METODE NUMERIK

Tugas Sistem Persamaan Linier Dengan Koefisien

Eliminasi Gauss Jordan

Oleh

TRI MARGAWATI

2011 020 108

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN

KOMPUTER (STMIK)HANDAYANI MAKASSAR

2013

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT, karena karunia dan rahmat-Nya

maka penulis dapat menyelesaikan tugas Metode Numerik.

Penulisan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk

menyelesaikan tugas mata kuliah Metode Numerik di STMIK HANDAYANI.

Dalam Penulisan makalah ini penulis merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik

pada teknis penulisan maupun materi, seperti pepatah mengatakan: “Tak ada gading yang

tak retak”. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penulis harapkan demi

penyempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk pengembangan

wawasan dan peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Makassar, Juli 2013

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................................................... i

DAFTAR ISI ............................................................................................................. ii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................... 1

1.1. Latar Belakang ............................................................................................. 1

BAB II PEMBAHASAN ................................................................................................ 2

2.1 Matriks ...................................................................................................... 2

2.2 Matriks Pita ................................................................................................. 6

BAB III KESIMPULAN ................................................................................................ 11

BAB IV DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 12

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Banyak dalam permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan

menggunakan penerapan matriks. Seperti halnya masalah transportasi dalam bidang industri

yang meletakkan hasil produksi industri tersebut di tempat yang terpisah. Namun,

bagaimanakah cara mendistribusikan hasil produksi dari masing-masing pabrik ke masing-

masing gudang dengan biaya tranportasi yang dikeluarkan seminimal mungkin. Nah,

permasalahan ini dapat diselesaikan dengan matriks. Susunan bilangan real berbentuk segi

empat muncul dalam banyak konteks, selain sebagai matriks yang diperbesar untuk sistem

persamaan linear. Pada sub bab ini kita akan meninjau susunan-susunan seperti itu dengan

susunan bilangan itu sendiri sebagai objeknya dan mengembangkan beberapa sifat-sifat

susunan bilangan tersebut.Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan

kolom yang membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan

tersebut disebut entri dalam matriks.

Penggunaan matriks telah banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, disadari

ataupun tidak, penggunaan matriks tersebut telah banyak dimanfaatkan dalam

menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan, misalnya pada

aplikasi perbankan dan juga di dalam dunia olahraga yang digunakan sebagai penentuan

klasemen suatu pertandingan. Suatu matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang

dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks.

Sehingga matriks merupakan suatu susunan yang berbentuk persegi panjang yang terdiri

dari bilangan-bilangan. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang

mendatar (arah horizontal) dalam matriks. Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-

bilangan yang tegak (arah vertikal) dalam matriks.

Suatu matriks dapat ditulis dalam bentuk ( ) atau [ ]. Matriks dilambangkan dengan huruf

besar, misalnya A, B, dan seterusnya. Entri pada matriks dilambangkan dengan huruf kecil

dan berindeks, misalnya amnyang merupakan entri pada baris ke- m dan kolom ke- n.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Matriks

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan bilangan. Bilangan-

bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks (Anton, 1988: 22). Jika

adalah sebuah matriks, maka akan meggunakan untuk menyatakan entri yang terdapat di

dalam baris dan kolom dari matriks .

Matriks di atas disebut matriks berukuran kali (ditulis ) karena memiliki baris dan kolom.

Contoh:

Matriks A adalah matriks berukuran m x n, m menunjukkan banyaknya baris dan n

menunjukkan banyaknya kolom. Matriks A dapat juga dinotasikan dengan [aij]mxn atau [aij].

Entri yang terletak pada baris i dan kolom j pada matriks A dinyatakan sebagai a ij. Transpose

dari matriks A dinyatakan dengan dengan AT didefinisikan sebagai matriks n x m yang

didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolom

pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A,

dan seterusnya, sehingga diperoleh

Suatu matriks A dengan jumlah baris n dan jumlah kolom n disebut matriks bujur sangkar

ordo n dan entri a11, a22, …, ann disebut sebagai diagonal utama. Jika A adalah sebuah

matriks bujursangkar maka trace dari A, yang dinyatakan sebagai tr(A), didefinisikan sebagai

jumlah entri-entri pada diagonal utama A.

