cot α = sisi di dekat sudut α = x sisi di dekat sudut α x sisi di depan sudut α y

Dari definisi di atas dapat di hubungkan:

a. sin α = 1 c. cot α = 1 cosec α tan α

b. cos α = 1 d. tan α = sin α = 1 sec α cos α cot α

CONTOH. Dari segitiga berikut ini, tentukan sin α, cos α, tan α, cot α, sec α dan cosec α.Penyelesaian:Diketahui : y = 12 dan r = 13 r = 13

x = = y=12 x = = = 5

Jadi, sin α = = cosec α = =

α

Cos α = = sec α = =

Tan α = = cot α = =

CONTOH. Jika 0 < β < 900, dan sin β = , Tentukan cos β dan tan β.

Penyelesaian:

x = Jadi, cos β =

3 5 = tan β =

= x = 4

Koordinat KutubKoordinat kutub atau koordinat polar merupakan cara penentuan letak suatu titik menurut jarak titik ke pangkal koordinat dan menurut besar sudut yang dibentuk terhadap sumbu XDari gambar di samping, titik P(x,y) dapat ditulis dalam koordinat kutub P(r, α) dengan

r = dan α = arc tan

Dari cos α = x = r cos α dan sin α = y = r sin α,

diperoleh; P(r, α0) = P(x,y), dengan Catatan: untuk menentukan α, perhatikan letak x = r cos α kuadran dari titik tersebut. y = r sin α

CONTOH: Ubahlah koordinat Kartesius berikut kedalam koordinat kutub. a. P ( , 1 ) b. Q ( - 3, 4) Penyelesaian: a. P ( , 1 ) b. Q ( - 3, 4) x = , y = 1 ( kuadarn I ) x = - 3, y = 4 ( kuadran II )

r = = = 2 r = = = 5

α = arc tan α = arc tan

= arc tan = arc tan

= 300 = - 53,10

Jadi, koordinat kutubnya P(2, 300) Jadi, koordinat kutubnya P(5; 53,10)

CONTOH: Ubahlah koordinat kutub berikut ke dalam koordinat Kartesius.a. A (10, 600) b. B (5 , 450)Penyelesaian:a. A (10, 600), r = 10, α = 600

x = r cos α = 10 cos 600 = 10 ( ) = 5

y = r sin α = 10 sin 600 = 10 ( ) = 5

Jadi, koordinat Kartesiusnya adalah A (5, 5 )b. B (5 , 450), r = 5 , α = 450

β

α

r

X

Y

x

y

P(x,y)

x = r cos α = 5 cos 450 = 5 ( ) = 5

y = r sin α = 5 sin 450 = 5 ( ) = 5

Jadi, koordinat Kartesiusnya adalah B (5, 5)

Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa 2

2 1 1

Dari segitiga siku-siku di atas, di peroleh:Sudut α Sin α Cos α Tan α Cosec α Sec α Cot α

00 0 1 0 Tdk terdefinisi 1 Tdk

terdefinisi

300 2

450 1 1

600 2

900 1 0 Tdk terdefinisi 1 Tdk

terdefinisi 0

CONTOH. Diketahui Δ ABC siku-siku di B, sudut A = 300 Cdan BC = 12 cm. Hitung panjang AB dan AC.Penyelesaian: 12

sin 300 = tan 300 =

= = A B

AC = 24 cm AB = 12 cm

CONTOH. Hitunglah nilai dari (sin 300 + cos 600) . tan 300

Penyelesaian:

(sin 300 + cos 600) . tan 300 = ( + ) ( ) =

CONTOH. Buktikan bahwa sin 900 cos 450 – cos 900 sin 450 = sin 450

Bukti:

Ruas kiri: sin 900 cos 450 – cos 900 sin 450 = 1 . ( ) – 0 . ( ) =

Ruas kanan: sin 450 =

Ruas kiri = ruas kananJadi terbukti sin 900 cos 450 – cos 900 sin 450 = sin 450

c. Rangkuman*) a. sin α = sisi di depan sudut α = y

sisi miring rb. cos α = sisi di dekat sudut α = x

sisi miring rc. tan α = sisi di depan sudut α = y

sisi di dekat sudut α x*) P(x,y) P(r, α0) P(r, α0) P(x,y)

r = x = r cos α

α0 = arc tan y = r sin α

300 600450

11

300

d. Tugas1. Tentukan nilai sin α, cos α, tan α, cosec α, sec α, dan tan α pada segitiga siku-siku

berikut.a) b)

24 25 86

2. Nyatakan koordinat titik-titik berikut ke dalam koordinat Kartesius.a) A (12, 450) b) B (8 , 600)

3. Nyatakan koordinat titik-titik berikut ke dalam koordinat Kutub.a) P ( 8 , 8) b) Q ( - 1, )

4. Tanpa menggunakan tabel atau kalkulator, hitunglah nilai dari:a) sin 300 + cos 600 – tan 450 c) sin 600 – cos 300 – cos 600 + sin 300

b) (cos450 + sin450)2 + (sin450 – cos450)2 cos 300 + tan 600 tan 450 + cos 900

e. Tes Formatif 2Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1. Diketahui sec α = , maka nilai dari sin α. cot α = …

A. C. E.

B. D.

2. Diketahui sin β = 0,8, untuk 0 ≤ β ≤ 900, maka nilai tan β sama dengan …A. 0,4 B. 0,5 C. 0,6 D. 1,0 E. 1,33

3. Koordinat kutub dari koordinat kartesius P( , 1) adalah…A. (2, 300) B. (2, 600) C. ( , 300) D. ( , 600) E. (3,300)

4. C Jika <CAB =300 dan panjang BC= 6 cm, maka panjang AC adalah …

A. 3 cm C. 9 cm E. 18 cmA B B. 6 cm D. 18 cm

5. Nilai dari sin 600.cos 300 – cos 900.tan 300 = …

A. B. C. D. E.

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 21. B 2. E 3. A 4. B 5. D

g. Lembar Kerja 21. Jika cos α = p, untuk 0 ≤ α ≤ 900, tentukan nilai dari

a. cos2 α – sin2 α b. 1 – cot2 α

2. 13 Tentukan nilai dari a. tan α + cot β b. sin α. cos α

3. Jika cos α = , untuk 0 ≤ α ≤ 900, tentukan nilai dari

4. Tentukan nilai sin α, cos α, tan α, cosec α, sec α, dan tan α dari sudut α pada koordinat Kartesius berikut ini.

Y X -X

α

α

α

300

α

β

α

α

α

P(9,12)

P(2, - 9) P(-3,- 8)

X - Y - Y

3. Kegiatan Belajar 3

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menentukan sinus, kosinus dan tangen dari sudut di semua kuadran.- Menentukan besar suatu sudut yang nilai sinus, kosinus, dan tangennya diketahui.- Menggunakan kalkulator untuk menentukan nilai pendekatan fungsi trigonometri dan besar sudutnya.- Menggunakan rumus sinus dan kosinus dalam penyelesaian soal- Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sederhana.

b. Uraian Materi Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut pada Semua Kuadran

Sumbu koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat bagian yang di sebut Kuadran.- Kuadran pertama (kuadran I) besar sudutnya 0 < α < 900

- Kuadran ke dua (kuadran II) besar sudutnya 900 < α < 1800

- Kuadran ke tiga (kudran III) besar sudutnya 1800 < α < 2700

- Kuadran ke empat (kuadran IV) besar sudutnya 2700< α <3600

Y Kuadran I

A(x1, y1) sin α1 = ; cos α1 = ; tan α1 =

X cosec α1 = ; sec α1 = ; cot α1 =

Kuadran II

sin α2 = ; cos α2 = ; tan α2 =

cosec α2 = ; sec α2 = ; cot α2 =

sin α3 = ; cos α3 = ; tan α3 =

cosec α3 = ; sec α3 = ; cot α3 =

sin α4 = ; cos α4 = ; tan α4 =

cosec α3 = ; sec α3 = ; cot α3 =

CONTOH. Diketahui cos α = , dan 1800 < α < 2700, tentukan nilai sin α . cot α

Penyelesaian:Panjang AB = = = 4

Sin α = (α di kuadran III)

Kuadran ISemua positip

Kuadran IIITan, cot positip

Kuadran IVCos, sec positip

Kuadran IISin, cosec positip

Y

r1

αy1

r2

y2

-x2

x1

α

B(-x2,y2)

C(-x3,-y3)

α-y3 r3

-x3

Kuadran III

x4

-y4r4α

D(x4,-y4)Kuadran IV

5

-3Aα

Tan α = cot α =

Jadi, sin α. cot α = . =

Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi 1. Sudut ( 900 – α )

sin ( 900 – α ) = cos α, cosec ( 900 – α ) = sec αcos ( 900 – α ) = sin α, sec ( 900 – α ) = cosec αtan ( 900 – α ) = cot α, cot ( 900 – α ) = tan α

CONTOH. Nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplementernya.a. sin 480 b. sec 720 c. tan 250

Penyelesaian:a. sin 480 = sin ( 900 – 420 ) = cos 420

b. sec 720 = sec ( 900 – 180 ) = cosec 180

c. tan 250 = tan ( 900 – 650 ) = cot 650

CONTOH. Tentukan α jika sec 4α = cosec 2α Penyelesaian: sec 4α = cosec 2α sec 4α = cosec (900 – 4α) maka cosec (900 – 4α) = cosec 2α

900 – 4α = 2α 6α = 900

α = 900 : 6 α = 150

2. Sudut ( 900 + α )

sin ( 900 + α ) = cos α, cosec ( 900 + α ) = sec αcos ( 900 + α ) = – sin α, sec ( 900 + α ) = – cosec αtan ( 900 + α ) = – cot α, cot ( 900 + α ) = – tan α

CONTOH. Carilah nilai dari: a. tan 1350 b. cos 1200

Penyelesaian: a. tan 1350 = tan (900 + 450) b. cos 1200 = cos (900 + 300)

= –cot 450 = –sin 300

= – 1 = –

3. Sudut ( 1800 – α ) dan (1800 + α )

sin ( 1800 – α ) = sin α, cosec ( 1800 – α ) = cosec αcos (1800 – α ) = – cos α, sec ( 1800 – α ) = – sec αtan ( 1800 – α ) = – tan α, cot ( 1800 – α ) = – cot α

sin ( 1800 + α ) = – sin α, cosec ( 1800 + α ) = – cosec αcos (1800 + α ) = – cos α, sec ( 1800 + α ) = – sec αtan ( 1800 + α ) = tan α, cot ( 1800 + α ) = cot α

CONTOH. Nyatakan ke dalam sudut lancip.a. sin 1370 b. cos 1200 c. cot 1600

Penyelesaian:a. sin 1370 = sin ( 1800 – 430 ) = sin 430

b. cos 1200 = cos (1800 – 600 ) = – cos 600 = –

c. cot 1600 = cot ( 1800 – 200 ) = – cot 200

CONTOH. Hitunglah nilai dari:a. tan 2100 b. cos 2250 c. sin 2400

Penyelesaian:

B

a. tan 2100 = tan ( 1800 + 300 ) = tan 300 =

b. cos 2250 = cos (1800 + 450 ) = – cos 450 = –

c. sin 2400 = sin ( 1800 + 600 ) = – sin 600 = –

4. Sudut ( 2700 – α ) dan ( 2700 + α )

sin ( 2700 – α ) = – cos α, cosec ( 2700 – α ) = – sec α cos ( 2700 – α ) = – sin α, sec ( 2700 – α ) = – cosec α tan ( 2700 – α ) = cot α, cot ( 2700 – α ) = tan α

sin ( 2700 + α ) = – cos α,cosec ( 2700 + α ) = – sec αcos (2700 + α ) = sin α, sec ( 2700 + α ) = cosec αtan ( 2700 + α ) = – cot α, cot ( 2700 + α ) = – tan α

CONTOH. Hitunglah nilai dari : a. sin 2250 b. tan 2100

Penyelesaian:

a. sin 2250 = sin ( 2700 – 450 ) = – cos 450 = –

b. tan 2100 = tan ( 2700 – 600 ) = cot 600 =

CONTOH. Nyatakan ke dalam sudut lancip: a. sec 3200 b. sin 2790

Penyelesaian:a. sec 3200 = sec ( 2700 + 500 ) = cosec 500

b. sin 2790 = sin ( 2700 + 90 ) = – cos 90

5. Sudut ( 3600 – α )

sin ( 3600 – α ) = – sin α, cosec ( 3600 – α ) = – cosec α cos ( 3600 – α ) = cos α, sec ( 3600 – α ) = sec α tan ( 3600 – α ) = – tan α, cot ( 3600 – α ) = – cot α

CONTOH. Nyatakan ke dalam sudut lancip:a. cos 3450 b. sin 2850 c. tan 3200

Penyelesaian:a. cos 3450 = cos ( 3600 – 150 ) = cos 150

b. sin 2850 = sin ( 3600 – 750 ) = – sin 750

c. tan 3200 = tan ( 3600 – 400 ) = – tan 400

6. Sudut negatif (– α)

sin (– α ) = – sin α, cosec (– α ) = – cosec α cos ( – α ) = cos α, sec (– α ) = sec α tan (– α ) = – tan α, cot ( – α ) = – cot α

CONTOH. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ke dalam sudut lancip positip.a. cos (–600) b. cosec (–400) c. tan (–1480)Penyelesaian:a. cos (–600) = cos 600

b. cosec (–400) = – cosec 400

c. tan (–1480) = – tan 1480 atau tan (–1480) = – tan 1480

= – {tan(1800– 320)} = – {tan(900+580)} = – (– tan 320) = – (– cot 580) = tan 320 = cot 580

CONTOH. Hitunglah nilai dari: a. cos (– 450) b. tan (– 600)Penyelesaian:

a. cos (– 450) = cos 450 =

b. tan (– 600) = – tan 600 = –

7. Sudut ( n.3600 – α ) dan ( n.3600 + α )

sin ( n. 3600 – α ) = sin (– α ) = – sin α, sin ( n. 3600 + α ) = sin α cos ( n. 3600 – α ) = cos ( – α ) = cos α, cos ( n. 3600 + α ) = cos α tan ( n. 3600 – α ) = tan (– α ) = – tan α, tan ( n. 3600 + α ) = tan αcosec ( n. 3600 – α ) = cosec (– α ) = – cosec α cosec ( n. 3600 + α ) = cosec αsec ( n. 3600 – α ) = sec (– α ) = sec α sec ( n. 3600 + α ) = sec αcot ( n. 3600 – α ) = cot ( – α ) = – cot α cot ( n. 3600 – α ) = cot α

CONTOH. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ke dalam sudut lancip. a. cosec 7000 b. cos 4400

Penyelesaian: a. cosec 7000= cosec(2. 3600–200)= –cosec 200= –cosec(900–700)= –sec 700

b. cos 4400 = cos ( 3600 + 800 ) = cos 80 = cos ( 900 – 100 ) = sin 100

CONTOH. Hitunglah nilai dari: a. cos 4200 b. sin 4800

Penyelesaian:

a. cos 4200 = cos ( 3600 + 600 ) = cos 600 =

b. sin 4800 = sin (3600+1200) = sin 1200 = sin (900+300) = cos 300 =

Persamaan Trigonometri1. Persamaan sin x = sin p

Jika sin x = sin p, maka (i) x = p + k. 3600, atau (ii) x = ( 1800 – p ) + k. 3600, dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….

CONTOH. Tentukan HP dari 2 sin x = , untuk 00 ≤ x ≤ 3600 Penyelesaian:2 sin x =

sin x =

sin x = sin 600

(i) x = 600 + k . 3600 (ii) x = (1800 – 600) + k . 3600

k = 0 x = 600 k = 0 x = 1200

Jadi, HP = { 600, 1200}

CONTOH. Tentukan HP dari 2 sin 2x = 1, untuk 00 ≤ x ≤ 3600

Penyelesaian:2 sin 2x = 1

sin 2x =

sin 2x = sin 300

(i) 2x = 300 + k . 3600 (ii) 2x = (1800 – 300) + k . 3600

x = 150 + k . 1800 2x = 1500 + k . 3600 k = 0 x = 150 x = 750 + k . 1800

k = 1 x = 1950 k = 0 x = 750

k = 1 x = 2250

Jadi, HP = { 150, 750, 1950, 2250 }

2. Persamaan cos x = cos pJika cos x = cos p, maka (i) x = p + k. 3600, atau

(ii) x = – p + k. 3600, dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….

CONTOH. Tentukan HP dari 2 cos x + 1 = 0, untuk 00 ≤ x ≤ 3600

Penyelesaian:2 cos x + 1 = 0

2 cos x = – 1

cos x = –

cos x = cos 1200

(i) x = 1200 + k . 3600 (ii) x = – 1200 + k . 3600

k = 0 x = 1200 k = 1 x = 2400

Jadi, HP = { 1200, 2400}

CONTOH. Tentukan HP dari 2 cos (x + 450) = , dengan 00 ≤ x ≤ 3600

Penyelesaian:2 cos (x + 450) =

cos (x + 450) =

cos (x + 450) = cos 450

(i) x + 450 = 450 + k . 3600 (ii) x + 450 = – 450 + k . 3600

x = k . 3600 x = – 900 + k . 3600

k = 0 x = 00 k = 1 x = 2700

k = 1 x = 3600 Jadi, HP = { 00, 2700, 3600 }

3. Persamaan tan x = tan pJika tan x = tan p, maka x = p + k . 1800, dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….

