AN

Cand

Poli

MOMATA

NALISA

Disusra Mecc

iteknik PBan

2

ODUL

A KULIAA NUM

sun Olehca Sufy

PIKSI Gndung 2011

AH MERIK

h: yana S.S

anesha

Si

2

Kata Pengantar

Maha Besar Allah SWT yang memberikan kekuatan pada penyusun, sehingga mampu menyelesaikan modul kuliah analisa numerik ini. Mudah-mudahan modul kuliah ini dapat bermanfaat dan dimanfaatkan sebaik-baiknya bagi para pembaca yang berkepentingan mempelajari dan memahami konsep analisa numerik.

Elemen-elemen dasar pemahaman yang cukup baik tentang materi kalkulus, aljabar linear, dan algoritma akan membantu dalam memahami permasalahan-permasalahan yang menggunakan konsep penyelesaian dengan analisa numeric ini.

Cara yang paling efektif dalam mempelajari analisa numerik ini adalah aktif dengan membaca, bertanya, dan terus mencoba dan mencoba berbagai latihan-latihan soal yang ada dan tentunya mengaplikasikanya dalam bahasa pemograman.

Cukup banyak keterbatasan dan kekurangan yang ada dalam modul kuliah analisa numerik ini. Untuk itu adanya saran dan kritik dari pembaca sangat diperlukan penyusun untuk perbaikan modul ini dimasa mendatang agar lebih baik lagi.

Atas terselesaikannya modul ini, penyusun ucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dalam keberadaan dan keberlangsungan modul ini terutama semua civitas akademik Politeknik Piksi Ganesha dan pihak lain yang ikut membantu dan mendoakan penyusun sehingga mampu menyusun modul kuliah analisa numerik ini.

Bandung , April 2011

Penyusun

3

Daftar Isi

Kata Pengantar ............................................................................................................ 2 Daftar isi......................................................................................................... 3 Daftar Gambar.............................................................................................. 5 Daftar Tabel................................................................................................... 6 Deskripsi Mata Kuliah………….……………………………….………….. 7 Tujuan Mata Kuliah Umum...….……………………………….………….. 7 Tujuan Mata Kuliah Khusus.….……………………………….………….. 7 BAB I PENDAHULUAN

1.1 Definisi analisa numerik..................................................... 8 1.2 Tahap penyelesaian secara numerik...................................... 10 1.3 Galat (Kesalahan)………………………………………….11

BAB II SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR 2.1 Metode Tertutup

2.1.1 Metode tabel..………………………………………….. 13 2.1.2 Metode grafik….………………………………………. 15 2.1.3 Metode bisection...…………………………………….. 16 2.1.4 Metode regulasi falsi………………………………… ...17

2.2 Metode Terbuka 2.2.1 Metode iterasi………………………………………….. 19 2.2.2 Metode Newton Rapshon…..…………………………. 20 2.2.3 Metode secant… ...…………………………………….. 23

BAB III INTERPOLASI

3.1 Interpolasi Linear… ……………………….………………... 29 3.2 Interpolasi Kuadratik……………………………..………… 30 3.3 Interpolasi Polinomial………………………….……….…… 31 3.4 Interpolasi Lagrange………………………….……….…… 32

BAB IV INTEGRASI NUMERIK 4.1 Dasar pengintegralan numerik…………….………………... 35 4.2 Metode Reimann…………….…………………..………… 38 4.3 Metode Trapesium…………………………….……….…… 39 4.4 Metode Simpson 1/3…………………….……….………… 40 4.5 Metode Simpson 3/8………………………….……….…….. 42 4.6 Metode Integrasi Gauss………………….……….………… 43 4.7 Penerapan Integrasi Numerik………………….……….…….. 44

4

BAB V PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN 5.1 Eliminasi Gauss… ……………………….………………... 50 5.2 Eliminasi Gauss Jordan…………………………..………… 56 5.3 Dekomposisi LU………………………….……….…… 58 5.4 Iterasi Gauss-Seidel………………………….……….…… 62

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 67

5

Daftar Gambar

Gambar Nama gambar Halaman 1.1 Bagan Metode Analisa Numerik 8 2.1 Grafik akar persamaan kuadrat 10 2.2 Metode Grafik 15 2.3 Bisection 16 2.4 Daerah akar fungsi 17 2.5 Regulasi Falsi 18 2.6 Newton Rapshon 20 2.7 Penyelesaian dengan Newton Rapshon 20 2.8 Metode Secant 23 2.9 Grafik fungsi metode secant 24 2.10 Flowchart Metode Secant 25 3.1 Grafik Interpolasi 28 3.2 Interpolasi Linear 29 3.3 Interpolasi kuadratik 30 4.1 Dasar pengintegralan numeric 36 4.2 Pendekatan solusi integrasi numeric 36 4.3 Grafik Linear dan kuadratik 37 4.4 Grafik kubik dan polinomial 37 4.5 Grafik polynomial data 37 4.6 Grafik luas dengan integral 38 4.7 Metode Reimann 38 4.8 Grafik Solusi reimann 39 4.9 Metode Trapesium 40 4.10 Metode Simpson 1/3 41 4.11 Pembagian h metode simpson 1/3 42 4.12 Metode Simpson 3/8 42 5.1 Solusi sitem persamaan linear 48 5.2 Flowchart system persamaan linear 55

6

Daftar Tabel

Tabel Keterangan Halaman

2.1 Metode tabel 14 2.2 Contoh metode tabel 15 2.3 Penentuan metode bisection 18 2.4 Iterasi 20 2.5 Iterasi Newton Rapshin 25 2.6 Perbandingan Metode system persamaan linear 26

7

A. Deskripsi Mata Kuliah Pada mata kuliah ini disajikan beberapa analisa numerik. Pertama-tama diberikan beberapa definisi, teorema yang berhubungan dengan analisa numerik, termasuk penyajian bilangan, galat dan beberapa konsep dasar yang terkait. Selanjutnya dibahas penyelesaian persamaaan non linear dengan menggunakan metode grafik, tabel, Bisection, Newton Raphson, Secant, dan Modifikasi metode Newton untuk Polinomial. Pembahasan Sistem Linear meliputi aljabar matriks, metode penyelesaian Sistem Linear dengan metode iterasi Jacobi, Gauss Seidel dan penyelesaian sistem linear tridiagonal. Sementara metode numerik untuk aljabar matriks dibahas mengenai menghitung determinan dan invers matriks. Untuk Interpolasi dibahas Interpolasi Polinomial yang meliputi Interpolasi Linear dan Kuadrat, Interpolasi Beda terbagi Newton, dan Interpolasi Lagrange, Integral numerik yang meliputi Konsep dasar Integral Numerik, Diantaranya Metode Reimann dan Trapezoid juga Metode Newton-Cotes termasuk Aturan Simpson 1/3 dan Aturan Simpson 3/8. Ditambah pengenalan tentang differensiasi numeric seperti konsep finite difference dan berbagai analisa numerik tersebut diaplikasikan dalam bahasa pemograman B. Tujuan Kompetensi Umum Setelah mengikuti mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan dapat menggunakan dan menginterpretasikan beberapa analisa numerik beserta algoritmanya kepada berbagai masalah yang berhubungan dengan masalah numerik. C. Tujuan Kompetensi Khusus • Menjelaskan penyajian bilangan, analisis kesalahan, pemilihan metode aritmetika

dan konsep-konsep dasar yang berhubungan dengan metode numerik • Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode dan

menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya • Menyelesaikan Sistem Linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan

hasilnya beserta algoritmanya • Menentukan determinan dan invers matriks dan menginterpretasikan hasilnya beserta

algoritmanya • Menentukan suatu interpolasi dari barisan data dengan beberapa metode dan

menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya • Menghitung integral secara numerik dengan beberapa metode.

8

BAB I PENDAHULUAN

A. Tujuan Kompetensi Khusus • Mahasiswa dapat mengetahui dan memahami pengertian dan maksud pembelajaran

analisa numerik dan mampu mengetahui perbedaanya dengan metode analitik dan metode empirik

• Menjelaskan penyajian bilangan, analisis kesalahan (galat), pemilihan metode aritmetika dan konsep-konsep dasar yang berhubungan dengan metode numeric

B. Uraian Materi 1.1 Definisi Analisa Numerik Dalam metode penyelesaian permasalahan di berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, matematika atau ekonomi, atau pada persoalan di bidang rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya, diantaranya pada umumnya harus diformulasikan dalam notasi matematika sebelum dianalisa secara kualitatif baik secara analitik (secara eksakta) ataupun secara numerik, walaupun ada beberapa pula yang menggunakan metode penyelesaian secara empiris (melalui percobaan).

Gambar 1.1. Bagan Metode Penyelesaian Metode analitik adalah metode sebenarnya yang dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) atau solusi sejati artinya metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim) dan solusi yang dihasilkan memiliki galat atau error = 0. Namun metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Dari penjelasan tersebut terdapat dua hal mendasar mengenai perbedaan antara metode numerik dengan metode analitik yaitu pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka sedangkan metode analitik umumnya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi

Metode Penyelesaian

Analitik Numerik Empirik

9

sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi pendekatan (approxomation), namun solusi pendekatan dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Sebagai contoh ilustrasi, tinjau sekumpulan persoalan matematik di bawah ini. (1) Tentukan akar-akar persamaan polinom:

06662.14389924.177.7 23467 =+−−++− xxxxxx (2) Selesaikan sistem persamaaan lanjar (linear)

(3) Tentukan nilai maksimum fungsi tiga matra (dimension):

(4) Hitung nilai integral-tentu berikut

(5) Diberikan persamaan differensial biasa (PDB) dengan nilai awal:

Hitung nilai y pada t = 1.8! Untuk menyelesaikan soal-soal seperti di atas dengan metode analitik, sangatlah sulit. Soal (1) misalnya, biasanya untuk polinom derajat dua masih dapat mencari akar-akar polinom dengan rumus abc, grafik atau difaktorkan. Sedangkan untuk polinom berderajat banyak seperti diatas memerlukan bantuan numerik. Soal (2) pun sama, untuk menyelesaikan persamaan linear dengan banyak peubah juga sulit untuk diselesaikan secara analitik, begitupun dengan soal lainya. Dari Ilistrusi diatas dapat disimpulkan mengenai alasan menggunakan MetodeNumerik • Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan

mudah. • Dibutuhkan metode yang menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalan non

linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. • Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact dengan jumlah

data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik menjadi penting untuk menyelesaikan permasalahan ini

• Pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan kedalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numeric yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhittungan yang rumit.

10

Beberapa kriteria penyelesaian perhitungan matematika • Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorem analisa

matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis (metodeanalitik) adalah penyelesaian exact yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan.

• Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara matematis (analitik) karena tidak ada theorem analisa matematik yang dapat digunakan, maka dapat digunakan metode numerik.

• Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi, sehingga metode numeric pun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunakan metode-metode simulasi.

1.2 Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu 1. Pemodelan Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika (lihat contoh ilustrasi pada upabab 1.2) 2. Penyederhanaan model Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan.Contohnya, faktor gesekan udara diabaikan sehingga koefisian gesekan di dalam model dapat dibuang. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh. 3. Formulasi numerik Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain: a. menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya). Pemilihan metode didasari pada pertimbangan: - apakah metode tersebut teliti? - apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat? - apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil? b. menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih. 4. Pemrograman Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program computer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai. 5. Operasional Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya. 6. Evaluasi Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.

11

1.3 Galat (Kesalahan) Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Ada 3 macam kesalahan dasar; 1. Galat bawaan 2. Galat pemotongan 3. Galat pembulatan Galat bawaan (Inheren) Yaitu Galat dalam nilai data dan terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. Contoh : Pengukuran selang waktu 2,3 detik : • Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur

tepat 2,3 detik. • Beberapa batas yg mungkin pada galat inheren diketahui : • Berhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg beberapa prosedur

numerik. Galat Pemotongan (Truncation Error) • Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik • Contoh pada deret Taylor tak berhingga :

........!9!7!5!3

sin9753

−+−+−=xxxxxx

• Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian • Jelas kita tdk dapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga • Kita berhenti pada suku tertentu misal x9 • Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat • Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting Galat Pembulatan • Akibat pembulatan angka • Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka : • Penjumlahan 9,2654 + 7,1625

hasilnya 16,4279 Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan

dibulatkan menjadi 16,428

C. Rangkuman • Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan

matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi).

• metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi pendekatan (approxomation),

• Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik yaitu pemodelan, penyederhanaan model, pemograman, operasional, evaluasi

• Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis, yaitu Galat bawaan, Galat pemotongan, Galat pembulatan

12

D. Tugas Buatlah sebuah kajian literatur tentang manfaat analisa numeric di berbagai bidang baik sains, rekayasa, maupun informatika! E. Evaluasi

1. Apa perbedaan dari metode analitik, metode empirik, dan metode numerik? 2. Apa yang dimaksud pemodelan dan model matematika? 3. Jelaskan tahapan-tahapan penyelesaian secara numerik dan dimanakah peran

orang informatika dalam tahapan tersebut? 4. Mengapa dalam konsep analisa numerik ada yang dinamakan galat? 5. Jelaskan definisi dan berbagai jenis-jenis galat? 6. Apa yang dimaksud ketidakpastian dalam proses fisis dan pengukuran? 7. Sebutkan manfaat apa saja yang akan kalian dapat dalam mempelajari analisa

numerik?

13

BAB II SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR

A. Tujuan Kompetensi Khusus • Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode pengurung dan

menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya • Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode terbuka dan

menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya B. Uraian Materi Pada umumnya untuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model persoalan nyata di berbagai bidang, sering solusi yang harus dicari berupa suatu nilai variabel x sehingga f(x) =0 artinya nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Atau dalam arti lain kita menentukan akar-akar persamaan non linier tersebut. Beberapa metoda untuk mencari akar yang telah dikenal adalah:

Dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner. Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan x2 – 2x − 8 = 0 ruas kiri difaktorkan menjadi (x−4) (x+2) = 0 sehingga diperoleh akar persamaannya adalah x = 4 dan x = -2.

Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.

Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.

Gambar 2.1 Grafik akar persamaan kuadrat

Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan : mx + c = 0 , sehingga, x = -

m

ax 212=

14

Akan tetapi, akar persamaan akan sulit dicari jika persamaan tersebut tidak dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat yang bukan pecahan dan cara-cara analitik diatas. Sebagai contoh adalah akar dari persamaan polinom derajat tiga atau lebih. Sehingga terdapat metode-metode secara numerik untuk menyelesaikan kasus-kasus persamaan non-linear yang kompleks dan rumit yaitu metode tertutup dan terbuka.. 2.1. Metode Tertutup (Akolade atau Bracketing Methods)

Mencari akar pada range [a,b] tertentu juga dibutuhkan dua tebakan awal. Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu akar Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen

Yang termasuk meode tertutup antara lain: Metode Tabel dan Grafik Metode Bisection Metode Regulasi Falsi

2.1.1 Metode Tabel Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel : Tabel 2.1 Metode Tabel Algoritma Metode Tabel:

X f(x)

x0=a f(a)

x1 f(x1)

x2 f(x2)

x3 f(x3)

…… ……

xn=b f(b)

ConSelUnt10 bTab

X

-1

-0

-0

-0

-0

-0

-0

-0

-0

-0

0,

.2.1Seluntmemkas

(xf

Jad

‐1

ntoh: esaikan perstuk mendapabagian sehinbel 2.2 Conto

X f

1,0 -

0,9 -

0,8 -

0,7 -

0,6 -

0,5 0

0,4 0

0,3 0

0,2 0

0,1 0

,0 11.2 Metodain metode

tuk memperomotong sum

sar dari akar ) 23 −= xxx

di terlihat bah

1,5 ‐1

samaan : x+eatkan penyengga diperoloh metode taf(x)

-0,63212

-0,49343

-0,35067

-0,20341

-0,05119

0,10653

0,27032

0,44082

0,61873

0,80484

1,00000 e Grafik table dapat oleh taksiran

mbu x. Titik tersebut. Mi

14 −+ x ma

hwa f(x) = y

‐8

‐6

‐4

‐2

0

2

4

6

8

10

12

‐0,5 0

ex = 0 dengalesaian dari eh : abel

KelemMetodpenyeini tidlinier. awal mmenggmenen

pula melalun akar persini untuk m

isalkan kita aka grafik ter

Gambay = 0, terletak

0,5

an range x = persamaan

Dari tableantara –0,masing -0diambil kedibagi 10 nol pada x

mahan Metode table inelesaian dengdak digunaka Tetapi memengetahui gunakan mntukan peny

ui pendekatanamaan f(x)

menyatakan akan menyersebut diluki

ar 2.2 Metodk diantara su

y = 1x3 ‐

1 1,5

. , di atas range

e diperoleh6 dan –0,5 0,0512 dan eputusan pen

maka diperx = -0,57 den

ode Tabel ni secara ugan error yanan dalam peetode ini diarea penyele

metode yaelesaian

n grafik, den= 0 yaitu mf(x) = 0, melesaikan periskan:

de grafik umbu x : 0.2

‐ 1x2 + 4x ‐ 1

2 2

[ ]0,1−e x =

h penyelesaidengan nila

0,1065, snyelesaiannyroleh f(x) tengan F(x) = 0

umum sulit ng kecil, karenyelesaian pigunakan seesaian yang

ang lebih

ngan membumengamati demberikan srsamaan

x -1 -0.7-0.5-0.20 0.20.50.71 1.21.51.72

5-0.5.

2,5

[ 0,1− dibagi men

ian berada ai f(x) masinehingga da

ya di x=-0,6.erdekat deng0,00447

mendapatkrena itu metopersamaan nebagai taksi

benar sebelbaik dal

uat grafik fudimana letaksuatu pendek

y -7

75 -4.985 -3.3725 -2.07

-1 25 -0.045 0.87575 1.859

3 25 4.3905 6.12575 8.296

11

]0 njadi

di ng-

apat

gan

kan ode non iran lum lam

ungsi k dia katan

84375 781

4685 93

06 5 68

16

2.1.3 Bisection (METODE BAGI DUA) Prinsip: Ide awal metode ini adalah metode tabel, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan. Langkah 1 : Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Atau periksa apakah benar bahwa f(a) . f(b) < 0

Gambar 2.3 Bisection

Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari :

c=

17

Langkah 3 : Menentukan daerah yang berisi akar fungsi: o Jika z merupakan akar fungsi, maka f(x < z) dan f(x > z) saling berbeda tanda. o f(a)*f(c) negatif, berarti di antara a & c ada akar fungsi. o f(b)*f(c) positif, berarti di antara b & c tidak ada akar fungsi

Gambar 2.4 Daerah akar fungsi

Langkah 4 : Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi berhenti: Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yang diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.

Contoh : Carilah salah satu akar persamaan berikut: xe-x+1 = 0 disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (εa) =0.001, dengan menggunakan range x=[−1,0] Dengan memisalkan bahwa :

(xl) = batas bawah = a (xu) = batas atas = b (xr) = nilai tengah = x

maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut

2⇒Χ

18

Tabel 2.3 Tabel Penentuan Metode Bisection

Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin bear jumlah iterasi yang dibutuhkan. 2.1.4 Metode Regula Falsi

o Metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.

o Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier.

o Dikenal dengan metode False Position

Gambar 2.5. Grafik Regulasi Falsi

×= awala perkiraanε

19

Algoritma Metode Regulasi Falsi:

2.2 Metode Terbuka

Diperlukan tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn+1 Hasil dapat konvergen atau divergen

2.2.1 Metode Iterasi Sederhana Bentuk lain metode penentuan akar persamaan adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar persamaan yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini, mulai x0 (perkiraan awal), x1, x2, …., xk, akhirnya konvergen pada Ω, yaitu xn cukup dekat pada Ω menurut tingkat kecermatan yang diinginkan, dapat ditulis sebagai berikut: f(x) = x – g(x) = 0, sehingga Ω = g(Ω). Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk: x(n+1)=g(xn), Dimana n=0,1,2,3,.... , Contoh: menyusun kembali persamaan tersebut dalam bentuk Ω = g(Ω). ( i ) ( ii ) ( iii ) ( iv) Dari rumusan pertama dapat dinyatakan persamaan iterasinya sebagai dengan n = 1,2,3,....., Jika diambil dari nilai xo = 1, maka:

)(fbfx −=

=x3(x=

20

Dan seterusnya. Hasilnya dapat ditabelkan sebagai berikut

Tabel 2.4. Tabel Iterasi

iterasi x g(x) Ea

1 1 4.795832

2 4.795832 2.677739 -79.1

3 2.677739 3.235581 17.24086

4 3.235581 3.030061 -6.78272

5 3.030061 3.098472 2.207889

6 3.098472 3.074865 -0.76773

7 3.074865 3.082913 0.26104

8 3.082913 3.080158 -0.08944

9 3.080158 3.081099 0.030566

10 3.081099 3.080777 -0.01045

Algoritma program dengan metode Iterasi a). Tentukan X0, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b). Hitung Xbaru= g(X0). c). Jika nilai mutlak (Xbaru - X0) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan;jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. d). Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. e). X0 = Xbaru, dan kembali ke langkah (b).

2.2.2 Newton Rapshon Salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x), dengan menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi, dengan rumus: Grafik Pendekatan Metode Newton-Raphson

Gambar 2.6. Grafik Newton Rapshon

)(xf

0 x

1+− ii xx

)( ixf

)( ixf

ix

Kemiringan )(' 1+ixf

1+ix

)( 1+ixf

Kemiringan )(' ixf

1+ix

)( 1+ixf

2+ix

055686.3)20843867.23(32 =+×=x

21

Gambar 2.7 Penyelesaian metode newton-rapshon Pernyataan Masalah: Gunakan Metode Newton-Raphson untuk menaksir akar dari : f(x) = e-x-x , menggunakan sebuah tebakan awal x0= 0.

Langkah 1: Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e-x-x , dapat dievaluasikan sebagai :

Langkah 2:

Lakukan uji syarat persamaan

Lak AkaTab

Kel1. t2. 3. 4. U k

Langkahkukan Iterasi

ar x akan sebel 2.5 Tabe

Contoh

f(x) = xDenganPerkiraaMaka: f(5)=53f'(5)=3(xbaru=5

iterasi Xk

1 5

2 3.7

3 3.2

4 3.0

5 3.0

lemahan MJika fungsi ftersebut tidaTidak dapat Tidak bisa mmeskipun adUntuk persakedua f(x) a

h 3: i dengan :

emakin akural Iterasi New

x3 - 3x - 20, mn demikian xan awal xo =

-3.(5)-20 =9(5)2-3 =72 5-(90/72)=3.k X

3

75 3

201754 3

085854 3

080868 3

Metode Newtf(x) mempun

ak dapat dicamencari aka

mencari akarda akar penyamaan non liakan menjadi

ix

at, jika nilai fwton Rapsho

maka f1(x) =x k+1 = xk - (x= 5

90

.75 Xk+1

3.75

3.201754

3.085854

3.080868

3.080859

ton-Raphsonnyai beberapari secara berar kompleksr persamaan yelesaiannyainier yang cui sulit.

('(

1 ii fxfx −=+

f(x) semakinon

= 3x2- 3 x3

k - 3xk - 20

f(xk)

90

21.48438

3.216661

0.127469

0.00023

n pa akar (titikrsamaan. (imajiner).yang tidak m

a. ukup komple

)()

i

i

xx

n mendekati

) / (3x2k - 3)

f'(xk)

72

39.1875

27.7536

25.5674

25.4752

k) penyelesai

memenuhi p

eks, pencaria

0

).

F

2

5 3

69344 0

4865 0

25192 7

ian, akar-ak

ersyaratan p

an turunan p

F(xk+1)

21.484375

3.216661132

0.127469447

0.000229985

7.53268E-10

kar penyelesa

persamaanny

pertama dan

2

7

5

0

aian

ya,

Alg

2.2MaturuevaSeh did

met

goritma Tentuka Hitung Jika nil

perhitun jika tid Jika jum X = Xb

.3 Metodeasalah yang dunan pertamaluasi turunahingga denga

dapat:

tode secant m

1ix =+

an Xo, toleraXbaru = x - lai mutlak (ngan;

dak, lanjutkanmlah iterasi >baru, dan kem

e Secant didapat dalam

ma, yakni f’(an f ’(xi), san jalan pend

memerlukan

)()((

1i

ii xf

xxfx −=−

ansi, dan jumf'(x0)/f(X0).

(Xbaru - X0)

n ke langkah> iterasi mak

mbali ke langk

m metode N(x). Masalahsehingga tudekatan

n dua taksiran

Gamba

f ' (

)()1

i

ii

xfxx

−−−

mlah iterasi m

< toleransi

h berikutnyaksimum, akhkah (b).

Newton-Raphh potensial

urunan dapat

n awal untuk

ar 2.8 Metod

i

ii x

xfx =−

−

1

1)()

maksimum.

i, diperoleh

a. hiri program.

hson adalah dalam metot dihampiri

,

k x.

de Secant

i

i

xxf

−−

1

)()

tulisan xba

.

terkadang suode Newton-

oleh beda

aru sebagai

ulit mendapa-Raphson ad

hingga ter

hasil

atkan dalah rbagi.

24

Contoh: Selesaikan Persamaan:

Berdasarkan gambar grafk didapatkan akar terletak pada range [0.8, 0.9], maka X0 = 0.8 dan x1 = 0.9, sehingga:y0 = F(x0) = -0.16879y1 = F(x1) = 0.037518 Iterasi Metode Secant adalah sbb:

Gambar 2.9 Grafik fungsi untuk range [-1,1 Algoritma Metode Secant : 1. Definisikan fungsi F(x) 2. Ambil range nilai x =[a,b] dengan jumlah pembagi p 3. Masukkan torelansi error (e) dan masukkan iterasi n 4. Gunakan algoritma tabel diperoleh titik pendekatan awal x0 dan x1 untuk setiap range yang diperkirakan terdapat akar dari : F(xk) * F(xk+1)<0 maka x0 = xk dan x1=x0+(b-a)/p . Sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.

25

5. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 6. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)|≥ e

Hitung yi+1 = F(xi+1) 7. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir

Gambar 2.10. Flowchart Metode Secant

26

Perbandingan Berbagai Metode. Dari berbagai metode, baik metode tertutup maupun terbuka, maka dapat disimpulkan seperti disajikan dalam tabel berikut ini: Tabel 2.6 Perbandingan berbagai metode system persamaan non-linear Metode Tebakan

awal Laju konversi relatif

Stabilitas Akurasi Luas aplikasi

Upaya program

Komentar

Langsung - - - - Sangat terbatas

- -

Grafik - - - Kurang Akar sesung-guhnya

- Memakan waktu lebih banyak daripada metode numerik

Bagidua 2 Perlahan Selalu konvergen

Baik Akar sesung-guhnya

Mudah -

Regula Falsi

2 Sedang Selalu konvergen

Baik Akar sesung-guhnya

Mudah -

Iterasi satu titik

1 Perlahan Bisa divergen

Baik Umum Mudah -

Newton-Raphson

1 Cepat Bisa divergen

Baik Umum, dibatasi jika f’(x)=0

Mudah Memerlukan evaluasi f’(x)

Modifikasi Newton-Raphson

1 Cepat bagi akar berganda; sedang bagi akar tunggal

Bisa divergen

Baik Umum, didesain khusus bagi akar berganda

Mudah Memerlukan evaluasi f’’(x) dan f’(x)

Secant 2 Sedang hingga cepat

Bisa divergen

Baik Umum Mudah Tebakan awal tak harus mengurung akar

Modifikasi Secant

1 Sedang hingga cepat

Bisa divergen

Baik Umum Mudah -

27

C. Rangkuman

1. Metode-metode secara numerik untuk menyelesaikan kasus-kasus persamaan non-linear yang kompleks dan rumit yaitu metode tertutup dan terbuka..

