YAYASAN KOMPUTASI RIAUSTMIK-AMIK RIAU

BAHAN AJAR

METODE NUMERIK

Oleh : Prof. DR. H. Dadang Iskandar, M.Sc

Pekanbaru, September 2014

0

METODE NUMERIK

Matakuliah : Metode Numerik

Bobot SKS : 3 SKS

Prodi : S-1 Teknik Informatika

Pra Syarat : Kalkulus, Algoritma & Bahasa Pemrograman

Kegiatan Kuliah :

a. Tatap Muka : ± 18 x Pertemuan

b. PR : 1 x Per Minggu

c. Praktikum : 1 x Per Minggu

d. Tugas (Proyek), membuat program.

Evaluasi

Nilai Semester diambil dari :

- PR

- Nilai Praktikum

- Nilai Poryek

- MID Semester

- UAS

Buku Pegangan :

“Metode Numerik”, oleh Rinaldi Munir, Informatika, Bandung.

Modul Praktikum :

Modul yang disusun oleh Tim STMIK-AMIK RIAU.

Refrensi :

- Perpustakaan STMIK-AMIK RIAU.

- Internet.

1

BAB I

PENDAHULUAN

I.1. Definisi

Metode Numerik adalah teknik penyelesaian persoalan matematik dengan

komputer. Persoalan dalam bidang sain, teknologi, ekonomi dapat dirumuskan dalam

bentuk persamaan matematik. Tapi kadang-kadang bentuknya rumit, tidak dapat

diselesaikan secara analitik (menggunakan rumus-rumus yang ada). Untuk mengatasi

kesulitan tersebut, digunakan metode numerik, yaitu cara perhitungan dengan

menggunakan operasi-operasi dasar (tambah, kurang, kali, bagi). Jumlah operasi ini

sangat banyak dan berulang-ulang, maka penggunaan komputer akan sangat

membantu.

I.2. Tahapan-tahapan Memecahkan Persoalan Secara Numerik

Ada enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia nyata

dengan metode numerik, yaitu :

1. Permodelan.

Tahapan ini merupakan tahapan pertama dalam meneyelaikan persoalan

numerik, dimana pada tahapan ini persoalan nyata akan dimodelkan ke dalam

persamaan matematik.

2. Penyederhanaan Model

Model matematik yang dihasilkan pada tahap 1 mungkin saja terlalu

kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variabel) atau parameter.

Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya.

Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat

diabaikan.

3. Formulasi Numerik.

Setelah memperoleh model matematika yang sederhana, tahap

selanjutnya adalah memfromulasikannya secara numerik, antara lain :

a. Menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan

analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan

sebagainya).

Pemilihan metode didasari pada pertimbangan :

2

- Apakah metode tersebut teliti ?

- Apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya

cepat ?

- Apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang

cukup teliti ?

b. Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

4. Pemrograman.

Tahap berikutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program

komputer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang

dikuasai. Dalam modul ini akan dipandu menggunakan bahasa pemrograman

delphi.

5. Operasional

Tahapan inni merupakan tahapan untuk menjalankan program komputer

yang telah dibuat dengan data uji coba sebelum data sebenarnya.

6. Evaluasi.

Pada tahapan ini akan dilakukan evaluasi terhadap hasil yang diberikan

oleh program tersebut.

Dari enam tahap tersebut, tidak seluruhnya dikerjakan oleh ahli Informatika.

Ahli informatika akan bekerja mulai dari tahapan ke 3,4 dan 5, sedangkan tahapan 1

dan 2 akan dikerjakan oleh ahli masing-masing bidang, dan untuk tahapan ke 6, akan

dikerjakan bersama-sama antara ahli masing-masing bidang dan ahli informatika.

Tetapi agar lebih memahami dan menghayati persoalan, sebaiknya ahli informatika

juga ikut dilibatkan dalam memodelkan, namun perannya hanyalah sebagai

pendengar.

I.3. Topik-topik yang dilalui :

a. Solusi Persamaan Nirlanajar (Non Linier).

b. Solusi Sistem Persamaan Lanjar (SPL).

c. Interpolasi Polinom.

d. Integrasi Numerik.

e. Turunan Numerik.

3

BAB II

SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR (NONLINIER)

Persamaan f(x) = 0 dikatakan lanjar (linier) apabila pangkat dari xsama dengan 1.

Contoh :

x = 0

x = 2

x +2 = 0, dsb.

Sebaliknya bila pangkat dari x tidak sama dengan 1 (satu), f(x) disebut nirlanjar

(nonlinier). Misal :

x2−3 x+2=0

x3+x−1=0

sin x−0.5 x=0

tan x− x=0

ex−5 x2=0 , dsb

cosh xcos x+1=0

Setiap persamaan seperti tersebut di atas mempunyai akar-akar persamaan, yaitu harga-

harga x yang memenuhi persamaan f(x)=0. Misalnya akar persamaan dari persamaan

x2−3 x+2=0

Adalah S, maka berlaku S2−3 S+2=0.

Secara Simbolik:

Bentuk ekspresi x2−3 x+2 secara simbolik kita tulis dengan f(x) maka:

x2−3 x+2=0

dapat ditulis dengan f(x)=0. Selanjutnya bila S adalah akar persamaan f(x)=0, maka berlaku

f(S)=0.

Menentukan akar-akar persamaan aljabar seperti dua contoh pertama di atas tidak sulit.

Namun menentukan akar-akar persamaan transendental sangat sulit dilakukan secara analitis.

4

Persamaan Aljabar

Persamaann Transedental

Kesulitan tersebut dapat diatasi dengan Metode Numerik dengan menggunakan komputer.

Ada beberapa metode untuk menentukan akar-akar persamaan secara numerik, antara lain :

II.1. Metode Iterasi (Lelaran)

Dengan metode ini bentuk f(x)=0 dirubah menjadi x=g(x).

Masukkan harga dugaan awal x0kedalam g(x), sehingga diperoleh x1atau

selanjutnya masukkan x1 kedalam g(x) untuk memperoleh x2 atau

x2 = g(x1) dst.x3 = g(x2)x4 =g(x3)⋮x i =g( x i−1 )

Secara Umum : Rumus Iterasi

Bila harga-harga x0, x1, x2, ... xi mendekati harga x (akar persamaan yang

dicari) maka proses iterasi dikatakan konvergen. Sebaliknya bila harga x0, x1, x2, ... xi

menjauhi harga akar x, persamaannya dikatakan divergen.

Untuk proses iterasi yang konvergen, akar persamaan yang dicari adalah xi+1 bila

x i+1−x i=0 atau |x i+1−xi|<ϵ , dimana ϵ bilangan real yang kita kehendaki.

Contoh 1. Carilah akar persamaan f(x) = x2−3 x+1=0.

Jawab. Secara analitis akar persamaan tersebut adalah x1 = 2.618.

x2 = 0.382.

Dengan Iterasi :

f(x) = x2−3 x+1=0

x = g(x)

x = x2+13

Misalkan dugaan awal x0 =1.

x0 = 1

5

x1= g(x0)

x i+1= g( x i )

x1 = 23=0.667

x2 = (0.667)2+1

3=¿0.481

x3 = (0.481)2+1

3=0.411

x4 = (0.411)2+1

3=0.390

.

.

.Menuju x2 = 0.382 (Konvergen).

Ditentukan x i=x i−1 atau x i+1=x i. Bila harga dugaan awal dipilih x0=3,

diperoleh :

x0 = 3

x1 = 3.333

x2 = 4.037

x3 = 5.766

x4 = 11.415

Menjauhi x1 = 2.618, jadi iterasinya divergen.

Contoh 2. Tentukan akar persamaan f(x) = ex−3 x=0.

Penyelesaian :

a. Secara analitis

x1 = 0.62

x2 = 1.51

b. Dengan Iterasi

f(x) = ex−3 x=0

x = g(x) = ex

3

Pilih dugaan awal x0 = 0.

x0 = 0

6

x1 = g( x0 ) = ex0

3 = 0.333

x2 = g( x1 ) = e0.333

3 = 0.465

x3 = g( x2 ) =e0.465

3 = 0.530

x4 = g( x3 ) =e0.530

3 = 0.567

.

.

.Menuju x= 0.62 .

Iterasinya konvergen. Iterasi dihentikan bila harga x i+1=x i atau

|x i+1−xi<ϵ|.

