TRANSFORMASI LAPLACE

TRANSFORMASI LAPLACEKelompok 3 :Ihsan ArisandiMuthia Jesika AuliaMuchamad Adhi SugalihPENDAHULUANSistem kontrol linear waktu nyata yang dapat diganti dengan model matematis untuk analisis. Model ini dalam bentuk linear persamaan diferensial. Solusi dari persamaan diferensial ini benar-benar menggambarkan sifat sistem kontrol, termasuk respon transient. Beberapa teknik, tersedia dalam kalkulus untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial ini, beberapa di antaranya sangat banyak persyaratan. Transformasi Lapace adalah metode yang memungkinkan solusi persamaan diferensial linier harus diperoleh tanpa banyak kompleksitas.TRANSFORMASITransformasi Laplace adalah metode kalkulus operasional yang mengambil fungsi waktu (waktu domain) dan mengubahnya menjadi sebuah fungsi variabel kompleks s (frekuensi domain atau s domain). Dalam beberapa cara, menggunakan transformasi Laplace analog dengan transformasi logaritma. Sebelum munculnya Kalkulator dan komputer, logaritma digunakan untuk melakukan perkalian, pembagian dan kalkulasi eksponensial. Dua proses ini cukup sebanding.Proses logaritmaLogaritma tabel yang dipakai untuk mengubah syarat-syarat numerik.Operasi aritmetika dilakukan untuk mengurangi ekspresi untuk satu istilah numerik.Logaritma tabel digunakan untuk menemukan antilogarithms, menghasilkan hasil yang diinginkan.Proses Transformasi LaplaceTabel transformasi laplace digunakan untuk mengubah persamaan diferensial.Perubahan persamaan sederhana untuk mengisolasi variabel yang diinginkan.Transformasi invers diterapkan untuk mendapatkan waktu yang dikehendaki persamaan.

Transformasi Laplace berguna dalam analisis sistem kontrol. Respon waktu dari sistem kontrol dapat diperoleh dengan terlebih dahulu menerapkan Transformasi Lapace dan kemudian mengambil transformasi kebalikannya. karena forward transformation mengarah ke domain frekuensi, respon frekuensi dari sistem kontrol dapat diperoleh secara langsung dari perubahan ekspresi. Fungsi transfer dari sistem kontrol didefinisikan dalam s domain dan memberikan informasi berharga tentang stabilitas dan kinerja dari sistem loop tertutup.

INTEGRAL TRANSFORMASI LAPLACETransformasi Laplace dalam fungsi waktu, f(t), didefinisikan sebagai integral

Fungsi ini didefinisikan untuk setiap s, yang menghasilkan konversi integral. variabel s adalah variabel yang kompleks (s = +j )

Forward laplace transformationProses mengubah domain fungsi waktu ke domain s disebut Forward Laplace Transformation, atau hanya dengan Forward Transformation.Inverse laplace transformationProses mengubah domain fungsi s ke domain fungsi waktu disebut Inverse Laplace Transformation, atau hanya dengan Inverse TransformationCatatan TransformasiTransformasi Laplace forward di indikasikan dengan L; contoh. L[f(t)]=F(s).Transformasi Laplace forward di indikasikan dengan L-1; contoh. L-1 [F(s)].Huruf kecil dengan atau tanpa t dalam tanda kurung yang digunakan untuk menunjukkan fungsi waktu: contoh. f(t), x(t), y(t), f, x, dan y.Huruf besar dengan s dalam tanda kurung yang digunakan untuk menunjukkan perubahan fungsi: contoh, F(s), X(s), dan Y(s).Huruf tanpa t atau s dalam tanda kurung yang digunakan untuk menunjukkan konstanta: contoh. F, X, dan Y.

Aturan TransformasiBeberapa aturan telah dikembangkan untuk membantu dalam melakukan Transformasi laplace forward dan inverse.1. Perkalian ( Divisi ) oleh konstantaBila fungsi ini dikalikan dengan suatu konstanta,transformasi laplace merupakan product transformasi asli dan konstan.2. Jumlah ( Perbedaan ) dari 2 fungsiMengubah jumlah dua fungsi waktu sama dengan jumlah dari individual transform.

3. Derivatif dari suatu fungsiDerivatif pertama, transformasi dalam derivatif pertama dalam suatu fungsi waktu dinyatakan sebagai

Dimana F(s)=L[f(t)] dan istilah f(0) adalah nilai fungsi f(t) ketika t=0 (sebagai nilai awal).Derivatif Kedua, transformasi pada derivatif kedua dalam fungsi waktu dinyatakan sebagai

Dimana F(s)=L[f(t)], f(0) adalah nilai fungsi f(t) ketika t=0 (nilai awal), dan df(0)/dt merupakan nilai dari derivatif pertama dalam fungsi f(t) ketika t=0. Untuk sebuah fungsi dengan nilai awal 0, transformasi disederhanakan

...

4. Integral dalam suatu fungsiTransformasi pada integral pertama dalam fungsi waktu dinyatakan sebagai

Dimana F(s)=L[f(t)], f(0) nilai fungsi f(t) ketika t=0 (nilai awal), dan xxxxx merupakan nilai integral dalam fungsi waktu ketika t=0 (nilai awal). Untuk fungsi dengan nilai awal 0, transformasi disederhanakan

5. Teorema nilai awalNilai awal (t0) dalam suatu fungsi waktu f(t) yang mengubah F(s) dinyatakan dalam limit berikut:

Teorema ini digunakan dalam menentukan nilai awal sebuah fungsi waktu f(t) dari F(s) tanpa melakukan Transformasi Laplace Inverse.

6. Teorema nilai akhirNilai akhir (t) dalam sebuah fungsi waktu f(t) dengan mengubah F(s) dinyatakan dalam limit berikut:

Teorema ini digunakan dalam menentukan nilai akhir dalam fungsi f(t) dari F(s) tanpa melakukan Transformasi Laplace Inverse.

PROSEDUR TRANSFORMASI FORWARDProsedur berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan Transformasi Forward.Transformasi sebuah persamaanMengubah sebuah persamaan yang diperoleh dengan pengambilan transformasi dengan ekspresi pada masing-masing pihak dari persamaan.Transformasi sebuah ekspresiMengenali istilah, dengan sambungan dari jumlah (+) atau selisih (-)Kategori dari istilah mengikuti dan transformasi pengambilan dari setiap istilah Istilah Konstanta, istilah konstanta hanya konstan dan tidak ada variable dari waktu

PROSEDUR TRANSFORMASI INVERSETransformasi Inverse dilakukan untuk mengkonversi dalam istilah domain s ke real time (waktu domain). Prosedur untuk Transformasi Inverse sangat mirip dengan Transformasi Forward.Transformasi Invers dalam sebuah persamaanTransformasi Invers dalam sebuah persamaan selesai dengan mengambil transformasi invers dari ekspresi pada bagian masing-masing dalam persamaan

Transformasi Invers dalam sebuah ekspresiProses transformasi invers bisa jadi mudah dengan proses transformasi forward. Pada umumnya, sebuah masukan bisa ditemukan dalam table transformasi yang sesuai dengan masalah pada tangan. Itu menjadi persoalan mudah dalam subsitusi pada sebuah istilah. Sayangnya, itu jarang ditemukan pada sebuah perhitungan matematika, dan beberapa istilah manipulasi dibutuhkan. Pada umumnya, mendekati yang dianjurkan.Mengenali istilah, dengan sambungan dari jumlah (+) atau selisih (-)Kategori dari istilah mengikuti dan transformasi pengambilan dari setiap istilah Istilah konstan, sebuah istilah hanya berisi konstanta dan tidak ada istilah lain (variable waktu). Sebuah istilah konstan menunjukkan sebuah fungsi impulse pada waktu.

PARSIAL PECAHAN EKSPANSIAlasan utama untuk menggunakan transformasi Laplace adalah kemudahan yang dapat menghasilkan solusi untuk persamaan diferensial. Persamaan diferensial dikonversi menjadi sebuah persamaan aljabar. Setelah beberapa manipulasi sederhana, Variabel yang diinginkan terisolasi, dan Transformasi Inverse menghasilkan real-time persamaan untuk variabel yang diinginkan. Proses Transformasi Forward relatif sederhana, dan jika sebuah masukan pencocokan ada dalam tabel , reverse transformasi ini mudah. Sayangnya, hal ini tidak selalu mungkin untuk menemukan sebuah masukan yang cocok. Untuk semua kasus seperti itu, teknik aljabar Parsial Pecahan Ekspansi dapat diterapkan untuk faktor fungsi domain s menjadi lebih sederhana.

