Transenden-stt-3hal

1MA1114 KALKULU I 1

8. FUNGSI TRANSENDEN

MA1114 KALKULUS I 2

8.1 Fungsi Invers

Misalkan denganff RDf :)(xfyx =a

vu )()( vfuf Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = vatau jika maka

xy =

fungsi y=x satu-satu

xy =

fungsi y=-x satu-satu

2xy =

u v

fungsi tidak satu-satu2xy =

MA1114 KALKULUS I 3

Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengansumbu x berpotongan di satu titik.

Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai inversnotasi 1f

ff DRf :1 ( )yfxy 1=aBerlaku hubungan

xxff = ))((1yyff = ))(( 1

ffff DRRD == 11 ,

Df Rff

x y=f(x)

R R

1f)(1 yfx =

2MA1114 KALKULUS I 4

Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) makaf mempunyai invers

xxf =)(xxf =)(

2)( xxf =

u v

f(x)=x

Rxxf >= ,01)('f selalu naik

f(x)=-xRxxf 0turun untuk x


Grafik fungsi invers

Titik (x,y) terletakpada grafik f

Titik (y,x) terletakpada grafik 1f

Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x

Grafik f dan semetri terhadap garis y=x1ff

1f

MA1114 KALKULUS I 8

Turunan fungsi invers

Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunanpada selang I. Jika maka dapat diturunkan di y=f(x)dan

Ixxf ,0)(1 1f

)('1)()'( 1xf

yf =

Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai

dxdydydx

/1=

Contoh Diketahui tentukan12)( 5 ++= xxxf )4()'( 1f

25)(' 4 += xxf ,y=4 jika hanya jika x=1

71

)1('1)4()'( 1 ==

ff

Jawab :

MA1114 KALKULUS I 9

Soal Latihan

f x xx

x( ) ,= + >1 0

f x x( ) = 2 13

f x x( ) = +4 25

f xx

x( ) ,= + 5

102

f xxx

( ) = +11

232)( +

=xxxf

Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari

1.

2.

3.

4.

5.

6.


8.2 Fungsi Logaritma Asli

Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :

Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :

Secara umum, jika u = u(x) maka

ln ,xtdt x

x= > 1 0

1

[ ]x

dtt

DxDx

xx11ln

1

=

=

[ ]dxdu

udt

tDuD

xu

xx11ln

)(

1

=

=

.

MA1114 KALKULUS I 11

Contoh : Diberikan

maka

Jika

Jadi,

Dari sini diperoleh :

Sifat-sifat Ln :1. ln 1 = 02. ln(ab) = ln a + ln b3. ln(a/b)=ln(a) ln(b)

))24ln(sin()( += xxf))24(sin(

)24sin(1)(' ++= xDxxf x )24cot(4 += x

0,||ln = xxy

=

0,)ln(0,ln

xxxx

xyxy 1'ln ==

xxyxy 11')ln( =

==.0,1|)|(ln = x

xx

dxd

+= C|x|lndxx1

ara r lnln.4 =


dxx

x +4

03

2

2

dxxduxu 23 32 =+=

Contoh: Hitung

jawab

Misal

31

232 du

udx

xx =+ cuduu +== ||ln31131

cx ++= |2|ln31 3

]04

|2|ln31

23

4

03

2

+=+ xdxx x .33ln31)2ln66(ln31 ==sehingga

dxxdu 231 =


Grafik fungsi logaritma asli

0,ln)(1

>== xtdtxxfx

fDxxxf >= 01)('

f selalu monoton naik pada Df

fDxxxf >= xx

xDx

yxxy ln)exp( ==

( )( ) ( ) ( )reree rr explnexplnexp === xex =)(exp


xeydydxdx

dy ===/1

xxx eeD =)(,Jadi

yxey x ln==

Turunan dan integral fungsi eksponen asli

Dengan menggunakan turunan fungsi invers

Dari hubungan

ydydx 1=

'.)( )( ueeD uxux =Secara umumSehingga

+= Cedxe xx


1

y=ln xy=exp (x)

Grafik fungsi eksponen asli

Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma aslimaka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkangrafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x

1

Contoh

)ln3(.)( ln3ln3 xxDeeD xxxxx

x = ).3ln3(ln3 += xe xx


.31

31

31 /3

2

/3

ceceduedxxe xuux +=+==

Contoh Hitung

dxxe x 2/3

Jawab :

dudxx

dxx

dux

u31133

22 ===MisalkanSehingga


Soal latihan

'y

xx eey sec22sec +=xexy ln35 =

xey tan=

A.Tentukan dari

)3ln( 3 yxe y +=1322 =+ xyey x

( )65ln 2 += xxy( )( )xy 3cosln=

yx

x= ln2

( )y x= ln sin))12sin(ln( += xy

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


B. Selesaikan integral tak tentu berikut

42 1x

dx+4 2

52x

x xdx

++ +

( )2

2x xdx

ln

dxx x3ln2

dxx x)tan(ln

x

xdx

3

2 1+

( )x e dxx x+ + 3 2 6

( )e e dxx x sec2 2(cos ) sinx e dxxe dxx2 ln

dxex x322

+ dxeexx

3

2

dxee xx

23

3

)21(

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.


C. Selesaikan integral tentu berikut3

1 21

4

x dx

( )1114

x xdx+

e

edx

x

x +

43

3

ln

ln

( )e e dxx x3 40

5

ln

e dxx2 3

0

1 +

dxe x 2ln0

3

e

xdx

x3

21

2

2

0

4 2 dxxe x

2

2)(ln

e

e xxdx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.


8.5 Fungsi Eksponen Umum

Fungsi , a > 0, a1 disebut fungsi eksponen umumUntuk a > 0, a1 dan x R, didefinisikanTurunan dan integral

Jika u = u(x), maka

Dari sini diperoleh :

:

xaxf =)(a ex x a= ln

aaaeeDaD xaxaxxx

x lnln)()(lnln ===

auauaeeDaD uauauxu

x ln''.ln)()(lnln ===

1,ln1 += aCaadxa xx


Sifatsifat fungsi eksponen umum

Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku

yxyx aaa +=yx

y

x

aaa =

xyyx aa =)(

x

xx

ba

ba =

1.

2.

3.

4. xxx baab =)(

5.


xdxx .4 2

CCduxu

u +=+= 4ln244ln421242

xxxf 2sin12 23)( += +

2.2cos.2ln23ln3.2)(' 2sin12 xxf xx += +

Contoh1. Hitung turunan pertama dari

Jawab :

2. Hitung

Jawab :

duxdxxdxduxu 212 2 ===Misal

= xdxx .4 2


Grafik fungsi eksponen umum

0,)( >= aaxf x),( =Df

a.

b. aaxf x ln)(' =

>>= aaxf x

10,)(


8.6 Fungsi Logaritma UmumKarena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Inversdari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku :

Dari hubungan ini, didapat

Sehingga

Jika u=u(x), maka

xa log1dan ,0, >= aaax yxy a log=

axx

axyayax ay

lnlnlog

lnlnlnlnln ====

axaxDxD x

ax ln

1)lnln()log( ==

auu

auDuD x

ax ln

')lnln()log( ==


Contoh Tentukan turunan pertama dari

)1log()( 23 += xxf)

11log()( 4

+=xxxf

1.

2.

Jawab :

1. 3ln

)1ln()1log()(2

23 +=+= xxxf3ln

11

2)(' 2 += xxxf

2.4ln

)ln()

11log()( 1

14

+=

+= xx

xxxf ( ) )1

1(14ln

1)('11

+=+ x

xDxxfxx

2)1()1(1

11

4ln1

+

+=

xxx

xx

)1)(1(2

4ln1

+=

xx


Grafik fungsi logaritma umum

Untuk a > 1

1,)( >= aaxf x

Untuk 0 < a < 1

10,)(

10


y x x= 32 44

( )9log 210 += xy

x dxx22

105 1x dx

Soal Latihan

A. Tentukan dari'y

1.

2.

2)log(3 =+ yxyx3.B. Hitung

1.

2.


)())(()( xhxgxf =

Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli

a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi

Diketahui

))(ln()())(ln( xgxhxf =)))(ln()(()))((ln( xgxhDxfD xx =

)(')()())(ln()('

)()(' xg

xgxhxgxh

xfxf +=

)()(')()())(ln()(')(' xfxgxgxhxgxhxf

+=

?)(', =xf


Contoh

Tentukan turunan fungsi xxxf 4)(sin)( =

))ln(sin(4)ln(sin)(ln 4 xxxxf x ==

Jawab

)))ln(sin(4())((ln xxDxfD xx =

xxxxxxx

xfxf cot4))ln(sin(4cos

sin4))ln(sin(4

)()(' +=+=

xxxxxxf 4))(sincot4))ln(sin(4()(' +=

Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi denganmenggunakan fungsi logaritma asli

Turunkan kedua ruas

11


?)(lim )( =

xg

axxf

b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi

Untuk kasus

(i) 0)(lim,0)(lim ==

xgxfaxax

(ii) 0)(lim,)(lim == xgxf axax(iii) == )(lim,1)(lim xgxf axax

Penyelesaian :

Tulis )])(ln([explim))((lim )()( xgax

xg

axxfxf = [ ])(ln)(explim xfxgax=

Karena fungsi eksponen kontinu, maka

[ ] [ ])(ln)(limexp)((ln)(explim xfxgxfxgaxax

=


Contoh Hitung

limx

xx +0 ( ) xx x ln/13 1lim +( )xx x 10 1lim +

( )xxxx

x

xlnlimexp)(lim

00 ++ =

Jawab

(bentuk ).0Rubah ke bentuk lalu gunakan dalil Lhopital /

10

lnlimexp += xx

x1)0exp(

1

1

limexp

2

0==

= +

x

xx

a. b. c.

a.

+=+ )1ln(1explim))1((lim

0

/1

0x

xx

x

x

x

+= xx

x

)1(lnlimexp0

b.


exx

==+= 1exp11limexp

0

( ) ex xx

=+1

01lim

Gunakan dalil Lhopital

sehingga

c. ( ) +=+ )1ln(ln1limexp1lim 3ln/13 xxx xxx

+= xx

x ln)1ln(limexp

3

./1

13

limexp3

2

+= x

xx

x

Gunakan dalil Lhopital

+= 13limexp 3

3

xx

x

+= )1()3(limexp

313

3

xx x

x

+= )1()3(limexp

31x

x( ) .3exp 3e==

12


xx

x 1

1

1lim

( )xx

x1

02sin1lim +

lim cosx

x

x

22

( ) xxx

e ln1

2

01lim +

( ) xx

x ln1

21lim +

( )xx

x1

lnlim

( )xxxx

1

53lim +

limx

xxx++

12

D. Hitung limit berikut :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.


8.7 Fungsi Invers Trigonometri

Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu,jika daerah asalnya dibatasi fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.

a. Invers fungsi sinus

Diketahui f(x) = sinx , 22 x

Karena pada f(x)=sinxmonoton murni maka inversnya ada.Invers dari fungsi sinus disebut arcussinus, notasi arcsin(x),atau )(sin 1 x

22 x

Sehingga berlaku

xyyx sinsin 1 ==

2

2


TurunanDari hubungan yxxy sinsin 1 ==

ydydxdxdy

cos1

/1 ==

22,11 yxdan rumus turunan fungsi invers diperoleh

1||,1

1

sin1

122

= xxxxxf

f(x) = sec x monoton murni

Ada inversnyaDefinisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx

atau x1sec

Sehingga

yxxy secsec 1 ==

16


Turunan

Dari yxxy secsec 1 ==

xy 1cos = ( )xy 11cos =

( )xx 111 cossec =

Sehingga

( )xxx DxD 111 (cos)(sec = 221 1)(11

xx

=

1||

22 = xxx

1||1

2 = xx

Jika u = u(x)1||

')(sec2

1

=

uuuuDx

+= cxdxxx ||sec11 12


e. Invers fungsi cosecan

Diberikan f(x) = csc x 0,, 22 xx 0,,0cotcsc)(' 22

17


Contoh

A. Hitung turunan pertama dari

)(sec)( 21 xxf =

12)(

1)(||1)('

42

2

222 =

=

xxxxDx

xxxf

124 = xx

a.

b.

Jawab

a.

)(tansec)( 1 xxf =

1tan|tan|

sec)(tan1)(tan|tan|

1)('22

2

22 =

=

xxxxDx

xxxfb.


B. Hitung

dxxx 412

=

dxxx

dxxx )1

4(4

14

122

= dx

xx 12

121

2

Jawab

Misal dudxdxduxu 22 2

1 ===

== duuuduuudxxx 11

212

121

21

41

222

CxCu +=+= |2

|sec21||sec

21 11


Soal Latihan

21 )(sin xy =)(tan 1 xey =xxy lntan 1=tetf

1sec)(=

)3(cot 12 xxy =)1(tan 21 xxy +=

A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin

1.

2.

3.

4.

5.

6.

18


B. Hitung

+169 2x dx

164 2xxdx

252 xdx

2/1

02

1

1sin dx

xx

+ dxe exx

12

dxee

x

x

4

2

1

+ ])(ln4[ 2xx dx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


8.8 Fungsi HiperbolikDefinisi

a. Fungsi kosinus hiperbolik : 2cosh)(

xx eexxf+==

b. Fungsi sinus hiperbolik : 2

sinh)(xx eexxf

==

c. Fungsi tangen hiperbolik : xxxx

eeee

xxxxf

+===

coshsinhtanh)(

xx

xx

eeee

xxxxf

+===

sinhcoshcoth)(

xx eexxhxf +===

2cosh

1sec)(

xx eexxhxf ===

2sinh

1csc)(

d. Fungsi cotangen hiperbolik :

e. Fungsi secan hiperbolik :

f. Fungsi cosecan hiperbolik :


1sinhcosh 22 = xxxhx 22 sectanh1 =xhx 22 csc1coth =

Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik

xexx =+ sinhcosh1.2. xexx = sinhcosh 3.4.

5.

Turunan

xeeeeDxDxxxx

xx cosh22)(sinh =+=

=

xeeeeDxDxxxx

xx sinh22)(cosh ==

+=

+= Cxdxx coshsinh

+= Cxdxx sinhcosh

19


)coshsinh()(tanh

xxDxD xx = xh

xxxx 2

22

22

seccosh

1cosh

sinhcosh ===

)sinhcosh()(coth

xxDxD xx =

xxx

xxx

2

22

2

22

sinh)sinh(cosh

sinhcoshsinh ==

xhx

22 cscsinh1 ==

)cosh

1()(secx

DhxD xx = xhxxx tanhsec

coshsinh

2 ==

)sinh

1()(cscx

DhxD xx = xhxxx cothcsc

sinhcosh

2 ==


Rxeexxfxx

+==

,2

cosh)(

f(0)=1

Grafik f(x) = coshx

>>+=xx eexf

(i)

(ii)

f selalu monoton naik

(iii)

>==

0,00,0

2)(''

xxeexf

xx

Grafik f cekung keatas pada x>0cekung kebawah pada x

20


Contoh

Tentukan dari'y

)1tanh( 2 += xy

)1(hsec2)1()1(hsec' 22222 +=++= xxxDxxy

1.

Jawab

1.

8sinh 22 =+ yxx2.

2. )8()sinh( 22 DxyxxDx =+0'2coshsinh2 2 =++ yyxxxx

yxxxxy

2coshsinh2'

2+=


Soal Latihan

A. Tentukan turunan pertama dari

xxf 4tanh)( =xxg 2sinh)( =

xxxg

cosh1cosh1)( +

=21coth)( tth +=))ln(sinh)( ttg =2cosh)( xxxf =

1.

2.

3.

4.

5.

6.


B. Hitung integral berikut

+ dxxSinh )41( dxxx 2coshsinh dxxtanh + dxxxtanh2 hsec

2

1.

2.

3.

4.

Transenden-stt-3hal

Documents

Transcript of Transenden-stt-3hal