Jurnal Metode Numerik 1
-
Upload
mursalin-abdulmanaf -
Category
Documents
-
view
1.456 -
download
35
Transcript of Jurnal Metode Numerik 1
JURNAL 2012
Interpolasi dan Ekstrapolasi
Didalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiran suatu nilai
tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpoloasi dalam arti luas merupakan
upaya mendefenisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak
diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan
analitiknya. Nilai suatu fungsi y = f(x) diketahui berupa ordinat titik-titik x1, x2, x3,
………, xn yang diskontinu (discontinue) atau diskrit (discret). Ekspresi analitik y
= f(x) tidak diketahui. Bab ini akan membahas perkiraan ordinat atau f(x) secara
numerik untuk nilai x yang berlaku di dalam interval (interpolasi) maupun di luar
interval titik-titik yang diketahui (ekstrapolasi). Permasalahan utama dalam
interpolasi dan ekstrapolasi adalah akurasi nilai yang dihasilkannya.
Fungsi interpolasi dan ekstrapolasi merupakan fungsi model dengan bentuk
tertentu yang bersifat umum supaya dapat mendekati fungsi-fungsi yang dipakai
secara luas. Sejauh ini fungsi yang umum digunakan adalah polinomial dan
trigonometri.
Proses interpolasi dilaksanakan dalam dua tahap, yaitu pertama, menentukan
fungsi interpolasi yang merupakan kombinasi dari titik-titik (data) yang ada, dan
kedua, mengevaluasi fungsi interpolasi tersebut. Interpolasi dapat dilakukan
untuk kasus dengan dimensi lebih dari satu, misalnya fungsi f(x,y,z). Interpolasi
multidimensi selalu diselesaikan dengan urutan mulai dari interpolasi satu
dimensi.
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 1
JURNAL 2012
1.1 Interpolasi Kedepan Cara Newton untuk Data dengan
Interval Konstan
Polinomial interpolasi kedepan Newton Ff(x) dengan x0……………… xn-1
sebagai titik pusatnya yang mempunyai interval (Δx) tetap sebesar h dapat
dinyatakan sebagai berikut:
Koefisien a0, a1, a2, …… an tergantung dari x0, x1, x2, …… xn dan nilai f(x) di titik-
titik tersebut. Dalam bentuk lebih rinci persamaan (1-1) dapat dinyatakan sebagai
berikut:
disebut dengan perbedaan kedepan atau forward
difference, sehingga interpolasi cara Newton yang didasarkan pada persamaan
(1-2) disebut dengan interpolasi kedepan cara Newton. Perbedaan kedepan
dihitung sebagai berikut:
2
JURNAL 2012
Secara skematis perbedaan kedepan diberikan dalam Tabel 1.1 berikut ini.
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 3
JURNAL 2012
1.2 Interpolasi Kebelakang Cara Newton untuk Data dengan
Interval Konstan
Polinomial interpolasi kebelakang Newton Fb(x) dengan x0, ……, xn-1 yang
mempunyai interval (Δx) tetap sebesar h dapat dinyatakan sebagai berikut:
Koefisien fungsi interpolasi tergantung dari kombinasi data-data yang diketahui.
Dalam bentuk lebih rinci persamaan (1-4) dapat dinyatakan sebagai berikut:
disebut perbedaan kebelakang atau backward difference,
sehingga interpolasi cara Newton yang didasarkan pada persamaan (1-5)
disebut dengan interpolasi kebelakang cara Newton. Untuk n = 6, maka
persamaan (1-5) menjadi:
4
JURNAL 2012
Perbedaan kebelakang dihitung sebagai berikut:
Secara skematis perbedaan kebelakang diberikan dalam Tabel 1.2 berikut ini.