Untuk semua sistem fisik realisasi, Transformasi Laplace dalam variabel yang diinginkan dapat dikurangi fungsi rasional sebagai berikut

Dimana a s dan b s nyata, dan n m. Polinomial dapat juga diperhitungkan dan dinyatakan sebagai produk dari akarnya. Dengan demikian fungsi rasional sebelumnya dapat dinyatakan sebagai

ps adalah akar dari penyebut polinomial. Akar merupakan solusi dari persamaan (dikenal sebagai karakteristik persamaan fungsi F(s)), dibentuk oleh menyamakan penyebut ke nol. Karakteristik persamaan fungsi F(s) dengan demikian dapat ditulis sebagai

Sekarang ada dua kemungkinan yang berbeda, tergantung pada akar karakteristik polinomial.Akar berbedaSemua akar berbeda; akar setiap numerik berbeda dari akar lainnya.

Menggunakan pecahan parsial perluasan teknik, fungsi dapat lebih lanjut dinyatakan sebagaiDimana Cs adalah koefisien numerik, dan ps adalah akar dari penyebut polinomial. ps dan Cs mungkin nyata dan/atau kompleks.Koefisien evaluasi. Koefisien setiap valuated secara terpisah dan independen koefisien lainnya.Memperoleh produk parsial dengan mengalikan fungsi dengan penyebut istilahAmbil batas produk resultan sebagai as s piSet koefisien Ci sama dengan nilai ini

..

Setelah fungsi F(s) memiliki faktor bentuk ini, Inverse laplace dapat dilakukan. Waktu domain fungsi, f(t), adalah selalu bentuk.Akar berulangDalam hal ini, sebagian besar akar berbeda, tapi ada setidaknya satu akar yang diulang satu atau lebih kali.

Fungsi Parsial Pecahan Ekspansiseperti mengambil bentuk yang sedikit berbeda dibandingkan dengan fungsi dengan akar yang berbeda. Fungsi F(s) diulang di sini, ditunjukkan dengan akar berulang tunggal.

Masih ada jumlah pada n akar, tetapi akar P0 adalah pengulangan waktu r. Karakteristik persamaan fungsi F(s) adalah

Menggunakan pecahan parsial, fungsi F(s) dapat diperluas menjadi

Cs adalah koefisien numerik. ps dan Cs mungkin nyata atau kompleks.

Koefisien evaluasi Ketika penyebut polinomial mengandung berulang akar, Koefisien evaluasi dilakukan dalam dua langkah.1. Semua koefisien dengan root berbeda dievaluasi pertama, menggunakan prosedur yang samaMemperoleh produk parsial dengan mengalikan fungsi dengan penyebut istilahAmbil batas produk resultan sebagai s piSet koefisien Ci sama dengan nilai ini2. Koefisien dengan akar berulang dievaluasi berikutnyaKoefisien Pertama pengulangan akarMemperoleh produk parsial dengan mengalikan fungsi dengan penyebut istilahMembatalkan istilah umumAmbil derifative produk yang dihasilkan sehubungan dengan sMenerapkan batas produk resultan sebagai s piMenyetel koefisien xx sama dengan nilai iniKoefisien Kedua pengulangan akarMemperoleh produk parsial dengan mengalikan fungsi dengan kekuatan kedua istilah di penyebutAmbil derifative produk yang dihasilkan sehubungan dengan sMenerapkan batas produk resultan sebagai s piMenyetel koefisien xx sama dengan nilai iniAPLIKASI TRANSFORMASI LAPLACELinear, persamaan diferensial konstan-koefisien yang digunakan untuk menggambarkan perilaku dinamis sistem kontrol linier. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan xxxx. Prosedur dapat dibagi ke dalam langkah-langkah berikut.Memperoleh persamaan diferensialMengubah kedua sisi persamaan diferensial menggunakan tabel mengubahMenyederhanakan persamaan, mengisolasi variabel menarikLakukan xxx memperoleh variabel yang diinginkan sebagai fungsi waktu