CONTOH. Tentukan HP dari tan 2x = , untuk 00 ≤ x ≤ 3600

Penyelesaian:tan 2x =tan 2x = tan 600

2x = 600 + k . 1800

x = 300 + k . 900

k = 0 x = 300

k = 1 x = 1200

k = 2 x = 2100

k = 3 x = 3000 Jadi, HP = { 300, 1200, 2100, 3000 }CONTOH. Tentukan HP dari tan (x + 200) – = 0, untuk 00 ≤ x ≤ 3600

Penyelesaian:tan (x + 200) – = 0 tan (x + 200) =

tan (x + 200) = tan 600

x + 200 = 600 + k . 1800

x = 400 + k . 1800

k = 0 x = 400

k = 1 x = 2200

Jadi, HP = { 400, 2200 }

CONTOH. Tentukan HP dari sin x = cos x, untuk – 3600 ≤ x ≤ 3600

Penyelesaian:

sin x = cos x

sin x = sin (900 – x)

(i) x = (900 – x) + k . 3600 (ii) x = (1800 –(900 – x)) + k . 3600

x + x = 900 + k . 3600 x = (1800 – 900 + x) + k . 3600

x = 900 + k . 3600 x = 900 + x + k. 3600

x = 600 + k. 2400 – x = 900 + k. 3600

k = –1 x = –1800 x = –1800 – k . 7200

k = 0 x = 600 k =0 x = –1800 k = 1 x = 3000

Jadi, HP = { –1800, 600, 3000 }

c. Rangkuman* Sumbu koordinat membagi bidang koordinat menjadi 4 bagian, yang di sebut kuadran. - kuadran pertama, semua bernilai positip

- kuadran ke dua hanya sin dan cosec yang bernilai positip - kuadran ke tiga hanya tan dan cot yang bernilai positip - kuadran ke empat hanya cos dan sec yang bernilai positip

* Persamaan Trigonometri 1. sin x = sin p 2. cos x = cos p 3. tan x = tan p (i) x = p + k . 3600 (i) x = p + k . 3600 x = p + k . 1800

(ii) x =(1800– p) + k .3600 (ii) x = – p + k . 3600

dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….

d. Tugas

1. Diketahui sin α = – dan cos α bertanda positip, tentukan nilai dari:

a. sec α b. cosec α c. 1 – cot2 α

2. Jika cot θ = – dan 2700 < θ < 3600. hitunglah nilai sec θ dan cosec θ

3. Diketahui cos θ = – dan sin θ = . Tentukan nilai dari cosec θ dan tan θ

4. Diketahui sin α = dan cos β = , α dan β pada kuadran I. Tentukan nilai dari

5. Jika cos α = –0,8 , α pada kuadran II. Tentukan nilai sin α + cotan α.6. Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai-nilai berikut.

a. sin 1200 c. tan 2100 e. cos (–450) g. sin 2250 i. sin (–1500) b. cos 1200 d. sin 2100 f. tan (–450) h. tan (–300) j. tan (–1500)

7. Untuk 00 ≤ x ≤ 3600. tentukan HP dari: a. sec 3x = b. sin 2x. cos x – cos x = 0

e. Tes Formatif 3Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1. Jika sin A = , A sudut pada kuadran II, maka cos A = …

A. –1 B. C. 0 D. E. 1

2. Diketahui tan A = dengan sudut A lancip. Nilai 2 cos A = …

A. B. C. D. E.

3. Diketahui cos α = t, maka cosec α = …

A. B. C. D. E.

4. Jika cos β = – dan β pada kuadran II, maka tan β = …

A. B. C. D. – E. –

5. sin α = p, p ≠ 0, maka sin (2700 – α) sama dengan …

A. B. C. D. – E.

6. Nilai cos 11100 adalah …

A. B. C. – D. – E.

7. Nilai dari = …

A. –2 B. – C. D. 1 E. 2

8. Himpunan penyelesaian dari 2 cos (x + 600) = 1, untuk 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …

A. { 00, 2400, 3600 } C. { 300, 3600 } E. { 00 }B. { 00, 3600 } D. { 600, 2700 }

9. Nilai x yang memenuhi 2 sin x – 1 = 0, untuk 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …A. 300 atau 1200 C. 600 atau 1200 E. 600 atau 2700

B. 300 atau 1500 D. 300 atau 1800

10. Himpunan penyelesaian dari sin x = , jika 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …

A. { 600 } B. { 1200 } C. { 600, 1200 } D. { 300, 1200 } E. { 1200, 2400 }

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 31. B 2. B 3. A 4. D 5. D 6. B 7. E 8. A 9. B 10. E

g. Lembar Kerja 31. Dengan menggunakan hubungan perbandingan trigonometri, tentukan ke enam nilai

perbandingantrigonometri jika diketahui:a. 2 sin α = 1 (α di kuadran I) e. cot α = 3 (α di kuadran I)b. 5 sin α = –2 (α di kuadran IV) f. 3 sec α = –5 (α di kuadran II) c. tan α = 5 (α di kuadran III) g. – 5 cosec α = 13 (α di kuadran IV)d. – cos α = 3 (α di kuadran II) h. 4 cosec α = 3 (α di kuadran I)

2. Jika diketahui tan α = - 2 (α di kuadran II). Tentukan:a. 2 sin α cos α b. sec α – cosec α c. 2 sec α + sin α

3. Nyatakan sebagai fungsi-fungsi trigonometri sudut lancip.a. sin 1300 b. tan 1470 c. cos 2830 d. cot 3100

4. Tentukan HP dari sin (2x – 450) = 1, untuk 00 ≤ x ≤ 3600

5. Tentukan HP dari :

a. tan (x – π) = cot , untuk 00 ≤ x ≤ 2 π

b. sin (2x – ) = cos , untuk –π ≤ x ≤ π

4. Kegiatan Belajar 4

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Mengonstruksikan grafik fungsi sinus dan kosinus - Menggambar grafik fungsi tangen

b. Uraian Materi Periodisitas Fungsi Trigonometri

Secara umum dikatakan bahwa jika pad suatu fungsi berlaku f(x) = f(x + p), untuk setiap x, maka fungsi tersebut adalah fungsi periode dengan periode p, sehingga dari pengertian tersebut di dapat;

(i) y = sin kx mempunyai periode x 3600

(ii) y = cos kx mempunyai periode x 3600

(iii) y = tan kx mempunyai periode x 1800

CONTOH. Tentukan periode fungsi-fungsi berikut ini.

a. y = sin 6x b. y = 2 tan x

Penyelsesaian:

a. y = sin 6x k = 6 b. y = 2 tan x k =

Periode = x 3600 = 600 Periode = x 1800 = 7200

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi TrigonometriGrafik y = a sin kx + b dan y = a cos kx + b mempunyai nilai maksimum y =│a│+ b dan nilai minimum y = –│a│+ b. Sedangkan grafik y = tan x tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum

Amplitudo grafik suatu fungsi = ( nilai maksimum – nilai minimum )

CONTOH. Tentukan nilai maksimum , nilai minimum dan amplitudo dari fungsi berikut.a. y = 3 sin 5x + 2 b. y = –2 cos 3x – 2 c. y = –3 cos (6x + 200 )Penyelesaian:a. y = 3 sin 5x + 2 b. y = –2 cos 3x – 2 c. y = –3 cos (6x + 200 ) maks = │3│+2=5 maks = │–2│– 2 = 0 maks = │–3│= 3 min = –│3│+2 = –1 min = –│–2│– 2 = –4 min = –│–3│= –3

Amplitudo = (5+1)=3 Amplitudo= (0+4)=2 Amplitudo =

(3+3)=3 Grafik Fungsi Sinus

Grafik f(x) = sin x , untuk 0 ≤ x ≤ 2πx 0

Sin x 0 1 0– – –

–1–

––

0

Y Grafik y = sin x

X

Graik Fungsi KosinusGrafik f(x) = cos x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π

x 0

cos x 1 0– –

- –1 - – –

0 1

Y Grafik y = cos x

X

Grafik Fungsi TangenGrafik f(x) = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π

– 1

1

1

– 1

x 0

Tan x 0 1 Tdk terdefinisi

–1 0 1 Tdk terdefinisi

–1 0

Y Ggrafik y = tan x

Menggambar grafik fungsi trigonometriAda beberapa cara untuk menggambar grafik fungsi trigonometri, diantaranya:a. Tabel nilai trigonometri

CONTOH. Lukislah grafik y = 2 sin x, untuk 00 ≤ x ≤ 3600

Penyelesaian:

300 900 1800 2700 3600

b. Dengan cara menentukan koordinat titik-titik potong dengan sumbu koordinat, menentukan koordinat titik maksimum dan minimum jika ada.

CONTOH. Gambarlah y = 3 cos (x – 300)Penyelesaian:

*) Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat. * Titik potong dengan sumbu X y = 0

3 cos (x – 300) = 0 cos (x – 300) = 0 cos (x – 300) = cos 900

(i) x – 300 = 900 + k. 3600 (ii) x – 300 = –900 + k. 3600

x = 1200 + k . 3600 x = – 600 + k. 3600 k = 0 x = 1200 k = 1 x = 3000

Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (1200, 0) dan (3000, 0) * Titik potong dengan sumbu Y x = 0

3 cos (0 – 300) = 3 . ( ) =

Jadi, titik potong sumbu Y adalah ( , 0)

*) Menentukan titik maksimum dan minimum* y = 3 cos (x – 300) * y = 3 cos (x – 300) y maks = 3 y min = –│3 │ = – 3 3 cos (x – 300) = 3 3 cos (x – 300) = – 3 cos (x – 300) = 1 cos (x – 300) = – 1 cos (x – 300) = cos 00 cos (x – 300) = cos 1800

(i) x – 300 = 00 + k . 3600 (i) x – 300 = 1800 + k . 3600

x 00 300 900 1500 1800 2700 3600

y=2sin x 0 1 2 1 0 –2 0

1

– 1

2

–2

1

–1

x = 300 + k . 3600 x = 2100 + k . 3600

k = 0 x = 300 k = 0 x = 2100

(ii) x – 300 = 00 + k . 3600 (ii) x – 300 = –1800 + k . 3600

x = 300 + k . 3600 x = –1500 + k . 3600

k = 0 x = 300 k = 1 x = 2100

Jadi, titik balik maksimum Jadi, titik balik minimum Adalah (300, 3) adalah (2100, –3)

c. RangkumanCara menggambar grafik fungsi trigonometri, diantaranya:- Tabel nilai kebenaran- Dengan cara menentukan koordinat titik potong dengan sumbu koordinat, menentukan koordinat titik maksimum dan minimum jika ada.

d. Tugas1. Tentukan periode fungsi berikut.

a. y = 2 cos (2x – 600) + 2 c. y = 3 tan 4x

b. y = - 3 sin ( x +600) – 2 d. y = - sin 2x + 6

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari: a. y = 3 cos (x – 600) – 2 b. y = 4 sin (x + 450) + 1 c. y = 3 – 4 cos (x – 600)

3. Gambarlah grafik dari:

a. y = - 2 sin x, 00 ≤ x ≤ 1800 d. y = 3 + cos x, 00 ≤ x ≤ 3600

b. y = - 2 sin 2x, 00 ≤ x ≤ 1800 e. y = 3 + 3 sin x, 00 ≤ x ≤ 3600

c. y = │cos x│, 00 ≤ x ≤ 3600

e. Tes Formatif 4Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1. Persamaan yang sesuai dengan grafik di samping adalah

A. y = 2 cos x D. y = - 2 sin xB. y = - 2 cos x E. y = - 2 sin 2xC. y = 2 sin x

2. Nilai maksimum dari f(x) = 5 + 2 sin 3x adalah …A. 1 B. 2 C. 5 D. 6 E. 7

3. Grafik y = cos x terletak di bawah grafik y = sin x pada interval …A. 00<x<1800 B. 450<x<900 C. 450<x<1800 D. 900<x<1800 E. 1350<x<1800

4. Grafik di bawah menunjukan fungsi: A. y = 2 cos x D. y = 2 cos 2x

B. y = cos 2x E. y = 2 cos x

C. y = 2 cos x

5. Grafik di bawah ini menggambarkan fungsi …

3

–3

300

2100

1200 3000 3600

2

-2

900

18002700

3600

2

-2

A. y = sin2x D. y = sin x2

B. y = sin 2x E. y = sin (x+2) C. y = 2 sin x2

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 41. D 2. E 3. D 4. D 5. A

g. Lembar Kerja 41. tentukan amplitudo dari:

a. – 4 cos (3x + 600) – 2 b. – 2 sin (x – 900) + 2 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari:

a. – 3 sin 2x + 5 b. 5 + cos 3x3. Tentukan periode fungsi trigonometri berikut.

a. 3 sin (2x – 450) b. 2 tan (5x + 450) c. 3 sin ( x + 600)

4. Gambarkan y = - cos 2x ; 00 ≤ x ≤ 1800

5. Kegiatan Belajar 5

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian - Membuktikan identitas trigonometri sederhana

b. Uraian Materi Hubungan antara perbandingan-perbandingan trigonometri

a) sin α = sin α. cosec α = 1 d) tan α =

b) cos α = cos α. sec α = 1 e) cot α =

c) tan α = tan α cot α = 1

Identitas trigonometria) sin2 α + cos2 α = 1b) 1 + tan2 α = sec2 αc) 1 + cot2 α = cosec2 α

CONTOH. Buktikan (sin α + cos α )2 – 1 = 2 sin α cos α Bukti: Ruas kiri: (sin α + cos α )2 – 1 = (sin α + cos α ) (sin α + cos α ) – 1

= sin2 α + cos2 α + 2 sin α cos α – 1 = 1 + 2 sin α cos α – 1 = 2 sin α cos α = ruas kanan

Jadi terbukti: (sin α + cos α )2 – 1 = 2 sin α cos α

CONTOH. Buktikan cos4 α – sin4 α = 1 – 2 sin2 αBukti:Ruas kiri: cos4 α – sin4 α = (cos2 α + sin2 α) (cos2 α – sin2 α)

= cos2 α – sin2 α = 1 – sin2α – sin2 α = 1 – 2 sin2 α = ruas kanan

Jadi, terbukti cos4 α – sin4 α = 1 – 2 sin2 α

1

-1

c. RangkumanCara membuktikan persamaan identitas trigonometri adalah dengan menguraikan ruas kiri maupun ruas kanan sehingga hasil dari uraian tersebut sama dengan ruas yang satunya. Proses penguraian menggunakan rumus-rumus dasar hubungan perbandingan trigonomatri

d. Tugas1. Buktikan identitas-identitas berikut.

a. 5 cos2 α – 4 = - 5 sin2 α + 1 d. sec A + tan A =

b. 6 sin2 α – 6 = – cos α e. sec2 A ( 1 – sin2 A ) = 1 c. cos2 α ( 1 – tan2 α ) = 1 – 2 sin2 α f. cosec2 A ( 1 – cos2 A ) = 1

2. Sederhanakan bentuk trigonometri berikut. a. (1 – sin A) (tan A + sec A) c. (tan A – cos A)(sin A. cos A)

b. d. –

e. Tes Formatif 5

1. Bentuk sederhana dari adalah …

A. sec α C. tan α E. cos αB. sin α D. cosec α

2. Diketahui p – q = cos α dan = sin α, maka p2 + q2 = …A. sin α + cos α C. sin2 α – cos2 α E. cos2 α – sin2 αB. sin2 α + cos2 α D. sin2 α + sin2 α

3. untuk setiap sudut α. Bentuk ( 1 – sin2 α) (1 + tan2 α) dapat disederhanakan menjadi …

A. 1 + sin2 α C. 1 + cos2 α E. sin2 αB. sin2 α – cos2 α D. 1

4. Kila a – b = sin A dan ab = cos2 A, maka a2 + b2 sama dengan …

A. 1 B. C. D. E. – 2

5. Bentuk sederhana dari adalah …

A. B. C. D. E.

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 51. D 2. B 3. D 4. A 5. A

g. Lembar Kerja 51. Buktikan identitas trigonometri berikut ini.

a. = + d. = 1 – 2 cos2 A

b. cos A + tan A = cos A . sec2 A e. tan2A – sin2A = tan2A . sin2A

c, cot2A + 1 = f. tan(900–A).tanA + cot(900–A). cotA = 2

2. Jika diketahui p = 3 sin α dan q = – cos α. tentukan nilai dari:

a. p2 + q2 b. – c. +

3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikuta. (sin B – cos B)2 + 2 sin B cos B c. cos4 B – sin4 B + 2 sin2 B

b. + – d. + = 2 sec B

6. Kegiatan Belajar 6

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menghitung luas segitiga yang komponennya diketahui.- Membuktikan rumus sinus dan rumus kosinus.

b. Uraian Materi Rumus – rumus Segitiga

1) Aturan Sinus.Pada setiap segitiga ABC berlaku aturan sinus:

= =

Bukti:

Gambar (i) Gambar (ii)

Dari gambar (i). Dalam Δ AEC, sin A = atau CE = b sin A ……….(1)

Dari gambar (ii). Dalam Δ BEC, sin B = atau CE = a sin B ……….(2)

Dari (1) dan (2):a sin B = b sin A (masing-masing ruas dibagi sinA . sinB)

= , maka = ……………………(3)

Dari gambar (i). Dalam Δ ABD, sin A = atau BD = c sin A …………(4)

Dari gambar (ii). Dalam Δ CDB, sin C = atau BD = a sin C …………(5)

Dari (4) dan (5):c sin A = a sin C (masing-masing ruas dibagi sinA. sinC)

= , maka = ……………………..(6)

Dari (3) dan (6) di peroleh: = =

Aturan sinus digunakan jika diketahui 3 unsur yang secara berurutan, yaitu:1. sisi – sudut – sudut (s, sd, sd)2. sisi – sisi – sudut (s, s, sd)3. sudut – sisi – sudut ( sd, s, sd )CONTOH. Dalam Δ ABC, dengan c = 35 cm, <A = 470, dan <C = 980.

Hitung panjang a dan b !Penyelesaian:

*) =

ab

cA

B

C

A B

C

a

c

bD

A B

C

EE

Db

c

a

a = = = 25, 8 cm

*) < B = 1800 – (470 + 980) = 350

=

b = = = 20, 3 cm

Jadi, panjang sisi a = 25,8 cm dan b = 20, 3 cmCONTOH. Pada Δ ABC, diketahui panjang sisi AB = 10 cm, sisi AC = 12 cm

dan sin B = . Tentukan nilai cos C.

Penyelesaian:

Panjang sisi AB = c = 10 cm, panjang sisi AC = b = 12 cm, sin B =

Dengan aturan sinus: =

=

sin C = = =

Identitas trigonometri: sin2 C + cos2 C = 1

( )2 + cos2 C = 1

cos2C = 1 – =

cos c =

2) Aturan Kosinus.Pada setiap Δ ABC berlaku rumus kosinus:

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A cos A =

b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B atau cos B =

c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C cos C =

Bukti. Gambar (i) Gambar (ii)

Pada gambar (i) Δ ABC lancip dan CD ┴ ABMisalkan AD = x, maka BD = c – x Pada Δ ADC; CD2 = b2 – x2 ……………………………………(1)Pada Δ BDC; CD2 = a2 – ( c – x )2 = a2 – c2 + 2cx – x2 ………..(2)Dari (1) dan (2): b2 – x2 = a2 – c2 + 2cx – x2

b2 = a2 – c2 + 2cxatau a2 = b2 + c2 – 2cx ………………………..(3)

Dalam Δ ADC; cos A = x = b cos A ……………...(4)

Dari (3) dan (4); a2 = b2 + c2 – 2bc cos AJadi, a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.Dengan cara yang serupa, dapat kita buktikan pula bahwa:

A B

C

ab

c

A B

C

ab

Dx c-x

cB

C

DA

ab

c

b2 = a2 + c2 – 2 ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2 ab cos C

Aturan kosinus di gunakan jika diketahui 3 unsur secara berurutan yaitu:1. sisi – sisi – sisi ( s, s, s )2. sudut – sudut – sudut ( sd, sd, sd )3. sisi – sudut – sisi (s, sd, s)Dan aturan kosinus di atas berlaku juga untuk segitumpul seperti Gambar (ii)

CONTOH. Diketahui Δ ABC dengan panjang AC = 4 cm, AB = 5 cm, dan <A = 400.Tentukan panjang BC.Penyelesaian:a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 42 + 52 – 2 . 4 . 5. cos 400

= 16 + 25 – 40 (0,766) = 41 – 30,64 = 10,36a = = 3,219 cm

CONTOH. Dalam Δ ABC diketahui b = 8 cm, c = 5 cm, dan sudut A = 600.Tentukan panjang sisi a !Penyelesaian:Dengan aturan kosinus: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

= 64 + 25 – 80 ( )

= 49 a = = 7 cm.

Luas Segitiga 1. Luas segitiga jika diketahui alas dan tingginya

Apabila pada sebuah segitiga diketahui alas dan tingginya, maka luas segitiga tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:

L = a.t keterangan: a = alas; t = tinggi

2. Luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sudut apit dua sisi tersebut (s, sd, s)Apabila pada sebuah segitiga diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh ke dua sisi itu, maka luas segitiga tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:

L = a.b.sin C

L = a.c.sin B

L = b.c.sin A

CONTOH. Sebuah Δ ABC, panjang sisi a = 16 cm dan panjang sisi b = 24 cm, serta <C = 450. Tentukan luas segitiga tersebut!Penyelesaian:

L Δ ABC = a.b.sin C

= . 16 . 24 .( )

= 96 cm2

3. Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisiApabila pada sebuah segitiga, dua sudut dan satu sisi yang terletak di antara ke dua sudut, maka luas segitiga itu dapat di tentukan dengan rumus:

L =

A B

C

4 cm

400

5 cm

t

a

A B

C

ab

c

A

B

C

450

16 cm24 cm

C

a

L =

L =

CONTOH. Diketahui Δ ABC dengan <A = 250 dan <C = 450. Jika panjang sisi b =15 cm. tentukan luas segitiga tersebut.Penyelesaian:Sudut B dapat dicari;

<B = 1800 – ( <A + <C ) Jadi, LΔABC =

= 1800 – ( 250 + 450 ) =

= 1800 – 700 =

= 1100 = 35,802 cm2

4. Luas segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinyaApabila ketiga sisi sebuah segitiga diketahui, maka luas segitiga itu dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:

L =

Dengan s = (a +b + c)

CONTOH. Sebuah Δ ABC diketahui panjang sisi-sisinya, masing-masing AB 4 cm, AC = 5 cm, dan BC = 7 cm. tentukan luas segitiga tersebut!Penyelesaian:

s = ( 4 + 5 + 7 ) = 8

L = = = = 4 Jadi luas segitiga tersebut adalah 4 cm2

5. Luas segi banyak ( segi – n ) beraturanRumus luas segi – n beraturan:

L = r2 sin

Keterangan: n = benyaknya segi r = jarak pusat segi-n terhadap titik sudut pada lingkaran

CONTOH. Hitunglah luas segi – 8 beraturan jika titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran berjari-jari 16 cmPenyelesaian:n = 8, r = 16 cm

L = r2 sin = .162 . sin = 4 (256) ( ) = 512 cm2

Jadi, luas segitiga tersebut adalah 512 cm2

c. Rangkuman* Pada setiap segitiga berlaku aturan sinus * Luas segitiga jika diketahui dua sudut

= = dan satu sisi.

* Pada setiap segitiga berlaku aturan kosinus L =

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A L =

b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B L =

c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C * Luas segitiga jika diketahui dua sisi dan * Luas segitiga jika diketahui panjang sudut apit dua sisi tersebut ketiga sisinya.

A B

b

c

L = a.b.sin C L =

L = a.c.sin B * Luas segi banyak (segi – n) beraturan

L = b.c.sin A L = r2 sin

d. Tugas1. Diketahui Δ ABC dengan panjang BC = 13 cm, <BAC = 450, dan <ABC = 300. Hitung

panjang sisi AB.2. Dikatahui Δ MNO, dengan panjang MN = 24 cm, <MON = 1050, dan <OMN = 300. hitung

panjang sisi NO.3. Diketahui Δ ABC, dengan <ABC = 500, <BAC = 800, dan AC + BC = 18 cm.

Hitung panjang AC, BC, dan AB.4. Diketahui Δ ABC, dengan panjang AB = 7cm, BC = 8 cm, dan <ABC = 1500. hitung

panjang sisi yang belum diketahui.5. Suatu Δ ABC, diketahui <A= 520 dan <C = 630. Jika panjang sisi a = 18 cm, tentukan luas

segitiga tersebut.6. Tentukan luas Δ ABC jika diketahui sisi b = 16 cm, sisi c = 12 cm, dan besar <C = 300.

e. Tes Formatif 61. Pada gambar disamping nilai a adalah …

A. C. E. B. D.

2. Pada gambar disamping PQ : PR = …A. 1: C. : 1 E. : B. : 1 D. 1 :

3. Apabila pada segitiga ABC terdapat hubungan a2 = b2 + c2 – bc, maka besar sudut A adalah … A. 450 B. 600 C. 900 D. 1200 E. 1500

4. Jika a, b, dan c berturut-turut adalah sisi-sisi suatu segitiga dengan luas 28 cm2, a = 8 cm, b= 7 cm, maka besar sudut antara sisi a dan b adalah … A. 300 B. 450 C. 600 D. 900 E. 1200

5. Sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya masing-masing 12 cm, 14 cm, dan 10

cm, maka luas segitiga tersebut adalah …

A. 16 B. 16 C.16 D. 24 E. 24

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 61. B 2. A 3. B 4. D 5. E

g. Lembar Kerja 61. Diketahui segi empat ABCD. Jika diagonalnya masing-masing 24 cm dan 15 cm serta

luas segiempat 60 cm2. Tentukan cos sudut yang dibentuk oleh poligon kedua diagonalnya.

2. Hitunglah luas daerah segi empat pada gambar di samping.

3. Jari-jari lingkaran luar segi enam beraturan adalah 2 cm. Tentukan luas segi enam beraturan tersebut.

4. Dalam Δ PQR diketahui panjang PQ= 6 cm dan PR= 10 cm. Jika luas Δ PQR= 15 cm2. tentukan panjang QR.

5. Suatu Δ PQR, diketahui <A= 450 dan <B= 650. Jika panjang c = 18 cm. Tentukan luas segitiga tersebut

2

3

a

600

P

Q R450 300

A B

CD 8 cm

6 cm 5 cm

11 cm

7 cm

7. Kegiatan Belajar 7

a. Tujuan PembelajaranSetelah mengikuti pembelajaran, diharapkan siswa dapat:- Menjelaskan karakteristik masalah model matematikanya yang memuat ekspresi

trigonomatri.- Menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel yang berkaitan

dengan ekspresi trigonometri. - Merumuskan, menyelesaikan, dan menafsirkan model matematika dari masalah yang

berkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus sinus, dan rumus kosinus

b. Uraian MateriTrigonometri sangat penting artinya dalam berbagai bidang keilmuan. Berikut ini adalah beberapa kasus (kejadian) yang memanfaatkan perhitungan trigonometri dalam pemecahan masalahnya.CONTOH. Sebuah alat pengamat digunakan untuk mengamati sebuah balon dengan sudut

elevasi 600. Jarak alat pengamat ke titik yang terletak di tanah tepat di bawah balon adalah 245 m. Tentukan ketinggian balon tersebut.Penyelesaian:

Tan 600 =

=

y = 245 = 424,35Jadi, tinggi balon tersebut adalah 424,35 m.

CONTOH. Dua buah kapal P dan Q berjarak 10 km. Kapal Q letaknya pada arah 1000 dari P. kapal R terletak pada arah 1600 dari P. Jika kapal R terletak pada arah 2000 dari Q. Hitunglah jarak kapal R dari P dan dari Q.Penyelesaian:Dari sketsa diperoleh:<RPQ = 1600 – 1000 = 600

<PQR = 3600 – (2000 + 800) = 800

<QRP = 1800 – (800+ 600) = 400

*kita cari panjang PR dengan aturan sinus

= ↔ =

↔ PR =

↔ =

↔ = 15,32 Jadi, jarak antara kapal R dan P adalah 15,32 km

* kita cari panjang QR dengan aturan sinus.

= ↔ =

↔ QR =

↔ =

↔ = 13,47 Jadi, jarak antara kapal R dan Q adalah 13,47 km

c. Rangkuman

tanah

alatpengamat 600

Q

yr

1000

1600

U

U

P

R

r

2000

800

Perbandingan trigonometri, aturan sinus ataupun aturan kosinus dapat diterapkan untuk memecahkan beberapa masalah dalam kehidupan sehari-hari.

d. Tugas1. Dari puncak mercusuar, petugas melihat sebuah kapal yang akan merapat ke pelabuhan

dengan sudut depresi 600. Jika tinggi mercusuar tersebut 90 m di atas permukaan air laut, tentukan jarak kapal tersebut dengan kaki mercusuar.

2. Sebuah rudal ditembakkan ke tanah oleh pesawat tempur X dari ketinggian 1200 m dengan sudut elevasi 500 dari arah horizontal. Apabila kecepatan rudal tersebut 600 km/jam. Tentukan setelah berapa detik rudal tersebut sampai di tanah.

3. Sebidang tanah di beri 3 buah tonggak, yaitu A, B, dan C. tonggak B letaknya di sebelah timur A. Tonggak C letaknya 1260 dari A dan 2260 dari B. tentukan jarak tonggak A ke C, Jarak tonggak B ke C, dan luas tabah tersebut.

4. seorang anak menaikan layang-layang dengan benang sepanjang 300 m. tentukan tinggi layang-layang jika sudut yang di bentuk benang dengan arah mendatar adalah 300 (tinggi anak diabaikan).

5. Seseorang mencoba menentukan tinggi nyala apidi puncak tugu monas di jakarta dengan cara mengukur sudut elevasi 300 dan 450 (seperti gambar). Orang tersebut berada sejauh 80 m dari kaki tugu. Tentukan tinggi nyala apinya!

e. Tes Formatif 71. Dari pelabuhan P, kapal A berlayar ke arah 450 dengan kecepatan 30 km/jam,

sedangkan kapal B berlayar ke arah 3450 dengan kecepatan 35 km/jam. Berapakah jarak kapal A dan kapal B setelah 2 jam?A. 8 km B. 8 km C. 10 km D. 10 km E. 11 km

2. Dari suatu tempat, seseorang melihat puncak menara dengan sudut pandang sebesar 300. setelah berjalan 50 meter ke arah kaki menara, sudut pandang orang itu ke puncak menara adalah 600. Jika tinggi orang tersebut di abaikan, berapakah jarak dari tempat semula orang tersebut ke puncak menara?A. 50 m B. 50 m C. 60 m D. 60 m E. 70 m

3. Dua orang yaitu P dan Q berjalan, masing-masing dari tempat A dan tempat B, mulai dari saat yang sama menuju tempat C. Jika < BAC = 450 dan agar kedua orang itu harus sampai di C pada waktu yang sama pula, berapa kalikah kecepatan P berjalan dibandingkan dengan kecepatan Q?

A. kali B. kali C. 2 kali D. kali E. 2 kali

4. Sebuah perahu pinisi berlayar dari pulau A dengan arah 450 sejauh 20 km sampai di B, kemudian berubah haluan dengan arah 1050 sejauh 60 km. berapakah jarak perahu itu dari pulau A? A. 20 km B. 20 km C. 60 km D. 80 km E. 20 km

5. Luas suatu jajar genjang yang panjang sisi berturutan adalah 6 cm dan 9 cm, dan sebuah sudutnya sama dengan 600 adalah …

A. 27 cm2 B.27 cm2 C. 13 cm2 D. 45 cm2 E. 54 cm2

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 71. D 2. B 3. B 4. B 5. A

g. Lembar Kerja 71. Ahmad berdiri 100 m di sebelah barat mercusuar dengan sudut elevasi 300. Jika tinggi

Ahmad 165 cm, tentukan tinggi mercusuar tersebut. 2. Dari sebuah puncak bukit seseorang melihat benda yang berada di kaki bukit dengan

sudut depresi 600. Jika tinggi bukit 700 m. hitunglah jarak orang terhadap benda tersebut.3. Sebuah bis berjalan dari kota A ke kota B yang berjarak 40 km. sampai di kota B belok

sebesar 600 menuju kota C yang berjarak 60 km. tentukan jarak kota A dan kota C

300 450

4. Dari puncak mercusuar, petugas melihat sebuah kapal yang akan merapat ke pelabuhan dengan sudut depresi 300. jika tinggi mercusuar tersebut 90 m di atas permukaan air laut. Tentukan jarak kapal tersebut dengan kaki mercusuar.

5. Dalam suatu pasar malam diterbangkan sebuah balon udara. Dua pengamat yang berjarak 1 km masing-masing dapat melihat balon dengan sudut elevasi 450. Hitunglah ketinggian balon saat itu.

III. EVALUASI

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!1. Nilai dari 1200 = …

A. π rad B. π rad C. π rad D. π rad E. π rad

2. Nilai dari cos 1200 + cos 450 + cos 1350 adalah …

A. B. – C. D. – E. –

3. Apabila cos x = a, maka nilai dari cos (900 – x) adalah …

A. B. C. D. – E.

4. Jika diketahui f(x) = sin x + cos x, mak nilai f( π) adalah …

A. B. C. 1 D. E. 2

5. sama dengan …

A. sin2x B. cos2x C. sin x D. sec2x E. cos x6. Jika cos 200 = t, maka cos 200 sama dengan …

A. B. C. D. E.

7. Jika sin β = a, dan β sudut lancip mak sec β adalah …

A. B. C. D. E.

8. Sin4 x – cos4 x sama dengan …A. 1 – 2 cos2x C. 1 – 2 sin2x E. sin x – cos xB. 2 cos2 x – 1 D. 2 sin2 x + 1

9. Diketahui sin β = dan β terletak pada kuadran II, maka nilai sec β .cosec β adalah …

A. B. – C. D. – E. –

10. Nilai sin 22200 = …

A. 0 B. C. D. 1 E.

11. Himpunan penyelesaian dari sin x = , 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …

A. 300 atau 600 C. 1200 atau 2400 E. 600 atau 3000

B. 600 atau 1200 D. 1500 atau 2400

12. Diketahui cos x = a, untuk 00 ≤ x ≤ 3600, syarat supaya himpunan penyelesaiannya tidak kosong adalah …A. a > – 1 B. a ≥ – 1 C. a ≤ 1 D. – 1< a< 1 E. a < 1

13. jika a sin x = b, untuk 00 ≤ x ≤ 3600, maka syarat supaya himpunan penyelesaiannya {900} adalah …A. 2a = b B. b = 2a C. b < a D. a = b E. a < b

14. Grafik y = - 3 cos (x+900), untuk 00 ≤ x ≤ 1800. titik potong terhadap sumbu x adalah …A. (00, 0) C. (1800, 0) E. (00, 0) dan (900, 0)B. (900, 0) D. (00, 0) dan (1800, 0)

15. Nilai minimum dari y = 3 sin (2x+900) + 4 adalah …A. – 3 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 3

16. Titik balik maksimum dari f(x) = 3 sin (x+ 200) untuk 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …A. (700, 3) B. (800, 3) C. (900, 3) D. (1800, 3) E. (1500, 3)

17. Persamaan yang sesuai dengan grafik di samping adalah …

A. y = sin x C. y = cos x E. y = - sin 2x 2

B. y = 2sin x D. y = 2 cos x

18. Jika 2 cos x = 1, maka nilai x untuk 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …A. 600 atau 1500 C. 1800 atau 3300 E. 600 atau 3000

