7 trigonometri

38
68 BAB VII TRIGONOMETRI 7.1 Fungsi trigonometri 7.2 Identitas trigonometri Contoh : 1. sec 4 x sec 2 x = (A) tan 4 x (B) 2 tan 2 x (C) tan 4 x + tan 2 x (D) tan 2 x 1 (E) tan 4 x 2 Jawab : C sec 4 x sec 2 x = sec 2 x (sec 2 x 1) = (tan 2 x + 1) tan 2 x = tan 4 x + tan 2 x 2. Jika a cos x sin x = 1 dan b cos x + sinx = 1, maka a b = (A) tanx (B) tanx (C) cotgx (D) cotg x (E) 1 Jawab: E a cos x sin x = 1 Bagi cos x a tan x = sec x a = sec x + tan x b cos x + sin x = 1 Bagi cos x b + tan x = sec x b = sec x tan x Jadi a b = (sec x + tan x) ( sec x tan x) = sec 2 x tan 2 x = 1 1. sin x = c a 4. cosec x = b c 2. cos x = c b 5. sec x = a c 3. tg x = b a 6. cotg x = a b x b c a 1. sec x = x cos 1 2. cosec x = x sin 1 3. cotgx = tgx 1 6. sin 2 x + cos 2 x = 1 7. sec 2 x tg 2 x = 1 8. cosec 2 x cotg 2 x = 1 4. tg x = x cos x sin 5. cotg x = x sin x cos

Transcript of 7 trigonometri

Page 1: 7 trigonometri

68

BAB VII TRIGONOMETRI

7.1 Fungsi trigonometri

7.2 Identitas trigonometri

Contoh : 1. sec4x sec2x =

(A) tan4x (B) 2 tan2x (C) tan4x + tan2x (D) tan2 x 1 (E) tan4x 2

Jawab : C sec4x sec2x = sec2x (sec2x 1)

= (tan2x + 1) tan2x = tan4x + tan2x

2. Jika a cos x sin x = 1 dan b cos x + sinx = 1, maka a b = (A) tanx (B) tanx (C) cotgx (D) cotg x (E) 1

Jawab: E a cos x sin x = 1 Bagi cos x a tan x = sec x

a = sec x + tan x b cos x + sin x = 1 Bagi cos x b + tan x = sec x

b = sec x tan x Jadi a b = (sec x + tan x) ( sec x tan x) = sec2x tan2x = 1

1. sin x = ca

4. cosec x =

bc

2. cos x = cb 5. sec x =

ac

3. tg x = ba

6. cotg x = ab

x b

c

a

1. sec x = xcos1

2. cosec x = xsin1

3. cotgx = tgx1

6. sin2x + cos2x = 1

7. sec2x tg2x = 1

8. cosec2x cotg2x = 1

4. tg x = xcosxsin

5. cotg x = xsinxcos

Page 2: 7 trigonometri

69

Trigonometri

7.3.Sistem kuadran

Catatan Rumus diatas mudah sekali dihafalkan dengan melihat system kuadran. Sebagai contoh; 270o

( baca : 270o kurang ) adalah kuadran III dan cosinus bernilai ( baca : negatif ) pada kuadran ini, yang berakibat cos (270o x) = sinx (baca : negatif sin x )

Sin(90o

x) = cosx

Cos(90o x) = sinx Tan(90o x) = tanx

sin(90o+x) = cosx cos(90o+x) = sinx tan(90o+x) = cotgx

sin(180o x) = sinx cos(180o x) = cosx

tan(180o x) = tanx

sin(1800+x) = sinx cos(1800+x) = cosx

tan(1800+x) = tanx

sin(2700 x) = cosx

cos(2700 x) = sinx

tan(2700 x) = cotgx

sin(3600 x) = sin( x) = sinx

cos(3600 x) = cos( x) = cosx tan(3600 x) = tan( x) = tanx

sinus dan cosecan (+)

tangen dan cotangen (+)

sin(2700+x) = cosx cos(2700+x) = sinx tan(2700+x) = cotgx

Semua positif

Cosinus dan secan (+)

Page 3: 7 trigonometri

70

Trigonometri

Contoh

1. sin x = 35 dengan 90o < x < 180o, maka

)x180(tg)x270(sin 1 2 = …

(A) 9

13 (B) 4526 5 (C)

913 (D)

4526 5 (E)

913 5

Jawab : D

Perhatikan sin(270o x) = cosx tg(180o x) = tgx

Jadi )x180(tg

)x270(sin 1 2 =

2594 1

=

5926 =

4526 5

2. Diketahui cotg115o = p, maka nilai o

oo

295seccos155 205sin adalah

(A)1p

p2

(B) p

1p2 (C)

1pp p

2

2 (D)

1pp2

(E) p

1p2

Jawab: C Karena 115o kuadran II, maka p = cotg115o < 0 Perhatikan, p = cotg115o = cotg (90o + 25o ) = tg25o tg 25o = p

Dengan demikian Sin 205o = sin (180o + 25o ) = sin25o = (

1p

p2

) = 1p

p2

cos155o = cos(180o 25o ) = cos25o =

1p

12

o295sec1 = cos 295o = cos(270o + 25o ) = sin 25o = =

1p

p2

Jadi o

oo

295seccos155 205sin =

1p

1p2

(1p

p2

) = 1p

p p2

2

7. 4. Rumus Jumlah, selisih sudut dan sudut rangkap

Gambarkan hubungan phitagoras dari

nilai sin x = 35 . Tanda positif dan

negatif ditentukan dari kuadran

3

5

2

x

Kerena x kuadran II,

maka cosx =

32

tanx = 25

Gambarkan hubungan phitagoras dari nilai tg25o = p. Tanda positif dan negatif dikoreksi kembali dari kuadran dan dari nilai p negatif

1p2

p

1

250

sin ( + ) = sin cos

+ cos sin

sin (

) = sin cos

cos sin

cos ( + ) = cos cos

sin sin

cos (

) = cos cos

+ sin sin

tan ( + ) = tantan 1 tan tan

tan (

) = tantan 1 tan tan

Page 4: 7 trigonometri

71

Trigonometri

Contoh :

1. Jika 21 x + y =

4, maka tan x =

(A) ytan 2

ytan 1 2

(C) ytan 1

ytan2

(E)ytan 1ytan2 1

2

(B) ytan 11 ytan

(D) ytan 1

ytan2

Jawab A

21 x + y =

4

x = 2

2y tanx = tan(2

2y)

= cotg 2y =

y2 tan1

Karena tg 2y = y tan 1

tany22

, maka tg x = ytan 2

ytan 1 2

2. Jika sin(3x + 2y) = 31 dan cos(3x 4y) =

43 , maka nilai x

y9 cos6 sin = …

(A) 144 21

146 9 (B)144 114 3 (C)

142 472 3 (D)

144 257 (E)

144 1275 3

Jawab : A Misalkan = 3 x + 2 y dan = 3 x 4 y 6y =

9x = 2 +

Dengan demikian sin 2 = 2 sin cos = 2 31

32 2 =

94 2

cos 2 = Cos2

sin2 = 98

91 =

97

Dari 6y =

sin 6y = sin(

) = sin cos

cos sin

= 31 .

43

32 2 .

41 7 =

41

61 14

Dari 9x = 2 + cos 9x = cos(2 + ) = cos2 cos

sin2 sin

= 97 .

43

94 2 .

41 7 =

127

91 14

Jadi x9 cosy6 sin =

14

14

91

127

61

41

= 144211469

Ctg =tg1

sin 2

= 2 sin cos

cos 2

= cos2

sin2

cos 2

= 2 cos2

1

cos 2

= 1 2 sin2

tan 2

=

2 tan

1

tan2

Tg(90

) = ctg

3

1

2 2

sin = 31

cos = 32 2

cos = 43

sin = 41 7

4

7

3

Page 5: 7 trigonometri

72

Trigonometri

3. Pada segitiga siku-siku ABC berlaku cosA cosB =

31 maka cos 2A =…

(A) 31 2 (B)

32 2 (C) 1 (D)

91 (E)

31 5

jawab: E Perhatikan: nilai cosA cosB

0, berarti cos A

0 (tidak siku-siku di A) dan

cos B 0 (tidak siku-siku di B). ABC siku-siku di C.

