Penyelesaian Aliran Daya Newton-Raphson

• Metode Newton-Raphson digunakan pada penyelesaian dari persamaan aliran daya. Kita anggap tegangan rel dan admitansi saluran dalam bentuk polar. Ketika n = i pada persamaan (4.6) dan (4.7) dan didapatkan

Persamaan ini dapat dibedakan dari sudut dan besar tegangannya. Gii dan Bii berasal dari elemen Yij pada persamaan (4.1) dan kenyataan bahwa sudut (ni) adalah nol ketika n = i.Pada akhirnya kita mempertimbangkan rel-rel tegangan terkontrol dan menganggap semua rel (kecuali slack bus) sebagai rel-rel beban dengan parameter yang diketahui Pdi dan Qdi. Slack bus diketahui dengan variabel 1 dan |V1| serta rel-rel lain pada jaringan memiliki variabel i dan |Vi| yang akan dihitung pada penyelesaian aliran daya. Variabel yang diketahui untuk Pdi dan Qdi sesuai dengan konstanta negatif b pada persamaan (4.14) dan (4.15). Pada rel yang bukan slack bus diperkirakan variabel i dan |Vi| sesuai dengan perkiraan x1

(0) dan x2(0).

(4.25)

(4.26)

• Mismatch Δg pada persamaan (4.21) sesuai dengan persamaan (4.8) dan (4.9) dengan menuliskan mismatch daya untuk tipe rel beban i,

• Untuk daya nyata Pi,

• Ketiga bentuk terakhir dapat dikalikan dan dibagi dengan besar tegangan tanpa mengubah nilainya, sehingga didapatkan

• Persamaan mismatch yang sama dapat dituliskan untuk daya reaktif Qi,

• Tiap rel bukan slack bus memiliki dua persamaan untuk ΔPi dan ΔQi. Seluruh persamaan mismatch dimasukkan ke dalam bentuk matrik vektor,

• Salah satu bentuk pada persamaan (4.32) menekankan empat tipe turunan parsial berbeda yang masuk ke jacobian J. Elemen J12 dan J22 memiliki pengali besar tegangan. Dengan memilih bentuk ini, dapat kita gunakan,

correctionjacobian

mismatches

Elemen J12 koreksi

Penyelesaian persamaan (32) didefinisikan oleh iterasi sebagai berikut:• Perkirakan i

(0) dan |Vi|(0) untuk state variable.

• Gunakan perkiraan tadi untuk menghitung : Dan ,Mismatch Pi

(0) dan Qi(0) ,Elemen turunan parsial dari

Jacobian J• Selesaikan persamaan (32) i

(0) dan |Vi|(0) / |Vi|(0) sebagai koreksi awal.

• Tambahkan koreksi tadi ke estimasi awal untuk menghasilkan

• Gunakan variabel baru i(1) dan |Vi|(1) sebagai variabel awal untuk iterasi 2

dan berikutnya.Pada umumnya, formula terbaru untuk variabel awal adalah

• Untuk sistem keempat rel, submatrik J11 memiliki bentuk

• Ekspresi tiap elemen pada persamaan ini lebih mudah ditentukan dengan menurunkan nilai yang sesuai dengan bentuk persamaan (4.25). Ketika varibel n = j, hanya satu bentuk cosinus pada persamaan (4.25) yang mengandung unsur j, dan dengan turunan parsial bentuk tunggal j, akan menghasilkan elemen diagonal J11,

• Di sisi lain, setiap bentuk pada persamaan (25) mengandung unsur j, sehingga tipe elemen diagonal dari J11 adalah

• Dengan membandingkan persamaan ini dan persamaan (4.26), dihasilkan

• Elemen J21 didapatkan dengan cara yang sama,

• Bandingkan persamaan ini untuk Qi/i dengan persamaan (4.25) untuk Pi, dapat diperlihatkan

• Elemen submatrik J12 lebih mudah ditentukan dengan menurunkan Pi/|Vj| dan kemudian dikalikan dengan |Vj| menghasilkan

• Bandingkan dengan persamaan (4.42)

• Ini merupakan hasil yang sangat berguna, untuk mengurangi perhitungan jacobian yang rumit maka dapat disederhanakan J12 merupakan kebalikan dari J21. Kenyataan ini tidak akan menjadi jelas jika kita tidak mengalikan Pi/|Vj| dengan |Vj| pada persamaan (4.30). Dengan cara yang sama, elemen diagonal dari J12 dapat dicari dengan

• Dan bandingkan hasil ini dengan persamaan (4.43) dan (4.44), kita dapatkan

• Akhirnya, elemen diagonal submatrik J22 dari jacobian didapatkan

• Sekarang kita kembangkan lagi hasil tersebut tadi dengan definisi :Off-diagonal elements, i ≠ j

Diagonal elements, i = j

• Hubungan timbal-balik antar elemen pada keempat submatrik jacobian lebih jelas terlihat jika kita gunakan definisi tadi untuk menuliskan ulang persamaan (4.32) pada bentuk berikut:

Sejauh ini, kita menganggap semua rel bukan slack bus sebagai rel-rel beban. Voltage-controlled buses. Persamaan aliran daya dalam bentuk polar lebih mudah dihitung. Sebagai contoh, jika rel 4 dari sistem 4 rel merupakan voltage-controlled bus, kemudian |V4| adalah konstanta variabel dan koreksi tegangan |V4|/|V4| selalu bernilai nol. Akibatnya, kolom keenam jacobian pada persamaan (4.55) selalu dikalikan dengan nol, sehingga persamaan ini dapat diubah. Lebih jauh lagi, sejak Q4 tidak diketahui, mismatch Q4 tidak dapat ditentukan sehingga kita harus menghilangkan baris keenam dari persamaan (4.55) yang berkaitan dengan Q4. Tentu saja, Q4 dapat dihitung setelah ada penyelesaian aliran daya.

Contoh 3.• Sistem tenaga kecil memiliki data saluran dan

rel seperti tabel (2) dan (3). Analisis aliran daya yang digunakan dengan metode Newton-Raphson bentuk polar pada persamaan untuk P dan Q. Tentukan jumlah baris dan kolom jacobian. Hitung mismatch awal P3

(0) dan variabel awal jacobian pada elemen (baris kedua, kolom ketiga); (baris kedua, kolom kedua); (baris kelima, kolom kelima). Gunakan variabel yang ditetapkan dan estimasi tegangan awal pada tabel 3.

• Tabel 2. Data saluran*

• *basis 100 MVA, 230 kV• **saat 230 kV

Saluran, rel

ke rel

Impedansi Z Admitansi Y = Z-1 Admitansi shunt Y

R per unit X per unit G per unit B per unit Mvar** total Y/2 per unit

1 – 2 0.01008 0.05040 3.815629 -19.078144 10.25 0.05125

1 – 3 0.00744 0.03720 5.169561 -25.847809 7.75 0.3875

2 – 4 0.00744 0.03720 5.169561 -25.847809 7.75 0.3875

3 – 4 0.01272 0.06360 3.023705 -15.118528 12.75 0.6375

• Tabel 3. Data rel

*variabel Q pada beban dihitung sesuai dengan variabel P dengan asumsi faktor daya 0.85

Rel

Generator Beban

P, MW Q, Mvar

P, MW Q, Mvar*

V, per unit Keterangan

1 50 30.99 1.00 0 Slack bus

2 0 0 170 105.35 1.00 0Rel beban(induktif)

3 0 0 200 123.94 1.00 0Rel beban(induktif)

4 318 80 49.58 1.02 0 Voltage controlled bus

• Tabel 4. Matrik rel admitansi

Bus no. 1 2 3 4

1 8.985190j44.835953 3.815629+j19.078144 5.169561+j25.847809 0

2 3.815629+j19.078144 8.985190j44.835953 0 5.169561+j25.847809

3 5.169561+j25.847809 0 8.193267j40.863838 3.023705+j15.118528

4 0 5.169561+j25.847809 3.023705+j15.118528 8.193267j40.863838

Penyelesaian • Slack bus tidak memiliki baris maupun kolom pada jacobian, sebuah

matrik 6 × 6 penting jika P dan Q ditetapkan untuk ketiga rel. Besar tegangan ditetapkan pada rel 4, dan kemudian matrik jacobian menjadi matrik 5 × 5. Untuk menghitung P3,calc berdasarkan estimasi dan tegangan yang ditetapkan pada tabel 3, kita membutuhkan bentuk polar pada tabel 4 sebagai masukan.

• Dan elemen diagonal Y33 = 8.193267j40.863838. Y32, 3

(0), dan 4(0) bernilai nol, kita dapatkan

• Daya nyata yang ditetapkan ke dalam jaringan pada rel 3 adalah 2.00 per unit, sehingga mismatch awal dari perhitungan adalah

• Dari persamaan (39), elemen jacobian baris kedua kolom ketiga adalah

• Dan dari persamaan (40) elemen jacobian baris kedua kolom kedua adalah

• Untuk elemen jacobian baris kelima kolom kelima, persamaan (50) adalah

• Dengan menggunakan data masukan awal, kita dapat menghitung variabel lain pada matrik jacobian dengan cara yang sama dan mismatch daya pada semua rel di sistem.

• Untuk sistem pada contoh sebelumnya, jumlah variabel dari persamaan mismatch sekarang akan ditunjukkan, untuk mudahnya, hanya digunakan tiga tempat desimal saja,

2 3 4 2 3

• Pada akhirnya, iterasi pertama digunakan sebagai seting awal dari rel-rel berikut:

• Nilai ini digunakan untuk menghitung ulang jacobian dan mismatch pada iterasi kedua, dan selanjutnya. Proses iterasi berlanjut sampai ada mismatch Pi dan Qi atau i dan |Vi| kurang dari batas toleransi yang ditentukan. Ketika penyelesaian terpenuhi, kita dapat menggunakan persamaan (25) dan (26) untuk menghitung daya nyata (P1) dan daya reaktif (Q1) pada slack bus, dan daya reaktif (Q4) pada rel 4 (voltage-controlled bus).

Rel no. i = 1 2 3 4

i0 -0.93094 -1.78790 -1.54383

|Vi| (per unit) 1.00 0.98335 0.97095 1.02