B. 600 atau 1200 D. 2100 atau 3000

19. Nilai x yang memenuhi 3cot x = , untuk 00 ≤ x ≤ 3600 adalah …A. 600 atau 2400 C. 300 atau 1500 E. 450 atau 1350

B. 600 atau 1200 D. 300 atau 2400

20. Jika diketahui x = π, maka pernyataan di bawah ini yang benar adalah …

A. sin x = cos x C. sin x – cos x = 1 E. sin x + cos x = 0

B. sin x < cos x D. sin x + cos x =

21. Jika tan (2x+100) = cot (3x – 150, maka nilai x adalah …A. 13 B. 19 C. 21 D. 25 E. 26

22. Himpunan penyelesaian dari tan 2x = 1, untuk 00 ≤ x ≤ 1800 adalah …A. {00} B. {150} C. {1050} D. {150,105 0} E. {00,150, 1050)

23. Diketahui Δ ABC, dengan panjang AB= 10 cm, BC = 15 cm dan AC = 20 cm, nilai cos <C = ..

A. B. C. D. E.

24. Luas Δ ABC adalah 24 cm2, sisi AC = 8 cm, dan AB = 12 cm. Nilai cos <A = …

A. B. C. D. E.

25. Suatu Δ ABC diketahui panjang BC = 10 cm, AB = 6 cm, dan <B = 300. Luas Δ ABC tersebut adalah …A. 60 B. 30 C. 15 D. 30 E. 60

26. Jika dalam Δ ABC diketahui sisi BC = 10 cm, AC = 40 cm, dan <C= 1200, maka AB = …A. 10 B.20 C. 10 D. 10 E.

27. Panjang Ac pada gambar disamping adalah …

A. C. E. 5

B. D. 5

28. Jari-jari lingkaran luar segi enam beraturan adalah 2 cm, maka luas segi enam beraturan tersebut adalah … cm2

A. B. 6 C. D. 8 E. 4

29. Sebuah pesawat tempur melihat sasaran dengan sudut depresi 600, dan ketinggian pesawat 150 m. Jarak pesawat dengan sasaran adalah …A. 100 B. 100 C. 150 D. 150 E. 300

30. Pada Δ ABC, panjang AC = 5 cm, BC = 4 cm, Jika sin A = , maka cos B = …

A. B. C. D. E.

31. Sebuah Δ ABC dengan panjang sisi berturut-turut 4 cm, 5 cm, dan 6 cm, maka nilai cosinus sudut terkecil adalah …A. – 0,2 B. – 0,25 C. 0,125 D. 0,25 E. 0,75

32. Jika sin x – cos x = a, maka nilai 2sinx cosx adalah …

A. 2a2 B. a2 + 1 C. a2 – 1 D. 1 – a2 E. (1 – a2)

33. Sebuah Δ ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm dan sisi AC = 2 cm, jika sudut A = 900, maka panjang sisi BC adalah …A. cm B. cm C. cm D. cm D. cm

34. Jika diketahui Δ ABC dengan panjangn BC = 8 cm dan AC = 5 cm, serta luas segitiga tersebut 10 cm2, maka <ACB adalah …A. 150 B. 300 C. 450 D. 600 E. 900

-2

450 600A B

C

35. Jika diketahui panjang BC = 8 cm, AC = 5 cm, dan luas segitiga tersebut 10 cm2, maka besarnya sudut ACB adalah …A. 150 B. 300 C. 450 D. 600 E. 750

36. Jika sin (x – 200) = cos (x + 100), maka nilai x sama dengan …A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 E. 600

37. Sebuah Δ ABC, Panjang AB, BC, dan AC berturut-turut adalah 5 cm, 6 cm, dan 7 cm, maka nilai cos B adalah …

A. B. C. D. E.

38. Diketahui Δ ABC dengan BC = 3 cm, AC = 4 cm, dan <A = 300, nilai cos <B adalah …

A. B. C. D. E.

39. Dalam suatu Δ ABC, diketahui BC = 15 cm, AB = 12 cm, dan luas segitiga adalah 45 cm2, maka besar <B = …A. 900 B. 600 C. 450 D. 300 E. 150

40 Luas Δ ABC adalah (3+2 ) cm2. panjang AB= (6+4 ) cm, dan BC = 7 cm, maka nilai sin<ABC = …

A. B. C. D. E.

Kunci Jawaban:Tes Formatif 11. Jawab. B 4. Jawab. E

2 π rad = π rad = x 1800 = 4050 125,250 = 1250 + 0,250

2. Jawab. C = 1250 + 0,25 x 60’

2050 = 2050 x = π rad = 1250 + 15’ = 125015’

3. Jawab. A 5. Jawab. G

5 rad = 5 x = 5 x = 286,60 13030’ = 130 + 30’ = 130 + 30 x = 130+0,50 = 13,50

Tes Formatif 21. Jawab. B 3. Jawab. A

sec α = , sin α = , cot α = P( , 1)

r = = 2.

Α = arc tan = 300

Jadi, sin α. cos α = . = Jadi, koordinat kutubnya adalah P(2, 900)

2. Jawab. E 4. Jawab. B

sin β = 0,8 = tan 300 =

tan β = = 1,33 = AC = 6

5. sin 600.cos 300 – cos 900.tan 300 = . – 0. = – 0 =

Tes Formatif 31. Jawab. B 6. Jawab. B

sin A= cos 11100 = cos (3. 3600 + 300) = cos 300 =

α17

8 15

β

810

6

300

A B

C

6

35

cos A = – (karena di 7. Jawab. E

kuadran II) = =

= 2

2. Jawab. B 8. Jawab. A.

Tan A= , A lancip 2 cos (x+600) = 1

2 cos A= 2. = cos (x+600) =

3. Jawab. A cos (x+600) = cos 600

cos α = t (i) x+600 = 600+k.3600 (ii) x+600= – 600+k. 3600 sin α = x = k.3600 x = –1200+k. 3600

cosec α = = k=0 x=00 k= 1 x= 2400

k=1 x= 3600

Jadi, HP = {00, 2400, 3600}4. Jawab. D 9. Jawab. B

cos β = – 2 sin x – 1 = 0

tan β = – = – 2 sin x = 1

(tan di kuadran II negatif) sin x =

sin x = sin 300

(i) x = 300 + k.3600 (ii) x= (1800–300)+ k.3600 5. Jawab. D k = 0 x = 300 x= 1500 + k. 3600

Diketahui sin α = p k= 0 x= 1500

Maka sin(2700– α)= –cos α Jadi, HP = { 300, 1500 } = –

10. Jawab. E

sin x =

sin x = sin 600

(i) x = 600 + k. 3600 (ii) x=(1800–600)+ k.3600

x = 1200 + k. 7200 x = 1200+ k.3600

k = 0 x = 1200 x = 2400+ k.7200

k = 0 x = 2400

Jadi, HP = { 1200, 2400 }

Tes Formatif 41. Jawab. D 4. Jawab. D

Ciri-ciri grafik tersebut adalah: ciri-ciri grafik tersebut adalah:- merupakan fungsi sinus - merupakan grafik kosinus- memiliki periode = 3600 - memiliki periode = π- substitusikan = 900 y = - 2 sin x - nilai maksimum = 2

y = - 2 sin 900 - substitusi x = 00 y = 2 cos 2x y = - 2 . 1 y = 2 cox 00

y = - 2 (benar) y = 2 . 12. Jawab. E y = 2 (benar)

f(x) = 5 + 2 sin 3xnilai maksimum = │2│+ 5 = 7 5. Jawab. A

3. Jawab. D grafik selalu positif

A 4

A

3

4

5

t

1

α

1 2

β

1 p

Jadi, y = sin2 x bernilai selalu positip

Tes Formatif 51. Jawab. D 5. Jawab. A

= = . =

= . = cosec α = =

2. Jawab.B 4. Jawab. Ap – q = cos α p2 – 2pq +q2 = cos2 α a – b = sinA a2 – 2ab + b2 = sin2A

= sin α 2 pq = sin2 α ab = cos2A 2ab = cos2A

p2 + q2 = cos2 α + sin2 α a2 + b2 = sin2A + cos2A3. Jawab. D a2 + b2 = 1

(1–sin2 α) (1+ tan2 α) = cos2 α (1 + tan2 α)= cos2 α + cos2 α tan2α= cos2 α + sin2 α= 1

Tes Formatif 61. Jawab. B 3. Jawab. B

a2 = 22 + 32 – 2. 2. 3 cos 600 a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

= 4 + 9 – 12 . ( ) a2 = b2 + c2 – bc (2 cos A)

= 13 – 6 karena a2 = b2 + c2 – bc maka = 7 2 cos A = 1

a = cos A = A = 600

2. Jawab. A 4. Jawab. D

= L = ab sin C

= 28 = . 8 . 7. sin C

= 28 = 28 sin C

= sin C = 1

Jadi, PQ : PR = 1 : C = 900

5. Jawab. E

s = (10 + 12+ 14) = 18

L = = = = = 6 . 4 = 24

Tes Formatif 71. Jawab. D

1

-1

y = cosx

y = sinx

+ +

a 2

3 600

C

a=8 b=7

12 10

14 U

A

AB2 = PA2 + PB2 – 2 (PA)(PB) cos 600

= 302 + 352 – 2 (30)(35) ( )

