TUGAS

METODE NUMERIK

Oleh

TRI MARGAWATI

2011 020 108

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN

KOMPUTER (STMIK)HANDAYANI MAKASSAR

2013

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT, karena karunia dan rahmat-Nya

maka penulis dapat menyelesaikan tugas Metode Numerik.

Penulisan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk

menyelesaikan tugas mata kuliah Metode Numerik di STMIK HANDAYANI.

Dalam Penulisan makalah ini penulis merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik

pada teknis penulisan maupun materi, seperti pepatah mengatakan: “Tak ada gading

yang tak retak”. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penulis harapkan

demi penyempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk

pengembangan wawasan dan peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Makassar, Juni 2013

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................................................... i

DAFTAR ISI ............................................................................................................. ii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................... 1

1.1. Latar Belakang ............................................................................................. 1

BAB II PEMBAHASAN ................................................................................................ 2

2.1 Metode Newton Raphson ............................................................................ 2

2.2 Metode Iterasi ............................................................................................. 8

2.3 Penyelesaian Sistem Persamaan linier dengan metode numerik ....................... 14

BAB III KESIMPULAN ................................................................................................ 19

BAB IV DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 20

BAB I PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Metode terbuka adalah lawan dari metode tertutup, dimana pada metode

tertutup diperlukan selang [a,b] dalam menentukan nilai hampiran akarnya. Dalam

metode terbuka tidak diperlukan selang, tetapi yang diperlukan adalah nilai awalnya.

Sehingga, hampiran akar diperoleh dari nilai hampiran akar yang ditentukan sebelumnya

melalui iterasi yang dilakukan. Terkadang hasil dari iterasi dapat mencapai nilai yang

konvergen, tetapi kadang-kadang menghasilkan nilai yang divergen. Tetapi apabila

iterasinya konvergen, konvergensinya akan lebih berlangsung lebih cepat dibandingkan

metode tertutup. Metode-metode yang termasuk ke dalam metode terbuka

diantaranya adalah metode Newton-Raphson, metode secant, dan metode iterasi

titik tetap. Disebut metode tebuka karena akarnya tidak selalu konvergen. Tidak

seperti pada metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan selang yang

mengurung akar. Yang diperlukan hanya sebuah tebakan awal akar atau dua buah

tebakan yang tidak perlu mengurung akar. Inilah alasannya mengapa metode ini

dinamakan metode terbuka.Hampiran akar sekarang didasarkan pada hampiran akar

sebelumnya melalui prosedur lelaran. Kadangkala lelaran konvergen ke akar sejati,

kadangkala divergen. Namun, apabila lelarannya konvergen, konvergensinya itu

berlangsung sangat cepat dibandingkan dengan metode tertutup.

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Metode Newton Raphson

Salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x), dengan

menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xiMetode Newton Raphson

merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan

non linier, diantara semua metode pencarian akar, metode Newton Raphson yang

paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa.

Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode

lainnya, dengan prinsip utama sebagai berikut :

1) Metode ini melakukan pendekatan erhadap kurva f(x)dengan garis singgung

(gradien) pada suatu titik nilai awal.

2) Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung (gradien) kurva

dengan sumbu X.

Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar persamaan, jika perkiraan

awal dari akar adalah xi, maka suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f (xi)).

Titik dari garis singgung tersebut memotong sumbu-x, biasanya memberikan perkiraan

yang lebih dekat dari nilai akar.

Metode Newton-Raphson juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear

f(x).

Rumus penyelesaian

Sedangkan persamaan non linear dapat diselesaikan jika memenuhi syarat sebagaimana

berikut :

dimana x1 adalah titik awal yang ditentukan sebelum melakukan iterasi

Pada Gambar, nampak bahwa turunan pertama pada xi adalah ekivalen dengan

kemiringan, yaitu:

Gambar Prosedur Newton Raphson secara Grafis

Kelemahan

Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa titik penyelesaian, maka akar-akar

penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan.

Tidak dapat mencari akar imajiner(kompleks).

Tidak dapat mencari akar persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan 2.4,

meskipun sebenarnya persamaan memiliki akar persamaan.

Untuk persamaan yang sangat kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua

sangatlah sulit.

Algoritma Metode Newton-Raphson :

Mencari turunan pertama dan kedua dari persamaan yang ada.

Menentukan nilai x1sebagai nilai perkiraan awal dan kemudian mengecek apakah

memenuhi persyaratan persamaan 2.4.