ABC siku-siku di C A = 90 B sin A = sin(90 B) = cos B Jadi sin 2A = 2 sin A cosA

= 2 cos B cos A = 2 . 31 =

32

Dengan menggunakan rumus identitas cos2 2A + sin2 2A = 1 (atau bisa juga dari hubungan phitagoras), maka diperoleh cos 2A =

31 5

4. Dalam segitiga ABC, BB’ dan CC’ garis tinggi, jadi C’ pada AB dan B’ pada AC. Jika diketahui BB’ : AB’ = 2 dan CC’ : BC’ = 3, maka sudut ACB sama dengan

(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 90 (E) 135

Jawab B

Misalkan BCC’ = x, ACC’ = y, BAC =

ABB’ + ABB’ = 900

ACC’ + ACC’ = 900

ABB’

ACC’ = 00

ABB’ = ACC’ = y

ABB’ cotg y = BABB = 2 tg y =

y gcot1 =

21

BCC’ cotg x = CBCC = 3 tg x =

xgcot1 =

31

Jadi tg(x + y) = tgy tgx 1

tgy tgx = 31

21

1

31

21

= 1

ACB = x + y = 45o

7.5. Rumus Jumlah dan selisih trigonometri

Contoh 4x cos 2x cos2xsin 4x sin = …

(A) ctg 3x (B) tg 3x (C) tg x (D)– tg x (E)– ctg 3x

Jawab

4x cos 2x cos2xsin 4x sin =

)x4x2(cos )x4x2(cos 2

)x2x4(cos )x2x4(sin 2

21

21

21

21

= x)cos( x3cos

cosx x3sin

= tg3x

Sin + sin = 2 sin21 ( + ) cos

21 (

)

Sin

sin = 2 cos21 ( + ) sin

21 (

)

cos + cos = 2 cos21 ( + ) cos

21 (

)

cos

cos = 2 sin21 ( + ) sin

21 (

)

Cos( x) = cosx

B

A

C

C’

B’ y x

y

Page 6: 7 trigonometri

73

Trigonometri

7.6.Rumus perkalian trigonometri

Contoh-contoh :

1. Tunjukkan 2 cos75o sin 15o = 1

21 3

Jawab: 2cos75 o sin 15o = sin (75o +15o) sin(75 15) = sin90 sin60 = 1

21 3

2. Nilai dari sin(x + 3

) cosx = 31 , maka nilai cos(x +

3) cosx = …

(A) 61 35 +

31 3 (C)

121 35 +

41 3 (E)

81 35 +

31 3

(B) 81 35 +

32 3 (D)

121 35 +

32 3

Jawab C 2 sin(x +

3) cosx =

32

sin(2x + 3

) + sin3

= 32

sin(2x+3

) + 21 =

32 sin(2x+

3) =

61

Dengan rumus identiras cos2(2x+3

) + sin2(2x+3

) = 1 (atau gambar segitiga dan

hubungan pithagoras), maka diperoleh cos(2x+3

) = 61 35

Sekarang perhatikan uraian berikut, cos(x + 3

) cosx = 21 ( 2 cos(x +

3) cosx )

= 21 (cos(2x+

3) + cos

3 )

= 21 (

61 35 +

21 3 )

= 121 35 +

41 3

3. Jika p = o10sin

o20sin

o25cos o35cos , maka nilai cos 10o adalah

(A) 2 p21 3p (B)

1p3p (C)

21 3p (D)

3p 1p2 (E)

1p2p3

Jawab A

Perhatikan p = o10 sin o20 sin

o25 cos o35 cos =

o10sin o20sin 2

o25cos o35cos 2

=

o10cos

o30cos

o10cos o60cos = oo

oo

30cos 10cos10cos 60cos

p cos10o p21 3 =

21 + cos10o (p 1) cos10o =

21 3p

cos10o = 2 p21 3p

2 sin cos

= sin( + ) + sin(

)

2 cos sin

= sin( + ) sin(

)

2 cos cos

= cos( + ) + cos(

)

2 sin sin

= cos( + ) cos(

)

2 sin cos = sin( + ) + sin(

)

2 cos cos = cos( + ) + cos(

)

Page 7: 7 trigonometri

74

Trigonometri

4. a. Buktikan sin 18o cos36o =

41

b. Dari identitas No a. buktikan cos 36o sin 18o = 21

c. Dari identitas No b. buktikan sin 18o = 41 ( 1 + 5 )

Jawab: a. sin 18o =

18cos218cos 18sin 2 =

18cos 236sin =

72sin236sin =

36cos 36sin2 236sin =

36cos41

maka sin18o cos36o = 41

b. Masing masing ruas identias No a. dikali 2 2 sin18o cos36o = 21

sin54o + sin( 18o) = 21

sin54o sin18o = 21

cos 36o sin18o = 21

c. Dari rumus cos2

= 1

2sin2 , maka cos36o = 1

2 sin218o. Subtitusi ke no b, diperoleh 1 2sin218o sin18o =

21 , sehingga 4 sin218o + 2sin18o 1 = 0 .

Jadi sin18o = a 2

D b = 8

20 2 = 81 ( 2 2 5 ) =

41 ( 1

5 )

Karena 18o kuadran I (sinus bernilai positif), maka sin18o = 41 ( 1 + 5 )

7.7.Aturan sinus, aturan kosinus dan luas segitiga

ABC adalah segitiga sembarang. R adalah jari-jari lingkaran luar. S =

21 keliling ABC =

21 ( a + b + c )

L = Luas dari ABC Perhatikan gambar dan juga perhatikan beberapa hubungan-hubungan yang dapat dirumuskan

2 sin cos = sin( + ) + sin(

)

Ingat sin( ) = sin

O

B

A c

a b R

C

Aturan Sinus

sina

= sin

b = sin

c = 2 R

Aturan Cosinus

a2 = b2 + c2

2 bc cos

b2 = a2 + c2 2 ac cos

c2 = a2 + b2 2 ab cos

L = 21 a b sin

L = 21 a c sin

L = 21 b c sin

L = )cS)(bS)(aS(S

b c sin

Page 8: 7 trigonometri

75

Trigonometri

Contoh

1. AD adalah garis berat segitiga ABC dari titik A

AC = 8, AB = 9, maka sinsin = ..

(A)98 (B)

89 (C)

32 2 (D)

23 2 (E)

32 3

Jawab A

Misalkan p = BD = CD dan = ADB

Aturan sinus ABD, BD

sin = ABsin

psin =

9sin

Aturan sinus ACD,CDsin =

AC)180sin(

psin =

8sin

Dari kedua persamaan diatas, sinsin =

98

2. Segitiga ABC sama kaki dengan A = C = x

Diketahui juga B = y

tgx tgy = 4

sisi a dan b seperti pada gambar

Nilai dari ba = …

(A) 21 (B)

21 2 (C)

31 2 (D)

31 (E)

21 3

Jawab E

x + x + y = 180o y = 180o 2x tgy = tg(180o 2x) = tg2x = xtg1

tgx 22

Subtitusi pada tgx tgy = 4 tgx ( xtg1

tgx 22

) = 4

2 tg2x = 4 4 tg2x

2 tg2 x = 4 tg x = 2

Subtitusi pada tgx tgy = 4 tg y = 2 2

Dari tgx = 2 ; diperoleh sinx = 31 6

Dari tgy = 2 2 ; diperoleh siny = 32 2

Perhatikan gambar diatas, ba =

ysinxsin =

21 3

3. Segitiga ABC dengan AB = 7, BC = 4 dan AC = 5. Dari C dan titik pada AB dihubungkan segmen garis sehingga segitiga terbagi dua yang mempunyai keliling sama. Panjang segmen garis ini adalah …

(A) 76 6 (B)

74 7 (D)

85 6 (D)

54 6 (E)

78 7

Sin(180 ) = sin

A

B C D

// //

A

B

C b x

y a

x

Page 9: 7 trigonometri

76

Trigonometri

Jawab B

Keliling ACD = keliling BCD

x + y + 5 = 7 x + y + 4

x = 3

Jadi AD = 3 dan BD = 4

Aturan kosinus BDC, y2 = 42 + 42 2 . 4. 4. cos kali 7

Aturan kosinus ABC, 52 = 42 + 72 2 . 4. 7. cos kali 4

7y2 100 = 36

7y2 = 64 y = 78 7

7.8.Grafik fungsi trigonometri

Gambar fungsi trigono berperiodik. Untuk sinus dan kosinus periode bisa dilihat sebagai panjang satu lintasan penuh, yaitu jarak dua titik simpul, atau, jarak absis titik maksimum ke titik maksimum berikutnya, atau, jarak absis titik minimum ke titik minimum berikutnya.

Untuk sinus dan kosinus nilai

7.8.1. Grafik : y = sin x, y = cosx dan y =tgx

A

B

C

x

5 4

7 x

D

y

Grafik y = sinx

Periode = 2

Amplitudo = 1

1

1

2

0 3

Amplitudo = 21 ( ymaks ymin ) = 1

Grafik y = tanx

Periode =

2

23

2

Grafik y = cosx

Periode = 2

Amplitudo = 1

1

1

2

0 3

Page 10: 7 trigonometri

77

Trigonometri

7.8.2.1.Grafik : y = A sin(Bx)

Lintasan grafik sinusoida. Beberapa yang penting dirinci …

1. Jika A B positif, maka grafik naik melintasi titik (0,0). Sebaliknya, jika A B negatif grafik turun melintasi titik (0,0).

2. Periode = B2

3. Amplitudo = A

7.8.2.2.Grafik : y = A cos(Bx)

Lintasan grafik sinusoida. Beberapa yang penting dirinci …

1. Jika A positif, maka grafik turun melintasi titik (0, A). Sebaliknya, jika A negatif grafik naik melintasi titik (0, A).

2. Periode = B2

3. Amplitudo = A

contoh

y = 2 cos4x

Periode : 2

1

Amplitudo 2

2

2

0

3

3

y = 3 sin 2x

Periode :

Amplitudo 3

4

0

5

5

y = 5 sin 2

1 x

Periode : 4

Amplitudo 5

y = cos3x

Periode : 3

2

Amplitudo 1

1

1

2

1

3

2

Page 11: 7 trigonometri

78

Trigonometri

7.8.3. Pergeseran grafik

Contoh

1. Grafik y = 3 sin(300 2x) + 5 diperoleh dari grafik y = 3 cos2x dengan cara (A) menggeser ke kiri sejauh 30o dan ke atas 5 satuan (B) menggeser ke kanan sejauh 15o dan ke atas 5 satuan (C) menggeser ke kiri sejauh 15o dan ke atas 5 satuan (D) Dicerminkan terhadap sumbu-x kemudian digeser ke kanan sejauh 300 dan

kebawah sejauh 5 satuan (E) Dicerminkan terhadap sumbu-x kemudian digeser ke kanan sejauh 300 dan

atas sejauh 5 satuan

Jawab A

Karena y = 3 cos2x = 3 sin(90 2x), maka dengan menggeser ke kiri sejauh 30o dan keatas 5 satuan diperoleh y = 3sin(90 –2 (x + 30)) + 5 = 3 sin(30 2x) + 5

2. Gambar grafik disamping adalah (A) y = 2 cos(x

3) (D) y = 2cos2(x

3)

(B) y = 2sin(x3

) (E) y= 2sin2(x3

)

(C) y = 2cos2(x3

)

Jawab E Perhatikan Amplitudo = 2,

21 periode =

65

3

21 periode =

21

periode =

Acuan kita titik (3

, 2), grafik diatas adalah grafik y = 2 cos2x digeser kekanan

sejauh 3

. Jadi persamaan grafiknya adalah y = 2cos2(x

3)

Grafik y = f(x) digeser sejauh a satuan mendatar dan b satuan vertical menjadi y = f (x a) + b

a > 0 : arah geser ke kanan a < 0 arah geser ke kiri b > 0 arah geser ke atas b < 0 arah geser ke bawah

3

65

2

2

Page 12: 7 trigonometri

79

Trigonometri

7.9. Bentuk A cosx + B sinx

Contoh

1. cos x sin x = …

Jawab k = 22 )1( 1 = 2

kuadran IV, karena (A,B) = (1, 1) kuadran IV

tan = 11 = 1. Karena kuadran IV, maka = 315o

cos x sin x = 2 cos( x 315 o )

2. 3 cosx + sinx = …

Jawab k = 22 1 )3( = 2

kuadran II, karena (A,B) = ( 3 ,1) kuadran II

tan = 3

1 = 31 3 . Karena kuadran II, maka = 150o

cos x sin x = 2 cos( x

150 o )

7.10. Persamaan trigonometri

Contoh :

1. Himpunan penyelesaian sin 3x = 21 , 0o < x < 360o adalah …

(A) {20o, 50o, 140o, 170o, 260o, 290o} (D) {10o, 140o, 250o, 290o} (B) {10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o} (E) {20o, 130o, 170o, 260o} (C) {20o, 40o, 140o, 160o, 260o, 280o} Jawab B

A cosx + B sinx = k cos(x

)

Dimana k = 22 B A

tan =

AB

sudut dan (A,B) berada pada kuadran yang sama

sinx = sin

x1 = + k 360o

x2 = (180

) + k 360o

k = bilangan bulat

cosx = cos

x1 =

+ k 360o

x2 = + k 360o

k bilangan bulat

tan x = tan

x = + k 180o

k bilangan bulat

Page 13: 7 trigonometri

80

Trigonometri

sin 3x =

21 sin 3x = sin 30o

I. 3x = 30o + k 360o II. 3x = (180o 30o) + k 360

x = 10o + k 120o x = 50o + k 120o

k = 0 x = 10o k = 0 x = 50o

k = 1 x = 130o k = 1 x = 170o

k = 2 x = 250o k = 2 x = 290o

Dari (I) dan (II) HP = {10o, 50o, 130o, 170o, 250o, 290o}

2. Himpunan penyelesaian sin3x cosx + cos3x sinx = cos2x untuk 0 x 360o

adalah …

(A) {45o, 135o, 225o, 315o} (D) {45o, 75o, 225o, 255o} (B) {900, 135o, 270o, 315o} (E) {30o, 115o, 210o, 255o} (C) {45o, 90o, 225o, 270o}

Jawab : C

Perhatikan sin3x cosx + cos3x sinx = sinx cosx (sin2x + cos2x) = sinx cos x

= 21 ( 2 sinx cosx ) =

21 sin2x

Dan perhatikan cos2x = 2cos2x 1 cos2x = 21 cos2x +

21

Akibatnya 21 sin2x =

21 cos2x +

21

cos 2x + sin2x = 1

2 cos( 2x 135o) = 1

cos(2x 135o) = 21 2

cos(2x 135o) = cos 45o

I. 2x 135 = 45o + k 360o II. 2x 135o = 45o + k 360o

x = 90o + k 180o x = 45o + k 180o

k = 0 x = 90o k = 0 x = 45o

k = 1 x = 270o k = 1 x = 225o

Jadi HP = {45o, 90o, 225o, 270o}

cos2x + sin2x = k cos(2x )

k = 22 1 )1( = 2

kuadran II karena (A,B) = ( 1, 1) kuadran II, maka tan =

11 = 1.

Karena kuadran II, maka = 135o

Page 14: 7 trigonometri

81

Trigonometri

7.11. Masalah titik ekstrim fungsi trigonometri

Contoh

1. Nilai y = 2 sin(4x 10o) 5 akan mempunyai …

(A) ymin = 7 untuk x = 70o + k 90o (D) ymin = 7 untuk x = 20o + k 90o

(B) ymaks = 3 untuk x = 25o + k 90o (E) ymaks = 3 untuk x = 70o + k 90o

(C) ymaks = 3 untuk x = 20o + k 90o

Jawab E

ymaks = 2

5 = 3 untuk sin(4x 10o) = 1 = sin 270o

4x 10o = 270o + k 360o x = 70o + k 90o

ymin =

2

5 = 7 untuk sin(4x 10o) = 1 = sin 90o

4x 10o = 90o + k 360o x = 25o + k 90o

2. Jika nilai maksimum y = 3cos(px + 20o) + 2p sama dengan empat kali nilai minimumnya, maka y akan minimum untuk x = …

(A) 65o (B) 102o (C) 216o (D) 272o (E) 300o

Jawab: C

ymaks = 4 ymin 3 + 2p = 4 ( 3 + 2p) 6p = 15 p = 25

y akan minimum untuk cos(px + 20o) = 1 = cos 180o

25 x + 20o = 180o + k 360o x = 72o + k 144o

Salah satu jawaban yang memenuhi adalah 216o

Karena 1 sin(Bx + C) 1, maka … kasus A > 0, y = ymaks = A + D untuk sin(Bx+C) = 1

y = ymin = A + D untuk sin(Bx+C) = 1 kasus A < 0, y = ymaks = A + D untuk sin(Bx+C) = 1

y = ymin = A + D untuk sin(Bx+C) = 1

Karena 1 cos(Bx + C) 1, maka …

kasus A > 0, y = ymaks = A + D untuk cos(Bx+C) = 1 y = ymin = A + D untuk cos(Bx+C) = 1

kasus A < 0, y = ymaks = A + D untuk cos(Bx+C) = 1 y = ymin = A + D untuk cos(Bx+C) = 1

Bentuk y = A cos (Bx+C) + D

Bentuk y = A sin (Bx+C) + D

Page 15: 7 trigonometri

82

Trigonometri

3. Fungsi y = cosx cos(x

3

) + 43 mencapai nilai …

(A) maksimum 3 dan minimum 1 (D) maksimum 49 dan minimum

41

(B) maksimum 23 dan minimum

21 (E) maksimum

45 dan minimum

43

(C) maksimum 1 dan minimum 0

Jawab B

y =21 2 cosx cos(x

3) +

43

= 21 [ cos (2x

3) + cos

3 ] +

43

= 21 [ cos (2x

3) +

21 ] +

43 =

21 cos (2x

3) + 1

Dengan demikian ymin =

21 + 1 =

21 dan ymax =

21 + 1 =

23

Cara menentukan nilai ekstrim y = A cos2(Bx + C) + D, sama seperti diatas.

