UAS METODE NUMERIK Oleh : Nama : J Hendra Riko Nim: 201231005 FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK MESIN UNIVERSITAS KATOLIK WIDYA KARYA MALANG JANUARI 2014 No. 01Interpolasi Linear Interpolasiadalahsuatucarauntukmencarinilaidiantarabeberapatitikdatayang telah diketahui. Di dunia nyata, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakansuatu fungsi, yang mana fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data-data atau tabel,misalnya tabel dari hasil percobaan. Adaberbagaimacaminterpolasiberdasarkan fungsinya,diantaranyaadalahinterpolasilinier, interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial. Adapun berbagaimetodedalaminterpolasiantaralainmetode LagrangedanmetodeNewton.Keduametodetersebut menggunakanfungsipolinomialuntukmenginterpolasi f(x)padatitik-titikyangdiberikan.Bagiparapeneliti, interpolasiseringdigunakanapalagibilapenelitian yangdilakukanadalahjenispenelitiankuantitatif,artinyabanyakdata-datayang harus dikumpulkan dan dianalisis. Direct Method of Interpolation Linier Interpolation Linier Interpolation adalah Metode matematis untuk mencari data yang tidak diketahui ditengah data yang diketahui, dengan catatan data-data tersebut tersusun secara linier naik atau turun Diperoleh catatan waktu dan kecepatan sepeda motor sbb: TV(t) Sm/s 00 10227,04 15362,75 20517,35 22,5602,97 30901,67 Tentukan Kecepatan Sepeda motor pada detik ke-16? Jawab: V(t) = a0 + a1t V(15) = 362,75 = a0 + a1(15) V(20) = 517,35 = a0 + a1(15) Dapat dibentuk matriks sbb: dengan Invers matriks (lihat postingan sebelumnya), maka diperoleh: a0 = -100,93 a1 = 30,914 V(t)= a0 + a1t = -100,93 + 30, 914 t , V(16) = -100,93 + 30,914 (16) V(16) = 393,7 m/s Metode Setengah Interval (Bisection Method)Contoh: 1)Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut ini: f (x) = 2x3 + 3x2 6x 8 = 0. Penyelesaian: a.Penyelesaian dengan Microsoft Excel Dihitung nilai f (x) pada interval antara dua titik, misalnya x = 1 dan x = 2. Untuk x = 1;f (x = 1) = 2*(1)3 +3* (1)2 6*(1) 8 = 9. Untuk x = 2;f (x = 2) = 2*(2)3 +3* (2)2 6*(2) 8 = 8. Mengingatfungsimempunyaibentukkontinu,makaperubahantandadarifungsiantara nilai x = 1 dan x = 2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. Titik perpotongan antara sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan. Dihitung nilai xt, lalu dihitung fungsi f (xt): = = 1,5. f (x3 = 1,5) = 2*(1,5)3 + 3*(1,5)2 6(1,5) 8 = 3,5. Karena fungsi berubah tanda antara x = 1,5 dan x = 2, maka akar persamaan terletak diantara kedua nilai tersebut. Denganmenggunakanpemrogramankomputer makahasilhitunganakarpersamaandengan metode setengah interval didapat pada iterasi 16 (lihat Tabel 1, yang merupakan keluaran dari program komputer), yaitu sebesar x3 = 1,68614. Tabel 1. Hasil hitungan metode setengah interval IterasiX1X2X3f(X1)f(X2)f(X3) 11,000002,000001,50000-9,000008,00000-3,50000 21,500002,000001,75000-3,500008,000001,40625 31,500001,750001,62500-3,500001,40625-1,24609 41,625001,750001,68750-1,246091,406250,02881 51,625001,687501,65625-1,246090,02881-0,62128 61,656251,687501,67188-0,621280,02881-0,29942 71,671881,687501,67969-0,299420,02881-0,13610 81,679691,687501,68359-0,136100,02881-0,05385 91,683591,687501,68555-0,053850,02881-0,01257 101,685551,687501,68652-0,012570,028810,00811 111,685551,686521,68604-0,012570,00811-0,00223 121,686041,686521,68628-0,002230,008110,00294 131,686041,686281,68616-0,002230,002940,00035 141,686041,686161,68610-0,002230,00035-0,00094 151,686101,686161,68613-0,000940,00035-0,00030 161,686131,686161,68614-0,000300,000350,00003 Pengertian Metode Secant Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan sacara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. f (X) =( f (Xn) f (Xn-1)) / (Xn Xn-1) Xn+1 = Xn ( (f(Xn) (Xn Xn-1)) / ( f(Xn) -f(Xn-1) ) Tujuan dan Fungsi Tujuan metode secant adalah untuk menyelesaikan masalah yang terdapat pada metode Newton-Raphson yang terkadang sulit mendapatkan turunan pertama yaitu f (x). Fungsi metode secant adalah untuk menaksirkan akar dengan menggunakan diferensi daripada turunan untuk memperkirakan kemiringan/slope. Algoritma Metode Secant 1.Definisikan fungsi F(x) 2.Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3.Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1,sebaiknyagunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan. 4.Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 5.Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xn)| Xn+1 = Xn Yn (Xn Xn-1 / Yn Yn-1) 6.Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

Contoh Soal Hitung akar persamaan dari : dimanax1 = 1 dan x2 = 2 ? Jawab : f(1) = 4 f(2) = 3 Iterasi I : x3 = x2 (f(x2) (x2 x1) / f(x2)-f(x1)) = 2 (3 (2-1) / 3 (-4)) = 1,57142 F (1.57142) = -1.36449 Iterasi 2 : x4 = x3 (f(x3)(x3-x2) / f(x3)-f(x2)) = 1.57142 (-1,36449) (1.57142 2) -1.36449 3 = 1,70540 F (1.70540) = -0.24774 Iterasi 3 : x5 = x4 (f(x4)(x4-x3) / f(x4)-f(x3)) = 1.70540 (-0.24774) (1.71 1.57) - (-0.24774)-(-1.36449) = 1.73514 F (1.73514) = 0.02925 Iterasi 4 : x6 = x5 (f(x5)(x5-x4) / f(x5)- f(x4)) = 1.73514 0.02925 (1.73514 1.70540) 0.02925 (-0.24774) = 1.73200 F (1.73200) = -0.00051 Iterasi 5 : x7= x6 (f(x6)(x6-x5) / f(x6) f(x5)) = 1.73200 (-0.00051)(1.73200 1.73514) 0.00051 0.02925 = 1.073205 F (1.073205) = 0 .: maka akarnya adalah 1.073205 Noxnf (xn)xn xn-1f (xn) f (xn-1) 11-4-1 22317 31,57142-1,36449-0,42858-4,36449 41,70540-0,247740,133981,11675 51,735140,029250,029740,27699 61,73200-0,00051-0,00314-0,02976 71,0732050-- Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-7 Karena nilai f(x7) = 0, sehingga ditemukan salah satu akarnya = 1,073205 Metode Iterasi Sebelum kita membahas metode iterasi untuk menyelesaikan problem sistem persamaan linear, saya ingin menyampaikan satu hal yang sangat sederhana, yaitu tentang cara merepresentasikan elemen-elemen suatu vektor-kolom. Sebagaimana tertulis pada catatan catatan sebelumnya, biasanya suatu vektor-kolom ditulis sebagai Metode Newthon-Rapshon metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan : Xn+1 = xn - ( )( )nnx Fx F1 Algoritma Metode Newton Raphson 1.Definisikan fungsi f(x) dan f1(x) 2.Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3.Tentukan nilai pendekatan awal x0 4.Hitung f(x0) dan f(x0) 5.Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|< e Hitung f(xi) dan f1(xi) 6.Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh. Contoh soal: Hitunglah Salah Satu Akar dari persamaan untuk fungsi yang diberikan berikut ini F(x) : X3+X2 3X 3 = 0 Tabel Hasil PerhitunganMetode Newton Raphson ( )( )iii ix fx fx x11 =+ No. 02 Persamaan linear simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xiuntuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. AX = B Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian.Vektor x = vektor variabelvektor B = vektor konstanta. Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi : Tidak mempunyai solusiI(Xi)(Xi+1)f(Xi)F (Xi+1) 132,2245,888 22,21,830155,8880,98900 31,830151,737800,989000,05457 41,737801,73070,054570,00021 51,732071,732050,000210,00000 =n n mn m mnnbbbxxxa a aa a aa a a... ......... ... ... .........21212 12 22 211 12 11Tepat satu solusi Banyak solusi -Augmented Matrix omatrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: oAugmented (A) = [A B] Contoh: Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing.Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ? Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 m mn m m mnnb a a a ab a a a ab a a a a...... ... ... ... ... .........3 2 12 2 23 22 211 1 13 12 116 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas. N0. 03 Metode Aturan Cramer Dan Matrix Persamaan persamaan hasil diskritisasi volume untuk perhitungan numeric, seperti pada gambar 1, dapat diselesaikan dengan berbagai metode. Metode metode apapun yang digunakan, pada prinsipnya, dapat menyelesaikan persamaan persamaan ini untuk mencari solusi dari sistem persamaannya sendiri. Namun, untuk perhitungan perhitungan yang rumit dengan jumlah persamaan dan variable yang banyak, dimana computer digunakan, algoritma kalkulasi yang efisien serta bersahabat dengan performa computer yang ekonomis perlu untuk dipahami. Secara umum, metode yang digunakan adalah metode langsung (Direct) dan tidak langsung (Indirect atau Iterative). Yang dimaksud dengan metode langsung adalah suatu metode analitis yang digunakan langsung untuk mencari solusi dari sistem persamaan, contohnya adalah metode aturan cramer dan eliminasi Gauss. Pada metode ini, jumlah operasi perhitungan yang dilakukan dapat diketahui sebelumnya, yaitu, untuk menyelesaikan sebanyak N persamaan dengan N variable yang tidak diketahui, diperlukan N3 operasi dimana sebanyak N2 koefisien harus disimpan pada memori computer. Gambar 1. Contoh sistem persamaan linear Tentunya, hal ini menjadi suatu hambatan tersendiri jika kemampuan computer yang akan digunakan mempunyai performa yang minim pada saat ingin dilakukan komputasi mengenai permasalahan, yang pada saat sudah didiskritisasi, membentuk suatu sistem persamaan dengan jumlah persamaan dan jumlah variable yang banyak sehingga akan diperlukan memori computer yang besar untuk menyimpan N2 koefisien. Sedangkan metode tidak langsung atau iterative, merupakan metode yang berbasiskan terhadap aplikasi dari langkah langkah/algoritma sederhana yang diulang ulang pada sistem persamaan tersebut hingga sistem persamaan mencapai keadaan konvergen yang merepresentasikan solusi dari sistem persamaan tersebut. Pada metode iterative, banyaknya langkah langkah perhitungan yang dilakukan tidak dapat diprediksi, dimana tipikalnya adalah sebanyak N perhitungan per satu kali iterasi. Kekurangan lainnya adalah, jika sistem persamaan tidak berada pada kondisi yang kondusif, maka konvergensi dari suatu sistem persamaan tidak dapat terjamin. Satu satunya kelebihan dari penggunaan metode iterative adalah sedikitnya memori computer yang digunakan sebagai akibat dari algoritma yang mendesain agar computer hanya menyimpan koefisien koefisien yang tidak nol. Simulasi simulasi aliran fluida dapat memiliki jumlah persamaan dan variabel yang sangat banyak, mulai dari 1000 2 juta persamaan, yang tentunya dari sistem persamaan tersebut akan terdapat koefisien koefisien nol, yang jika tidak disimpan pada memori computer, akan menghemat banyak ruang untuk performa computer. Dikarenakan sistem persamaan Jacobi dan Gauss Siedel yang lambat mencapai konvergensi pada saat sistem persamaan yang ditinjau mempunyai jumlah persamaan dan variable yang banyak, maka metode ini tidak digunakan pada prosedur kalkulasi CFD. Metode iterative selain Jacobi dan Gauss Siedel, metode lain yang dapat digunakan adalah kalkulasi dengan menggunakan algoritma matrix tri diagonal (TDMA) yang diperkenalkan oleh Thomas pada tahun 1949. Tri Diagonal Matrix