Jika memenuhi, maka iterasi dilakukan untuk mencari nilai xn.

Begitu seterusnya hingga antara xn-1-xn= 0 atau <= nilai e (error). Nilai errorini

dapat ditentukan sendiri.

Misal diketahui suatu fungsi f yang terderensialkan pada suatu selang yang

memuat akar. Ambil sebarang nilai awal x 0 . Karena f terderensial di x0,maka f

mempunyai garis singgung di x0. Asumsikan bahwa gradiennya tidak sama

dengan 0. Akibatnya garis singgung tersebut akan memotong sumbu x, sebut di

x1. Dengan cara yang sama, f di x1 juga mempunyai garis singgung yang tidak

nol, sehingga garis singgung tersebut akan memotong sumbu x di x2. Proses

berlanjut sehingga titik potong-titik potong tersebut akan konvergen keakar f.

Contoh Soal :

Carilah persamaan non linear dibawah ini dengan Metode Newton Raphson:

Langkah pertama, mencari turunan persamaan tersebut.

Langkah kedua, menentukan nilai x1, misalnya x1= 1.

Jadi

Karena syarat dipenuhi maka proses iterasi dapat dilanjutkan.

Langkah ketiga, melakukan iterasi persamaan 2.3 untuk mencari x, n jika e

(error) = Ex10-7.

Langkah keempat, karena selisih x lebih besar dari e dan bukan 0 maka

dan seterusnya hingga selisihnya sama dengan nol atau lebih kecil dari e.

Contoh Soal 2 :

Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0

f(x) = x - e-x f’(x)=1+e-x

f(x0) = 0 - e-0 = -1

f’(x0) = 1 + e-0 = 2

f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653

x2 =

f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762

x3 =

f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.

Sehingga akar persamaan x = 0,567143.

x - e-x = 0 x0 =0, e = 0.00001

x + e-x cos x -2 = 0 x0=1

f(x) = x + e-x cos x - 2

f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x

5,02

10

0

1

001

xf

xfxx

566311,060653,1

106531,05,0

1

1

11

xf

xfx

567143,056762,1

00130451,0566311,0

2

1

22

xf

xfx

Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada

titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 sehingga

nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai

berikut:

Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di

tak berhingga.

Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik

pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.

Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat

mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik

selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya

berbeda.

Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson :

Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut

harus di geser sedikit, xi = xi dimana adalah konstanta yang

ditentukan dengan demikian dan metode newton raphson tetap

dapat berjalan.

Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya

pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel,

sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.

2.2 Metode Iterasi

Metode Iterasi Titik Tetap

Metode ini merupakan metode iterasi yang cukup sederhana. Langkah-langkah

dalam metode ini adalah sebagai berikut. Misal suatu persamaan fungsi f(x),

maka akan dicari nilai hampiran akar dari f(x) dengan membuat f(x) = 0.

Prosedur metode Iterasi Titik Tetap adalah sebagai berikut :

1. Ubahlah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x=g(x). Lalu bentuklah menjadi

bentuk prosedur iterasi sebagai berikut :

2. Tentukanlah nilai hampiran akar (nilai awal x0).

3. Dari nilai awal x0 , hitunglah nilai x1,x2,x3,…yang mudah-mudahan konvergen ke

akar sejati s sedemikian hingga f(s) = 0 dan s=g(s).

4. Proses Iterasi akan berhenti apabila memenuhi kondisi dibawah ini.

01 ixF

atau apabila menggunakan galat relatif hampiran

Dengan nilai dan sudah ditentukan sebelumnya.

Contoh soal :

Carilah nilai hampiran dari fungsi dengan metode iterasi titik

tetap, dengan nilai

Penyelesaian :

Terdapat beberapa kemungkinan iterasi yang dapat dilakukan, karena kita dapat

mengubah fungsi f(x) kedalam tiga bentuk berikut :

Dari tiga kemungkinan tersebut dapat diperoleh iterasi yang berbeda-beda.

Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x

yang lain sehingga diperoleh : x = g(x).

Contoh :

x – ex = 0 ubah

x = ex atau g(x) = ex

g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini

Metode Iterasi Sederhana

Contoh Soal :

1. Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3

x2-2x-3 = 0

X2 = 2x + 3

Tebakan awal = 4

E = 0.00001

Hasil = 3

32 xx

321 nn xx

Contoh Soal :

2. x2-2x-3 = 0

X = (x2-3)/2

Tebakan awal = 4

E = 0.00001

Hasil divergen

Syarat Konvergensi :

Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap

Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x Є I iterasi konvergen monoton.

Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x Є I iterasi konvergen berosilasi.

Jika g’(x)>1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen monoton.

Jika g’(x)<-1 untuk setiap x Є I, maka iterasi divergen berosilasi.

Tebakan awal 4

G’(4) = 0.1508 < 1

Konvergen Monoton

Tebakan awal 4

G’(4) = |-0.75| < 1

Konvergen Berisolasi

322

1)('

32)(

321

r

r

rr

xxg

xxg

xx

2

1

)2(

3)('

)2(

3)(

)2(

3

xxg

xxg

xx

r

r

xxg

xxg

)('

2

)3()(

2

Tebakan awal 4

G’(4) = 4 > 1

Divergen Monoton

2.3 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dengan Metode Numerik

1. Pendahuluan

Informasi dalam bidang sains dan matematika seringkali ditampilkan dalam

bentuk baris-baris dan kolom-kolom yang membentuk jajar empat persegi panjang yang

disebut matriks Matriks seringkali merupakan tabel-tabel data numerik yang diperoleh

melalui pengamatan fisik, tetapi dapat juga muncul dalam berbagai macam konteks

matematis.

Charless (1993: 49) mendefinisikan matriks adalah suatu bilangan yang

berbentuk persegi panjang. Cara yang biasa digunakan untuk menuliskan sebuah

matriks dengan m baris dan n kolom, dan salah satu cara aplikasi penggunaaan

matriks untuk mempersingkat sistem persamaan linear cara seperti ini disebut matriks

diperbesar (Rorres, 2004: 25).

Aplikasi matriks yang disusun dalam bentuk matriks diperbesar banyak

mengilhami penyelesaian sistem persamaan linear, penyelesaian tersebut meliputi aturan

Crammer, Eliminasi Gauss, Invers Matriks, dalam penggunaan metode-metode tersebut

digunakan berbagai sifat-sifat operasi matriks.

2.Pengertian Metode Numerik

Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan

masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan

Tujuan Metode Numerik

Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan dengan

berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain :

• Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana.

Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat diselesaikan.

• Metode Grafik, metode ini digunakan Sebagai pendekatan penyelesaian yang

kompleks. Kendalanya bahwa metode ini Tidak akurat, sangat lama, dan banyak

membutuhkan waktu.

• Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup

lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data. Penggunaan metode numerik

diharapkan dapat mengatasi berbagai kelemahan-kelemahan metode yang ada

sebelumnya. Dapat dipahami pula bawa pada umumnya permasalahan dalam sains dan

teknologi digambarkan dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan

dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan

metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manual yang membosankan

. Sehinggga waktu dapat lebih banyak digunakan untuk tujuan yang lebih kreatif, seperti

penekanan pada formulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak terjebak dalam

rutinitas hitung menghitung.

Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan

persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika

biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya

angka. Jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan menggunakan

angka-angka. Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletak

pada dua hal.

Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka.

Bandingkan dengan metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk

fungsi matematik yang selanjutnya fungsi mateamtik tersebut dapat dievaluasi untuk

menghasilkan nilai dalam bentuk angka.

Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang

menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi

hampiran (approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat

seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati,

sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error).

1. Sistem Persamaan Linear

Suatu sistem sebarang dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui

dapat dituliskan sebagai:

dimana x1, x2, ... xn adalah faktor yang tidak diketahui, dan a dan b dengan subskrip

merupakan konstanta. Sebagai contoh, suatu sistem umum yang terdiri dari tiga

persamaan linear dengan empat faktor yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai:

Penulisan dua subkrip pada koefisien yang tidak diketahui merupakan yang berguna

untuk menyatakan lokasi koefisien dalam sistem tersebut. Subkrip yang pertama pada

koefisien aij menunjukkan persamaan di mana koefisien tersebut berada dan subskrip

yang kedua menunjukkan faktor yang tidak diketahui yang dikalikan dengan koefisien

tersebut. Sehingga a12 terletak pada persamaan pertama dan dikalikan dengan faktor

yang tak diketahui x2.

Matriks yang Diperbesar

Jika kita dapat mengingat lokasi-lokasi dari +, x dan =, maka suatu system persamaan

linear yang terdiri dari m peramaan dengan n faktor yang tidak diketahui dapat disingkat

dengan hanya menuliskan deretan bilangan-bilangan dalam jajaran empat persegi

panjang.

Ini disebut Matriks diperbesar (augment matrix) dari sistem tersebut, (Istilah matriks)

digunakan dalam matematika untuk menyatakan jajaran empat persegi panjang dari

bilangan-bilangan. Matriks muncul dalam banyak konteks, khususnya dalam penyelesaian

sistem persamaan linear.

Alternatif Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Secara Numerik dengan

Maple

Invers Matriks

Rorres (2004: 66), Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka

untuk setiap matriks b, n x 1, sistem persamaan Ax=b memiliki tepat satu solusi,

yaitu x = A-1b. A dapat dibalik (det (A) ≠ 0).

Metode Crammer

Rorres (2004: 123), Jika Ax = b adalah suatu sistem dari n persamaan linear

dengan n faktor yang tidak diketahui sedemikian sehingga det 0, maka sistem ini

memiliki solusi yang unik, solusinya adalah

di mana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom ke-j

dari A dengan entri-entri pada matriks.

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss diperkenalkan Karl Friendrich Gauss (1777 1855) dengan melakukan

mengubah matriks diperbesar dari suatu sistem persamaan linear menjadi matriks eselon

baris tereduksi. Rorres (2004: 13) setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi

yang unik; artinya kita akan memperoleh eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks

yang tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan. (Bukti hasil ini terdapat

pada artikel The Reduced Row Echelon Form of a Matrix Is Unique: A Simple Proof, oleh

Thomas Yuster, Matematichs Maganize, Vol 57 No 2 1984: 93-94), Sebaliknya Bentuk

eselon baris dari matriks tertentu adalah tidak unik: urutan-urutan operasi baris yang

berbeda akan menghasilkan bentuk-bentuk eselon baris yang berbeda pula.

Algoritma Eliminasi Gauss (Rorres, 2004: 9) adalah: mengubah matriks menjadi matriks

sehingga memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. Jika satu baris tidak seluruhnya nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris

itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama (leading 1).

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan

dikelompokkan bersama-sama pada bagian paling bawah dari matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka1

utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1

utama pada baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat-tempat lainya.

Metode Iterasi

Sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabel

x1, x2, ..., xn dinyatakan dengan

Sistem diatas dapat diekspresikan dengan bentuk perkalian matriks. Sistem persamaan

linear dapat diselesaikan dengan metode langsung atau metode iterasi.Kedua metode

tersebut mempunyai kelemahan dan keunggulan. Metode yang dipilih akan menentukan

keakuratan penyelesaian sistem tersebut. Dalam kasustertentu, yaitu sistem yang besar,

metode iterasi lebih cocok digunakan. Dalam menentukan penyelesaian sistem

persamaan linear, metode iterasi menggunakan algoritma secara rekursif. Algoritma

tersebut dilakukan sampai diperoleh suatu nilai yang konvergen dengan toleransi yang

diberikan. Ada dua metode iterasi yang sering digunakan, yaitu metode Jacobi dan

metode Gauss-Seidel. MetodeJacobi dikenalkan oleh Carl Jacobi (1804-1851) dan metode

Gauss-Seidel dikenalkanoleh Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dan Philipp Ludwig

vonSeidel (1821-1896).

BAB III KESIMPULAN

3.1 Kesimpulan

Berbagai cara yang digunakan untuk menentukan solusi suatu system persamaan

linear maupun persamaan nonlinier kelebihan dan kekurangan tersebut dapat ditutupi

satu sama lain, tinggal kita sebagai pemakai jeli dalam mengaplikasikannya,

perkembangan teknologi tidak membuat kita semakin malas untuk mencoba dengan cara

manual, tetapi menjadi suatu tantangan dan menjadi alat pengetes dari apa yang kita

peroleh dengan metode manual, terkadang ada persoalan-persoalan yang kita dapatkan

tidak bisa diselesaikan dengan teknologi yang berkembang saat ini, demikian sebaliknya.

BAB IV DAFTAR PUSTAKA

http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-linear-metode-iterasi.pdf

http://mohtar.staff.uns.ac.id/files/2009/05/kuliah-2.pdf

http://199.91.153.62/qcu2qqst9akg/ycq2gzz2uirdgre/Metode+Numerik5.pdf

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196909291994122-

DEWI_RACHMATIN/HANDSOUT_METODE_NUMERIK/untuk_dprint_HAND_OUT_metnum.

pdf