2. Metode Tertutup (Akolade atau Bracketing Methods) • Mencari akar pada range [a,b] tertentu juga dibutuhkan dua tebakan awal. • Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu akar • Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen

3. Yang termasuk meode tertutup antara lain: • Metode Tabel dan Grafik • Metode Bisection • Metode Regulasi Falsi

4. Metode tabel ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier.

5. Metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

6. Metode Regula Falsi yaitu metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.

7. Metode Terbuka • Diperlukan tebakan awal • xn dipakai untuk menghitung xn+1 • Hasil dapat konvergen atau divergen

8. Yang termasuk metode terbuka adalah: • Metode Iterasi Sederhana • Metode Newton-Raphson • Metode Secant.

9. metode iterasi adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar persamaan yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini

10. Newton-Rapshon menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi, dengan rumus:

11. metode secant memerlukan dua taksiran awal untuk x D. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan persamaan non-linear diatas, kemudian cobalah membuat programnya dengan menggunakan bahasa MATLAB! E. Evaluasi Gunakan Metode Bisection dan Newton Rapshon untuk memperkirakan akar dari f(x) =0. Yang ada diantara titik a dan b berkut ini. 3)( 4 −+= xxxf , a = 1 dan b = 2.

)(')(

1i

iii xf

xfxx −=+

28

BAB III INTERPOLASI

A. Tujuan Kompetensi Khusus

• Menentukan suatu Interpolasi linear dan kuadratik dari barisan data dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya.

• Menentukan suatu polinomial dari barisan data dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya

B. Uraian Materi Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui. Kegunaan dari interpolasi itu sendiri sangat penting karena Data yang sering dijumpai di lapangan sering dalam bentuk data diskrit yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel. Sebagai gambaran, sebuah eksperimen di laboratorium fisika dasar mengenai hubungan antara jarak tempuh benda yang jatuh bebas terhadap waktu tempuh menghasilkan data seperti disajikan dalam tabel berikut: Tabel 3.1 Tabel data interpolasi

y (meter) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t (detik) 1.45 2.0 2.4 2.85 3.0 3.5 3.75 4.0 4.2 4.52

Permasalahan yang sering ditemui pada data di atas adalah menentukan suatu nilai di antara titik-titik tersebut yang dapat diketahui tanpa melakukan pengukuran kembali. Misalkan kita ingin mengetahui berapa jarak tempuh benda ketika waktu tempuhnya 7,5 detik? Pertanyaan ini tidak secara langsung dapat dijawab, karena fungsi yang menghubungkan variabel t dan y tidak diketahui. Salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokkan (fit) titiktitik dalam tabel di atas. Pendekatan semacam ini disebut pencocokan kurva (curve fitting) dan fungsi yang diperoleh dengan pendekatan ini merupakan fungsi hampiran. Tentu saja nilai fungsi yang diperoleh juga merupakan nilai hampiran (hasilnya tidak setepat nilai eksaknya), tetapi cara pendekatan ini dalam praktek sudah mencukupi karena formula yang menghubungkan dua variabel atau dua besaran fisika sulit ditemukan.

Bila data yang diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva pencocokannya dibuat melalui titik-titik, persis sama apabila kurva fungsi yang sebenarnya diplot melalui setiap titik-titik yang bersangkutan. Di sini kita dikatakan melakukan interpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi (Gambar disamping)

Gambar 3.1 Grafik interpolasi

Interpolasi memegang peranan yang sangat penting dalam metode numerik. Fungsi yang tampak sangat rumit akan menjadi sederhana bila dinyatakan dalam polinom interpolasi. Sebagian besar metode integrasi numerik, metode persamaan difrensial biasa dan metode

29

turunan numerik didasarkan pada polinom interpolasi sehingga banyak yang menyatakan bahwa interpolasi merupakan pokok bahasan yang fundamental dalam metode numerik.

Ada beberapa jenis interpolasi diantaranya: Interpolasi Linier Interpolasi Kuadratik Interpolasi Polinomial Interpolasi Lagrange

3.1 Interpolasi Linear Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misalkan dua buah titik, ( x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus berbentuk:

Gambar 3.2 Grafik Interpolasi Linear Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) dapat dituliskan dengan:

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier sebagai berikut:

Algoritma Interpolasi Linier : (1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (3) Hitung nilai y dengan :

(4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y)

30

Contoh: Diketahui data sebagai berikut :

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

Tentukan harga y pada x = 6,5 ! Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 dan x=7, sehingga dengan menggunakan rumus: , didapat: Alternatif 2 : x = 6,5 terletak antara x=1 dan x=7, dengan rumus yang sama, didapat: Jika kita bandingkan kedua kedua hasil tersebut yakni: Karena hubungan. x dan y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25 Kesalahan mutlak (E), untuk : y = 42.5 |42.5 – 42.25| = 0.25 = 25 % Sedangkan untuk y = 45 |45 – 42.25| = 3.25 = 325 % Terlihat bahwa y = 42.5 lebih akurat, jadi dapat disimpulkan bahwa Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan interpolasi akan semakin baik. 3.2 Interpolasi Kuadratik Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier. Untuk itu digunakan polinomial lain yang berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya. Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

Gambar 3.3 Grafik Interpolasi Kuadratik

(11 kkkk yxxyy −−+= ++ )3649()67(36 =−−+=y )48()6(1)149()17(1 +=−−+=y

31

Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik sebagai berikut:

Algoritma Interpolasi Kuadratik: (1) Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (3) Hitung nilai y dari titik yang dicari menggunakan rumus dari interpolasi kuadratik:

(4) Tampilkan nilai x dan y 3.3 Interpolasi Polinomial Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:

Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas:

Penyelesaian persamaan simultan di atas adalah nilai-nilai a0, a1, a2, a3, …, an yang merupakan nilai-nilai koefisien dari fungsi pendekatan polynomial yang akan digunakan. Dengan memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya, akan diperoleh nilai y dari titik tersebut. Algoritma Interpolasi Polynomial : (1) Menentukan jumlah titik N yang diketahui. (2) Memasukkan titik-titik yang diketahui Pi = xi yi untuk i=1,2,3,…,N (3) Menyusun augmented matrik dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut:

(4) Menyelesaikan persamaan simultan dengan augmented matrik di atas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/Jordan. (5) Menyusun koefisien fungsi polynomial berdasarkan penyelesaian persamaan

32

simultan di atas.

(6) Memasukkan nilai x dari titik yang diketahui (7) Menghitung nilai y dari fungsi polynomial yang dihasilkan

(8) Menampilkan titik (x,y) 3.4 Interpolasi lagrange Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan:

Algoritma Interpolasi Lagrange : (1) Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui (2) Tentukan titik-titik Pi(xi,yi) yang diketahui dengan i=1,2,3,…,N (3) Tentukan x dari titik yang dicari (4) Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi interpolasi lagrange

(5) Tampilkan nilai (x,y) Contoh: Nilai yang berkorespondensi dengan y = 10log x adalah :

X 300 304 305 307

10log x 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871

Carilah 10log 301 ? Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi

x0 = 300 x1 = 304 x2 = 305 x3 = 307

y0 = 2,4771 y1 = 2,4829 y2 = 2,4843 y3 = 2,4871

Dengan menggunakan interpolasi lagrange

−−−= 4771,2)307300)(305300)(304300()(xy −−− 4829,2)307304)(305304)(300304(

478,2)( =xy

33

Contoh 2 : Bila y1 = 4, y3 = 12, y4 = 19 dan yx = 7, carilah x ? Karena yang ditanyakan nilai x dengan nilai y diketahui, maka digunakan interpolasi invers atau kebalikan yang analog dengan interpolasi Lagrange. Nilai sebenarnya dari x adalah 2, karena nilai-nilai atau data diatas adalah hasil dari polinom y(x) = x2 + 3. Adapun untuk membentuk polinom derajat 2 dengan diketahui 3 titik, dapat menggunakan cara yang sebelumnya pernah dibahas dalam hal mencari persamaan umum polinomial kuadrat.

C. Rangkuman 1. Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi

pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui 2. Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus.

Misalkan dua buah titik, ( x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus

3. Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik

P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

4. Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik

P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:

5. P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan

fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan:

D. Tugas Carilah sebuah data di lapangan (x,y) dan kemudian lakukan interpolasi pada saat x tertentu!

−−= ()194)(124(x −− )1912)(412( 1219)(419( −−7142 =−+=x

34

E. Soal

1. Cari nilai y untuk titik x =2.5 yang berada diantara titik (1,5), (2,2) dan (3,3) dengan menggunakan interpolasi kuadratik !

2. Diketahui data berikut:

x 100 110 120 130

10log x

2 2.0413

2.0791

2.1139

Carilah 10log 115 dengan menggunakan Interpolasi Lagrange dari data diatas..

∏∑≠= −

−=

11 )()(

j ji

jN

ii xx

xxyy

3. Hitunglah interpolasi dari data yang diketahui berikut ini:

a) Jika dari data-data diketahui bahwa ℓn (9,0) = 2,1972 dan ℓn (9,5) = 2,2513 maka tentukanlah nilai ℓn (9,2) dengan interpolasi linear sampai 5 angka dibelakang koma.

b) Diberikan data ℓn (8,0) = 2,0794, ℓn (9,0) = 2,1972 dan ℓn (9,5) = 2,2513. Tentukanlah nilai ℓn (9,2) dengan interpolasi kuadratik

35

BAB IV NUMERIK

A. Tujuan Kompetensi Khusus

• Menghitung integral secara numerik dengan beberapa metode persegi panjang dan

trapezium • Menghitung integral secara numerik dengan aturan simpson 1/3 dan aturan simpson

3/8

B. Uraian Materi Di dalam kalkulus, terdapat dua hal metode penting untuk menyelesaikan permasalahan matematis yaitu integral dan turunan (derivative). Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Kita lihat contoh berikut: Fungsi yang dapat dihitung integralnya secara analitik :

Fungsi yang rumit misalnya : Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral semisal menghitung luas dan volume-volume benda putar dan juga yang lainya. 4.1 Dasar Pengintegralan Numerik

Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

Cxxxdxx

Cxdxx

Cbaadxbax

Cbaadxbax

Ca

edxe

Cnaxdxax

axax

nn

+−=

+=

++=+

++−=+

+=

++

=

∫∫

∫∫

∫

∫+

||ln||ln

||ln1

)sin(1)cos(

)cos(1)sin(

1

1

dxex

x x5.02

0

23

sin5.01)1cos(2

∫ +++

)(...)()(

)()(

1100

0

nn

i

n

ii

b

a

xfcxfcxfc

xfcdxxf

+++=

≈∑∫=

Per

f n jug

I =

nf

MelakuintegralMetodeeksak.

rhitungan int

dapat berupa polinomia

dxxfb

a∫ ≅= )(

n ax += 0)(

Gam

ukan penginl yaitu penjume Numerik h

tegral mengg

a fungsi linel dapat didas

dxxfb

a n∫≅ )(

axa ++1 L

mbar 4.1 Da

nteralan padmlahan bagi

hanya menco

Gambar

gunakan For Nilai ham

ear, kuadratsarkan pada

nn axa +−−

11

asar Pengint

da bagian-baian-bagian. oba untuk le

4.2 Pendeka

rmula Newto

mpiran f(x) d

, kubik, ataudata.

nn x

tegralan Num

agian kecil,

ebih cepat d

atan solusi

on-Cotes yai

dengan polyn

upun polyno

merik

, seperti sa

an lebih me

itu berdasark

nomial:

omial yang l

aat awal be

endekati jaw

kan pada

lebih tinggi.

elajar

waban

Dan

37

Gambar 4.3 Linear dan kuadartik

Gambar 4.4 Kubik dan polynomial yang lebih tinggi

Gambar 4.5 Polinomial dapat didasarkan pada data

Intenumsatuvarnumper Lu

GamCondanx = Sol 4.2

SelujuyaitConCar

egrasi secaramerik integru variabel, priabel bebas, meric dapat rbedaan yanguas (L) =

mbar 4.6 Grntoh : Hitun

n 4.

lusi:

Metode P Bagi

Hitun Hitun Juml

ain mengamung kanan sutu nilai fungntoh: ri luas daerah

∫b

a

= L4

0∫

= Lh

k∑=

a numeric mran (fungsi yproses disebu

proses disebdilakukan dg diintgrasik

rafik Luas Inng luas daer

Pendekatan interval a sa

ng nilai fungng luas tiap-lahkan semu

mbil tinggi pub-interval kgsi pada ujun

h di bawah k

( )dxxf

x dx )( 312 =x

)f(x . h k

h

1∑=

merupakan pryang diintegut QUADRAbut CUBATengan meny

kan antara [ a

ntegrasi ah di atas su

Persegi Panampai b atas

gsi pada ujun-tiap persegi ua luas perseg

ersegi panjake-k tersebutng kiri sub-in

kurva f(x) =

)4( x 3331

4

0=

)

roses menghigrasi). Jika

ATUR MECHTURE MECHyatakan f(x) a,b].

umbu x yang

njang ( Intes n sub-interv

ng-ujung subpanjang ters

gi panjang te

Gambar

ang ke-k, samt, juga dapatnterval, ataup

x2, antara x

64 )0( - 3331 =

itung integrafungsi yangHANIC, dan

HANIC. Mendalam rumu

g dibatasi ole

egral Reimaval

b-interval tersebut → Pk ersebut

r 4.7 Metode

ma dengan ft mengambilpun juga pad

x = 0 sampai

s 1.332 34 =

( = bh

al berdasarkag diintegrasin bila fungsinyelesaikan

usan interpol

eh kurva y =

ann )

rsebut → f = h * f (xk )

e Reimann

f (xk ) yaitu nl tinggi samda :

x = 4

luassatuan

) na - b

f((x 1-k

an sejumlah ikan mempui mempunya seca

lasi dalam fu

= x2, antara x

f (xk )

nilai fungsi a dengan f (

2) / )x+ k

nilai unyai ai dua ara ungsi

x = 0

pada (xk-1 )

DenTab

Sec TerAlg

4.3 BagHitHitLua Lu

(0

==

=L

ngan mengabel 4.1. Perh

cara kalkul

rdapat kesagoritma Me

Definisi Tentuka Tentuka Hitung Hitung

Metode Tgi interval (atung nilai funtung luas trapas trapesium

as Total = t = h

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

= 2h

(( )( )85,31.0

01.001.0

)(.10

0

=++

= ∑=i

ixfh

Gammbil h=0.1 m

hitungan inte

lus :

alahan e = 0tode Integrikan fungsi fan batas bawan jumlah peh=(b-a)/N

Trapesium a, b) menjadngsi pada ujupesium → P

m ke-1 = t1 = ke … ke

t1 + t2 + ……h/2 ( f(x0) + f

0.1 0.

⎜⎝

⎛+ ∑

−

=

2 )f(x0

n

k

385,009.004.0 ++

1

0

= ∫ xL

∑=

=N

ifhL

0.

mbar 4.8 Grmaka dipero

egral dengan

,385 - 0,333al Reimannf(x)

wah dan bataembagi area

di n sub-interung-ujung suPk = h * f (xk½ ( f(x0) + f

e-2 = t2 = ½ …………….

e-n = tn = ½ …. + tn

f(x1) ) + h/2

2 0.3

+∑−

=

f(x )f(x1

1k

2.016.09 ++

|31 1

032 = xdxx

ixf )(

rafik Solusi Moleh tabel :

metode Rei

= 0,052 n:

s atas integrN

rval yang samub-interval tk ) f(x1) ) * h =( f(x1) + f(x2

( f(xn-1) + f(x

( f(x1) + f(x

0.4 0.5

⎟⎠

⎞ )xn

.036.025 ++

.....3333,00=

Metode Reim

imann

rasi

ma → tersebut →

= h/2 ( f(x0) +2) ) * h = h/

xn) ) * h = h

x2) ) + …….

0.6 0.

( = n- bh

064.049 ++

.

mann

f (xk )

+ f(x1) ) /2 ( f(x1) + f

h/2 (f(xn-1) +

+ h/2 (f(xn-1

.7 0.8

) a

)00.181.0 +

f(x2) )

+ f(xn) )

1) + f(xn) )

0.9 1

x**2

HitSol Int

Lua Alg• • • • • 4.4 Per f

b

a∫

tung luas daelusi: terval (0, 4)

xk

f(x

as total:

goritma MeDefinisikaTentukan Tentukan Hitung h=Hitung

Aturan Srumusan Atu

=2h

21

=

L

[3

)(2

0

fh

cdxxfi

=

≈∑=

G

erah di bawa

dibagi menj0

xk) 0

tode Integran y=f(x) batas bawahjumlah pem

=(b-a)/n

Simpson 1/3uran Simpson

⎜⎝

⎛+ ∑ 2 )f(x

2 0h

( 4(1 2 0 21

++

⎜⎝

⎛+= fhL 0 2

2

(4)(

)(

0

0

xfxf

fcxfc ii

+

=

Gambar 4.9

ah kurva f(x)

adi 4 sub-int1

1

asi Trapezo

h (a) dan batmbagi n

n 1/3 diapro

+∑=

f(x )f(x3

1k

k

) 16 9)4 =++

⎟⎠

⎞+∑

−

=n

n

ii ff

1

12

])()

()(

21

10

xfx

xfcxf

+

+

Grafik Meto

= x2, antara

terval, n = 42

4

oida

tas atas integ

ksimasi den

⎟⎠

⎞ )x4

22 =

)() 221 xfcx +

ode Trapesiu

a x = 0 samp

→ h = (4 -3

9

grasi (b)

gan fungsi p

)

um

pai x = 4

0)/4 = 1 4

16

parabola:

Per

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

(

xxx

h

let

L

(L

∫ fb

a

a∫

rumusan ters

=⇒==⇒==⇒=

=−

=

=

−−

+

−−

=

,2

x, x

((

(()(

2

1

0

20

2

10

1

ξξξ

ξ

xxxxxx

ab

at

xxxxxxxxx

21()( −

=ξξξ

1

1

(

(

(

)(−

+

=

+

≈ ∫

xf

xf

xf

hdxxf

dx)x(fb

a=∫

Ga

sebut didapat

−

=−

==

−−−−

10

1

d ,

a x,

))())())(

))(

1

12

120

10

201

21

ξh

xx

b

fxxx

xxx

fxx

xx

1()()0xf −+

3

2

23

0

1

0

21

23(

2)

23(

2)

1)

)(

+

−

−

=

∫

ξξhx

ξξhx

ξ(hx

fdξL ξ

[ )(3h

0xf=

ambar 4.10

t dari penuru

=

+

−−

+

hdx

2b

)(

(( )(

2

10

xf

xxxxx

)() 12 xf +−ξ

1

1

2

1

1

1

2

22

1

10

)2

)()2

)()

(2

)(

−

−

−

+

+

∫

ξ

xf

xfdξ

ξξhx

)(4 1xf ++

Grafik Meto

unan berikut

−−

))())(

210

20 fxxx

xxx

(2

)1( xf+ξξ

1

1

3

1

1

)3

(

)1(2

)1

−

−

−

+

−

∫ξξh

ξξh

dξξ

])( 2xf+

ode Simpson

t ini:

)( 1xf

)2x

)dξ

n 1/3

AtaGreAlg

4.5 Atu

fb

a∫

au penurunaegory derajagoritma:

a) Definisib) Tentukac) Hitung d) Inisialise) Hitung

= sum +f) Hitung g) Tulis ha

Aturan Siuran Simpso

[83

)(3

0

h

cdxxfi

=

≈∑=

Gambar 4.1

n perumusant 2 yang mel

ikan fungsi ian batas pen: h = (b-a)/n

sasi sum = Funtuk i = 2

+ 2 x F (a+ixnilai integraasil perhitun

impson 3/8 n 3/8 diaapr

Ga

[ (3)(

fc)(

0

0

fxf

xfc ii

+

=

11. Grafik pe

n tersebut dlalui ketiga t

integran gintegralan

n (a) + 4 x F sampai i = n

xh) + 4 x F (aal I = h/3 x (sgan

roksimasi de

ambar 4.12 G

)(3)(

x(fc)x(f

21

10

xfx +

+

embagian h p

dapat pila dititik tersebut

a dan b dan j

(a+h) n-1 dengan ia+(i+1)h) sum + F(b))

ngan fungsi

Grafik Meto

])()

)x(fc)x

3

221

xf+

+

pada metode

dapat dari Pt.

jumlah segm

indeks perta

kubik

ode Simpson

)x(fc 33+

e simpson 1/

Polinom inte

men n (harus

ambahan sam

n 3/8

/3

erpolasi New

s genap)

ma dengan 2

wton-

sum

43

Error Pemenggalan Algoritma:

a) Definisikan fungsi integran b) Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus kelipatan 3) c) Hitung : h = (b-a)/n d) Inisialisasi sum = F (a) + 3 x F (a+h) + 3 x F (a+2h) e) Hitung untuk i = 3 sampai i = n-1 dengan indeks pertambahan sama dengan 3 sum

= sum + 2 x F (a+ih) + 3 x F (a+(i+1)h) + 3 x F (a+(i+2)h) f) Hitung nilai integral I = 3h/8 x (sum + F(b))

Tulis hasil perhitungan 4.6 Metode Integrasi Gauss Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik 2 data diskrit, dengan batasan h sama dan Luas dihitung dari a sampai b, mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar. Oleh karena itu, diperlukan metode Integrasi Gauss. Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik: Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik: • Definisikan fungsi f(x) • Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) • Hitung nilai konversi variabel :

• Tentukan fungsi g(u) dengan:

• Hitung

h ; )(6480)(80 )4()4(5 ffhEt =−=−= ξξ

()3()(1 +=∫− ffdxxf

()(22 uabx +−= ( ()()(2)( 2121 uabfabug +−−=

4.7 Me

DarDen Den Den Me Lua Vol Con

=L

=L

=L

Beberapaenghitung L

Untuk mmenandaisatu kotakpanjangnyPada gamhal ini n=

ri tabel di atangan mengg

ngan mengg

ngan mengg

enghitung L

as benda put

lume benda

ntoh :

7316

0

== ∑=i

iyh

2 160⎜⎝

⎛+= yyh

3 160⎜⎜⎝

⎛+= yyh

a PenerapanLuas Daerah

menghitung i atau membk. Bila satu ya adalah 10

mbar di atas, =22). Tinggi

as, luas areagunakan meto

gunakan meto

gunakan meto

Luas dan Vo

tar:

putar:

5.3

215

1

=⎟⎠

⎞+ ∑

=iiy

4 ++ ∑=ganjili

iy

=pL 2π

=pV

n Integrasi h Berdasark

luas integrabuat garis gr

kotak mew00.000 mm amulai sisi kpada setiap

a dapat dihituode integras

ode integras

ode integras

olume Bend

5.73

72 =⎟⎟⎠

⎞∑=genapi

iy

∫b

a

dxxf )(π

[ ]∫=b

a

dxf 2)(π

Numerik kan Gambar

al di peta rid pada setiakili 1 mm,

atau 100 m.kiri dengan ggrid adalah

ung dengan mi Reimann

i trapezoida

i Simpson

a Putar

74

dx

r

di atas, yaap step satudengan ska

grid ke 0 dansebagai berik

menggunaka

ang perlu duan h yang dala yang tert

n sisi kanan kut:

an 3 macam

dilakukan addinyatakan dtera maka be

grid ke n (d

metode:

dalah dalam erarti

dalam

Rua•

• Bag BagSedden

PadDen Lu LuaVol Vol

Ra1.

2.

3.

IIL

IIV

====L

61

===V

ang benda pubagian I membagi-bagian II

gian I:

gian II: dangkan untngan mengam

da bagian II ngan mengg

as permuka

as = 1758.4 lume botol

lume = 1892

angkuman Pengintegjawaban secara anMetode P

Metode Tr

= Lh

1k∑=

⎜⎝

⎛= f(x

2hL

=IL

=IIL

π2

2)( =IVIhL

( ) π2

== IVIhV

4.1758560

10856 +++

πππ

IIII LLL

ππ

6024.1187196 +

++= III VVV

utar dapat didan III m

-bagi kembadan IV perlu

tuk menghitmbil h=1 dip

dan IV: gunakan integ

aan dari bot

cm2

adalah:

24.78 cm3

gralan numehampiran (a

nalitik. Pendekatan P

rapesium

)f(x . h k

+ ∑−

=

f(x 2 )x1

10

n

k

π 5)7)(4(2 =

( )π )12(122=

IIL

22 50⎢⎣

⎡++ yyh

225

20⎢

⎣

⎡++ yyh

10288 +++

πIVIII L

ππ 34565. ++ IVIII VV

ibedakan memerupakan bali ruangnya,u diperhitung

dan

datung bagian peroleh:

dan grasi trapezo

tol adalah:

erik merupakaproksimasi)

Persegi Panja

+ )f(x )x nk

π56 V

π288=

IVL=

1024

1

=⎥⎦

⎤∑=i

iy

124

1

2 =⎥⎦

⎤∑=i

iy

08π

ππ 5.1187+

enjadi 4 bagibentuk silind, gkan kemba

an II dan IV

oida dapat di

kan alat atau ) dari pengi

ang ( Integra

⎠

⎞

π )7)(4(=IV

(π2=IIV

IVII VV =

π8

π5.187

ian der yang ti

ali.

diperlukan

iperoleh:

cara yang dntegralan ya

al Reimann )

π196)2 =

( )( ) 31212 2 =

dak perlu d

pembagian

digunakan unang tidak da

)

π456

dihitung de

area , misa

ntuk memperapat diselesa

engan

alkan

roleh aikan

46

4. Perumusan Aturan Simpson 1/3 diaproksimasi dengan fungsi parabola:

5. Aturan Simpson 3/8 diaaproksimasi dengan fungsi kubik

C. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan integral secara numerik diatas, kemudian coba aplikasikan algoritmanya dalam sebuah bahasa pemograman menggunakan bahasa pemograman MATLAB! D. Evaluasi

Perbandingkan berbagai metode dengan metode Reimann, Trapezoid, dan aturan simpson untuk menghitung integral di bawah ini!

dxx∫2

0

4 , n = 4

[ ])()(4)(3

)()()()()(

210

221100

2

0

xfxfxfh

xfcxfcxfcxfcdxxf ii

i

b

a

++=

++=≈∑∫=

[ ])()(3)(3)(83

)x(fc)x(fc)x(fc)x(fc)()(

3210

33221100

3

0

xfxfxfxfh

xfcdxxf ii

i

b

a

+++=

+++=≈∑∫=

47

BAB V PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

A. Tujuan Kompetensi Khusus • Menyelesaikan Sistem Linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan

hasilnya beserta algoritmanya. • Menentukan Determinan dan invers matriks dan menginterpretasikan hasilnya beserta

algoritmanya B. Uraian Materi Kasus-kasus persamaan linier akan banyak ditemui dalam masalah rekayasa atau science baik dari cara analisis maupun hitungan rumusan model matematika permasalahan. Kasus yang terpenting adalah jika jumlah besaran atau variabel yang dicari sama jumlahnya dengan jumlah persamaan atau lazim disebut persamaan linear simultan. Terdapat beberapa metode yang akan dipelajari guna menyelesaikan persamaan linear simultan ini. Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:

dimana: aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Permasalahan persamaan linier simultan merupakan permasalahan yang banyak muncul ketika berhubungan dengan permasalahan multi-variabel dimana setiap persamaan merupakan bentuk persamaan linier atau dengan kata lain setiap variabel berpangkat paling besar satu. Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu :

atau dapat dituliskan:

48

Matrik A dinamakan dengan Matrik Koefisien dari persamaan linier simultan, atau ada yang menamakan dengan matrik Jacobian. Vektor x dinamakan dengan vektor variabel (atau vektor keadaan) dan vektor B dinamakan dengan vektor konstanta. Augmented Matrix ( matrik perluasan ) dari persamaan linier simultan adalah matriks yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: Augmented (A) = [A B] Sehingga secara detail, augmented matrik dari persamaan linier simultan dapat dituliskan:

Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi:

Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi

Gambar 5.1 Grafik solusi persamaan linear Contoh permasalahan 1: Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ? Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A dan y = jumlah boneka B. Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62

49

Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas. Contoh permasalahan 2 : Diketahui panas beberapa titik pada plat baja yaitu pada sisi luar. Bila ditentukan bahwa aliran panas bergerak secara laminar dan panas pada sebuah titik adalah rata-rata panans dari 4 titik tetangganya, maka dapat dihitung panas pada titik T1 dan T2 sebagai berikut:

Persamaan panas pada titik T1 dan T2 dapat dihitung dengan:

Persamaan linier simultan dari permasalahan di atas adalah:

Penyelesaian permasalahan di atas adalah nilai T1 dan T2 yang memenuhi kedua persamaan . Theorema 4.1. Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. 1) Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama

dengan jumlah variable bebas. 2) Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector

konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0. 3) Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol. Untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan persamaan linier simultan dapat dilakukan dengan menggunakan metode-metode analitik seperti pemakaian metode grafis, aturan Crammer, atau invers matrik. Metode-metode tersebut dapat dilakukan dengan mudah bila jumlah variabel dan jumlah persamaannya di bawah 4, tetapi bila ukurannya besar maka metode-metode di atsa menjadi sulit dilakukan, sehingga pemakaian metode numerik menjadi suatu alternatif yang banyak digunakan. Metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linier simultan antara lain: (1) Metode Eliminasi Gauss (2) Metode Eliminasi Gauss-Jordan (3) Metode Iterasi Gauss-Seidel

50

5.1 Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai berikut :

Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himpunan solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer 1. Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol 2. Mempertukarkan dua baris 3. Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya. Gauss menyelesaikan persamaan linear simultan melalui proses menghilangkan atau mengganti secara beruntun beberapa besaran yang dicari sampai sistem menjadi satu persamaan dengan satu besaran. Persamaan yang menyatakan satu variabel yang tidak diketahui disebut persamaan PIVOTAL atau persamaan POROS. Jika telah diketahui nilai satu variabel, maka variabel lainnya diperoleh melalui proses substitusi ke belakang dengan menggunakan persamaan pivotal. Dalam penyelesaian numerik cara Gauss selalu ditentukan terlebih dahulu persamaan pivotal atau persamaan poros bagi variabel, yaitu persamaan yang mempunyai koefisien terbesar dari besaran yang akan dieliminasi. Apabila besaran yang akan dieliminasi secara berturut-turut adalah x

1,x

2, maka persamaan pivotal pertama diperoleh dari koefisien x

1 mutlak yang terbesar. P Persamaan ini dipindahkan posisinya pada susunan baris pertama, sehingga koefisien yang terbesar berada pada lokasi diagonal a

11. Persamaan pivotal kedua x

2 dari hasil susunan

persamaan pivotal pertama dipilih dari koefisien besaran x2

yang terbesar. Demikian seterusnya sehingga tersusun persamaan linear simultan dengan koefisien diagonal dapat ditulis sebagai berikut:

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ nnnnn nnaaaa aaaa aaaa .................. ......321 3333231 2232221 ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ nnnnccc ccc ...000 ............... ...00 ...0 333 22322

⎢⎢⎢⎢⎢⎣ nnnnaaa aaa ............... ...2n1 22221

51

Tinjaulah contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara Gauss sebagai berikut. Persamaan linear dengan 4 besaran yang tidak diketahui disusun pada empat persamaan:

Besaran yang akan dihilangkan berturut-turut adalah x

1, x

2, dan x

3. Karena koefisien x

1 terbesar pada persamaan (3), ini merupakan persamaan pivotal pertama. Nyatakan x

1 dari

persamaan ini:

Masukkan nilai x

1 ini pada persamaan (1), (2), dan (4):

Dari persamaan (6), (7), dan (8) terlihat koefisien terbesar x

2 pada persamaan (6), sehingga

ini merupakan persamaan pivotal kedua. Nyatakan x

2 dari persamaan ini:

Persamaan (10) adalah persamaan pivotal ketiga, sehingga:

Isikan (12) ke (11) sehingga diperoleh:

52

Dengan cara subsitusi ke belakang, besaran x3, x

2 dan x

1 diperoleh dari persamaan (12), (9)

dan (5). Dengan mengisikan nilai x4

ke persamaan (12) diperoleh x3

= 0.22636 dan dengan mengisikan nilai x

3 dan x

4 ke persamaan (9) didapat x

2 = 0.208898, sehingga nilai x

1 dapat

diperoleh dari persamaan (5) dari x2, x

3, da x

4 yang telah diketahui, yaitu x

1 = 1.038335.

Hasil penyelesaian sistem :

Untuk memeriksa kebenaran keempat nilai di atas, masukkan nilai x

1, x

2, x

3, dan x

4 pada

persamaan (1), (2), (3) dan (4). Terlihat bahwa cara Gauss menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan mengubah sistem persamaan yang diketahui menjadi persamaan pivotal sistem triangulasi. Dalam penyajian matriks, susunan akhir menjadi :

Dengan mudah dari matriks ini dihitung determinan, berupa perkalian nilai koefisien diagonal utama : D = 5.36 x 4.287538 x 1.47564 x (-3.117463) = -105.720. Dengan penjelasan dalam contoh di atas, Algoritma Program mengubah bentuk umum persamaan simultan :

53

Hal ini dilakukan melalui proses me-nol-kan kolom 1 sampai kolom n-1 di bawah posisi diagonal. Untuk tujuan ini dibutuhkan (n-1) tahapan proses. Setiap tahap k, k = 1, 2, ..., n-1 akan menghasilkan nilai 0 pada kolom k tanpa mengubah nilai 0 yang sudah ada pada kolom sebelumnya. Ini berarti bahwa pada setiap tahap dicari suatu pengali m

ik, dan

kemudian dilakukan pengurangan hasil pengali dari baris persamaan pivoting yang ditinjau dengan persamaan dari baris lainnya sedemikian rupa sehingga diperoleh nilai nol. Untuk mendapatkan nilai nol pada kolom pertama di bawah diagonal elemen a

11 pada contoh

berikut:

Secara umum :

Pada proses perhitungan besaran ini sesungguhnya hanya ditinjau nilai j = k+1, k+2, .., n, karena besaran nol di bawah posisi diagonal tidak memerlukan perhitungan lanjut. Dengan substitusi ke belakang

54

dengan i = n-1, n-2, ..., 2, 1, akan diperoleh besaran variabel yang dicari. Elemen a

kk yang digunakan menghitung m

ik disebut elemen PIVOT. Pada tahap akhir

penghitungan, determinan dunyatakan sebagai :

Sehingga jika ada pivot bernilai nol, berarti determinan |A| = 0. Ini menunjukkan invers [A]

-1 tidak ada, dan tidak ada penyelesaian unik persamaan sebab solusi vektor x dicari dari

x = [A]-1

b. Jika pada proses eliminasi nilai a

kk bernilai 0, tetapi elemen di bawahnya bukan 0, maka

perlu modifikasi susunan baris, dengan pertukaran baris dalam matriks untuk mendapatkan pivot yang bukan bernilai 0. Proses ini disebut proses PIVOTING. Suatu pivot bernilai kecil sekali, dan sistem persamaan mempunyai nilai determinan yang kecil; sistem disebut berkondisi ill (ill conditioned); yang berarti solusi yang akan diperoleh tidak memberikan hasil yang besar. Penjelasan uraian ini dapat dilihat pada solusi dua persamaan berikut

yang dalam penyajiannya secara grafik hampir paralel. Solusi persamaan ini tidak stabil dan hasilnya dengan cara apa pun tidak akan memberikan nilai yang benar. Algoritma yang memberikan sifat tidak stabil harus dicegah dengan menetapkan syarat perlu :

Dengan ketentuan ini, prosedur pivoting perlu dimodifikasi pada tahap ke-k, sebelum dibentuk pengali m

ik dengan penyusunan baris baru sedemikian rupa untuk memperoleh

nilai mutlak terbesar elemen dalam kolom k di posisi diagonal utama. Algoritma Program Algoritma penyelesaian persamaan simultan cara eliminasi Gauss : a). Masukkan nilai matriks [A] dan b yang membentuk persamaan simultan linear. b). Bentuk matriks gabungan [G] yang merupakan gabungan matriks [A] dan b. c). Lakukan eliminasi untuk me-nol-kan bagian segitiga bawah matriks. d). Lakukan substitusi mundur untuk mendapatkan hasil perhitungan. e). Tulis keluaran dan akhiri program.

55

Gambar 5.2 Flowchart Penyelesaian Numerik SistemPersamaan Linear

56

5.2 Metode Eliminasi Gauss Jordan Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal.

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau: Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris. Contoh 1: Selesaikan persamaan linier simultan: Penyelesaian dengan operasi baris elementer: Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = 2 dan x2 = 1 Contoh 2:

B2-2B1 B3-3B1

½ B2 B3-3B2

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ nnnnn nnaaaa aaaa aaaa .................. ......321 3333231 2232221 ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 1...000 ............... 0...100 0...010

421+x ⎢⎣42

⎢⎣⎡− ⎢⎣⎡⎢⎣−

1001110

3112/2 202

21

12

BBB

bB

563 342 =−+ =−+ zyx zyx

⎢⎢⎣ −−563 342 ⎢⎢⎣ −−−563 720⎢⎢⎣ −−−−1130 720 ⎢⎢⎣ −−−−1130 10 27

57

-2 B3 B1- B2

B2 + 7/2 B3

B1 - 11/2 B3 Solusi x = 1, y=2 dan z=3 Secara umum prosedur me-nol-kan unsur pada posisi atas dan bawah diagonal dilakukan dengan pengali.

bagi unsur di bawah pivotal dan bagi unsur di atas pivotal, dengan i = 2,3, ..., n dan l = k-1, k-2, ....., 1, dan

Dengan hanya unsur diagonal matriks ≠ 0 dapat dilakukan normalisasi pada matriks. Hasil perhitungan langsung didapatkan pada kolom terakhir matriks. Bentuk matriks gabungan setelah normalisasi adalah sebagai berikut :

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut: (1) Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n (2) Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A (4) Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n (a) Perhatikan apakah nilai ai,i sama dengan nol : Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k,i tidak sama dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses

dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan

⎢⎢⎣ −−212700 10 ⎢⎢⎣ −100 10 27

⎢⎢⎣ −100 10 27 ⎢⎢⎣ 100 010

58

(b) Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung

(5) Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n Lakukan operasi baris elementer: untuk kolom k dimana k=1 s/d n Hitung c = aj,i Hitung a j,k = a j,k − c.ai,k (6) Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) xi = ai,n+1 5.3 METODE DEKOMPOSISI LU Dari pembuktian matematika, jika suatu matriks [A] bukanlah singular sifatnya (ada penyelesaian yang unik :

triangular [L] dan [U]. [L] disebut matriks triangular bawah yang elemen matriksnya mempunyai nilai satu pada diagonal dan nilai 0 di atas diagonal, seperti :

[U] disebut matriks triangulasi atas dengan nilai elemen di bawah diagonal sama dengan 0. Dengan demikian : [A] = [L] [U] Bila persamaan linear yang simultan dinyatakan dalam matriks [A]x =b, maka mengisikan matriks [A] dengan [L] [U] menghasilkan [L][U]x =b (5.21)

59

Berarti terdapat dua sistem : [L] z = b untuk mencari z, dan [U] x = z untuk memperoleh x. Matriks [U] sama dengan matriks triangulasi yang diperoleh dari metode Gauss. Penyelesaian [U] x = z dilakukan dengan cara substitusi ke belakang, setelah diketahui nilai z, yang diselesaikan dari [L] z = b. Unsur elemen matriks [L] merupakan pengali dalam proses eleminasi Gauss, sehingga menyimpan pengali ini selama proses eliminasi menjadi dasar pembentukan matriks [L] dan [U]. Metode penyelesaian seperti ini disebut metode dekomposisi LU. Algoritma proses dekomposisi LU: a). Mendapatkan matriks [L] dan [U]. b). Menyelesaikan [L]z = b. c). Menyelesaikan [U]x = z Proses ini mempunyai syarat telah memasukkan prosedur pivotal. Selanjutnya, cara dekomposisi ini mempunyai keunggulan dari cara Gauss, yaitu untuk nilai b yang berbeda-beda cukup dilakukan satu kali penguraian matriks [A] ke [L][U]. Sebagai contoh, ditinjau proses dekomposisi LU untuk menyelesaikan persamaan 3x

1 + 2x

2 - 5x

3 = 8

5x1 - 2x

2 + 3x

3 = 5

x1 + 4x

2 - 2x

3 = 9

Dalam bentuk matriks :

Dari persamaan awal terlihat perlu dilakukan proses pivotal untuk koefisien x

1

yang diubah susunannya menjadi

Karena proses dekomposisi LU pada matriks A, cukup ditulis

Proses pertama ialah menghilangkan elemen di bawah a

11 menjadi nol. Secara umum:

60

Susunan baru [A] :

Dari susunan unsur tidak ada perubahan pivotal untuk meneruskan proses triangulasi.

61

sedangkan [L] ialah

Dekomposisi [A] = [L][U]

Penyelesaian dari persamaan menjadi :

Dari langkah (a), vektor b dapat mempunyai nilai yang berbeda, sehingga vektor z sebagai vektor antara mendapatkan nilai vektor x menjadi fasilitator penyelesaian persamaan bagi berbagai nilai vektor b. []bxA= Metode dekomposisi LU banyak dipakai dalam pemrograman solusi analisis sistem yang baku, yang unsur matriks [A] tetap, tetapi unsur vektor b yang terkait dengan pengaruh luar terhadap sistem mempunyai beberapa variasi. Algoritma Program Algoritma penyelesaian persamaan simultan linear dengan metode dekomposisi LU: a). Masukkan nilai matriks [A] dan b. b).Lakukan dekomposisi matriks [A] (algoritma diberikan selengkapnya pada Bagan Alir

Program program). c). Lakukan substitusi ke depan. d). Lakukan substitusi ke belakang untuk mendapatkan penyelesaian persamaan. e). Tulis keluaran dan akhiri program.

62

5.4 Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan: Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi: Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. Untuk mengecek kekonvergenan :

Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii).Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar. Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0. Susun persamaan menjadi:

nnnnnn nn nnxaxaxaxa xaxaxaxa xaxaxaxa =++++ =++++ =++++ ... .......................................... ......332211 3333232131 2323222121

(( 12211 2323121222 11 ....1 ............................................................ ....12 −−−−−= −−−−= nnnnnnnn naxaxabax xaxaxabax

63

Nilai interasi ke-7 sudah tidak berbeda jauh dengan nilai interasi ke-6 maka proses dihentikan dan diperoleh penyelesaian:

Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut: (1) Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n (2) Tentukan batas maksimum iterasi max_iter (3) Tentukan toleransi error ε (4) Tentukan nilai awal dari xi, untuk i=1 s/d n (5) Simpan xi dalam si, untuk i=1 s/d n (6) Untuk i=1 s/d n hitung :

(7) iterasi iterasi+1

(8) dih(5) 5.5 ConMrblobonMoVar x1 x2Per B1 B2Dip 10 2 xme

Diparti ConPerDikalirdar

Bila iterasi hentikan dari

Contoh Pntoh 1. .X membuatk B2, sedan

neka yang daodel Sistem riabel yang adalah juml

2 adalah jumlrhatikan da1: 10 bahan u2: 2 bahan unperoleh mod0 x1 + 5 x2 =x1 + 6 x2 = tode elimin

peroleh x1 =inya bahan y

ntoh Kasusrmasalahan aketahui panaran panas beri 4 titik tetan

lebih dari mi penyelesaia

Penyelesaian

t 2 macam bgkan bonekaapat dihasilkPersamaan dicari adallah boneka Alah boneka B

ari pemakaiauntuk bonekntuk boneka

del sistem per= 80 36 asi Gauss-J

= 6 dan x2 = yang tersedia

2: aliran panas as beberapa ergerak secangganya, ma

max_iter atauannya adalah

n Permasala

boneka A dana B memerlu

kan bila tersen Linier : lah jumlah bA B an bahan :

ka A + 5 baha A + 6 bahanrsamaan lini

Jordan

4, a dapat dibua

pada plat batitik pada p

ara laminar aka dapat dih

u tidak terdah xi untuk i=

ahan Persam

n B. Bonekaukan bahan 5edia 80 blok

boneka, ang

han untuk bon untuk bonier

at 6 boneka A

aja plat baja yait

dan panas phitung panas

apat ei <ε u=1 s/d n. Bil

maan Linier

a A memerlu5 blok B1 dabahan B1 da

ggap:

oneka B = 80eka B = 36

A dan 4 bon

tu pada sisi pada sebuahs pada titik T

untuk i=1 s/dla tidak mak

r Simultan

ukan bahan 1an 6 blok B2an 36 blok b

0

neka B.

luar. Bila dh titik adalahT1 dan T2 seb

d n maka prka ulangi lan

10 blok B1 d2. Berapa jubahan B2.

ditentukan bah rata-rata pbagai beriku

roses. ngkah

dan 2 mlah

ahwa panas ut:

65

Persamaan panas pada titik T1 dan T2 dapat dihitung dengan:

Sistem persamaan linier dari permasalahan di atas adalah:

Penyelesaian dengan menggunakan iterasi Gauss-Seidel, terlebih dahulu ditentukan nilai pendekatan awal T1=0 dan T2=0 dan fungsi pengubahnya adalah :

Diperoleh hasil perhitungan untuk toleransi error 0.0001 sebagai berikut:

Jadi temperatur pada T1=23,3333 dan T2=43,3333

C. Rangkuman 1. Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara

bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:

66

2. Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan

solusi: • Tidak mempunyai solusi • Tepat satu solusi • Banyak solusi

3. Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

4. Operasi Baris Elementer • Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol • Mempertukarkan dua baris • Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya.

5. Persamaan yang menyatakan satu variabel yang tidak diketahui disebut persamaan PIVOTAL atau persamaan POROS

6. Suatu pivot bernilai kecil sekali, dan sistem persamaan mempunyai nilai determinan yang kecil; sistem disebut berkondisi ill (ill conditioned); yang berarti solusi yang akan diperoleh tidak memberikan hasil yang besar.

7. Dekomposisi LU

8. Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga

diperoleh nilai-nilai yang berubah

D. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear secara numerik diatas, kemudian coba aplikasikan algoritmanya dalam sebuah bahasa pemograman menggunakan bahasa pemograman MATLAB! E. Evaluasi

Perbandingkan metode Eliminasi Gauss, Iterasi Gauss-Seidel, dan Aturan Cramers dalam menyelesaikan persamaan linear di bawah ini:

768510232

1432

321

321

321

=+−=++−

=++

xxxxxx

xxx

67

DAFTAR PUSTAKA

Numerical Analysis Using Matlab and SpreadSheets. Steven T. Karris. Orchard

Publications

P. L. DeVries, A First Course in Computational Physics (John Wiley & Sons, Inc., New

York, 1994)

Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil. Amriyansyah Nasution dan Hasballah

Zakaria. Penerbit ITB.2001

Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi. Slide Nana Ramadijanti

Metode Numerik. Diktat ajar Irfan Subakti

MODUL 8 Interpolasi dan Regresi. Diktat ajar Zuhair

A. Pustaka Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Buku Ajar Aljabar Linear Oleh Yuliant Sibaroni 2002 Aljabar Linier Elementer. Mahmud ’Imrona. 2002 PAUL CALTER, 1979, Theory and Problems of Technical Mathematics, Schaum’s outline, Mc GRAW.HILL BOOK COMPANY Slide: AgusSoft, dll. Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, second edition, Harcourt Brace Jovanovich, 1980. Evar D. Nering, Linear Algebra and Matrix Theory, second edition, John Wiley, 1970. Serge Lang, Linear Algebra, Addison-Wesley, 1966.