TB metode numerik

TUGAS BESAR

METODE NUMERIK

DOSEN : HERU DIBYO LAKSONO. MT

OLEH:

FAKHRI HAKIM

1310951020

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS ANDALAS

PADANG

2015

BAB 2

AKAR-AKAR PERSAMAAN

A. Metode Tertutup

1 . Metode grafik

SOAL

1. Tentukan akar-akar nyata dari :

Dengan batas atas = 1,5, batas bawah = 0,5, selang 0,5

Penyelesaian:

2. Tentukan akar-akar nyata dari :

Dengan batas atas = 1,5, batas bawah = 0,5, selang 0,25

Penyelesaian:

2. Metode Bagi Dua

SOAL

Tentukan akar-akar nyata dari persamaan:

menggunakan metode bagi dua untuk

mendapatkan akar terendah, lakukan tebakan awal dengan Xu = 4 dan Xi = 3,5

dengan nilai

Penyelesaian :

Iterasi 1

Xu = 4

Xi = 3,5

Iterasi 2

f(Xi) = 19(3,5)4 + 26(3,5)3+5(3,5)2+ 21(3,5) + 52 = 4152,68

f(Xr) = 19(3,75)4 + 26(3,75)3+ 5(3,75)2 + 21(3,75) + 52 = 5329,48

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,75

Xu = Xu = 4

Iterasi 3

f(Xi) = 19(3,75)4 + 26(3,75)3+ 5(3,75)2 + 21(3,75) + 52 = 5329,48

f(Xr) = 19(3,875)4 + 26(3,875)3+ 5(3,875)2 + 21(3,875) + 52 = 6005,18

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,875

Xu = Xu = 4

Iterasi 4

f(Xi) = 19(3,875)4 + 26(3,875)3+ 5(3,875)2 + 21(3,875) + 52 = 6005,18

f(Xr) = 19(3,9375)4 + 26(3,9375)3+ 5(3,9375)2 + 21(3,9375) + 52 = 6366,47

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,9375

Xu = Xu = 4

Iterasi 5

f(Xi) = 19(3,9375)4 + 26(3,9375)3+ 5(3,9375)2 + 21(3,9375) + 52 = 6366,47

f(Xr) = 19(3,96875)4 + 26(3,96875)3+ 5(3,96875)2 + 21(3,968375) + 52 =

6553,17

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,96875

Xu = Xu = 4

Iterasi 6

f(Xi) = 19(3,96875)4 + 26(3,96875)3+ 5(3,96875)2 + 21(3,968375) + 52 =

6553,17

f(Xr) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 = 6647,61

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr =

Xu = Xu = 4

Iterasi 7

f(Xi) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 = 6647,61

f(Xr) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) + 52 = 6694,75

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,992

Xu = Xu = 4

Akar dari persamaan tersebut adalah : Xr = 3,996

3.Metode Posisi Palsu

SOAL

Tentukan akar-akar nyata dari persamaan f(x) = ex – 2 – x2,dengan metode posisi palsu dimana xi = 0,5; xu = 1,5; s = 1%

Penyelesaian :

Iterasi 1

maka

Iterasi 2

maka xi baru = 1,3054; f(xi) = 0,014905

maka

A. Metode Terbuka

1. Metode Satu Titik Sederhana

SOAL

Tentukan akar-akar persamaan dari dengan menggunakan

metode iterasi satu titik sederhana. Dimana diketahui x0 = 0 dan ε = 0,5 %

Penyelesaian :

Iterasi 1 : x = 0

Iterasi 2 : x= 0,333

Iterasi 3 : x= 0,1711

Iterasi ke 4 : x = 0,236


Iterai ke 6 : x = 0,22

Iterasi ke 7 : x = 2146


2. Newton Raphson

SOAL

Tentukan akar-akar nyata dari persamaan berikut, f(x) = -0.9x2 + 1.7x + 2.5 !

