Definisi Metode Numerik

5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 1/14

A. Definisi Metode Numerik

Seringkali kita menjumpai suatu model matematis yang berbentuk persamaan baik dalam bentuk linier ataupun non-linier, sistem persamaan linier

ataupun non-linier, differensial, integral maupun persamaan differensial biasa.

Kemudian, untuk mencari penyelesaian dari model matematis tersebut dapat

dilakukan secara analitis atau bukan analitis. Pada penyelesaian secara analitis,

permasalahan matematika diselesaikan menggunakan teori atau metode dan

analisa matematika yang ada sehingga hasil yang diperoleh adalah penyelesaian

eksak. Sedangkan untuk penyelesaian bukan secara analitis, penyelesaian dari

permasalahan matematika diperoleh dengan menggunakan metode pendekatan

yang dikembangkan untuk menyelesaikan permasalahan matematika sehingga

penyelesaian yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan. Metode pendekatan

inilah yang yang kemudian dikenal sebagai metode numerik yang digunakan

untuk menyelesaikan permasalahan matematika yang sulit diperoleh penyelesaian

eksaknya.

B. Bilangan Pendekatan dan Angka yang Berarti

Pada operasi aritmatika yang dikenal, misalnya operasi pembagian, kadang

kala dihasilkan bilangan desimal tak hingga seperti

atau

. Dalam perhitungan

pendekatan, bilangan-bilangan dibedakan antara bilangan yang eksak dan

bilangan yang menyatakan nilai pendekatan. Bilangan seperti,

,

, , dan e

adalah bilangan eksak. Bilangan-bilangan 0,3334, 0,1429, 3.1416, dan 2.7183

adalah bilangan pendekatan dari

,

, , dan e. Angka yang berarti adalah angka

yang dapat digunakan dengan pasti atau dari digit 1, 2, 3, . . ., 9 dan 0 juga

merupakan angka yang berarti kecuali jika 0 digunakan untuk menentukan letak

titik desimal atau untuk mengisi tempat-tempat dari digit yang tidak diketahui

atau dibuang.



C. Kesalahan

Terdapat beberapa jenis error (kesalahan) yang biasa terjadi dalam perhitungan numerik, yaitu absolute error, relative error, Round-off error,

truncation error dan propogated error. Berikut ini penjelasan dari masing-masing

keasalahan tersebut:

1. Absolute atau Relative Error

Kesalahan mutlak dari suatu bilangan adalah nilai mutlak dari selisih

antara nilai sebenarnya dengan suatu nilai pendekatan pada nilai sebenarnya.

Kesalahan relative adalah perbandingan antara kesalahan mutlak dengan

nilai sebenarnya.

Sedangkan untuk persentase kesalahan adalah besarnya relative error

dikalikan dengan 100%.

2. Round-off Error (Error Pembulatan)

Error pembulatan adalah error yang terjadi akibat pembulatan suatu

bilangan sampai pada beberapa digit tertentu. Misalkan sebuah kalkulator

hanya mampu menampilkan bilangan sampai 10 angka di belakang koma.

Untuk bilangan 1.534769123198, akan dibulatkan menjadi 1.5347691232 dan

error yang didapat :

Ea = 0.000000000002.

3. Truncation Error (Error Pemotongan)

Truncation error merupakan error yang terjadi karena pemotongan dari

suatu deret tak hingga menjadi deret berhingga. Pendekatan yang sering

dipakai pada penyelesaian numerik adalah deret Taylor.

4. Propagated Error (Error Penambatan)

Propagated error merupakan error yang terjadi pada suatu algoritma

yang agak rumit karena adanya operasi matematik. Misalnya penjumlahan dua



bilangan positif, sebelum dilakukan penjumlahan kita rubah bilangan menjadi

bilangan floatingpoint dengan cara pemenggalan atau pembulatan.

pada saat kita melakukan operasi matematika.

jumlah bilangan floating-point

jumlah hasil pemenggalan atau pembulatan

Error absolute dari nilai eksak :

Error perambatan sebagai akibat konversi ke bilangan floating-point:

Dan akibat pembulatan muncul round-off error:



D. PERSAMAAN TAK LINIER

Solusi numerik dari persamaan , dimana f(x) merupakan persamaan tak linier dan dapat didifferensialkan sebanyak mungkin. Untuk dapat

menentukan akar dari persamaan . Sehingga, apabila ada t yang

merupakan akar dari , maka pasti . Metode-metode yang dapat

digunakan adalah sebagai berikut:

1. Metode Biseksi

Metode biseksi merupakan metode yang digunakan untuk menentukani

akar-akar persamaan tak linier

melalui proses iterasi dengan

persamaan.

Nilai tengah dari internal tertutup .

Maka terdapat 3 kemungkinan yang akan terjadi:

a. , maka akar terletak antara dan

b. , maka akar terletak antara dan

c. Jika maka adalah akar dari dan jika yang terjadi (1),

maka:

Misal: dan dan didapat

yang merupakan nilai tengah . Dan begitu seterusnya sampai

didapatkan yang terkecil ( akurasi yang diinginkan ).

2. Metode Regula Falsi

Metode Regula Falsi merupakan metode alternatif yang cukup efektif

dibandingkan metode biseksi. Pada metode biseksi, menentukan nilai hanya

dengan melihat tanda dari dan dan bukan dari hubungan

kedekatan. Regula falsi mempunyai cara tersendiri untuk memilih lebih

dekat ke dari pada , yaitu dengan persamaan :



Andaikan dan berlainan tanda, maka ada tiga kemungkinan:

a) Jika dan maka akar terletak antara dan diberikan , dan

b) Jika maka adalah akar.

c) Jika dan maka akar terletak antara Proses ini berlanjut sampai diperoleh yang terkecil.

3.

Metode secantMetode regula falsi dapat dimodifikasi dalam beberapa cara dan yang

paling populer adalah metode secant. Dan persamaan:

Pada metode secant tak perlu dicheck apakah atau

seperti metode biseksi atau regula falsi. Proses ini

dilanjutkan sampai

4. Metode newton-Raphson

Metode Newton-Raphson adalah suatu proses untuk mendapatkan akar

dari persamaan f(x) =0, bila diberikan titik yang cukup dekat dengan akar

yang diinginkan, dengan menggunakan persamaan:

Proses ini dilanjutkan sampai nilai mendekati nilai nol atau

mendekati toleransi yang diinginkan.

5. Metode iterasi

Metode iterasi (iterasi titik tetap) adalah metode yang digunakan untuk

menyelesaikan persamaan dengan mengubah bentuk persamaan



menjadi . Persamaan tak linier dapat diselesaikan dengan

metode iterasi jika dipenuhi syarat

dimana x0 adalah titik yang ditentukan pada saat akan melakukan iterasi.

Proses iterasi ini dilakukan secara berulang dengan



E. INTERPOLASI

1.

Interpolasi PolinomialMetode interpolasi yang sering digunakan adalah interpolasi polinomial.

Persamaan polinomial adalah persamaan aljabar yang hanya mengandung

jumlah dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer). Bentuk umum

persamaan polinomial order n adalah:

f ( x) = a0 + a1 x + a2 x2

+ « + an xn

dengan a0, a1, a2, «, an adalah parameter yang akan dicari berdasarkan

titik data, n adalah derajat (order) dari persamaan polinomial, dan x adalah

variabel bebas. Untuk (n + 1) titik data, hanya terdapat satu atau kurang

polinomial order n yang melalui semua titik. Di dalam operasi interpolasi

ditentukan suatu persamaan polinomial order n yang melalui (n + 1) titik data,

yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai diantara titik data

tersebut.

Pada polinomial berderajat satu, diperoleh bentuk interpolasi linier yang

sudah banyak dikenal. Interpolasi linier memberikan hasil yang kurang teliti,

sedang interpolasi polinomial dengan derajat lebih besar dari satu yang

merupakan fungsi tidak linier memberikan hasil yang lebih baik.

a. Interpolasi Linear

Menentukan titik-titik antara dua buah titik dengan menggunakan

pendekatan fungsi garis lurus.



Persamaan garis lurus yang melalui dua titik dan .

Sehingga diperoleh kemiringan garis lurus adalah sebagai berikut:

Dan diperoleh persamaan dari interpolasi linear:

Atau jika ditulis dalam bentuk umum enjadi:

b. Interpolasi kuadratis

Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi, maka perkiraan dilakukan

dengan menggunakan garis lengkung yang menghubungkan titik-titik data.

Apabila terdapat tiga titik data, maka perkiraan dapat dilakukan dengan

polinomial order dua. Untuk maksud tersebut persamaan polinomial order dua

dapat ditulis dalam bentuk:

f 2( x) = b0 + b1( x ± x0) + b2( x ± x0)( x ± x1) (6.3)

meskipun tampaknya persamaan (6.3) berbeda dengan persamaan (6.1),

tetapi sebenarnya kedua persamaan adalah sama. Hal ini dapat ditunjukkan

dengan mengalikan suku-suku persamaan (6.3) sehingga menjadi:

f 2( x) = b0 + b1 x ± b1 x0 + b2 x2 + b2 x0 x1 ± b2 x x0 ± b2 x x1

atau

f 2( x) = a0 + a1 x + a2 x2

dengan

a0 = b0 ± b1 x0 + b2 x0 x1

a1 = b1 ± b2 x0 ± b2 x1 a2 = b2

terlihat bahwa persamaan (6.3) sama dengan persamaan (6.1).

Selanjutnya untuk keperluan interpolasi, persamaan polinomial

ditulisdalam bentuk persamaan (6.3). Berdasarkan titik data yang ada kemdian



dihitung koefisien b0, b1, dan b2. Berikut ini diberikan prosedur untuk

menentukan nilai dari koefisien-koefisien tersebut. Koefisien b0 dapat dihitung dari persamaan (6.3), dengan memasukan

nilai .

f ( x0) = bo + b1 ( xo ± x0) + b2 ( x0 ± x0) ( x0 ± x1)

bo = f ( x0) (6.4)

bila persamaan (6.4) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.3),

kemudian dimasukkan ke dalam nilai ., maka akan diperoleh koefisien

b1:

f ( x1) = f ( x0) + b1( x1 ± x0) + b2( x1 ± x0)( x1 ± x1)

b1 =01

01 )()(

x x

x f x f

(6.5)

bila persamaan (6.4) dan persamaan (6.5) disubstitusikan ke dalam

persamaan (6.3) dan nilai ., maka akan diperoleh koefisien b2:

f ( x2) = f ( x0) +01

01)()(

x x

x f x f

( x2 ± x0) + b2( x2 ± x0)( x2 ± x1)

b2( x2 ± x0)( x2 ± x1) = f ( x2) ± f ( x0) ± 01

01)()(

x x

x f x f

[( x2 ± x1) + ( xx0)]

= f ( x2) ± f ( x0) ± 01

01 )()(

x x

x f x f

( x2 ± x1) ± f ( x1)+ f ( x0)

= f ( x2) ± f ( x1) ± 01

01 )()(

x x

x f x f

( x2 ± x1)

atau

b2 =)()(

)()()(

)()(

1202

12

01

0112

x x x x

x x x x

x f x f x f x f

b2 =02

01

01

12

12 )()()()(

x x

x x

x f x f

x x

x f x f

(6.6)



Dengan memperhatikan persamaan (6.3), persamaan (6.4), persamaan

(6.5) dan persamaan (6.6) terlihat bahwa dua suku pertama dari persamaan

(6.3) adalah ekivalen dengan interpolasi linier dari titik x0 ke x1 seperti yang

diberikan oleh persamaan (6.2).

Sedangkan suku terakhir, b2( x ± x0)( x ± x1) merupakan tambahan karena

digunakannya kurve order 2.

Koefisien b1 dan b2 dari interpolasi polinomial order 2 persamaan (6.5)

dan persamaan (6.6) adalah mirip dengan bentuk beda hingga untuk turunan

pertama dan kedua, dengan demikian penyelesaian interpolasi polinomial

dapat dilakukan dengan menggunakan bentuk beda hingga.

2. Interpolasi Polinomial Newton

Bentuk umum polinomial order n adalah:

f n( x) = bo + b1( x ± x0) + « + bn( x ± x0)( x ± x1) ... ( x ± xn ± 1) (6.7)

Seperti yang dilakukan interpolasi linier dan kuadrat, titik-titik data

dapat dilakukan dengan evaluasi koefisien b0, b1, ..., bn. Untuk polinomial

order n, diperlukan (n + 1) titik data x0, x1, x2, ..., xn.

Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, maka persamaan berikut

digunakan untuk mengevaluasi koefisien b0, b1, ..., bn.

b0 = f ( x0) (6.8)

b1 = f [ x1, x0]

(6.9)

b2 = f [ x2, x1, x0] (6.10)

/

bn = f [ xn, xn ± 1, ..., x2, x1, x0] (6.11)

Dengan definisi fungsi berkurung ([«.]) adalah pembagian beda hingga.

Misalnya, pembagian beda hingga pertama adalah:

f [ xi, x j] = ji

ji )()(

x x

x f x f

(6.12)

Pembagian beda hingga kedua adalah:



f [ xi, x j, xk ] =k i

k j ji],[],[

x x

x x f x x f

(6.13)

Pembagian beda hingga ke n adalah:

f [ xn, xn ± 1, ..., x2, x1, x0] =0n

02n1n11nn )...,,,[]...,,,[

x x

x x x f x x x f

(6.14)

Bentuk pembagian beda hingga tersebut dapat digunakan untuk

mengevaluasi koefisien-koefisien dalam persamaan (6.8) sampai persamaan

(6.11) yang kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (6.7) untuk

mendapatkan interpolasi polinomial order n.

f n( x) = f ( x0) + f [ x1, x0]( x ± x0) + f [ x2, x1, x0]( x ± x0)( x ± x1) + « +

f [ xn, xn ± 1, ..., x2, x1, x0]( x ± x0)( x ± x1) « ( x ± xn ± 1) (6.15)

Persamaan (6.12) sampai persamaan (6.14) adalah berurutan, artinya

pembagian beda yang lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang

lebih rendah, secara skematis bentuk yang berurutan tersebut ditunjukkan

dalam Tabel 6.1.

Tabel 6.1 langkah skematis pembagian beda hingga

3. Interpolasi Polinomial Lagrange

Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial

Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi

polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton.

Bentuk polinomial Newton order satu:

f 1( x) = f ( x0) + ( x ± x0) f [ x1, x0] (6.16)



Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai

bentuk:

f [ x1, x0] =01

01 )()(

x x

x f x f

f [ x1, x0] =10

0

01

1 )()(

x x

x f

x x

x f

(6.17)

Substitusi persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.16) memberikan:

f 1( x) = f ( x0) +01

0

x x

x x

f ( x1) +

10

0

x x

x x

f ( x0)

Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan

diatas menjadi:

f 1( x) = ¼½

»¬-

«

10

0

10

10

x x

x x

x x

x x f ( x0) +

01

0

x x

x x

f ( x1)

atau

f 1( x) =10

1

x x

x x

f ( x0) +

01

0

x x

x x

f ( x1) (6.18)

Persamaan (6.18) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu.

Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat:

f 1( x) =10

1

x x

x x

20

2

x x

x x

f ( x0) +

01

0

x x

x x

21

2

x x

x x

f ( x1) +02

0

x x

x x

12

1

x x

x x

f ( x2) (6.19)

Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah:

f n( x) = )(n

0ii x L§

!

f ( xi) (6.20)

dengan

Li ( x) =

!

!

n

i j

0 j ji

j

x x

x x(6.21)

Simbol 4 merupakan perkalian.

Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat

dihitung interpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk

interpolasi Lagrange order 3, persamaan tersebut adalah:



f 3( x) = )(3

0ii x L§

!

f ( xi) = L0( x) f ( x0) + L1( x) f ( x1) + L2( x) f ( x2) + L3( x) f ( x3)

L0( x) = ))()((30

3

20

2

10

1

x x x x

x x x x

x x x x

L1( x) = ))()((31

3

21

2

01

0

x x

x x

x x

x x

x x

x x

L2( x) = ))()((32

3

12

1

02

0

x x

x x

x x

x x

x x

x x

L3( x) = ))()((23

2

13

1

03

0

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah:

f 3( x) = ))()((30

3

20

2

10

1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

f ( x0) + ))()((

31

3

21

2

01

0

x x

x x

x x

x x

x x

x x

f ( x1) +

))()((32

3

12

1

02

0

x x

x x

x x

x x

x x

x x

f ( x2) + ))()((

23

2

13

1

03

0

x x

x x

x x

x x

x x

x x

f ( x3)

(6.22)



Soal-soal:

1. Sebuah pabrik roti memproduksi tiga jenis roti yaitu jenis 1,2 dan 3. Pada

pembuatan ketiga jenis roti ini diperlukan tepung gandum, gula, dan ragi.

Keperluan tersebut dirinci dalam tabel berikut ini:

Jenis roti/bahan baku Tepung gandum Tepung terigu Ragi

Jenis 1 1 kg 2 kg 1 gr

Jenis 2 0,5 kg 1 kg 1 gr

Jenis 3 2 kg 1 kg 2 gr

kapasitas 110 kg 85 kg 145 gr

Hitunglah Berapa jumlah roti jenis 1,2 dan 3 yang dapat dibuat?

2. Sebuah industri pakaian memproduksi 3 jenis pakaian. Pakaian jenis 1

memerlukan 1 m kain polos, 1 m kain berwarna dan 1 jam mesin bekerja.

Pakaian jenis 2 memerlukan 2 m kain polos, 1 m kaian berwarna dan 3 jam

mesin bekerja. Pakaian jenis 3 memerlukan 3 m kain polos, 3 m kain

berwarna dan 1 jam mesin bekerja. Tentukan jumlah pakaian yang dapat

dibuat per minggu jika tersedia 35 m kain polos, 55m kain berwarna dan

mesin hanya dapat bekerja selama 95 jam dalam waktu seminggu?

Definisi Metode Numerik

Documents

Transcript of Definisi Metode Numerik