ANALISA NUMERIK

1. Tinjauan Matematik

Prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari metode numerik adalah matematika.

Matematika adalah ilmu dasar, jadi anda diharapkan sudah memiliki pengetahuan mengenai

konsep fungsi, geometri, konsep kalkulus seperti turunan dan integral, dan sebagainya. Tidak

paham terlalu dalam tidak apa, yang penting anda mengerti.

a. Bilangan Signifikan

Angka penting / significant merupakan bilangan yang diperoleh dari hasil pengukuran

yang terjadi dari angka-angka penting yang sudah pasti (terbaca pada alat ukur) dan suatu angka

terakhir yang ditafsir atau diragukan.

Tujuan dari pengukuran adalah menunjukkan hasil pengukuran tersebut pada orang lain

sehingga orang tersebut mengerti dan paham. Untuk itu diperlukan suatu aturan agar penyajian

hasil pengukuran tersebut mudah dipahami dan tetap memberikan keakuratan yang dibutuhkan.

Aturan yang dimaksud di atas adalah aturan angka penting.

Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai

tersebut diterima atau tidak. Sebagai contoh perhatikan nilai pada penggaris :

40 50 70

Nilai yang ditunjuk tidak tepat pada angka yang ditentukan karena selisih 1 strip, dalam

kejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60. Bila penggaris tersebut

dilihat dengan skala lebih besar pada daerah yang ditunjuk oleh jarum :

40 50 60 70

Dari gambar ini, dengan nilai signifikan 10-1 (0,1) maka diperoleh nilainya 59 atau 59,5.

b. Deret Taylor

Dalam matematika, deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan

tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik.

Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama

dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut

dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin.

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan

takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil ataukompleks a adalah deret pangkat

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

dengan n! melambangkan faktorial n dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f

pada titik a. Turunan kenol dari  f  didefinisikan sebagai  f  itu sendiri, dan (x − a)0 dan 0!

didefinisikan sebagai 1. Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret

Maclaurin.

2. Akar Persamaan

a. Metoda Tertutup

a) Grafis

Pencarian akar persamaan nonlinier dengan menggunakan metode grafik merupakan cara

paling sederhana dibandingkan dengan metode numerik yang ada. Untuk mendapatkan akar-akar

persamaan ini cukup dilakukan pengeplotan fungsi yang akan dicari akar persamaannya dalam

ranah tertentu. Sebagai contoh, misalnya diinginkan akar-akar persamaan dari fungsi

f ( x )=x sin ( π .x )−exp (−x ) . Kita dapat mengeplot secara sederhana fungsi tersebut dengan

menggunakan salah satu paket software matematika dengan menggunakan Matlab.

Dengan menarik garis perpotongan antara grafik f (x) dengan sumbu -x, maka kita dapat

memperkirakan akar-akar persamaan yang dimilikinya. Satu akar persamaan terletak kira-kira di

x = 0,59 dan yang lain berkisar di x = 0,81. Hasil yang diperoleh tentunya relatif kasar jika

dibandingkan dengan menggunakan metode numeric.

b) Bagi dua (Bisection)

Metoda interval bagi-dua atau disebut juga metoda interval tengah adalah salah satu cara

yang sering digunakan untuk mencari suatu akar. Misalkan kita mengetahui bahwa f(x) = 0

memiliki satu akar antara x = a dan x = b ; maka f(a) dan f(b) memiliki tanda berlawanan

(diasumsikan bahwa grafik f(x) adalah menerus antara a dan b ) sekarang kita lihat bahwa c

adalah pertengahan antara a dan b , yaitu c = (a+b), dan menghasilkan f(c). Jika f(c) memiliki

tanda yang sama seperti f(a), maka akarnya terletak antara c dan b; atau kemungkinan lain

akarnya terletak antara a dan c. Kemudian dikurangi interval dalam menentukan letak akar

menjadi setengah dari lebar rentang aslinya. Kita ulang proses tersebut, pengurangan interval

menjadi 1/4 , 1/8, 1/16, .... sampai kita dapat menentukan akarnya sesuai dengan keakuratan

yang kita inginkan.

Prosedur hitungan secara grafis untuk mendapatkan akar persamaan :a. Hitung fungsi interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xn)

dan f(xn+1) , yaitu apabila f(xn) x f(xn+1) < 0 .b. Estimasi pertama dari akar xt dihitung dengan

xt = { xn + xn+1 } c. Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub interval mana aakar persamaan

berada :1) Jika f(xn) x f(xn+1) < 0 , akar persamaan berada pada sub interval pertama,

kemudian tetapkan xn+1 = xt dan lanjutkan pada langkah ke 42) Jika f(xn) x f(xn+1) > 0 , akar persamaan berada pada sub interval kedua, kemudian

tetapkan xn = xt dan lanjutkan pada langkah ke 4

3) Jika f(xn) x f(xn+1) = 0 , akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai.d. Hitung perkiraan baru dari akar dengan persamaan e. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan ),

maka hitungan selesai, dan xt adalah akar persamaan yang dicari. jika belum, maka hitungan kembali ke langkah 3.

y f(x)

x1 x3 x5 x4 x2

x

x1 x3 x2

x4

x5

c) Regulasi-False

Metode posisi palsu mirip dengan metode bagi dua. Kemiripannya terletak dalam hal

diperlukan dua harga taksiran awal pada awal pengurungan akar persamaan. Sedangkan,

perbedaannya terletak pada proses pencarian pendekatan akar persamaan selanjutnya setelah

pendekatan akar saat ini ditemukan.

Algoritma Regulasi False dapat dinyatakan sebagai berikut :

1) Berikan terkaan awal xa dan

xb yang mengurung akar persamaan.

2) Untuk menguji bahwa terkaan awal mengurung akar persamaan maka ujilah apakah

f ( xa) f ( xb)<0, jika ya maka terkaan kita sudah benar.

3) Tentukan salah satu titik yang akan digunakan sebagai titik tolak interpolasi linier

misalnya (xa , f a )

4) Tentukan xc dengan cara :

5) Update harga xb dengan

xc dan f b dengan

f c .

6) Ulangi proses dari poin 4) hingga ditemukan harga xc yang sudah sangat dengan akar

sebenarnya.

Oleh karena pada setiap langkah akar persamaan selalu terkurung dalam suatu interval,

maka konvergensi dapat dijamin seperti halnya pada metode bagi dua. Metode tersebut dapat

memberikan harga eksak jika fungsi f linier.

b. Metoda Terbuka

a) Iterasi Titik Tetap

Metode Titik Tetap adalah suatu metode pencarian akar suatu fungsi f(x)secara

sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsi f(x) yang ingin

dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalah Fixed Point (Titik Tetap) fungsi f(x)

bila g(x) = x dan f(x) = 0.

Teorema :

Diketahui g(x) fungsi kontinu dan {Xn} adalah barisan yang terbetuk oleh Fixed Point Iteration,

maka Jika   Xn = x maka x adalah Fixed Point fungsi g(x).

Prosedur Metode Titik Tetap

Misal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai

akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = g(x).

Kemudian tentukan nilai titik awal, misal x1. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke

persamaan g(x) sedemikian sehingga g(x1) = x2, setelah itu titik x2 yang diperoleh substitusikan

lagi ke g(x) sedemikian sehingga g(x2) = x3. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi

x1 (penetuan titik awal)

x2 = g(x1) (iterasi pertama)

x3 = g(x2) (iterasi kedua)..xn = g(xn-1) (iterasi ke-n)

Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup

kecil (|xn - xn-1| <  ).

b) Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson tidak memerlukan dua buah terkaan awal seperti halnya

metode bagi dua dan Regula Falsi, melainkan cukup satu saja tetapi diusahakan terkaan tersebut

cukup dekat dengan akar persamaan yang dicari.

Ide dari metode ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika kita memberikan satu terkaan

awal x=xn terhadap akar persamaan

x0 , maka kita memiliki titik ( xn , f (xn) ) pada fungsi.

Dengan menarik garis singgung pada titik tersebut dan diperpanjang hingga memotong sumbu x,

maka kita akan memperloleh pendekatan akar lebih dekat dengan terkaan sebelumya.

Algoritma metode Newton-Raphson :

1) Berikan terkaan awal untuk akar persamaan xa

2) Evaluasi f (x ) dan f ' ( x ) pada x=xa

3) Hitung pendekatan akar berikutnya dengan

4) Setelah mendapatkan pendekatan akar persamaan yang baru yaitu xa '

, maka jadikan xa '

tersebut sebagai xa .

5) Ulangi langkah ke 2 hingga 4 sampai diperoleh |f (xa)|<ε

c) Secant

Pada dasarnya metode ini sama dengan metode Newton-Raphson, perbedaannya hanya

terletak pada pendekatan untuk turunan pertama dari f saja. Pendekatan f’ pada metode Secant

didekati dengan ungkapan beda hingga yang didasarkan pada taksiran akar sebelumnya (beda

mundur).

Algoritma metode Secant :

1) Berikan dua terkaan awal xa dan

xb

2) Hitung xc dengan cara

3) Set xa=xb ,

f a=f b dan xb=xc ,

f b=f c

4) Ulangi poin 2 dan 3 sampai xc tidak berubah secara signifikan.

d) Akar Ganda

Satu akar ganda berhubungan dengan suatu titik dimana sebuah fungsi

menyinggung sumbu x.

Misal akar dobel dihasilkan dari:

f(x) = (x - 3)(x - 1)(x - 1)

atau dengan pengalian suku-suku:

f(x) = x3 - 5x2 + 7x - 3

Persamaan diatas memiliki akar dobel, karena 1 akar x membuat kedua suku

dalam persamaan itu sama dengan nol. Secara grafik, ini sesuai dengan kurva yang

menyentuh sumbu x secara tangensial pada akar dobel. Ini dapat dilihat pada gambar 5.4a

di bawah ini pada

x = 1.

Gambar diatas Contoh akar ganda yang menyinggung sumbu x. Perhatikan bahwa

fungsi tak memotong sumbu pada kedua sisi akar ganda genap (a) dan (c), sedangkan ia

memotong sumbu untuk kasus ganjil (b) ([CHA1998] hal. 159).

Akar tripel untuk kasus dimana satu harga x membuat 3 suku dalam suatu persamaan

menjadi nol, misal:

f(x) = (x – 3)(x – 1)(x – 1)(x – 1)

atau dengan pengalian suku-suku:

f(x) = x4 – 6x3 + 12x2 – 10x + 3

Kesulitan yang ditimbulkan oleh akar ganda:

Hasil dari metode Akolade berkurang kepercayaannya dengan adanya kenyataan bahwa

fungsi tak berubah tanda pada akar ganda genap. Pada metode Terbuka, ini bisa

menyebabkan divergensi.

Tak hanya f(x) tapi juga f’(x) menuju nol pada akar.

Pada metode Newton-Raphson dan Secant, dimana keduanya mengandung turunan

(atau taksiran) di bagian penyebut pada rumusnya, terjadi pembagian dengan nol

jika solusi konvergen sangat mendekati akar.

Menurut Ralston dan Rabinowitz [RAL1978], f(x) selalu mencapai nol sebelum f’(x).

Sehingga kalau pemeriksaan nol untuk f(x) disertakan dalam program, maka komputasi

berhenti sebelum f’(x) mencapai nol.

Metode Newton-Raphson dan Secant konvergen secara linier (bukan kuadratik),

konvergen untuk akar-akar ganda (Ralston dan Rabinowitz [RAL1978]).

c. Akar Polinom

Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya)

berpangkat Bilangan bulat non negative.  Bentuk umum :

y = F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an

Dengan n Є bilangan bulat

an ≠ 0

Pengertian-pengertian:

a0, a1, a2 ,…, an-1 , an

Disebut koefisien masing-masing bilangan real (walaupun boleh juga bilangan

kompleks). Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-tiap

suku, disebut n. Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat.

Suku : a0xn , a1xn-1 , a2xn-2 , … , an-1x , an. Masing-masing merupakan suku dari suku banyak

Suku Tetap (konstanta)

A0 adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah. Sedangkan anxn adalah

suku berderajat tinggi.

Pembagian Suku Banyak

Bentuk Umum

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

dimana :

F(x) = suku banyak

P(x) = pembagi

H(x) = hasil bagi

S(x) = sisa

Teorema Sisa

Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)

Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1

Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n

Teorema Faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x –

k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

 

Tips

1. Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan

mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien

pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya :untuk x3 – 2x2 – x + 2 = 0,

faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1.

Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2untuk 4x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-

faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4.

Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

2. Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.

3. Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka

pasti salah satu akarnya adalah x = –1

Sifat Akar-Akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3 dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4 dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a

Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a

Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan

berderajat 5 dan seterusnya

Pembagian Istimewa

3. Penyelesaian Persamaan Linear

A. Metoda Eliminasi

1) Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga

menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang

paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Cara ini

ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan

melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat

digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan

matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi

dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks  Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk

mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Secara umum, sistem persamaan linier adalah sebagai berikut:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

  :       :            :               = :

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

Ciri-ciri Eliminasi Gauss

a. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1

utama)

b. Baris nol terletak paling bawah 

c. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya

d. Dibawah 1 utama harus nol

2) Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih

sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga

menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode

penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.Metode ini digunakan untuk

mencari invers dari sebuah matriks. Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini

adalah :

a. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

b. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks

A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah

koefisien-koefisien dari sistem persamaan linier.

Sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

a. Menukar posisi dari 2 baris.

Ai ↔Aj

b. Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.

Ai = k*Aj

c. Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:

a. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

b. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

c. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :

Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti

perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila

tidak : lanjutkan

d. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n

B. Metoda Dekomposisi LU dan Inversi Matrik

a. Dekomposisi LU

Dekomposisi matriks adalah mengurai matriks dalam bentuk penjumlahan atau perkalian

beberapa matriks. Dalam hal ini, apabila beberapa matriks hasil dekomposisi tersebut

dijumlahkan atau dikalikan, maka akan kembali lagi pada bentuk matriks asalnya. Ada beberapa

metode dalam mendekomposisikan suatu matriks, diantaranya adalah Dekomposisi LU,

dekomposisi LU adalah metode mendekomposisikan matriks dalam bentuk pemfaktoran

matriks, yaitu menjadi matriks segitiga bawah L (lower) dan matriks segitiga atas U (upper).

Bentuk persamaannya:

A=LU

Dalam bentuk matriks pemfaktoran ditulis sebagai:

Pada matriks segitiga bawah L, elemen diagonalnya bebas, sedangkan pada matriks U

semua diagonalnya adalah 1. Di lain sumber, menyatakan kebalikannya, semua elemen diagonal

dari matriks U adalah 1, sedangkan diagonal matriks L bebas. Namun hal ini tidak menjadi

masalah, sebab jika L dan U dikalikan, hasilnya tetap sama dengan matriks A (Munir, 2003:

148). Sebagai contoh, matriks di bawah ini difaktorkan menjadi:

b. Inverse Matriks

Jika A adalah matriks bujur sangkar dan jika kita dapat mencari matriks B, sehingga AB

= BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A. Jika

matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular. Dapat

ditunjukkan dengan A-1 (Anton, 1998: 34).

Contoh pembuktian persyaratan invers:

Matriks B=[3 5

1 2 ] adalah invers dari

A=[ 2 −5−1 3 ]

Karena

Sifat-sifat dari invers matriks antara lain:

1) Jika matrik B ataupun C adalah invers dari matriks A, maka B=C

Bukti:

Karena B adalah invers dari A, maka BA=I. dengan mengalikan kedua ruas di sisi

kanannya dengan C diperoleh (BA)C = IC = C. Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B,

sehingga C = B.

2) Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan ukurannya sama, maka:

- AB dapat dibalik

- (AB)-1 = A-1

3) Jika A adalah matriks bujur sangkar, sedangkan r dan s adalah bilangan bulat, maka:

4) Jika A adalah matriks yang dapat dibalik (invertible), maka:

a) A−1 dapat dibalik dan ( A−1)−1

=A

b) Jika k≠0 , maka kA mempunyai kebalikan dan (kA )−1=1

kA−1

c) A−1dapat dibalik dan ( An)−1

=( A−1)n , umtuk n=1, 1, 2, 3, …, n

C. Metode Gauss-Seidel

Metode perhitungan secara langsung sudah dibahas dalam sub-bahasan di depan, yaitu

eliminasi Gauss. Metode Gauss-Seidel adalah metode iteratif yang secara luas telah digunakan

sebagai alternatif metode eliminasi.

Tinjau satu set dari n persamaan: [A]{X}={B}, dengan asumsi merupakan persamaan

3x3. Jika elemen diagonal tidak nol dan nilainya tidak diketahui, persamaan pertama bisa

diselesaikan sebagai x1, persamaan kedua sebagai x2 dan persamaan ketiga sebagai x3,

ditunjukkan berikut ini.

Tahap selanjutnya dimulai proses penyelesaian dengan memilih nilai coba untuk x.

Langkah sederhana untuk menentukan nilai coba dengan mengasumsikan bahwa semua nilai

awal adalah nol. Jika disubtitusikan pada persamaan (3.12a), maka didapatkan nilai baru untuk

x1=b1/a11. Kemudian kita subtitusikan nilai baru x1 dan nilai awal bernilai nol untuk x3 pada

persamaan (3.12b) untuk menghitung nilai baru x2. Proses diulang pada persamaan (3.12c)

untuk mendapatkan nilai baru x3. Kemudian kembali diulang untuk persamaan dan prosedur

berulang sampai penyelesaian konvergen cukup rapat untuk nilai kebenaran. Konvergensi bisa

dicek menggunakan criteria.

4. Regresi dan Interpolasi

1) Regresi Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama Least-Squares Method, adalah

salah satu metode ‘pendekatan’ yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk: (a). regresi

ataupun pembentukan persamaan dari titiktitik data diskretnya (dalam pemodelan), dan (b).

analisis sesatan pengukuran (dalam validasi model).

tode kuadrat terkecil ini juga memainkan peranan penting dalam teori statistik, karena

metode ini seringkali digunakan dalam penyelesaian problem-problem yang melibatkan

kumpulan data yang tersusun secara acak, seperti dalam sesatan-sesatan percobaan. Namun

demikian, hal-hal yang berhubungan dengan teori statistik tidak akan dibahas secara khusus

dalam modul ini.

Seperti telah dijelaskan di atas, dalam dunia keteknikan metode kuadrat terkecil ini

digunakan untuk melakukan regresi dan atau pencocokan kurva yang diharapkan dapat

membentuk persamaan matematis tertentu. Secara empiris, persamaan-persamaan matematis

tertentu yang sering digunakan di antaranya adalah:

(a) Persamaan ‘garis lurus’ (liner): y=ax+b

(b) Persamaan parabolis (kuadratis): y=px 2+qx+r

(c) Persamaan polimonial (secara umum):

y=c1+c2 x+c3 x2+. ..+ck xk−1+. ..+cn xn−1

=∑

k=1

∞

ck xk−1

(d) Persamaan eksponensial: y=aebx2+cx +d

(e) Persamaan asimptotis: y=ax 2+bx

cx+d

2) Interpolasi

a) Polinom Newton

Misalkan terdapat pasangan dua buah titik (x0,f(x0)) dan (x1,f(x1)), maka secara sederhana

dari kedua titik tersebut dapat dibentuk sebuah garis dengan persamaan

Atau dapat ditulis sebagai berikut:

Ini adalah rumus interpolasi linear.

Contoh: Tentukan interpolasi linear jika diberikan data sebagai berikut

x 1.4 1.25

y 3.7 3.9

Solusi: Gunakan persamaan (7) untuk memperoleh

Dari sini dapat dihitung nilai y apabila x = 1.3, yaitu

Dapat dilihat bahwa polinom yang terbentuk oleh dua buah titik ini berderajat satu. Persamaan

(7) dapat ditulis sebagai

Nilai c diperoleh dari data. Lebih lanjut, jika terdapat 3 pasangan titik, secara intuisi

fungsi yang terbentuk tidak lagi berbentuk garis. Bentuk ini akan diperumum untuk derajat yang

lebih tinggisehingga untuk data sebanyak 3 pasangan titik (x0,f(x0)), (x1,f(x1)) dan (x2,f(x2))

polinomnya akan berbentuk

Akan tetapi seperti apakah b0, b1 dan b2? Perhatikan bahwa f(x) melalui titik – titik (x1,f(x1)),

(x2,f(x2)), (x3,f(x3)). Substitusikan nilai - nilai ini ke persamaan (8) sebagai berikut:

Untuk kemudahan komputasi, bentuk b2 di atas diubah menjadi bentuk ekivalennya

Pembilang pada b2 ini adalah pengurangan antara bentuk - bentuk beda terbagi derajat

pertama. Selanjutnya akan diperkenalkan definisi beda terbagi untuk mempermudah penulisan

dalam interpolasi Newton ini.

Definisi: Beda terbagi untuk fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut.

Koefisien - koefisien bk dalam interpolasi polinom Newton dapat ditulis sebagai

Dalam perhitungan, akan lebih mudah jika kita mengkonstruksi tabel beda terbagi terlebih

dahulu sebagai berikut.

b) Polinom Lagrange

Perhatikan lagi persamaan (7). Bentuk tersebut dapat diubah menjadi berikut:

Bentuk linear ini diperumum untuk n buah titik sebagai berikut:

Contoh: Tuliskan interpolasi polinom Lagrange apabila diberikan data sebagai berikut

Solusi: Gunakan persamaan ( 10) untuk memperoleh

Jadi, diperoleh polinom Lagrange sebagai berikut:

5. Integrasi Numerik

Metode integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah

di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan.

1) Metoda Pias

a) Aturan Trapesium

Metode trapesium ini dapat diturunkan dengan substitusi fungsi Lagrange orde-1 sebagai f(x)

yaitu:

Dengan demikian :

Dimana R adalah suku yang mengandung error komputasi O(h3). Sehingga kita mendapatkan

rumus integral trapesium yaitu:

b) Aturan Simpson

Metode Simpson dapat diturunkan dengan substitusi fungsi Lagrange orde-2 sebagai f(x)

yaitu sebagai berikut:

Dimana h=(b-a)/2, x0 = a, x1 = a+h, x2 = a+2h. Dengan demikian

Dimana Rs adalah suku yang mengandung error komputasi O(h3). Sehingga kita mendapatkan

rumus integral Simpson yaitu:

6. Turunan Numerik

Terdapat tiga pendekatan dalam menghitung nilai f '(x0):

(1) Hampiran Selisih-maju

(2) Hampiran selisih-mundur

(3) Hampiran selisih pusat

Rumus-rumus turunan numerik untuk ketiga pendekatan tersebut dapat diturunkan dengan dua

cara, yaitu:

1) Turunan dengan Deret Taylor

Misalkan diberikan titik-titik (xi, fi) , i = 0, 1, 2, ..., n, yang dalam hal ini

Dan

Kita ingin menghitung f '(x), yang dalam hal ini x = x0 + sh, s € R dengan ketiga pendekatan

yang disebutkan di atas (maju, mundur, pusat).

(a) Hampiran Selisih Maju

Uraikan f(xi+1) di sekitar xi :

yang dalam hal ini O (h )=h/2 f left (t right ),`x rSub { size 8{i} } <t<x rSub { size 8{i+1} } } { ¿ Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaan rumusnya menjadi:

yang dalam hal ini O (h )=h/2 f left (t right ),`x rSub { size 8{i} } <t<x rSub { size 8{i+1} } } { ¿

(b) Hampiran selisih maju-mundur

Uraikan f(xi-1) di sekitar xi :

Yang dalam hal ini O (h )=−h/2 f left (t right ),`x rSub { size 8{i - 1} } <t<x rSub { size 8{i} } } { ¿Untuk nilai-nilai f di x0 dan x-1 persamaan rumusnya menjadi:

Yang daam hal ini O (h )=−h/2 f left (t right ),`x rSub { size 8{i+1} } <t<x rSub { size 8{i} } } { ¿

(c) Hampir Selesih Pusat

Kurangkan persamaan (P.7.4) dengan persamaan (P.7.6):

Yang dalam hal ini, O (h2 )=−h2/6 f ' left (t right ),`x rSub { size 8{i - 1} } <t<x rSub { size 8{i+1} } } {¿

Untuk nilai-nilai f di x-1 dan x1 persamaan rumusnya menjadi:

Yang dalam hal ini, O (h2 )=−h /6 f ' left (t right ),`x rSub { size 8{i - 1} } <t<x rSub { size 8{i+1} } } {¿

2) Ekstrapolasi Richardson

Ekstrapolasi Richardson juga dapat diterapkan pada turunan numerik untuk memperoleh

solusi yang lebih teliti. Misalkan D(h) dan D(2h) adalah hampiran f '(x0) dengan mengambil

titik-titik masing-masing sejarak h dan 2h. Misalkan untuk menghitung f '(x0) digunakan rumus

hampiran beda- pusat orde O(h2) :

Kurangi persamaan (P.7.18) dengan persamaan (P.7.19), menghasilkan :

dari sini,

Sulihkan (P.7.20) ke dalam persamaan (P.7.18) :

Atau

Ekstrapolasi Richardson dapat diperluas penggunaannya untuk mendapatkan nilai turunan fungsi yang lebih baik (improve). Berdasarkan persamaan (P.7.21) di atas dapat ditulis aturan:

Yang dalam hal ini n adalah orde galat rumus yang dipakai. Misalnya digunakan rumus hampiran selisih-pusat orde O(h2) dalam menghitung D(h) dan D(2h), maka n = 2, sehingga rumus ekstrapolasi Richardsonnya adalah seperti pada persamaan (P.7.21).