Jawaban tugas pemograman dan metode numerik
21
SEFTY YUNITASARI 14/369298/PA/16368 1. Diberikan 1−x 2 dan F ( x) = ∫ b a f ( x ) dx jika a = 0 dan b = 10 Carilah penyelesaian untuk F(x) secara numerik dengan menggunakan metode trapesium dan metode Simpson 1/3. Jika h (jarak antar data point) = 0.5 (kaitan antar integral interval dengan h bisa dilihat di slide materi perkuliahan). a. Maka selesaikanlah F(x) dengan menggunakan tabulasi (dibuat tabel penyelesaian dengan cara manual). b. Selesaikanlah F(x) dengan mengimplementasikan penyelesaian dari (a) ke dalam bahasa pemrograman yang anda kuasai (C/ C++/ FORTRAN, atau yang lainnya). Jawab a. Metode trapezoid F ( x) ≅ ∑ i=0 n−1 ∫ f ( x ) dx ≅ h 2 ∑ i=0 n−1 f ( x i ) + ¿ f ( x i+1 ) ¿ F ( x) = ∫ b a f ( x ) dx ≅ ∆x 2 { f ( x 0 ) +2 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) +......... +f ( x n−1 ) +f ( x n ) } Untuk mendapatkan ∆x =0.5 maka, ∆x= b−a n n= b−a ∆x = 10−0 0.5 =20
-
Upload
sefty-yunitasari -
Category
Documents
-
view
54 -
download
8
description
Berisi metode integrasi secara numerik
Transcript of Jawaban tugas pemograman dan metode numerik
SEFTY YUNITASARI14/369298/PA/16368
1. Diberikan dan jika a = 0 dan b = 10Carilah penyelesaian untuk F(x) secara numerik dengan menggunakan metode trapesium dan metode Simpson 1/3. Jika h (jarak antar data point) = 0.5 (kaitan antar integral interval dengan h bisa dilihat di slide materi perkuliahan).a. Maka selesaikanlah F(x) dengan menggunakan tabulasi (dibuat tabel penyelesaian dengan cara manual).b. Selesaikanlah F(x) dengan mengimplementasikan penyelesaian dari (a) ke dalam bahasa pemrograman yang anda kuasai (C/ C++/ FORTRAN, atau yang lainnya).Jawaba. Metode trapezoid
Untuk mendapatkan =0.5 maka,
Sehingga rumusnya menjadi,
Untuk memudahkan mencari nilai maka dibuat tabel sebagai berikut:ni
1000.510.750.250.18750.4375
210.510.7500.187500.1875
3211.50-1.250-0.3125-0.3125
431.52-1.25-3-0.3125-0.75-1.0625
5422.5-3-5.25-0.75-1.3125-2.0625
652.53-5.25-8-1.3125-2-3.3125
7633.5-8-11.25-2-2.8125-4.8125
873.54-11.25-15-2.8125-3.75-6.5625
9844.5-15-19.25-3.75-4.8125-8.5625
1094.55-19.25-24-4.8125-6-10.813
111055.5-24-29.25-6-7.3125-13.313
12115.56-29.25-35-7.3125-8.75-16.063
131266.5-35-41.25-8.75-10.313-19.063
14136.57-41.25-48-10.313-12-22.313
151477.5-48-55.25-12-13.813-25.813
16157.58-55.25-63-13.813-15.75-29.563
171688.5-63-71.25-15.75-17.813-33.563
18178.59-71.25-80-17.813-20-37.813
191899.5-80-89.25-20-22.313-42.313
20199.510-89.25-99-22.313-24.75-47.063
Total-323.75
Metode simpsons 1/3
Karena maka sehingga persamaannya menjadi
Untuk memudahkan mencari nilai sampai maka dibuat table sebagai berikut:i
001
10.50.75
210
31.5-1.25
42-3
52.5-5.25
63-8
73.5-11.25
84-15
94.5-19.25
105-24
115.5-29.25
126-35
136.5-41.25
147-48
157.5-55.25
168-63
178.5-71.25
189-80
199.5-89.25
2010-99
b. Menyelesaikan F(x) dengan mengimplementasikan penyelesaian dari (a) ke dalam bahasa pemrograman C++Metode Trapezoid
2. Jika F(x) sekarang menjadi bentuk penyelesaian dari integral indefinite,yaitu
a. Maka selesaikan F(x) secara numerik dengan menggunakan metode trapesium untuk memperoleh kurva F(x) (hints: h = 0.5; F(x) berada dalam interval 0 sampai 10). Buatlah tabulasi (tabel penyelesaian secara manual) dari kurva F(x) dan bandingkan dengan hasil penyelesaian secara analitik (hints: )b. Selesaikanlah F(x) dengan mengimplementasikan penyelesaian dari (a) ke dalam bahasa pemrograman yang anda kuasai (C/ C++/ FORTRAN, atau yang lainnya).
