matematika.fkip.unsri.ac.idmatematika.fkip.unsri.ac.id/.../01/rps-sap-manasaa1.docx · Web...

KEMENTERIAN RISET & TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGIUNIVERSITAS SRIWIJAYA

PENDIDIKAN MATEMATIKA - FKIPJalan Palembang-Prabumulih Km 32 Indralaya Ogan Ilir Sumatera Selatan

Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

RENCANA PROGRAM SEMESTER(RPS)

I. Deskripsi Mata Kuliah: Mata kuliah Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas merupakan mata kuliah lanjutan dari mata kuliah Persamaan Diferensial. Di mana mata

kuliah ini menekankan pada penentuan bentuk persamaan diferensial dengan memberikan batas dari nilai awal dan batasnya. Melalui mata kuliah ini diharapkan mahasiswa memahami model matematika dari suatu masalah nyata yang berbentuk persamaan diferensial biasa dengan atau tanpa nilai awal serta mampu memecahkan masalah nyata yang sederhana dalam model matematika berbentuk persamaan diferensial biasa dengan nilai awal dan persamaan diferensial parsial dengan nilai awal atau/dan nilai/syarat batas.

II. Capaian Pembelajaran (learning outcomes) :. Mahasiswa mampu memahami masalah nilai awal dan syarat batas dalam penyelesaian persamaan diferensial Mahasiswa mampu memahami cara penyelesaian deret persamaan diferensial, persamaan legendre, deret Fourier, serta transformasi

Laplace Mahasiswa memiliki sikap bertanggung jawab dalam menyelesaikan tugas dan bekerja sama.

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode : Masalah nilai awal syarat batas/GMA 15326Jumlah SKS : 3 SKSSemester : 6Dosen Pengampu : 1. Dr. Somakim

2. Meryan Sumayeka, M.Si



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

No.

Capaian Pembelajara

n (CP) Pertemuan

Kemampuan Akhir Capaian Pembelajaran

Bahan Kajian/ Materi

Pembelajaran

Metode Pembelajaran

Pengalaman Belajar

Kriteria Penilaian (Indikator) Waktu

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)1-2 Memahami

tentang deret pangkat dan mampu menentukan solusi dari persamaan diferensial dengan menggunakan deret pangkat.

1. Dapat memahami definisi persamaan diferensial biasa

2. Dapat menentukan penyelesaian umum PD biasa

3. Dapat menyelesaikan solusi persamaan diferensial dengan deret pangkat

1. Definisi persamaan diferensial biasa

2. Definisi masalah nilai awal syarat batas

3. Menyelesaikan persamaan diferensial (PD) dengan nilai awal atau syarat batas

4. Penyelesaian persaamaan diferensial dengan deret pangkat

Metode diskusi, dan tanya-jawab.

Mendiskusikan definisi persamaan diferensial biasa, menentukan penyelesaian umum PD biasa, menyelesaikan solusi persamaan diferensial dengan deret pangkat

Teknik Penilaian:1. Pengetahuan 2. Keterampilan3. Sikap

6 x 50 Menit

3-4 Mampu memahami

1. Dapat memahami

1. Persamaan Legendre

Metode diskusi, dan

Mendiskusikan persamaan

Teknik Penilaian:1. Pengetahuan

6 x 50 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

tentang persamaan Legendre

persaamaan Legendre

2. Dapat menentukan solisi persaamaan legendre

2. Solusi persamaan Legendre

tanya-jawab. legendre, menentukan penyelesaian solusi persamaan legendre

2. Keterampilan3. Sikap

5-6 Mampu memahami tentang deret Fourier

1. Dapat memahami deret Fourier Sinus

2. Dapat memahami deret Fourier Cosinus

1. Bentuk umum deret Fourier

2. Deret Fourier Sinus

3. Deret Fourier Cosinus


Mendiskusikan menentukan penyelesaian deret Fourier sinus dan cosinus

Teknik Penilaian:1. Pengetahuan2. Keterampilan3. Sikap

6 x 50 Menit

7-8 Mampu memahami dalam menentukan transformasi Laplace

1. Dapat memahami tentang transformasi Laplace

2. Dapat menentukan transformasi inversnya

1. Transformasi Laplace

2. Invers dari transformasi Laplace


Mendiskusikan menentukan penyelesaian terhadap transformasi Laplace, dan menetukan tranformasi inversnya

Teknik Penilaian:1. Pengetahuan2. Keterampilan3. Sikap

6 x 50 Menit

9 Ujian Tengah Semester 3x 50 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

10-11 Mampu memahami menyelesaikan solusi persamaan diferensial dengan transformas Laplace

Dapat memahami menyelaesaian dalam menentukan solisi persaamaan diferesial dengan transformasi Laplace

Persaaman diferensial dengan transformasi Laplace


Mendiskusikan menentukan penyelesaian solusi persamaan diferesial dengan transformasi Laplace

Teknik Penilaian:1. Pengetahuan2. Keterampilan 3. Sikap

6 x 50 Menit

12-13 Mampu memahami menyelesaikan solusi system persamaan diferensial dengan transformas Laplace

Dapat memahami menyelaesaian dalam menentukan solisi system persaamaan diferesial dengan transformasi Laplace

Sistem persaaman diferensial dengan transformasi Laplace


Mendiskusikan menentukan penyelesaian solusi system persamaan diferesial dengan transformasi Laplace

Teknik Penilaian:1. Pengetahuan 2. Keterampilan 3. Sikap

6 x 50 Menit

14-15 Mampu memahami transformasi Laplace dari fungsi tangga

Dapat menentukan penyelesaian transformasi Laplace dari fungsi tangga.

1. Fungsi tangga

2. Transformasi Laplace


Mendiskusikan dalam menentukan transformasi Laplace dari suatu fungsi tangga

Teknik Penilaian:1. Pengetahuan 2. Keterampilan 3. Sikap

6 x 50 Menit

16. Ujian Akhir Semester 3 x 50 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Referensi:Hapizah dan Trimurti Saleh Modul Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas (2011). Universitas Sriwijaya, Palembang

Penetapan Nilai Akhir Nilai Akhir (NA) = Total nilai persubkompetensiKeteranganKriteria penentuan nilai subkompetensi adalah sebagai berikut.

Komponen BobotTugas 20%Sikap/Absensi 10 %UTS 30%UAS 40%

Mengetahui Indralaya, Januari 2016Ketua Prodi, Dosen Pengasuh

Dra. Cecil Hiltrimartin,M.Si Dr. SomakimMeryan Sumayeka, M.Si



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN

A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Memahami tentang deret pangkat dan mampu menentukan solusi dari persamaan diferensial dengan menggunakan deret pangkat.

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator) Dapat memahami definisi persamaan diferensial biasa Dapat menentukan penyelesaian umum PD biasa Dapat menyelesaikan solusi persamaan diferensial dengan deret pangkat

C. Bahan Kajian Pembelajaran Definisi persamaan diferensial biasa Definisi masalah nilai awal syarat batas Menyelesaikan persamaan diferensial (PD) dengan nilai awal atau syarat batas Penyelesaian persaamaan diferensial dengan deret pangkat

D. Metode dan Model Pembelajaran

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode : Masalah nilai awal syarat batas/GMA 15326Jumlah SKS : 3 SKSSemester : 6JP/Pertemuan Ke- : 3 JP/Ke-1& 2Dosen Pengampu : 1. Dr. Somakim




Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Metode diskusi, tanya-jawab, dan penugasan.

E. Pengalaman PembelajaranPertemuan 1

LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN WaktuKegiatan Awal

Dosen mengawali pembelajaran dengan salam dan guru mengajak mahasiswa berdoa Dosen menanyakan kabar dan kesiapan mahasiswa dalam mengikuti mata kuliah Masalah nilai awal syarat batas. Dosen memperkenalkan diri selaku pengajar mata kuliah Masalah nilai awal syarat batas serta mengecek kehadiran

mahasiswa sekaligus perkenalan terhadap mahasiswa dan sebagai kegiatan apersepsi, mahasiswa diajak bertanya jawab tentang pengalaman-pengalaman yang mengesankan bagi mereka

Dosen memberikan motivasi kepada mahasiswa bahwa pentingnya mata kuliah Masalah nilai awal syarat batas Menyampaikan tujuan pembelajaran. Menyampaikan prosedur pembelajaran dengan belajar secara kelompok dan individu

20 menit

Kegiatan Inti Eksploration (Eksplorasi)Dosen menjelaskan:

tujuan mata kuliah ruang lingkup mata kuliah kebijaksanaan pelaksanaan perkuliahan kebijakan penilaian hasil belajar Tugas yang harus diselesaikan Buku ajar yang digunakan dan sumber belajar lainnya Serta membagikan mahasiswa menjadi kelompok

120 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Elaboration (Elaborasi) Dosen menanyakan apa yang dimaksud definisi persamaan diferensial biasa, serta bagaimana menentukan

penyelesaian umum PD biasa, menyelesaikan solusi persamaan diferensial dengan deret pangkat Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di modul Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

kehidupan

Confirmation (Konfirmasi) Dosen mengecek dan menanyakan kepada mahasiswa apa saja yang tidak di pahami atau yang ingin ditanyakan

terhadap apa yang disajikan oleh dosen.

Kegiatan Akhir Dosen menanyakan kembali materi yang telah dipelajari. Mahasiswa menyimak dan membuat kesimpulan. Dosen memberikan tugas untuk membaca materi pertemuan berikutnya.

20 menit

Pertemuan 2LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN Waktu

Kegiatan Awal Mengkondisikan kelas. Dosen menanyakan kehadiran mahasiswa Dosen melakukan apersepsi. Menyampaikan tujuan pembelajaran.

20 menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Dosen membagi mahasiswa kedalam kelompok

Kegiatan Inti Eksploration (Eksplorasi)

Dosen bersama-sama membahas tugas yang diberikan pada pertemuan sebelumnya

Elaboration (Elaborasi) Dosen memberika beberapa soal-soal menentukan penyelesaian umum PD biasa, menyelesaikan solusi persamaan

diferensial dengan deret pangkat untuk melatih para mahasiswa Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

kehidupan



110 Menit


20 Menit

F. Alat/Bahan/Sumber Belajar LCD



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Buku Internet

G. Penilaian Penilaian Hasil Belajar

No Soal Jawaban Bobot1 Tentukan solusi dari

persamaan diferensial y '=2 xy dengan deret pangkat

Jika kita menentukan solusi dari persamaan diferensial di atas dengan cara integral,

maka akan di dapatkan solusi sebagai berikut:

y '=2 xy

dydx

=2xy

dy=2xy dx

∫ 1y

dy=∫ 2 x dx

ln y+C 1=x2+C 2

ln y=x2+C

y=ex2

+C

Yang harus kita dapatkan dalam hal mencari solusi persamaan y '=2 xy dengan deret

pangkat adalah y=ex2

+C .