Algorithm (TDMA) TDMA merupakan metode kalkulasi iterative untuk komputasi CFD dua atau tiga dimensi dan merupakan algoritma standar untuk kalkulasi solusi persamaan aliran pada koordinat cartesius. Dapat diperhatikan salah satu contoh matriks tri diagonal pada gambar 2. Gambar 2. Contoh sistem persamaan yang membentuk matriks tri diagonal Pada gambar di atas, 1 dan n+1 adalah merupakan nilai batas yang diketahui. Bentuk umum dari setiap persamaan adalah seperti berikut, Persamaan persamaan pada gambar 2 dapat di atur ulang seperti berikut, Gambar 3. Untuk mendapatkan solusi terhadap , langkah kalkulasi yang pertama dilakukan adalahforward elimination dengan kemudian dilakukan back substitution untuk mendapatkan nilai nilai . Inti dari forward elimination adalah mengatur ulang persamaan persamaan pada gambar di atas. Dapat diperhatikan urutannya seperti pada gambar 4 untuk contoh forward elimination untuk 3. Untuk langkah pertama, 2 disubtitusi dari persamaan pertama seperti pada gambar 3 di atas. Gambar 4. Forward Eliminationpada 3 Setelah langkah pada gambar 4 diteruskan sampai n, langkah back substitution dilakukan untuk kalkulasi solusi terhadap nilai nilai . Dengan Back Substitution adalah langkah yang mencari solusi variable dari persamaan yang terakhir, dengan kemudian mensubtitusi persamaan terakhir tersebut ke persamaan sebelumnya, langkah ini terus dilakukan hingga nilai semua variable diperoleh. Aplikasi TDMA Pada kasus dua dimensi (lihat gambar 5), TDMA akan dilakukan dengan mengkalkulasi sistem persamaan pada satu arah dengan kemudian berpindah ke garis lainnya. Untuk lebih jelasnya, misal akan dilakukan suatu kalkulasi pada bidang dua dimensi seperti pada gambar 5, maka perlu dibuat sistem persamaan dari 1 sampai titik n. Setelah kalkulasi dari titik satu sampai titik n selesai, kalkulasi berpindah ke samping dengan arah yang sama dengan kalkulasi sebelumnya. Gambar 5. Bidang dua dimensi Misal, pada titik 2, persamaan yang terbentuk dapat berupa seperti pada gambar di bawah ini. Gambar 6. Untuk menyesuaikannya seperti persamaan pada gambar 2, maka persamaan di atas diatur seperti di bawah ini. Gambar 7. Dengan subskrip S, N, W, E, P adalah masing masing koefisien dan variable sebelah selatan titik, koefisien dan variable sebelah utara titik, koefisien dan variable sebelah barat titik, koefisien dan variable sebelah timur titik, dan titik yang bersangkutan, serta b yang adalah suku sumber atau factor yang berkontribusi terhadap perubahan nilai nilai atau distribusi variable pada daerah komputasi. Karena perhitungan bergerak dari selatan ke utara, maka nilai nilai yang bersangkutan dengan titik sebelah barat dan sebelah timur titik yang bersangkutan dianggap diketahui (biasanya diberikan nilai nol). Begitu terus perhitungan dilakukan hingga variable variable di setiap titik pada bidang diperoleh. Setelah itu, perhitungan dilakukan lagi (diulang/iterasi) hingga error terhadap solusi dari sistem persamaan mencapai toleransi yang telah ditetapkan sebelumnya. Sedangkan untuk kasus tiga dimensi, perhitungan pada dasarnya sama seperti pada kasus dua dimensi. Namun, sebelum kalkulasi sistem persamaan diiterasi, pergerakan perhitungan bergerak ke atas/ bawah terlebih dahulu untuk mendapatkan variable pada semua daerah komputasi. Berikut contoh gambar untuk memperjelas aplikasi TDMA pada kasus tiga dimensi. Gambar 8. Daerah komputasi tiga dimensi Serta berikut contoh persamaan pada setiap titik di kasus komputasi tiga dimensi. Untuk contoh kalkulasi pada model fisikanya, referensi versteeg [1] dapat menjadi bahan acuan. Sedangkan