METODE BISEKSI DAN METODE NEWTON - RAPHSON

PaperDisusun untuk memenuhi tugas Metode Numerik yang dibina oleh Bapak

Sujito, S.T., M.T.

OlehLILIK EMI RAHAYU

207533408593

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKAJURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS NEGERI MALANG

MARET 2009

PENDAHULUAN

Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan

sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmatika. Salah

satu persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode numerik adalah persamaan

non linear.

Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar dari persamaan

non linier tersebut. Sebuah bilangan dianggap akar dari sebuah persamaan jika

seandainya bilangan tersebut dimasukkan ke dalam persamaan, maka nilai

persamaan itu akan sama dengan nol atau bisa dikatakan akar sebuah persamaan f(x)

=0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Bila

digambarkan dengan grafik, akar persamaan yang menyebabkan f(x) = 0 adalah titik

potong antara kurva f(x) dengan sumbu x.

Meskipun tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non

linier merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang.

Ada 2 pendekatan yang dapat digunakan pada penyelesaian persamaan non

linier yaitu dengan metode akolade dan metode terbuka. Metode akolade (Bracketing

Method) adalah metode yang hanya membutuhkan 2 tebakan awal untuk mengira-

ngira akar dari sebuah persamaan. Sebuah fungsi sesuai jenisnya akan berubah

disekitar harga suatu akar. Akar sebenarnya dari persamaan tersebut nantinya akan

berada di antara 2 angka yang telah ditebak tersebut. Metode ini terdiri dari metode

Regula Falsi (false position method) dan metode bagi-dua/ biseksi (bisection

Akar persamaan sebagai penyelesaian

method). Sementara itu metode terbuka adalah metode yang tidak memerlukan batas

bawah dan batas atas pada perkiraan nilai awal. Karena hal itu, bila tebakan awal

tepat, maka hasilnya akan mendekati akar yang sesungguhnya dengan kecepatan

lebih cepat dari metode biseksi. Metode ini terdiri dari metode Newton-Raphson,

metode secant dan iterasi titik-tetap (Fix point iteration). Dari metode-metode

tersebut, metode biseksi dan metode Newton-Raphson adalah dua metode yang

sering digunakan.

Catatan :

Pendekatan Dan Kesalahan

Kesalahan di dalam metode numerik dibagi menjadi dua macam yaitu:

1. Kesalahan pembulatan ( round of error)

2. Kesalahan pemotongan ( truncation error )

Kesalahan pembulatan adalah kesalahan yang disebabkan oleh pembulatan

misalnya 0.4 menjadi 0 atau 0,5 menjadi 1.Sedangkan kesalahan pemotongan

adalah kesalahan yang ditimbulkan pada saat dilakukan pengurangan jumlah

angka signifikan.

Kesalahan numerik adalah kesalahan yang timbul karena adanya proses

pendekatan.Hubungan kesalahan dan penyelesaian adalah :

dimana xˆ adalah nilai yang sebenarnya ( nilai eksak ), x adalah nilai pendekatan

yang dihasilkan dari metode numeric, e adalah kesalahan numerik.

Kesalahan fraksional adalah prosentase antara kesalahandan nilai sebenarnya.

Pada banyak permasalahan kesalahan fraksional di atas sulit atau tidak bisa

dihitung karena nilai eksaknya tidak diketahui.Sehingga kesalahan fraksional

dihitung berdasarkan nilai pendekatan yang diperoleh:

Perhitungan kesalahan semacam ini dilakukan untuk mencapai keadaan

konvergensi pada suatu proses iterasi.

PEMBAHASAN

1. Metode Biseksi

Seperti yang telah disinggung sebelumnya, metode biseksi merupakan salah

satu contoh dari metode akolade. Metode biseksi juga disebut metode pembagian

interval karena membagi area antara 2 bilangan yang merupakan tebakan awal

menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar

dan bagian yang tidak. Bagian yang tidak mengandung akar akan dibuang

selanjutnya pencarian dilakukan pada bagian yang diperkirakan mengandung

akar.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Langkah-langkah menentukan akar dengan metode biseksi

1. Menentukan dua titik nilai awal, misalnya a sebagai batas bawah dan b

sebagai batas atas. Nilai ini diperoleh dengan cara menebak. Namun harus

diusahakan range tebakan sedekat mungkin dengan perkiraan akar

persamaan.

2. Dari 2 nilai awal tersebut, tentukan nilai tengah ( c ) dengan rumus :

Sehingga akan muncul dua daerah yaitu daerah akar (x) yaitu antara c dengan

a ( a<x<c) dan antara c dengan b (c<x<b)

3. Setelah memperoleh nilai c, masukkan nilai tersebut pada persamaan f(x)

sehingga persamaan menjadi f(c)

4. Jika f(c) > 0 maka akar(x) berada pada daerah a< x < c atau di sebelah kiri

garis bagi daerah (garis yang ditarik vertical dari titik c )

Jika f(c) < 0 maka akar (x) berada pada daerah c < x < b atau di sebelah

kanan garis bagi daerah (garis yang ditarik vertikal dari titik c)

c

5. Jika f(c) > 0 maka a = tetap menjadi batas bawah sementara c = batas atas

yang baru. Ulangi langkah 2 hingga mendapatkan nilai tengah antara a dan c ,

selanjutnya kita sebut nilai tengah ini dengan xn saja.

Jika f(c) < 0 maka c = batas bawah sementara b = tetap batas atas. Ulangi

langkah 2 hingga mendapatkan nilai tengah antara c dan b, selanjutnya kita

sebut nilai tengah ini dengan xn saja.

6. Setelah mendapatkan nilai tengah (xn) ulangi langkah 3 dan 4 sampai f(xn) =

0 atau mendekati 0 (tergantung toleransi yang diberikan). Bila f(xn) = 0 atau

mendekati 0 berarti akar persamaannya sudah ditemukan sehingga iterasi

dihentikan.

a

b

c

Daerah akar bila f(c) > 0

Daerah akar bila f(c) < 0

Algoritma metode biseksi

(1) Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya.

(2) Tentukan nilai a dan b.

(3) Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N.

(4) Hitung f(a) dan f(b.)

(5) Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak

dilanjutkan.

(6) Hitung

(7) Hitung f(c.)

(8) Jika f(c) > 0 maka a = tetap menjadi batas bawah sementara c = batas atas

yang baru.

Jika f(c) < 0 maka c = batas bawah sementara b = tetap sebagai batas atas.

(9) Jika |b-a|<e atau iterasi > iterasi maksimum maka proses dihentikan dan

didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6.

Contoh program untuk menghitung dengan metode biseksi

uses wincrt; label ulang; var x1,x2,x3,y1,y2,y3 : real; i : integer; ab : char; begin ulang : clrscr; writeln('Tentukan nilai akar dari persamaan f(x)=x^3+x^2-3x-3=0 dengan Metode Biseksi'); write( 'Masukan nilai x1 = ' ); readln( x1 ); y1 := x1 * x1 * x1 * + x1 * x1 - 3 * x1 -3; writeln(' Nilai f(x1)= ',y1:0:4); repeat begin write( 'Masukan nilai x2 = '); readln(x2);

c

y2 := x2 * x2 * x2 + x2 * x2 - 3 * x2 - 3; write(' Nilai f(x2)= ',y2:0:4); end; if (y1*y2)<0 then Writeln(' Syarat Nilai Ok') else Writeln(' Nilai X2 Belum Sesuai'); until ( y1 * y2 ) < 0; I :=2; Writeln; writeln('Penyelesaian Persamaan Dengan Metode Biseksi, Nilai x1= ',x1:0:2,' & x2= ',x2:0:2); writeln('--------------------------------------------------------------------------'); writeln('n x f(x) error '); writeln('--------------------------------------------------------------------------'); repeat begin i :=i + 1 ; x3 := ( x1 + x2) / 2; y3 := x3 * x3 * x3 + x3 * x3 - 3 * x3 -3; if (i mod 10)=0 then readln; if i<10 then writeln(' ',i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::') else writeln(i,' :: ',x3,' :: ',y3,' :: ',abs( y3 ),' ::'); if ( y1* y3) <0 then begin x2 :=x3; end else begin x1 := x3; end; end; until abs( y3 )<1E-07; writeln('-------------------------------------------------------------------------'); writeln('akar persamaanya = ',x3); writeln('errornya =',abs( y3 )); writeln('-------------------------------------------------------------------------'); write('Apakah anda ingin mengulanginya (y/t): '); readln(ab); if (ab='y') or (ab='Y') then begin goto ulang; end else donewincrt; end.

Contoh soal dan penyelesaian metode biseksi secara manual

Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear dibawah ini dengan metode Biseksi: f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus

memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

f(x1)= 13 + 12 - 3(1) – 3 = -4

f(x2)= 23 + 22 - 3(2) – 3 = 3

Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan

x2 = 2.

Langkah 2: mencari nilai x3.

Dan f(x3)= 1.53 + 1.52 - 3(1.5) – 3 = -1.875

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.0 pada hasil langkah 2 nilai

f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10

maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x1 dan x3 karena nilai

f(x1)*f(x3)<0 maka :

Dan f(x4)= 1.753 + 1.752 - 3(1.75) – 3 = 1.71875

Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai

didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-7. Maka dari hasil perhitungan

didapatkan nilai x = 1.73205080 dengan nilai errornya f(x)= 1.2165401131E-08.

Kelebihan dan kekurangan metode biseksi

Kelebihan : Metode biseksi lebih mudah dalam pembuatan programnya

dan selalu mencapai laju yang konvergen ke arah akar yang

diinginkan.

Kekurangan : Nilai awal yang harus ditebak lebih banyak dan pencarian akar

pendekatan membutuhkan waktu lebih lama karena begitu

konvergennya sehingga memerlukan banyak iterasi.

Catatan

Bila toleransi error yang kita tentukan pada sebuah metode biseksi semakin

kecil, misalnya 0.001 (ataupun lebih kecil lagi) maka banyaknya iterasi yang

dibutuhkan akan semakin bertambah besar. Hal tersebut karena semakin kecil

nilai toleransi, maka akan semakin teliti hasil yang diinginkan

2. Metode Newton - Raphson

Metode Newton atau yang biasa dikenal dengan metode Newton Raphson

dapat digunakan untuk mencari akar dari suatu fungsi. Keunggulan metode ini

adalah memiliki laju konvergensi kuadratik, sehingga metode ini lebih cepat

untuk konvergen menuju akar pendekatan daripada metode lain yang memiliki

laju konvergensi linear. Pencarian akar dilihat dari tan gradien grafik suatu fungsi

persamaan (turunan fungsi persamaan).

Pada dasarnya, algoritma metode Newton untuk mencari akar suatu

fungsi f(x) dimulai dengan menentukan nilai awal iterasi terlebih dahulu,

misalkan x = a. Pada setiap iterasi, metode Newton ini akan mencari suatu nilai

katakanlah b yang berada pada sumbu-x. Nilai b ini diperoleh dengan menarik

garis singgung fungsi f(x) di titik x = a ke sumbu-x.

Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu

titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik

tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :

Xn+1 = Xn - f(Xn)

f’(Xn)

Metode newton raphson dapat digambarkan sebagai berikut :

Langkah-langkah menentukan akar dengan metode Newton-Raphson

Dengan menggunakan x0 sebagai tebakan awal, dilanjutkan dengan

mencari titik (x0, f(x0)).  Kemudian dibuat garis singgung dari titik (x0, f(x0)),

sehingga diperoleh titik potong (x1, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik

(x0, f(x0)). Kemudian dilanjutkan lagi dengan mencari titik (x1, f(x1)).  Dari titik

(x1, f(x1)) kemudian dibuat garis singgung, sehingga diperoleh titik potong (x2, 0)

antara sumbu-x dan garis singgung titik (x1, f(x1)). Demikian seterusnya. Untuk

lebih jelasnya, perhatikan langkah berikut.

            tan (beta) = f’(x0) = 10

0 )(

xx

xf

 ,

maka Iterasi pertama

x1 = x0 - )('

)(

0

0

xf

xf

   

dilanjutkan iterasi kedua

            x2 = x1 - )('

)(

1

1

xf

xf

 

dan seterusnya, dengan cara yang sama didapat

            xi+1 = xi - )('

)(

i

i

xf

xf

  (1)

          iterasi dihentikan jika dua iterasi yang berurutan menghasilkan hampiran

akar yang sama (jika selisih antara akar-akarnya relatif sama) atau

            |xi+1 = xi | < tol

Dari bentuk (1), terdapat penyebut f’(xi).  Sehingga agar setiap iterasi 

tidak terjadi kesalahan (error), maka selama iterasi nilai f’(xi)tidak boleh nol,

karena pembagi tidak boleh nol.

Algoritma Metode Newton-Raphson

1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)

2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

3. Tentukan nilai pendekatan awal x0

4. Hitung f(x0) dan f1(x0)

5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)| ≥ e

Hitung f(xi) dan f1(xi)

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

Flow chartnya :

Contoh program untuk menghitung akar dengan Metode Newton-Raphson

Terapkan Metode Newton Raphson pada persamaan f(x) = x3 + x – 1 =

0.

Penyelesaian:

f(x) = x3 + x – 1 = 0 ,  maka f’(x) = 3x2 + 1, sehingga

            xn+1 = xn - 13

12

3

x

xx

   

%metode Newton Raphson%persaman yang diketahui fx=x.^3 + x - 1, fx1 = 3*x^2 +1xn = 1; tol = 0.000001;fprintf('tol = %10.8f\n', tol);fprintf('n    xn        fx        fx1         xn1\n');n=0;fx = xn^3 + xn - 1;fx1 = 3*xn^2 +1;xn1 = xn-fx/fx1; fprintf('%g    %8.6f  %8.6f  %8.6f  %8.6f\n',n,xn,fx,fx1,xn1);

while abs((xn1 - xn)/xn1) > tol   xn = xn1;   n=n+1;   fx = xn^3 + xn - 1;   fx1 = 3*xn^2 + 1;   xn1 = xn -fx/fx1;     fprintf('%g    %8.6f  %8.6f  %8.6f  %8.6f\n',n,xn,fx,fx1,xn1);end;fprintf('%g    %8.6f \n',n,xn);fprintf('\n|(xn1 - xn)/xn1| = %8.6f <= tol = %8.6f\n', abs((xn1 - xn)/xn1),tol);fprintf('Akarnya = %8.6f, banyak iterasi = %g \n',xn1,n);

                                                                                              

OUTPUTNYA :

tol = 0.00000100n    xn        fx        fx1         xn1

0    1.000000  1.000000  4.000000  0.7500001    0.750000  0.171875  2.687500  0.6860472    0.686047  0.008941  2.411979  0.6823403    0.682340  0.000028  2.396762  0.6823284    0.682328  0.000000  2.396714  0.6823284    0.682328

|(xn1 - xn)/xn1| = 0.000000 <= tol = 0.000001Akarnya = 0.682328, banyak iterasi = 4

Contoh soal dan penyelesaian metode Newton-Raphson secara manual

Kelebihan dan kekurangan metode Newton-Raphson

Kelebihan : Bila taksiran awal kebetulan memang mendekati akar yang

sesungguhnya maka waktu yang dibutuhkan untuk

menghitung akar lebih cepat.

Kekurangan : Bila taksiran awal tidak tepat, hasilnya justru akan divergen

(semakin menjauhi nilai akar yang sebenarnya).

Permasalahan pada pemakaian metode Newton-Raphson

1. Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik

ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F’(x) = 0 sehingga nilai

penyebut dari F (x)

F’( x) sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai

berikut:

Pendekatan pada titik puncakBila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan

berada di tak berhingga.

2. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik

pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.

Titik pendekatan berada diantara 2 titik puncak

Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat

mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik

selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya

berbeda.

Penyelesaian permasalahan yang timbul pada metode Newton-Raphson

Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode newton

raphson ini, maka metode newton raphson perlu dimodifikasi dengan :

1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut

harus di geser sedikit, xi = xi ±δ dimanaδ adalah konstanta yang ditentukan

dengan demikian F1(xi ) ≠ 0 dan metode newton raphson tetap dapat

berjalan.

2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya

pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga

dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson

Contoh :

Selesaikan persamaan :

x . e-x + cos(2x) = 0

Bila menggunakan titik pendekatan awal x0 = 0,176281

f(x) = x . e-x + cos(2x)

f1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x)

Sehingga F(x0) = 1,086282 dan F1(x0) = -0,000015

Perhatikan grafik dari fungsi ini:

Grafik y=x.e-x+cos(2x)

Iterasi menggunakan metode Newton Raphson adalah sebagai berikut:

Akar yang ditemukan adalah x=71365, padahal dalam range 0 sampai

dengan 1 terdapat akar di sekitar 0.5 s/d 1. Untuk menghindari ini sebaikan

digunakan grafik atau tabel sehingga dapat diperoleh pendekatan awal yang

baik.

Bila digunakan pendekatan awal x0=0.5 maka dengan iterasi dari metode

Newton - Raphson diperoleh:

Akar yang ditemukan adalah x=0.973692.

Algoritma metode Newton – Raphson dengan modifikasi tabel :

Dengan menggunakan algoritma newton raphson yang dimodifikasikan

diharapkan akar yang diperoleh sesuai dengan harapan dan bila terdapat lebih

dari satu akar dalam range ditunjuk, akan ditampilkan semuanya.

Contoh :

Hasil dari penyelesaian persamaan x * exp(-x) + cos(2x) = 0 pada range

[0,5] adalah sebagai berikut :

KESIMPULAN

1. Metode biseksi merupakan salah satu contoh pendekatan numerik dengan

metode akolade (Bracketing Mode). Langkah awal untuk menghitung akar

sebuah fungsi dengan metode ini adalah dengan menebak 2 nilai awal sebagai

batas bawah dan batas atas. 2 nilai tersebut harus memiliki tanda yang

berlawanan (positif dan negatif). Dari 2 nilai awal tersebut, tentukan nilai

tengah yang akan membagi daerah hasil menjadi 2 bagian. Cek masing-

masing daerah dengan aturan yang ada pada metode biseksi untuk

mengetahui daerah mana yang mengandung akar dan daerah mana yang

tidak. Langkah ini diulangi terus-menerus hingga akar yang diinginkan

ditemukan. Kelebihan dari metode ini adalah hasilnya selalu konvergen

(mendekati akar yang sebenarnya) tapi kcepatannya untuk mencapai akar

yang sebenarnya lambat karena memerlukan banyak iterasi.

2. Metode Newton-Raphson adalah salah satu contoh pendekatan numerik

dengan metode terbuka. Disebut metode terbuka karena akarnya tidak

dibatasi oleh batas bawah ataupun batas atas seperti pada metode biseksi.

Metode ini menggunakan tan dari grafik persamaan fungsi atau menggunakan

turunan fungsi tersebut. Langkah awal menentukan metode ini adalah dengan

mendefinisikan persamaan fungsi dan turunan fungsi tersebut terlebih dahulu.

Setelah itu, tentukan nilai awal x yang diperkirakan merupakan akar

persamaan. Masukkan x tersebut ke dalam persamaan fungsi dan turunannya

kemudian cek apakah x tersebut benar-benar akar asli persamaan dengan

aturan yang berlaku pada metode Newton-Raphson. Kelebihan metode ini

adalah bila perkiraan akar ataupun nilai awal sudah tepat, maka waktu yang

dibutuhkan untuk mendapatkan akar persamaan pun lebih cepat daripada

waktu yang dibutuhkan oleh metode biseksi. Namun bila tebakan awal salah,

maka semakin lama, hasil perhitungan justru akan semakin menjauhi akar

yang sebenarnya. Oleh karena itu metode ini membutuhkan ketelitian dan

ketepatan yang besar.

3. Metode Newton-Raphson ternyata kadang memiliki permasalahan dalam

implementasinya. Permasalahan terjadi antara lain jika titik pendekatan

berada pada titik ekstrim atau puncak sehingga nilai penyebut / f’(x) akan

menjadi nol dan hasil akhir perhitungan akan menjadi tak terhingga.

Permasalahan lain yang mungkin muncul adalah bila titik pendekatan berada

pada dua titik puncak maka akibatnya akan menghilangkan penyelesaian

(divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik

puncak atau arah pendekatannya berbeda.

4. Cara yang dapat ditempuh untuk mengatasi permasalahan yang timbul pada

metode Newton-Raphson adalah dengan menggeser titik pendekatan bila titik

itu berada di titik puncak serta menggunakan metode tabel terlebih dahulu

untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berjauhan sehingga

konvergensi bisa terjamin.

5. Baik pada metode biseksi ataupun Newton-Raphson, toleransi pendekatan

sama-sama dibutuhkan untuk mendapat akar persamaan yang benar-benar

tepat. Semakin kecil toleransi maka semakin teliti hasil yang diinginkan.

6. Besarnya toleransi berbanding terbalik dengan jumlah iterasi. Semakin kecil

nilai toleransi maka semakin banyak iterasi yang dibutuhkan, sebaliknya,

semakin besar toleransi maka semakin sedikit iterasi yang dibutuhkan.

DAFTAR RUJUKAN

1. Implementasi Penyelesaian Persamaan dengan Metode Newton-Raphson ,

2009, one.indoskripsi.com/judul-skripsi-makalah-tentang/newton-raphson

2. Subakti, Irfan.2006. Modul Metode Numerik , ITS, Surabaya

3. www.snapdrive.net/files/544779/Metode Numerik

4. http://www.informatika.org/~rinaldi/Buku/Metode%20Numerik/BAb-

%2001%20Metode%20Numerik%20Secara%20Umum.pdf

5. http://jack_w.staff.gunadarma.ac.id

6. http://gofar.files.wordpress.com/2007/09/modul-numerik1.pdf

7. www.malang.ac.id/e-learning/FMIPA/Susy%20KA/Persamaan/Newton.htm