Macam-Macam Matriks :

a) Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n, misal

matriks 33, adalah:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Diagonal yang terdiri dari a11, a22, dan a33 adalah diagonal utama matriks.

MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier, dalam

sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom)

harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.

b) Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen kecuali

diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:

A =

44

33

22

11

000

000

000

000

a

a

a

a

c) Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama besar

tetapi bukan nol atau satu.

d) Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal

utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan, seperti bentuk

berikut ini:

I =

1000

0100

0010

0001

e) Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen dibawah

diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:

A =

44

3433

242322

14131211

000

00

0

a

aa

aaa

aaaa

f) Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen diatas

diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:

A =

44434241

333231

2221

11

0

00

000

aaaa

aaa

aa

a

g) Matriks simetris, bila aij = aji, misalnya matriks simetris 33:

A =

872

731

215

h) Matriks simetris diagonal nol, bila aij = -aji, misalnya matriks simetris 33

yang semua unsur diagonalnya aji = 0.

A =

072

701

210

i) Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali

pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai berikut:

A =

4443

343332

232221

1211

00

0

0

00

aa

aaa

aaa

aa

, disebut juga dengan matriks tridiagonal.

j) Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris

menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya AT).

Untuk matriks: A =

mn3m2m1m

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

,

maka transposenya (AT) adalah AT =

mnn3n2n1

2m322212

1m312111

aaaa

aaaa

aaaa

k) Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi aturan:

[A]T . [A] = [A] [A]T = [I]

l) Peningkatan matriks

Matriks dapat ditingkatkan dengan menambahkan kolom (kolom-kolom) pada

matriks asli, misalnya suatu matriks koefisien berdimensi 33,

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

bila matriks ini akan ditingkatkan dengan menambahkan matriks identitas

sehingga menjadi matriks 36, yang mempunyai bentuk sebagai berikut:

100|

010|

001|

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

bentuk ini lebih menguntungkan bila dilakukan operasi pada dua matriks, dengan

demikian operasi tidak dilakukan untuk dua matriks, tetapi hanya pada satu

matriks yang ditingkatkan.

2.2 Matrix Pita

Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali pada

satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai berikut:

A =

4443

343332

232221

1211

00

0

0

00

aa

aaa

aaa

aa

,disebut juga dengan matriks tridiagonal.

Suatu matriks tridiagonal (tridiagonal matrix) adalah suatu matriks persegi dengan semua

elemen diagonal dari matriks bagian persegi di atas diagonal utama dan di bawah diagonal

utama adalah nol. Solusi SPAL yang berbentuk matriks tri-diagonal seringkali dijumpai pada

problem-problem yang berbentuk PDP (persamaan diferensial parsial) yang dominan secara

diagonal (definit positif).

Secara spesifik, bentuk SPAL yang memiliki matriks tri-diagonal dapat disajikan sebagai

berikut:

Sistem Tridiagonal

Metode eliminasi Gauss merupakan metode yang sederhana untuk digunakan khususnya jika

semua koefisien tak nol terkumpul pada diagonal utama dan beberapa diagonal sekitarnya.

Suatu system yang bersifat demikian disebut banded dan banyaknya diagonal yang memuat

koefisien-koefisien tak nol disebut bandwith. Sebuah contoh khusus, namun sering dijumpai,

adalah system tridiagonal.

Yang mempunyai bandwith tiga. Sistem-sistem demikian muncul, misalnya, pada

penyelesaian numeric untuk untuk menyusun spline kubik dan pada penyelesaian masalah

syarat batas. Proses eliminasi untuk system demikian disebut trivial karena hanya dengan

membentuk sebuah subdiagonal nol tambahan, proses penyulihan mundur segera dapat

dilakukan. Dengan (n-1) operasi baris yangdilakukan berurutan.

Matriks spesial Tridiagonal

Banyak masalah terapan melibatkan matriks dengan kebanyakan elemennya nol.

Salah satu bentuk matriks yang elemen nolnya berpola adalah matriks pita (banded matrix).

Lebar pita adalah maksimum banyaknya elemen taknol pada barisbaris suatu matriks pita.

Matriks pita yang terkecil adalah yang lebar pitanya tiga atau dikenal sebagai matriks

tridiagonal, seperti ditunjukkan pada persamaan sebagai Sistem linear tridiagonal NxN.