beberapa contoh contoh kalkulasi iterasi dapat diperhatikan padaMetoda Iterative Bisection dalam kalkulasi solusi persamaan polynomial orde tiga,Kalkulasi ketinggian cairan pada tanki horizontal dengan menggunakan Microsoft Visual Basic. Serta berikut pembahasan pembahasan singkat mengenai kalkulasi solusi sistem persamaan, Kalkulasi solusi persamaan aljabar simultan, Metoda Iterasi. NO. 04 Metode gauss-seidel Merupakan metode iterasi. Prosedur umum: - Selesaikan secara aljabar variabel tidak diketahui xi masing-masing persamaan linier - Asumsikan suatu nilai awal pada setiap penyelesaian - Selesaikan masing-masing xi dan ulangi - Hitung nilai mutlak dari kesalahan perkiraan relatif setelah masing-masing iterasi sehingga kurang darinilai toleransi. Metode Gauss-Seidel Method membolehkan pengguna untuk mengkontrol round-off error. Metode eliminasi seperti Eliminasi Gauss dan Metode Gauss-Seidel Dekompoisi LU rentan terhadap round-off error. Juga, bila bentuk dari masalah dapat dipahami, dapat ditentukan nilai perkiraan awal yang lebih dekat, sehingga menghemat waktu iterasi. persamaan dan n bilangan tak diketahui: Algoritma a11x1 + a12 x2 a13 x3 + ...+ a1n xn = b1 a21x1+ a22x2 + a33x3 + ... + a2nxn = b2 an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + a3nxn = bn Jika element diagonal tidak nol, tuliskan kembali masingmasingpersamaan untuk menyelesaikan bilangan yang tak diketahui. Misal: Persamaan ke-1, untuk menyelesaian x1, Persamaan ke-2, untuk menyelesaikan x2, dst. Contoh : Hasis beberapa iterasi adalah sebagai berikut: Iterasi a1 |a|1 %a2|a|2 %a3|a|3 % 1 2 3 3.6720 12.056 47.182 72.767 69.543 74.447 -7.8510 -54.882 -255.51 125.47 85.695 78.521 -155.36 -798.34 -3448.9 103.22 80.540 76.852 4 5 6 193.33 800.53 3322.6 75.595 75.850 75.906 1093.4 4577.2 19049 76.632 76.112 75.972 14440 60072 249580 76.116 75.963 75.931 Catatan Nilai kesalahan relatif tidak banyak berkurang pada setiap iterasi, termasuk pula tidak konvergen pada nilai sebenarnya. a1 19.690 a2=1.0857 a30.29048 NO.05 Integral Numerik Metode Trapezoid dan Metode Simpson Integral numerik juga dinamakan quadrature telah menjadi perhatian para ilmuwan sejak abad 18 hingga 19.Quadrature pada prinsipnya adalah konsep yang sangat mudah yaitu bagaimana mengevaluasi integral suatu fungsi: Dipandang dari sudut persamaan diferensial maka mencari nilai integral I adalah sama dengan menyelesaikan persamaan diferensial: Dengan syarat batas f(x)=0 Newton-Cotes Formula Metode yang umum digunakan dalam menghitung integral numerik adalah Newton-Cotes Formula, dimana batas antara a dan b dibagi ke dalam bagian yang lebih kecil (step-size h) sedemikian rupa sehingga notasi integral dapat diganti ,emjadi notasi penjumlahan (sigma), yaitu: Untuk metode closed loop Untuk metode open loop Fungsi f(x) adalah fungsi yang diintegralkan, namun untuk memperoleh rumus integral numerik dapat diganti dengan fungsi interpolasi seperti deret Taylor, Newton forward, Lagrange, dll. Ada dua formula dasar yang populer pada formula Newton-Cotes yaitu trapezoidal rule dan Simpson-rule. Trapezoidal rule Metode trapezoid ini dapat diturunkan dengan substitusi fungsi Lagrange orde-1 sebagai f(x) yaitu: Dengan demikian : Dimana R adalah suku yang mengandung error komputasi O(h3). Sehingga kita mendapatkan rumus integral trapezoid yaitu: Simpson rule Metode Simpson dapat diturunkan dengan substitusi fungsi Lagrange orde-2 sebagai f(x) yaitu sebagai berikut: Dimana h=(b-a)/2, x0 = a, x1 = a+h, x2 = a+2h. Dengan demikian Dimana Rs adalah suku yang mengandung error komputasi O(h3). Sehingga kita mendapatkan rumus integral Simpson yaitu: Sekarang kita coba kedua metode di atas untuk menyelesaikan persoalan berikut ini: Hitungmenggunakan metode trapezoid dan simpson 1/3 dengan jumlah pias N=8! Sebelum menghitung dengan metode numerik, sebaiknya kita hitung dahulu menggunakan metode analitik kemudian hasil akhirnya kita bandingkan. Misal u = 1+x sehinggaKita substitusikan menjadi Solusi metode trapezoid Hasil integral di atas didekati dengan metode trapezoid dengan persamaan: Dengan N=8, sehingga nilai h=0,125 Kita lakukan perhitungan manual terlebih dahulu seperti berikut: i xiF(xi) 001 10,1250,888 20,250,8 30,3750,7272 40,50,666 50,6250,6153 60,750,571 70,8750,533 810,5 Hasil yang diberikan metode trapezoid memberikan nilai 0,6938. Solusi metode Simpson 1/3 Solusi ini menggunakan persamaan Dengan tabel yang sama kita dapatkan Hasil yang didapatkan melalui metode simpson 1/3 adalah 0,69255. Setelah melakukan perhitungan manual, kita buat program pada MATLAB untuk menghitung berapa nilai dari hasil inetgral fungsi yang diberikan dengan kedua metode tersebut. Berikut listing programnya: clear;clc; a=0; b=1; x=0; h=0.125; n=(b-a)/h n=round(n) for i=1:(n+1) f(i)=1/(1+x); x=x+h; end f ff=f(2:n) sum=0; for i=1:(n-1); sum=sum+ff(i); end sum trap=(h/2)*(f(1)+2*sum+f(n+1)) sigma=0; for i=1:(n-1) if (rem(i,2)~=0) sigma=sigma+4*ff(i); else sigma=sigma+2*ff(i); end simp=(h/3)*(f(1)+sigma+f(n+1)) Kedua metode di atas dapat diletakkan pada satu listing program saja. Kode trap=(h/2)*(f(1)+2*sum+f(n+1))digunakan untuk metode trapezoid dan kode simp=(h/3)*(f(1)+sigma+f(n+1)) untuk metode simpson 1/3. Jika program di atas kita run maka akan memberikan hasil berikut ini: n = 8 n = 8 f = 1.00000.88890.80000.72730.66670.61540.57140.53330.5000 ff = 0.88890.80000.72730.66670.61540.57140.5333 sum = 4.8030 trap = 0.6941 simp = 0.6932 Tampak nilai trap = 0,6941 dan simp = 0,6932 masing-masing nilai metode trapezoid dan metode simpson yang hampir sama dengan perhitungan manual. Metode integral reiman -Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x-Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b] -Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi). Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :

Dimana : Didapat : Contoh: Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel : Secara kalkulus:Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052 ( ) ( ) ( ) ( )( )iniinnx x fx x f x x f x x f x x fL L L L L = + + + + =+ + + + ==03 2 2 1 1 0 02 1 0.....h x x x xn = = = = = ...2 1 0( ) ( )==niibax f h dx x f0( )( )( ) 385 , 0 85 , 3 1 . 000 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0) ( .100= =+ + + + + + + + + + == = iix f h L..... 3333 , 0 |31103102= = = x dx x LAturan simson 3/8 Error pemenggalan: Aturan Simson 1/3 Aproksimasi dengan fungsi parabola Xoh x1hx2x ) () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( () (32 3 1 3 0 32 1 023 2 1 2 0 23 1 013 1 2 1 0 13 2 003 0 2 0 1 03 2 1x fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx L + + + =[ ] ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) (833a bh ;3 2 1 0x f x f x f x fhL(x)dx f(x)dxbaba+ + + == 3h ; ) (6480) () (803) 4 (5) 4 ( 5a bfa bf h Et= = = [ ] ) ( ) ( 4 ) (3) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 02 2 1 1 0 020x f x f x fhx f c x f c x f c x f c dx x fiiiba+ + =+ + = =L(x) f(x) ) (2) 1 () ( ) 1 ( ) (2) 1 () (2 120x f x f x f L++ += 112 321131112 30112102111011)2 3(2) ()3( ) ( )2 3(2) () 1 (2) ( ) 1 ) () 1 (2) ( ) ( ) ( + + + =+ + + = hx f h x f hx fd hx f d ( h x fd hx f d L h dx x fba[ ] ) ( ) ( 4 ) (3hdx ) x ( f2 1 0bax f x f x f + + =