V e k t o r Kuantitas fisis : - luas, panjang, masa, temperatur → skalar - gaya, pergeseran → vektor

Besaran vektor : besaran yang menunjukkan suatu arah dan nilai tertentu Contoh : perpindahan, kecepatan, perce- patan, gaya dll

Besaran skalar : besaran yang menunjukkan nilainya saja Contoh : volume, luas, ketinggian dll

Vek 1

Vektor dinyatakan secara geometris sebagai segmen- segmen garis terarah dan arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya

Ekor panah → titik awal vektorUjung panah → titik terminal vektorSkalar → besarnya bilangan vektor

v = A BDefinisi : Jika v dan w dua vektor sembarang, maka v + w = w + v v − w = v + (−w) k(v) = kv

Vek 2

v

w-w w

v

v ½v 2v -v

v + w

w + v v - w

v + (-w)

Vek 3

Panjang sebuah vektor w disebut norma w di tulis ║w║, mencari norma w dengan menggunakan teorema phythagoras yaitu :

223

22

21 ..................v nvvvv

22 )()( PQOQv

22

21 vvv

P(v1,v2)

O Q

v2

y

x

v2

v1

v1 Vek 4

22 )()( PRORv

23

22

21 vvvv

222 )()()( PROSOQv

R

O

Q

v 1

v2 y

x

v3

z

P(v1,v2,v3)

v 1

v2

v3

S

Vek 5

Jika P(v1, v2,………., vn) dan Q(w1, w2, ………, wn) adalah dua titik di ruang n, maka jarak ke dua titik (d) adalah norma vektor PQ.

PQ = (w1 – v1, w2 – v2, ……………., wn – vn)

nn vwvwvwPQ ..........222

211

nn vwvwvwvwwvd .........., 222

211

Vek 6

Contoh :1. v = (-3, 2, 1, 3)

2222 3123 v

2. P(2, -1, -5, 3) dan Q(4, -3, 1, -2) 222 32511324 dPQ

69dPQ

23v

Vek 7

Hasil kali titikJika v dan w adalah vektor serta θ adalah sudut antara

vektor v dan w, maka hasil kali titik (v.w)didefinisikan sbb :

║v║║w║cosθ → jika v ≠ 0 dan w ≠ 0v.w = 0 → jika v = 0 atau w = 0Contoh : 1.v = (0, 0, 1); w = (0, 2, 2); dan θ = 450

21220.100 222222. wv

21.8.1

2 Vek 8

2. Diket : v = (2, -1, 1) dan w = (1, 1, 2) Ditanyakan : <θ diantara v dan w

Jawab : v.w = {(2)(1) + (-1)(1) + (1)(2)} = 3

6114 v

6411 w

21

6.63cos

.

wvwv

21cos

060 Vek 9

Jika v dan w adalah vektor serta θ adalah sudut diantara ke dua vektor tersebut, maka

θ lancip → jika dan hanya jika u.v > 0θ tumpul → jika dan hanya jika u.v < 0θ siku-siku → jika dan hanya jika u.v = 0

Contoh :1. Jika : u = (7, 5); dan v = (-5, 7) u.v = 0 → θ = 900

2. Jika : u = (7, 5); dan v = (5, 7) u.v = 70 → θ < 900

3. Jika : u = (7, 5); dan v = (-5, -7) u.v = -70 → θ > 900

Vek 10

Diket : 3 jenis tumbuhan berbunga x1 = panjang daun ke tiga x2 = panjang ruas ketiga x3 = diameter corolla x4 = jumlah bunga tiap karangan bunga

x1 x2 x3 x4

Species 1 2 5 2 8Species 2 3 6 5 2Species 3 7 4 3 7

Vek 11

Hubungan antar species tumbuhan berbunga(d), jika dilihat hanya 2 sifat saja

Species x1 dan x2 x3 dan x4

1 dan 2

1 dan 3

2 dan 3

22 )56()23( d

2d

22 )82()25( d

45d22 )54()72( d

22 )64()37( d 22 )27()53( d

22 )87()23( d

26d

20d

2d

29d

414,1

414,1

708,6

099,5

472,4 385,5Vek 12

x1

x2

2

2

4

4

6

6

8

x3

x4

2

2

4

4

6

6

8

sp1

sp1

sp2

sp2

sp3

sp3

Vek 13

Hubungan antar species tanaman berbunga (d), jika dilihat semua sifat yang diukur

Species 1 dan 2

1 dan 3

2 dan 3

2222 )82()25()56()23( d

2222 )87()23()54()27( d

2222 )27()53()64()37( d

47d

28d

749 d

856,6

292,5

Jadi hubungan kekerabatan yang paling dekat, yaitu antara species 1 dengan species 3

Vek 14

Diketahui 4 jenis udang air tawar (Macrobrachium spp.) dengan morfometriks sbb:

X1 : duri rostrum atasX2 : duri rostrum bawahX3 : panjang tubuhX4 : panjang pereiopoda ke 2X5 : jumlah gigi jari pereiopoda ke 2

Species X1 X2 X3 X4 X5

1 10 2 33 35 12 8 2 51 50 13 10 3 48 46 24 8 3 57 74 6

Antara species mana yang hubungan kekerabatannya paling dekat ? Vek 15