Penyelesaian:

Dimana Tebakan awal x0 = 3.1 dan ε = 0.01

xr+1=xr−f ( x )f '( x )

ε=|xr+1−xr

xr+1

|×100 %

Iterasi 1

f ' ( x )=−1 . 8x+1 .7

f (3. 1 )=(−0 . 9⋅3 .12)+(1. 7⋅3 . 1)+2 .5=−0 .879

f ' (3 .1 )=(−1 .8⋅3. 1 )+1 . 7=−3 .88

xr+1=3 .1−(−0 .879−3 .88 ) ε 1=|2 .8735−3 .1

2 . 8735|=0 .0788

=3 .1−0 .2265

=2 .8735

Iterasi 2

f (2. 8735 )=(−0 . 9⋅2 . 87352 )+(1 .7⋅2. 8735 )+2. 5=−0 .0464

f ' (2.8735 )=(−1 .8⋅2 .8735 )+1.7=−3 . 4723

xr+1=2.8735−(−0 .0464−3 .4723 ) ε 2=|2 . 8601−2 .8735

2.8601|=0 .00469

=2 .8735−0.0134

=2 .8601

3.MetodeSecant

SOAL

Tentukan akar-akar dari dengan menggunakan

metode secant dimana, tebakan awal , , dan

Penyelesaian :

dan

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

iterasi

1 2.9 3.1 3.04 0.06

2 3.1 3.04 3.049 0.009027

3 3.04 3.049 3.049094 0.0000941

Dari table dapat dilihat bahwa nilai kesalahan ( ) telah kecil dari yang

ditentukan, maka didapat akar dari persamaan adalah 3.049049

BAB 3

SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINEAR

A. Metode Eliminasi Gauss

SOAL

Tentukanlah nilai dari persamaan berikut ini dengan menggunakan

metode gauss

x+ y+2 z=9 x

2 x+4 y−3 z=1

3 x+6 y−5 z=0

Penyelesaian :

[1 1 22 4 −33 6 −5

910] …(i)

… (ii)…(iii )

[1 1 20 2 −73 6 −5

9−17

0 ] kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii)

[1 1 20 2 −70 3 −11

9−17−27 ] kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[1 1 2

0 1−72

0 3 −11

9−17

2−27

] kalikan baris (ii) dengan (1/2)

[1 1 2

0 1−72

0 0−12

9−17

2−32

] kalikan baris (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii)

[1 1 2

0 1−72

0 0 1

9−17

23

] kalikan baris (iii) dengan (-2)

Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:

x3=3

x2−72

x3

=−172

⇒ x2=2

x1+ x2+2 x3=9⇒ x1=1

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

B. Gauss Jordan

SOAL

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss-Jordan:

3x + y – z = 54

x + 7y – 3z = 20

2x – 2y + 5z = 10

Penyelesaian

Sistem persamaan diatas ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Baris pertama dari persamaan (c2) dibagi dengan elemen pertama dari

persamaan (c1.a) yaitu 3, sehingga persamaan menjadi:

Pertama membuat nilai dari kolom dan baris satu bernilai 1. Sehingga,

Lalu, kedua dari kolom kedua bernilai 0 menjadi,

Lalu baris ke tiga kolom pertama dijadikan 0,

Lalu baris kedua dan pertama kolom ke dua. Sehingga,

Selanjudnya menjadikan baris ketiga kolom ketiga bernilai 1,

Dan yang terakhir untuk kolom tiga baris satu dan dua,

Dari sistem persamaan diatas, didapat nilai x, y dan z berikut ini:

x = 1,5061; y = 3,1324 dan z = 2,6505

C. Gauss Seidel

SOAL

Selesaikanlah persamaan berikut dengan menggunaan metode gauss seidel,

dimana nilai adalah 2%

Penyelesaian :

Bentuk matrik :

Asumsikan :

Iterasi 1

Iterasi 2

Persentasi errornya :

Blum berada di bawah 2 %.

Iterasi 3


Belum berada di bawah 2 %.

Iterasi 4


Belum berada di bawah 2 %.

Iterasi 5


Belum berada di bawah 2%.

Iterasi 6


Karena harga telah telah berada di bawah 2 % maka,

C.Metoda Inversi

SOAL

Tentukanlah x1,x2,x3 dari persamaan di bawah ini dengan menggunakan metode

inverse.

Penyelesaian :

Dibagi 2 baris pertama

Dikali 1

Dikali -3

Dibagi baris ke-2

Dikali

Dibagi -4 baris ke-3

Dikali 2/11

Dikali -4

Dikali

Sehingga untuk mencari nilai x maka digunakan rumus :

Jadi diperolehlah nilai dari akar- akar x ;

D. Dekomposisi LU

1. Metode crout

SOAL

Selesaikan :

x1+ x2−x3=1

2 x1+2 x2+ x3=5

−x1+ x2+2 x3=5

dengan metode dekomposisi LU, dimana L dan U dihitung dengan metode

reduksi Crout.

Penyelesaian :

A=[ 1 1 −12 2 1

−1 1 1 ] b=[151]Diperoleh :

u11=a11=1

u12=a12=1

u13=a13 = - 1

l21=a21

a11

=21=2

l31=a31

a11

=−11

=−1

u22=a22−l21u12=2−2 (1 )=0

Karena uqq tidak boleh nol, maka lakukanlah pertukaran baris, baik untuk

matriks A maupun untuk vektor b :

Matriks A Vektor b

R2 ↔ R3 [ 1 1 −1−1 1 12 2 1 ] R2 ↔ R3 [115]

Hitung kembali nilai l21 , l31dan u22 ¿ u12 ,u13 tidak berubah )

l21=a21

a11

=−11

=−1

l31=a31

a11

=21=2

u22=a22−l21u12=1 — 1 (1 )=1+1=2

u23=a23−l21u13=1 —1 (−1)=1−1=0

l32=a32−l31u12

u22

=2−2(1)

2=0

Diperoleh L dan U sebagai berikut :

U=[1 1 −10 2 00 0 3 ] L=[ 1 0 0

−1 1 02 0 1]dan b=[115]

Berturut-turut dihitung y dan x sebagai berikut :

Ly=b →[ 1 0 0−1 1 02 0 1] [ y1

y2

y3]=[115]

y1,y2 ,dan y3 , dihitung dengan teknik penyulihan maju :

y1=1

− y1+ y2=1→ y2=1+ y1=1+1=2

2 y1+0 y2+ y3=5→ y3=5−2 y1=3

Ux= y→ [1 1 −10 2 00 0 3 ][ x1

x2

x3]=[123]

x1,x2 ,dan x3 , dihitung dengan teknik penyulihan mundur :

3 x3=3 → x3 = 1

2 x2+0 x3=2 → x2 = 1

x1+ x2+x3=1 → x1 = 1

Jadi, solusi sistem persamaan lanjar di atas adalah x = (1, 1, 1)T.

2. Metode Doo-little

SOAL

Tentukan nilai x1,x2,x3 dengan metoda dekomposisi L.U doolite

Penyelesaian :

Untuk menentuka nilai x nya maka :

Sehingga diperoleh lah :

Sedangkan untuk mencari nilai dari akar – akar x :

Sehingga diperolehlah nilai akar-akar x sebagai berikut :

3.Metode Cholensky

SOAL

Gunakan metode Cholesky untuk menentukan solusi dari system persamaan

linear

Penyelesaian:

LY = C

Jadi, nilai yaitu :

X = Y

Jadi, nilai yaitu :

BAB 4

PENCOCOKAN KURVA

A.Regresi Kuadrat Terkecil

1. Regresi Linier

SOAL

Diketahui data penjualan iklan adalah sebagai berikut :

Biaya periklanan (x) Tingkat penjualan (y)

50 40

51 46

52 44

53 55

54 49

Tentukan persamaan regresinya !

Penyelesaian :

Persamaaan Regresi :

Dimana

No X Y x.y

1 50 40 2000 2500 1600

2 51 46 2346 2601 2116

3 52 44 2288 2704 1936

4 53 55 2915 2809 3025

5 54 49 2646 2916 2401

260 234 12195 13530 11078

Maka dari persamaan didapatkan persamaan regresi yaitu:

2. Regresi Polinomial

SOAL

Lakukan pencocokan data hasil pengukuran seperti terlihat pada tabel kepada

polynomial kuadratik.

