A. Perbandingan trigonometri

Perhatikanlah gambar disamping !

Segitiga ABC siku-siku di C dan kita definisikan,

r adalah sisi didepan sudut siku-siku(sisi miring),

y adalah sisi didepan ysng sedang kita

bicarakan(depan) dan x adalah sisi yang

lainnya (samping).

Hubungan antara x,y dan r sesuai dengan

teorema pythagoras adalah x2 +y2= r2

perbandingan trigonometri antara sisi-sisi pada segitiga siku-siku didefinisikan sebagai

berikut :

cos α = sisi samping = x sec α = sisi miring = r

sisi miring r sisi samping x

sin α = sisi depan = y cosec α = sisi miring = r

sisi miring r sisi depan y

tan α = sisi depan = y cotan α = sisi samping = x

sisi miring x sisi depan y

contoh 1

tentukan komponen x,y dan r dari segitiga siku-siku disamping jika sudut yang kita

bicarakan adalah

a. sudut A b. Sudut B

Jawab:

a. sudut A komponennya

r = 5, y = 4 dan x = 3

b. sudut B komponennya

r = 5, y = 3 dan x = 4

contoh 2

dari gambar pada contoh 1, tentukanlah seluruh perbandingan trigonometrinya !

jawab :

cos α = x = 3 sec α = r = 5

r 5 x 3

sin α = y = 4 cos α = r = 5

r 5 y 4

tan α = y = 4 cos α = x = 3

x 3 y 4

tanda fungsi trigonometri dalam kuadran,

lihat gambar disamping ini.

Kudran dibagi menjadi empat dengan

batas-batas sudut tertera pada gambar.

tanda fungsi trigonometri yang tertulis

pada gambar adalah fungsi-fungsi yang

bertanda positif . misalnya uintuk

kuadran II maka sinus dan cosecan

bertanda positif pada kuadran tersebut

sedangkan yang lainnya bertanda negatif.

contoh 3

tentukan letak kuadran dan identifikasikan nilainya (positif atau negatif) dari soal berikut

ini :

a. cos 120°

b. sin 89°

c. tan 179°

d. cosec 280°

e. sec 240°

jawab :

a. 120° terletak dikuadran II,yaitu antara 90° dan 180° , sehingga cos 120° bernilai

negatif.

b. 89° terletak dikuadran I, yaitu antara 0° dan 90°, sehingga sin 89° bernilai positif.

c. 179° terletak dikuadran II, yaitu antara 90° dan 180°, sehingga tan 179° bernilai

negatif

d. 280 terletak dikuadran IV, yaitu antara 270° dean 360°, sehingga cosec 280° bernilai

negatif.

e. 240° terletak dikuadran III, yaitu antara 180° dan 270°, sehingga sec 240° bernilai

negatif.

Nilai perbandingan sudut-sudut istimewa

Sekarang bagaimana mendapatkan nilai perbandingan sudut-sudut istimewa yang sering

digunakan.perhatikan segitiga OAB pada gambar disamping :

a. jika α = 0°, maka r=x dan y= 0, sehingga

cos 0° = x = x = 1

r x

sin 0° = y = 0 = 0

r r

tan 0° = y = 0 = 0

x x

b. jika α = 90°, maka r = y dan x = 0,sehingga

cos 90° = x = 0 = 0

r r

sin 90° = y = y = 1

r y

tan 90° = y = y = (tidak didefinisikan)

x 0

untuk sudut 30°, 45° dan 60° gunakan segitiga OAB pada gambar diatas dengan

mengambil jari-jari lingkaran atau panjang OB = 2 satuan dan AB =1 satuan.

Sehingga panjang AO diperoleh.

AO = √OB2-BA2 = √22-12 = √3

cos 30° = x = √3 = 1 √3 r 2 2

sin 30° = y = 1

r 2

tan 30° = y = 1 = 1 √3 x √3 3

sin 60° = y = √3 = 1 √3 r 2 2

cos 60° = x = 1

r 2

tan 60° = y = √3 =√3 x 1

sekarang kita buat panjang OA =AB= 1 satuan, yaitu satu segitiga siku-siku sama kaki

seperti tampak pada gambar dibawah ini.

cos 45° = x = 1 = 1 √2 r √2 2

sin 45° = y = 1 = 1 √2 r √2 2

tan 45° = y = 1 = 1 x 1

untuk lebih mudah mengingat nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut

istimewa disajikan dalam tabel dengan menambahkan sudut-sudut pada perbatasan

kuadran berikut ini

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

Cos 11√3

2

1√2

2

1

2 0 -1 0 1

Sin 01

2

1√2

2

1√3

2 1 0 -1 0

Tan 01 √3

3

1√3 - 0 - 0

contoh 4

Buktikan !

a. sin2 30 + cos2

30 = 1 b. 1 + tan2 60° = sec2 60°

jawab :

a. sin2 30 + cos2

30 = ( 1 )2 + ( 1 √3) 2 = 1 + 3 = 1 (terbukti)

2 2 4 4

b. 1 + tan2 60° = 1 + ( √3 ) 2 = 1+3 = 4sec2 60° = 22 = 4 (terbukti)

contoh 5

tentukan besar sudut dan panjang sisi yang belum diketahui dari segitiga berikut ini !

jawab:

a. unsur yang diketahui pada segitiga ABC adalah sudut A dan sisi didepan sudutnya

(y), sehingga untuk mencari sisi miring (r) kita gunakan sinus,

i ) Sin A = y = BC

r AC

AC = BC = 4 = 4 = 5,865 SinA Sin 43° 0.682

ii) Cos A = X = AB

r AC

AB = AC . Cos A = 5,865 . Cos 43° = 5,865 .0,7314 = 4,290

iii) Sudut C = 180°- 90°- 43° = 47°

b. gunakan teorema pythagoras untuk menghitung panjang sisi miring (PR)

PR2 = PQ2 + QR2 = 82 + 62 = 102

PR = 10

Untuk menghitung besar sudut P dapat digunakan sin, cos, tan .dalam hal ini

digunakan tangen.

Tan P = y = QR = 6 = 0,75

x PQ 8

Sudut P = 37°Sudut Q = 180°- 90°- 37° = 53°

contoh 6

Seorang pelajar ingin mengetahui tinggi sebuah gedung dengan cara menggunakan

pengetahuan trigonometri yang ia milikinya, yaitu dengan cara mengarahkan alat

pengukur sudut pada jarak 250 m dari kaki gedung dan mencatat sudut sebesar 35°.

Berapakah tinggi gedung tersebut?

Jawab :

Pada segitiga siku-siku di B. Sisi BC

merupakan tinggi gedung atau merupakan

sisi di depan (y) sudut yang diketahui

dan AB yang merupakan jarak dari

gedung ketempat dilakukannya

pengukuran sudut merupakan sisi

samping (x),sehingga untuk

menghitung tinggi gedung

tersebut dengan tangen.

Tan A = y = BC = BC

X AB 250

Tan 35° = BC

250

BC = 250 . Tan 35° = 250 .0,7002 = 175 m

sehingga tinggi gedung tersebut adalah 175 meter.

contoh 7

jika θ sudut lancip,tentukan perbandingan trigonometri sudut θ yang lain, untuk :

a. cos θ = 1√3 b. sin θ = 3

2 5

Jawab :

a. dari cos θ = 1√3 dapat dibuat segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi disamping 2

sudut √3 dan sisi miringnya 2 sebagai berikut :

BC dapat dicar dengan teorema pythagoras BC2 = AC2 - AB2

BC2 = 22 -√32 = 4 -3 = 1

Jadi BC = 1

Nilai perbandingan trigonometri yang lain adalah :

Sin θ = BC = 1 dan Tan θ = BC = 1 = 1 √3

AC 2 AB √3 3

b. dari sin θ = 3 dapat dibuat segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi di depan 5

sudut 3 dan sisi miringnya 5 sebagai berikut :

BC dapat dicari denga teorema pythagoras

AB2 = AC2 - BC2

AB2 = 52 -32

AB2 = 25 – 9

AB2 = 16

AB = 4

nilai perbandingan trigonometri yang lain adalah :

cos θ = AB = 4 dan tan θ = BC = 3

AC 5 AB 4

contoh 8

diketahui cos θ = - 1√3 dan sin θ = 1 , tentukanlah tan θ dan cotan θ !

2 2

Jawab :

Cos θ negatif dan sin θ positif, berarti θ terletak di kuadran II.

Perhatikan gambar di samping .

x = -√3 , y = 1 dan r = 2.

Tan θ = - 1 √3 dan cotan θ = -√3 3

LATIHAN 1

1. tentukan nilai perbandinga trigonometri pada tiap segitiga dibawah ini untuk sudut

AdanC

2. tentukanlah unsur yang belum diketahui pada ∆ ABC ,siku-siku di B!

a = 2 cm dan sudut C = 20°

a = 4 cm dan sudut A = 40°

b = 10 cm dan sudut C = 30°

b = 5 cm dan sudut C = 60°

3. tentukanlah tanda (positif atau negatif) dari nilai fungsi trigonometri di bawah ini :

a. sin 20°

b. cos 80°

c. cosec 350°

d. tan 100°

e. sin 92°

4. tanpa menggunakan kalkulator atau table ,tentukan nilai dari :

a. sin 30° . cos 45° + cos 30° .sin 45°

b. sin2 45° + cos2 45°

5. diketahui cos θ = - 1√3 dan sin θ = -1 , tentukanlah !

2 2

a. sec θ

b. cosec θ

c.tan θ

d. Cotan θ

B. Rumus-rumus trigonometri untuk sudut yang berelasi

Sebagaimana sudah kita ketahui bahwa dalam sistem koordinat kartesius terbagi menjadi

empat kuadra yaitu, kuadran I,II,III, dan IV dengan batas-batas sudut tertentu. Dalam sub

bab ini kita akan mencoba untuk merelasikan sudut-sudut dari suatu kuadran dengan

kuadran yang lainnya yaitu nilai suatu fungsi trigonometri dari suatu kuadran yang

ekuivalen dengan nilai, fungsi trigonometri pada kuadran yang lain. Misalnya sin 120°

(kuadran II) ekuivalen dengan sin 60° (kuadran I).

Untuk mempermudah dalam merelasikan suatu fungsi trigonometri, kita gunakan untuk

kelipatan dengan 90 yaitu K.90 ± α dimana α adalah sudut lancip, dengan kententuan jika

k ganjil maka fungsi trigonometri berubah dari sinus menjadi cosinus (dan sebaliknya)

dan tangen menjadi kotangen (dan sebaliknya), tetapi jika k genap maka fungsi

trigonometri tidak berubah.

contoh 9

tentukanlah relasi dari

a. cos(180 – α)°

b. sin(90 + α) °

c. tan(270 – α)°

d. sin(360 - α)°

jawab:

a. cos(180 – α)° = cos(2.90 – α)° = -cos α(negatif)

(tanda negatif pada hasil,karena 180 – α dikuadran II

b. sin(90 + α) ° = sin(1.90+ α) ° = cos α

c. tan(270 – α)° = tan(3.90 – α)° = cotan α

d. sin(360 - α)° = sin(4.90 - α)° = - sin α

(tanda negatif pada hasil, karena 360 – α dikuadran IV)

contoh 10

nyatakan sebagi sudut lancip dari

a. sin 160°

b. cos 245°

c. tan 320°

jawab:

a. sin 160° = sin(2.90 – 20) ° = sin 20° atau sin 160° = sin(1.90+70) = cos 70°

(tanda positif pada sin 20° dan cos 70° karena 160° dikuadran II sehingga sin

160° bernilai positif).

b. cos 245° = cos (2.90+65) = -cos 65° atau cos 245° =(3.90-25) = -sin 25°

(tanda negatif pada cos 65° dan sin 25° karena 245°dikuadran III sehingga cos

245° bernilai negatif, sedangkan fungsi berubah dari 245° menjadi -sin 25° karena

berkelipatan ganjil (k=3) dari 90)

c. tan 320° = tan(4.90 – 40)°= -tan 40° atau tan 320° =tan(3.90+50) = -cotan 50°

secara geometri dua sudut yang berelasi dapat dicari dengan cara sebagi berikut :

1. Relasi dengan sudut negatif.

Untuk sudut-sudut negatif, yaitu sudut yang arah putarnya searah dengan jarum jam

dilukiskan dengan cara sebagai berikut :

∆ OPQ dicerminkan terhadap sumbu x yang menghasilkan bayangan ∆OP’Q, sehingga:

P(x,y)

OQ = x dan P’Q = PQ = y

Kordinat P’(x’.y’) dengan x’ = x dan y’ = -y atau p’(x,-y)

Cos(-α) = x’ = x = cos α r r

Sin(-α) = y’ = -y = - sin α r r

Tan(-α) = y’ = -y = - tanα x x

contoh 11

nyatakan menjadi sudut positif dari :

a. sin(-20)° b. Cos(-50)° c. Tan(-120)°

jawab:

a.sin(-20)° = -sin 20° b. Cos(-50)° = cos 50° c. Tan(-120)° = -tan 120°

2. Relasi sudut dikuadran I(90-α)

Perhatikan gambar berikut ini :

∆OPQ dicermikan terhadap garis y = x yang menghasilkan bayangan ∆OP’Q’,sehingga

P(x,y)

∆OP’Q’ = ∆ OPQ, sehingga

Kordinat P’(x’,y’) dengan x’ =y dan y’ =x atau P’(x,y)

Untuk sudut 90 –α diperoleh ,

Cos(90 - α) = x’ = y = sin α r r

Sin(90 - α) = y’ = x = cos α r r

Tan(90 - α) = y’ = x = cotanα x’ y

contoh 12

a. sin 20° = sin (90-70)° = cos 70°

b. tan 70° = tan (90-20)° = cotan 20°

c. sec 53° = sec (90-37)° = cose 37°

3. Relasi sudut dikuadran II (180-α) °

∆OPQ dicerminkan terhadap sumbu y yang menghasilkan bayangan

∆OP’Q’,sehingga

P(x,y)

∆OP’Q’ = ∆OPQ, sehingga

OQ’ = OQ = x dan P’Q’ =PQ = y

Kordinat P’(x’,y’) dengan x’= -x dan y’ = y atau P’(-x,y).

Untuk sudut 180 – α ,diperoleh

Cos(180 - α) = x’ = -x = - cos α r r

Sin(180 - α) = y’ = y = sin α r r

Tan(180 - α) = y’ = y = - tanα x’ -x

contoh 13

a. sin 120° = sin (180-60)° = sin 60°

b. tan 135° = tan (180-45)° = - tan 45°

c. sec 166° = sec(180-14)° = - sec 14°

d. cotan 96° = cotan (180-84)° = - cotan 84°

e. cosec 175° = cosec (180-5)° = cosec 5°

selain menggunakan 180 – α dapat juaga digunakan 90 + α, yaitu :

cos (90 + α)° = cos (90 –(- α))° = sin (- α)° = - sin α

sin (90 + α)° = sin (90 –(- α))° = cos (- α)° = cos α

tan (90 + α)° = tan (90 –(- α))° = cotan (- α)° = - cotan α

misalkan :

a. sin 150° = sin (90 + 60)° = cos 60°

b. tan 125° = tan (90 + 35)° = - cotan 35°

4. Relasi sudut lebih dari 360°untuk menyataka/merelasikan sudut-sudt yang lebih besar 360° dalam sudut lancip digumakam kelipatan 360°, yaitu k.360 + α dimana 0< α <360° nilai k tidak berpengaruh pada perubahan fungsi maupun tanda (positif/negatif) terhadap hasil relasi. Jika α > 90° maka dapat digunakan relasi kembali untuk mendapatkan α sudut lancip.

contoh 14nyatakan bentuk-bentuk berikut kedalam sudut lancip!a. cos 375° b. Tan 1395° c. Sin 1680°

jawab :a. cos 375° = cos (1.360 + 15)° = cos 15°b. tan 1395° = tan (3.360 + 315)° = tan 315° = tan (4.90 - 45)° = - tan 45°c. sin 1680° = sin (4.360 + 240)° = sin 240° = sin(2.90 + 60)° = - sin 60°

LATIHAN II

1. nyatakan dalam bentuk sudut lancip dari :

a. sin 105°

b. sin 230°

c. cos 245°

d. cos 320°

e. tan 130°

2. nyatakan dalam sudut lancip kemudian tentukan nilainya

a. sin 135°

b. sin 240°

c. cos 120°

d. tan(-240) °

e. cos 330°

3. buktikanlah!

a. cos a° + sin(270 + a)° - sin (270 – a)° + cos (180 + a)° = 0

C. Koordinat Kartesius dan Kutub

Letak suatu titik pada sistem koordinat kartesius ditentukan oleh jarak horizontal (jarak pada sumbu x)dan vertikal (jarak pada sumbu y) pada dua garis yang saling tegak lusrus dan berpangkal pada O serta menggunakan pasangan bilangan (x,y) dimana x menyatakan absis sedangkan y adalah ordinat. Misalkan titik P(2,4), menyatakan titik P dengan letak 2 satuan kekanan dan 4 satuan keatas. Titik R(-5,-1) menyatakan R dengan letak 5 satuan kekiri dan 1 satuan kebawah dan seterusnya,perhatikan gambar .

Letak titik juga dapat ditentukan dengan menggunakan kordinat kutub atau polar yaitu P(r ,α ) dimana r adalah menyatakan jarak titik tersebut dengan titik asalO(0,0) sedangkan α adalah sudut yang dibentuk antara sumbu x positif dengan garis r.Misalkan P(2,30°) menyatakan titik P, yang terletak pada jarak 2 satuan dari titik asal 0 dan pada arah 30° dari sumbu x positf dengan arah putaran berlawanan arah jarum jam . titik Q(4, 90°) menyatakan titik Q, yang terletak pada jarak 4 satuan dari titik asal O dan pada arah 90° dari sumbu x positif dengan arah putaran berlawanan arah dengan jarum jam,dan seterusnya,perhatikan gambar.

Untuk titik dengan sudut putaran searah jarum jam, tanda sudut diberi tanda negatif. Misalnya H(2,40°) menyatakan letak titik H dengan jarak 2 satuan dari itik O dan pada arah 40° dari sumbu x positf dengan arah putaran searah jarum jam.Sehingga selain dengan sudut positif,dapat juga digunakan sudut negatif, misalnya titik A(2,120°) seletak dengan (2,-240°).

Hubungan antara koordinat dan kartesius suatu titik (x,y) dengan koordinat kutub (r, α) dapat digambarkan sebagi berikut:

contoh 15nyatakan dalam koordinat kartesius darti titik berikut :

a. P(4,120°) b. R(10,315°)

jawab:a. dari soal tsb didapat r = 4 dan α = 120°

x = r cos α = 4. cos 120° = 4. cos(180-60)°

x = 4.(-cos 60°) = 4 .- 1 = - 2

2

y = r sin α = 4 .sin 120° = 4. sin(180-60)° = 4.sin 60°

y = 4. 1√3 = 2√3 2

Sehingga koordinat kartesiusnya dalah P (-2 , 2√3)

b. dari soal tsb didapat r = 10 dan α = 315°

x = r cos α = 10. cos 315° = 10. cos(360-45)° =10.cos 45° = 10. 1√2 = 5√2 2

y = r sin α = 10. cos 315° = 10. sin(360-45)° =10.- sin 45° = 10.- 1√2 = - 5√2

2

Sehingga koordinat kartesius adalah R(5√2, - 5√2 )

contoh 16ubahlah dalam koordinat kutub dari titik berikut :

a. A(-1,1)b. B(-5,-5√3)

Jawab :a. dari soal kita dapat x = -1 dan y = 1

r = r =√2

tan α = y = 1 = -1 x -1

untuk mengunakan nilai α dari tan α = -1, abaikan terlebih dahulu tanda negatifnya sehingga kita dapat sudut = 45°, kemudian kita lihat titik A,yaitu terletak pada kuadaran II maka sudut 45° direlasikan pada kuadran II,yaitu :180 – α = 180 – 45 = 135°Sehingga koordinat kutub dari titik tersebut adalah (√2, 135° )Sebagai catatan, untuk mencari sudut yang dikuadran lain dari sudut lancip maka dapat digunakan cara sebagai berikut :

α direlasikan pada kuadran II menjadi 180 – αα direlasikan pada kuadran III menjadi 180 + αα direlasikan pada kuadran IV menjadi 360 – α

b. dari soal kita dapat x =-5 dan y = -5√3r =r = 10

tan α = y = -5√3 = √3 x -5

tan α = √3 , didapat sudut = 60°, teapi karena titik B terletak dikuadran III maka sudut 60° direlasikan pada kuadran III sehingga diperoleh sebagi berikut

180 + α = 180 + 60 = 240°Sehingga koordinat kutub dari titik tersebut adalah (10, 240°)

LATIHAN

1. ubahlah kedalam koordinat kartesius dari titik dibawah ini !

a. (2,30°)

b. (8,240°)

c. (10,315°)

d. (-12,225°)

e. (6,120°)

2. nyatakan dalam koordinat kutub dari titik- titik dibawah ini!

a. (-1,-1)

b. (√2,√2)

c. (2,-2√3)

d. (-2,0)

e. (-√3,1)

D. Fungsi Trigonometri

Bentuk fungsi trigonometri adalah f(x) = sin x, f(x) = cos x dan f(x) = tan x, beberapa langkah yang ditempuh untuk mengambar grafik fungsi trigonometri, yaitu :

Buatlah tabel yang berisi sudut istimewa beserta nilai fungsi trigonometri yang diminta

Buatlah titik pada bidan XOY dari hasil pada langkah diatas. Hubungkan titik-titik tersebut sehingga dapat kurva mulus.

contoh 17gambarlah grafik fungsi f(x) = sin x dan f(x) = sin(x + 30)° dalam satu bidang dengan domain pada interval 0 ≤ x ≤ 360° .

jawab :untuk menentukan nilai sudut istimewa yang lebih dari 90° dapat digunakan relasi sudut yaitu :sin (180 – a )° = sin a°sin (180 + a )° = - sin a°sin (360 – a)° = - sin a°

x 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

sin x 0.5 0.7 0.86 1 0.86 0.7 0.5 0 -0.5-

0.86 -1-

0.86 -0.5 0sin

(x+30) 0.86 0.96 1 0.86 0.5 0.25 0 -0.5-

0.86 -1-

0.86 -0.5 0 0.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

sin x

sin (x+30)

Jika kita perhatikan bahwa grafik fungsi y = sin (x + 30)° diperoleh dari grafik y = sin x dengan cara menggeser kekiri sebesar 30°.

contoh 18gambarlah grafik fungsi f(x)= cos x dan f(x) = cos (x- 30)° dalam suatu bidang interval0 ≤ x ≤ 360°Jawab :

Untuk menentukan nilai sudut istimew yang lebih dari 90° dapat digunakan relasi sudut yaitu :cos (180 – a )° = - cos a°cos (180 + a )° = - cos a°cos (360 – a)° = cos a°

x 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

cos x 0.86 0.7 0.5 0 -0.5 -0.7-

0.86 -1-

0.86 -0.5 0 0.5 0.86 1cos

(x+30) 0.5 0.25 0-

0.5-

0.86 -0.7 -1-

0.86 -0.5 0 0.5 0.86 1 0.86

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16

cos x

cos (x+30)

contoh 19gambarlah grafik fungsi f(x)= tan x dan f(x) = tan x° + 1 dalam suatu bidang interval0 ≤ x ≤ 360°Jawab :

Untuk menentukan nilai sudut istimew yang lebih dari 90° dapat digunakan relasi sudut yaitu :tan (180 – a )° = - tan a°tan (180 + a )° = tan a°tan(360 – a)° = tan a°