Metode Numerik STMIK IBBI

JAHARTAP YUSTIN PASARIBU, ST

STMIK IBBI MEDAN

PENDAHULUAN

A. Kontrak Mata Kuliah

Sistem Evaluasi / Penilaian

1. Kehadiran (Absensi) 10%

2. Tugas / Quis 20%

3. Ujian Tengah Semester 30%

4. Ujian Akhir Semester 40% +

Total 100%

Minimal kehadiran 75%

[email protected]

OUTLINE / SILABUS

Minggu Pertemuan Pokok bahasan/sub pokok bahasan

I 1 Pengantar Metode Numerik

II 2 Kesalahan Numerik

III 3 Galat

IV 4 Deret Taylor

V 5 Solusi Persamaan Nirlanjar 1

VI 6 Solusi Persamaan Nirlanjar 2


VII 7 Solusi Sistem Persamaan Lanjar 1

VIII 8 Solusi Sistem Persamaan Lanjar 2

IX 9 Ujian Tengah Semester

X 10 Interpolasi Polinom 1

XI 11 Interpolasi Polinom 2

XII 12 Turunan numerik 1


XIII 13 Turunan Numerik 2

XIV 14 Integrasi Numerik 1

XV 15 Integrasi Numerik 2

XVI 16 Solusi Persamaan Differensial Biasa

1

XVII 17 Solusi Persamaan Differensial Biasa

1

Referensi

P. L. DeVries, A First Course in Computational Physics (John Wiley &

Sons, Inc., New York, 1994)

• W. H. Press, et. al., Numerical Recipes in Fortran 77, 2nd Ed.

(Cambridge University Press, New York, 1992)

• R. H. Landau & M. J. Páez, Computational Physics: Problem Solving

with Computers (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997)

• S. E. Koonin, Computational Physics (Addison-Wesley Publishing Co.,

Inc., Redwood City, 1986)

Rinaldi Munir, Metode Numerik, Penerbit Ganesha Bandung

Penyelesaian:

1. Secara analitis (untuk pers. sederhana)

2. Secara numerik (untuk pers. sulit)

UMUM

Metode Numerik: teknik yang digunakan untuk menyelesaikan

permasalahan-permasalahan yang diformulasikan

secara matematis dengan cara operasi hitungan

(arithmetic).

Persamaan

Matematis

Permasalahan

di Bidang IPTEK

Terdapat kesalahan (error) terhadap

nilai eksak

UMUM

Hasil penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau

pendekatan dari penyelesaian analitis atau eksak.

METODE

NUMERIK Hasil:pendekatan dari penyelesaian

Analitis (eksak)

Dalam proses perhitungannya (algoritma)

dilakukan dengan iterasi dalam jumlah

yang sangat banyak dan berulang-ulang

Pendahuluan

Persoalan yang melibatkan model matematika

banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu

pengetahuan (bidang fisika, kimia, Teknik Sipil,

Teknik Mesin, Elektro dsb)

Sering model matematika tersebut rumit dan tidak

dapat diselesaikan dengan metode analitik

Metode Analitik adalah metode penyelesaian

model matematika dengan rumus-rumus aljabar

yang sudah lazim.

Persoalan matematika

Bagaimana cara menyelesaikannya ?

1. Tentukan akar2 persamaan polinom

23.4x7 - 1.25x6+ 120x4 + 15x3 – 120x2 – x + 100 = 0

2. Selesaikan sistem persamaan linier

1.2a – 3b – 12c + 12d + 4.8e – 5.5f + 100g = 18

0.9a + 3b – c + 16d + 8e – 5f - 10g = 17

4.6a + 3b – 6c - 2d + 4e + 6.5f - 13g = 19

3.7a – 3b + 8c - 7d + 14e + 8.4f + 16g = 6

2.2a + 3b + 17c + 6d + 12e – 7.5f + 18g = 9

5.9a + 3b + 11c + 9d - 5e – 25f + 10g = 0

1.6a + 3b + 1.8c + 12d - 7e + 2.5f + g = -5

Persoalan matematika

Soal 1, biasanya untuk polinom derajat 2 masih dapat dicari akar2 polinom dengan rumus abc

Sedangkan untuk polinom dg derajat > 2 tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom.

Dengan cara pemfaktoran, semakin tinggi derajat polinom, jelas semakin sukar pemfaktorkannya.

Soal 2, juga tidak ada rumus yang baku untuk menemukan solusi sistem pers linier. Apabila sistem pers linier hanya mempunyai 2 peubah, kita dapat menemukan solusinya dengan grafik, aturan Cramer

Metode Analitik vs Metode Numerik

Kebanyakan persoalan matematika tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.

Metode analitik disebut juga metode exact yang menghasilkan solusi exact (solusi sejati).

Metode analitik ini unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas.

Padahal kenyataan persoalan matematis banyak yang rumit, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.

Metode Analitik vs Metode Numerik

Kalau metode analitik tidak dapat diterapkan, maka

solusi dapat dicari dengan metode numerik.

Metode Numerik adalah teknik yang digunakan

untuk memformulasikan persoalan matematika

sehingga dapat dipecahkan dengan operasi

perhitungan biasa (+, - , / , *)

Contoh

Selesaikan integral di bawah ini

Metode Analitik

dxxI 1

1

24

Contoh

Metode Numerik

Error = |7.25-7.33| = 0.0833

Perbedaan Metode Numerik dan Metode Analitik

Metode Numerik

–Solusi selalu berbentuk angka

–Solusi yang dihasilkan solusi pendekatan

sehingga terdapat error

Metode Analitik

–Solusi dapat berupa fungsi matematik

–Solusi yang dihasilkan solusi exact

Peranan Komputer dalam Metode Numerik

Perhitungan dalam metode numerik berupa operasi

aritmatika dan dilakukan berulang kali, sehingga

komputer untuk mempercepat proses perhitungan

tanpa membuat kesalahan

Dengan komputer kita dapat mencoba berbagai

kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan

beberapa parameter. Solusi yang diperoleh juga

dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah

nilai parameter.

Peran Metode Numerik

Metode Numerik merupakan alat bantu pemecahan

masalah matematika yang sangat ampuh. Metode

numerik mampu menangani sistem persamaan linier

yang besar dan persamaan-persamaan yang rumit.

Merupakan penyederhanaan matematika yang lebih

tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.

Persoalan yang diselesaikan dengan Metode Numerik

Menyelesaikan pers non-linier

– M. Tertutup : Tabel, Biseksi, Regula Falsi,

– M Terbuka : Secant, Newton Raphson, Iterasi Sederhana

Menyelesaikan pers linier

– Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan, Gauss Seidel

Differensiasi Numerik

– Selisih Maju, Selisih Tengahan, Selisih Mundur

Integrasi Numerik

– Integral Reimann, Integrasi Trapezoida, Simpson, Gauss

Interpolasi

– Interpolasi Linier, Quadrat, Kubik, Polinom Lagrange, Polinom Newton

Regresi

– Regresi Linier dan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Differensial

– Euler, Taylor

KESALAHAN (ERROR)

Penyelesaian secara numeris memberikan nilai perkiraan yang

mendekati nilai eksak (yang benar), artinya dalam penyelesaian

numeris terdapat kesalahan terhadap nilai eksak.

Terdapat tiga macam kesalahan:

1. Kesalahan bawaan: merupakan kesalahan dari nilai data.

Misal kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau

kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum

fisik dari data yang diukur.

2. Kesalahan pembulatan: terjadi karena tidak diperhitungkannya

beberapa angka terakhir dari suatu bilangan, artinya nilai perkiraan

digunakan untuk menggantikan bilangan eksak.

contoh, nilai:

8632574 dapat dibulatkan menjadi 8633000

3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14

KESALAHAN (ERROR)

3. Kesalahan pemotongan: terjadi karena tidak dilakukan hitungan

sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh

suatu proses tak berhingga diganti dengan proses berhingga.

Contoh fungsi dalam matematika yang dapat direpresentasikan

dalam bentuk deret tak terhingga yaitu:

..........!4!3!2

1432

xxx

xex

Nilai eksak dari diperoleh apabila semua suku dari deret

tersebut diperhitungkan. Namun dalam prakteknya,sulit untuk

menghitung semua suku sampai tak terhingga. Apabila hanya

diperhitungkan beberapa suku pertama saja, maka hasilnya tidak

sama dengan nilai eksak. Kesalahan karena hanya

memperhitungkan beberapa suku pertama disebut dengan

kesalahan pemotongan.

xe

KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF

Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat

dirumuskan sebagai berikut:

p = p* + Ee

dengan:

p : nilai eksak

p* : nilai perkiraan

Ee : kesalahan terhadap nilai eksak

Sehingga dapat dicari besarnya kesalahan adalah sebagai perbedaan

antara nilai eksak dan nilai perkiraan, yaitu:

Ee = p – p*

Kesalahan Absolut

Pada kesalahan

absolut,tidak

menunjukkan besarnya

tingkat kesalahan


Kesalahan relatif: besarnya tingkat kesalahan ditentukan dengan

cara membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak.

p

Eee

Kesalahan Relatif

terhadap nilai eksak

Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen.

%100p

Eee


%100

p

Eaa

Dalam metode numerik, besarnya kesalahan dinyatakan berdasarkan

nilai perkiraan terbaik dari nilai eksak,sehingga kesalahan mempunyai

bentuk sebagai berikut:

dengan:

Ea : kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik

p* : nilai perkiraan terbaik

Indeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai

perkiraan (approximate value).


Dalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteraktif, dimana pada pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang.

%1001

*

*1

*

n

nn

ap

pp

dengan: : nilai perkiraan pada iterasi ke n : nilai perkiraan pada iterasi ke n + 1

np*

1*np

SOAL

1. Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak)berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif.

2. Hitung kesalahan yang terjadi pada nilai ex dengan nilai x = 0,5 apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja. Nilai eksak dari e0,5 = 1,648721271

DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor)

Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial.

Bentuk umum deret Taylor:

Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi .

n

n

in

iiiii Rn

xxf

xxf

xxf

xxfxfxf

!)(.....

!3)('''

!2)(''

!1)(')()(

32

1

f(x)

Order 2

Order 1

xi xi+1

f(xi ) : fungsi di titik xi

f(xi+1 ) : fungsi di titik xi+1

f’, f’’,..., f n : turunan pertama, kedua, ...., ke n dari fungsi

∆x : jarak antara xi dan xi+1

Rn : kesalahan pemotongan

! : operator faktorial

Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.

1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol) Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut

benar jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak konstan,

maka harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.

2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu) 3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)

)()( 1 ii xfxf Perkiraan order nol

!1)(')()( 1

xxfxfxf iii

Perkiraan order satu

!2)(''

!1)(')()(

2

1

xxf

xxfxfxf iiii

Perkiraan order dua


Contoh

Diketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik xi = 0.

Solusi:

1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

5,85,8)0(20)0(12)0(2)0()5,0()( 231 ffxf i

5,1

105,8

)5,0)(20)0(24)0(6(5,8

!1

05,0)0(')0(

!1)(')()5,0()(

2

1

ff

xxfxffxf iii


DERET TAYLOR (Kesalahan Pemotongan)

Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi yang benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam prakteknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasilnya tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik. Sehingga terdapat kesalahan (error) yang disebut dengan kesalahan pemotongan (truncation error, Rn), yang ditulis:

.....!)2(

)(!)1(

)()(2

21

11

n

xxf

n

xxfxOR

n

in

n

inn

n

O(∆xn+1) berarti kesalahan pemotongan mempunyai order ∆xn+1 atau kesalahan adalah sebanding dengan langkah ruang pangkat n+1.

Kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:

1. Interval ∆x adalah kecil.

2. Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor

Metode Numerik STMIK IBBI

Documents

Transcript of Metode Numerik STMIK IBBI