Tabel

1. 0.1400 4.09642. 0.4300 4.72843. 0.5800 5.22314. 0.9100 5.99845. 1.3000 6.89896. 2.0000 7.23077. 2.2000 7.33068. 2.5000 7.87569. 2.7000 7.990810. 3.2000 8.130311. 3.5000 8.430212. 4.1000 8.544413. 4.4000 8.893114. 4.9000 9.043215. 6.3000 9.3240

Penyelesaian

Persamaan simultan untuk menemukan harga koefisien-koefisien

kuadratik dalam masalah ini secara umum mengambil bentuk

Untuk masing-masing elemen matriks persamaan simultan di atas dapat dilihat pada tabel

Tabel

1. 0.1400

0.0196 0.0027 0.000 4.0964 0.5735 0.0803

2. 0.4300

0.1849 0.0795 0.034 4.7284 2.0332 0.8743

3. 0.5800

0.3364 0.1951 0.113 5.2231 3.0294 1.7571

4. 0.9100

0.8281 0.7536 0.685 5.9984 5.4585 4.9673

5. 1.3000

1.6900 2.1970 2.900 6.8989 8.9686 11.6591

6. 2.0000

4.0000 8.0000 16.400 7.2307 14.4614

28.9228

7. 2.2000

4.8400 10.6480

23.400 7.3306 16.1273

35.4801

8. 2.5000

6.2500 15.6250

39.100 7.8756 19.6890

49.2225

9. 2.7000

7.2900 19.6830

53.100 7.9908 21.5752

58.2529

10. 3.2000

10.2400

32.7680

104.900

8.1303 26.0170

83.2543

11. 3.5000

12.2500

42.8750

150.100

8.4302 29.5057

103.2699

12. 4.1000

16.8100

68.9210

282.600

8.5444 35.0320

143.6314

13. 4.4000

19.3600

85.1840

374.800

8.8931 39.1296

172.1704

14. 4.9000

24.0100

117.6490

576.500

9.0432 44.3117

217.1272

15. 6.3000

39.6900

250.0470

1575.300

9.3240 58.7412

370.0696

Jmlh

39.1600

147.7990

654.6279

3199.000

109.7381

324.6533

1280.007

Secara eksplisit, persamaan linier simultan untuk menemukan

selanjutnya dapat ditampilkan dalam bentuk matriks yaitu

Dengan menyelesaikannya menggunakan metode eliminasi Gauss atau Gauss-

Jordan, maka diperoleh harga-harga

Polinomial kuadratik hasil pencocokan selanjutnya dapat dinyatakan sebagai

B. Interpolasi

1. Interpolasi Linier

SOAL

Diketahui kecepatam suatu kelereng terhadap waktu sebagai berikut ;

Tentukan interpolasi linier dari persamaan di atas ketika x bernilai 75

Penyelesaian :

Jadi interpolasi linier pada saat x = 75 adalah 0

2. Interpolasi Kuadratik

SOAL

Akan dicari nilai ln 2 (dengan nilai exact ln 2 = 0.69314718), jika diketahui data :x 0 =1 ,f ( x0)=0

Penyelesaian

:x1 =4 ,f ( x1 )=1 . 3862944

:x2 =6 ,f ( x2)=1. 7917595

maka : f 2( x2 )=b0+b1( x0−x0)+b2( x0−x0 )( x0−x1 )

b0= f ( x0 )=0

b1=1.3862944−0

4−1= 0. 46209813

b2=

1 . 7917595−1 .38629446−4

−0 . 46209813

6−1=−0 . 051873116

f 2(2 )=0+0 . 46209813 (x1−1)−0 .051873116 ( x−1 )(x−4 )=0. 56584436

dengan, Et =

0 .69314718−0 .565844360 . 69314718

x100 % = 18 . 4 %

3. Interpolasi Polinom

SOAL

Diberikan empat buah titik data yaitu ln(1.5)= 0.4054, ln(2)= 0.6931, ln(4)=

1.3862, ln(5)= 1.6094. Tentukan nilai ln(5.5) menggunakan metode interpolasi

kubik.

Penyelesaian:

Selesaikan persamaan diatas dengan metode Eliminasi gauss;

Didapat nilai a0 = -0.9052, a1= 1.1407, a2 = -0.1996, a3 = 0.0144 Polinom

kubiknya adalah

BAB 5

INTEGRASI NUMERIK

A.Formulasi Integrasi Newton Cotes

1. Aturan Trapesium

SOAL

Diberikan tabel data berikut:

x 0 1 2 3 4

f (x) 1 3 9 19 33

Hitung luasan di bawah fungsi f (x) dan di antara x = 0 dan x = 4, dengan menggunakan metode trapesium dan trapesium dengan koreksi ujung.

Penyelesaian:

Integral numerik dihitung dengan persamaan (7.6):

I= Δx2 [ f ( a)+ f (b )+2 ∑

i = 1

n− 1

f ( xi )]=12

[1 +33 + 2(3+9+19) ] =48 .

Apabila digunakan metode trapesium dengan koreksi ujung, integral dihitung dengan persamaan (7.10):

I= Δx2 [ f ( a)+ f (b )+2 ∑

i = 1

n − 1

f ( x i )]− Δx2

12[ f ' (b )−f ' ( a) ]

Turunan pertama pada ujung-ujung dihitung dengan diferensial beda hingga:

f ' ( x1=a=0 )=f ( x2)−f ( x1 )

x2−x1

=f (1 )−f (0)

1−0= 3−1

1= 2 .

f ' ( xn= b = 4 ) =f ( xn)−f ( xn −1)

xn−xn − 1

=f (4 )−f (3 )

4−3= 33−19

1=14 .

I= 12

[1+33+2(3+9+19 )] − 112

(14−2 )= 48−1 =47 .

SOAL

Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung, I=∫

0

4

e x dx .

Penyelesaian:

Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analitis:

I =∫0

4

ex dx=[ex ]04=[e4−e0 ]=53 , 598150 .

Hitungan integral numerik dilakukan dengan menggunakan persamaan (7.2):

I≈(b−a )f ( a)+ f (b )

2= (4−0 ) e0+e4

2=111 , 1963 .

Untuk mengetahui tingkat ketelitian dari integral numerik, hasil hitungan numerik dibandingkan dengan hitungan analitis.

Kesalahan relatif terhadap nilai eksak adalah:

ε t=53 ,598150−111 ,196353 ,598150

×100 %=−107 , 46 %.

Terlihat bahwa penggunaan metode trapesium satu pias memberikan kesalahan sangat besar (lebih dari 100 %).

2. Aturan Simpson

SOAL

Hitunglah volume sebuah benda putar, pada contoh 4.3 menggunakan

perluasanaturan Simpson 1/3 dengan N=2,4,8,16,32,64. Nilai benar adalah

I=11,7286.

Penyelesaian

Kalkulasi untuk N=2 dan 4 ditunjukkan sebagai berikut:

Integrasi dengan N yang lain memberikan hasil sebagai berikut:

B.Integrasi Romberg dan Kuadratur Gauss

1.Integrasi Romberg

SOAL

Hitung integral ∫0

11

1+xdx dengan metode Romberg (n = 8). Gunakan 5 angka di

belakang koma.

Penyelesaian :

Jarak antar titik : h = (1-0)/ 8 = 0,125

Table titik – titik didalam selang [ 0,1 ] dengan h = 0,125:

Tabel Romberg:

K O(h2) O(h4) O(h6) O(h8)

0 0.75000

1 0.70833 0.69445

2 0.69702 0.69325 0.69317

3 0.69412 0.69315 0.69314 0.69314

Jadi

2.Kuadratur Gauss

SOAL

- Diketahui Carilah integrasinya dengan batas bawah =

0, batas atas =1½, menggunakan metode :

a. Kuadrat Gauss 2 titik

b. Kuadrat Gauss 3 titik

Penyelesaian :

ditransformasikan dengan

Menjadi :

Sehingga

Jadi,

-Kuadratur Gauss 2 titik menghasilkan nilai 0,8907.

-Kuadratur Gauss 3 titik menghasilkan nilai 0,8906

Daftar Pustaka

Kawula, P. (2012, May 6). Metode Numerik. Retrieved from Academia.edu: https://www.academia.edu/3185302/Metode_Numerik

Razaq, S. (2012, 12 7). soal metode numerik. Retrieved from razaqshideqi: http://razaqshideki.files.wordpress.com/2012/12/soal-metode-numerik.pdf

Bela, A. (2010, 6 19). Sistem Persamaan Aljabar Linear Metode Gauss Jordan. Retrieved from belasblog: http://belasblog.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-aljabar-linear-metode-gauss-jordan.pdf

Saiful, F. (2013, 12 16). Diferensial Numerik. Retrieved from wordpress: https://ilmukita.wordpress.com/tag/diferensial numerik/

TB metode numerik

Documents

Transcript of TB metode numerik