Transformasi Laplace Kel 4
17
RESUME RANGKAIAN LISTRIK II Kelompok 4 Disusun oleh : 1. Ariannah Ruthmahwati 5215107307 2. Chintya Bunga Yudhitiara 5215107336 3. Puspita Herlianti 5215107362 4. Robiatul Adawiyah 5215107328
-
Upload
pangestu-wibisono -
Category
Documents
-
view
34 -
download
1
Transcript of Transformasi Laplace Kel 4
RESUME RANGKAIAN LISTRIK II
Kelompok 4
Disusun oleh :
1. Ariannah Ruthmahwati 52151073072. Chintya Bunga Yudhitiara 5215107336
3. Puspita Herlianti 5215107362 4. Robiatul Adawiyah 5215107328
Program Studi : Pend. Teknik Elektronika (S1) Non. Reg’10
FAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah, Tuhan Yang Maha Esa. Berkat limpahan karunia-Nya, kami dapat menyelesaikan tugas resume ini. Dan tentunya tak lupa kami mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu atas prosesnya penyelesaian resume ini, yang diantaranya: 1. Faried Wadjdi, selaku dosen mata kuliah Rangkaian Listrik, 2. Para penulis yang tulisannya kami kutip sebagai bahan, 3. Kedua orang tua yang telah banyak memberikan motivasi, 4. Seluruh mahasiswa/i Universitas Negeri Jakarta, Fakultas Teknik, Jurusan Teknik Elektro, khususnya
Program Studi S1 Pendidikan Teknik Elektronika kelas Non Reguler tahun 2011 yang telah membantu kami. Kami berharap resume ini dapat memberikan kontribusi peningkatan kualitas pembelajaran di negara kita. Saran dan masukan yang bersifat membangun demi kemajuan dan keberhasilan, sangat kami harapkan dari pembaca untuk perbaikan, karena kami menyadari bahwa resume ini masih banyak kekurangannya.
Jakarta, Desember 2011
Penulis
PENDAHULUANPend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 2
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
1.1 Latar BelakangMenyelesaikan persamaan diferensial sering terkendala oleh masalah syarat awal atau syarat batas. Masalah syarat batas ini sering dijumpai pada penerapan persamaan diferensial, salah satunya adalah rangkaian listrik.
Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah syarat batas pada persamaan diferensial salah satu diantaranya adalah metode transformasi Laplace. Transformasi Laplace yang didefinisikan dengan Lf(t)= F(s) dapat digunakan untuk mencari solusi dari suatu sistem persamaan diferensial koefisien konstan.
Metode penyelesaian suatu rangkaian Listrik dengan menggunakan transformasi Laplace adalah dengan mengubah persamaan diferensial dari domain waktu (t) ke dalam domain frekuensi (s), memetakan masalah nilai awal ke dalam persamaan pembantu, menyelesaikan dengan perhitungan aljabar, dan menggunakan invers transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi khusus secara langsung dari sistem persamaan diferensial rangkaian listrik tersebut.
1.2. Tujuan1. Untuk memenuhi tugas Rangkaian Listrik 22. Mahasiswa dapat menyederhanakan rangkaian3. Mahasiswa dapat mencari solusi dari suatu sistem persamaan diferensial
koefisien konstan.
Pembahasan
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 3
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
Definisi transformasi laplace
Menurut fungsi waktu atau f(t) dapat di transformasi menjadi fungsi kompleks atau F(s)
Dimana s bilangan kompleks dari s = σ + j2πf atau σ + jω
σ = frekuensi neper = neper/detik
ω = frekuensi radian = radian/detik
Hasil Transformasi Laplace (TL) dari f(t) diberi nama F(s).
Tanda TL diberikan dengan L atau L, dan fungsinya ditulis
F(s) = L [f(t)]
Ket:
f(t) : nilai kompleks dari fungsi sebuah variabel t
F(s) : nilai kompleks dari fungsi sebuah variabel s
Invers Transformasi Laplace
Invers (bilateral) transform
L [f(t)] = F(s) = ∫0
∞
f ( t ) . e−st dt
Lf(t) F(s)
Notasi Tranformasi Laplace
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 4
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
Bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, seperti F(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dari fungsi ini dinyatakan oleh huruf kecil yang bersangkutan seperti f(s), g(s), y(s) dan seterusnya. Dalam hal-hal lain dapat juga dipergunakan garis bergelombang (∼) untuk menyatakan suatu transformasi Laplace. Jadi, misalnya transformasi Laplace dari u(t) adalah ~u(s).