Jawab:
Dari persamaan diatas dapat dicari nilai
Integrasi secara numeric dengan metode trapesium
Untuk mendapatkan =0.5 maka,
Sehingga rumusnya menjadi,
Untuk memudahkan mencari nilai maka dibuat tabel sebagai berikut:Xnixixi+1f(xi)f(xi+1)h/2*f(xi)h/2*f(xi+1)F(xi)F(X)
11000.510.750.250.18750.43750.625
210.510.7500.187500.1875
23211.50-1.250-0.3125-0.3125-0.3125
431.52-1.25-3-0.3125-0.75-1.0625
35422.5-3-5.25-0.75-1.3125-2.0625-2.0625
652.53-5.25-8-1.3125-2-3.3125
47633.5-8-11.25-2-2.8125-4.8125-17.5
873.54-11.25-15-2.8125-3.75-6.5625
59844.5-15-19.25-3.75-4.8125-8.5625-36.875
1094.55-19.25-24-4.8125-6-10.813
6111055.5-24-29.25-6-7.3125-13.313-66.25
12115.56-29.25-35-7.3125-8.75-16.063
7131266.5-35-41.25-8.75-10.313-19.063-107.625
14136.57-41.25-48-10.313-12-22.313
8151477.5-48-55.25-12-13.813-25.813-163
16157.58-55.25-63-13.813-15.75-29.563
9171688.5-63-71.25-15.75-17.813-33.563-234.375
18178.59-71.25-80-17.813-20-37.813
10191899.5-80-89.25-20-22.313-42.313-323.75
20199.510-89.25-99-22.313-24.75-47.063
Total-323.75
Integrasi secara analitik
xf(x)
10.666667
2-0.66667
3-6
4-17.3333
5-36.6667
6-66
7-107.333
8-162.667
9-234
10-323.333
Perbandingan hasil integrasi secara analitik dan numericxAnalitiknumeric
f(x)f(x)
10.6250.666666667
2-0.75-0.666666667
3-6.125-6
4-17.5-17.33333333
5-36.875-36.66666667
6-66.25-66
7-107.625-107.3333333
8-163-162.6666667
9-234.375-234
10-323.75-323.3333333
3. Diberikan bentuk integral improper berikut:
a. Carilah Nilai dan dengan menggunakan metode integrasi Gauss Quadrature dua, tiga dan empat titik (selesaikan dengan cara manual). Bandingkan dengan hasil analitik.b. Selesaikanlah dan dengan mengimplementasikan penyelesaian dari (a) ke dalam bahasa pemrograman yang anda kuasai (C/ C++/ FORTRAN, atau yang lainnya).Jawab:Rumus gauss quadrature secara umum adalah
n merupakan jumlah titik, semakin besar n-nya semakin akurat hasil yang didapatkan.Jika batas-batas integrasinya diubah menjadi a dan akan mempermudah perhitungan karena nilai dan dapat didapatkan dari table polinomial Legendre untuk penyelesaian Gaussian quadrature.
Cara mengubahnya dengan mengikuti persamaan berikut ini:
Diketahu persamaan yang akan diselesaikan merupakan bentuk yang improper, untuk itu persamaan tersebut harus diubah terlebih dahulu ke benbentuk yang proper seperti dibawah ini
Setelah itu kita pisahkan menjadi dan diubah batasnya dari x=-1 ke x=1
gauss quadrature dua titik
Dengan
Untuk
icixi0.5xi+0.50.5xi+1.5f(0.5xi+0.5)f(0.5xi+1.5)
110.5773502690.7886751351.7886751350.4291102321.998998579
21-0.5773502690.2113248651.2113248650.1062572550.761148572
ci f(0.5xi+0.5)ci f(0.5xi+1.5)0.5ci f(0.5xi+0.5)0.5ci f(0.5xi+1.5)
0.4291102321.9989985790.2145551160.999499289
0.1062572550.7611485720.0531286270.380574286
Total1.647757319
gauss quadratus tiga titik
Dengan
Maka,
icixi0.5xi+0.50.5xi+1.5f(0.5xi+0.5)f(0.5xi+1.5)
10.5555555560.7745966690.8872983351.8872983350.495033362.851356066
20.88888888900.51.50.258198891.133893419
30.555555556-0.7745966690.1127016651.1127016650.0564405150.669537885
ci f(0.5xi+0.5)ci f(0.5xi+1.5)0.5ci f(0.5xi+0.5)0.5ci f(0.5xi+1.5)
0.2750185341.5840867040.1375092670.792043352
0.2295101241.0079052610.1147550620.503952631
0.0313558420.3719654920.0156779210.185982746
Total1.749920978
gauss quadratus empat titik
Dengan
icixi0.5xi+0.50.5xi+1.5f(0.5xi+0.5)f(0.5xi+1.5)
10.3478548450.8611363120.9305681561.9305681560.5256488493.695541829
20.6521451550.3399810440.6699905221.6699905220.3555383321.517463761
30.652145155-0.3399810440.3300094781.3300094780.167297930.89042567
40.347854845-0.8611363120.0694318441.0694318440.0347368610.632776033
ci f(0.5xi+0.5)ci f(0.5xi+1.5)0.5ci f(0.5xi+0.5)0.5ci f(0.5xi+1.5)
0.1828494991.285512130.0914247490.642756065
0.2318626010.9896066390.11593130.49480332
0.1091025340.5806867860.0545512670.290343393
0.0120833850.2201142090.0060416930.110057104
Total1.805908892
Diketahui
Untuk mengubah batas nya dari tak maka ,
Jadi,
selanjutnya kita ubah batasnya menjadi -1 dan 1
gauss quadrature dua titik
Dengan
Penyelesaian secara analitik
Missal