1.3. Interpolasi Cara Lagrange untuk Data dengan Interval Tidak
Konstan
Polinomial Interpolasi Lagrange F(x) dengan x0, ……, xn-1 mempunyai interval
(Δx) tidak konstan dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 5
JURNAL 2012
Koefisien a0, a1, a2, …… an tergantung dari x0, x1, x2, …… xn dan nilai f(x) di
titik-titik tersebut. Koefisien-koefisien tersebut dihitung sebagai berikut:
Dengan mensubstitusi persamaan (1-9) ke dalam persamaan (1-8), maka
diperoleh persamaan polinomial interpolasi Lagrange yang dinyatakan sebagai
berikut:
6
JURNAL 2012
Persamaan (1-10) dapat juga digunakan, jika varibel bebasnya adalah y,
sedangkan variabel tak bebasnya adalah x.
1.4. Interpolasi Cara Newton untuk Data dengan Interval Tidak
Konstan
Polinomial interpolasi Newton F(x) untuk data dengan interval (Δx) tidak konstan
dikembangkan dari polinomial interpolasi Lagrange dan Newton dan dinyatakan
dengan:
Koefisien b0, b1, b2, …… bn tergantung dari nilai x0, x1, x2, …… xn dan
ordinatnya, yaitu masing-masing adalah: f(x)0, f(x)1, f(x2), …… f(xn) dan dihitung
sebagai berikut:
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 7
JURNAL 2012
Secara skematis harga koefisien-koefisien dalam persamaan (1-11) diberikan
berikut ini.
1.5. Interpolasi dengan Lengkung Kubik (Cubic Spline) untuk
Data dengan Interval Sembarang
8
JURNAL 2012
Interpolasi lengkung kubik menghasilkan nilai interpolasi y = f(x), dengan
kemiringan (slope) dan kurvatur (curvature) yang sama di sekitar titik x
interpolasi. Untuk interval antara xi–1 dan xi, polinomial orde tiga mempunyai
turunan kedua sebagai berikut:
γ adalah koefisien yan tergantung dari nilai x. Penyelesaian persamaan di atas
pada interval xi-1 dan xi akan menghasilkan:
Sedangkan pada interval xi dan xi+1 akan menghasilkan:
Jika persamaan (1-14) diintegrasi relatif terhadap interval (xi - x) akan dihasilkan
persamaan berikut:
sedangkan integrasi persamaan (1-15) akan menghasilkan persamaan berikut:
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 9
JURNAL 2012
c1 dan c2 adalah konstanta integrasi. Integrasi sekali lagi akan menghasilkan:
Lengkung kubik pertama melalui titik (xi-1, yi-1) dan titik (xi, yi) mempunyai
bentuk:
selanjutnya:
10
JURNAL 2012
dimana y'(-)i adalah turunan di sebelah kiri titik x = xi. Demikian juga lengkung
kubik kedua melalui titik (xi,yi) dan (xi+1,yi+1) mempunyai ekspresi:
selanjutnya:
dimana y'(+)i adalah turunan di sebelah kanan titik x = xi. Turunan di sebelah kiri
dan di sebelah kanan harus mempunyai harga yang sama di titik x = xi,
sehingga:
dengan pengaturan selanjutnya, maka akan diperoleh ekspresi berikut:
Untuk titik (data) sebanyak n buah, persamaan sebanyak (n-1) buah, maka
jumlah bilangan tidak diketahui akan berjumlah (n+1) buah, yi” = 0,…n. Agar
sistem persamaan dapat diselesaikan, maka dibutuhkan tambahan dua
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 11
JURNAL 2012
persamaan lagi, yang biasanya berhubungan dengan kondisi batas di titik i = 0
dan i = n. Kedua persamaan tersebut biasanya menspesifikasikan kondisi batas,
dalam hal ini mengekspresikan kemiringan di titik i = 0 dan i = n sebagai berikut:
Dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier dapat dituliskan sebagai berikut:
[A] adalah matriks koefisien aij berupa matriks tridiagonal yang elemen-
elemennya didefinisikan sebagai berikut:
{M} adalah vektor bilangan tidak diketahui berupa yi”, sedangkan {D} adalah
vektor dengan elemen-elemen yang diketahui dan didefinisikan sebagai berikut:
12
JURNAL 2012
Jika sistem persamaan linier dapat diselesaikan, maka nilai y di setiap titik x
sembarang diperoleh dengan interpolasi berdasar rumus berikut:
Turunan y'(-)i dan y'(+)i masing-masing dapat diperoleh dari persamaan (1-21) dan
(1-23). Seringkali turunan lebih dipilih, daripada kurvatur, sebagai bilangan tidak
diketahui. Transformasi kurvatur menjadi turunan mudah dilakukan.
Langkah-langkah interpolasi dengan lengkung kubik:
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 13
JURNAL 2012
1.6. Interpolasi dengan Trigoneometri untuk Data Periodik
Jika data-data yang diinterpolasi cenderung bersifat periodik, maka sebaiknya
interpolasi dilakukan dengan menggunakan fungsi trigoneometri. Salah satunya
dapat dinyatakan sebagai berikut:
Koefisien c0, c1, c2, …… cn tergantung dari nilai x0, x1, x2, …… xn dan
ordinatnya, yaitu masing-masing adalah: f(x0), f(x1), f(x2), …… f(xn) dan dihitung
sebagai berikut:
Persamaan (1-13) dapat juga digunakan, jika varibel bebasnya adalah y,
sedangkan variabel tak bebasnya adalah x.
14
JURNAL 2012
1.7. Contoh Kasus Ekstrapolasi Kedepan Cara Newton untuk
Data dengan Interval Konstan
Persoalan
Posisi planet Mars diukur setiap 10 hari seperti ditunjukkan pada Tabel 1.4. Dari
data ini diminta untuk memperkirakan posisi panet Mars pada t = 1450,5.
Jawaban:
Persoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi, karena harga yang diinginkan
berada di luar interval data-data yang diketahui. Ekstrapolasi dilakukan berdasar
5 data terakhir, yaitu mulai t = 1300,5. Perhitungan perbedaan nilai kedepan
diberikan berikut ini.
Ekstrapolasi kedepan cara Newton berdasar persamaan (1-2) menghasilkan
polinomial ekstrapolasi dan posisi planet Mars pada t = 1450,5 sebagai berikut:
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 15
JURNAL 2012
1.8. Contoh Interpolasi Kasus Kedepan Cara Newton untuk
Data dengan Interval Tidak Konstan
Persoalan:
Dari pengukuran topografi didapatkan data ketinggian dan posisinya sebagai
berikut:
Dari data tersebut diminta membuat fungsi interpolasi kedepan cara Newton
untuk elevasi topografi berdasar data pada x = 3.2, 4.4, 5.0, 6.0, 7.1 dan 8.2 (6
data). Selanjutnya dengan fungsi tersebut memperkirakan ketinggian di x = 5.5.
Jawaban:
Fungsi interpolasi kedepan cara Newton untuk data dengan interval tidak
konstan dinyatakan dalam persamaan (1-11). Harga koefisien-koefisien dalam
persamaan (1-11) dihitung dalam tabel berikut ini.
16
JURNAL 2012
Polinomial interpolasi dengan koefisien seperti tercantum dalam Tabel 1.6
adalah:
Dengan demikian untuk x = 5.5, maka ketinggiannya adalah:
1.9. Contoh Interpolasi Kasus dengan Lengkung Kubik untuk
Data dengan Interval Tidak Konstan
Persoalan:
Erupsi Gunung Piton de la Fournaise (Pulau Reunion) memuntahkan material
dengan komposisi kimia yang berubah terhadap waktu. Pengukuran rasio
(Ce/Yb)N selama interval 1948-1985 yang diambil dari lava erupsi diberikan
dalam Tabel 1.7. Dari data ini diminta memperkirakan rasio (Ce/Yb)N pada tahun
1960.
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 17
JURNAL 2012
Jawaban:
Langkah-langkah penyelesaian:
Step 1:
membentuk matriks koefisien [A] berdasar persamaan (1-29), misalnya:
Akhirnya matriks koefisien [A] mempunyai harga sebagai berikut:
Step 2:
membentuk vektor {D} berdasar persamaan (1-30) dengan asumsi bahwa
turunan pada titik akhir sama dengan nol, misalnya:
Setelah melengkapi semua perhitungan, maka vektor {D} akan berharga:
18
JURNAL 2012
Step 3:
menyelesaikan sistem persamaan linier. Berdasar persamaan (1-28), maka
sistem
persamaan simultan akan mempunyai bentuk sebagai berikut:
Vektor {M} merupakan vektor bilangan yang tidak diketahui yang berupa turunan
kedua atau {y''i}. Setelah penyelesaian sistem persamaan linier, maka diperoleh:
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 19
JURNAL 2012
Step 4:
menghitung turunan pertama di sebelah kiri dan kanan x berdasar persamaan (1-
21) dan (1-23) yang diberikan dalam Tabel 1.8 berikut ini:
20
JURNAL 2012
1.10. Contoh Kasus Ekstrapolasi Trigoneometri untuk
Data dengan Interval Konstan
Persoalan
Posisi planet Mars secara berkala ditunjukkan pada Tabel 1.4. Dari data ini kita
diminta memperkirakan posisi panet Mars pada t = 1450.5.
Jawaban:
Persoalan ini merupakan masalah ekstrapolasi data periodik, sehingga dapat
dikerjakan menggunakan ekstrapolasi trigoneometri. Ekstrapolasi trigoneometri
dilakukan berdasar 5 data terakhir, yaitu mulai t = 1300.5 (perhatikan kembali
Tabel 1.4). Perhitungan koefisien-koefsien fungsi ekstrapolasi diberikan berikut
ini.
Koefisien-koefsien tersebut disubstitusi ke dalam persamaan (1-33) akan
menghasilkan persamaan ekstrapolasi berikut ini.
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 21
JURNAL 2012
Hasil ekstrapolasi cara trigoneometri (127648) berbeda cukup jauh dengan hasil
ekstrapolasi kedepan cara Newton (209302). Hal ini disebabkan oleh ketelitian
masing-masing interpolator yang berbeda. Dari keduanya tidak dapat ditentukan
mana yang lebih baik, karena keduanya tidak mempunyai mekanisme
pengukuran kesalahan. Selain itu tidak ada informasi posisi planet Mars pada t =
1450.5 hasil observasi. Dengan memperhatikan latar belakang masalahnya,
lintasan planet merupakan sesuatu yang sifatnya berkala atau periodik yang
tidak dapat diantisipasi oleh ekstrapolasi kedepan cara Newton.
KESIMPULAN:
Interpolasi dan ekstrapolasi merupakan prosedur untuk memperkirakan nilai atau
data yang tidak diketahui berdasar kombinasi beberapa nilai atau harga yang
diketahui. Metode atau cara yang dipergunakan untuk itu banyak sekali.
Beberapa metode yang diberikan dalam bab ini hanya sebagian diantaranya.
Dalam bab ini hanya diberikan contoh fungsi interpolasi berupa polinomial dan
trigoneometri satu dimensi. Pembaca dapat mencari sendiri beberapa metode
lainnya.
Kata kunci dalam masalah interpolasi dan ekstrapolasi adalah ketelitian
interpolasi. Dalam bab ini hanya diberikan metode-metode klasik, padamana
tidak disertakan hal-hal berikut ini: kriteria interpolasi, ekspresi dan optimasi
ketelitian interpolasi. Satu-satunya metode interpolasi dalam bab ini yang
menyertakan kriteria interpolasi adalah interpolasi lengkung kubik, dengan
kriterianya adalah kesamaan kemiringan dan kurvatur di sebelah kiri dan kanan
titik interpolasi. Masalah interpolasi dan ekstrapolasi dalam bab ini bertujuan
hanya untuk memberi pemahaman kepada pembaca tentang adanya distribusi
data dalam fungsi sederhana. Hasil interpolasinya sendiri bukan merupakan
tujuan dari bab ini.
Bagian III buku ini akan membahas pemodelan data yang berkenaan dengan
masalah interpolasi dan ekstrapolasi menggunakan metode-metode mutakhir
dan lebih baik yang didasarkan pada model deterministik maupun statistik
22
JURNAL 2012
(spasial statistik), baik untuk satu maupun multi dimensi. Hasil interpolasi dengan
ketelitiannya yang optimal merupakan tujuan dari Bagian III. Dengan demikian
keunggulan masing-masing metode-metode interpolasi dan ekstrapolasi dapat
dianalisis dan dibandingkan secara kuantitatif.
Dari beberapa fungsi interpolasi yang diberikan dalam Bab 1 dapat disimpulkan,
bahwa masalah utama dalam penyusunan fungsi interpolasi adalah penentuan
koefisien fungsi interpolasi. Dalam hal ini besarnya koefisien tersebut tidak
ditentukan misalnya tergantung dari jarak antara titik interpolasi dan titik-titik
lainnya. Dalam aplikasi ilmu-ilmu kebumian, data merupakan fungsi dari jarak.
Jadi penentuan koefisien fungsi interpolasi atau kemudian disebut dengan bobot
merupakan masalah yang sangat kritis dalam pemodelan data. Bobot titik-titik di
sekitar titik interpolasi dengan demikian lebih besar dari bobot titik-titik yang lebih
jauh dari titik interpolasi.
Untuk keperluan interpolasi dan ekstrapolasi dalam bidang ilmu-ilmu kebumian
disarankan menggunakan metode-metode yang akan diberikan dalam Bagian III,
karena ketelitiannya dapat dipertanggungjawabkan dan diuji secara statistik serta
sesuai untuk aplikasi ilmu-ilmu kebumian.
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 23
JURNAL 2012
ABSTRAKNama :NIM :Semester :
Interpolasi dan ekstrapolasi merupakan prosedur untuk memperkirakan nilai atau data yang tidak diketahui berdasar kombinasi beberapa nilai atau harga yang diketahui. Metode atau cara yang dipergunakan untuk itu banyak sekali. Beberapa metode yang diberikan dalam jurnal ini hanya sebagian diantaranya. fungsi interpolasi berupa polinomial dan trigoneometri satu dimensi. Pembaca dapat mencari sendiri beberapa metode lainnya.Satu-satunya metode interpolasi dalam bab ini yang menyertakan kriteria interpolasi adalah interpolasi lengkung kubik, dengan kriterianya adalah kesamaan kemiringan dan kurvatur di sebelah kiri dan kanan titik interpolasi. Masalah interpolasi dan ekstrapolasi dalam jurnal ini bertujuan hanya untuk memberi pemahaman kepada pembaca tentang adanya distribusi data dalam fungsi sederhana.
Perhitungan ini melibatkan sejumlah besar operasi-operasi hitungan yang berulang-ulang, melelahkan, dan menjemukan. Tetapi dengan adanya computer digital yang semakin lama semakin cepat dalam melakukan hitungan dan dengan adanya penemuan metode-metode baru dan beberapa modifikasi dari metode-metode lama, maka penggunaan metode numerik dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika mengalami kenaikan secara dramatis. Kemajuan yang cepat pada bidang metode numerik dikarenakan perkembangan computer itu sendiri. Kita melihat perkembangan teknologi komputer tidak pernah berakhir. Keunggulan tiap generasi baru komputer dalam hal waktu, memori, ketelitian, dan kestabilan perhitungan menyebabkan pengembangan algoritma numerik yang lebih baik.
Keyword: Metode Numerik, Interpolasi
24
JURNAL 2012
DAFTAR PUSTAKA
Nurjannah, 2010. Pengantar Metode Numerik dan Analisis. Jakarta: Rineka Cipta
Madrasah dan Guru PAI pada Sekolah, Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Departemen Agama RI, Jakarta.
Budi Susetyo, 2009, Matematika Dasar, Modul Kuliah untuk Program Peningkatan Kualifikasi Guru
Madrasah dan Guru PAI pada Sekolah, Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Departemen Agama
RI, Jakarta.
Ott, R.L & Longnecker, M., 2001, An Introduction to Mathematics Methods and Data Analysis, Duxbury, USA.
Paul Suparno, 2001, Pengantar Matematika Elementer, Penerbit Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Ott, R.L & Longnecker, M., 2001, An Introduction to Mathematics Methods and Data Analysis, Duxbury, USA.
Paul Suparno, 2001, Pengantar Matematika Elementer, Penerbit Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Marsigit, 2001. Analysis Numeric Method, Jakarta: Almahira Press.
Jurnal Tugas Mata Kuliah Metode Numerik 25