Untuk mendapatkan x= 1.51, kita coba dugaan awal x0 = 2, maka uji coba yang

sama diperoleh :

x1 = 2.46

x2 = 3.91

x3 = 16.7, menjauhi x= 1.51. Jadi iterasinya divergen.

Kriteria Konvergen.

Agar proses iterasi konvergen, gunakan kriteria konvergen sebagai berikut :

untuk harga-harga x yang terletak dalam interval yang mangandung harga akar x.

Contoh.

f(x) = x2−5 x+4=0

x = g(x) = x2+45

g(x) = 2 x5

| g’( x )| < 1, untuk harga-harga x yang terletak dalam interval.

7

| g’( x )| < 1

x1 = -4

x2 = -1

−52

<x< 52

x1 = -1, terletak dalam interval ini, maka untuk mencari x1 = -1, dapat memberi dugaan

awal x0 = 1, misalnya.

Catatan :

1. Bila g’(x) dekat dengan harga 0 untuk semua harga x dalam interval tersebut,

maka proses iterasinya cepat.

2. Bila g’(x) dekat dengan harga 1, maka iterasinya konvergen, tapi lambat.

Contoh Algoritma untuk metoda iterasi.

Untuk f(x) = ex−3 x=0

x = g(x)

x = ex

3

Rumus iterasi x i+1= g( x i )

x i+1=ex i

3

8

Soal.

Tentukan akar-akar persamaan f(x) = x2−2 x−3=0, dengan ϵ = 0.000001,

gunakakan beberapa kemungkinan bentuk x = g(x), perhatikan hasilnya.

II.2. Metode Newton (Newton-Raphson)

Rumus Iterasinya :

Contoh 1.

f( x )=x2−2=0

f ‘( x )=2 x

x i+1=x i−x i

2−22 x i

Dugaan awal x0=1.

x0=1

x1=x0−x0

2−22 x0

=1−(1−2 )

2=1.500000

x2=x1−x1

2−22 x1

=1.5−(1.5 )2−2

2 .1.5=1.416667

x3=x2−x2

2−22 x2

=1−(1.42 )2−2

2 .1.42=1.414216

x4=x3−x3

2−22x3

=1−(1.41 )2−2

2. 1.41=1.414214

9

x i+1=x i−f ( x i )f ' ( x i )

Lebih Cepat

Contoh 2.

f ( x )=e x−3 x=0

f ‘( x )=e x−3

x i+1=x i−ex−3 x i

ex i−3

Dugaan awal x0=0.

x0=0 x0=2.0000

x1=5000 x1=1.6855

x2=6100 x2=¿ 1.5435

x3=6190 x3=1.5135

x4=6191 x4=1.5121

x5=6191 x5=1.5121

II.3. Metode Regula Falsi

Perhatikan kurva f( x ). f( x )=0 terjadi pada titik yang merupakan titik potong f( x )

dengan sumbu x. Harga x titik ini adalah akar f( x ) yang akan dicari.

Prosedurnya sebagai berikut :

10

Diperlukan dua harga x yang merupakan dugaan awal. Misalkan xL (titik sebelah

kiri x) dan xR (titik sebelah kanan x). Karena xL berada pada sebelah kiri x, maka

tentu f( x L)<0 dan xR berada disebelah kanan x, maka f ( x R )>0.

1. Sekarang tarik garis lurus antara A dan B, yaitu antara titik ( xL,f ( x L)) dan titik

( xR,f ( x R )). Titik potong garis tersebut dengan sumbu x kita namakan xm dan

harga f( x ) untuk x=xm adalah f( xm ).

2. Teliti letak titik xm.

a. Bila f ( x L) . f ( xm )<0, x berada antara xL dan xm . Ganti xR dengan xm .

lakukan kembali prosedur 1.

b. Bila f ( x L) . f ( xm )>0, ganti xL dengan xm. Lakukan kembali prosedur 1.

Demikian seterusnya hingga diperoleh harga xL=xR atau xm harganya

sama dengan harga sebelumnya.

3. Rumus iterasinya.

II.4. Metode Interval Tengah (Bisection Method)

Sama dengan metode Regula Falsi, namun pada metode interval tengah xm dipilih

sebagai titik tengah antara xL dan xR. Jari rumus iterasinya sebagai berikut :

Metode ini lebih mudah daripada metode Regula Falsi.

11

xm=xL f ( xR )−xR f (xL)

f ( x R )−f ( xL )

xm=xL+ xR

2

BAB III

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LANJAR (LINIER)

3.1. Sistem Persamaan Lanjar (SPL)

Bentuk persamaan :

3 x+5 y−z=10

7 x−2 y+3 z=12

x+5 y−4 z=−1

Secara bersamaan membentuk sistem persamaan lanjar yang terdiri dari 3 buah

persamaan dengan tiga buah variabel x , y , dan z yang tidak di ketahui. Solusi SPL

adalah harga-harga x , y , dan z yang me

menuhi ke-3 persamaan tersebut secara bersamaan (simultan).

Bentuk SPL yang lebih umum :

a11 x1+a12 x2+a13 x3+…+a1n xn= y1

a21 x1+a22 x2+a23 x3+…+a2n xn= y2

⋮ ⋮ ⋮

an 1 x1+an 2 x2+an 3 x3+…+ann xn= yn

Persamaan (2) adalah SPL yang terdiri dari n buah persamaan dengan n buah

variabel x1 , x2 , x3 …xn yang tidak diketahui koefisien a11 , a12…ann dan y1 , y2 … yn

diketahui berupa bilangan. Bila y1 , y2 … yn semuanya sama dengan nol, SPL-nya

disebut SPL homogen. Bila tidak semuanya sama dengan nol, SPL-nya disebut SPL

non homogen.

3.2. Persamaan Matriks

Persamaan (2) diatas dapat ditulis menjadi :

[ a11 a12 a13 … a1 n

a21 a22 a23 … a2 n

⋮ ⋮ ⋮an 1 an 2 an3 … ann

] [x1

x2

⋮xn

] = [ y1

y2

⋮yn

]atau A X=Y , yang disebut persamaan matriks.

12

........................ (2)

........................ (3)

........................ (1)

Baris

Perhatikan SPL berikut :

3 x+5 y−z=10

7 x−2 y+3 z=12

x+5 y−4 z=−1

Persamaan matriksnya :

[3 5 −17 −2 31 5 −4 ][ x

yz ] = [ 10

12−1]

Koofesien persamaan (4) terdiri dari bilangan-bilangan

3 5 −17 −2 31 5 −4

yang disusun berdasarkan baris dan kolom.

Susunan bilangan seperti di atas dapat diperlakukan sebagai matriks atau

determinan. Bila diperlakukan sebagai matriks ditulis :

[3 5 −17 −2 31 5 −4 ]

dan bila diperlakukan sebagai determinan, ditulis

|3 5 −17 −2 31 5 −4|

Secara umum matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom, bentuknya :

[ a11 a12 a13 … a1 n

a21 a22 a23 … a2 n

⋮ ⋮ ⋮am1 an 2 am3 … amn

]Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks dimensi m x n . Bila

m=n, matriksnya disebut matriks bujur sangkar. Matriks m x 1 disebut matriks

kolom, dan matriks 1 x n disebut matriks baris.

13

........................ (4)

........................ (5)

Kolom

Matriks Kolom

Matriks Baris

[ a1

a2

⋮am

]

14

[a1 a2 a3 … an ]Untuk memudahkan penulisan suatu matriks diberi simbol

dengan suatu huruf besar yang diletakkan dalam dua kurung tegak. Misalnya [ A ], [ C ],

dan sebagainya. Bilangan penyusunan suatu matriks disebut elemen. Elemen suatu

matriks diberi simbol dengan huruf kecil yang diberi dua buah indeks. Indeks pertama

menyatakan baris dan indeks kedua menyatakan kolom.

Contohnya, elemen matriks[ A ] dapat ditulis dengan a ij, yang menyatakan elemen

a yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j.

3.3. Sifat-sifat Matriks

1. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila dimensinya sama dan elemennya

juga sama. Jadi, [ A ]=[ B ] bila a ij=bij untuk semua i dan j, serta dimensi [ A ] sama

dengan dimensi [ B ].

2. Jumlah/ Selisih dua buah matriks.

[ A ] ± [ B ]=[ C ]c ij=a ij ± bij, dan dimensi [ A ] sama dengan dimensi [ B ].

Contoh.

[1 2 32 3 43 4 5]+[1 1 1

2 2 23 3 3]=[2 3 4

4 5 66 7 8]

[1 2 32 3 43 4 5]−[1 1 1

2 2 23 3 3]=[0 1 2

0 1 20 1 2]

3. Perkalian dua buah matriks.

Dua buah matriks dapat dikalikan bila jumlah kolom matriks pertama sama

dengan jumlah baris matriks ke dua. Misal:

[ A ] dimensinya m x n

[ B ] dimensinya n xp

[ A ] . [ B ]=[ C ], dimana :

15

c ij=∑k=1

n

a ik bkj

Contoh.

[ 1 2 03 −4 1][ 1 2

−1 10 1 ]=[ 1.1+2 (−1 )+0.0 1.2+2.1+0.1

3.1+(−4 ) (−1 )+1.0 3.2+ (−4 )1+1.1]= [−1 4

7 3 ]4. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang semua elemennya = 0, kecuali elemen

pada diagonal utamanya.

Contoh.

[1 0 00 2 00 0 3] [ 2 0 0

0 0 00 0 −1]

5. Matriks Identitas

Matriks identitas atau matriks satuan [ I ] adalah matriks diagonal yang semua

elemennya sama dengan 1.

Contoh.

[1 0 00 1 00 0 1] [1 0

0 1]

6. Matriks segi tiga atas/ bawah.

Matriks segi tiga atas/ bawah adalah matriks yang elemen-elemennya di

bawah/ atas diagonal utamanya sama dengan 0 (nol).

Contoh.

Segi tiga Bawah Segi tiga Atas

[ 1 0 0 05 7 0 06 0 3 0

2 4 −2 6][2 6 6 −4

0 3 7 30 0 0 20 0 0 8

]7. Matriks Transpose

16

Matriks Transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan

baris dan kolom. Misalnya :

[ A ]=[1 2 34 5 6] [ A ]T=[1 4

2 53 6] [ A ]T adalah matriks transpose

dari [ A ].

3.4. Solusi SPL

Perhatikan SPL berikut :

a11 x1+a12 x2+a13 x3+…a1 n xn=b1

a21 x1+a22 x2+a23 x3+…a2n xn=b2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

an 1 x1+an 2 x2 +an 3 x3+…ann xn=bn

Persamaan (4-1) dapat ditulis menjadi :

[ a11 a12 … a1 n

a21 a22 … a2 n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮an 1 an 2 … ann

] [x1

x2

⋮xn

]=[b1

b2

⋮bn

]Atau :

A x=b

Bila elemen matriks kolom b dimasukkan menjadi kolom ke n+1 matriks [ A ],

maka diperoleh matriks :

[ a11 a12 a13 … a1 n b1

a21 a22 a23 … a2 n b2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮an 1 an 2 an3 … ann bn

]yang disebut matriks augmented.

Ada beberapa metode untuk mencari solusi (4-1) antara lain :

1. Metode Eliminasi Gauss.

2. Metode Eliminasi Gaus Jordan.

3. Metode Lelaran (iterasi) Jacobi.

4. Metode Lelaran Gaus Seidal, Dan lain-lain.

17

........................ (4-1)

........................ (4-2)

3.4.1. Metode Eliminasi Gauss.

Metode eliminasi gauss terdiri dari dua tahap. Tahap pertama :

Menjadikan matriks koefisien [ A ] menjadi matriks segi tiga atas.

[a11 a12 a13 … a1n b1

0 a22¿ a23

¿ … a2 n¿ b2

¿

0 0 a33¿ … a3 n

¿ b3¿

⋮0 0 0 … ann

¿ bn¿ ]

Tahap kedua, proses penyulihan mundur (backward substitution), dimulai dari :

ann¿ xn=bn

¿

xn=bn

¿

ann¿ ,

dan seterusnya sampai diperoleh harga x1 , x2 , x3 …xn−1 dengan rumus :

, k=n-1, n-2, ..., 1 dan akk ≠ 0.

Dalam tahap pertama harus diselidiki apakah elemen diagonalnya sama

dengan 0, atau tidak. Bila sama dengan 0 (nol), susunan letak persamaan

harus diubah sedemikian, sehingga semua elemen diagonalnya tidak ada yang

sama dengan nol.

Contoh.

Perhatikan SPL berikut ini.

8 x2+2 x3=−7 (1)

3 x1+5 x2+2x3=8 (2)

6 x1+2 x2+8 x3=26 (3)

Dalam SPL diatas a11=0. Maka urutan letak persamaan harus diubah.

Misal persamaan (1) dan (2) dipertukarkan sehingga SPL-nya menjadi.

3 x1+5 x2+2x3=8

8 x2+2 x3=−7

18

Ket :

* : harga elemen-elemen tersebut telah berubah.

xk=bk− ∑

j=k +1

n

akj x j

akk

6 x1+2 x2+8 x3=26

Matriks augmented-nya :

[ 3 5 2 80 8 2 −76 2 8 26 ]

Tahap pertama :Triangularisasi.

a. Meng-nol-kan elemen kolom pertama dibawah elemen diagonalnya.

- Pilih a11 sebagai pivot.

- a21=0, tidak perlu diproses.

- Kalikan baris 1 dengan a31

a11, kurangkan baris ke-3 dengan

a31

a11x (baris

pertama). Baris ke-3 menjadi :

(6−63

.3)(2−63

.5)(8−63

.2)(26−63

.8), atau 0−8 410.

Matriksnya menjadi :

[ 3 5 2 80 8 2 −7

0 −8 4 10]b. Meng-nol-kan elemen kolom kedua dibawah a22.

- Pilih a22 sebagai pivot.

- Kalikan baris kedua dengan a32

a22.

- Hasilnya kurangkan dari baris ketiga.

- Baris ketiga menjadi :

(0−−88

.0)(−8−−88

.8)(4−−88

.2)(10−−88

. (−7 ))Menjadi : 0 0 6 3

Matriksnya menjadi :

[ 3 5 2 80 8 2 −70 0 6 3 ]

19

Tahap kedua :Substitusi Mundur (Pengalian mundur).

a. 6 x3=3

x3=36=1

2

b. 8 x2+2 x3=−7

8 x2+2.12=−7

8 x2=−8x2=−1

c. 3 x1+5 x2+2x3=8

3 x1+5 (−1 )+2( 12 )=8

3 x1=12x1=4

Proses triangularisasi secara lebih umum, diketahui matriks :

A=[a11 a12 a13 … a1n

a21 a22 a23 … a2n

a31 a32 a33 … a3n

⋮an1 an 2 an 3 … ann

]Dibuat semua elemen dibawah diagonal utama = 0.

Langkah 1. Semua elemen kolom 1 dibuat 0 kecualia11.

a. Kalikan baris pertama dengan a21

a11, hasilnya kurangkan dari baris kedua.

Baris kedua menjadi :

(a21−a21

a11

a11)(a22−a21

a11

a12)(a23−a21

a11

a13)…(a2n−a21

a11

a1 n)

b. Kalikan baris pertama dengan a31

a11 . Hasil dikurangkan dari baris ketiga.

Baris ketiga menjadi :

20

0 a22'

a23' a2n

'

(a31−a31

a11

a11)(a32−a31

a11

a12)(a33−a31

a11

a13)…(a3n−a31

a11

a1n)

c. Dengan cara yang sama untuk baris keempat sampai ke-n. Akhirnya

diperoleh determinan matriks.

[a11 a12 a13 … a1 n

0 a22' a23

' … a2 n'

0 a32' a33

' … a3 n'

⋮0 an 2

' an3' … ann

' ]dalam proses membuat 0 (nol) pada kolom 1 a11 disebut kumpulan

(“pivot”). Proses menjadikan 0 (nol) pada kolom 1, disebut reduksi

pivotal.

Langkah 2. Meng-Nol-kan elemen kolom kedua dibawah diagonal dengan

a22' sebagai pivot.

a. Baris kedua dikalikan dengan a32

'

a22' , hasilnya dikurangkan dari baris

ketiga. Baris ketiga akan menjadi :

(0−a32

'

a22' .0)(a32

'−a32

'

a22' .a22

' )(a33'−

a32'

a22' . a23

')…

b. Dengan cara yang sama kalikan baris kedua dengan a42

'

a22' . dan hasilnya

dikurangkan dari baris keempat, dan seterusnya.