F(s) = L [f(t)] variabel t tersirat untuk L
f(t) = L−1 [F(s)] variabel s tersirat untuk L−1
Dibantu dengan formula integral parsial, yaitu:
∫U V '=UV−∫U 'V
Contoh:
F(t) = sin wt
L [sin (ωt)] = ∫0
∞
sin (ωt ) . e−st dt
L [sin (ωt)] = 1−ω∫0
∞
e−st d .cos (ωt )
= 1−ω [ (e− stcos (ωt ))0
∞−s∫
0
∞
e−st cos (ωt )dt ]= [ 1
−ω(e−st cos (ωt ) )0
∞− sω∫0
∞
e− stcos (ωt )dt ] = 1
−ω (e−st .cos (ωt ) )0∞ −sω2 (e−st . sin (ωt ) )0
∞−s∫
0
∞
e−st .sin (ωt ) dt= 1
−ω (e−st .cos (ωt ) )0∞ −sω2 (e−st .sin (ωt ) )0
∞− s2
ω2∫0
∞
e− st . sin (ωt ) dt
= 1−ω (e−st .cos (ωt ) )0
∞ −sω2 (e−st .sin (ωt ) )0
∞− s2
ω2 L[sin (ωt)]
L [sin (ωt)] = 1
−ω (0-1) - sω2 (0-0) - s
2
ω2 L[sin(ωt)]
L [sin (ωt)] + s2
ω2 L[sin(ωt)] = 1ω
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 5
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
L [sin (ωt)] + [1+ s2
ω2 ] = 1ω
L [sin (ωt)] = 1ω [ ω2
s2+ω2 ] L [sin (ωt)] =
ωs2+ω2
Cara diatas menggunakan integral parsial dengan sin (ωt )yang dideferensialkan terlebih dahulu. Bisa dengan cara lain yaitu, dengan e−st dideferensialkan terlebih dahulu.
F(t) = sin wt
L [sin (ωt)] = ∫0
∞
sin (ωt ) . e−st dt
L [sin (ωt)] = 1−s∫0
∞
sin (ωt ) . d e−st
= 1−s [(e−st sin (ωt ) )0
∞+ω∫
0
∞
e−st .cos (ωt )dt ]= [ 1
−s(e−st . sin (ωt ) )0
∞−ωs ∫0
∞
e−st .cos (ωt )dt ] = 1
−s (e−st .sin (ωt ) )0∞ - ω
s2 (e−st .cos (ωt ) )0∞+ω∫
0
∞
e−st .sin (ωt )dt L [sin (ωt)] = 1
−s (0−0) - ωs2 (e−st .cos (ω t ) )0
∞+ω
2
s2 ∫0
∞
e−st . sin (ωt )dt
L[sin(ω t )] = −ωs2 (e−st .cos (ωt ) )0
∞+ω
2
s2 L[sin(ωt)]
L[sin(ω t )] −ω2
s2 L [sin (ωt)] = −ωs2 (e−st .cos (ωt ) )0
∞
L [sin (ωt)] [1−ω2
s2 ] = −ωs2 (0−1)
L [sin (ωt)] = ωs2 . [ s2
s2+ω2 ]Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 6
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
L [sin (ωt)] = ω
s2+ω2
Transformasi laplace dan fungsi cos (ωt ) dapat juga dilakukan dengan mgeubah fungsi sinosoidal menjadi fungsi eksponensial.
Menurut deret Euler :
e jω t=cosωt+ j sinωt
e− jωt=cosωt− j sinωt
f(t) = sin (ωt + φ)
Jawab:
L [sin (ωt + φ)] = ∫0
∞
sin (ωt+φ ) . e− stdt
L [sin (ωt+ φ)] = 1−s∫0
∞
sin (ωt+φ ) . d e−st
= 1−s [(e−st sin (ωt+φ ) )0
∞+ω∫
0
∞
e−st .cos (ωt+φ ) dt ]= [ 1
−s(e−st . sin (ωt+φ ) )0
∞−ωs∫0
∞
e−st .cos (ωt+φ )dt ] = 1
−s (e−st .sin (ωt+φ ) )0
∞ −ωs2 (e−st .cos (ωt+φ ) )0
∞+ω∫
0
∞
e−st . sin (ωt+φ )dt= 1
−s (e−st .sin (ωt+φ ) )0
∞−ωs2 (e−st .cos (ωt+φ ) )0
∞−ω2
s2 L[sin(ωt+φ)]
L [sin (ωt+φ)] [1−ω2
s2 ] = 1
−s (0−sinφ )−ωs2 (0−sinφ )
L [sin (ωt+φ ) ]=[ s2
s2+ω2 ] [ sinφs
+ωsinφs2 ]
L [sin (ωt+φ ) ]= s .sin φ+ωcos φs2+ω2
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 7
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
Contoh . Jika f (t )=dfdt.tentukanTransformasi Laplacenya (TL ) !
Jawab :
L[ dfdt ]=∫0∞
(dfdt )e−st dt ¿∫
0
∞
e−st df
¿ [e−st f ]∞0+s∫
0
∞
f ∙ e−st dt
¿0−f ¿
¿ s ∙F (s )−f ¿ f(t) = cos (ωt)jawab:
L [cos ωt] = F(s) = ∫0
∞
cos (ωt )est dt
= limT→∞
∫0
T
cos (ωt )e−st dt
= s
s2+ω2 + limT→∞
e−sT
s2+ω2 ωsinωT−scosωT ¿¿
= s
s2+ω2
f(t) = e−at sin (ωt )
jawab:
L [e−at sin (ωt )] = ω¿¿
contoh. Jika f ( t )=∫ f ( t )dt . tentukanTransformasi Laplacenya (TL )!
Jawab :
L[∫ f ( t )dt=∫0
∞
e−st ∫ f ( t )dt dt
=1−s [e−st∫ f ( t )dt ]0
∞ −∫0
∞
e−st f ( t )dt
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 8
f(o+) artinya harga nol untuk fungsi, jika didekati dari arah positif
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
=1−s
[ e−st¿¿
¿¿
=1s ∫ f ( t ) ]0++
1sF (s )
¿F (s )s
+∫ f ( t )dt ](0+)
s
∫ f ( t )dt ](0+) harga integral fungsi pada 0
∫ f ( t )dt ](0+) dapat ditulis f−1(0+)
Contoh
Seperti gambar disamping,muatan awal kapasitor = 0. Tentukan persamaan arusnya!
V=RI +qC
RI+1C ∫ i dt=v
>> transformasi laplace
L [RI ]+L [1C ∫ i dt ]=L [ v ]
RI S+I SC . s−f −1 0+
s =Vs
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 9
CR
V
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
f−1(0+ )=∫ idt|0+=0( t=0 , q=0 )
>> pembalikan transformasi Laplace
L−1 I( s )=L−1VR
1
S+1R .C
=VRL−1 1
S+1R .C
>> lihat tabel
I( t )=VRe−
tRC
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 10
CRSR
VI
CRSR
VI
sCRs
VI
sV
sCRI
sV
sCI
RI
s
s
s
s
sS
.1
1.1
.1
.1.
)(
)(
)(
)(
)()(
R C
Vi(t)
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
Latihan Soal !1. Tentukan L cos3 t !
L [cos (𝑎t)] = ss2+a2
L [ƒ(t)] = L [cos (3t)]
= ss2+32
= ss2+9
2. Pada sifat perubahan Skala dalam Laplace, L F ( t ) =f (s) maka L F (a ∙ t ) =1a∙ f ( s
a).
Tentukan L sin 3 t ! Jawab:
f ( s )=Lsin t = 1s2+12=
1s2+1
f ( s3 )= 1¿¿
∴L sin 3 t =13∙ f (1
3)
¿13∙ 9s2+9
= 3s2+9
3. Jika diketahui dari gambar RC di samping,
V=i (t )R+ 1C∫ i (t )dt. Tentukanlah persamaan i(t)!
£ [V ]=R£ [ i (t ) ]+ 1C£ [∫
0
∞
i ( t )dt ]
VS
=RI (s )+ 1C
[I ( s)S
]
VS
=RI (s )+ I (s )SC
I ( s )=R+ 1SC =V
S
I ( s )=VS∙ 1
R+ 1SC
=V ∙ 1
SR+ 1C
=VR∙ 1
S+ 1RC
∴i ( t )=VR∙e
−tRC ampere
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 11
R C+ +- -
V
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
4. Dari gambar di samping ini, diketahui R=10Ω, C=1F dengan muatan Awal kapasitor = 0. Tentukan persamaan arusnya!Jawab:
V=RI + qC
RI+ 1C∫ idt=V
10 I+ 11∫ i dt=5
Transformasiℒ
L [10 I ]+L ¿
10 I S+¿
f−1¿
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 12
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
Daftar pustaka
Catatan Rangkaian Listrik 2 materi ke-8, dosen pembimbing Faried WadjdiD. Spiegel, Murray R, P.Silaban, HJ Wospakrik. (1995). Transformasi Laplace. Jakarta: Penerbit Erlangga. Spiegel, Murray R. (1985). Teori dan Soal-Soal Transformasi Laplace. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 13
RANGKAIAN LISTRIK 2 2 Desember 2011
TABEL
f(t) F(s)
1 1s s > 0
t 1s2 s > 0
t n n !sn+1 s > 0
n = 0,1,2,....
eat 1s−a s > 0
sin ata
s2+a2 s > 0
cos ats
s2+a2 s > 0
sinh ata
s2−a2 s > ¿a∨¿
cosh at s
s2−a2 s > ¿a∨¿
Pend. Teknik Elektronika UNJ’10 Page 14