Sesuai dengan langkah-langkah menentukan solusi persamaan diferensial dengan deret

100



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

pangkat, yang dilakukan pertama adalah mensubstitukan bentuk sigma dari turunan.

Dari contoh ini hanya mengandung turunan pertama, sehingga yang disubstitusikan

hanya

y '=∑n=1

∞

n an xn−1Perhatikan langkah-langkah yang dilakukan berikut ini:

y '=2 xy (Ganti y ' dan y dalam bentuk

sigma)

∑n=1

∞

nan xn−1=2 x∑n=0

∞

an xn (Pindahkan 2 x dalam sigma)

∑n=1

∞

nan xn−1=∑n=0

∞

2 an xn+1 (Samakan pangkat dari x, dengan

mengubah xn−1 menjadi xn+1, atau

mengubah xn+1 menjadi xn−1)

∑n=1

∞

nan xn−1= ∑n−2=0

∞

2an−2 x(n−2)+1 ( Jika xn+1 diubah menjadi xn−1,

maka ganti semua n pada ruas

kanan menjadi n−2)

∑n=1

∞

nan xn−1=∑n=2

∞

2 an−2 xn−1 (Variabel sudah sama, selanjutnya

merubah batas bawah. Yang

diubah adalah n=1 menjadi n=2,

dengan cara mengantikan seriap n



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

di ruas kiri dengan 1).

a1+∑n=2

∞

nan xn−1=∑n=2

∞

2 an−2 xn−1 (Ambil koefisien dari masiang-

masing variabel).

a1=0

n an xn−1=2 an−2 xn−1

nan=2 an−2

an=2 an−2

n, n ≥2

(bentuk rekursif)

n=2→ a2=2 a0

2=a0

n=3→a3=2a1

3=0

n=4→ a4=2 a2

4=1

2a

0

(Ganti n dimulai dari 2, karena

batas bawahnya adalah 2, jika

diperhatikan untuk n ganjil akan

diperoleh hasil 0).

y=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+a4 x4+…+an xn+…

y=a0+0 x+a0 x2+0x3+ 12

a0

x4+…

y=a0(1+x2+12

x4+…)=a0 ex2

(Substitusikan masing-masing

koefisien ke bentuk umum deret

pangkat, (1+x2+12

x 4+…)=e x2

).



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


persamaan

diferensial di bawah

ini dengan deret

pangkat!

y ' '+ y=0,

−∞<x<∞

Dari persamaan di atas, yang di substitusi adalah

y ' '=∑n=2

∞

n (n−1 )an xn−2

dan

y=∑n=0

∞

an xn

Diperoleh persamaan

∑n=2

∞

n(n−1)an xn−2+∑n=0

∞

an xn=0dengan mengganti n dengan n+2, diperoleh:

∑n=0

∞

(n+2 )(n+1)an+2 xn+∑n=0

∞

an xn=0

Karena batas dan variabelnya sudah sama maka persamaan di atas dapat ditulis

menjadi:

∑n=0

∞

[ (n+2 ) (n+1 ) an+2+an ] xn=0

Dengan n=0 , 1, 2 , 3 ,… di peroleh persamaan (n+2 ) (n+1 ) an+2+an=0.

Persamaan ini mengarah pada hubungan rekurensi (pengulangan); menurut hubungan

ini suku genap (a0 , a2 , a4 , …) dan suku ganjil (a1 , a3 , a5 ,…) dapat ditentukan secara

100



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

terpisah. Dari persamaan tersebut diperoleh:

Untuk suku genap adalah

a2=−a0

2∙ 1=

−a0

2 !

a4=a2

4 ∙3=

a0

4 ∙3 ∙ 2∙ 1=

a0

4 !

a6=−a4

6 ∙5=

−a0

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙3 ∙2∙ 1=

−a0

6 !

Dan seterusnya.

Secara umum jika n=2 k , maka:

an=a2k=(−1 )k

(2 k )!a0 ;k=1, 2 ,3 ,….

Dengan cara yang sama untuk suku ganjil adalah

a3=−a1

3 ∙ 2=

−a1

3!

a5=a3

5 ∙4=

a1

5 ∙ 4 ∙3 ∙ 2=

a1

5 !

a7=−a5

7 ∙ 6=

−a1

7 !

Dan seterusnya.



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Secara umum jika n=2 k+1 , maka:

an=a2k +1=(−1 )k

(2k+1 )!a1 ;k=1,2 , 3 ,…

Jadi, deret solusi yang diinginkan diperoleh dengan mensubstitusikan nilai an ke bentuk

umum deret pangkat (pers.(1)).

y=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+a4 x4+…+an xn+…

y=a0+a1 x−a0

2!x2−

a1

3 !x3+

a0

4 !x4+…+

(−1 )n

(2n )!a0 x2 n+

(−1 )n

(2 n+1 ) !a1 x2 n+1+…

y=a0(1− x2

2 !+ x4

4 !−…+

(−1 )n

(2n )!x2n)+a1(x− x3

3 !+

(−1 )n

(2n+1 )!x2n+1+…)

y=a0∑n=0

∞ (−1 )n

(2 n )!x2 n+a1∑

n=0

∞ (−1 )n

(2 n+1 )!x2n+1

Berdasarkan deret Taylor

∑n=0

∞ (−1 )n

(2 n ) !x2 n=cos x dan∑

n=0

∞ (−1 )n

(2n+1 ) !x2 n+1=sin x

Jadi, solusi dari y ' '+ y=0 adalah y=a0 cos x+a1 sin x



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Penilaian KinerjaMeliputi partisipasi dalam bertanya, menjawab, dan memberi tanggapan.

Catatan Diskusi Kelas.NO Nama/ NIM Pertanyaan Jawaban Tanggapan1

Pembobotan nilai keaktivan mahasiswa dalam kegiatan belajar mengajar

No. Aspek Penilaian Bobot Tertinggi

Nilai Siswa

1. Siswa aktif bertanya dan berargumen secara kritis

10

2. Siswa cukup aktif bertanya dan berargumen secara kritis

7

3. Siswa kurang aktif bertanya dan berargumen secara kritis

5

4. Siswa tidak aktif bertanya dan berargumen secara kritis

2

Perhitungan nilai akhirNilai akhir : Skor yang diperoleh X 100



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Mengetahui Indralaya, Januari 2016

Ketua Prodi, Dosen Pengasuh




Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mampu memahami tentang persamaan Legendre

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator) Dapat memahami persaamaan Legendre Dapat menentukan solisi persaamaan legendre

C. Bahan Kajian Pembelajaran Persamaan Legendre Solusi persamaan Legendre

D. Metode dan Model PembelajaranMetode diskusi, tanya-jawab, dan penugasan.

E. Pengalaman Pembelajaran

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode : Masalah nilai awal syarat batas/GMA 15326Jumlah SKS : 3 SKSSemester : 6JP/Pertemuan Ke- : 3 JP/Ke-3& 4Dosen Pengampu : 1. Dr. Somakim




Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Pertemuan 3





20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen menanyakan bagaimana bentuk dari persamaan legendre, serta bagaimana menentukan penyelesaian solusi

persamaan legendre Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

kehidupan

Confirmation (Konfirmasi)

110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Dosen mengecek dan menanyakan kepada mahasiswa apa saja yang tidak di pahami atau yang ingin ditanyakan terhadap apa yang disajikan oleh dosen.


20 Menit


Kegiatan Awal Mengkondisikan kelas. Dosen menanyakan kehadiran mahasiswa Dosen melakukan apersepsi. Menyampaikan tujuan pembelajaran. Dosen membagi mahasiswa kedalam kelompok

20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen memberika beberapa soal-soal menentukan penyelesaian solusi persamaan legendre untuk melatih para

mahasiswa Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan

110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

kehidupan




20 Menit

H. Alat/Bahan/Sumber Belajar LCD Buku Internet

I. Penilaian Penilaian Hasil Belajar

No Soal Jawaban Bobot1 1. Tentukan P0 ( x ),

P1 (x ), P2 (x ),

P3 ( x) !

Untuk menentukan P0 ( x ), berarti nilai l=0

P0 ( x )= 1200 !

d0

d x0 ( x2−1 )0=1

Untuk menentukan P1 (x ), berari nilai l=1

100



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

P1 (x )= 121 1!

d1

d x1 ( x2−1 )1=12

ddx

( x2−1 )=12

2x=x

Untuk menentukan P2 (x ), berari nilai l=2

P2 (x )= 122 2!

d2

d x2 ( x2−1 )2= 122 2!

d2

d x2 ( x4−2 x2+1 )= 122 2!

(12 x2−4 )

¿12

(3 x2−1 )

Untuk menentukan P3 ( x ), berari nilai l=3

P3 ( x)= 123 3 !

d3

d x3 ( x2−1 )3= 1233 !

d3

d x3 =1

23 3 !(120 x3−72 x )=1

2(5 x3−3 x )

No Soal Jawaban Bobot1 Nyatakan dalam

polinom Legendre persamaan 2 x3+x2+3=0

Untuk menentukan polinomnya, yang harus dilakukan adalah menyatakan variabel

dengan polinomnya. Untuk konstanta yang ditentukan adalah P0 ( x ), Untuk x yang

ditentukan adalah P1 (x ), untuk x2 yang ditentukan adalah P2 (x ), untuk x3 yang

ditentukan adalah P3 ( x ), dan seterusnya untuk xn yang ditentukan adalah Pn ( x ).

100



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

P3 ( x)=12

(5 x3−3 x )

5 x3=2 P3 ( x )+3 x

Karena x=P1 ( x), maka 5 x3=2 P3 ( x )+3 P1 ( x ) sehingga x3=15 (2 P3 (x )+3 P1 (x ) ).

Dengan cara yang sama diperoleh x2=13 (2 P2 (x )+P0 ( x ) ).

Sehingga 2 x3+x2+3=0 dinyatakan menjadi

2( 15 (2P3 ( x )+3 P1 ( x )))+ 1

3 (2 P2 ( x )+P0 ( x ) )+3 P0 ( x )=0, dan disederhanakan sehingga

didapat 45

P3

(x )+ 23

P2 ( x)+ 65

P1 ( x )+103

P0 ( x )=0





Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644



Nilai Siswa


10


7


5


2


Skor maksimal



Dra. Cecil Hiltrimartin,M.Si Dr. Somakim



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Meryan Sumayeka, M.Si


A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mampu memahami tentang deret Fourier

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator) Dapat memahami deret Fourier Sinus Dapat memahami deret Fourier Cosinus

C. Bahan Kajian Pembelajaran Bentuk umum deret Fourier Deret Fourier Sinus Deret Fourier Cosinus

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode : Masalah nilai awal syarat batas/GMA 15326Jumlah SKS : 3 SKSSemester : 6JP/Pertemuan Ke- : 3 JP/Ke-5 & 6Dosen Pengampu : 1. Dr. Somakim




Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644







20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen menanyakan bagaimana menentukan penyelesaian deret Fourier sinus Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL

110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan




20 Menit



20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen menanyakan bagaimana menentukan penyelesaian deret Fourier cosinus Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok

110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

kehidupan




20 Menit

F. Alat/Bahan/Sumber Belajar LCD Buku Internet


No Soal Jawaban Bobot



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

1

f ( x )={0 ,−π< x<0

1, 0<x< π2

0 , π2< x<π

f ( x )= 14+ 1

π ( cos x1

−cos3 x3

+ cos5 x5

−…)+ 1π ( sin x

1+ 2sin2 x

2+ sin 3 x

3+ sin5 x

5+…)25

2

f ( x )={0 ,−π< x< π2

1 , π2

<x<π

f ( x )= 14− 1

π ( cos x1

− cos3 x3

+ cos5 x5

−…)+ 1π (sin x

1−2sin 2 x

2+ sin 3x

3+ sin5 x

5−2 sin 6 x

6+…)25

3

f ( x )={−1 ,−π<x< π2

1 , π2< x<π

f ( x )=1+2(sin x−12

sin 2x+ 13

sin 3 x−14

sin 4 x+….) 25

4

f ( x )={0 ,−π<x<0

−1 , 0<x< π2

1 , π2

<x<π

f ( x )= π4−2

π (cos x+ cos3 x32 + cos5 x

52 −…)−(sin x+ sin 2 x2

+ sin3 x3

+…) 25

No Soal Jawaban Bobot



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

1

f ( x )={ 1 ,−π<x← π2

, dan0<x< π2

0 ,−π2

<x<0 , dan π2<x<π

f ( x )= 14− 1

π ( cos x1

− cos3 x3

+ cos5 x5

−…)+ 1π (sin x

1−2sin 2 x

2+ sin 3x

3+ sin5 x

5−2sin 6 x

6+…)25

2 f ( x )={0 , −π<x<0x ,0< x<π f ( x )= π

4− 2


52 −…)+(sin x− sin 2 x2

+ sin3 x3

+…)25

3 f ( x )=1+x ,−π<x<π f ( x )=1+2(sin x−12

sin 2 x+ 13

sin 3 x−14

sin 4 x+….) 25

4 f ( x )={x+π , −π<x<00 ,0<x<π f ( x )= π

4−2


52 −…)−(sin x+ sin 2 x2

+ sin3 x3

+…)25






Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


Nilai Siswa


20


15


10


5


Skor maksimal






Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mampu memahami dalam menentukan transformasi Laplace

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator) Dapat memahami tentang transformasi Laplace Dapat menentukan transformasi inversnya

C. Bahan Kajian Pembelajaran Transformasi Laplace Invers dari transformasi Laplace Deret Fourier Cosinus


E. Pengalaman Pembelajaran





Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Pertemuan 7





20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen menanyakan bagaimana menentukan penyelesaian terhadap transformasi Laplace, dan menetukan tranformasi

inversnya Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

kehidupan


110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644



20 Menit



20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen memberika beberapa soal-soal menentukan penyelesaian terhadap transformasi Laplace, dan menetukan

tranformasi inversnya untuk melatih para mahasiswa Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan

110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


kehidupan




20 Menit



No Soal Jawaban Bobot1 Tentukan transformasi Laplace

dari f ( t )=t n untuk n=0,1,2Untuk n=0, maka f (t )=1

L (f ( t ))=F ( p)=∫0

∞

f (t ) e− pt dt=∫0

∞

1 ∙ e−pt dt=−1p

e− pt|∞0 = 1p( p>0)

Untuk n=1, maka f (t )=t

50



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

L (f ( t ))=F ( p)=∫0

∞

f (t ) e− pt dt=∫0

∞

t ∙ e−pt dt= 1p2 (p>0)

Untuk n=2, maka f (t )=t 2

L (f ( t ))=F ( p)=∫0

∞

f (t ) e− pt dt=∫0

∞

t2 ∙e−pt dt= 2p3 ( p>0)

Bila diperhatikan untuk beberapa bilangan bulat n, didapatkan

transformasi Laplace untuk f (t )=t n, yaitu:

F ( p )= n!pn+1 ( p>0)

2 1. Tentukan transformasi

Laplace dari f (t )=sin2 tL (f ( t))=F ( p )=∫

0

∞

f (t ) e−pt dt=∫0

∞

sin 2 t ∙ e−pt dt= 2p2+4

50

No Soal Jawaban Bobot1 Tentukan transformasi Laplace

dari f ( t )=t cos2 t

Berdasarkan L 12diketahui a=2 sehingga

F ( p )= p2−4(p2+4)2

50



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

2 Tentukan transformasi Laplace

dari f ( t )=t2 e−t

Berdasarkan L 6diketahui k=2 ,dan a=1 sehingga

F ( p )= k !(p+a)k+1 =

2 !( p+1)2+1 =

2( p+1)3

50





Nilai Siswa


20


15


10


5



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


Skor maksimal



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644






Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


A. Capaian Pembelajaran PertemuanMahasiswa mengerjkana UTS

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaranMahasiswa mampu menjawab soal dengan baik (jelas dan terpercaya)

C. Bahan Kajian PembelajaranMengerjakan UTS

D. Metode PembelajaranTertulisPenyajian oleh dosen. pemberian tugas, diskusi kelas, dan tanya jawab


Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode : Masalah nilai awal syarat batas/GMA 15326Jumlah SKS : 3 SKSSemester : 6JP/Pertemuan Ke- : 3 JP/Ke-9Dosen Pengampu : 1. Dr. Somakim




Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


Mengkondisikan kelas. Dosen menanyakan kehadiran mahasiswa Menyampaikan prosedur UTS secara individu

20 Menit

Kegiatan Inti Mahasiswa memulai UTS

70 menit

Kegiatan Akhir Dosen memberikan tugas untuk membaca materi pertemuan berikutnya.

20 Menit

F. Alat/Bahan/Sumber Belajar

LCD Buku Interne

t

G. Penilaian Penilai

an Hasil Belajar

No Soal Jawaban Bobot1 Ekspansikan fungsi berikut dalam

deret Legendre f ( x )={0 ,−1<x<01 ,0<x<1

f ( x )

x

-1 1

∫−1

1

f ( x ) Pm ( x ) dx=∑l=0

∞

cl∫−1

1

Pl ( x ) Pm ( x )dx=c l2

2 m+1

∫−1

1

f ( x ) P0 ( x ) dx=c0∫−1

1

[ P0 ( x ) ]2dx atau∫0

1

dx=c0∙ 2 , c0=12

∫−1

1

f ( x ) P1 ( x ) dx=c1∫−1

1

[P1 ( x ) ]2 dx atau∫0

1

x dx=c1 ∙ 23

, c1=34

∫−1

1

f ( x ) P2 ( x ) dx=c2∫−1

1

[ P2 ( x ) ]2 dxatau∫0

1

( 32

x2−12 )dx=c2 ∙ 2

5, c2=0

Dan seterusnya....

Sehingga deret Legendrenya adalah

f ( x )=12

P0 ( x )+ 34

P1 ( x )− 716

P3 ( x )+ 1132

P5 ( x )+…

20

2 Nyatakan dalam bentuk deret

Fourier fungsi yang ditampilkan

pada gambar berikut:->

f(x)

1

-2ᴨ -ᴨ 0 ᴨ 2ᴨ 3ᴨ X

Penyelesaian

Fungsi di atas berperiode 2 π , dan dinyatakan dalam bentuk

f ( x )={0 ,−π< x<01 , 0<x<π

an=1π ∫

−π

π

f ( x ) cosnx dx=1π [∫

−π

0

0 ∙cosnx dx+∫0

π

1∙ cosnx dx ]¿ 1

π∫0π

cosnx dx={1π

∙ 1n

sin nx|π0=0 , untuk n≠ 0

1π

∙ π=1, untuk n=0

Sedangkan nilai bn diperoleh

30



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


Skor maksimal






Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mampu memahami menyelesaikan solusi persamaan diferensial dengan transformas Laplace

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator) Dapat memahami menyelaesaian dalam menentukan solisi persaamaan diferesial dengan transformasi Laplace

C. Bahan Kajian Pembelajaran Persaaman diferensial dengan transformasi Laplace Invers dari transformasi Laplace Deret Fourier Cosinus







Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644





20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen menanyakan bagaimana menentukan penyelesaian solusi persamaan diferesial dengan transformasi Laplace Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

kehidupan



110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


20 Menit



20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen memberika beberapa soal-soal menentukan penyelesaian solusi persamaan diferesial dengan transformasi

Laplace untuk melatih para mahasiswa Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

kehidupan




20 Menit




persamaan

y ' '−2 y '+8 y=0 , y (0 )=3 , y' (0 )=6

L { y ' '−2 y '+8 y }=L {0 }

{( p2Y −py (0)− y ' (0))−2 ( pY− y (0))+8Y }=0

{( p2Y−3 p−6 )−2 ( pY −3 )+8 Y }=0

( p2−2 p+8 )Y =3 p

50



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Y= 3 p( p2−2 p+8 )

L−1 (Y )=L−1 { 3 p( p2−2 p+8 ) }=L−1 { 3 p

(( p−1)2+7 ) }=L−1 { 3 p((p−1)2+ (√7 )2 ) }

L−1 (Y )=L−1 { 3 p(( p−1)2+(√7 )2 ) }=L−1 { 3 ( p−1 )+3

((p−1)2+ (√7 )2 )}L−1 (Y )=L−1 { 3 ( p−1 )

(( p−1)2+(√7 )2 )+ 3√7

√7 (( p−1)2+(√7 )2 ) }f ( t )=3 e t cos √7 t+ 3

√7et sin√7 t

2 y ' '−4 y=4 e2 t,

y (0 )=0 , y ' (0 )=1f ( t )=t e3 t−1

4e−t 50

No Soal Jawaban Bobot1 y ' '−4 y1+4 y=4,

y (0 )=0 , y ' (0 )=−2f (t )=et cos t+e t sin t 50

2 y ' '+4 y '+5 y=2e−2t cos t, f ( t )=t 2+e t sin 2t 50



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644



1. Pembobotan nilai keaktivan mahasiswa dalam kegiatan belajar mengajar


Nilai Siswa


10


7


5


2



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


Skor maksimal






Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mampu memahami menyelesaikan solusi system persamaan diferensial dengan transformas Laplace

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator) Dapat memahami menyelaesaian dalam menentukan solisi system persaamaan diferesial dengan transformasi Laplace

C. Bahan Kajian Pembelajaran Sistem persaaman diferensial dengan transformasi Laplace







Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644





20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen menanyakan bagaimana menentukan penyelesaian solusi system persamaan diferesial dengan transformasi

Laplace Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

kehidupan



110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


20 Menit



20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen memberika beberapa soal-soal menentukan penyelesaian solusi system persamaan diferesial dengan

transformasi Laplace untuk melatih para mahasiswa Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

kehidupan




20 Menit



No Soal Jawaban Bobot1 Tentukan solusi dari sistem

persamaan berikut

{ y '+2 z=12 y−z '=2 t

z (0 )=1y (0 )=0

Yang dilakukan pertama kali adalah menentukan transformasi Laplace dari

masing-masing persamaan.

L { y '+2 z }=L {1 }

{( pY − y (0 ) )+2Z }=1p

100



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

pY +2Z= 1p ....................... (1)

L {2 y−z ' }=L {2 t }

2 Y – ( pZ−z (0 ))= 2p2

2 Y – ( pZ−1)= 2p2

2 Y−pZ= 2p2−1

2 Y−pZ=2−p2

p2 .................. (2)

Dari pers. (1) dan (2) diselesaikan dengan determinan

{ pY +2Z=1p

2Y −pZ=2−p2

p2



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Z=

|p 1p

2 2−p2

p2 ||p 22 −p|

=

2−p2

p− 2

pp (−p )−2 (2 )

= −p−p2−4

= pp2+4

= pp2+22

L−1 {Z }=z ( t )=cos2 t

Untuk menentukan Y , substitusikan Z ke pers. (1) atau (2)

pY +2Z= 1p

pY +2 pp2+4

= 1p

pY= 1p−2 p

p2+4= p2+4−2 p2

p( p2+4)= 4−p2

p( p2+4 )

Y= 4−p2

p2( p2+22)= 4

p2( p2+22)− 1

( p2+22)=1

2(2 )3

p2( p2+22)−1

22

( p2+22)

L−1 {Y }= y ( t )=12

(2t−sin 2 t )−12

sin 2t=t−sin2 t



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

No Soal Jawaban Bobot1 { y ' '+z ' '−z '=0

y '+z '−2 z=1−et

y (0 )=0 , y ' (0 )=1z (0 )=1, z ' (0 )=1

y (t )=t e2 t−e2 t sin 2 t 50

2 {y '−z '− y=cos ty '+ y−2 z=0

y (0 )=−1z (0 )=0

y ( t )=e2t cos2t−e3 t sin 3 t 50



2. Pembobotan nilai keaktivan mahasiswa dalam kegiatan belajar mengajarNo. Aspek Penilaian Bobot Nilai



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Tertinggi Siswa1. Siswa aktif bertanya dan berargumen secara

kritis10


7


5


2


Skor maksimal






Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


A. Capaian Pembelajaran Pertemuan Mampu memahami transformasi Laplace dari fungsi tangga

B. Kemampuan akhir capaian pembelajaran (Indikator) Dapat menentukan penyelesaian transformasi Laplace dari fungsi tangga.

C. Bahan Kajian Pembelajaran Fungsi tangga Transformasi Laplace






Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644






20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen menanyakan bagaimana menentukan transformasi Laplace dari suatu fungsi tangga Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan Mahasiswa mengerjakan tes yang ada di MODUL Dosen memberikan penguatan atas sejumlah nilai-nilai yang didiskusikan, dan nilai yang dapat diaplikasikan dalam

kehidupan


110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644



20 Menit



20 menit



Elaboration (Elaborasi) Dosen memberika beberapa soal-soal menentukan transformasi Laplace dari suatu fungsi tangga untuk melatih para

mahasiswa Mahasiswa diminta untuk mendiskusikan sesama kelompok Dosen mengawasi jalannya kegiatan presentasi. Terjadi tanya jawab antar kelompok Dosen membimbing mahasiswa menjawab pertanyaan yang perlu pemantapan

110 Menit



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


kehidupan




20 Menit



No Soal Jawaban Bobot1 Tentukan transformasi

Laplace dari

f (t )={0 , 0<t <23 , t>2

f (t )={0 , 0<t <23 , t>2

=3U 2 (t )

