TRIGONOMETRI

D

I

S

U

S

U

N

OLEH :

Rinaldy (06121408004)

Yusrina Fitriani (06121408005)

Ayu Tri Wahyuni (06121408010)

Sherly

Mata kuliah : Telaah Matematika 1

PRODI MATEMATIKA 2012

FAKULTAS KEGURUAN ILMU DAN PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

TRIGONOMETRI

1. Pengertian Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen.Menurut Edward J. Byng bahwa trigonometri adalah ciptaan orang arab. Oleh karena itu, banyak kata-kata dalam trigonometri yang menggunakan istilah dari Arab.  Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri. Dan, pada mulanya trigonometri dikaji sebagai cabang astronomi tetapi akhirnya trigonometri berdiri sendiri sebagai sebuah disiplin ilmu. Sejarah Trigonometri

2. Sejarah Awal Trigonometri

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

3. Konsep Trigonometri

Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun. Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang

dari nol derajat). Untunk Ukuran Sudut sendiri, 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian

4. Kuadran pada Trigonometri

Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi dalam 4 daerahNilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan seperti pada gambar:

Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a(k = bilangan bulat > 0)Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancip

Jika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah:

sin ↔ cos

tan ↔ cot

sec ↔ csc

Jika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetap

Sudut dengan nilai negatifNilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam

Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di kuadran IV

Contoh:

Cos 120º = cos (180 – 60)º = – cos 60º = – 1/2 (120º ada di kuadran II sehingga nilai cos-nya negatif)

Cos 120º = cos (90 + 30)º = – sin 30º = – 1/2

Tan 1305º = tan (3.360 + 225)º = tan 225º = tan (180 + 45)º = tan 45º = 1 (225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif)

Sin –315º = – sin 315º = – sin (360 – 45)º = –(– sin 45)º = sin 45º = 1/2 √2

5. Hubungan Fungsi Trigonometri

a. Perbandingan trigonometri

Catatan:

Sin = sinus

Cos = cosinus

Tan/Tg = tangens

Sec = secans

Cosec/Csc = cosecans

Cot/Ctg = cotangens

Dari gambar tersebut dapat diperoleh:

(sec merupakan kebalikan dari cos,csc merupakan kebalikan dari sin, dancot merupakan kebalikan dari tan)

Contoh:Dari segitiga berikut ini:

Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A!Pertama, hitung dulu panjang BC dengan menggunakan rumus Phytagoras:

Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa

* tambahan: sin 37° = cos 53° = 0,6

b. Identitas Trigonometri

Sehingga, secara umum, berlaku:sin2a + cos2a = 11 + tan2a = sec2a1 + cot2a = csc2a

c. Penjumlahan Trigonometri

Contoh :

Turunan dari sin 6x . cos 2x adalah ......Soal seperti ini bisa diselesaikan dengan menggunakan cara diatas. Kita lihat yang ada sin . cos, yang sama adalah penjumlahan ;<=> sin (a+b) + sin (a-b) = 2 sin a. cos b Nah, bisa diselesaikan dengan cara dibawah :

Sekarang, baru kita turunkan nilainya.turunan sin ax = 1/a. cos ax

d. Aturan-Aturan pada Segitiga ABC

Aturan sinusDari segitiga ABC di atas:

Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus:

Aturan CosinusDari segitiga ABC di atas:

Sehingga, secara umum:

e. Luas Segitiga

Dari segitiga ABC di atas diperoleh:

Sehingga, secara umum:

f. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Dari gambar segitiga ABC berikut:

AD = b.sin αBD = a.sin βCD = a.cos β = b.cos α

Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))°

Untuk fungsi tangens:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

g. Rumus Sudut Rangkap

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Penurunan dari rumus cos2α:

h. Rumus Perkalian Fungsi Sinus dan Kosinus

Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh:

i. Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus dan KosinusDari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus.

Maka akan diperoleh rumus-rumus:

Contoh-contoh soal:(1) Tanpa menggunakan daftar, buktikan bahwa:

.

REFERENSI

http://id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri

http://id.wikibooks.org/wiki/Subjek:Matematika/Materi:Trigonometri

http://memathlove.blogspot.com/2012/11/pengertian-trigonometri_28.html