Jika eliminasi Gauss langsung diterapkan pada sistem (3.12) maka banyak operasi

yang sebenarnya tidak perlu dilakukan. Agar metode lebih efisien diperlukan modifikasi.

Pivoting tidak diperlukan, karena pada umumnya persamaan (3.12) yang dijumpai dalam

praktek bersifat dominan secara diagonal. Setelah eliminasi akan dihasilkan matriks

bidiagonal atas.

Beberapa metode bisa digunakan untuk menyelesaikan sistem tridiagonal,

diantaranya adalah Secant, Gauss Seidel dan lainnya tergantung dari korelasi

perilaku elemen matriks tridiagonal. Di fisika seringkali dijumpai kasus penyelesaian nilai

eigen dan fungsi eigen dari suatu fungsi keadaan. Akhir bahasan pada studi kasus akan

disinggung tentang nilai eigen dan fungsi eigen untuk partikel yang berada dalam sumur

potensial. Metode yang efisien untuk menyelesaikan sistem tridiagonal diantaranya adalah

algortima Thomas (Thomas Algorithm). Seperti pada dekomposisi konvensial LU, algoritma

terdiri dari tiga langkah yaitu dekomposisi, subtitusi maju dan subtitusi balik.

Teorema Solusi matriks Tri-Diagonal

Jika matriks bujur-sangkar [A] di atas merupakan matriks yang dominan secara diagonal

(atau definit :positif) dan membentuk matriks tri-diagonal, maka [A] memiliki suatu mentuk

faktorisasi LU yang unik, dalam hal ini baik L maupun U hanya memiliki duadiagonal: L

adalah matriks bawah dengan struktur diagonal utama (dituliskan dalam lambang [dl]) dan

diagonal bawah (dituliskan dalam lambang [al]); sedangkan matriks U adalah matriks atas

yang berisi diagonal utama [du] dan diagonal atas [cu]. Langkah solusi yang digunakan

adalah analogi dengan metode ELIMINASI GAUSS. Dalam hal ini jika penulisan SPAL di atas

disusun ulang menjadi:

Langkah solusi yang digunakan adalah analogi dengan metode ELIMINASI GAUSS. Dalam hal

ini jika penulisan SPAL di atas disusun ulang menjadi:

Dapat dilihat dengan jelas, selain ketiga diagonal di atas matriks [A] hanya diisi oleh elemen

0 (nol), yang berarti bahwa matriks [A] di atas, tidak perlu disimpan dalam suatu variabel

berbentuk matriks, melainkan cukup hanya dalam 3 buah ventor dengan panjang masing-

masing (maksimum) sebesar n elemen. Jumlah memori untuk penyimpanan menjadi

semakin sangat berarti pada saat harga n menjadi sangat besar. Hal lain yang perlu dicatat

adalah, bahwa pada setiap kolom, hanya diperlukan 1 buah elemen tak-nol (bukan 0) yang

dieliminasi, yang berarti juga sebagai “penghematan usaha dan daya komputasi numerik”

yang relatif sangat besar, bila dibandingkan dengan penghitungan melalui matriks penuh.

Selanjutnya, langkah algoritma penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

BAB III

KESIMPULAN

Matriks merupakan kumpulan bilangan yang tersusun menurut baris dan kolom

sedemikian sehingga tampak seperti bentuk sebuah persegi panjang atau sistem penulisan

objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom. Objek matriks dapat berupa bilangan

real, bilangan kompleks ataupun fungsi. Sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf

besar, misalnya A. Setiap bilangan yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks.

Semua bilangan yang tersusun dalam jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang

tersusun dalam jalur vertical disebut kolom. Operasi yang yang ada pada matriks meliputi:

penjumlahan matriks, pengurangan matriks ,perkalian matriks , dan determinan.

BAB IV

DAFTAR PUSTAKA

http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-aljabar-linear-metode-gauss-

jordan.pdf

http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-iii-matriks-solusi-persamaan-linear.pdf

http://winita.staff.mipa.uns.ac.id/files/2011/09/SPL-bag-1.pdf

http://oc.its.ac.id/ambilfile.php?idp=145

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf