Vektor

oleh :

Hastuti

Vektor dan Skalar Vektor memiliki besaran dan arah. Besaran

fisika yang dinyatakan dengan vektor adalah : gaya, kecepatan, dan percepatan, dll.

Skalar hanya memiliki besaran saja, seperti : temperatur, tekanan, energi, massa, dan waktu, dll.

Vektor dinyatakan dengan dengan huruf cetak tebal atau huruf dengan suatu panah diatasnya, atau ruas garis berarah. Panjang vektor dinyatakan dengan , atau , atau .A

atau A

A

B

A A

AB

Aljabar Vektor1. Dua vektor A dan B dikatakan sama jika

keduanya mempunyai besar dan arah yang sama.

2. Suatu vektor yang mempunyai arah berlawanan dengan vektor A tetapi panjangnya sama, dinyatakan dengan -A.

A B

A -A

Aljabar Vektor3. Jumlah atau resultan vektor A dan B, ditulis

A + B = C, didefisikan sebagai berikut :

Penjumlahan dg cara Segitiga Penjumlahan dg cara Jajaran Genjang

AB

A B

B

A

C = A + BC = A + B

Aljabar VektorPenjumlahan lebih dari dua vektor dilakukan dengan menjumlahkan semua vektor secara langsung.Contoh :

BA

CD

A

B

C

D

E = A + B + C + D

Aljabar Vektor4. Selisih vektor A dan B, ditulis A – B = C,

didefinisikan sebagai A + (-B) = C. Jika A = B, maka A – B didefinisikan sebagai vektor nol, 0.

5. A – B adalah vektor bermula di ujung B berakhir di ujung A

Cara Segitiga Cara Jajaran Genjang

A-B

-B -B

A

A

A - B A - B

Aljabar Vektor5. Perkalian suatu vektor A dengan skalar k

menghasilkan suatu vektor kA, dengan panjang k kali panjang A. Jika k = 0, maka kA = 0 (vektor nol).Contoh : Jika k = 2, kA = 2A; Jika k = -2, kA = -2A

A

A2A

-A

-A-2A

Hukum Aljabar VektorJika A, B, dan C adalah vektor dan m, n adalah skalar, maka :

1. A + B = B + A Hukum Komutatif Penjumlahan

2. A + (B + C) = (A + B) + C Hukum Asosiatif Penjumlahan

3. m(nA) = (mn)A = n(mA) Hukum Asosiatif Perkalian

4. (m + n )A = mA + nA Hukum Distributif5. m(A + B) = mA + mB Hukum Distributif

Komponen – komponen vektor dlm vektor satuan Vektor dinyatakan dalam

magnitudo/panjang r dan arah . ekivalen dg vektor a dalam

arah OX + vektor b dalam arahOY. Sehingga dinyatakan dlmvektor-vektor satuan, yakni i dan j(vektor satuan dlm arah OX dan

OY). Jadi, vektor OP ditulis :

r = ai + bj Panjang vektor OP :

OP

O

P

y

xa

br

OP

OP

22 bar

Vektor Satuan dalam ruang Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y,

dan z diberi tanda : . Arahnya menggunakan kaidah tangan kanan.

ˆˆ ˆ, dan i j k

x

y

z

i

j

k

Komponen Vektor dlm ruang 3 Vektor OP di ruang dimensi 3 dinyatakan

dengan titik asal O dari sistem koordinat tegak lurus.

= ai + bj + ck dan

.

x

y

z

O

OP

P

L

ab

c

222 cbaOP

222 baOL 222 cOLOP

2222 cbaOP

Kosinus Arah (Rasio Arah) Arah suatu dalam vektor 3 dimensi ditentukan

oleh sudut-sudut yang dibuat vektor dengan ketiga sumbu acuannya.

Misalkan : = r = ai + bj + ck

x

yOa

b

c

z

r

P

OP

cosr

a

cosr

b

cosr

c

cosra

cosrb

cosrc

Dan

Kosinus arah vektor OP adalah .dengan :

2222 rcba 2222222 coscoscos rrrr

1coscoscos 222

nml ,,

cos

cos

cos

n

m

l

Latihan Tentukan kosinus/rasio arah dari vektor-vektor

berikut :1. 2. 3. 4. 5.

kjia 22kjib 263 kjic 245

Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali skalar dinotasikan dengan a.b ( dsb

juga ‘hasilkali titik’), yaitu :

Misalkan :cosabba

a

b

kajaiaa 321

kbjbibb 321

...ba

Hasilkali vektor dari dua vektor Hasilkali vektor a dan b ditulis a x b ( sering

dsb ‘hasilkali silang’), adalah vektor yang memiliki magnitudo

Vektor hasilkali mempunyai arah yang tegaklurus baik thd a maupun b denganarah sedemikian shg a, b, axb sesuaidengan kaidah tangan kanan.b x a = -(a x b)

sinab

b

a

a x b

b x a

sinabba

Jika

maka : a x b = ...

kajaiaa 321 kbjbibb 321

Sudut antara 2 vektor Sudut antara dua vektor adalah jumlah

hasilkali kosinus arah dari kedua vektor yng diketahui.

Misalkan kosinus arah vektor a = [l, m, n] kosinus arah vektor b = [l’, m’, n’]

Sudut antara vektor a dan b adalah :'''cos nnmmll

Latihan1. Carilah hasilkali skalar (a.b) dan hasilkali

vektor (axb), jika :

2. Hitunglah sudut antara vektor dan

kjikjia 32,2).( bakjikjib 25,432).( bakji 32

kji 253