Diperoleh :

[a11 a12 a13 … a1 n

0 a22' a23

' … a2 n'

0 0 a33' ' … a3 n

' '

⋮0 0 an 3

' ' … ann' ' ]

21

0 a32'

a33' a3 n

'

0 a33' '0

Langkah 3. Melakukan reduksi pivotal untuk kolom ketiga dengan a33'

sebagai pivot.

a. Kalikan baris ke-3 dengan a43

' '

a33' ' . Hasilnya kurangkan dari baris ke-4,

demikian seterusnya sampai kolom ke-3 elemennya dibawah a33' ' menjadi

0 (nol).

22

Algoritma dari metode Eliminasi Gauss dapat dinyatakan sebagai berikut :

Input : Matriks A(augmented matriks) n x n+1

Output : x=x j

For k = 1,...,n-1, do:Ifa jk = 0 untuk semua j >= k

then output ‘ Tidak ada penyelesaian ‘.Stop.Else (tukar baris bila perlu)

For j = k+1,..., n do:

m jk :=a jk

akk

For p = k+1,..., n+1, do:a jp :=a jp−m jk akp

EndEnd

EndIf ann=0 then output “ tidak ada penyelesaian “

StopElse

xn=an ,n+1/ann (mulai substitusi mundur)For i = n-1,..., 1 do:

x i=1/a ii (a i ,n−1−∑ a ij x j)EndOutput x=x j. Stop

End Gauss

Solusi SPL dengan metode lelaran ( Iterasi ).

Perhatikan SPL berikut ini :

a11 x1+a12 x2+a13 x3 …a1 n xn=b1

a21 x1+a22 x2+a23 x3 …a2n xn=b2

⋮ ⋮

an 1 x1+an 2 x2+an 3 x3 …ann xn=bn

Dengan syarat akk≠ 0 untuk k=1,2,3 ,…, n. Kemudian SPL di atas diubah menjadi:

x1=b1−a12 x2−a13 x3−…−a1 n xn

a11

x2=b2−a21 x1−a23 x3−…−a2 n xn

a22

⋮

23

(1)

(2)

xn=bn−an 1 x1−an 2 x2−…−an ,n−1 xn−1

ann

selanjutnya rumus (2) dilelar sampai harga x1 , x2 …xn sama dengan harga x1 , x2 …xn

yang dihasikan iterasi sebelumnya.

Ada dua metode untuk melelar persamaan (2).

1. Metode lelaran Jacobi, yang rumus lelarannya sebagai berikut :

x1(k+1 )=

b1−a12 x2(k)−a1 n xn

(k)

a11

x2(k+1)=

b2−a21 x1(k)−a23 x3

(k)−…−a2 n xn(k)

a22

⋮

xn(k +1)=

bn−an 1 x1(k)−an 2 x2

(k)−…−ann−1 xn−1(k )

ann

lelaran dimulai dengan memasukkan tebakan awal x1(0) , x2

(0) ,…xn(0). Lelaran

berhenti bila :

|x i(k +1)−x i

(k )|<∈ untuk i=1,2 , …, n.

Rumus umum lelaran Jacobi.

i=1,2,3 , …, n

k=0,1,2 ,…

Contoh.

Tentukan solusi SPL berikut :

4 x1−x2+x3=7

4 x1−8 x2+x3=−21

−2 x1+x2+5 x3=15

Dengan nilai tebakan awal : x10=1

24

x i(k+1)=

bi−∑j=1j≠ i

n

aij x j(k)

aii

x20=2

x30=2

Jawab.

Rumus lelaran.

x1(k+1 )=

7+x2(k)−x3

(k)

4

x2(k+1)=

+21+4 x1(k )−x3

(k)

8

x3(k +1)=

15+2 x1(k)−x2

(k)

5

Lelaran pertama k=0.

x1(1)=

7+x2(0 )−x3

(0)

4=7+2−2

4=1.75

x2(1)=

+21+4 (1 )+28

=3.375

x3(1)=

15+2 (1 )−25

=3.000

x1(2)=7+3.375−3.000

4=1.84375

x2(2)=

+21+4 (1.75 )−3.008

=3.875

x3(2)=

15+2 (1.75 ) – 3.3755

=3.025

Dan seterusnya. x119=2.000

x219=4.000

x319=3.000

Nilai Sejati : x1=2

x2=4

x3=3

2. Metode Lelaran Gauss-Seidal

25

Pada lelaran gauss seidal, harga x i yang baru segera dipakai pada persamaan

berikutnya, untuk menentukan harga x i+1 yang lainnya.

Rumus Lelarannya.

Lelaran Pertama.

x1(1)=

b1−a12 x2(0 )−a13 x3

(0)−a14 x4(0 )

a11

x2(1)=

b2−a21 x1(1)−a23 x3

(0)−a24 x 4(0)

a22

x3(1)=

b3−a31 x1(1 )−a32 x2

(1)−a34 x4(0)

a33

x4(1 )=

b4−a41 x1(1)−a42 x2

(1)−a43 x3(1)

a44

Lelaran Kedua.

x1(2)=

b1−a12 x2(1 )−a13 x3

(1)−a14 x4(1)

a11

x2(2)=

b2−a21 x1(2 )−a23 x3

(1)−a24 x4(1)

a22

x3(2)=

b3−a31 x1(2)−a32 x2

(2)−a34 x4(1)

a33

x4(2)=

b4−a41 x1(2)−a42 x2

(2)−a43 x3(2)

a44

Rumus Umumnya.

Contoh. Tentukan Solusi SPL berikut :

4 x1−x2+x3=7

4 x1−8 x2+x3=−21

−2 x1+x2+5 x3=15

26

x i(k+1)=

bi−∑j=1

i−1

aij x j(k+1)− ∑

j=i+1

n

aij x j(k)

aii

Dengan memasukkan tebakan awal : x1(0)=1, x2

(0)=2, x3(0)=2.

Jawab.

Rumus lelaran :

x1(k+1 )=

7+x2(k)−x3

(k)

4

x2(k+1)=

21+4 x1(k +1)−x3

(k )

8

x3(k +1)=

15+2 x1(k+1)−x2

(k+1)

5

Lelaran Pertama :

x1(1)=7+2−2

4=1.75

x2(1)=

21+4 (1.75 )−28

=3.25

x3(1)=

15+2 (1.75 )−3.255

=3.050

Lelaran Kedua :

x1(2)=7+3.25−3.05

4=1.8

x2(2)=

21+4(1.8)−3.0508

=3.144

x3(2)=

15+2 (1.8 )−3.1445

=3.091

Dan seterusnya. x1(10)=2.000

x2(10)=4.000

x3(10)=3.000

27

BAB IV

PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING)

4.1. Pendahuluan

Dalam banyak hal, kita sering bekerja dengan sejumlah data diskrit (umumnya

berbentuk tabel). Data tersebut mungkin diperoleh dari hasil pengamatan di lapangan,

pengukuran di laboratorium, atau tabel yang diambil dari buku acuan. Sebagai contoh,

tabel berikut ini adalah data viskositas yang merupakan hasil pengukuran pada

berbagai suhu :

Suhu (℃¿ Viskositas

( N−sec

m2 )

0

10

20

30

50

55

0.08

..... ?

0.015

0.009

0.006

0.0055

Masalah yang sering muncul adalah menentukan harga diantara data-data yang

sudah ada, tanpa harus melakukan pengukuran ulang. Misalnya kita memerlukan data

viscositas pada suhu 10 ℃ yang tidak ada dalam tabel. Salah satu solusinya adalah

mencari fungsi yang mencocokkan titik-titik data. Pendekatan seperti ini dalam

metode numerik disebut Pencocokan Kurva (Curve Fitting). Ada dua metode

pencocokan kurva yaitu interpolasi dan regresi.

4.2. Interpolasi

Bila data dalam tabel mempunyai ketelitian yang sangat tinggi (misal : tabel

harga suatu fungsi, tabel yang terdapat dalam acuan ilmiah, seperti harga percepatan

gravitasi sebagai fungsi jarak dari pusat bumi) kurva cocokannya dibuat melalui

setiap titik data. Pencocokan data seperti ini disebut interpolasi. Metode yang

digunakan antara lain adalah : interpolasi polinom. Bila jumlah data yang diketahui

ada n+1 buah, maka polinom yang digunakan adalah polinom orde n.

28

Pn ( x )=a0+a1 x + a2 x2+…+an xn untuk contoh data di atas x adalah suhu dan

Pn ( x ) adalah harga viscositas pada suhu x℃. Pekerjaan selanjutnya adalah mencari

koefisien a0 , a1 , a2 , …an.

4.2-1. Interpolasi Lanjar (Linier).

Interpolasi lanjar adalah interpolasi 2 buah titik data dengan sebuah garis

lurus.

Misalnya diberikan dua buah titik (x¿¿0 , y0)¿ dan (x¿¿1 , y1)¿.

Polinom yang menginterpolasi kedua titik tersebut adalah persamaan

garis lurus.

P1 (x )=a0+a1 x ................. (2-1)

a0 dan a1 dapat dicari dengan penyulihan dan eliminasi. Sulihkan

(x0 , y0) dan (x1 , y1) kedalam persamaan (2-1), diperoleh :

y0=a0+a1 x0

y1=a0+a1 x1

Kalau diselesaikan akan diperoleh :

a1=y1− y0

x1−x0

29

....................... (2-1)

Interpolasi Lanjar (2-3)

a0=x1 y0−x0 y1

x1−x0

Bila a1 dan a0 disulihkan kedalam (2-1) dengan melakukan sedikit

manipulasi, maka diperoleh :

\

Rumus Lebih Umum :

.......... (2-4)

Contoh 1.

Dari tabel viskositas diketahui pada suhu 0℃viskositasnya adalah

0.08N−sec

m2 dan pada suhu 20℃viskositasnya 0.015N−sec

m2 . Tentukan

viskositas pada suhu 10℃.

Penyelesaian :

Namakan variabel suhu dengan x dan viskositas dengan y. Maka :

x0=0

x1=20

x=10

y0=0.08

y1=0.015

y pada 10℃ y (10) dilelar dengan P1(10).

Dari rumus (2-3)

P1 (x )= 0.08+(0.015−0.08 )

20−0(x−0)

¿0.08+−0.00520

x

¿0.08−0.00325 x

P1 (10 )=0.08−0.00325(10)

¿0.0475 . 0.048

30

P1 (x )= y0+y1− y0

x1− x0

(x− x0)

P1 ( X )=Y i+X−X i

X i+1−x i

(Y i+1−Y i)

Jadi viskositas pada suhu 10℃≈ P1 (10 )=0.048 .

31

Contoh 2. Data Penduduk USA.

Tahun J. Penduduk

(Juta)

1960

1970

179.3

203.2

Berapakah penduduk tahun 1968 ?

P1 (x )=179.3+ x−19601970−1960

(203.2−179.3)

¿179.3+ x−196010

(24.9)

Untuk x=1968.

P1 (1968 )=179.3+ 1968−196010

(24.9)

P1 (1968 )=179.3+ 810

(24.9 )

P1 (1968 )=179.3+19.92

¿199.2

Jadi penduduk USA pada tahun 1968 adalah 199.2 Juta orang.

4.2-2. Interpolasi Kuadrat.

Jika tersedia data untuk tiga titik, misalnya ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ),

Polinom yang menginterpolasi ketiga titik tersebut adalah :

P2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2 ............................. (3-1)

Sulihkan ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) kedalam persamaan (3-1).

a0+a1 x0+a2 x02= y 0

a0+a1 x1+a2 x12= y1 .................... (4-2)

a0+a1 x2+a2 x22= y2

Persamaan (4-2) adalah SPL dalam a0 , a1 , dan a2, yang solusinya dapat

dicari dengan metode eliminasi gauss.

32

Contoh. Diketahui :

X Y

ln (8.0 )=2.0794

ln (9.0 )=2.1972

ln (9.5 )=2.2513

Tentukan nilai ln (9.2 ).

Penyelesaian :

a0+8 a1+64 a2=2.0794

a0+9 a1+81 a2=2.1972

a0+9.5 a1+90.25 a2=2.2513

Dengan eliminasi gauss diperoleh :

a0=0.6762

a1=0.2266

a2=−0.0064

Polinom kuadratnya :

P2 (x )=0.6762+0.2266 x−0.0064 x2

P2 (9.2 )=2.2192

4.2-3. Interpolasi dengan polinom orde n.

Seperti telah disinggung dalam awal tulisan ini, bila ada (n+1) buah

data, maka data tersebut dipas (fit) dengan polinom orde n.

Pn ( x )=a0+a1 x + a2 x2+…+an−1 xn−1+an xn

karena kurva dari Pn ( x ) melalui setiap titik data maka :

Pn ( x0 )=a0+a1 x0 + a2 x02+…+an−1 x0

n−1+an x0n= y0

Pn ( x1)=a0+a1 x1 + a2 x12+…+an−1 x1

n−1+an x1n= y1

33

⋮ ⋮ ⋮

Pn ( xn )=a0+a1 xn + a2 xn2+…+an−1 xn

n−1+an xnn= yn

karena x0 , x1 , x2 … xn dan y0 , y1 , y2 … yn diketahui maka persamaan di

atas membentuk SPL dalam a0 , a1 , a2 …an yang dapat dicari dengan

Eliminasi Gauss, dengan diketahuinya a0 , a1 , a2 …an maka polinom

interpolasiPn ( x ) diketahui dan y ( x ) dapat dihitung dari Pn ( x ).

Contoh. Diketahui :

sin 0 °=0.0

sin 30 °=0.5

sin 60 °=0.8660

sin 90 °=1.0

Akan dibuat tabel sin0 °−90° dengan step 10 °. Dalam soal diatas :

x0=0

x1=30 °

x2=60 °

x3=90 °

y0=sin x0=0

y1=sin 30=0.5

y2=sin 60=0.8860

y3=sin 90=1.0

data yang jumlahnya 4 dapat difit dengan polinom orde 3.

P3 ( x )=a3 x3+a2 x2+a1 x+a0

Data terletak pada polinom P3 ( x ), maka :

a0+(0)a1 + (02)a2+(03)a3=0.0

a0+(30)a1 + (302)a2+(303)a3=0.5

a0+(60)a1 + (602)a2+(603)a3=0.8660

a0+(90)a1 + (902)a2+(903)a3=1.0

Ini adalah SPL dalam a0 , a1 , a2 , a3. Matriks augmentednya :

34

[ 1 0 0 0 0.01 30 900 27000 0.5

1 60 3600 216000 0.86601 90 8100 729000 1.0

]Dengan metode eliminasi gauss diperoleh :

a0=0

a1=0.17818 x10−1

a2=−0.19944 x 10−4

a3=−0.60541 x10−6

a0 , a1 , a2 dan a3 disulihkan kedalam :

P3 ( x )=a3 x3+a2 x2+a1 x+a0

kemudian hitung P3 ( x ) untuk x=0,10,20 , …, 90 °.

4.2-4. Polinom Lagrange

a. Interpolasi Lanjar

P1 (x )=a0 L0 (x )+a1 L1(x), dimana :

a0= y0

a1= y1

L0 ( x )=(x− x1)(x0−x1)

L1 ( x )=(x−x0)(x1−x0)

Contoh.

Diketahui : ln 9.0=2.1972

ln 9.5=2.2513

Tentukan : ln 9.2.

Penyelesaian :

P1 (x )=a0 L0 (x )+a1 L1(x)

x0=9

x1=9.5

x=9.2

a0= y0=2.1972

a1= y1=2.2513

35

L0 ( x )=L0 ( 9.2 )=9.2−9.59.0−9.5

=0.6

L1 ( x )=L1 (9.2 )=9.2−99.5−9

=0.4

P1 (x )=(2.1972 ) (0.6 )+(2.2513 )(0.4 )

¿2.2188

b. Interpolasi Kuadrat.

a0=Y 0

a1=Y 1

a2=Y 2

L0 ( x )=( x−x1 )( x−x2)

( x0−x1 )( x0−x2)

L1 ( x )=( x−x0 )(x−x2)

( x1−x0 )(x1−x2)

L2 (x )=( x−x0 )(x−x1)

( x2−x0 )(x2−x1)

36

P2 (x )=a0 L0 (x )+a1 L1 (x )+a2 L2(x )

Contoh. Diketahui : ln 9.0=2.1972

ln 9.5=2.2513

ln 11=2.3979

Tentukan : ln 9.2.

Penyelesaian :

x0=9

x1=9.5

x2=11

x=9.2

a0=2.1972

a1=2.2513

a2=2.3979

L0 ( x )=( x−9 )(x−11)

( 9−9.5 )(9−11)=x2−20.5 x+104.5

L0(9.2)=(9.2)2−(20.5 ) (9.2 )+104.5=0.5400

L1 ( x )=( x−9 )(11)

(9.5−9 )(9.5−11)=

−10.75

(x2−20 x+99)

L1(9.2)= 10.75

¿

L2 (x )=( x−9 )(x−9.5)

(11−9 )(11−9.5)=

13(x2−18.5 x+85.5)

L2 (9.2 )=13¿

ln 9.2 ≈ P2 (x )=(0.5400 ) (2.1972 )+ (0.4800 ) (2.2513 )−(0.0200 ) (2.3979 )=2.2192

c. Polinom derajat n untuk (n+1) titik data yang berbeda.

Pn ( x )=a0 L0 ( x )+a1 L1 ( x )+a2 L2 ( x )+…+an Ln(x )

a i=Y ii=0,1,2 ,…n

Li (x )=∏j=0j ≠i

n (x−x j)(x i−x j)

=( x−x0 ) ( x−x1 ) …(x−xn)

( x i−x0 ) ( xi−x1 ) …( xi−xn)

Atau

37

L0=( x−x1 ) ( x−x2 ) ( x−x3 ) … (x−xn)

( x0−x1 ) ( x0−x2 ) ( x0−x3) … (x0−xn)

L1=( x−x0 ) ( x−x2 ) ( x−x3 ) …(x−xn)

( x1−x0 ) ( x1−x2 ) ( x1−x3 ) …(x1−xn)

⋮

Dan seterusnya.

Contoh.

Diketahui harga fungsi y pada beberapa titik x sebagai berikut :

X : Y

0.0 : 1

0.4 : 0.921061

0.8 : 0.696707

1.2 : 0.362358

Tentukan harga y pada x=0.5 dengan polinom lagrange.

Penyelesaian.

Karena ada 4 titik data maka digunakan polinom lagrange derajat 3.

P3 ( x )=a0 L0 (x )+a1 L1 ( x )+a2 L2 ( x )+a3 L3 ( x )

a0= y0=1

a1= y1=0.921061

a2= y2=0.696707

a3= y3=0.362358

L0 ( x )=( x−x1 ) ( x−x2 )(x−x3)

( x0−x1 ) ( x0−x2 )(x0−x3)

¿( x−0.4 ) ( x−0.8 )(x−1.2)(0−0.4 ) ( 0−0.8 )(0−1.2)

¿( x−0.4 ) ( x−0.8 )(x−1.2)

2.4

L1 ( x )=( x−x0) ( x− x2 )(x−x3)

( x1−x0 ) ( x1−x2 )(x1−x3)

¿( x−0 ) ( x−0.8 )(x−1.2)

(0.4 ) (0.4−0.8 )(0.4−1.2)

¿x ( x−0.8 )(x−1.2)

−0.8

38

Dan seterusnya untuk L2(x) dan L3(x) disulihkan kedalam

persamaan untuk P3(x ) diperoleh :

P3 ( x )=−2.604167 ( x−0.4 ) (x−0.8 ) ( x−1.2 )+7.195789 (x−0.0 ) ( x−0.8 ) ( x−1.2 )−5.443021 ( x−0.0 ) ( x−0.4 ) ( x−1.2 )+0.943640 ( x−0.0 ) ( x−0.4 )(x−0.8)

Harga fungsi y pada x=0.5 didekati oleh harga P3(0.5) dengan

menghitung P3(x ) dengan memasukkan harga x=0.5. Hasilnya adalah

y (0.5 )=0.877583.

39

Program Polinom Lagrange

4.3. Regresi

Regresi adalah teknik pemecahan kurva untuk data yang ketelitiannya rendah.

Contohnya :

- Data hasil pengamatan

- Data hasil percobaan di laboratorium

- Data statistik

Data seperti ini disebut data hasil pengukuran.

Pencocokan kurva untuk data hasil pengukuran, kurvanya tidak pula melalui

semua titik data dan tidak pula menggunakan polinom derajat tinggi. Sebagai contoh,

berikut adalah data jarak tempuh ( y ) sebuah kendaraan dalam mil, setelah t detik (x).

X Y

1.38 1.83

3.39 2.51

4.75 3.65

6.56 4.10

7.76 5.01

40

Function Lagrange (x:real, N:integer):real;(Menghitung y=Pn(x), dengan P(x ) adalah polinom Lagrange derajat n. Titik-titik data telah disimpan di dalam larik x [0 …n] dan y [0…n])var i, j :integer;pi, L :real;begin L:=0; for i:=0 to n do beginpi:=1;for j:=0 to n doif i<>j then

pi:=pi*(x-x[j])/(x[i]-x[j]); (endfor) L:=L+y[i]*pi;end (for); Lagrange:=L;end (Lagrange);

Pencocokan kurva dengan polinom lagrange ditunjukkan dalam gambar a dan

dengan regresi linier ditunjukkan dalam gambar b, sedangkan perbandingan

keduanya diperlihatkan dalam gambar c. Tampak bahwa pencocokan kurva dengan

garis lurus (regresi) hasilnya cukup bagus.

(a) (b)

(c)

4.3-1. Regresi Linier

Misalkan diketahui data hasil pengukuran ( x i , y i ) i=1,2,3 …n. Data

tersebut dapat di pas(fit) dengan suatu garis lurus y=a+bx. a dan b dicari

dari persamaan matriks SPL berikut dengan metode eliminasi gaussi, atau

aturan :

41

[ n ∑ x i

∑ x i ∑ x i

2] [ab]=[ ∑ x i

∑ x i y i].

Dengan cara lain a dan b diberikan oleh rumus :

b=n∑ xi y i−∑ x i∑ y i

n∑ x i

2−(∑ x i)

2

a= y−b x

dalam rumus diatas n=jumlah pasangan data x i , y i, x= harga rata-rata

dari x i atau x=

∑i=1

n

y i

n

.

Contoh lihat buku :

- Renaldi Munir : Halaman 249.

- A. Salusu : Halaman 81 s/d 83.

4.3-2. Perlanjaran (Pelinieran)

Bila data pengukuran sebelumnya tidak menunjukkan kecenderungan

terletak pada garis lurus, maka regresi lanjar tidak dapat digunakan. Contoh

data dibawah ini pasti tidak dapat di “pas” dengan garis lurus tapi lebih

cocok di pas dengan fungsi kuadratis.

42

Catatan :

Dalam analisa regresi data seharusnya digambarkan dahulu dalam salib sumbu x-y, sehingga tampak secara visual sebelumnya dan selanjutnya kita dapat menduga bentuk fungsi regresinya.

Meskipun fungsi hampiran berbentuk nirlanjar, namun pencocokan

kurvanya bisa diselesaikan dengan regresi lanjar, dengan melakukan

pelanjaran fungsinya. Fungsi-fungsi nirlanjar yang mudah di lanjarkan :

a. Persamaan pangkat sederhana.

y=C xb , C dan b konstanta.

b. Persamaan eksponensial.

y=C ebx , C dan b konstanta.

c. Persamaan laju pertumbuhan jenuh.

y= Cxd+x

, C dan d konstanta.

43

4.3-2.1. Perlanjaran persamaan pangkat sederhana.

y=C xb

ln y=ln(C )+b ln(x¿¿)¿¿

Dimisalkan :

Y=ln y

a=ln C Y¿a+bX(Persamaan Lanjar)

X=ln x

Contoh: Lihat buku Renaldi Munir Halaman 252.

Dari hasil regresi diperolleh harga a dan b. Kemudian dari

persamaan a=ln C, C dapat ditentukan, sehingga y¿C Xb diketahui

secara eksplisit dan persamaan tersebut digunakan untuk menentukan

y untuk harga x yang lain.

4.3-2.2. Pelanjaran model fungsi eksponensial.

Y=C ebx

ln ( y )=ln (C )+bx ln (e )

ln ( y)=ln(C )+bx (ln (e )=1)

Definisikan:

Y=ln( y )

a=ln (C )Y =a+bX

X=x

Persamaan regresi lanjarnya:

Y=a+bX

Dari hasil regresi diperoleh a dan b. Selanjutnya dari persamaan

a=ln C. C dapat ditentukan, sehingga Y=C ebx, diketahui secara

eksplisit, yang dapat digunakan untuk menentukan Y untuk x harga

yang berbeda dengan yang ada dalam tabel.

44

4.3-2.3. Pelanjaran Model Laju Pertumbuhan Jenuh y= Cxd+x

y= Cxd+x

1y=d+x

Cx

1y= d

C1x+ 1

C

Definisikan :

Y= 1y

a= 1C

y=a+bX (Persamaan Lanjar)

b= dC

X=1x

Dari persamaan regresi diperoleh a dan b dari persamaan a= 1C

dan b¿dC

, dapat ditentukan C dan b sehingga y=Cxdx

diketahui secara

eksplisit dan dapat digunakan menentukan harga y untuk harga x

yang berbeda dengan data yang ada.

45

BAB V

INTEGRASI NUMERIK

5.1. Pendahuluan

Dalam Kalkulus kita mengenal 2 jenis integral.

a. Integral Tidak Tentu.

∫ f ( x )dx=F ( x )+C

b. Integral Tentu

I=∫a

b

f ( x ) dx=F (x)|ba=F (b )−F (a)

I adalah luasan yang dibatasi f(x), sumbu x dan garis x=a sampai x=b.

Fungsi-fungsi yang dapat diintegrasikan dapat dikelompokkan sebagai berikut :

a. Fungsi menerus (kontinue) yang sederhana seperti polinomial, eksponensial,

fungsi trigonometri (sin x ,cos x , tan x). Metode-metode analitik untuk

menghitung integral fungsi tersebut sudah tersedia. Misalnya :

∫ xn dx= Xn+1

n+1+C

∫ eax dx= eax

a+C

∫sin x dx=cos x+C

46

∫ dxx

=ln x+C

Dan sebagainya.

b. Fungsi menerus yang rumit, misalnya :

∫0

22+cos (1+x

12)

√1+0.5 sin xe0.5 x dx.

Fungsi rumit seperti ini, integralnya sangat sulit, bahkan tidak mungkin

diselesaikan dengan cara-cara dalam integrasi sederhana. Untuk

mengatasinya, maka digunakan Integrasi numerik.

c. Fungsi yang ditabulasikan.

Dalam hal ini, x dan f(x) diberikan dalam sejumlah titik yang diskrit.

Fungsi semacam ini dijumpai pada data hasil eksperimen di laboratorium

atau hasil pengukuran di lapangan. Umumnya fungsi f(x) nya tidak diketahui

secara eksplisit yang dapat diukur harga berdasarkan fisisnya saja. Misalnya:

x f(x)

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

6.0

7.5

8.0

9.0

8.5

5.2. Persoalan Integrasi Numerik

Persoalan integrasi numerik adalah menghitung integral tentu I=∫a

b

f ( x ) dx

secara numerik. Ada 3 (tiga) pendekatan :

a. Berdasarkan tafsiran geometri integral tentu.

Daerah integrasi dibagi menjadi sejumlah pias (strip) yang bentuknya

segi empat (metode pias).

47

b. Berdasarkan Polinom Interpolasi.

Di sini fungsi integrand f(x) dihampiri dengan polinom Pn(x ) (Metode

Newton-Cotes).

c. Pendekatan “Kuadratur gauss”.

5.2-1. Metode Pias

Misalkan akan dihitung integral I=∫a

b

f ( x ) dx.Dalam metode pias,

daerah integrasi dibagi menjadi n buah pias yang lebarnya (h) sama.

h=b−an

Titik absis pias dinyatakan oleh :

xr=a+rh , r=0,1,2,3 …n

Dan nilai fungsi pada titik absis pias dinyatakan oleh :

f r=f (xr) .

Ada 3 (tiga) Kaidah integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan

metode pias, yaitu :

1. Kaidah segiempat (rectangle rule)

2. Kaidah trapesium (trapezodial rule)

3. Kaidah titik tengah (midpoint rule)

48

5.2-2.1. Kaidah Segiempat

Dalam kaidah segi empat, luas pias didekati dengan rumus

segiempat. Nilai integral didekati dengan jumlah luas semua pias.

Perhatikan pias yang melebar dari x0→ x1. x1−x0=h. Luas pias

adalah hf (x0) atau hf (x1).

Luas 1 (satu) buah pias¿h2¿. Jadi :

∫a= x0

x1

f ( x ) dx=h2( f 0+ f 1)

∫x1

x2

f ( x )dx=h2( f 1+f 2)

⋮

∫xn−1

xn=b

f ( x ) dx=h2( f n−1+f n)

∫a

b

f ( x )dx ≈h2( f 0+2 f 1+2 f 2+…+f n)

49

∫a

b

f ( x )dx ≈h2( f 0+2∑

i=1

n−1

f i+ f n)

5.2-2.2. Kaidah Trapesium

Bila luas satu pias dildekati dengan luas trapesium, maka :

∫x0

x1

f ( x )dx=h2( f 0+ f 1) demikian juga

∫x1

x2

f ( x )dx=h2( f 1+f 2)

⋮

∫xn−1

xn

f (x ) dx=h2( f n−1+ f n)

∫x0

xn

f ( x )dx=h2( f 0+2 f 1+2 f 2+…2 f n−1+ f n)

Catatan : Kaidah segiempat = Kaidah Trapesium.

50

∫x0

xn

f ( x )dx=h2( f 0+2∑

i=1

n−1

f i+ f n)

51

Procedure trapesium (a, b : real; n:integer; var I : real);{ Menghitung integrasi f(x) di dalam selang [a,b] dan julah pias

adalah n dengan menggunakan kaidah trapesium.K.Awal : nilai a, b, dan n sudah terdefinisiK.Akhir : I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan

kaidah segi-empat. }var

h, x, sigma:real;r : integer;

beginh:=(b-a)/n; {lebar pias}x:=a; {awal selang integrasi}I:=f(a) + f(b);sigma:=0;for r:=1 to n-1 do

begin x:=x+h;sigma:=sigma + 2*f(x);

end;I:=(I+sigma)*h/2; {nilai integrasi numerik)

End;

5.2-2.3. Kaidah Titik Tengah.

∫a

b

f ( x )dx , secara geometri dapat digambarkan sebagai berikut :

Daerah integrasi yaitu luasan yang dibatasi kurva f(x), sumbu x dan

garis tegak x=a serta x=b dibagi menjadi n buah pias yang lebarnya

sama. Luas satu pias

∫x0

x1

f ( x )dx ≈ hf (x0+h2)≈ hf (x1/2) .

52

∫x1

x2

f ( x )dx=h f 3 /2

Dan seterusnya.

∫a

b

f ( x )dx ≈ h f 1 /2+h f 3/2+…h f n−1 /2

≈ h∑i=0

n−1

fi+1

2

fi+

12

=f (xi+

12

)

xi+

12

=a+(i+ 12 )h ; i=0,1,2 ,…,n−1

Contoh :

Hitung ∫1.8

3.4

e x dx dengan Kaidah Trapesium. Ambil h=0.2.

Penyelesaian :

f ( x )=ex

h=b−an

atau n=b−ah

=3.4−1.80.2

=8.

Buat tabel harga x dan f(x).

i x i f (x¿¿ i)¿

0 1.8 6.050

1 2.0 7.389

2 2.2 9.025

3 2.4 11.023

4 2.6 13.464

5 2.8 16.445

6 3.0 20.086

7 3.2 24.533

8 3.4 29.964

53

∫1.8

3.4

e x dx ≈h2

¿¿

≈0.22

(6.050+2(101.9650)+29.964)

≈ 239.994 (0.1 )

≈ 23.999.

Secara Analitik =23.914.

Contoh 2.

Tentukan ∫1

41x

dx dengan metode titik tengah. Ambil n=10.

Penyelesaian :

a=1 b=4

h=b−an

=4−110

=0.3

xi+

12

=a+(i+ 12 )h

Buat tabel sebagai berikut :

i x i+12

fi+1

2

h fi+1

2

0 1.15 0.869565 0.260869

1 1.45 0.689655 0.206896

2 1.75 0.571428 0.171428

3 2.05 0.487804 0.146341

4 2.35 0.425531 0.127659

5 2.65 0.377358 0.113207

6 2.95 0.338983 0.101694

7 3.25 0.307692 0.092307

8 3.55 0.281690 0.084507

9 3.85 0.25974 0.077922

54

I h∑i=0

n−1

fi+1

2

=1.382835

Soal.

Buat program menggunakan bahasa pemrograman visual basic untuk

menyelesaikan integral ∫1.5

2.5

x2cos (x2)dx secara numerik dengan kaidah

trapesium dan kaidah titik tengah. Untuk kedua kaidah tersebut, ambil h=0.1

.

55

Procedure titik_tengah (a, b : real; n:integer; var I : real);{ Menghitung integrasi f(x) di dalam selang [a,b] dan julah pias

sebanyak n.K.Awal : harga a, b, dan n sudah terdefinisi.K.Akhir : I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan

kaidah titik-tengah. }var

h, x, sigma:real;r : integer;

beginh:=(b-a)/n; {lebar pias}x:=a+h/2; {titik tengah pertama}sigma:=f(x);for r:=1 to n-1 do

begin x:=x+h;sigma:=sigma + f(x)

end;I:=sigma*h; {nilai integrasi numerik)

End;

5.2-2. Kaidah Simpson 13

.

Selang integrasi [a,b] dibagi menjadi n+1 buah titik titik diskrit

x0 , x1 , x2 , x3 … xn dengan n genap. Harga f(x) pada titik-titik

x0 , x1 , x2 , x3 … xnkita namakan f 0 , f 1 , f 2 …f n.∫a

b

f ( x )dx didekati dengan :

∫a

b

f ( x )dx ≈h3( f 0+4 ∑

i=1,3,5

n−1

f i+2¿ ∑i=2,4,6

n−2

f i+f n)¿

h=b−an

atau x i+1−x i , i=0,1,2 …

Contoh.

Tentukan integral :

I=∫0

1dx

1+ x , ambil h=0.125 , n= 1−0

0.125=8.

i x i f i

0 0 1

1 0.125 0.88889

2 0.250 0.80000

3 0.375 0.72727

4 0.500 0.66667

5 0.625 0.61538

6 0.750 0.57143

7 0.875 0.53333

56

8 1.000 0.50000

∫a

bdx

1+x≈

h3¿¿

≈h3(f 0+4 f 1+2 f 2+4 f 3+2 f 4+4 f 5+2 f 6+4 f 7+2 f 8)

≈ 0.69315Solusi sejati =0.6931472

5.2-3. Kaidah Simpson 3/8.

Pembagian selang integral [a,b] menjadi n, yang besarnya harus kelipatan 3.

∫a

b

f ( x )dx ≈3 h8

¿¿

Catatan. Sama seperti simpson 1/3, harga n harus kelipatan 3.

57

Procedure simpson_sepertiga (a, b :real; n:integer; var I:real);{ Menghitung integrasi f(x) dalam selang [a,b] dengan jumlah pias

n (n harus genap)K.Awal : harga a,b, dan n sudah terdefinisi(n harus genap).K.Akhir : I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan

kaidah simpson 1/3.}

varh,x,sigma:real;r:integer;

beginh:=(b-a)/n; {jarak antara titik}x:=a;I:=f(a)+f(b); {Awal selang integrasi}.Sigma:=0;

for r:=1 to n-1 dobegin

x:=x+h;if r mod 2 = 1 then {r=1, 3, 5, ..., n-1}sigma:=sigma + 4*(f x ¿else

Sigma:=sigma+2*f(x);end;

I=(I+sigma)*h/3; {nilai integrasi numerik}end;

Program kaidah Simpson 3/8.

58

Procedure simpson_3per8 (a, b :real; n:integer; var I:real);{ Menghitung integrasi f(x) dalam selang [a,b] dengan jumlah pias

n (n harus kelipatan tiga)K.Awal : harga a,b, dan n sudah terdefinisi(n kelipatan 3).K.Akhir : I adalah hampiran integrasi yang dihitung dengan

kaidah simpson 3/8.}

varh,x,sigma:real;r:integer;

beginh:=(b-a)/n; {jarak antara titik}x:=a;I:=f(a)+f(b); {Awal selang integrasi}.Sigma:=0;

for r:=1 to n-1 dobegin

x:=x+h;if r mod 3 = 0 then {r=3, 6, 9, ..., n-3}sigma:=sigma + 2*(f x ¿else

Sigma:=sigma+ 3*f(x);end;

I=(I+sigma)*3*h/8; {nilai integrasi numerik}end;

BAB VI

TURUNAN NUMERIK

Diketahui suatu fungsi f(x). Turunan dari f(x) didefinisikan sebagai berikut :

dydx

=f ' ( x )=limh→ 0

f (x+h )−f (x)h

Turunan dari f ( x ) di x=x0.

f ' ( x0 )=limh → 0

f ( x0+h )−f (x0)h

Secara geometri :

f ( x0+h )−f (x0)h

= arah garis AB.

limh→ 0

f ( x0+h )−f (x0)h

= arah garis singgung di A.

59

6.1. Perhitungan Turunan Numerik

Persoalan turunan numerik adalah menentukan hampiran nilai turunan fungsi

f(x) yang diberikan dalam bentuk tabel. Ada tiga pendekatan perhitungan turunan

numerik yang dirumuskan sebagai berikut :

Andaikan diberikan 3 harga f(x) untuk 3 harga x0, x0−h dan x0+h.

x f(x)

x0−h = f−1

x0 = f 0

x0+h = f 1

a. Hampiran selisih maju.

f ' ( x0 )=f 1− f 0

h secara umum f i

'=f i+1−f i

h

b. Hampiran selisih mundur.

f ' ( x0 )=f 0−f−1

h secara umum f i

'=f i−f i−1

h

c. Hampiran selisih pusat

f ' ( x0 )=f 1− f−1

2 h secara umum f i

'=f i+1−f i−1

2h

Contoh 1.

Diberikan harga fungsi f ( x )=−0.1x4−0.15 x3−0.5 x2−0.25 x+1.2 dalam

bentuk tabel sebagai berikut

i x f(x)

i−2 0 1.2

i−1 0.25 1.103516

i 0.50 0.925

i+1 0.75 0.636328

i+2 1.00 0.2

Tentukan f ' pada x=0.5.

60

a. Hampiran selisih maju : f i−f 0

h

f ' (0.50 )=f 0'=

f 1−f 0

h=0.636328−0.925

0.25=−1.1546875

b. Hampiran selisih mudur.

f ' (0.5 )=f 0'=

f 0− f−1

h=0.925−1.103516

0.25=−0.7140625

c. Hampiran selisih pusat.

f ' (0.5 )=f 0'=

f 1−f−1

2h=0.636338−1.103516

2(0.25)=−0.934375

Nilai eksak :f ' (0.5 )=−0.9125

Jika dibandingkan, kesalahnnya :

- Hampiran Maju : -26.54%

- Hampiran Mundur : 21.75%

- Hampiran Pusat : -2.4%

Contoh 2.

Diberikan data fungsi sebagai berikut :

x f(x)

1.3 3.669

1.5 4.482

1.7 5.474

1.9 6.686

2.1 8.166

2.3 9.974

2.5 12.182

a. Tentukan f '(1.7) dengan hampiran selisih pusat.

b. Tentukan f '(1.4) dengna hampiran selisih pusat.

c. Tentukan f '(1.3) dan f '(2.5)

61

Penyelesaian.

h=0.2

a. Ambil x0=1.7 x−1=1.5 dan x1=1.9

f 0=5.474 f 0=4.482 dan f 1=6.686

f ' (1.7 )=f 1−f−1

2(0.2)=6.686−4.484

2 (0.2)=5.510

b. f '(1.4)

x0=1.4 x−1=1.3 dan x1=1.5

f−1=3.669 dan f 1=4.482

h=0.1

f ' (1.4 )=f 1−f −1

2h=4.482−3.669

2(0.1)=4.065

c. f '(1.3) ? Selisih maju

x0=1.3 x1=1.5

f 0=3.669 f 1=4.482

h=0.2

f ' (1.3 )=f 1−f 0

h=4.482−3.669

0.2=4.065

f '(2.5) ? Selisih mudur

f ' (2.5 )=f 0−f−1

h

x0=2.5 x−1=2.3

f 0=12.182 f −1=9.974

h=2

f ' (2.5 )=12.182−9.9740.2

=11.04

62