Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT

MetodeNumerikBiseksi

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

DefinisiMetodeBiseksi

Kelebihan danKekuranganMetodeBiseksi

AlgoritmaMetodeNumerikBiseksi

Contoh SoalMetodeNumerikBiseksi

Pembahasan

Metode Numerik Biseksi

Ari Nur Pita Sari1384202051

Prodi MatematikaFakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanMuhammadiyah University of Tangerang

27 Maret 2016

1 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Metode Biseksi

1 Definisi Metode Biseksi

2 Kelebihan dan Kekurangan Metode Biseksi

3 Algoritma Metode Numerik Biseksi

4 Contoh Soal Metode Numerik Biseksi

5 Pembahasan

2 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Definisi Metode Biseksi

Metode Biseksi adalah metode yang digunakan untukmenentukan akar persamaan non linear melalui proses iterasi.Sama seperti metode - metode sebelumnya yaitu sepertiGolden Rasio dan Fibonacci.Tetapi Metode Biseksi berbeda sedikit dengan metode numeriksebelumnya. Jika Golden Ratio dan Fibonacci tidakmemerlukan turunan f

′(x), sedangkan di dalam Metode Biseksi

memerlukan itu.

3 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Definisi Metode Biseksi

Metode Biseksi adalah metode yang digunakan untukmenentukan akar persamaan non linear melalui proses iterasi.Sama seperti metode - metode sebelumnya yaitu sepertiGolden Rasio dan Fibonacci.Tetapi Metode Biseksi berbeda sedikit dengan metode numeriksebelumnya. Jika Golden Ratio dan Fibonacci tidakmemerlukan turunan f

′(x), sedangkan di dalam Metode Biseksi

memerlukan itu.

3 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Kelebihan dan Kekurangan Metode Biseksi

• Kelebihan Metode Numerik BiseksiSangat simple dan Konvergen Terjamin

• Kekurangan Metode Numerik BiseksiProses Konvergen Lamban

4 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

4 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

4 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Algoritma Metode Numerik Biseksi

Metode Analitik

• Menentukan titik ekstrim dari fungsi f(x) denganpersamaan f ′(x) = 0

• Mengecek titik ekstrim sebagai peminimal ataupemaksimal fungsi f(x) dengan cara mensubtitusikan titikekstrim tersebut ke dalam fungsi f”(x)

• Jika f”(x) > 0 maka nilai x adalah peminimal fungsi f(x)

• Jika f”(x) < 0 maka nilai x adalah pemaximal fungsi f(x)

5 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Metode Analitik

5 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Metode Analitik

5 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Metode Analitik

5 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Metode Analitik

5 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Metode Biseksi

• Pertama :Tentukan a1 dan b1 dari selang, L dan δDengan L= bk − ak

• Kedua :Tentukan n terkecil yang memenuhi(

≤ 2δ

• Ketiga :Penentuan λk adalah sebagai berikut:

λk =ak + bk

6 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Metode Biseksi

≤ 2δ

λk =ak + bk

6 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Metode Biseksi

≤ 2δ

λk =ak + bk

6 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan Metode Biseksi

• Keempat :Kita cek kondisi 1 atau kondisi 2Dengan cara menentukan f

′(λk) sesuai dengan fungsi

f(x) yang telah ditentukan.Kondisi 1: Jika f

′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1

• Kelima :iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ

7 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1

7 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1

7 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1

7 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Contoh Soal

Carilah nilai x yang meminimumkan fungsi f(x) = x2 − 2x− 8dengan δ = 0, 1 dan selang{

−a,∑

NIM}≤ x ≤

{a,∑

dengan menggunakan Metode Numerik Biseksi?

8 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Jawab:

Menentukan Selang :−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5∑NIM = 1 + 3 + 8 + 4 + 2 + 0 + 2 + 0 + 5 + 1 = 26

[−a,∑NIM ]≤x≤[a,

∑NIM ]

[−5, 26]≤x≤[5, 26]Selang awal [−5, 26 , 5, 26]Panjang selang L = 5, 26− (−5, 26) = 10, 52

9 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Jawab:

[−a,∑NIM ]≤x≤[a,

∑NIM ]

9 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Jawab:

[−a,∑NIM ]≤x≤[a,

∑NIM ]

9 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

Dengan Cara Analitik

• 1. Cari titik ekstrim fungsi f(x) dengan persamaanf ′(x) = 0f(x) = x2 − 2x− 8f ′(x) = 2x− 2f ′(x) = 0 maka 2x = 2 sehingga x = 2

• 2. Mengecek titik ekstrim sebagai peminimal ataupemaximal fungsi f(x)f ′(x) = 2x− 2f”(x) = 2, karena 2 > 0Jadi, x adalah peminimal fungsi f(x) karena 2 > 0Sehingga x = 1 adalah solusi Analitik

10 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

10 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

10 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

10 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

Dengan Cara Metode Biseksinahh, tadikan sudah didapatkan nilai L dan selang maka ikutilangkah(Algoritma) seperti yang diatas,

• Tentukan a1, b1 dan δa1= −5, 26b1=5, 26δ = 0, 1, artinya 2δ = 0.2

• Tentukan n terkecil yang memenuhi(1

≤ 2δ

11 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

≤ 2δ

11 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

≤ 2δ

11 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan Dengan Cara Metode Biseksi

≤ 0, 2

10, 52(1

52, 6(1

)≤ 1

Jadi n terkecil yang memenuhi adalah n = 6

12 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

≤ 0, 2

10, 52(1

52, 6(1

)≤ 1

12 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

≤ 0, 2

10, 52(1

52, 6(1

)≤ 1

12 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan Menghitung Iterasi

• Iterasi 1

• Penentuan λk :

λk =ak + bk

λ1 =a1 + b1

λ1 =−5, 26 + 5, 26

λ1 =0

λ1 = 0

13 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

• Iterasi 1

• Penentuan λk :

λk =ak + bk

λ1 =a1 + b1

λ1 =−5, 26 + 5, 26

λ1 =0

λ1 = 0

13 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

• Kita cek akan menggunakan kondisi 1 atau kondisi 2:f(λk) = λk

2 − 2λx − 8f

′(λ1) = 2λ1 − 2

f′(0) = 2(0)− 2

f′(0) = 0− 2 = −2

• bk − ak= b1 − a1= 5, 26− (−5, 26) = 10, 52

14 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

2 − 2λx − 8f

′(λ1) = 2λ1 − 2

f′(0) = 2(0)− 2

f′(0) = 0− 2 = −2

• bk − ak= b1 − a1= 5, 26− (−5, 26) = 10, 52

14 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

2 − 2λx − 8f

′(λ1) = 2λ1 − 2

f′(0) = 2(0)− 2

f′(0) = 0− 2 = −2

• bk − ak= b1 − a1= 5, 26− (−5, 26) = 10, 52

14 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

• Iterasi 2Dari Iterasi 1 bahwa f

′(λk) < 0,kita gunakan Kondisi 2

maka ambil λk dan bk sebagai :λk = ak+1 dan bk = bk+1

λ1 = a1+1 dan b1 = b1+1

0 = a2 dan 5, 26 = b2• Penentuan λk :

λk =ak + bk

λ2 =a2 + b2

λ2 =0 + 5, 26

15 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ1 = a1+1 dan b1 = b1+1

λk =ak + bk

λ2 =a2 + b2

λ2 =0 + 5, 26

15 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ1 = a1+1 dan b1 = b1+1

λk =ak + bk

λ2 =a2 + b2

λ2 =0 + 5, 26

15 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ1 = a1+1 dan b1 = b1+1

λk =ak + bk

λ2 =a2 + b2

λ2 =0 + 5, 26

15 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ2 =5, 26

λ2 = 2, 63

2 − 2λk − 8f

′(λ2) = 2λ2 − 2

f′(2, 63) = 2(2, 63)− 2

f′(2, 63) = 5, 26− 2 = 3, 26

• bk − ak= b2 − a2= 5, 26− 0 = 5, 26

16 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ2 =5, 26

λ2 = 2, 63

2 − 2λk − 8f

′(λ2) = 2λ2 − 2

f′(2, 63) = 2(2, 63)− 2

f′(2, 63) = 5, 26− 2 = 3, 26

• bk − ak= b2 − a2= 5, 26− 0 = 5, 26

16 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ2 =5, 26

λ2 = 2, 63

2 − 2λk − 8f

′(λ2) = 2λ2 − 2

f′(2, 63) = 2(2, 63)− 2

f′(2, 63) = 5, 26− 2 = 3, 26

• bk − ak= b2 − a2= 5, 26− 0 = 5, 26

16 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

′(λk) > 0,kita gunakan Kondisi 1

maka ambil λk dan ak sebagai :λk = bk+1 dan ak = ak+1

λ2 = b2+1 dan a2 = a2+1

2, 63 = b3 dan 0 = a3• Penentuan λk :

λk =ak + bk

λ3 =a3 + b3

λ3 =0 + 2, 63

17 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ2 = b2+1 dan a2 = a2+1

λk =ak + bk

λ3 =a3 + b3

λ3 =0 + 2, 63

17 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ2 = b2+1 dan a2 = a2+1

λk =ak + bk

λ3 =a3 + b3

λ3 =0 + 2, 63

17 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ2 = b2+1 dan a2 = a2+1

λk =ak + bk

λ3 =a3 + b3

λ3 =0 + 2, 63

17 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ3 =2, 63

λ3 = 1, 315

2 − 2λk − 8f

′(λ3) = 2λ3 − 2

f′(1, 315) = 2(1, 315)− 2

f′(1, 315) = 2, 63− 2 = 0, 63

• bk − ak= b3 − a3= 2, 63− 0 = 2, 63

18 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ3 =2, 63

λ3 = 1, 315

2 − 2λk − 8f

′(λ3) = 2λ3 − 2

f′(1, 315) = 2(1, 315)− 2

f′(1, 315) = 2, 63− 2 = 0, 63

• bk − ak= b3 − a3= 2, 63− 0 = 2, 63

18 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ3 =2, 63

λ3 = 1, 315

2 − 2λk − 8f

′(λ3) = 2λ3 − 2

f′(1, 315) = 2(1, 315)− 2

f′(1, 315) = 2, 63− 2 = 0, 63

• bk − ak= b3 − a3= 2, 63− 0 = 2, 63

18 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ3 = b3+1 dan a3 = a3+1

λk =ak + bk

λ4 =a4 + b4

λ4 =0 + 1, 315

19 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ3 = b3+1 dan a3 = a3+1

λk =ak + bk

λ4 =a4 + b4

λ4 =0 + 1, 315

19 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ3 = b3+1 dan a3 = a3+1

λk =ak + bk

λ4 =a4 + b4

λ4 =0 + 1, 315

19 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ3 = b3+1 dan a3 = a3+1

λk =ak + bk

λ4 =a4 + b4

λ4 =0 + 1, 315

19 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ4 =1, 315

λ4 = 0, 6575

2 − 2λk − 8f

′(λ4) = 2λ4 − 2

f′(0, 6575) = 2(0, 6575)− 2

f′(0, 6575) = 1, 315− 2 = −0, 685

• bk − ak= b4 − a4= 1, 315− 0 = 1, 315

20 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ4 =1, 315

λ4 = 0, 6575

2 − 2λk − 8f

′(λ4) = 2λ4 − 2

f′(0, 6575) = 2(0, 6575)− 2

f′(0, 6575) = 1, 315− 2 = −0, 685

• bk − ak= b4 − a4= 1, 315− 0 = 1, 315

20 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ4 =1, 315

λ4 = 0, 6575

2 − 2λk − 8f

′(λ4) = 2λ4 − 2

f′(0, 6575) = 2(0, 6575)− 2

f′(0, 6575) = 1, 315− 2 = −0, 685

• bk − ak= b4 − a4= 1, 315− 0 = 1, 315

20 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ4 = a4+1 dan b4 = b4+1

0, 6575 = a5 dan 1, 315 = b5• Penentuan λk :

λk =ak + bk

λ5 =a5 + b5

λ5 =0, 6575 + 1, 315

21 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ4 = a4+1 dan b4 = b4+1

λk =ak + bk

λ5 =a5 + b5

λ5 =0, 6575 + 1, 315

21 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ4 = a4+1 dan b4 = b4+1

λk =ak + bk

λ5 =a5 + b5

λ5 =0, 6575 + 1, 315

21 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ4 = a4+1 dan b4 = b4+1

λk =ak + bk

λ5 =a5 + b5

λ5 =0, 6575 + 1, 315

21 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ5 =1, 9725

λ5 = 0, 98625

2 − 2λk − 8f

′(λ5) = 2λ5 − 2

f′(0, 98625) = 2(0, 98625)− 2

f′(0, 98625) = 1, 9725− 2 = −0, 0275

• bk − ak= b5 − a5= 1, 315− 0, 6575 = 0, 6575

22 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ5 =1, 9725

λ5 = 0, 98625

2 − 2λk − 8f

′(λ5) = 2λ5 − 2

f′(0, 98625) = 2(0, 98625)− 2

f′(0, 98625) = 1, 9725− 2 = −0, 0275

• bk − ak= b5 − a5= 1, 315− 0, 6575 = 0, 6575

22 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ5 =1, 9725

λ5 = 0, 98625

2 − 2λk − 8f

′(λ5) = 2λ5 − 2

f′(0, 98625) = 2(0, 98625)− 2

f′(0, 98625) = 1, 9725− 2 = −0, 0275

• bk − ak= b5 − a5= 1, 315− 0, 6575 = 0, 6575

22 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ5 = a5+1 dan b5 = b5+1

λk =ak + bk

λ6 =a6 + b6

λ6 =0, 98625 + 1, 315

23 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ5 = a5+1 dan b5 = b5+1

λk =ak + bk

λ6 =a6 + b6

λ6 =0, 98625 + 1, 315

23 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ5 = a5+1 dan b5 = b5+1

λk =ak + bk

λ6 =a6 + b6

λ6 =0, 98625 + 1, 315

23 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ5 = a5+1 dan b5 = b5+1

λk =ak + bk

λ6 =a6 + b6

λ6 =0, 98625 + 1, 315

23 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ6 =2, 30125

λ6 = 1, 150625

2 − 2λk − 8f

′(λ6) = 2λ6 − 2

f′(1, 150625) = 2(1, 150625)− 2

f′(1, 150625) = 2, 30125− 2 = 0, 30125

• bk − ak= b6 − a6= 1, 315− 0, 98625 = 0, 32875

24 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ6 =2, 30125

λ6 = 1, 150625

2 − 2λk − 8f

′(λ6) = 2λ6 − 2

f′(1, 150625) = 2(1, 150625)− 2

f′(1, 150625) = 2, 30125− 2 = 0, 30125

• bk − ak= b6 − a6= 1, 315− 0, 98625 = 0, 32875

24 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ6 =2, 30125

λ6 = 1, 150625

2 − 2λk − 8f

′(λ6) = 2λ6 − 2

f′(1, 150625) = 2(1, 150625)− 2

f′(1, 150625) = 2, 30125− 2 = 0, 30125

• bk − ak= b6 − a6= 1, 315− 0, 98625 = 0, 32875

24 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ6 = b6+1 dan a6 = a6+1

1, 150625 = b7 dan 0, 98625 = a7

• bk − ak= b7 − a7= 1, 150625− 0, 98625 = 0, 164375Karena 0, 136875 < 2δ, sehingga perhitungan Iterasiberhenti di Iterasi 7

25 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

λ6 = b6+1 dan a6 = a6+1

1, 150625 = b7 dan 0, 98625 = a7

• bk − ak= b7 − a7= 1, 150625− 0, 98625 = 0, 164375Karena 0, 136875 < 2δ, sehingga perhitungan Iterasiberhenti di Iterasi 7

25 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan Tabel Iterasi

Lanjutan

Dengan konsep algoritma biseksi yang telah dijelaskan di atas,maka perhitungan disajikan dalam tabel Iterasi dibawah ini

Iterasi ak bk λk1 -5,26 5,26 02 0 5,26 2,363 0 2,63 1,3154 0 1,315 0,65755 0,6575 1,315 0,986256 0,98625 1,315 1,1506257 0,98625 1,150625 ...

26 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

Dengan konsep algoritma biseksi yang telah dijelaskan di atas,maka perhitungan disajikan dalam tabel Iterasi dibawah ini

Iterasi ak bk λk1 -5,26 5,26 02 0 5,26 2,363 0 2,63 1,3154 0 1,315 0,65755 0,6575 1,315 0,986256 0,98625 1,315 1,1506257 0,98625 1,150625 ...

26 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

f′(λk) bk − ak < 2δ Keterangan

-2 10, 52 > 2δ Kondisi 23,26 5, 26 > 2δ Kondisi 10,63 2, 63 > 2δ Kondisi 1

-0,685 1, 315 > 2δ Kondisi 2-0,0275 0, 6575 > 2δ Kondisi 20,30125 0, 32875 > 2δ Kondisi 1

... 0, 164375 < 2δ ...

27 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan Menghitung x∗

Lanjutan

Dengan demikian diperoleh

x∗ = ak +

(bk − ak

x∗ = a7 +

(b7 − a7

)x∗ = 0, 98625 +

(1, 150625− 0, 98625

)x∗ = 0, 98625 + 0, 082187x∗ = 1, 068437≈1Jadi, nilai x yang memaximalkan fungsi f(x) = x2 − 2x− 8adalah 1, 068437≈1

28 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

x∗ = ak +

(bk − ak

x∗ = a7 +

(b7 − a7

)x∗ = 0, 98625 +

(1, 150625− 0, 98625

28 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

Lanjutan

x∗ = ak +

(bk − ak

x∗ = a7 +

(b7 − a7

)x∗ = 0, 98625 +

(1, 150625− 0, 98625

28 / 29

Ari Nur PitaSari

13842020516B1

Pembahasan

29 / 29

Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT

Science

Transcript of Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT