ANALISIS NUMERIK MODEL EPIDEMIK SIR …eprints.uny.ac.id/50953/1/skripsi.pdf · KATA PENGANTAR...

i

ANALISIS NUMERIK MODEL EPIDEMIK SIR (SUSCEPTIBLE,

INFECTIOUS, RECOVERED) PADA PENYEBARAN PENYAKIT

TUBERCULOSIS DI YOGYAKARTA

SKRIPSI

Diajukan Kepada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

Sebagai Salah Satu Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Halaman judul

Oleh

Okky Rositarini

NIM. 13304131028

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2017

v

MOTTO

Dan Tuhanmu berfirman, “Berdo’alah kepada-Ku, niscaya akan Kuperkenankan

bagimu”.

(QS. Al Mu’min:60)

Barang siapa keluar untuk mencari ilmu maka dia berada di jalan Allah

(HR. Turmudzi)

Bila kau tak tahan lelahnya belajar, maka kau harus tahan perihnya menanggung

kebodohan.

(Imam Ayafi’i)

Banyak kegagalan dalam hidup ini dikarenakan orang-orang tidak menyadari

betapa dekatnya mereka dengan keberhasilan saat mereka menyerah.

(Thomas Alva Edison)

vi

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini saya persembahkan untuk :

Kedua orang tua saya, Bapak Rosadi dan Ibu Darini yang senantiasa memberikan

doa dan kasih sayang serta dukungannya yang tiada henti.

Adikku Phiesca Verdian Rizki yang tersayang yang menambah kebahagiaan

dalam keluarga.

Semua guru, dosen, dan pendidik, terimakasih sudah memberikan ilmunya

kepada saya .

Sahabat-sahabat terbaikku terkhusus Noni Cahayani Azazmi yang selalu

menemaniku dalam susah maupun senang.

Teman-teman Matematika B 2013 dan teman-teman yang lain yang tidak bisa

saya sebutkan satu per satu, terimakasih atas kebersamaannya selama ini.

vii

ANALISIS NUMERIK MODEL EPIDEMIK SIR (SUSCEPTIBLE,

INFECTIOUS, RECOVERED) PADA PENYEBARAN PENYAKIT

TUBERCULOSIS DI YOGYAKARTA

Oleh:

Okky Rositarini

NIM. 13305141028

ABSTRAK

Penyakit Tuberculosis adalah salah satu penyakit menular yang disebabkan

oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis. Penelitian ini bertujuan untuk

mengetahui model matematika penyebaran penyakit Tuberculosis, mengetahui

titik ekuilibrium, bilangan reproduksi, kestabilan titik ekuilibrium, dan hasil

simulasi numerik penyebaran penyakit Tuberculosis khususnya di Kota

Yogyakarta pada tahun 2014.

Tahapan yang dilakukan untuk menganalisis model penyebaran penyakit

Tuberculosis adalah dengan membentuk model matematika SIR (Susceptible,

Infectious, Recovered), kemudian menentukan titik ekuilibrium, menentukan

bilangan reproduksi dasar, dan menganalisa kestabilan disekitar titik ekuilibrium,

serta menganalisis numerik dengan melakukan simulasi menggunakan Software

Maple 15.

Model SIR pada penyebaran penyakit Tuberclosis merupakan model yang

berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinear. Hasil analisis dari model SIR

tersebut diperoleh dua titik ekuilibrium, yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan

endemik. Titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik loka jika bilangan

reproduksi dasar kurang dari satu dan sebaliknya titik ekilibrium bebas penyakit

tidak stabil jika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu. Selanjutnya,

berdasarkan simulasi yang dibentuk dari model SIR dengan nilai awal dan

parameter yang diberikan diperoleh penyakit Tuberculosis semakin besar laju

kontak atau laju penularan maka penyakit akan semakin menyebar dan semakin

kecil laju kesembuhan maka penyakit juga akan semakin menyebar.

Kata kunci : model SIR, Tuberculosis, kestabilan, titik ekuilibrium, Maple 15

viii

KATA PENGANTAR

Asslamu’alaikum wr wb,

Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang

telah memberikan rahmat, hidayah, serta nikmat karunia, dan ridha-Nya sehingga

penulis dapat menyelesaikan penulisa Skripsi yang berjudul“Analisis Numerik

Model Epidemik SIR (Susceptible, Infectious, Recovered) pada Penyebaran

Penyakit Tuberculosis di Yogyakarta”.

Tugas akhir ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains (S.Si). Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak

penulisan tugas akhir ini tidak dapat terselesaikan dengan baik. Pada kesempatan

ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

dan memberikan dukungan kepada penulis, yaitu:

1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

2. Bapak Dr. Ali Mahmudi, M.Pd selaku Ketua Jurusan Pendidikan

Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah

memberikan kelancaran dalam akademik.

3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi, M.Si selaku Ketua Program Studi

Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

4. Ibu Dwi Lestari, M.Sc dan Ibu Husna ‘Arifah, M.Sc selaku dosen

pembimbing skripsi yang telah memberikan pengarahan, saran,

ix

bimbingan, dan masukkan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas

akhir ini.

5. Ibu Nikenasih Binatari, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang

telah memberikan bimbingan selama perkuliahan.

6. Bapak dan ibu dosen Jurusan Pendidikan Matematika yang telah

memberikan ilmu kepada penulis secara langsung maupun tidak langsung.

7. Bapak, ibu, dan keluarga yang tidak pernah lelah memberikan dukungan,

nasihat, bimbingan, serta doa kepada penulis.

8. Teman-teman, sahabat-sahabat, serta semua pihak yang tidak dapat saya

sebutkan satu per satu yang telah memberikan dukungan dan membantu

secara langsung maupun tidak langsung dalam kelancaran penulisan tugas

akhir ini.

Penulis menyadari bahwa penyusunan tugas akhir ini masih jauh dari

sempurna sehingga masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, kritik dan saran

sangat diharapkan untuk membangun tugas akhir ini supaya menjadi lebih baik.

Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat tidak hanya bagi

penulis tetapi juga bagi pembaca.

Wassalamu’alaikum wr wb.

Yogyakarta, 8 April 2017

Penulis

Okky Rositarini

NIM. 13305141028

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

LEMBAR PERSETUJUAN.................................................................................... ii

PERNYATAAN ...................................................................................................... ii

PENGESAHAN ..................................................................................................... iv

MOTTO .................................................................................................................. v

PERSEMBAHAN .................................................................................................. vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

KATA PENGANTAR ......................................................................................... viii

DAFTAR ISI ........................................................................................................... x

DAFTAR TABEL ................................................................................................. xii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xiv

DAFTAR SIMBOL ............................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A.Latar Belakang ................................................................................................. 1

B.Identifikasi Masalah ......................................................................................... 4

C.Pembatasan Masalah ........................................................................................ 4

D.Rumusan Masalah ........................................................................................... 4

E.Tujuan Penelitian ............................................................................................. 5

F.Manfaat Penelitian ........................................................................................... 6

BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................. 7

A.Model Matematika ........................................................................................... 7

B.Persamaan Diferensial ..................................................................................... 9

C.Sistem Persaman Diferensial ......................................................................... 12

1.Sistem Persamaan Diferensian Linear ........................................................ 13

2.Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear ................................................... 14

D.Titik Ekuilibrium ........................................................................................... 17

E.Linearisasi ...................................................................................................... 19

F.Bilangan Reproduksi Dasar 0R .................................................................. 23

G.Nilai Eigen ..................................................................................................... 26

H.Kestabilan Titik Ekuilibrium ......................................................................... 28

I.Kriteria Routh-Hurwitz ................................................................................... 37

xi

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN............................................................... 39

A.Permasalahan Nyata Penyebaran Penyakit Tuberculosis .............................. 39

B.Model Matematika Penyebaran Penyakit Tuberculosis................................. 40

C.Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis ...................................... 44

1.Titik Ekuilibrium ........................................................................................ 44

2.Bilangan Reproduksi Dasar 0R ............................................................... 48

3.Analisis Kestabilan ..................................................................................... 50

D.Analisis Numerik Model SIR pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis ....... 57

1.Simulai 0 1R ............................................................................................. 58

2.Simulasi 0 1R ........................................................................................... 59

BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 64

A.Kesimpulan .................................................................................................... 64

B. Saran ............................................................................................................. 65

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 67

LAMPIRAN .......................................................................................................... 68

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1. Variabel dan parameter yang digunakan dalam model ........................... 40

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Proses Pemodelan Matematika ................................................................ 8

Gambar 2.2. Simulasi Kestabilan Titik Ekuilibrium ................................................. 29

Gambar 3.1. Diagram Alir Model Matematika Tuberculosis.................................. 42

Gambar 3.2. Grafik Simulasi untuk 0 0,005018788208R .................................... 59

Gambar 3.3. Grafik Simulasi untuk 0 3,023980394R ............................................ 60

Gambar 3.4. Grafik Simulasi untuk 0 24.94004448R ........................................... 61

Gambar 3.5. Grafik Simulasi untuk 0 3,193213002R ........................................... 62

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Program maple untuk gambar proyeksi potret fase solusi-solusi S,I,R

terhadap t dengan 0 0,005018788208R ........................................ 68


terhadap t dengan 0 3,023980394R .............................................. 68


terhadap t dengan 0 24.94004448R .............................................. 70


terhadap t dengan 0 3,193213002R .............................................. 71

xv

DAFTAR SIMBOL

Simbol Definisi

N t Jumlah populasi pada suatu daerah pada saat t.

( )S t Banyaknya individu yang sehat dan rentan tehadap penyakit

Tuberculosis pada saat t. (Susceptible)

( )I t Banyaknya individu yang terinfeksi dan dapat menularkan

Tuberculosis kepada individu lain. (Infectious)

( )R t Banyaknya individu yang sembuh setelah terinfeksi

Tuberculosis. (Recovered)

Laju kelahiran populasi.

Laju kematian alami.

t Laju kematian yang disebabkan oleh penyakit Tuberculosis.

b Laju penularan penyakit Tuberculosis.

c Laju individu sembuh setelah terinfeksi Tuberculosis.

Nilai eigen

I Matriks identitas

x Turunan x terhadap t

0R Bilangan reproduksi dasar

x̂ Titik ekuilibrium

n Himpunan bilangan real dimensi n

( )ie Bagian real nilai eigen ke-i

L Himpunan terbuka

xvi

0x Kondisi awal

0Df x Turunan f di 0x

0Jf x Matriks jacobian di 0x

Himpunan bagian atau sama dengan

Elemen/anggota

0E Titik ekuilibrium bebas penyakit

1E Titik ekuilibrium endemik

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kesehatan adalah suatu hal yang sangat penting dalam kehidupan karena

jika seseorang mengalami masalah kesehatan maka aktivitas seseorang tersebut

akan terganggu. Masalah kesehatan yang sering menjadi perhatian masyarakat

adalah penyakit menular karena masyarakat harus waspada terhadap penyakit

tersebut.

Penyakit yang menular secara terus menerus melalui individu yang

terinfeksi ke individu yang sehat merupakan suatu masalah yang sangat

diperhatikan oleh negara maupun dunia. Penularan penyakit bisa terjadi melalui

interaksi di dalam rantai infeksi baik secara langsung maupun tidak langsung.

Salah satu contoh penyakit menular adalah penyakit Tuberculosis.

Penyakit Tuberculosis (TB) adalah salah satu penyakit menular yang

disebabkan oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis. Sebagian besar bakteri

tersebut menyerang paru-paru, akan tetapi dapat juga menyerang organ tubuh

lainnya. Penyakit ini tergolong sebagai salah satu penyakit yang menyebabkan

kematian. Menurut Kementrian Kesehatan Republik Indonesia tahun 2011,

sepertiga dari populasi dunia sudah tertular dengan TB dimana sebagian besar

penderita TB adalah usia produktif (15-55 tahun).

Penularan penyakit Tuberculosis paling banyak dan paling mudah melalui

udara, oleh karena itu organ yang pertama kali diserang adalah organ pernapasan.

Penyakit ini menyebabkan proses difusi oksigen menjadi terganggu karena adanya

2

bintik-bintik kecil pada dinding alveolus. Adapun gelaja penderita Tuberculosis

diantaranya batuk-batuk, sakit dada, nafas pendek, hilang nafsu makan, demam,

kedinginan, berat badan turun, dan kelelahan. (Slamet Suyono, 2001).

Salah satu pendekatan untuk menjelaskan solusi pada penyebaran penyakit

Tuberculosis yaitu dengan cara pembuatan model matematika. Langkah pertama

yang digunakan dalam pembuatan model matematika adalah dengan menyatakan

masalah dunia nyata ke dalam pengertian matematika. Model matematika yang

dibuat kemudian akan disimulasika yang nantinya diharapkan dapat membantu

untuk mencari solusi bagaimana mengatasi penyebaran penyakit Tuberculosis.

(Widowati dan Sutimin, 2007).

Model matematika yang digunakan untuk memodelkan penyebaran

penyakit Tuberculosis terdapat beberapa model, salah satunya adalah model SIR

(Susceptible, Infectious, Recovered). Pada model ini, populasi dibagi menjadi 3

bagian, yaitu individu yang sehat tetapi rentan terhadap penyakit Tuberculosis

yang disebut Susceptible, individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit

Tuberculosis disebut Infectious, individu yang telah sembuh terhadap penyakit

Tuberculosis. Secara garis besar, model epidemik SIR menggambarkan alur

penyebaran penyakit dari kelompok individu Susceptible menjadi Infectious

melalui kontak langsung ataupun melalui perantara. Kemudian kelompok individu

Infectious yang mampu bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan menjadi

individu Recovered. (Ilmiyati dan Hengki, 2014).

Fredlina, K. Queena Fredlina, dkk (2012) membuat sebuah artikel yang

berjudul “Analisa Numerik Model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered) pada

3

Penyebaran Penyakit Tuberculosis” yang mengalisis model matematika meliputi

titik kestabilan, nilai eigen, dan bilangan reproduksi dasar 0R yang kemudian

dilakukan simulasi analisis numeriknya untuk menguji parameter-parameter yang

telah dibuat yang bertujuan untuk mengetahui kapan penyakit akan menjadi

endemik. Sedangkan M. Rifki Taufik, dkk (2015) membahas menggunakan

model VEIT (Vaccinated, Exposed, Infected, Threated). Penelitian tersebut

membahas penyakit Tuberculosis.

Pada penulisan skripsi ini akan membahas tentang model matematika SIR

untuk penyebaran penyakit Tuberculosis. Pada penulisan Fredlina, K. Queena

Fredlina, dkk (2012) data yang dipakai hanya diasumsikan saja dan metode

Runge-Kutta orde 4. Dalam penulisan ini model SIR untuk penyebaran penyakit

Tuberculosis akan digunakan untuk simulasi analisis numerik pada penderita

Tuberculosis di wilayah Yogyakarta dan menganalisis kestabilan menggunakan

kriteria Routh-Hurwitz serta mensimulasikan dengan menggunakan Software

Maple 15.

Simulasi analisis numerik pada penulisan ini berfokus di wilayah Daerah

Istimewa Yogyakarta (DIY) karena pada wilayah tersebut masih banyak individu

yang terserang penyakit Tuberculosis. Pada tahun 2014, menurut profil kesehatan

tahun 2015 di kota Yogyakarta terdapat penemuan kasus penderita Tuberculosis

sebanyak 491 jiwa. Jumlah penduduk kota Yogyakarta pada saat itu sebanyak

413.936 jiwa dengan 202.296 jiwa penduduk laki-laki dan 211.640 jiwa penduduk

perempuan. Sehingga persentase penderita penyakit Tuberculosis di Yogyakarta

pada tahun 2014 adalah 0,1184%. Simulasi analisis numerik tersebut yang

4

kemudian akan ditunjukkan grafik simulasinya dengan menggunakan Software

Maple. Menggunakan hasil analisis numerik tersebut diharapkan dapat diketahui

cara mengatasi penyakit Tuberculosis. .

B. Identifikasi Masalah

1. Penyakit Tuberculosis masih banyak ditemukan terutama di wilayah

Yogyakarta.

2. Upaya keberhasilan pengobatan penyakit Tuberculosis di Kota Yogyakarta

masih dibawah target nasional.

3. Masih terdapat kematian akibat penyakit Tuberculosis.

4. Penyakit Tuberculosis bersifat endemik pada populasi.

5. Belum maksimalnya peran matematika dalam membantu penyelesaian

penyebaran penyakit Tuberculosis di Yogyakarta.

C. Pembatasan Masalah

Skripsi ini membahas tentang penyebaran penyakit Tuberculosis

menggunakan model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered). Selanjutnya, model

tersebut akan disimulasikan analisis numeriknya berdasarkan data jumlah

penderita Tuberculosis di wilayah Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY) dengan

menggunakan Software Maple 15 .

D. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut maka permasalahan dalam penelitian

ini dirumuskan sebagai berikut :

1. Bagaimana model matematika untuk penyebaran penyakit Tuberculosis dengan

model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered)?

5

2. Bagaimana analisis titik ekuilibrium model SIR pada penyebaran penyakit

Tuberculosis?

3. Bagaimana analisis bilangan reproduksi dasar 0R model SIR pada

penyebaran penyakit Tuberculosis?

4. Bagaimana analisis kestabilan model SIR pada penyebaran penyakit

Tuberculosis?

5. Bagaimana simulasi numerik pada penyebaran penyakit Tuberculosis di

wilayah Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY)?

E. Tujuan Penelitian

Berdasarkan permasalahan tersebut, maka tujuan dari penulisan ini adalah

sebagai berikut :

1. Mengetahui model matematika untuk penyebaran penyakit Tuberculosis

dengan model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered).

2. Mengetahui analisis titik ekuilibrium model SIR pada penyebaran penyakit

Tuberculosis.

3. Mengetahui analisis bilangan reproduksi dasar 0R model SIR pada

penyebaran penyakit Tuberculosis.

4. Mengetahui analisis kestabilan model SIR pada penyebaran penyakit

Tuberculosis.

5. Mengetahui simulasi numerik pada penyebaran penyakit Tuberculosis di

wilayah Daerah Istimewa Yogyakarta (DIY).

6

F. Manfaat Penelitian

Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan ini adalah :

1. Menambah pengetahuan tentang model matematika penyebaran penyakit

Tuberculosis dengan model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered).

2. Dapat menjadi referensi baru dalam pengembangan ilmu matematika di bidang

pemodelan penyakit menular.

3. Memberikan informasi mengenai penularan penyakit Tuberculosis secara

numerik.

7

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai

landasan teori dalam pembahasan tugas akhir skripsi ini. Teori-teori yang

digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema yaitu sebagai berikut:

A. Model Matematika

Model matematika adalah representasi dan penjelasan mengenai

permasalahan dalam dunia nyata ke dalam pernyataan matematik supaya

didapatkan suatu solusi. Beberapa jenis-jenis model matematika adalah sebagai

berikut : (Widowati & Sutimin, 2007)

a. Model Empiris

Model empiris diperoleh dari hasil pengamatan. Gagasan utama pada

pendekatan model empiris adalah menjelaskan persamaan matematika yang dapat

menghasilkan grafik untuk mencocokkan data.

b. Model Simulasi

Pada pendekatan model simulasi, program komputer dapat digunakan

dalam simulasi suatu model matematika seperti menggunakan Software Maple,

Matlab, dll.

c. Model Deterministik dan Stokastik

Dalam model deterministik, variabel random diabaikan. Model

deterministik meliputi penggunaan persamaan atau himpunan persamaan untuk

menjelaskan hubungan antara berbagai variabel suatu sistem. Sedangkan model

stokastik adalah model matematika dimana gejala-gejala dapat diukur dengan

8

kepastian yang tidak stabil (nilainya tidak pasti). Pada model stokastik

mengandung distribusi peluang.

Proses pemodelan matematika dapat dinyatakan dalam diagram alur

Gambar 2.1. berikut : (Widowati & Sutimin, 2007)

Gambar 2.1. Proses Pemodelan Matematika

Pemodelan matematika dimulai dari adanya permasalahan pada dunia

nyata. Permasalahan pada dunia nyata diharapkan langsung mendapatkan solusi

pada dunia nyata itu sendiri, namun jika masih kesulitan maka permasalahan

tersebut dibawa ke permasalahan matematika untuk kemudian dibuat beberapa

asumsi meliputi identifikasi variabel-variabel yang selanjutnya digunakan dalam

Dunia Nyata Dunia Matematika

Problem Dunia

Nyata

Solusi Dunia

Nyata

Membuat

Asumsi

Problem

Matematika

Interpretasi

Solusi

Bandingkan

Data

Formulasi

Persamaan/

Pertidaksamaan

Penyelesaian

Persamaan/

Pertidaksamaan

9

memformulasikan persamaan/pertidakasamaan. Asumsi yang digunakan dalam

pembatasan masalah ini digunakan untuk mempelajari masalah tersebut secara

sederhana. (Cahyono, Edi, 2013).

Ketika model diformulasikan maka langkah berikutnya adalah

menyelesaikan persamaan/pertidaksamaan. Selanjutnya interpretasi solusi, yaitu

tahap setelah menyelesaiakan persamaan/pertidaksamaan yang bisa dilihat

hasilnya menggunakan tabel, grafik, dan lain-lain. Hasil interpretasi solusi

kemudian bisa langsung dibawa ke solusi permasalahan nyata, selain itu juga

masih bisa dengan membandingkan data. Misalnya, pada waktu membandingkan,

mungkin terdapat perbedaan hasil dan model dapat diperbaiki lagi dengan

membangun model dari awal.

B. Persamaan Diferensial

Definisi 2.1. (Ross, 1984)

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan turunan dari variabel-

variabel tak bebas dan terhadap variabel-variabel bebas.

Berdasarkan banyaknya variabel bebas yang dilibatkan, persamaan

diferensial terbagi menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan

diferensial parsial.


Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan

turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.

10


Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang

melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau

lebih variabel bebas

Contoh 2.1

Contoh persamaan diferensial biasa

22

20

d y dyxy

dx dx

(persamaan diferensial orde 2)

4 2

4 25 3 sin

d y d yx t

dt dt (persamaan diferensial orde 4).

Contoh 2.2

Contoh persamaan diferensial parsial

r rr

s t

2 2 2

2 2 20.

u u u

x y z

Contoh 2.3

Contoh persamaan diferensial dan solusinya

2dy

xdx

maka solusinya adalah

2 dy x dx

11

2 dy x dx

2 .y x c

Berdasarkan contoh dari persamaan diferensial, maka dapat diketahui bahwa

solusi persamaan diferensial adalah berupa fungsi yang memenuhi persamaan

diferensial, yaitu jika fungsi tersebut disubstitusikan pada persamaan diferensial

maka akan menghasilkan suatu pernyataan yang benar atau terpenuhi.

Persamaan Diferensial Linear Orde n


Persamaan diferensial linear orde n dengan variabel tak bebas y dan variabel

bebas x dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:

1

0 1 11...

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y b x

dx dx dx

dengan 0 0a dan ( )ia x merupakan fungsi atas x untuk setiap 0,1,2,..., .i n

Contoh 2.4

Persamaan diferensial orde n

1. 2 2 3dx

xdt (orde 1)

2. 3

35 9

d x dxx

dt dt (orde 3)

3. 4 2

4 25 3 13 1

d x d xx

dt dt (orde 4).

12

C. Sistem Persaman Diferensial

Sistem persamaan diferensial merupakan gabungan dari dua atau lebih

persamaan diferensial. Diketahui vektor x n , dengan 1 2 3x , , ,...,T

nx x x x

dan 1 2 3, , ,..., .nx x x x Jika notasi dx

xdt

untuk menyatakan turunan x terhadap

t, maka:

31 2x , , ,..., .

T

ndx dxdx dx

dt dt dt dt

sehingga

1

1 1 2 32

2 1 2 3

3 1 2 33

1 2 3

, , ,...,

, , ,...,

, , ,...,

, , ,...,

n

n

n

n n

n

dx

dtf x x x xdx

f x x x xdt

f x x x xdx

dt

f x x x x

dx

dt

(2.1)

Pada Persamaan (2.1) jika secara eksplisit memuat variabel t maka sistem

tersebut disebut sebagai sistem non autonomous dan sebaliknya jika tidak secara

eksplisit memuat variabel t maka disebut sebagai sistem autonomous. Sistem

autonomous dapat dinyatakan dalam bentuk:

x ( ), .nf x x

13

Sistem persamaan diferensial dibagi menjadi 2, yaitu:

1. Sistem Persamaan Diferensial Linear

Sistem persamaan diferensial linear orde satu dengan variabel tak bebas

1 2 3, , ,..., nx x x x dan variabel bebas t dinyatakan sebagai berikut:

111 1 12 2 13 3 1 1

221 1 22 2 23 3 2 2

331 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

.

n n

n n

n n

nn n n nn n n

dxa x a x a x a x H t

dt


dt


dt


dt

(2.2)

Jika iH t dengan 1,2,3,...,i n bernilai nol, maka Sistem (2.2) disebut

sistem persamaan diferensial linear homogen, sedangkan jika ada iH t benilai

taknol, maka Sistem (2.2) disebut sistem persamaan diferensial nonhomogen.

Sistem Persamaan (2.2) dapat dinyatakan dalam suatu bentuk persamaan

sebagai berikut:

x Ax H t (2.3)

dengan A adalah suatu matriks n x n yang merupakan suatu matriks koefisien dari

variabel tak bebas ,nx dengan , 1,2,3,..., ,ija i n 1,2,3,...,j n dan

14

H t adalah matriks ukuran n x 1 yang merupakan fungsi dari t. Berikut

Persamaan (2.2) yang dituliskan dalam bentuk matriks:

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2 3

.

n

n

n n n nn n n

a a a x H t

a a a x H tdy

dt

a a a a x H t

(2.4)

Contoh 2.5

Diberikan sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut:

2

3 6

dxx y

dt

dyx y

dt

(2.5)

Sistem Persamaan (2.5) merupakan persamaan diferensial linear homogen.

2. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear


Persamaan diferensial nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tidak

linear.

Persamaan diferensial dapat dikatakan sebagai persamaan diferensial

nonlinear apabila memenuhi setidaknya satu dari kriteria berikut (Ross, 1984),

i. Memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu.

ii. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas dan/atau turunan-turunannya.

iii. Terdapat fungsi transedental dari variabel tak bebas dan turunan-turunannya.

15

Contoh 2.6

Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut:

11 2

22

1

dxx x

dt

dxx

dt

(2.6)

Penyelesaian:

22

dxx

dt

2

2

1dx dt

x

Integralkan kedua ruas, diperoleh

2

2

1dx dt

x

2 1 2ln x c t c

2ln x t c

2

t cx e

2 .tx ke

11 2(1 )

dxx x

dt

1 2

1

1(1 )dx x dt

x

16

1

1

1(1 )tdx ke dt

x

Integralkan kedua ruas, diperoleh

1

1

1(1 )tdx ke dt

x

1 3 4ln tx c t ke c

1 5ln tx t ke c

5

1

tt ke cx e

1 1

tt kex k e e

misalkan 1 2k k k maka

1 2

tt kex k ke e

2

1 2 2 .xx k x e

Sehingga diperoleh penyelesaiannya adalah

2

tx ke

2

1 2 2

xx k x e

Sistem Persamaan (2.6) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear

dengan variabel bebas t dan variabel tak bebas 1x dan 2x . Sistem tersebut

dikatakan sistem persamaan nonlinear karena terdapat perkalian antara variabel

tak bebasnya pada persamaan yang pertama, kemudian pada persamaan yang

kedua terdapat kuadrat dari variabel tak bebasnya.

17

Contoh 2.7

Persamaan diferensial yang memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya

berpangkat selain satu:

33 4.dy

xdt

Contoh 2.8

Persamaan diferensial yang memuat perkalian dari variabel tak bebas dan/atau

turunan-turunannya:

11 2 13 .

dxx x x

dt

Contoh 2.9

Persamaan diferensial yang memuat fungsi transedental daari variabel tak bebas

dan turunan-turunannya:

23 4.xdye

dt

D. Titik Ekuilibrium

Definisi 2.6. (Perko, 2001)

Titik x̂ disebut titik ekuilibrium dari x f x jika ˆ 0.f x

18

Contoh 2.10

Akan ditentukan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan (2.6). Misalkan Sistem

(2.6) dapat dituliskan dalam bentuk x f x dengan 1 2 2

2

1 2

.x x x

f xx x

Titik

ekuilibrium 1 2ˆ ˆ ˆ,x x x dari Sistem (2.6) dapat diperoleh jika x̂ 0f ,

sehingga sistem tersebut menjadi

1 2 2ˆ ˆ ˆ 0x x x

2 1ˆ ˆ 1 0x x

2 1ˆ ˆ0 dan 1.x x

Untuk 2ˆ 0x , maka

2

1 2ˆ ˆ 0x x

1̂ 0x

sehingga diperoleh titik ekuilibrium 0,0T

.

Untuk 1̂ 1x , maka

2

1 2ˆ ˆ 0x x

2

2ˆ1 0x

2

2ˆ 1x

2ˆ 1x

sehingga diperoleh titik ekuilibrium 1,1T

.

19

Jadi Sistem (2.6) mempunyai titik ekuilibrium 0,0T

dan 1,1T

.

E. Linearisasi

Linearisasi merupakan suatu proses untuk mengubah sistem persamaan

nonlinear menjadi sistem persamaan linear. Linearisasi dilakukan pada sistem

persamaan nolinear yang bertujuan untuk mengetahui perilaku sistem disekitar

titik ekuilibriumnya. Adapun syarat linearisari adalah bagian real akar

karakteristiknya tidak nol.

Diberikan sistem persamaan nonlinear sebagai berikut:

x=f x (2.7)

dengan , : ,n nx L f L fungsi nonlinear dan kontinu.

Lineariasi dapat menggunakan matriks Jacobian. Berikut adalah penjelasan

mengenai matriks Jacobian:

Teorema 2.1. (Perko, 2001)

Jika : n nf terdiferensial di 0x maka diferensial parsial , , 1,2,..., ,i

j

fi j n

x

di 0x ada untuk semua nx dan 0 0

1

.n

j

j j

fDf x x x x

x

20

Bukti:

11 100 1 0 2

1 2

22 200 1 0 2

1 20

1

0 1 0 2 0

1 2

n

n

nn

nj

j j

n n nn

n

ff fx xx x x x

xx x

ff fx xx x x xf

xx xx xx

f f fx x x x x x

x x x

1 1 10 0 0

1 2

1

2 2 20 0 0 2

1 2

0 0 0

1 2

n

n

n

n n n

n

f f fx x x

x x xx

f f fx x x x

x x x

xf f f

x x xx x x

0 .Df x x

dengan 0Df x disebut sebagai matriks Jacobian dari fungsi : n nf yang

terdiferensial pada nx dan 0Df x dapat dinotasikan 0Jf x .

Kemudian akan ditunjukkan proses linearisasi dari suatu sistem persamaan

diferensial. Misalkan 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ, ,...,

T

nx x x x adalah titik ekuilibrium Sistem (2.7)

maka pendekatan linear untuk Sistem (2.7) diperoleh dengan menggunakan

ekspansi Taylor disekitar titik ekuilibrium tersebut, sebagai berikut

1

1 11 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,..., , ,...,T T T T

n n n n n n f

n

f ff x x x f x x x x x x x x x x x x x R

x x

2

2 22 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,..., , ,...,T T T T

n n n n n n f

n


x x

21

(2.8)

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,..., , ,...,n

T T T Tn nn n n n n n n n f

n


x x

selanjutnya dengan pendekatan linear untuk Sistem (2.8) adalah

1

1 1 11 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,T T T

n n n n n f

n

f f fx x x x x x x x x x x x x x x x R

x x x

2

2 2 22 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,T T T

n n n n n f

n


x x x

(2.9)

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,n

T T Tn n nn n n n n n f

n


x x x

dengan 1 2, ,...,

nf f fR R R disebut sebagai bagian nonlinear yang selanjutnya dapat

diabaikan karena nilainya mendekati nol, sehingga Sistem (2.9) dapat ditulis

dalam bentuk matriks berikut

1 1 11 2 1 2 1 2

1 2

1

2 1 21 2 1 2 1 22

1 2

1 2 1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,...,

T T

n n n

n

T T

n n n

n

nTn n

n

f f fx x x x x x x x x

x x xx

f f fx x x x x x x x xx

x x x

xf f

x x x x xx x

1 1

2 2

1 2

ˆ

ˆ.

ˆ

ˆ ˆ ˆ, ,...,n n

Tnn n

n

x x

x x

x xf

x x x xx

(2.10)

Misalkan ˆ , 1,2,...,s s sy x x s n maka dari Sistem (2.10) diperoleh:

22

1 1 11 2 1 2 1 2

1 2

1

2 1 21 2 1 2 1 22

1 2

1 2 1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,...,

T T

n n n

n

T T

n n n

n

nTn n

n


x x xx

f f fx x x x x x x x xx

x x x

xf f

x x x x xx x

1

2

1 2

.

ˆ ˆ ˆ, ,...,n

Tnn n

n

y

y

yf

x x x xx

(2.11)

Sistem (2.11) merupakan linearisasi Sistem (2.18), sehingga diperoleh matriks

Jacobian dari Sistem (2.7), yaitu:

1 1 11 2 1 2 1 2

1 2

2 1 21 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,...,ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,..., , ,..., , ,.

T T

n n n

n

T T

n n n

n

Tn n nn n

n


x x x


x x xJf x

f f fx x x x x x x x

x x x

.

ˆ..,T

nx

Contoh 2.11

Diberikan 1 2 2

2

1 2

x x xf x

x x

pada titik 0 1,1

Tx . Akan dicari matriks Jacobian

dari fungsi f x sebagai berikut:

1 1

1 2 2 2

22 2

1 2

1

1 2

f f

x x x xDf

xf f

x x

maka

23

1 0

1,1 .1 2

TDf

Jadi, matrik Jacobian dari sistem tersebut adalah 1 0

1,1 .1 2

TDf

F. Bilangan Reproduksi Dasar 0R

Adapun definisi mengenai bilangan reproduksi dasar adalah sebagai

berikut:

Definisi 2.7. (Diekmann & Heesterbeek, 2000)

Bilangan reproduksi dasar 0R merupakan jumlah rata-rata kasus individu

terinfeksi yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi selama masa terinfeksinya

dalam keseluruhan populasi rentan.

Jika 0 1R maka penyakit hanya menginfeksi kurang dari satu individu

rentan sehingga kemungkinan penyakit akan hilang dari populasi. Jika 0 1R

maka individu yang terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu individu yang

rentan, sehingga individu yang terinfeksi dalam suatu populasi akan menularkan

penyakit tersebut dan penyakit akan menyebar dalam populasi dan jika 0 1R

maka individu yang terinfeksi akan menularkan tepat kepada satu individu.

Misalkan ada n kelas terinfeksi dan m kelas yang tidak terinfeksi (rentan)

serta nx dan my adalah subpopulasi dari masing-masing kelas dan untuk

,n m , sehingga:

x , ,i ix y x y , dengan 1,2,...,i n

24

y ,j x y , dengan 1,2,...,j m

dengan i adalah laju individu baru yang terinfeksi yang menambah pada kelas

terinfeksi, sedangkan i adalah laju perkembangan penyakit kematian, dan atau

kesembuhan yang mengurangi populasi dari suatu kelas.

Perhitungan bilangan reproduksi dasar 0R berdasarkan linierisasi dari

sistem persamaan diferensial yang didekati pada titik ekuilibrium bebas penyakit.

Persamaan kompartemen terinfeksi yang telah dilinearisasi dapat dituliskan

sebagai berikut:

x xF V

dengan F dan V adalah matriks berukuran n x n, dan 00,i

j

F yu

dan

00,i

j

V yu

.

Selanjutnya didefinisikan matriks K sebagai berikut:

1K FV

dengan K disebut sebagai next generation matrix. Nilai harapan dari infeksi

sekunder pada populasi rentan adalah eigen terbesar dari matriks K (Driessche &

Watmough, 2002) sehingga

1

0 .R K FV

25

Contoh 2.12

Diberikan sistem persamaan diferensial berikut:

dSSI S

dt

dISI I I

dt

dRI R

dt

(2.12)

dengan S menyatakan populasi individu sehat dan rentan pasa saat t, I menyatakan

populasi terinfeksi pada saat t, dan R menyatakan yang sembuh pada saat t.

Sistem (2.12) mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit 0 1,0,0E .

Pada Sistem (2.12) kelas terinfeksi adalah I , sehingga diperoleh Next

generation matrix dapat diperoleh dari kelas I, maka dapat dituliskan sebagai

berikut:

, , , ,I S R I S R I

dengan SI dan ,I I maka hasil linearisasi dari dan

masing-masing adalah F S dan V . Sehingga diperoleh Next

generation matrix berikut:

1 1.

SK FV S

(2.13)

26

Kemudian substitusikan nilai titik ekuilibrium bebas penyakit 0 1,0,0E

ke Persamaan (2.13) diperoleh:

K

maka diperoleh nilai 0R dari sistem (2.12) adalah

0 .R

G. Nilai Eigen

Nilai eigen dalam suatu matriks akan digunakan dalam menentukan

kestabilan dari suatu titik kritis. Nilai eigen suatu matriks dapat didefinisikan

dalam Definisi 2.9.

Definisi 2.8. (Anton, 1987)

Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam n dinamakan vektor

eigen (eigenvector)dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu:

Ax x (2.14)

untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x

dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Dari Persamaan (2.14) diperoleh:

Ax x

Ax Ix

0I A x (2.15)

27

dengan I adalah matriks identitas. Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada

pemecahan taknol dari Persamaan (2.15). Persamaan (2.15) akan memiliki

pemecahan taknol jika dan hanya jika:

det( ) 0.I A (2.16)

Persamaan (2.16) dinamakan persamaan karakteristik A dan skalar yang

memenuhi Persamaan (2.16) adalah nilai eigen dari A.

Jika A adalah matriks n x n, maka polinomial karakteristik A mempunyai

bentuk:

1

1det( ) ...n n

nI A c c

Contoh 2.13

Diketahui matriks 3 2

.1 0

B

Tentukan nilai-nilai eigen dari matriks B!

Jawab:

Persamaan karakteristik dari B adalah

det 0I B

3 2

01

2 3 2 0

28

2 1 0

sehingga diperoleh nilai eigen 2 dan 1.

H. Kestabilan Titik Ekuilibrium

Kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan diferensial baik

linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 2.9. (Olsder & Woude, 2004)

Diberikan sistem persamaan diferensial orde satu x f x dengan nx dan

0,x t x adalah solusi persamaan tersebut pada saat t dengan kondisi awal

00x x .

(i) Vektor x̂ yang memenuhi ˆ 0f x dikatakan sebagai titik ekuilibrium.

(ii) Titik ekuilibrium x̂ dikatakan stabil jika diberikan untuk setiap 0 ada

0 sedemikian sehingga jika 0ˆx x dan 0

ˆ,x t x x untuk

setiap 0t .

(iii) Titik ekuilbrium x̂ dikatakan stabil asimtotik jika titik ekuilibriumnya stabil

dan terdapat 1 0 sedemikian sehingga 0ˆlim , 0

tx t x x

, bila

0 1ˆx x .

(iv) Titik ekuilibrium x̂ dikatakan tidak stabil jika tidak memenuhi (ii).

Berikut adalah simulasi titik ekuilibrium stabil dan titik ekuilibrium stabil

asimtotik.

29

Stabil Stabil asimtotik Tidak stabil

Gambar 2.2. Simulasi Kestabilan Titik Ekuilibrium

Matriks jacobian dapat dapat digunakan dalam mengidentifikasi sifat

kestabilan sistem nonlinear disekitar titik ekuilbrium apabila sistem tersebut

memiliki titik ekuilibrium hiperbolik. Selanjutnya diberikan teorema mengenai

sifat kestabilan suatu sistem nonlinear yang ditinjau dari nilai eigen matriks

jacobian ˆJf x .

Definisi 2.10. (Wiggins, 1990)

Sebuah titik ekuilibrium dikatakan hiperbolik jika bagian real nilai eigen dari

matriks jacobian adalah tidak nol. Jika bagian manapun nilai eigen dari matriks

jacobian adalah nol, maka titik ekuilibrium disebut nonhiperbolik.

Teorema 2.2. (Olsder & Woude, 2004)

Diberikan sistem persamaan diferensial x Ax , dengan A adalah matriks

berukuran n x n, mempunyai k nilai eigen yang berbeda 1 2 3, , ,..., n dengan

k n .

30

(i) Titik ekuilibrium ˆ 0x dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika

0 1,2,...,ie i k .

(ii) Titik ekuilibrium ˆ 0x dikatakan stabil jika dan hanya jika

0 1,2,...,ie i k dan jika setiap nilai eigen , imajiner dengan

0ie , maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus

sama.

(iii) Titik ekuilibrium ˆ 0x dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat

paling sedikit satu 1 0e untuk 1,2,...,i k .

Bukti:

(i) Bukti dari kiri ke kanan

Akan ditunjukkan jika titik ekuilibrium ˆ 0x stabil asimtotik maka

0 1,2,...,ie i k .

Berdasarkan Definisi 2.9. titik ekuilibrium ˆ 0x dikatakan stabil asimtotik

jika 0ˆlim , 0

tx t x x

. Hal ini berarti bahwa untuk 0, ,t x t x akan

menuju ˆ 0x . Karena 0,x t x merupakan penyelesaian dari sistem

persamaan diferensial, sehingga 0,x t x memuat ie t

e

. Oleh karena itu,

supaya ie t

e

menuju ˆ 0x , maka harus bernilai negatif.

Bukti dari kanan ke kiri

Akan ditunjukkan jika 0 1,2,...,ie i k maka titik ekuilibrium ˆ 0x

stabil asimtotik.

31

0,x t x merupakan penyelesaian dari sistem persamaan diferensial,

sehingga 0,x t x selalu memuat ie t

e

. Jika 0ie , maka untuk

0, ,t x t x akan menuju ˆ 0x . Sehingga berdasarkan Definisi 2.9. titik

ekuilibrium ˆ 0x stabil asimtotik.

(ii) Bukti dari kiri ke kanan

Akan ditunjukkan bahwa jika titik ekuilibrium ˆ 0x stabil, maka

0 1,2,...,ie i k .

Andaikan 0ie , maka penyelesaian persamaan diferensial

0,x t x yang selalu memuat ie t

e

akan menuju atau menjauhi titik

ekuilibrium ˆ 0x untuk t , sehingga sistem tidak stabil. Hal tersebut

bertentangan dengan yang diketahui. Jadi terbukti bahwa jika titik

ekuilibrium ˆ 0x stabil, maka 0 1,2,...,ie i k . Bukti lain, jika

0ie maka saat t , berakibat 0, 0x t x sehingga titik

ekuilibrium ˆ 0x stabil.


Akan ditunjukkan bahwa jika 0 1,2,...,ie i k maka titik

ekuilibrium ˆ 0x dikatakan stabil dan jika setiap nilai eigen , imajiner

dengan 0ie , maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen

harus sama.

Penyelesaian 0,x t x merupakan penyelesaian dari sistem

persamaan diferensial, maka 0,x t x selau memuat ie t

e

. Jika 0ie ,

32

maka titik ekuilibrium ˆ 0x stabil asimtotik (pasti stabil). Jika 0ie

maka berupa nilai eigen berupa bilangan kompleks murni. Multiplisitas

aljabar berhubungan dengan nilai eigen sedangkan geometri berhubungan

dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa banyak nilai

eigen dan vektor eigen adalah sama.

Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil sembarang

sistem pada 2 yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni.

1 1

2 2

0, 0, 0.

0

x xpp q

x xq

(2.17)

Nilai eigen dari Sistem (2.17) ditentukan dengan mensubstitusikan matriks

0

0

pA

q

ke dalam persamaan det( ) 0A I sehingga diperoleh:

0p

q

.

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah

2 0pq

2 pq

i pq

1 i pq dan .i pq

33

Berdasarkan definisi, 1 2,T

x x x adalah vektor eigen dari A yang

bersesuaian dengan jika dan hanya jika x adalah penyelesaian nontrivial

dari 0A I x , yaitu dari

1

2

0.xp

xq

(2.18)

Jika 1 i pq , maka Persamaan (2.18) menjadi

1

2

0.i pq p x

xq i pq

Matriks augmentasi dari sistem di atas, yaitu

0

.0

pi pq

q i pq

Baris pertama matriks dikalikan i pq

pq sehingga diperoleh

1 0

.

0

i pq

q

q i pq

Kemudian baris kedua matriks 1

q sehingga diperoleh

1 0

.1 0

i pq

q

i pq

q

34

Selanjutnya baris kedua dikurangi dengan baris pertama sehingga diperoleh

matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi

1 0

.

0 0 0

i pq

q

Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi tersebut diperoleh penyelesaian

1 2 0i pq

x xq

1 2

i pqx x

q

misalkan 2x t , maka 1

i pqx t

q , dapat ditulis sebagai berikut:

1

2

.

1

i pqx

tqx

Jadi, vektor yang bersesuaian dengan 1 i pq yaitu 1

2

.1

x i pq

x

Jika 1 i pq , maka Persamaan (2.18) menjadi

1

2

0.i pq p x

xq i pq

Matriks augmentasi dari sistem di atas, yaitu

0

.0

pi pq

q i pq

35

Baris pertama matriks dikalikan i pq

pq sehingga diperoleh

1 0

.

0

i pq

q

q i pq

Kemudian baris kedua matriks 1

q sehingga diperoleh

1 0

.1 0

i pq

q

i pq

q

Selanjutnya baris kedua dikurangi dengan baris pertama sehingga diperoleh

matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi

1 0

.

0 0 0

i pq

q

Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi tersebut diperoleh penyelesaian

1 2 0i pq

x xq

1 2

i pqx x

q

misalkan 2x t , maka 1

i pqx t

q , dapat ditulis sebagai berikut:

1

2

.

1

i pqx

tqx

36

Jadi, vektor yang bersesuaian dengan 1 i pq yaitu 1

2

.1

x i pq

x

Sehingga terbukti bahwa banyaknya nilai eigen sama dengan vektor eigen.

(iii) Bukti dari kiri ke kanan

Akan dibuktikan jika titik ekuilibrium ˆ 0x tidak stabil, maka 0i

e

untuk setiap 1,2,...,k.i

Titik ekuilibrium ˆ 0x dikatakan tidak stabil jika t , maka

0,x t x akan menuju . Karena 0,x t x merpakan penyelesaian dari

sistem persamaan diferensial, maka 0,x t x memuat

.ie te

Hal ini dapat

dipenuhi bahwa 0ie .


Akan dibuktikan jika 0ie untuk setiap 1,2,..., ki , maka titik

ekuilibrium ˆ 0x tidak stabil.

Jika 0ie , maka saat nilai t , berakibat 0,x t x

sehingga titik ekilibrium tidak stabil.

Contoh 2.14

Diberikan matriks

1 3

1 2A

Nilai eigen dari matriks A adalah

37

1 3 1 0 1 2

det( ) det 01 2 0 1 2 2

A I

1 2 4 0

2 6 0

2 3 0

1 2 dan 2 3 .

Jadi nilai eigen dari matriks A adalah 1 2 dan 2 3 .

I. Kriteria Routh-Hurwitz

Menentukan kestabilan diperlukan perhitungan untuk menentukan nilai

eigen dari matriks jacobian, adapun salah satu cara untuk menentukan nilai eigen

tersebut yaitu menggunakan kriteria Routh-Hurwitz .

Definisi 2.12. (Olsder & Woude, 2004)

Kriteria Routh-Hurwitz:

Semua akar-akar dari polinomial (2.30) memiliki bagian real negatif jika dan

hanya jika tabel Routh-Hurwitz terdiri dari n+1 baris dan semua elemen kolom

pertama pada tabel memiliki tanda yang sama (semua elemen bertanda positif

atau negatif).

Diberikan suatu persamaan karakteristik dari akar-akar persamaan matiks

nxnA sebagai berikut:

1 2

0 1 2 1...n n n

n nA I a a a a a

(2.19)

38

dengan , 0,1,2,...,ia i n dan 0 0a merupakan koefisien dari persamaan

karakteristik matrik A. Akar-akar dari Persamaan (2.30) dapat diketahui dengan

menyusun tabel Routh sebagai berikut:

0 2 4

1 3 5

1 2 3

1 2 3

a a a

a a a

b b b

c c c

dengan , , i 1,2,..., ni ib c didefinisikan sebagai berikut:

1 2 0 3 1 4 0 5 1 2 0 2 11 2

1 1 1

1 3 1 2 1 5 1 3 1 2 1 1 11 2

1 1 1

, , ,

, , , .

n nn

n nn

a a a a a a a a a a a ab b b

a a a

b a a b b a a b b a a bc c c

b b b

(2.20)

Perhitungan dalam membentuk tabel Routh terus dilakukan sampai mendapatkan

kolom pertama bernilai nol.

39

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Permasalahan Nyata Penyebaran Penyakit Tuberculosis

Tuberculosis merupakan salah satu penyakit menular yang disebabkan

oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis. Penularan penyakit Tuberculosis paling

banyak dan paling mudah melalui udara, oleh karena itu organ yang pertama kali

diserang adalah organ pernapasan. Selain menular penyakit tersebut juga bisa

menyebabkan kematian.

Individu baru dapat masuk ke dalam populasi karena adanya kelahiran dan

individu dapat dikatakan keluar dari populasi karena kematian. Jumlah populasi

adalah semua individu yang sehat atau rentan terhadap penyakit Tuberculosis,

individu yang terinfeksi Tuberculosis, dan individu yang telah sembuh setelah

terinfeksi Tuberculosis. Individu yang rentan akan mengalami 2 kemungkinan,

yaitu akan meninggal ataupun akan terinfeksi Tuberculosis. Kemudian individu

yang terinfeksi juga mengalami 2 kemungkinan, yaitu individu akan sembuh atau

individu akan meninggal.

Model matematika pada penyebaran penyakit Tuberculosis, populasi

manusia terbagi menjadi 3 subpopulasi, yaitu individu yang rentan (Susceptible),

individu yang terinfeksi Tuberculosis (Infectious), dan individu yang sembuh dari

penyakit Tuberculosis (Recovered). Individu yang masuk ke dalam subpopulasi

Susceptible adalah semua individu yang belum pernah menderita penyakit

Tuberculosis. Individu yang termasuk dalam subpopulasi Infectious adalah semua

individu yang menderita Tuberculosis. Sedangkan individu yang termasuk dalam

40

subpopulasi Recovered ialah semua individu yang benar-benar sudah sembuh dari

penyakit Tuberculosis.

B. Model Matematika Penyebaran Penyakit Tuberculosis

Dalam menyederhanakan model matematika penyebaran penyakit

Tuberculosis, diberikan asumsi-asumsi sebagai berikut :

1. Populasi penduduk bersifat tertutup yang artinya pertambahan atau

pengurangan penduduk hanya dikarenakan oleh kelahiran dan kematian,

sedangkan pertambahan dan pengurangan yang disebabkan oleh faktor lain

diabaikan.

2. Populasi bersifat homogen yang artinya setiap individu mempunyai

kemungkinan yang sama untuk dapat terjangkit penyakit Tuberculosis.

3. Kematian yang disebabkan oleh faktor lain selain terinfeksi Tuberculosis

dianggap sebagai kematian alami.

4. Individu yang belum terserang penyakit termasuk ke dalam kelas susceptible.

5. Individu pada kelas recovered tidak akan kembali lagi menjadi individu pada

kelas infectious.

6. Terjadi kematian akibat terinfeksi Tuberculosis.

Tabel 3.1. Variabel dan parameter yang digunakan dalam model

Simbol Definisi Syarat

N t Jumlah populasi pada suatu daerah pada saat t. 0N

( )S t Banyaknya individu yang sehat dan rentan

tehadap penyakit Tuberculosis pada saat t.

( ) 0S t

41

(Susceptible)

( )I t Banyaknya individu yang terinfeksi dan dapat

menularkan Tuberculosis kepada individu lain.

(Infectious)

( ) 0I t

( )R t Banyaknya individu yang sembuh setelah

terinfeksi Tuberculosis. (Recovered)

( ) 0R t

Laju kelahiran populasi. 0

Laju kematian alami. 0

t Laju kematian yang disebabkan oleh penyakit

Tuberculosis.

0t

b Laju penularan penyakit Tuberculosis. 0b

c Laju individu sembuh setelah terinfeksi

Tuberculosis.

0c

Berdasarkan masalah-masalah yang diasumsikan dan parameter yang

digunakan maka dapat dibuat skema pada penyebaran penyakit Tuberculosis

seperti berikut :

42

Gambar 3.1. Diagram Alir Model Matematika Tuberculosis

Berdasarkan diagram alir pada Gambar 3.1. akan dibentuk model SIR

untuk penyebaran penyakit Tuberculosis adalah :

a. Perubahan banyaknya individu susceptible terhadap waktu

Pada populasi kelas susceptible S terjadi pertambahan dan pengurangan

jumlah individu. Pertambahan banyaknya individu pada kelas ini terjadi karena

kelahiran individu , sedangkan pengurangan banyaknya individu terjadi

karena kematian alami individu per satuan waktu . Oleh karena itu diperoleh

persamaan diferensial sebagai berikut :

.dS I

b S Sdt N

(3.1)

b. Perubahan banyaknya individu yang terinfeksi (infectious) terhadap waktu

Perubahan banyaknya individu kelas infectious dipengaruhi oleh

bertambahnya individu yang terlular penyakit Tuberculosis dan berkurangnya

individu karena kematian yang disebabkan oleh faktor lain per satuan waktu

serta kematian individu karena penyakit Tuberculosis per satuan waktu t .

43

Selain itu, berkurangnya individu pada kelas infectious juga dipengaruhi oleh

individu yang sembuh setelah terjangkit penyakit Tuberculosis dengan laju c .

Sehingga didapatkan persamaan diferensial sebagai berikut :

= ( ) .

t

t

dI Ib S I I cI

dt N

Ib S c I

N

(3.2)

c. Perubahan banyaknya individu yang sembuh (recovered) terhadap waktu

Individu pada kelas infectious yang telah sembuh dari penyakit

Tuberculosis selanjutnya akan masuk ke dalam kelas recovered dengan laju

kesembuhan c . Oleh karena itu, diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut :

.dR

cI Rdt

(3.3)

Berdasarkan deskripsi dari Persamaan (3.1), (3.2), dan (3.3) maka

diperoleh sistem persamaan diferensial sebagai berikut :

= ( )t

dS Ib S S

dt N

dI Ib S c I

dt N

dRcI R

dt

(3.4)

dengan .N S I R

44

C. Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis

1. Titik Ekuilibrium

Pada model matematika penyebaran penyakit Tuberculosis selanjutnya

akan dicari titik ekuilibrium dengan cara membuat sistem tersebut dalam kondisi

konstan terhadap waktu, yaitu kondisi dimana 0,dS

dt 0,

dI

dt dan 0.

dR

dt

Sehingga dari sistem Persamaan (3.4) diperoleh titik ekuilibrium yang disajikan

dalam Teorema 3.1. sebagai berikut :

Teorema 3.1. (Eksistensi Titik Ekuilibrium)

a. Jika 0I , maka Sistem Persamaan (1.4) memiliki titik ekuilibrium bebas

penyakit 0 ( , , ) ,0,0E S I R

.

b. Jika 0I , maka Sistem Persamaan (1,4) memiliki titik ekuilibrium endemik :

1

b b( ), , , ,

t t

t t t t t

c c ccE S I R

b c b c b

dengan syarat .tb c

Bukti :

Sistem Persamaan (3.4) akan mencapai titik ekuilibrium apabila 0,dS

dt 0,

dI

dt

dan 0.dR

dt Sehingga Sistem (3.4) dapat ditulis :

0I

b S SN

(3.5)

45

( ) 0t

Ib S c I

N (3.6)

0.cI R (3.7)

Berdasarkan Persamaan (3.6), diperoleh :

( ) 0t

Ib S c I

N

( ) 0t

bSI c

N

0.I (3.8)

Dan jika 0I

( )t

bSc

N

( )t c

S Nb

( )( )t c S I R

Sb

( ) ( )( )t tc S c I R

Sb b

b ( )( )t tc c I R

Sb b

( )( )

.b

t

t

c I RS

c

(3.9)

a. Dari Persamaan (3.8) dan Persamaan (3.7) diperoleh :

0cI R

46

0R

0.R (3.10)

Dari Persamaan (3.5), (3.8) dan (3.10) diperoleh:

0I

b S SN

0S

.S

(3.11)

Oleh karena itu, diperoleh titik ekuilibrium 0 ( , , ) ,0,0E S I R

sehingga terbukti sistem Persamaan (1.4) memiliki titik ekuilibrium bebas


.

b. Untuk setiap 0I artinya 0I maka pada Persamaan (3.7) diperoleh :

.R

Ic

(3.12)

Substitusikan Persamaan (3.12) pada Persamaan (3.9) diperoleh :

( ).

b

t

t

R c cS

c c

(3.13)


( )0

b

tt

t

R c ccRb N

cN b c c

47

1b

t

t

c cR

c c

b

t t

t

c bR

c c

b.

t

t t

c cR

c b

(3.14)


b t

t t

c cI

c c b

b, 0.

t

t t

cI I

c b

(3.15)

Supaya 0I maka diperoleh :

b0

t

t t

c

c b

b0

t

t

c

b

b

0t

t

c

b

1 0t

c

b

1t

c

b

tb c

48

.tb c


b ( )

b

t t

t t t

c c c cS

c b c c

( )

.t

cS

b

(3.16)

Berdasarkan Persamaan (3.14), (3.15), dan (3.16) diperoleh titik ekuilibrium

sebagai berikut :

1

b b( ), , , ,

t t

t t t t t

c c ccE S I R

b c b c b

dengan syarat tb c .

Jadi terbukti jika 0I , maka Sistem Persamaan (3,4) memiliki titik ekuilibrium

endemik :

1

b b( ), , , , .

t t

t t t t t

c c ccE S I R

b c b c b

2. Bilangan Reproduksi Dasar 0R

Bilangan reproduksi dasar 0R adalah jumlah rata-rata dari kasus

sekunder yang disebabkan oleh individu yang terinfeksi selama masa

terinfeksinya dalam suatu populasi individu rentan. Jika 0 1R penyakit tidak

49

menyerang populasi atau terbebas dari infeksi, namun jika 0 1R maka setiap

penderita sangat mungkin untuk menyebarkan penyakit kepada lebih dari 1

penderita baru, sehingga dapat menyebabkan endemik.

Bilangan reproduksi dasar 0R dapat ditentukan menggunakan metode

next generation matrix dari Sistem Persamaan (3.4). Pada model matematika

tersebut, kelas terinfeksi adalah Infectious (I) sehingga persamaan diferensial yang

digunakan sebagai berikut:

= ( )t

dI Ib S c I

dt N (3.17)

maka diperoleh:

dan = .t

Ib S c I

N

Selanjutnya dan dilinearisasi, diperoleh hasil linierisasi sebagai berikut:

2 dan t

bS bSIF V c

N N

Kemudian akan dicari 1V diperoleh:

1 1

t

Vc

Next generation matrix diperoleh dari hasil perkalian F dan 1V sebagai berikut:

50

2

1

2

1.

t t

bS bSIbS bSI N NK FVN N c c

(3.18)

Pada awal kemunculan penyakit pada populasi, hampir semua individu rentan

terhadap penyakit, sehingga S pada Persamaan (3.18) dapat didekati dengan

menggunakan titik ekuilibrium bebas penyakit. Sehingga langkah selanjutnya,

yaitu mensubstitusi 0 ( , , ) ,0,0E S I R

pada Persamaan (3.18), diperoleh:

t

bK

c

. (3.19)

Dari Persamaan (3.19) diperoleh nilai eigen, yaitu t

b

c . Sehingga bilangan

reproduksi dasar 0R dari Sistem Persamaan (3.4) sebagai berikut:

0

t

bR

c

. (3.20)

3. Analisis Kestabilan

Nilai eigen berfungsi untuk mencari kestabilan dari titik ekuilibrium pada

sistem. Nilai eigen dapat ditentukan menggunakan matriks Jacobian MJ untuk

setiap titik ekuilbrium.

Kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan (3.4) disajikan dalam

Teorema 3.2. dan Teorema 3.3. sebagai berikut :

51

Teorema 3.2.

a. Jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas penyakit 0 ( , , ) ,0,0E S I R

stabil asimtotik lokal

b. Jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas penyakit 0 ( , , ) ,0,0E S I R

tidak stabil

Bukti:

Hasil linearisasi Sistem (3.4) akan diperoleh matriks Jacobian:

2 2 2

2 2 2

0

t

f f f bI bSI bs bSI bSI

S I R N N N N N

g g g bI bSI bs bSI bSIMJ c

S I R N N N N N

h h h c

S I R

(3.21)

Substitusikan 0E pada Persamaan (3.21) diperoleh:

1,0,0

0

0 0

0

t

b

MJ MJ b c

c

Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk , yaitu:

1det( ) 0MJ I

0

0 0 0

0

t

b

b c

c

52

0tb c

Sehingga nilai eigen untuk titik ekuilibrium 0E adalah:

1 2 3, , tb c (3.22)

a. Akan ditunjukkan jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas penyakit

0 ( , , ) ,0,0E S I R

stabil asimtotik lokal.

Jika 0 1R maka :

1t

b

c

tb c

0tb c

Oleh karena itu, Persamaan (3.22) semuanya bernilai negatif. Sehingga terbukti

jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas penyakit 0 ( , , ) ,0,0E S I R

stabil.

b. Akan ditunjukkan jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas penyakit

0 ( , , ) ,0,0E S I R

tidak stabil.

Jika 0 1R maka :

0tb c

53

Jadi jika 0 1R membuat Persamaan (3.22) tidak semuanya bernilai negatif

karena nilai 3 0 . Sehingga terbukti jika 0 1R maka titik ekuilibrium bebas


tidak stabil.

Teorema 3.3.

a. Jika 0 1R maka titik ekuilibrium

1

b b( ), , , ,

t t

t t t t t

c c ccE S I R

b c b c b

tidak stabil

b. Jika 0 1R maka titik ekuilibrium

1

b b( ), , , ,

t t

t t t t t

c c ccE S I R

b c b c b

stabil

asimtotik lokal.

Bukti:

Substitusikan 1E pada Persamaan (3.21) diperoleh:

2 b b( ), ,

t t

t t t t t

c c cc

b c b c b

MJ MJ

2

2

2 ,

0

L A MA L M L M

A A A

L L M L MMJ

A A A

c

54

dengan ,J c ,tK b ,tL b c tM c , dan

.A b c

Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk , yaitu:

2det 0MJ I

2

2

0

0

L A A MA L M L M

A A A

L L M A L M

A A A

c

.

Sehingga nilai eigen untuk titik ekuilibrium 1E adalah :

2L A L M A L M

A A A

2

0L MA L M L M

A A A

2L A L M A L Mc

2 0L MA L M L Mc

23 2 2 3 2L M AL L Mc AL M

22 2A AL Mc L MA

3 2 3 2 0L M L Mc

2 22 2AL AL M A

55

2 0AL Mc L MA

2 2 0.A L L M A L Mc L M

Selanjutnya diperoleh:

0

1 (3.23)

dan

2 2 0L L M A L Mc L M

2 2 2 2 0L L M L M A A L Mc L M

2 2 2 2 0A L L M A L M L Mc L M

2 0A L L M A L M L c

2 0A L b bJ L M L K L

2 0A b L J L MK

2 0tA b b L MK (3.24)

Persamaan (3.24) dapat ditulis menjadi

2

0 1 2 0a a a (3.25)

dengan

0a A

1 ta b b

2 .a L MK

56

Menurut kriteria Routh Hurwitz, semua nilai eigen Persamaan (3.25) bagian

realnya bernilai negatif sehingga 0 0,a 1 0,a dan 2 0a . Berdasarkan

Persamaan (3.25), nilai 0a A sudah pasti bernilai positif karena

0 0.a A b c

Selanjutnya akan diselidiki 1a dan 2a harus bernilai positif, yaitu:

1 0a

0tb b

tb (3.26)

dan

2 0a

0L MK

0t t tb c c b

0t tb c b

sehingga diperoleh

dan .t tb b c (3.27)

Bukti:

a. Akan dibuktikan bahwa Jika 0 1R maka titik ekuilibrium

1

b b( ), , , ,

t t

t t t t t

c c ccE S I R

b c b c b

tidak

stabil

57

Berdasarkan Persamaan 2.20, untuk 0 1R diperoleh

1t

b

c

.tb c (3.28)

Pada Persamaan (3.28) terlihat bahwa persamaan tersebut berlawanan dengan

Persamaan (3.27), sehingga terbukti untuk 0 1R maka titik ekuilibrium 1E tidak

stabil.

b. Akan ditunjukkan bahwa titik ekuilibrium 1E akan stabil asimtotik lokal jika

0 1R

Berdasarkan Persamaan 3.20, untuk 0 1R diperoleh

1t

b

c

.tb c (3.29)

Persamaan (3.29) sama dengan Persamaan (3.27) sehingga terbukti jika 0 1R

maka titik ekuilibrium 1E stabil asimtotik lokal.

D. Analisis Numerik Model SIR pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis

Analisis numerik menggambarkan lebih jelas mengenai model penyebaran

penyakit Tuberculosis dengan menggunakan parameter-parameter dan nilai awal

tertentu. Pada subbab ini akan membahas mengenai analisis numerik jika 0 1R

dan 0 1R dengan nilai awal dan parameter tertentu.

58

Pada tahun 2014, menurut profil kesehatan tahun 2015 di kota Yogyakarta

terdapat penemuan kasus penderita Tuberculosis sebanyak 491 jiwa. Jumlah

penduduk kota Yogyakarta pada saat itu sebanyak 413.936 jiwa dengan 202.296

jiwa penduduk laki-laki dan 211.640 jiwa penduduk perempuan. Berdasarkan

permasalahan nyata yang terjadi di kota Yogyakarta diperoleh nilai awal untuk

0 413205,S 0 491,I dan 0 240R . Selain itu juga diperoleh

banyaknya kelahiran sebesar 4369 4369 . Banyaknya kematian yang

disebabkan oleh penyakit Tuberculosis adalah 10 orang dalam 1 tahun, sehingga

310 51,697216565x10

491x12 2946t

. Selanjutnya diasumsikan bahwa rata-

rata usia hidup seseorang adalah 70 tahun atau 840 bulan, sehingga diperoleh

311,19047619x10

840 .

1. Simulai 0 1R

Untuk 0 1R , diberikan nilai-nilai parameter supaya memenuhi syarat

0 1R , yaitu 0,00015b dan 0,027c (Fredlina, K. Queen, dkk, 2012). Jika

nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan (3.20) maka diperoleh nilai

0 0,005018788208 1R . Dari nilai awal dan parameter-parameter tersebut,

dengan demikian diperoleh simulasi 0 1R yang ditunjukkan pada Gambar 3.2.

sebagai berikut:

59

Gambar 3.2. Grafik Simulasi untuk 0 0,005018788208R

Pada Gambar 3.2. terlihat perubahan populasi S, I, dan R terhadap waktu.

Populasi I dan R mendekati nilai nol atau bahkan bisa menuju nol, sedangkan

populasi S mengalami peningkatan. Hal ini menunjukkan bahwa perilaku solusi

semakin lama akan menuju titik 0E atau dapat dikatakan bahwa pada saat 0 1R

maka semakin lama penyakit Tuberculosis akan hilang dari populasi. Nilai

numerik untuk 0E adalah 3669960,001 366 61* 99S ; * 0I ; dan * 0R .

2. Simulasi 0 1R

Untuk 0 1R , diberikan nilai-nilai parameter supaya memenuhi syarat

0 1R , yaitu 0,0097b dan 0,00032c (K. Queena Fredlina, dkk, 2012). Jika

60

nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan (3.20) maka diperoleh nilai

0 3,023980394 1R . Nilai-nilai parameter tersebut memberikan simulasi untuk

0 1R sebagai berikut:


Berdasarkan Gambar 3.3. menunjukkan bahwa populasi susceptible

semakin menurun sedangkan populasi infectious semakin meningkat dan melebihi

populasi susceptible kurang lebih setelah 1500t . Walaupun populasi recovered

semakin meningkat, namun populasi infectious mengalami peningkatan yang

cukup cepat karena tingkat kesembuhan penyakit Tuberculosis yang masih

rendah. Hal ini menunjukkan bahwa jika parameter yang terbentuk memenuhi

syarat 0 1R maka penyakit Tuberculosis akan menjadi endemik. Nilai numerik

61

untuk 1E yang dihasilkan dari parameter-parameter yang memenuhi syarat 0 1R

adalah * 692682,3 692683954S ; * 1104961,844 1104962I ; dan

* 297013,7437 297014R .

Selanjutnya diberikan simulasi dengan nilai awal dan parameter yang

sama, namun dengan nilai 0,08b dan 0,00032c . Jika nilai parameter

disubstitusikan pada Persamaan (3.20) maka diperoleh nilai 0 24.94004448R .

Gambar 3.4. Grafik Simulasi untuk 0 24.94004448R

Pada Gambar 3.4. terlihat bahwa populasi susceptible semakin menurun

kurang lebih setelah 50t dan populasi infectious meningkat melebihi populasi

susceptible ketika kurang lebih 100t . Pada Gambar 3.4. populasi recovered

juga terlihat meningkat, namun hal tersebut tidak mempengaruhi populasi

62

susceptible karena populasi infectious meningkatnya sangat cepat sehingga

peenyakit Tuberculosis akan menjadi endemik. Nilai numerik yang dihasilkan

adalah * 70794,25477 70795S ; * 1335764,193 1335765I ; dan

359053,4153 0* 359 54R .

Pada Gambar 3.5. menunjukkan grafik simulasi dengan nilai awal dan

parameter yang sama, namun dengan nilai 0,0097b dan 0,00015c sehingga

diperoleh 0 3,193213002R .


Berdasarkan Gambar 3.5. populasi susceptible akan semakin menurun setelah

mencapai puncaknya, yaitu kurang lebih 600t dan populasi infectious akan

63

semakin meningkat bahkan akan melebihi populasi susceptible pada kurang lebih

setelah 1400t . Populasi recovered tidak tampak begitu jelas peningkatannya,

sehingga penyakit Tuberculosis dapat dikatakan menjadi endemik. Nilai numerik

yang dihasilkan adalah * 614722,8699 614723S ; * 1197351,856 1197352I ;

dan 150866,3340 8* 150 67R .

64

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Pada skripsi ini telah dibahas mengenai model SIR (Suscetible, Infectious,

Recovered) untuk penyebaran penyakit Tuberculosis. Berikut adalah kesimpulan

yang dapat diambil dari pembahasan model tersebut, yaitu:

1. Model matematika untuk penyebaran penyakit Tuberculosis berupa sistem

persamaan diferensial orde satu. Model yang diperoleh sebagai berikut:

= ( )t

dS Ib S S

dt N

dI Ib S c I

dt N

dRcI R

dt

dengan .N S I R

2. Analisis titik ekuilibrium model penyebaran penyakit Tuberculosis diperoleh

dua titik ekuilibrium, yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit

0 ( , , ) ,0,0E S I R

dan titik ekuilibrium endemik

1

b b( ), , , , .

t t

t t t t t

c c c ccE S I R

b c b c b

3. Model penyebaran penyakit Tuberculosis memiliki bilangan reproduksi dasar

0R sebagai berikut:

0

t

bR

c

.

65

0R merupakan suatu indikator penyebaran penyakit. Jika 0 1R penyakit tidak

menyerang populasi atau terbebas dari infeksi, namun jika 0 1R maka setiap

penderita sangat mungkin untuk menyebarkan penyakit kepada lebih dari 1

penderita baru, sehingga dapat menyebabkan endemik.

4. Pada analisa kestabilan model penyebaran penyakit Tuberculosis diperoleh:

a. Pada kondisi 0 1R titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal.

Hal ini menunjukkan bahwa untuk jangka waktu lama, populasi penderita

Tuberculosis akan semakin berkurang atau bahkan penyakit Tuberculosis akan

menghilang.

b. Sementara pada saat 0 1R titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil.

Hal ini menunjukkan bahwa untuk jangka waktu tertentu, populasi penderita

Tuberculosis akan tetap ada.

5. Berdasarkan hasil simulasi analisis numerik pada penderita Tuberculosis di

Kota Yogyakarta, dengan nilai awal dan parameter yang telah diberikan,

diperoleh bahwa:

a. Semakin besar laju kontak atau laju penularan dengan laju kesembuhan

yang sama maka penyakit akan semakin menyebar.

b. Semakin kecil laju kesembuhan dengan laju kontak yang sama maka

penyakit juga akan semakin menyebar.

B. Saran

1. Pada skripsi ini simulasi analisis numerik pada model penyebaran penyakit

Tuberculosis hanya terbatas di wilayah Kota Yogyakarta tahun 2014. Oleh

karena itu, untuk penelitian selajutnya bisa dilakukan pengambilan data pada

66

wilayah lainnya supaya dapat mengetahui penyebaran penyakit Tuberculosis di

wilayah lainnya.

2. Analisis kestabilan global dapat dilakukan untuk penelitian selanjutnya.

3. Pada model matematika yang terbentuk dapat ditambahkan kompartemen baru

atau melibatkan jenis perawatan penderita Tuberculosis.

67

DAFTAR PUSTAKA

. 2015. Profil Kesehatan Tahun 2015 Kota Yogyakarta (Data Tahun

2014). Yogyakarta: Dinas Kesehatan Kota Yogyakarta.

Cahyono, Edi. 2013. Pemodelan Matematika. Yogyakarta; Graha Ilmu.

Diekmann, O dan Heesterbeek. 2000. Mathematical Epidemilogy of Infectious

Diseases. New York: John Wiley and Son.

Driessche and Watmough. 2002. Reproduction Number and Sub-Threshold

Endemic Equilibria for Compartemental Models of Disease Transmission.

Mathematical Biosciences. 180. Hlm. 29-48.

Fredlina, K. Queena, dkk. 2012. Model SIR (Susceptible, Infectious, Recovered)

untuk Penyebaran Penyakit Tuberculosis. E-jurnal Matematika 1(I). Hlm

52-58.

M. Rifki Taufik, dkk. 2015. Mathematical Model for Vaccinated Tuberculosis

Disease with VEIT Model. International Journal of Modeling and

Optimization 5(3). Hlm.192-197.

Olsder, G. J & Woude J.W. van der. 2004. Mathematical Systems Theory.

Netherland: VVSD.

Perko, Lawrence. 2001. Differential Equations and Dynamical Systems. 3rd.New

York: Springer.

Ross, L. 1984. Differential Equations. 3rd. New York: Springer.

Sari, Ilmiyati & Tasman, Hengki. 2014. Model Epidemik SIR untuk Penyakit yang

Menular Secara Horizontal dan Vertikal. Prosiding Konferensi Nasional

Matematika XVII. Surabaya : ITS. Hlm 758.

Suyono, Slamet. 2011. Buku ajar ilmu penyakit dalam jilid II. Perhimpunan

Dokter Spesialis Penyakit Dalam. Jakarta: Balai Penerbit FKUI.

Widowati & Sutimin. 2007. Pemodelan Matematika. Semarang : Universitas

Diponegoro.

Wiggins, Stephen. 1990. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems

and Chaos. New York: Springer.

68

LAMPIRAN

Lampiran 1. Program maple untuk gambar proyeksi potret fase solusi-solusi

S,I,R terhadap t dengan 0 0,005018788208R

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

69


terhadap t dengan 0 3,023980394R

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

70


S,I,R terhadap t dengan 0 24.94004448R

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

71


S,I,R terhadap t dengan 0 3,193213002R

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

ANALISIS NUMERIK MODEL EPIDEMIK SIR …eprints.uny.ac.id/50953/1/skripsi.pdf · KATA PENGANTAR...

Documents

Transcript of ANALISIS NUMERIK MODEL EPIDEMIK SIR …eprints.uny.ac.id/50953/1/skripsi.pdf · KATA PENGANTAR...