Contoh:

1. Fungsi f(x) = 3 sin2(2x 40) + 4, akan mempunyai …

(A) ymin = 1 untuk x = 60o (D) ymin = 4 untuk x = 65o

(B) ymin = 1 untuk x = 335o (E) ymin = 4 untuk x = 165o

(C) ymin = 1 untuk x = 345o

Jawab B

Karena 0 sin2(2x 40) 1, maka ymin = 3 . 1 + 4 = 1; ymaks = 3 . 0 + 4 = 4

y = ymin untuk sin2(2x 40o) = 1

sin (2x 40o) = 1 atau sin (2x 35o) = 1

2x 40o = 270o + k 360o atau 2x 40o = 90o + k 360o

x = 155o + k 180o atau x = 65o + k 180o

Salah satu yang memenuhi adalah x = 155o + 180o = 335o

2. Nilai minimum dan maximum fungsi f(x) = cos6x + sin6x secara berturut-turut adalah …

(A) 43 dan 1 (B)

41 dan

43 (C)

41 dan 1 (D)

41 dan

41 (E)

43 dan 1

Jawab C

Perhatikan 0 sin2(Bx + C) 1. Untuk sin2(Bx + C) = 0 y1 = D sin2(Bx + C) = 1 y2 = A + D

Diperoleh ymin = Nilai terkecil dari y1 dan y2. ymax = Nilai terbesar dari y1 dan y2.

Bentuk y = A sin2(Bx + C) + D

2 cos cos = cos( + ) + cos( )

Page 16: 7 trigonometri

83

Trigonometri

Misalkan a = cos2x dan b = sin2x a + b = cos2x + sin2x = 1

a b = cos2x . sin2x

= 41 ( 2 sinx cosx)2 =

41 sin2 (2x)

Sehingga f(x) = a3 + b3 = (a + b)3 3ab (a + b) = 1 3 a b = 1

43 sin2 (2x)

Dengan demikian fmin = 1

43 . 1 =

41 dan fmaks = 1

43 . 0 = 1

Contoh

1. Dua lebih dari nilai maksimum y = 2 cos(px) 2 3 sin(px) + 2p 1 sama dengan tiga kali nilai minimumnya, maka y akan minimum untuk x = …

(A) 17o (B) 112o (C) 193o (D) 246o (E) 305o

Jawab :D

k = 22 )32(2 = 4 dan (A,B) = (2, 2 3 ) kuadran IV kuadran IV

tan = 2

32 = 3

= 330o

ymaks + 2 = 3 ymin (4 + 2p 1) + 2 = 3 ( 4 + 2p 1) 4p = 20 p = 5 Dengan demikian y = 4 cos (5x 330o) + 9 Nilai y akan minimum untuk cos(5x 330o) = 1 = cos 180o

5x 330o = 180o + k 360o

5x = 510o + k 360o x = 102o + k 72o

Salah satu nilai yang memenuhi adalah x = 102o + 2 72o = 246o

2. Keliling ABC disamping adalah 8 cm, panjang sisi AC

terkecil yang memungkinkan adalah …

(A) 22

8 (B) )12(8 (C) 22

8 (D) 8( 2 + 1) (E) 4

Jawab B

Keliling ABC = 8 AC + AB + BC = 8

AC + AC cos + AC sin = 8

AC = sin cos 1

8

Tulis A cosx + B sinx = k cos(x )

k = 22 BA ; tg = AB

pada kuadran yang sama dengan titik (A,B) Diperoleh ymin = k + C untuk cos(x

) = 1 ymaks = k + C untuk cos(x

) = 1

Bentuk y = A cosx + B sinx + C

A B

C

Page 17: 7 trigonometri

84

Trigonometri

Karena batas nilai cos + sin antara 2 sampai dengan 2 , maka panjang terkecil AC = ACmin =

2 18 =

2 18

2121 = 8(1 2) = 8( 2 1)

3. Nilai minimum dan maksimum (p 1)sinx +(2p 3)cosx + 3q + 3 secara berturut-turut adalah 2 dan 7. Jika p1 dan p2 penyelesaian p dari masalah ini, maka nilai q + p1 + p2 = …

(A) 0,5 (B) 2,3 (C) 2,8 (D) 3,1 (E) 3,3

Jawab : C

k = 22 )3 p2( )1 p( = 10 p41 p5 2

ymin = 2 k + 3q + 3 = 2

ymin = 2 k + 3q + 3 = 7

6q + 6 = 9 6 q = 3 q = 0,5

Subtitusi q = 0,5 pada k + 3q + 3 = 7 k + 4,5 = 7 k = 2,5

Akibatnya 10 p41 p5 2 = 25 5p2 14p + 10 =

425

20p2 56p + 15 = 0 p1 + p2 = 2,8

Jadi q + p1 + p2 = 0,5 + 2,8 = 3,3

4. Jika A + B kuadran I, cos(A + B) = 53 , dan y = cosA + sin B, maka ymaks = …

(A) 51 58 (B)

53 01 (C)

51 41 (D)

54 2 (E)

54 3

Jawab B

Misalkan = A + B. Karena cos = 53 maka sin = 2cos1 =

54

Sin B = sin(

A) = sin cosA cos sinA = 54 cosA

53 sinA

y = cosA + sin B = 59 cos A

53 sinA ymaks =

51 90 =

53 01

Misalkan t = sinx. Karena 1 sinx 1, maka 1 t 1

Jadi dapat ditulis y = f(t) = A t2 + B t + C, 1 t 1

Nilai ymaks dan ymin

dapat diperoleh dengan membandingkan nilai maksimum dan minimum dari …

f( 1); f(1); dan f(a2

b ) = a4

D jika tpuncak = a2

b diantara 1 sampai 1

f( 1) dan f(1) jika tpuncak = a2

b tidak diantara 1 sampai 1

Catatan : Nilai ekstrim dari y = A cos2x + B cosx + C dicari dengan cara yang sama seperti diatas

Bentuk y = A sin2x + B sinx + C

+

Page 18: 7 trigonometri

85

Trigonometri

Contoh :

1. Nilai minimum dan maksimum dari y = 9 sin2x + 6 sinx + 7 masing-masing adalah

(A) 8 dan 2 (B) 1 dan 8 (C) 2 dan 4 (D) 8 dan 8 (E) 2 dan 1

Jawab D

Misalkan t = sinx y = f(t) = 6 t2 + 8t + 7, 1 t 1

Perhatikan f( 1) = 8, f(1) = 4; 1 tpuncak = a2

b 1 f(a2

b ) = f(31 ) = 8

Jadi ymin = f( 1) = 8 dan ymaks f(a2

b ) = f(31 ) = 8

2. Hasil kali nilai maksimum dan nilai minimum dari f(x) = 4log(cos2x 6cosx + 9) sama dengan nilai maksimum dari f(x) = 2 cos4x + 4 sin2x + m, maka m = …

(A) 3 (B) 1 (C) 2 (D) 5 (E) 8

Jawab B

I. f(x) = 4log( cos2x 6cosx + 9 ) = 4log[ 2 cos2 x 6 cosx + 8 ]

untuk cosx = a2

b = 46 , tidak dicek karena tidak pada 1 sampai dengan 1

untuk cosx = 1 f1 = 4log 16 = 2

untuk cosx = 1 f2 = 4log 4 = 1

Jadi fmin = 2 dan fmaks = 1 fmin . fmaks = 2

II. f(x) = 2 cos4x + 4 sin2x + m = 4 sin2 2x + 4 sin 2x + 2 + m

sinx = tpuncak = a2

b = 21 adalah puncak maksimum fmaks 3 + m

Dari (I) dan (II) diperoleh 2 = 3 + m m = 1

7.12 Batas penyelesaian persamaan A cosx + B sinx = C

1. Batas nilai p agar cos(x 60o) sinx = p cos2x terdefinisi adalah … (A) p

361 3 (C) p

241 3 (E) p 3 2

(B) p

3 (D) p 4 2

Jawab C

Cos2x = 2 cos2x 1

Cos4x = 1 2 sin22x

Persamaan A cos x + B sin x = C terdefinisi

j i k a A2 + B2 C2

Page 19: 7 trigonometri

86

Trigonometri

[ cosx cos60 + sinx sin60 ] sinx = p cos2x

21 cosx sinx +

21 3 sin2x =

21 p (cos2x + 1)

2 cosx sinx + 2 3 sin2x = 2p cos2x + 2p

sin 2x + 3 ( 1 cos2x) = 2p cos2x + 2p

sin 2x ( 3 + 2p ) cos2x = 2p

3

( 3 + 2p)2 + 12 (2p

3 )2

4p2 + 4 3 p + 4 4p2 4 3 p + 3

8 3 p

1 p

241 3

2. Jika a dan b masing-masing nilai minimum dan maksimum f(x) = xcos231xsin3 ,

maka nilai a . b = … (A)

45 (B)

54 (C)

58 (D)

54 (E)

58

Jawab : C

Tulis y = f(x) y = xcos231xsin3

3y 2y cosx = 3 sin x + 1

2y cosx + 3sinx = 3y 1

(2y)2 + 32 (3y 1)2

4y2 + 9 9y2 6y + 1

5y2 6y 8 0 (5y + 4 ) (y 2 ) 0

54 y 2 a = ymin =

54

b = ymax = 2

Dengan demikian a . b =

58

7.13 Pertidaksamaan trigonometri

A cos x + B sinx = C A2 + B2 C2

Sin 2x = 2sinx cosx

Cos2x = 1 2sin2x

+

+

54

2

A cosx + B sinx = C

Maka A2 + B2 C2

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan Trigonometri adalah sebagai berikut :

1. Daftarkan penyelesaian persamaannya pada garis bilangan. 2. Daftarkan juga pada garis bilangan nilai yang menyebabkan

bentuk trigononya tidak terdefinisi (Misalnya x = 90o

pada tg x; x = 90o pada sec x; x= 0o pada cosec x; atau pembuat nol penyebut pada bentuk pecahan.

3. Tentukan tanda (+) atau ( ) pada garis bilangan. 4. Himpunan penyelesaian bentuk pertidaksamaan.

Cos2x = 2 cos2x 1

Kali 4

Page 20: 7 trigonometri

87

Trigonometri

Contoh

1. Penyelesaian cos x + cos2x + cos3x 0, 0 < x < adalah …

(A) 0 x

41 atau

32

x

43 (D)

41

x <

32 atau

43

x

(B) 0 < x

41 atau

32

x

43 (E)

41

x <

32 atau

43

x <

(C) 0 < x

41 atau

43

x <

Jawab : E

Selesaikan cos x + cos2x + cos3x = 0 [ cos x + cos 3x ] + cos 2x = 0

2 cos2x cosx + cos2x = 0

cos2x (2 cosx + 1 ) = 0

cos 2x = 0 atau cosx = 21

Untuk cos 2x = 0 2x = 21 + k 2 atau 2x =

21 + k 2

x = 41 ; x =

43

Untuk cosx = 21 x =

32

Penyelesaian 41

x

32 atau

43

x <

2. Penyelesaian 2 tan2 x + sec2 x 2, 0 < x < 270o adalah …

(A) 0o < x 30o atau 150o x 210o

(B) 30o x 150o atau 210o x < 270o

(C) 60o x 120o atau 240o x < 270o

(D) 60o x < 90o atau 90o < x 120o atau 240o x < 270o

(E) 30o x < 90o atau 90o < x 150o atau 210o x < 270o

Jawab E

Persamaan: 2tan2x + sec2x = 2 2tan2x + tan2x + 1 = 2 3 tan2x 1 = 0

( 3 tanx + 1) ( 3 tanx 1) = 0

tanx =

31 3 atau tanx =

31 3

x = 150o atau x = 30o ; x = 210o

Perhatikan tanx dan secx tidak terdefinisi untuk x = 90o, x= 270o

Garis Bilangan :

Jadi 30o x < 90o atau 90o < x 150o

atau 210o x < 270o

+

+

0

41

43

32

+

+

0

30o

270o

150o

90o

210o

+

Page 21: 7 trigonometri

88

Trigonometri

3. Penyelesaian dari

6xsin33xsin21xcos2xcos3

2

2

0; 0 < x < 360

(A) { x 0o < x < 30o atau 150o < x < 240o atau 330o < x < 360o } (B) { x 30o < x 150o atau 210o < x 330o } (C) { x 30o < x < 150o } (D) { x 30o < x 150o atau 210o x 330o } (E) { x 0o < x < 30o atau 150o < x < 240o atau 330o < x < 360o } Jawab C

Pembilang : 3 cos2x 2 cosx + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian, karena D = ( 2)2 4 . 3 . 1 = 8 < 0 (bentuk definit)

Penyebut : 2sin2x + 3 3 sinx 6 = 0

Sinx = a2

Db = 2 2

6)( 2 4 )33( 33 2

= 2 2

75 33

I. sinx = 2 3 tidak ada penyelesaian

II. sinx = 21 3 x = 30o atau x = 150o

Garis bilangan : Lingkaran kosong ( Baca : ) pada nilai x = 30o dan x = 150o, karena x = 30o dan x = 150o penyelesaian pembuat nol penyebut pecahan diatas ( atau pecahan tidak terdefinisi untuk x = 30o dan x = 150o )

Dengan demikian HP : { x 30o < x < 150o)

+

0

30o

360o

150o

Page 22: 7 trigonometri

89

Trigonometri

Soal dan Pembahasan Matematika Ipa

1.

Persamaan kurva di atas adalah … (Matematika ’89 Rayon A) a. y = 2 sin (x +

6) c. y = 2 sin (x +

6) e. y = 2 sin (x +

6)

b. y = 2 sin (x +6

) d. y = 2 sin (x +6

)

Jawab : A

Dari gambar absis titik puncak maksimum xmaks =2

6

dan absis titik pucak

minimum xmin = 2

3

6. Ini berarti periode = 2 (xmaks xmin) = 2

Amplitudo kurva adalah 2 Dari gambar, kuva naik melintasi (

6,0). Jadi persamaan kurva didapat dengan

menggeser y = 2 sinx ke kiri sejauh 6

, yaitu y = 2 sin (x +6

).

2. Bila x terletak pada selang 41 < x <

41 maka berlaku …

a. cos x cos 2x c. cos 2x < cos x e. cos 2x = 2cos x b. cos x < cos 2x d. cos 2x cos x

(Matematika ’89 Rayon B)

Jawab : C

1. 41 < x <

21 daerah kuadran I berarti cos x positif.

2. 2 41 < 2 x < 2

21

21 < 2x < daerah kuadran II berarti cos 2x negatif

Dari 1 dan 2, maka cos 2x < cos x

3.

Persamaan kurva di atas adalah …

2

1

2

1

y

x

2

2

1

2

1

2

y

x

60

180

240

360

Page 23: 7 trigonometri

90

Trigonometri

a. y = 2 sin x c. y = sin (x + 30 ) e. y = 2 sin (x + 30 ) b. y = 2 cos x d. y = cos (x + 30 )

(Matematika ’89 Rayon C)

Jawab : E Dari gambar didapat amplitudo 2 dan perioda 360O. Kurva naik melintasi titik ( 30,0), jadi kurva diperoleh dari y = 2 sinx digeser ke kiri sejauh 30O, maka persamaan kurvanya y = 2 sin (x + 30)O

4. Nilai x yang memenuhi cos x + sin x = 6 21 dapat dihitung dengan mengubahnya

ke persamaan yang berbentuk k cos (x

) = a. Diantara nilai-nilai x tersebut adalah … a.

24 b.

15 c.

12 d.

8 e.

6

(Matematika ’90 Rayon C)

Jawab : C

Perhatikan ruas kiri cos x + sin x dapat ditulis sebagai k cos (x

) dengan nilai k = 2 ; tg =

11 = 1

= 4

Jadi 2 cos (x

4) = 6

21 cos (x

4) = 3

21

x

4 =

6 + k 2

x = 4

6 + k 2

Yang memenuhi adalah x = 4

6 =

12

5. Nilai maksimum dari f(x) = 2 cos 2x + 4 sin x untuk 0 < x < adalah… a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e. 12

( Matematika ’91 Rayon A)

Jawab : B

f(x) = 2 (1 2 sin2x) + 4 sin x = 4 sin2 x + 4 sin x + 2 Misalkan t = sin x f = 4 t2 + 4 t + 2, 1 t 1

tpuncak = a2

b = 21 memenuhi 1 tpuncak 1 f1 = a4

D = )4(4

2)4(414 = 3

Untuk t = 1 f2 = 4 ( 1)2 + 4 ( 1) + 2 = 2 Untuk t = 1 f3 = 4 (1)2 + 4 (1) + 2 = 6 Dengan demikian fmax = f1 = 3

6. Nilai maksimum dari 3 cos x

3 sin x

321 adalah …

a. 325 b. 32 c. 3

23 d.

23 e. 5

23

(Matematika ’91 Rayon B)

Page 24: 7 trigonometri

91

Trigonometri

Jawab : C

k =

)3( 3 22 =

12 ymax = k

3

21 =

12

3

21 = 3

23

7. Nilai maksimum f (x) = 3 cos x + 4 sin x 2 adalah … a. 0 b. 3 c. 6 d. 9 e. 10

(Matematika ’91 Rayon C)

Jawab : B

Fmax = 22 4 3 2 = 5 2 = 3

8. Diketahui f(x) = 3 cos x + 4 sin x + c, c suatu konstanta. Jika nilai maksimum f(x) adalah 1 maka nilai minimumnya … a. 0 b. 1 c. 5 d. 9 e. 25

(Matematika ’92 Rayon A)

Jawab : D

k = 22 4 3 = 5 fmax = 5 + c 1 = 5 + c c = 4 fmin = k + c = 5 4 = 9

9. Nilai minimum dan maksimum fungsi f(x) = 2[1 + cos2x cos2(x

6)] berturut-

turut adalah … a. 0,5 dan 2,5 c. 1 dan 5 e. 0,5 dan 1,5 b. 0,5 dan 4,5 d. 1,5 dan 3,5

(Matematika ’92 Rayon B)

Jawab : D

f(x) = 2 + 2 cos 2x cos(2x 3) = 2 + cos(2x + 2x 3 ) + cos(2x (2x

3))

= 2 + cos(4x 3 ) + cos 3

= cos (4x

3 ) + 221

fmin = 1 + 221 = 1

21

fmax = 1 + 221 = 3

21

10. y = 3 sin 3x 13 cos 3x + 8 mempunyai nilai maksimum …

a. 12 b. 14 c. 8 + 3 d. 8 + 3 e. 21 26

(Matematika ’92 Rayon C) Jawab : A ymax = 133 + 8 = 12

11. P adalah titik pusat l ingkaran luar segitiga ABC. Jika sin C = a maka sin APB = …

a. 21 a 2a1 b. a 2a1 c. 2a 2a1 d. 2a e. 2a2

(Matematika ’94 Rayon A)

2 cos cos = cos( + ) + cos( )

Page 25: 7 trigonometri

92

Trigonometri

Jawab : C Sudut pusat = 2 kali sudut keliling lingkaran yang

menghadapi busur yang sama APB = 2 C.

sin c = a

cos c = 2a1

maka sin APB = sin 2 C sin APB = 2sin C cos C

sin APB = 2a 2a1

12. Diketahui XY dan XZ merupakan garis tengah lingkaran jika YZ = a, maka AB = … a. a cos c. a tg e.

cosa

b. a sin d. sin

a

(Matematika ’94 Rayon B)

Jawab : A

Pada XBZ, cos =XZXB XB = XZ cos .

Pada XAY, cos =XYXA XA = XY cos

XB XA = (XZ XY) cos

Karena XB XA = AB dan XZ XY = YZ = a, maka AB = a cos

13. Dalam segitiga ABC, a, b, dan c adalah sudut-sudutnya. Jika tg a = 43 dan tg

b =34 maka sin c = …

a. 1 b. 2524 c. 25

7 d. 2524 e. 1

(Matematika ’95 Rayon B)

Jawab : E

A + B + C = 180O A + B = 180O C tg(A + B) = tg (180O C) = tg C

tg C =

B tg A tg 1B tg A tg =

34

43 1

34

43

=

012

25 = ~

karena tg C = ~, maka C = 90O. Jadi sin C = sin 90O = 1

14. A, B, dan C adalah sudut-sudut segitiga. Jika A B = 30o dan sin C = 65 maka cos

A sin B = … a.

21 b.

31 c.

61 d.

32 e. 1

(Matematika ’95 Rayon B)

C

A

B

P

1

a

2a1

B

X Y Z

A

Page 26: 7 trigonometri

93

Trigonometri

Jawab : C

A + B + C = 180O A + B = 180O C sin (A + B) = sin (180O C) = sin C =

65

sin A cos B + sinB cos A = 65 …………….(1)

A B = 30O sin (A B) = sin 30O = 21

sin A cos B sin B cos A =21 …………………….(2)

Dari (1) dan (2) sin A cos B + sin B cos A = 65

sin A cos B sin B cos A = 21

2 sin B cos A = 62

cos A sin B = 61

15. Diketahui A dan B sudut-sudut lancip dalam sebuah segitiga dengan sudut ketiganya C. Jika sin A =

53 dan tg B =

21 maka cos C = …

a. 551 b. 5

52 c. 5

2511 d. 5 e. 525

1

Jawab : A

tg B = 21 sinA =

53

sin B = 51 5 cos A =

54

cosB = 52 5

A + B + C = 180O C = 180O (A + B) cos C = cos (180O (A + B)) cos C = cos (A + B) = [cos A cos B sin A sin B]

= [53

52 5

53

51 5 ] =

51 5

16. Untuk 0O x 360O, himpunan penyelesaian 2 sin 2x 1 adalah … a. {x 30O x 150O } d. {x 75O x 195O } b. {x x = 45O} {x 225O} e. {x 15O x 75O } c. {x 15O x 75O } {x 195O x 225O }

(Matematika ’95 Rayon A)

Jawab : C

sin 2x 21 = sin 30o

2x = 30 + k 360 2x = 150 + k 360 x = 15 + k 180 x = 75 + k 180 x = 15O; 195O x = 75O; 225O

HP = {x 15O x 75O } {x 95O x 225O }

+

+

0

15

75

195

360

255

B

1

5

2

3

5

4

A

Page 27: 7 trigonometri

94

Trigonometri

17. Daerah

x

himpunan penyelesaian persamaan

3xtg 1 adalah …

a. {x4

x

4} c {x 2

x 2 } e. {x

x

}

b. {x 3

x 3 } d. {x 4

3

x 4

3 }

(Matematika ’95 Rayon B)

Jawab : D

tg 3x 1 tg2

3x 1 tg2

3x 1 0 (tg 3

x 1)( tg 3x + 1) 0

tg 3x = 1

3x =

4

x = 43

tg 3x = 1

3x =

4

x = 43

HP = {x 43

x 43 }

18. Untuk 0O x 360O , sin x >

21 bila …

a. 0O x 30O c. 150O x 180O e. 270O x 330O

b. 30O x 150O d. 180O x 210O

(Matematika ’95 Rayon C)

Jawab : B

sin x =21 30O, x = 150O

30O x 150O

19. y = 4 sin x sin(x 60O) mencapai nilai minimum pada … a. x = 60O + k 360O k = 0, 1, 2, … d. x = 30O + k 180O k = 0, 1, 2, … b. x = 60O + k 180O k = 0, 1, 2, … e. x = k 360O k = 0, 1, 2, … c. x = 30O + k 360O k = 0, 1, 2, …

(Matematika ’96 Rayon A)

Jawab : D

y = 2 . 2 sin x sin (x 60O) = 2 . [cos (x + (x 60O)) cos (x (x 60O))] = 2[cos (2x 60O) cos 60O] = 2cos (2x 60O) + 1

y akan minimum bila cos (2x 60O) = 1 2x 60O = k . 360O

x = 30O dimana k = 0, 1, 2, …

20. Nilai maksium dari 25 x cos 8 x sin 15

m adalah 2. Ini berarti m = …

a. 4 b. 16 c. 36 d. 64 e. 84

(Matematika ’96 Rayon B)

Jawab : B

Nilai k = 22 )8( )15( = 17

Nilai maksimum = 2

25 k m = 2

25 17 m = 2 m = 16

+

+

3

4

3

4

+

30

150

360

0

Page 28: 7 trigonometri

95

Trigonometri

21. Fungsi y = 3 cos x + sin x + 4 mempunyai nilai …

a. minimum = 2 untuk x = 330o d. maksimum = 6 untuk x = 330o b. maksimum = 2 untuk x = 150o e. maksimum = 6 untuk x =150O

c. minimum = 2 untuk x = 150o

(Matematika ’96 Rayon C)

Jawab : E

k = 1 3 = 2; tg = 3

1 ( kuadran II ) = 180o 30o = 150o

Dengan demikian y = 2 cos (x 150O) + 4 ymax = 2 + 4 = 6 untuk cos (x 150O) = 1 x 150O = k . 360O

x = 150O, didapat (150O, 6) ymin = 2 + 4 = 2 untuk cos (x 150O) = 1 x 150O = 180O + k . 360O

x = 330O didapat (330O, 2)

22. Pada suatu segitiga ABC yang siku-siku di C, diketahui bahwa sin A sin B =52

dan sin (A B) = 5a. Nilai a adalah … a.

51 b.

253 c.

251 d.

253 e.

53

(Matematika ’97 Rayon A)

Jawab : B dan D

Segitiga ABC siku-siku di C ( C = 90o) A + B = 90o sin A sin B =

52

21 [cos (A B) cos (A + B)] =

52

cos (A B) cos 90O = 54 cos (A B) =

54

Jika A B > 0 diperoleh sin (A B) = 53 5a =

53 a =

253

Jika A B < 0 diperoleh sin (A B) = 53 5a =

53 a =

253

23. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga, jika tg + tg = 2 tg , maka tg tg = … a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

(Matematika ’97 Rayon B)

Jawab : C

+ + = 180o

+ = 180o

tg ( + ) = tg (180o

)

tgtg 1tg tg = tg

1 tg tg =tg

tg tg

tg + tg = 2 tg

1 tg tg =tg

tg tg =

tg tg 2 = 2

Jadi tg tg = 3

24. Bila 2 cos(x +4

) = cos( x 4

) maka tg x = …

a. 1 b. 21 3 c.

31 3 d.

31 e.

21

(Matematika ’97 Rayon C)

Page 29: 7 trigonometri

96

Trigonometri

Jawab : D

2 [cos x cos4

sin x sin

4] = cos x cos

4 + sin x sin

4

2 [

21 2 cos x

21 2 sin x ] =

21 2 cos x +

21 2 sin x

2 cos x 2 sin x = 21 2 cos x +

21 2 sin x kali 2

Diperoleh : 2 cos x 2 sin x = cos x + sin x 3 sin x = cosx tg x =

31

25. Bentuk 3 cos x sin x, untuk 0 x 2 dapat dinyatakan sebagai … a. 2 cos(x +

6) c. 2 cos(x +

611 ) e. 2 cos(x

6)

b. 2 cos(x + 6

7 ) d. 2 cos(x

67 )

(Matematika ’98 Rayon A) Jawab : A Perhatikan k = 22 )1( )3( = 2

tg = 31 ( kuadran IV ) = 360o 30o = 330o

Diperole : y = 2 cos (x 330O) = 2 cos(x 6

11 ) // Tidak ada di option //

Tetapi y = 2 cos (x 330O + 360O ) y = 2 cos (x + 300 ) = 2 cos(x +

6)

26. Jika + = 6

dan cos

cos = 43 , maka cos(

) = …

(A) 91 +

23 (C)

43

23 (E)

23

(B) 23 +

23 (D)

23

23

(Matematika ’99 Rayon A)

Jawab D

Perhatikan : cos

cos = 43

21 [ cos ( + ) + cos (

) ] = 43

21 [ cos

6 + cos (

) ] = 43

21 [

21 3 + cos (

) ] = 43

21 3 + cos (

) = 23

cos (

) = 23

23

27. adalah sebuah sudut lancip yang memenuhi 2 cos4 = sin2 , maka tan = (A)

31 3 (B)

21 (C) 2

3 (D) 1 (E) 3

(Matematika ’99 Rayon B) Jawab : D karena sin2 = 1 cos2

2 cos4 = 1 cos2

Misalkan p = cos2 2p2 = 1 p 2p2 + p 1 = 0 (2p 1)(p + 1) = 0 p =

21 atau p = 1 cos2 =

21 atau cos2 = 1

Karena sudut lancip cos = 21 2

= 45o tan = 1

A = A + 3600

2 cos

cos = cos ( + ) + cos (

)

Page 30: 7 trigonometri

97

Trigonometri

28. Jika

cossin1 = x, untuk

2

, maka tan2

=

(A) x1

1 (C) x1x1 (E)

x1x

(B)

x1x (D)

x1x1

(Matematika ’99 Rayon C)

Jawab C

cossin1 =

)(sin)(cos

)cos()sin(2)(cos)(sin

212

212

21

21

212

212

= ] )sin()cos( ][ )sin()cos( [

] )sin()cos( [

21

21

21

21

221

21

=

)sin()cos(

)sin()cos(

21

21

21

21

Diperoleh

)sin()cos(

)sin()cos(

21

21

21

21

= x (1 x) cos(21 ) = (1 + x ) sin(

21 )

tan(21 ) =

x1x1

Page 31: 7 trigonometri

98

Trigonometri

Kumpulan Matematika Dasar

1. Sebuah tiang bendera tingginya 3 m mempunyai bayangan di tanah sepanjang 2m. Pada saat yang sama pohon cemara mempunyai bayangan ditanah sepanjang 10 m. Maka tinggi pohon cemara tersebut adalah … (A) 15m (B) 16 m (C) 20 m (D) 25m (E) 30m

(Umptn 99 Rayon A)

2. Jika xx

sec1tan2

= 1, 0o < x < 90o, maka sudut x adalah …

(A) 0o (B) 30o (C) 45o (D) 60o (E) 75o

(Umptn 99 Rayon A)

3. Jika 0o < x < 90o, diketahui tanx xsin1 2 = 0,6, maka tanx =

(A) 2,25 (B) 1,8 (C) 1,25 (D) 0,8 (E) 0,75 (Umptn 99 Rayon B)

4. Dari segitiga ABC diketahui bahwa

= 300 dan

= 600, jika a + c = 6, maka panjag b = … (A) 2 (B) 3 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 3 2

(Umptn 99 Rayon B)

5. Jika 2 < x < dan tanx =

43 , maka csec x = …

(A) 35 (B)

45 (C)

53 (D)

45 (E)

35

(Umptn 99 Rayon C)

6. Dari segitiga ABC diketahui bahwa tan(A + B) = a. Nilai 1 + sin2C = …

(A) 1a1a2

2

2 (B)1a

a22

2 (C)1a2a

2

2 (D)1a

a2

2 (E) 1a

22

(Umptn 99 Rayon C)

7. Diberikan segitiga ABC siku-siku di C. Jika cos(A + C) = k, maka sin A + cos B = … (A)

21 k (B) k (C) 2k (D)

21 k (E) 2k

(Umptn 98 Rayon A, Rayon B, Rayon C)

8. Jika 2

< x < dan tan x = a, maka (sinx + cos x)2 = …

(A) 1 a

1 a2 a2

2 (B)1 a

1 a2 a2

2 (C)

1 a1 a a

2

2 (D)1 a

1 a a2

2 (E)

1 a1 a2 a

2

2

(Umptn 98 Rayon A)

Page 32: 7 trigonometri

99

Trigonometri

9. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 450 dan CT garis tinggi dari titik sudut

C. Jika BC = a dan AT = 21 2 , maka AC = …

(A) a 2 (B) a 3 (C) a 5 (D) a 7 (E) a 11

(Umptn 98 Rayon A)

10. (1 sin2A) tan2A = … (A) 2sin2A 1 (C) 1 – cos2 A (E) cos2A + 2 (B) sin2A + cos2 A (D) 1 – sin2A

(Umptn 98 Rayon B)

11. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 45o dan CT garis tinggi dari titik sudut C. Jika BC = a dan AT =

23 a 2 , maka AC = …

(A) a 2 (B) a 3 (C) a 5 (D) a 7 (E) a 11

(Umptn 98 Rayon B)

12. Diketahui segitiga ABC dengan sudut B = 600 dan CT garis tinggi dari titik sudut C. Jika BC = a dan AT =

2a3 , maka AC = …

(A) 21 a 2 (B) a 2 (C)

21 a 3 (D) a 3 (E)

21 a 5

(Umptn 98 Rayon C)

13. Jika sinx = a dan cosy = b dengan 0 < x < 2

dan 2

< y < , maka

tanx + tany = …

(A) 2

22

a 1 b

)b 1( )a (1 ab (D) 2

22

b 1 b

)b 1( )a (1 ab

(B) 2

22

a 1 b

)b 1( )a (1 ab (E))b 1( )a (1

)a(1 b )b1( a22

22

(C) 2

22

b 1 b

)b 1( )a (1 ab

(Umptn 98 Rayon C)

14. xx

sincos 1 = …

(A) xcos

1xsin (B)

xsin 1xcos (C)

xcos

1xsin (D)

xsin 1xcos (E)

xcos

1xsin

(Umptn 97 Rayon A)

15. Jika cos x = 55 maka ctg (

2 – x ) =

(A) – 2 (B) – 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 (Umptn 97 Rayon A)

16. xcos 1

xsin =

(A) xsin

xcos 1 (B) xsin

xcos 1 (C) xcos

xsin 1 (D) xcosxsin1

(E) xsin

1xcos

(Umptn 97 Rayon B)

Page 33: 7 trigonometri

100

Trigonometri

17. Jika sin x =

32 , maka ctg (

2– x ) =

(A)21 5 (B)

53 5 (C) –

52 5 (D)

21 5 ( E)

31 5

(Umptn 97 Rayon B)

18. Jika ctg x = 3 maka sin( 2 – x ) =

(A) –101 10 (B) –

103 10 (C)

51 10 (D) 5

2 10 (E) 53 10

(Umptn 97 Rayon C)

19. sin1

cos = …

(A) cos

sin1 (B) cos

sin1 (C)sincos1 (D)

sincos1 (E)

sinsin1

(Umptn 97 Rayon C)

20. Persamaan grafik disamping ini adalah (A) y = 2 sin

23 x (D) y = 2 cos

23 x

(B) y = –2 sin23 x (E) y = –2 cos

32 x

(C) y = –2 cos23 x

(Umptn 96 Rayon A, Rayon B, Rayon C)

21. Jika x di kuadran II dan tan x = a, maka sin x =

(A) 2a1

a (B) –2a1

a (C)2a1

1 (D) –2a1a

1 (E) – aa1 2

(Umptn 96 Rayon A)

22. Jika F(x) = 5 sinx + 2 mempunyai maksimum a dan minimum b, maka nilai ab =… (A) 0 (B) 3 (C) –15 (D) –18 (E) –21

(Umptn 96 Rayon B)

23. Jika x = 3tan ( tan lambang untuk tangens) maka sin cos adalah … . (A)

9x3

x2

(B) 9xx

32

(C) – 9x

x32

(D) 9x

x32

(E) 9x

12

(Umptn 96 Rayon C)

24. Jika 0 < x <

dan x memenuhi persamaan tan2x – tanx – 6 = 0, maka himpunan nilai sin x adalah …

(A) {10

103 ,5

52 } (C) {–10

103 ,5

52 } (E) {1010 ,

552 }

(B) {10

103 ,– 552 } (D) {

1010 , 5

5 }

(Umptn 95 Rayon A, Rayon B, Rayon C)

25. Diketahui sin = a, sudut tumpul, tan = … (A) –

1aa2

(B) –2a1

a (C) –2a1

a (D) –2a1

a

(E)2a1

a

(Umptn 95 Rayon A)

2

1

0

–1

–2

3 32

Page 34: 7 trigonometri

101

Trigonometri

26. Jika tan x = – 3 , x sudut tumpul maka cos x …

(A) 1 (B) 21 (C) –1 (D) –

21 (E) –

21 3

(Umptn 95 Rayon A)

27. cos 11100 = … (A) 3 (B)

21 3 (D) –

21 3 (C) – 3 (E)

21

(Umptn 95 Rayon B)

28. Jika cos x > 0 dan blog sin x = a, maka blog cosx = …

(A) 2 blog( 1 – 2a

b ) (C) 2a

b (E) ( a2 )b

(B) 1 – a2 (D) 21

blog( 1 – a2b )

(Umptn 95 Rayon B)

29. Jika A + B + C = 3600, maka 2

CB2A

sin

sin = …

(A) tan2A (B) cot

2A (C) sec

2C

B (D) 1 (E) 0

(Umptn 95 Rayon C)

30. cos 1500 + sin 450 + 21 cot(–3300) = …

(A) 21 3 (B) –

21 3 (C)

21 2 (D) –

21 2 (E) 2

(Umptn 94 Rayon A)

31. Jika –2

< x <2

dan 6 sin2 x – sin x – 1 = 0, maka cos x = …

(A) 21 3 dan

32 2 (B) –

21 3 dan

32 2

(C) 21

3 dan –32 2 (D) –

31 2 dan –

32 3

(E) 31 2 dan

32 3

(Umptn 94 Rayon A)

32. Jika tanx = 31 3 dan 0 < x <

2, maka 3cosx + cos(x+

2) + sin(

–x) = …

(A) 3 (B) 31 3 (C)

21 3 (D)

32

3 (E) 31 3 +

21

(Umptn 94 Rayon B)

33. Akar-akar persamaan 4 sin2 x + 4 cos x – 1 = 0 yang terletak dalam interval

x

adalah (A) –

23 dan

23 (C) –

32 dan –

3 (E)

32 dan –

32

(B) 2

3 dan2

(D) 3

2

dan 3

(Umptn 94 Rayon B)

34. cos 330 tg (–315) – sin (–210) ctg 330 (A)

21 3 (B)

21 (C) 1 (D) 3 (E)

31 3

(Umptn 94 Rayon C)

Page 35: 7 trigonometri

102

Trigonometri

35. Jika –

2< x <

2 dan 4 tg2 x – 7 tg x + 3 = 0, maka sin x =

(A) 21 2 dan

53 (C)

21 2 dan

54 (E) –

21 2 dan –

53

(B) 21 2 dan –

53 (D) –

21 2 dan

54

(Umptn 94 Rayon C)

36. Jika cos = – 21 3 dan sudut terletak pada kwadran II, maka tg =

(A) 3 (B)91 3 (C)

21 (D) –

31 3 (E) – 3

(Umptn 93 Rayon A)

37. tg(–45) + sin 120 + cos 225 – cos 30 = (A)

21

+ 21 2 (C) –

21

– 21 2 (E) 1 –

21 2

(B) 21

– 21 2 (D)–1 –

21 2

(Umptn 93 Rayon A)

38. Cos 3x = – 21 3 dipenuhi oleh x = …

(1) 400 (2) 500 (3) 800 (4) 700

(Umptn 93 Rayon B)

39. )

6cos(

)32(tg

=

(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 12 3 (E) 1

2 2

(Umptn 93 Rayon B)

40. tanx = – 3 , x < 0, maka sin x = … (1)

21 (2)

21 3 (3) –

21 (4) –

21 3

(Umptn 93 Rayon C)

41. Jika sin x =51 5 , maka cosx – 5cos(

2 + x) + 2 sin ( –x) = …

(A) –51 –

51 5 (B) – 5 (C)

51 5 (D)

52 5 (E)

59 5

(Umptn 93 Rayon C)

42. Fungsi yang sesuai dengan grafik diatas adalah … (A) y = 2sin(x –

21 ) (D) y = sin(2x –

21 )

(B) y = sin(2x +21 ) (E) y = 2sin(2x + )

(C) y = 2sin(x +21 )

(Umptn 92 Rayon A)

43. Jika p – q = cos A dan pq2 = sin A, maka p2 + q2 = (A) 0 (B) 1 (C)

21 (D)

41 (E) –1

(Umptn 92 Rayon A)

2

–21 0

21

23 2

–2

Page 36: 7 trigonometri

103

Trigonometri

44. Fungsi y =

21 cos 2x + 1 merupakan fungsi yang

(1) periodik dengan periode (3) mempunyai nilai maksimum 121

(2) mempunyai nilai minimum –1

21 (4) memotong sumbu-x di x =

2

(Umptn 92 Rayon A, Rayon B, Rayon C )

45. Jika tg2x + 2 = p untuk 0

x

2

dan p > 2, maka sin x =

(A)1p

1

(B)2p

1 (C)1p2p (D)

2p

1p (E)1p

2p

(Umptn 92 Rayon B )

46. Grafik berikut adalah grafik (A) y = sin x (D) y = cos(–2x) (B) y = sin2x (E) y = sin(–x) (C) y = sin(–2x)

(Umptn 92 Rayon B)

47. Jika x =3

4 , maka nilai cos x –3

1 sin x =

(A) 21 (1 + 3 ) (B)

21 ( 3 –1) (C)

21 (1– 3 ) (D) 0 (E)1

(Umptn 92 Rayon C )

48. Seorang anak tingginya 1,55 meter berdiri pada jarak 12 meter dari kaki tiang bendera. Ia melihat puncak tiang bendera dengan sudut 450 dengan arah mendatar, maka tinggi tiang bendera itu adalah …meter (A) 12 (B) 12 2 (C) 13,55 (E) 15,55 (D) 13,55 2

(Umptn 92 Rayon C )

49. Untuk 0 <

< 2

, maka deret tak hingga sin

+ sin

cos2

+ sin

cos4

+ …

mempunyai jumlah : (A) cos (B) sin (C)

sin1 (D) cos

1 (E) tan

(Umptn 92 Rayon C )

50. Jika tgx = 21 maka 2 sinx + sin (x +

2) + cos (

– x) =

(A) 21 5 (B) 1 (C)

52 5 (D) 0 (D)

51 5

(Umptn 91 Rayon A, RayonB, RayonC)

51. Jika 2 sin2x + 3 cos x = 0 dan 00 x 1800 maka x = … (A) 600 (B) 300 (C) 1200 (D) 1500 (E) 1700

(Umptn 91 Rayon A)

52. Jika diketahui x = 4

3 , maka

(A) sinx = cosx (C) sin x – cosx = 1 (E) sin x < 2 cos x (B) sin x + cos x = 0 (D) sin x + cos x =

21 2

(Umptn 91 Rayon A)

4 2

43

45

1

23 2

47

1

Page 37: 7 trigonometri

104

Trigonometri

53. Jika sin(x +

2) = 0,6 maka sin (x + ) + cos(–x) = …

(A) –0,4 (B) –0,2 (C) 0,2 (D) 0,4 (E) 0,6 (Umptn 91 Rayon B)

54. Persamaan xsinxcosxcosxsin = 0 dipenuhi oleh …

(A) 300 (B) 600 (C) 900 (D) 1350 (E) 1500

(Umptn 91 Rayon B)

55. Jika –2

< x <2

dan tan x = –1 maka cosx + 2 sin x = …

(A) –23 2 (B) –

21 2 (C) 0 (D)

21 2 (E)

23

2

(Umptn 91 Rayon C)

56. 5 tan2x + 3 = … (A)

xsin52

– 2 (C) 3 + xcos

22

(E) xcos

22

+ 5

(B) xcos

52

– 2 (D) xsin

32

+ 2

(Umptn 91 Rayon C)

57. Grafik dibawah ini menggambarkan fungsi (A) y = cosx (B) y = 2 cos x (C) y = cos 2x (D) y = 2 cos 2x (E) y = 2 cos

2x

(Umptn 90 Rayon A)

58. 225cos 150sin

135tg 135cos 270sin =…

(A) 2 (B) 21 (C) 1 (D)

21 2 (E) 2

(Umptn 90 Rayon A)

59. Jika 0 < x < 2

maka sinx + cosx + sin3x + cos3x + sin5x + cos5x … =

(A) 1 (C) xsin xcos

122

(E) xsin xcos

xcos

(B) 2 (D) x2sin x2cos

xsin xcos 33

(Umptn 90 Rayon A) 60. Gambar di atas adalah grafik fungsi y = f (x)=

(A) sin (2x + 45o) (B) cos (2x + 45o) (C) sin 2(x + 45o) (D) cos 2(x + 45o) (E) sin 2(x + 45o)

(Umptn 90 Rayon B)

Y

/2 X

1

–900 –45 90

45

Page 38: 7 trigonometri

105

Trigonometri

61. Cos2(1200 ) = …

(A) 0 (B) 41 (C)

21 (D)

21 3 (E)

43

(Umptn 90 Rayon B)

62. Grafik fungsi y = sin x + 1 dalam selang (0,2 ) adalah (A) (C) (E)

(B) (D)

(Umptn 90 Rayon C)

63. Cos(–6800) = … (1) sin –500 (2) cos 400 (3) sin 400 (4) sin 500

(Umptn 90 Rayon C)

1

0

2

1

0

2

2 1

0

2

0

2

–1

0 2

–1