= 900 + 1225 – 1050AB = = = 5 km/jamJadi, jarak AB = kecepatan x waktu = 5 x 2 = 10 km

2. Jawab. B

=

=

r = = 50 m

3. Jawab. B

=

= =

= = P = Q

Jadi, kecepatan P adalah kali kecepatan Q4. Jawab. B

AC2 = AB2 + BC2 – 2 (AB)(BC) cos 1200

= 202 + 602 – 2 (20)(60)( - )

= 400 + 3600 + 1200 = 5200AC = = = 20

5. Jawab. A

sin 600 = Jadi, Ljajargenjang= alas x tinggi

= = 9 x 3

t = 3 = 27 cm2

Evaluasi1. Jawab. E 40. Jawab. A

1200 = 1200 x = π rad sisi AB = c = 6 + 4

2. Jawab. E sisi BC = a = 7cos 1200 + cos 450 + cos 1350 L = 3 + 2

= – + – L = . a. c . sin B

= – 3 + 2 = (6 + 4 ). 7. sinB

3. Jawab. C sinB = =

Diketahui: cos x = a 39. Jawab. BMaka cos (900 – x ) = sin x = sin BC= a = 15 cm, sisi AB= c= 12 cm, L = 45 cm2

U

450 150

B

P

30 km/jam

35 km/jam

300 600

300

1200

r

50m

C

B

A 300

450 P

Q

U

U

450

C A

B

1200

1050

20km 60km

600

t 6

9

L = a.c sin B

45 = . 15. 12. sin B = 90 sin B

sin B = = B = 300

4. Jawab. D 38. Jawab. B

f(x) = sin x +cos x sisi BC= a= 3, sisi AC = b = 4, <A = 300

f( π) = sin . π + cos . π = =

= sin π + cos π sin B = = =

= sin 450 + cos 450 Cos B =

= + 37. Jawab. A

= cos B = = = =

5. Jawab. D 36. Jawab. D

= sin(x – 200) = cos (x +100)

= . sin(x – 200) = cos (900 – (x +200)

= = sec2x = cos (900 – x – 200)

6. Jawab. C = cos (1100 – x )cos 200 = t maka cos (1100 – x ) = cos (x +100)

cot t = 1100 – x = x + 100

7. Jawab. A 2x = 1000

sin β = a x = 500

sec β = 35. Jawab. B

Sisi BC = a = 8 cm, sisi AC = b = 5 cm

8. Jawab. A L = a.b. sin C

sin4x – cos4x = (sin2x – cos2x)( sin2x + cos2x) 10 = . 8. 5 sin C

= sin2x – cos2x 10 = 20 sin C

= 1 – cos2x – cos2x sin C = =

= 1 – 2cos2x jadi, C = 300

9. Jawab. D 34. Jawab. D

diketahui: sin β = sisi BC = a = 8, sisi AC = b = 5

karena β di kuadran II, maka LABC = a.b. sin C

sec β negatif, sehingga 10 = . 8. 5 sin C

sec β = – dan cosec β = 10 = 20 sin C

a x

1

t

1

200

1 a β

1

β

jadi, sec β . cosec β = – ( ) sin C =

= – = – jadi, C = 600

10. Jawab. C 33. Jawab. Csin 22200 = sin (6. 3600 + 600) Sisi AB = c = 3 cm, sisi AC = b = 2 cm, < A = 900

= sin 600 a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

= = 4 + 9 – 2. 2. 3. cos 900

11. Jawab. E = 13 – 12. (0)

sin x = = 13

sin x = sin 300 a =

12. Jawab. D 32. jawab. Dfungsi y = cos x memiliki sinx–cosx = a sin2x– 2sinxcosx+cos2x = a2

nilai maksimum = 1 dan minimum = –1 – 2 sinx cosx + 1 = a2

13. Jawab. D 2 sinx cos x = 1 – a2

a sin x = b

sin x = 31. jawab. C

karena x = 900 maka = 1 * a2=b2+c2 –2bc. cosA

a = b cos A =

14. jawab. D = =

titiki potong sumbu X y = 0 * cos B = = =

– 3(cos(x+900)) = 0 * cos C = = =

cos(x+900) = 0 jadi, nilai cos terkecil adalah = 0, 125

cos(x+900) = cos 900 30. jawab. A

(i) x + 900 = 900 + k. 3600 sin A =

x = k. 3600 =

k = 0 x =00 sin B = = =

k = 1 x = 3600 cos B =

(ii) x + 900 = – 900 + k. 3600 29. jawab. B

x = – 1800 + k. 3600 cos 300 =

k = 1 x = 1800 r = =

jadi titik potongnya adalah r = 100(00, 0), (3600, 0) dan (1800, 0) 28. jawab. B

15. Jawab. D Luas segi enam beratuiran:

y = 3 sin (2x + 90) + 4 L = . 22. sin = 3. 4.sin 600 = 12( ) = 6

min= –│3│+ 4 = – 3 +4 = 1 27. Jawab. C

A B

C

6 5

4

A

B

C 4

5

150

300 600

r

16. jawab. A = AC =

f(x) = 3 sin(x + 200) AC= =

f(x) maks = 3 26. Jawab. C3 sin(x + 200) = 3 sisi BC = a = 10, sisi AC = b = 40, <C = 1200

sin(x + 200) = 1 c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

sin(x + 200) = sin 900 = 100 + 1600 – 800 ( – )

(i) x + 200 = 900 + k. 3600 = 1700 + 400 = 2100 x = 700 + k. 3600 c = 10 k = 0 x = 700 25. Jawab. C(ii) x + 200 = (1800 –900) + k. 3600 sisi BC = a = 10 cm, sisi AB = c = 6 cm, <B= 300

x + 200 = 900 + k. 3600 L = .a.c sin B

x = 700 + k. 3600 = . 10. 6 sin 300 = 30 ( ) = 15 cm2

k = 0 x = 700 24. Jawab. Ejadi titik balik maks (700, 3) L= 24 cm2, sisi AC=b=8 cm, sisi AB= c = 12 cm

17. jawab. B L = .b.c sin A

ciri-ciri: 24 = .(8) (12) sin A

- grafik sinus 24 = 48 sin A

- memiliki periode 7200 sin A = = A = 300

- nilai maks = 2 cos A = cos 300 =

- substitusi x = 1800 y = 2 sin x 23. Jawab. D

y = 2 sin 900 sisi AB=c=10cm, sisi BC=a=15cm, sisi AC=b=20cm y = 2 (benar) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

18. jawab. E cos C = = = =

2 cos x = 1 22. Jawab. D

cos x = tan 2x = 1, 00 ≤ x ≤ 1800

cos x = cos 600 tan 2x =

(i) x = 600 + k. 3600 tan 2x = tan 300

k = 0 x = 600 2x = 300 + k. 1800

(ii) x = – 600 + k. 3600 x = 150 + k. 900

k = 1 x = 3000 k = 0 x = 150

jadi, x = 600 atau x = 3000 k = 1 x = 1050

19. Jawab. A jadi, HP = { 150, 1050 }3 cot x = 21. Jawab. B

cot x = tan (2x + 100) = cot (3x – 15)

cot x = cot 600 dari cot (3x – 15) = tan (900– (3x – 15)) x = 600 + k . 1800 = tan (1050 – 3x) k = 0 x = 600 diperoleh tan (2x + 100) = tan (1050 – 3x) k = 1 x = 2400 2x + 100 = 1050 – 3xjadi, x = 600 atau x = 2400 5x = 950

20. Jawab. E x = 190

Dsengan subtitusi langsung:

x = π sin x + cos x = 0

sin π + cos π = 0

– = 0

0 = 0 (benar)

IV. PENUTUP

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban evaluasi. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi.

Rumus:

Jumlah jawaban Anda yang benarTingkat Penguasaan = x 100 %

40

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:90 % – 100 % = Baik sekali80 % – 89 % = Baik70 % – 79 % = Cukup

< 70 % = Kurang

Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % atau lebih Anda dapat meneruskan Modul berikutnya. Bagus! Tetap kalau kurang dari 80 % Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar pada modul ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

V. DAFTAR PUSTAKA

Herawati, Endang Daman, dan Tri Dewi Listya. 2000. Matematika 1A untuk kelas 1 SMU.Bandung : Yudhistira

Rosihan Ari Y dan Indriyastuti. 2007. Khasanah MATEMATIKA X untuk SMA dan MA.Solo : Salatiga

BK Noormandiri dan Endar Sucipto. 2004. Matematika SMA kelas X. Jakarta : ErlanggaAhmad Zaelani, Cucun Cunayah, dan Ersa Indra Irawan. 2006. 1700 Bank Soal

Bimbingan Pemantapan Matematika untuk SMA/MA. Bandung : YRAMA WIDYALKS Matematika SMA kelas X. Solo : Fokus