PERSAMAAN NON LINIER METODE TERTUTUP (BISEKSI DAN REGULA FALSI)
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
-
Upload
rukmono-budi-utomo -
Category
Science
-
view
94 -
download
1
Transcript of Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
Tugas KelompokMetode Numerik Biseksi
Dimas Febriyan (1384202209)Dwi Wahyuningrum (1384202011)Nur Aliyah (1384202043)Nur Ukhti Salamah (1384202147)
09 Maret 2016
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1
2
)n
≤ 2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1
2
)n
≤ 2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1
2
)n
≤ 2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1
2
)n
≤ 2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1
2
)n
≤ 2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1
2
)n
≤ 2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Contoh Soal
Carilah nilai x yang memaksimumkan
f (x) = 1, 5x− x2
dengan δ = 0.1 dan selang
−1 ≤ x ≤ 1
Dengan metode numerik Biseksi.
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Solusi
Metode Analitik
f (x) = 1, 5x− x2
Kita turunkan terhadap fungsi x
f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0
1, 5 = 2x
x =1, 5
2= 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Solusi
Metode Analitik
f (x) = 1, 5x− x2
Kita turunkan terhadap fungsi x
f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0
1, 5 = 2x
x =1, 5
2= 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0
Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x
f ′′ (x) = −2
Karena f′′< 0, maka dapat disimpulkan bahwa
x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x− x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0
Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x
f ′′ (x) = −2
Karena f′′< 0, maka dapat disimpulkan bahwa
x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x− x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Dicari nilai n terkecil(1
2
)n
62δ
L=
0, 2
2=
1
10
Maka nilai n = 4,karena(1
2
)4
=1
166
1
10=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Dicari nilai n terkecil(1
2
)n
62δ
L=
0, 2
2=
1
10
Maka nilai n = 4,karena(1
2
)4
=1
166
1
10=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Dicari nilai n terkecil(1
2
)n
62δ
L=
0, 2
2=
1
10
Maka nilai n = 4,karena(1
2
)4
=1
166
1
10=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 1
• a1 = −1b1 = 1
λ1 =a1 + b1
2=−1 + 1
2=
0
2= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
• Sehingga
f ′ (λ1) = 1, 5− 2λ1 = 1, 5− 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 1
• a1 = −1b1 = 1
λ1 =a1 + b1
2=−1 + 1
2=
0
2= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
• Sehingga
f ′ (λ1) = 1, 5− 2λ1 = 1, 5− 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 1
• a1 = −1b1 = 1
λ1 =a1 + b1
2=−1 + 1
2=
0
2= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
• Sehingga
f ′ (λ1) = 1, 5− 2λ1 = 1, 5− 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 2
I Karenaf ′ (λ1) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :
λ1 = a2 = 0
danb1 = b2 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 2
I Karenaf ′ (λ1) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :
λ1 = a2 = 0
danb1 = b2 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
I Maka
λ2 =a2 + b2
2=
0 + 1
2=
1
2= 0, 5
I Subtitusikan λ2 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
I Sehingga
f ′ (λ2) = 1, 5− 2λ2 = 1, 5− 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
I Maka
λ2 =a2 + b2
2=
0 + 1
2=
1
2= 0, 5
I Subtitusikan λ2 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
I Sehingga
f ′ (λ2) = 1, 5− 2λ2 = 1, 5− 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
I Maka
λ2 =a2 + b2
2=
0 + 1
2=
1
2= 0, 5
I Subtitusikan λ2 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
I Sehingga
f ′ (λ2) = 1, 5− 2λ2 = 1, 5− 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 3
Karenaf ′ (λ2) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :
λ2 = a3 = 0, 5
danb2 = b3 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 3
Karenaf ′ (λ2) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :
λ2 = a3 = 0, 5
danb2 = b3 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Maka
λ3 =a3 + b3
2=
0, 5 + 1
2=
1, 5
2= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
Sehingga
f ′ (λ3) = 1, 5− 2λ3 = 1, 5− 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Maka
λ3 =a3 + b3
2=
0, 5 + 1
2=
1, 5
2= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
Sehingga
f ′ (λ3) = 1, 5− 2λ3 = 1, 5− 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Maka
λ3 =a3 + b3
2=
0, 5 + 1
2=
1, 5
2= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
Sehingga
f ′ (λ3) = 1, 5− 2λ3 = 1, 5− 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Karenaf ′ (λ3) = 0
maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitumenggunakan kondisi 1 dan 2.Dimana :
Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan
bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan
ak = ak+1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Karenaf ′ (λ3) = 0
maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitumenggunakan kondisi 1 dan 2.Dimana :
Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan
bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan
ak = ak+1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0
Iterasi 4
• Karena f′(λk) > 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = a4 = 0, 75
danb3 = b4 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0
Iterasi 4
• Karena f′(λk) > 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = a4 = 0, 75
danb3 = b4 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
• Maka
λ4 =a4 + b4
2=
0, 75 + 1
2=
1, 75
2= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
• Sehingga
f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
• Maka
λ4 =a4 + b4
2=
0, 75 + 1
2=
1, 75
2= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
• Sehingga
f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
• Maka
λ4 =a4 + b4
2=
0, 75 + 1
2=
1, 75
2= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
• Sehingga
f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 5
I Karenaf ′ (λ4) < 0
maka diambil λk dan ak, masing-masingsebagai :
λ4 = b5 = 0, 875
dana4 = a5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 5
I Karenaf ′ (λ4) < 0
maka diambil λk dan ak, masing-masingsebagai :
λ4 = b5 = 0, 875
dana4 = a5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
I Sehingga
x∗ = ak +
(bk − ak
2
)= 0, 75 +
(0, 125
2
)
= 0, 75 + 0, 0625 = 0, 8125
x∗ ≈ 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Tabel Iterasi Kondisi 1
• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperolehperhitungan sbb :
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0
Iterasi 4
Karena f′(λk) < 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = b4 = 0, 75
dana3 = a4 = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0
Iterasi 4
Karena f′(λk) < 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = b4 = 0, 75
dana3 = a4 = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Maka
λ4 =a4 + b4
2=
0, 5 + 0, 75
2=
1, 25
2= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
Sehingga
f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Maka
λ4 =a4 + b4
2=
0, 5 + 0, 75
2=
1, 25
2= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
Sehingga
f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Maka
λ4 =a4 + b4
2=
0, 5 + 0, 75
2=
1, 25
2= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f ′ (λ) = 1, 5− 2λ
Sehingga
f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 5
I Karenaf ′ (λ4) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :
λ4 = a5 = 0, 625
danb4 = b5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Iterasi 5
I Karenaf ′ (λ4) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :
λ4 = a5 = 0, 625
danb4 = b5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
I Sehingga
x∗ = ak +
(bk − ak
2
)= 0, 625 +
(0, 125
2
)
= 0, 625 + 0, 0625 = 0, 6875
x∗ ≈ 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Tabel Iterasi Kondisi 2
• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperolehperhitungan sbb :
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Setelah dilakukan percobaan tersebut,menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,keduanya menghasilkan
x∗ ≈ 0, 75
Dengan menggunakan Metode Analitikataupun Metode Biseksi menghasilkanx = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkanbahwa x = 0, 75 merupakan pembuatmaksimal fungsi
f (x) = 1, 5x− x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Setelah dilakukan percobaan tersebut,menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,keduanya menghasilkan
x∗ ≈ 0, 75
Dengan menggunakan Metode Analitikataupun Metode Biseksi menghasilkanx = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkanbahwa x = 0, 75 merupakan pembuatmaksimal fungsi
f (x) = 1, 5x− x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang