5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 1/14
A. Definisi Metode Numerik
Seringkali kita menjumpai suatu model matematis yang berbentuk persamaan baik dalam bentuk linier ataupun non-linier, sistem persamaan linier
ataupun non-linier, differensial, integral maupun persamaan differensial biasa.
Kemudian, untuk mencari penyelesaian dari model matematis tersebut dapat
dilakukan secara analitis atau bukan analitis. Pada penyelesaian secara analitis,
permasalahan matematika diselesaikan menggunakan teori atau metode dan
analisa matematika yang ada sehingga hasil yang diperoleh adalah penyelesaian
eksak. Sedangkan untuk penyelesaian bukan secara analitis, penyelesaian dari
permasalahan matematika diperoleh dengan menggunakan metode pendekatan
yang dikembangkan untuk menyelesaikan permasalahan matematika sehingga
penyelesaian yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan. Metode pendekatan
inilah yang yang kemudian dikenal sebagai metode numerik yang digunakan
untuk menyelesaikan permasalahan matematika yang sulit diperoleh penyelesaian
eksaknya.
B. Bilangan Pendekatan dan Angka yang Berarti
Pada operasi aritmatika yang dikenal, misalnya operasi pembagian, kadang
kala dihasilkan bilangan desimal tak hingga seperti
atau
. Dalam perhitungan
pendekatan, bilangan-bilangan dibedakan antara bilangan yang eksak dan
bilangan yang menyatakan nilai pendekatan. Bilangan seperti,
,
, , dan e
adalah bilangan eksak. Bilangan-bilangan 0,3334, 0,1429, 3.1416, dan 2.7183
adalah bilangan pendekatan dari
,
, , dan e. Angka yang berarti adalah angka
yang dapat digunakan dengan pasti atau dari digit 1, 2, 3, . . ., 9 dan 0 juga
merupakan angka yang berarti kecuali jika 0 digunakan untuk menentukan letak
titik desimal atau untuk mengisi tempat-tempat dari digit yang tidak diketahui
atau dibuang.
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 2/14
C. Kesalahan
Terdapat beberapa jenis error (kesalahan) yang biasa terjadi dalam perhitungan numerik, yaitu absolute error, relative error, Round-off error,
truncation error dan propogated error. Berikut ini penjelasan dari masing-masing
keasalahan tersebut:
1. Absolute atau Relative Error
Kesalahan mutlak dari suatu bilangan adalah nilai mutlak dari selisih
antara nilai sebenarnya dengan suatu nilai pendekatan pada nilai sebenarnya.
Kesalahan relative adalah perbandingan antara kesalahan mutlak dengan
nilai sebenarnya.
Sedangkan untuk persentase kesalahan adalah besarnya relative error
dikalikan dengan 100%.
2. Round-off Error (Error Pembulatan)
Error pembulatan adalah error yang terjadi akibat pembulatan suatu
bilangan sampai pada beberapa digit tertentu. Misalkan sebuah kalkulator
hanya mampu menampilkan bilangan sampai 10 angka di belakang koma.
Untuk bilangan 1.534769123198, akan dibulatkan menjadi 1.5347691232 dan
error yang didapat :
Ea = 0.000000000002.
3. Truncation Error (Error Pemotongan)
Truncation error merupakan error yang terjadi karena pemotongan dari
suatu deret tak hingga menjadi deret berhingga. Pendekatan yang sering
dipakai pada penyelesaian numerik adalah deret Taylor.
4. Propagated Error (Error Penambatan)
Propagated error merupakan error yang terjadi pada suatu algoritma
yang agak rumit karena adanya operasi matematik. Misalnya penjumlahan dua
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 3/14
bilangan positif, sebelum dilakukan penjumlahan kita rubah bilangan menjadi
bilangan floatingpoint dengan cara pemenggalan atau pembulatan.
pada saat kita melakukan operasi matematika.
jumlah bilangan floating-point
jumlah hasil pemenggalan atau pembulatan
Error absolute dari nilai eksak :
Error perambatan sebagai akibat konversi ke bilangan floating-point:
Dan akibat pembulatan muncul round-off error:
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 4/14
D. PERSAMAAN TAK LINIER
Solusi numerik dari persamaan , dimana f(x) merupakan persamaan tak linier dan dapat didifferensialkan sebanyak mungkin. Untuk dapat
menentukan akar dari persamaan . Sehingga, apabila ada t yang
merupakan akar dari , maka pasti . Metode-metode yang dapat
digunakan adalah sebagai berikut:
1. Metode Biseksi
Metode biseksi merupakan metode yang digunakan untuk menentukani
akar-akar persamaan tak linier
melalui proses iterasi dengan
persamaan.
Nilai tengah dari internal tertutup .
Maka terdapat 3 kemungkinan yang akan terjadi:
a. , maka akar terletak antara dan
b. , maka akar terletak antara dan
c. Jika maka adalah akar dari dan jika yang terjadi (1),
maka:
Misal: dan dan didapat
yang merupakan nilai tengah . Dan begitu seterusnya sampai
didapatkan yang terkecil ( akurasi yang diinginkan ).
2. Metode Regula Falsi
Metode Regula Falsi merupakan metode alternatif yang cukup efektif
dibandingkan metode biseksi. Pada metode biseksi, menentukan nilai hanya
dengan melihat tanda dari dan dan bukan dari hubungan
kedekatan. Regula falsi mempunyai cara tersendiri untuk memilih lebih
dekat ke dari pada , yaitu dengan persamaan :
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 5/14
Andaikan dan berlainan tanda, maka ada tiga kemungkinan:
a) Jika dan maka akar terletak antara dan diberikan , dan
b) Jika maka adalah akar.
c) Jika dan maka akar terletak antara Proses ini berlanjut sampai diperoleh yang terkecil.
3.
Metode secantMetode regula falsi dapat dimodifikasi dalam beberapa cara dan yang
paling populer adalah metode secant. Dan persamaan:
Pada metode secant tak perlu dicheck apakah atau
seperti metode biseksi atau regula falsi. Proses ini
dilanjutkan sampai
4. Metode newton-Raphson
Metode Newton-Raphson adalah suatu proses untuk mendapatkan akar
dari persamaan f(x) =0, bila diberikan titik yang cukup dekat dengan akar
yang diinginkan, dengan menggunakan persamaan:
Proses ini dilanjutkan sampai nilai mendekati nilai nol atau
mendekati toleransi yang diinginkan.
5. Metode iterasi
Metode iterasi (iterasi titik tetap) adalah metode yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan dengan mengubah bentuk persamaan
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 6/14
menjadi . Persamaan tak linier dapat diselesaikan dengan
metode iterasi jika dipenuhi syarat
dimana x0 adalah titik yang ditentukan pada saat akan melakukan iterasi.
Proses iterasi ini dilakukan secara berulang dengan
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 7/14
E. INTERPOLASI
1.
Interpolasi PolinomialMetode interpolasi yang sering digunakan adalah interpolasi polinomial.
Persamaan polinomial adalah persamaan aljabar yang hanya mengandung
jumlah dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer). Bentuk umum
persamaan polinomial order n adalah:
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x2
+ « + an xn
dengan a0, a1, a2, «, an adalah parameter yang akan dicari berdasarkan
titik data, n adalah derajat (order) dari persamaan polinomial, dan x adalah
variabel bebas. Untuk (n + 1) titik data, hanya terdapat satu atau kurang
polinomial order n yang melalui semua titik. Di dalam operasi interpolasi
ditentukan suatu persamaan polinomial order n yang melalui (n + 1) titik data,
yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai diantara titik data
tersebut.
Pada polinomial berderajat satu, diperoleh bentuk interpolasi linier yang
sudah banyak dikenal. Interpolasi linier memberikan hasil yang kurang teliti,
sedang interpolasi polinomial dengan derajat lebih besar dari satu yang
merupakan fungsi tidak linier memberikan hasil yang lebih baik.
a. Interpolasi Linear
Menentukan titik-titik antara dua buah titik dengan menggunakan
pendekatan fungsi garis lurus.
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 8/14
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik dan .
Sehingga diperoleh kemiringan garis lurus adalah sebagai berikut:
Dan diperoleh persamaan dari interpolasi linear:
Atau jika ditulis dalam bentuk umum enjadi:
b. Interpolasi kuadratis
Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi, maka perkiraan dilakukan
dengan menggunakan garis lengkung yang menghubungkan titik-titik data.
Apabila terdapat tiga titik data, maka perkiraan dapat dilakukan dengan
polinomial order dua. Untuk maksud tersebut persamaan polinomial order dua
dapat ditulis dalam bentuk:
f 2( x) = b0 + b1( x ± x0) + b2( x ± x0)( x ± x1) (6.3)
meskipun tampaknya persamaan (6.3) berbeda dengan persamaan (6.1),
tetapi sebenarnya kedua persamaan adalah sama. Hal ini dapat ditunjukkan
dengan mengalikan suku-suku persamaan (6.3) sehingga menjadi:
f 2( x) = b0 + b1 x ± b1 x0 + b2 x2 + b2 x0 x1 ± b2 x x0 ± b2 x x1
atau
f 2( x) = a0 + a1 x + a2 x2
dengan
a0 = b0 ± b1 x0 + b2 x0 x1
a1 = b1 ± b2 x0 ± b2 x1 a2 = b2
terlihat bahwa persamaan (6.3) sama dengan persamaan (6.1).
Selanjutnya untuk keperluan interpolasi, persamaan polinomial
ditulisdalam bentuk persamaan (6.3). Berdasarkan titik data yang ada kemdian
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 9/14
dihitung koefisien b0, b1, dan b2. Berikut ini diberikan prosedur untuk
menentukan nilai dari koefisien-koefisien tersebut. Koefisien b0 dapat dihitung dari persamaan (6.3), dengan memasukan
nilai .
f ( x0) = bo + b1 ( xo ± x0) + b2 ( x0 ± x0) ( x0 ± x1)
bo = f ( x0) (6.4)
bila persamaan (6.4) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.3),
kemudian dimasukkan ke dalam nilai ., maka akan diperoleh koefisien
b1:
f ( x1) = f ( x0) + b1( x1 ± x0) + b2( x1 ± x0)( x1 ± x1)
b1 =01
01 )()(
x x
x f x f
(6.5)
bila persamaan (6.4) dan persamaan (6.5) disubstitusikan ke dalam
persamaan (6.3) dan nilai ., maka akan diperoleh koefisien b2:
f ( x2) = f ( x0) +01
01)()(
x x
x f x f
( x2 ± x0) + b2( x2 ± x0)( x2 ± x1)
b2( x2 ± x0)( x2 ± x1) = f ( x2) ± f ( x0) ± 01
01)()(
x x
x f x f
[( x2 ± x1) + ( xx0)]
= f ( x2) ± f ( x0) ± 01
01 )()(
x x
x f x f
( x2 ± x1) ± f ( x1)+ f ( x0)
= f ( x2) ± f ( x1) ± 01
01 )()(
x x
x f x f
( x2 ± x1)
atau
b2 =)()(
)()()(
)()(
1202
12
01
0112
x x x x
x x x x
x f x f x f x f
b2 =02
01
01
12
12 )()()()(
x x
x x
x f x f
x x
x f x f
(6.6)
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 10/14
Dengan memperhatikan persamaan (6.3), persamaan (6.4), persamaan
(6.5) dan persamaan (6.6) terlihat bahwa dua suku pertama dari persamaan
(6.3) adalah ekivalen dengan interpolasi linier dari titik x0 ke x1 seperti yang
diberikan oleh persamaan (6.2).
Sedangkan suku terakhir, b2( x ± x0)( x ± x1) merupakan tambahan karena
digunakannya kurve order 2.
Koefisien b1 dan b2 dari interpolasi polinomial order 2 persamaan (6.5)
dan persamaan (6.6) adalah mirip dengan bentuk beda hingga untuk turunan
pertama dan kedua, dengan demikian penyelesaian interpolasi polinomial
dapat dilakukan dengan menggunakan bentuk beda hingga.
2. Interpolasi Polinomial Newton
Bentuk umum polinomial order n adalah:
f n( x) = bo + b1( x ± x0) + « + bn( x ± x0)( x ± x1) ... ( x ± xn ± 1) (6.7)
Seperti yang dilakukan interpolasi linier dan kuadrat, titik-titik data
dapat dilakukan dengan evaluasi koefisien b0, b1, ..., bn. Untuk polinomial
order n, diperlukan (n + 1) titik data x0, x1, x2, ..., xn.
Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, maka persamaan berikut
digunakan untuk mengevaluasi koefisien b0, b1, ..., bn.
b0 = f ( x0) (6.8)
b1 = f [ x1, x0]
(6.9)
b2 = f [ x2, x1, x0] (6.10)
/
bn = f [ xn, xn ± 1, ..., x2, x1, x0] (6.11)
Dengan definisi fungsi berkurung ([«.]) adalah pembagian beda hingga.
Misalnya, pembagian beda hingga pertama adalah:
f [ xi, x j] = ji
ji )()(
x x
x f x f
(6.12)
Pembagian beda hingga kedua adalah:
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 11/14
f [ xi, x j, xk ] =k i
k j ji],[],[
x x
x x f x x f
(6.13)
Pembagian beda hingga ke n adalah:
f [ xn, xn ± 1, ..., x2, x1, x0] =0n
02n1n11nn )...,,,[]...,,,[
x x
x x x f x x x f
(6.14)
Bentuk pembagian beda hingga tersebut dapat digunakan untuk
mengevaluasi koefisien-koefisien dalam persamaan (6.8) sampai persamaan
(6.11) yang kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (6.7) untuk
mendapatkan interpolasi polinomial order n.
f n( x) = f ( x0) + f [ x1, x0]( x ± x0) + f [ x2, x1, x0]( x ± x0)( x ± x1) + « +
f [ xn, xn ± 1, ..., x2, x1, x0]( x ± x0)( x ± x1) « ( x ± xn ± 1) (6.15)
Persamaan (6.12) sampai persamaan (6.14) adalah berurutan, artinya
pembagian beda yang lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang
lebih rendah, secara skematis bentuk yang berurutan tersebut ditunjukkan
dalam Tabel 6.1.
Tabel 6.1 langkah skematis pembagian beda hingga
3. Interpolasi Polinomial Lagrange
Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial
Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi
polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton.
Bentuk polinomial Newton order satu:
f 1( x) = f ( x0) + ( x ± x0) f [ x1, x0] (6.16)
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 12/14
Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai
bentuk:
f [ x1, x0] =01
01 )()(
x x
x f x f
f [ x1, x0] =10
0
01
1 )()(
x x
x f
x x
x f
(6.17)
Substitusi persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.16) memberikan:
f 1( x) = f ( x0) +01
0
x x
x x
f ( x1) +
10
0
x x
x x
f ( x0)
Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan
diatas menjadi:
f 1( x) = ¼½
»¬-
«
10
0
10
10
x x
x x
x x
x x f ( x0) +
01
0
x x
x x
f ( x1)
atau
f 1( x) =10
1
x x
x x
f ( x0) +
01
0
x x
x x
f ( x1) (6.18)
Persamaan (6.18) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu.
Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat:
f 1( x) =10
1
x x
x x
20
2
x x
x x
f ( x0) +
01
0
x x
x x
21
2
x x
x x
f ( x1) +02
0
x x
x x
12
1
x x
x x
f ( x2) (6.19)
Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah:
f n( x) = )(n
0ii x L§
!
f ( xi) (6.20)
dengan
Li ( x) =
!
!
n
i j
0 j ji
j
x x
x x(6.21)
Simbol 4 merupakan perkalian.
Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat
dihitung interpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk
interpolasi Lagrange order 3, persamaan tersebut adalah:
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 13/14
f 3( x) = )(3
0ii x L§
!
f ( xi) = L0( x) f ( x0) + L1( x) f ( x1) + L2( x) f ( x2) + L3( x) f ( x3)
L0( x) = ))()((30
3
20
2
10
1
x x x x
x x x x
x x x x
L1( x) = ))()((31
3
21
2
01
0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
L2( x) = ))()((32
3
12
1
02
0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
L3( x) = ))()((23
2
13
1
03
0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah:
f 3( x) = ))()((30
3
20
2
10
1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
f ( x0) + ))()((
31
3
21
2
01
0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
f ( x1) +
))()((32
3
12
1
02
0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
f ( x2) + ))()((
23
2
13
1
03
0
x x
x x
x x
x x
x x
x x
f ( x3)
(6.22)
5/12/2018 Definisi Metode Numerik - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/definisi-metode-numerik 14/14
Soal-soal:
1. Sebuah pabrik roti memproduksi tiga jenis roti yaitu jenis 1,2 dan 3. Pada
pembuatan ketiga jenis roti ini diperlukan tepung gandum, gula, dan ragi.
Keperluan tersebut dirinci dalam tabel berikut ini:
Jenis roti/bahan baku Tepung gandum Tepung terigu Ragi
Jenis 1 1 kg 2 kg 1 gr
Jenis 2 0,5 kg 1 kg 1 gr
Jenis 3 2 kg 1 kg 2 gr
kapasitas 110 kg 85 kg 145 gr
Hitunglah Berapa jumlah roti jenis 1,2 dan 3 yang dapat dibuat?
2. Sebuah industri pakaian memproduksi 3 jenis pakaian. Pakaian jenis 1
memerlukan 1 m kain polos, 1 m kain berwarna dan 1 jam mesin bekerja.
Pakaian jenis 2 memerlukan 2 m kain polos, 1 m kaian berwarna dan 3 jam
mesin bekerja. Pakaian jenis 3 memerlukan 3 m kain polos, 3 m kain
berwarna dan 1 jam mesin bekerja. Tentukan jumlah pakaian yang dapat
dibuat per minggu jika tersedia 35 m kain polos, 55m kain berwarna dan
mesin hanya dapat bekerja selama 95 jam dalam waktu seminggu?