L {f ( t ) }= 3p

e−2 p

100



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

No Soal Jawaban Bobot1 Tentukan transformasi

Laplace dari

f ( t )={ 0 ,0< t<3−4 , 3<t<7

0 , t>7

f (t )={ 0 ,0< t<3−4 , 3<t<7

0 , t>7={ 0+0 ,0<t<3

−4+0 , 3<t <7−4+4 , t>7

={{0 , 0<t<3−4 , t>3

{0 , 0<t<74 , t>7

f (t )=−4 U3 (t )+4 U 7 ( t )

L {f ( t ) }=−4p

e−3 p+ 4p

e−7 p

100





Nilai Siswa


10

2. Siswa cukup aktif bertanya dan berargumen 7



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

secara kritis3. Siswa kurang aktif bertanya dan berargumen

secara kritis5


2


Skor maksimal






Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


A. Pengalaman PembelajaranPertemuan 16


Mengkondisikan kelas. Dosen menanyakan kehadiran mahasiswa Menyampaikan prosedur UAS secara individu

20 Menit

Kegiatan Inti Mahasiswa memulai UAS

70 menit

Kegiatan Akhir Dosen memberikan tugas untuk membaca materi pertemuan berikutnya.

20 Menit

H. Alat/Bahan/Sumber Belajar

Fakultas : Keguruan dan Ilmu PendidikanProgram Studi : Pendidikan MatematikaMata Kuliah/Kode : Masalah nilai awal syarat batas/GMA 15326Jumlah SKS : 3 SKSSemester : 6JP/Pertemuan Ke- : 3 JP/Ke-16Dosen Pengampu : 1. Dr. Somakim




Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

LCD Buku Internet

I. Penilaian Penilaian Hasil Belajar

No Soal Jawaban Bobot1 Tentukan solusi dari persamaan

y ' '−2 y '+8 y=0 , y (0 )=3 , y' (0 )=6

L { y ' '−2 y '+8 y }=L {0 }

{( p2Y −py (0)− y ' (0))−2 ( pY− y (0))+8Y }=0

{( p2Y−3 p−6 )−2 ( pY −3 )+8Y }=0

( p2−2 p+8 )Y =3 p

Y= 3 p( p2−2 p+8 )

L−1 (Y )=L−1 { 3 p( p2−2 p+8 ) }=L−1 { 3 p

(( p−1)2+7) }=L−1 { 3 p((p−1)2+ (√7 )2 ) }

L−1 (Y )=L−1 { 3 p(( p−1)2+(√7 )2 ) }=L−1 { 3 ( p−1 )+3

((p−1)2+ (√7 )2 )}L−1 (Y )=L−1 { 3 ( p−1 )

(( p−1)2+(√7 )2 )+ 3√7

√7 (( p−1)2+(√7 )2 ) }

30



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

f ( t )=3e t cos √7 t+ 3√7

et sin √7 t

2 Tentukan solusi dari sistem

persamaan berikut { y '+2 z=12 y−z '=2 t

z (0 )=1y (0 )=0

Yang dilakukan pertama kali adalah menentukan transformasi

Laplace dari masing-masing persamaan.

L { y '+2 z }=L {1 }

{( pY − y (0 ) )+2 Z }=1p

pY +2Z= 1p ....................... (1)

L {2 y−z ' }=L {2 t }

2 Y – ( pZ−z (0 ))= 2p2

2 Y – ( pZ−1)= 2p2

2 Y−pZ= 2p2−1

2 Y−pZ=2−p2

p2 .................. (2)

40



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Dari pers. (1) dan (2) diselesaikan dengan determinan

{ pY +2Z=1p

2Y −pZ=2−p2

p2

Z=

|p 1p

2 2−p2

p2 ||p 22 −p|

=

2−p2

p− 2

pp (−p )−2 (2 )

= −p−p2−4

= pp2+4

= pp2+22

L−1 {Z }=z (t )=cos2 t

Untuk menentukan Y , substitusikan Z ke pers. (1) atau (2)

pY +2Z= 1p

pY +2 pp2+4

= 1p

pY= 1p−2 p

p2+4= p2+4−2 p2

p( p2+4)= 4−p2

p( p2+4 )



Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644

Y= 4−p2

p2( p2+22)= 4

p2( p2+22)− 1

( p2+22)=1

2(2 )3

p2( p2+22)−1

22

( p2+22)

L−1 {Y }= y ( t )=12

(2t−sin 2 t )−12

sin 2t=t−sin2 t

3 Tentukan transformasi Laplace

dari

f ( t )={ 0 ,0< t<3−4 , 3<t<7

0 , t>7

f ( t )={ 0 ,0< t<3−4 ,3<t<7

0 , t>7={ 0+0 ,0<t<3

−4+0 , 3<t <7−4+4 , t>7

={{0 ,0<t<3−4 , t>3

{0 ,0<t<74 , t>7

f ( t )=−4 U 3 ( t )+4 U7 ( t )

L {f (t ) }=−4p

e−3 p+ 4p

e−7 p

30


Skor maksimal





Telpon 0711-580169; Fax: +62 711 580644


matematika.fkip.unsri.ac.idmatematika.fkip.unsri.ac.id/.../01/rps-sap-manasaa1.docx · Web...

Documents

Transcript of matematika.fkip.unsri.ac.idmatematika.fkip.unsri.ac.id/.../01/rps-sap-manasaa1.docx · Web...