*Fisika I*VEKTOR

*Fisika I*BAB I : VEKTORPerpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal. Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.

*Fisika I*PENJUMLAHAN VEKTORPenjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.bcaRSTT = R + S

*Fisika I*BESAR VEKTOR RESULTANJika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :Sudut menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S (1.1)

*Fisika I*PENGURANGAN VEKTORUntuk pengurangan vektor, misal A B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan. AB-BDD = A B

*Fisika I*CONTOHSebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !

*Fisika I*CONTOHJawab :40 km10 km20 km10 km40 kmABCD = A + B + CJika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

*Fisika I*VEKTOR SATUANVektor satuan didefenisikan sebagai :Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positifVektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positifVektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif(1.2)

*Fisika I*PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITISVektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + RzkBesar vektor R adalah : RRyRzRxVektor dalam 2 DimensiVektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat.

*Fisika I*CONTOHSebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :Vektor perpindahan dinyatakan secara analitisSudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X Panjang vektorJawab :(2,2)(-2,5)xyVektor perpindahan :R = (xujung xpangkal)i + (yujung ypangkal)jR = (-2 2)i + (5 2)j = -4i + 3jpangkalujungRxRya.

*Fisika I*CONTOHb.Besar vektor R = c.satuanSudut yang dibentuk :

*Fisika I*PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITISJika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :R = (x0 + +xi + +xn)i + (y0 + +yi + +yn)j xAxByAyBABxA + xBA + BAByA + yB(1.3)

*Fisika I*CONTOHDiketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i 4j Tentukan : a. A + B dan A + Bb. A B dan A BJawab :a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j = 5i 2j A + B = b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j A B = ABA + B-BA B

*Fisika I*SOAL1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan !

4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C

*Fisika I*SOLUSIR = Rxi + RyjDiketahui :Rx = R cos = 4 cos 60o = 2 satuanRy = R sin = 4 sin 60o = 2 satuanDengan demikian R = 2i + 2 j satuanVektor satuan :r = cos 60o + sin 60o = i + j

1.

*Fisika I*SOLUSIR = (x2 x1) i + (y2 y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0). Dengan demikian vektor R = 4 i 2 j.R = c. 2.

*Fisika I*SOLUSI4.a. A + B C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4jb. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j -5i + 12j = = 13 satuan

*Fisika I*PERKALIAN SKALARPerkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :A . B = AB cos (1.4)Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka : A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.

*Fisika I*PERKALIAN SKALARPerlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0Perhatikan animasi di samping ini !

*Fisika I*CONTOHDiketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B !Jawab :ABUntuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4). A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4Besar vektor A =Besar vektor B =Dengan demikian = 79,7oAB

*Fisika I*PERKALIAN VEKTORPerkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :A B = C(1.6) Besar vektor C adalah :C = AB sin (1.7)Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. BBAAC = A BC = B AC = -C

*Fisika I*PERKALIAN VEKTORPerlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i i = j j = k k = 0 i j = k ; j k = i; k i = j j i = -k ; k j = -i; i k = -jPerhatikan animasi di samping ini !

*Fisika I*PERKALIAN VEKTORUntuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :

*Fisika I*CONTOHDiketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i 2j + kTentukan : a. A B b. Buktikan A B = -B AJawab :A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 6k + 3(-j) + 16(-k) 8.0 + 4i = 4i 3j 22ka.B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k 6(-k) 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B terbuktib.

*Fisika I*SOALTentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j k dan vektor B = 3 i 4 k !Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j k terhadap arah vektor B = i + 3 j 4 k ! 3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j kB = 4 i + 2 j + 3 kC = 2 j 3 k Tentukan : a. A . (B C) b. A . (B + C) c. A (B + C)4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

*Fisika I*SOLUSIMenurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A :1.Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh :Dengan demikian = 55,1oBesar vektor B :2.Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :

*Fisika I*SOLUSIB C = (4i + 2j + 3k) (2j 3k) = 8(i j) 12(i k) 6(j k) + 6(k j) = 8k + 12j 12iA . (B C) = (i + 2j k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 8 = 4 3.a.B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j k).(4i + 4j) = 12b.A (B + C) = (i + 2j k) (4i + 4j) = i 4j 4kc.Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0 R . S = RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0 4.

*Fisika I*BESARAN FISISSetiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.

S = f(x1, x2, . . . , xn)(1.8)

S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.

Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja.

*Fisika I*BESARAN FISISTinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1. Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.yxx1x2x3x4y1y2y3

*Fisika I*BESARAN FISISDi bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. x(t) = (t 3)2

t (detik)x (meter)09142130415469716825936

*Fisika I*BESARAN FISISMedan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.

r (m)E (N/C)1922,253140,562550,3660,2570.183780,140690,1111100,09

*Fisika I*CONTOHSebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x !xFF =kx

*Fisika I* Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :Q(t) = q(1 e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t !2.CONTOHtQ = q(1 e-At)Qq

*Fisika I*DIFERENSIALDiferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. f(x)xcc+hf(c+h)f(c)Garis singgungLihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan :P(1.9)

*Fisika I*DIFERENSIALJika x = c dan x = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi : (1.10)Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : f(x)DxyBerlaku untuk turunan :Dx(cf(x)) = c Dxf(x)c : konstanta (1.11a)Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x)(1.11b)Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x))(1.11c)Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x)(1.11d)Dx(xn) = nXn-1(1.11e)

*Fisika I*DIFERENSIALDalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk :Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

*Fisika I*CONTOHMuatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :Q(t) = q(1 e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : Fungsi arus sebagai waktu Besar arus saat t = 0 Gambarkan grafik I(t)Jawab :Besar arus I :a.Pada saat t = 0 harga I adalah : I = qAe-A.0 = qAb.

*Fisika I*INTEGRALIntegral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x. Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8.

*Fisika I*Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x INTEGRALNilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi.Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.

*Fisika I*INTEGRALDalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain.Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk : Sebagai contoh :Usaha = Gaya jarakFluks = Medan luas

*Fisika I*CONTOHSebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab :Usaha yang dilakukan :a.

*Fisika I*SOALSebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : Grafik F terhadap x Perubahan Gaya F terhadap jarak Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm1.Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.2.Tentukan :Fungsi potensial V sebagai fungsi xJika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x)Gambarkan grafik E terhadap x

*Fisika I*SOALSebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : Gambarkan grafik v(t) Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) Gambarkan grafik a(t) Fungsi posisi x(t) terhadap waktu Posisi saat kecepatan v = 03.

*Fisika I*SOLUSI1. a.Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh = A 2Bx = 103 104x1. b.

*Fisika I*SOLUSIUsaha yang dilakukan :W = 36.10-4A 234.10-6B = 2,43 Joule1. c.2. a.Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b.Untuk titik (0,4)0.a + b = 4Untuk titik (10,8)10.a + b = 8Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4

*Fisika I*SOLUSIMedan listrik E(x) = Dengan demikian nilai E(x) konstan. 2. b.2. c.3. a.= 2,5

*Fisika I*SOLUSIKecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 2.32 = 12 m/s. 3. b.Percepatan a(t) = = 10 4t3. c.x (m)a (m/s2)3. d.

*Fisika I*SOLUSIFungsi posisi x(t) = 3. e.Saat v = 10t 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di :Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m3. f.x(5) =