Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT

Tugas KelompokMetode Numerik Biseksi

Dimas Febriyan (1384202209)Dwi Wahyuningrum (1384202011)Nur Aliyah (1384202043)Nur Ukhti Salamah (1384202147)

09 Maret 2016

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Algoritma Biseksi

1 Tentukan a1, b1, dan δ

2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1

≤ 2δ

3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:

λk =ak + bk

4 Tentukan kondisi yang akan digunakan

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1

5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ

Algoritma Biseksi

≤ 2δ

λk =ak + bk

Algoritma Biseksi

≤ 2δ

λk =ak + bk

Algoritma Biseksi

≤ 2δ

λk =ak + bk

Algoritma Biseksi

≤ 2δ

λk =ak + bk

Algoritma Biseksi

≤ 2δ

λk =ak + bk

Contoh Soal

Carilah nilai x yang memaksimumkan

f (x) = 1, 5x− x2

dengan δ = 0.1 dan selang

−1 ≤ x ≤ 1

Dengan metode numerik Biseksi.

Solusi

Metode Analitik

f (x) = 1, 5x− x2

Kita turunkan terhadap fungsi x

f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0

1, 5 = 2x

x =1, 5

2= 0, 75

Solusi

Metode Analitik

f (x) = 1, 5x− x2

Kita turunkan terhadap fungsi x

f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0

1, 5 = 2x

x =1, 5

2= 0, 75

f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0

Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x

f ′′ (x) = −2

Karena f′′< 0, maka dapat disimpulkan bahwa

x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi

f (x) = 1, 5x− x2

f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0

Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x

f ′′ (x) = −2

Karena f′′< 0, maka dapat disimpulkan bahwa

x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi

f (x) = 1, 5x− x2

Metode Numerik Biseksi

Karena selangnya

−1 ≤ x ≤ 1

maka a1 = −1 dan b1 = 1

Panjang selangnya

L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2

Karena selangnya

−1 ≤ x ≤ 1

maka a1 = −1 dan b1 = 1

Panjang selangnya

L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2

Karena selangnya

−1 ≤ x ≤ 1

maka a1 = −1 dan b1 = 1

Panjang selangnya

L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2

Karena selangnya

−1 ≤ x ≤ 1

maka a1 = −1 dan b1 = 1

Panjang selangnya

L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2

Dicari nilai n terkecil(1

Maka nilai n = 4,karena(1

Iterasi 1

• a1 = −1b1 = 1

λ1 =a1 + b1

2=−1 + 1

• Substitusikan λ1 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ1) = 1, 5− 2λ1 = 1, 5− 2(0) = 1, 5

Iterasi 1

• a1 = −1b1 = 1

λ1 =a1 + b1

2=−1 + 1

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ1) = 1, 5− 2λ1 = 1, 5− 2(0) = 1, 5

Iterasi 1

• a1 = −1b1 = 1

λ1 =a1 + b1

2=−1 + 1

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ1) = 1, 5− 2λ1 = 1, 5− 2(0) = 1, 5

Iterasi 2

I Karenaf ′ (λ1) > 0

maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :

λ1 = a2 = 0

danb1 = b2 = 1

Iterasi 2

λ1 = a2 = 0

danb1 = b2 = 1

I Maka

λ2 =a2 + b2

2= 0, 5

I Subtitusikan λ2 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

I Sehingga

f ′ (λ2) = 1, 5− 2λ2 = 1, 5− 2(0, 5) = 0, 5

I Maka

λ2 =a2 + b2

2= 0, 5

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

I Sehingga

f ′ (λ2) = 1, 5− 2λ2 = 1, 5− 2(0, 5) = 0, 5

I Maka

λ2 =a2 + b2

2= 0, 5

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

I Sehingga

f ′ (λ2) = 1, 5− 2λ2 = 1, 5− 2(0, 5) = 0, 5

Iterasi 3

Karenaf ′ (λ2) > 0

λ2 = a3 = 0, 5

danb2 = b3 = 1

Iterasi 3

Karenaf ′ (λ2) > 0

λ2 = a3 = 0, 5

danb2 = b3 = 1

λ3 =a3 + b3

0, 5 + 1

2= 0, 75

Subtitusikan λ3 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ3) = 1, 5− 2λ3 = 1, 5− 2(0, 75) = 0

λ3 =a3 + b3

0, 5 + 1

2= 0, 75

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ3) = 1, 5− 2λ3 = 1, 5− 2(0, 75) = 0

λ3 =a3 + b3

0, 5 + 1

2= 0, 75

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ3) = 1, 5− 2λ3 = 1, 5− 2(0, 75) = 0

Karenaf ′ (λ3) = 0

maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitumenggunakan kondisi 1 dan 2.Dimana :

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan

bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan

ak = ak+1

Karenaf ′ (λ3) = 0

maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitumenggunakan kondisi 1 dan 2.Dimana :

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan

bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan

ak = ak+1

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0

Iterasi 4

• Karena f′(λk) > 0, maka diambil λk dan bk,

masing-masing sebagai :

λ3 = a4 = 0, 75

danb3 = b4 = 1

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0

Iterasi 4

• Karena f′(λk) > 0, maka diambil λk dan bk,

λ3 = a4 = 0, 75

danb3 = b4 = 1

• Maka

λ4 =a4 + b4

0, 75 + 1

2= 0, 875

• Subtitusikan λ4 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 875) = −0, 25

• Maka

λ4 =a4 + b4

0, 75 + 1

2= 0, 875

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 875) = −0, 25

• Maka

λ4 =a4 + b4

0, 75 + 1

2= 0, 875

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 875) = −0, 25

Iterasi 5

I Karenaf ′ (λ4) < 0

maka diambil λk dan ak, masing-masingsebagai :

λ4 = b5 = 0, 875

dana4 = a5 = 0, 75

Iterasi 5

I Karenaf ′ (λ4) < 0

maka diambil λk dan ak, masing-masingsebagai :

λ4 = b5 = 0, 875

dana4 = a5 = 0, 75

I Sehingga

x∗ = ak +

(bk − ak

)= 0, 75 +

(0, 125

= 0, 75 + 0, 0625 = 0, 8125

x∗ ≈ 0, 75

Tabel Iterasi Kondisi 1

• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperolehperhitungan sbb :

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0

Iterasi 4

Karena f′(λk) < 0, maka diambil λk dan bk,

λ3 = b4 = 0, 75

dana3 = a4 = 0, 5

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0

Iterasi 4

Karena f′(λk) < 0, maka diambil λk dan bk,

λ3 = b4 = 0, 75

dana3 = a4 = 0, 5

λ4 =a4 + b4

0, 5 + 0, 75

2= 0, 625

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 625) = 0, 25

λ4 =a4 + b4

0, 5 + 0, 75

2= 0, 625

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 625) = 0, 25

λ4 =a4 + b4

0, 5 + 0, 75

2= 0, 625

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 625) = 0, 25

Iterasi 5

λ4 = a5 = 0, 625

danb4 = b5 = 0, 75

Iterasi 5

λ4 = a5 = 0, 625

danb4 = b5 = 0, 75

I Sehingga

x∗ = ak +

(bk − ak

)= 0, 625 +

(0, 125

= 0, 625 + 0, 0625 = 0, 6875

x∗ ≈ 0, 75

Tabel Iterasi Kondisi 2

• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperolehperhitungan sbb :

Setelah dilakukan percobaan tersebut,menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,keduanya menghasilkan

x∗ ≈ 0, 75

Dengan menggunakan Metode Analitikataupun Metode Biseksi menghasilkanx = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkanbahwa x = 0, 75 merupakan pembuatmaksimal fungsi

f (x) = 1, 5x− x2

Setelah dilakukan percobaan tersebut,menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,keduanya menghasilkan

x∗ ≈ 0, 75

Dengan menggunakan Metode Analitikataupun Metode Biseksi menghasilkanx = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkanbahwa x = 0, 75 merupakan pembuatmaksimal fungsi

f (x) = 1, 5x− x2

Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT

Science

Transcript of Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT