Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf

download Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf

of 15

Transcript of Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf

  • 7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf

    1/15

    1

    MMA1114 KALKULUS IA1114 KALKULUS I 11

    5.5.Aplikasi TurunanAplikasi Turunan

    MA1114 KALKULUS I 2

    5.1 Menggambar grafik fungsi

    Informasi yang dibutuhkan:

    A. Ti ti k potong dengan sumbu x dan sumbu y

    B. Asimtot fungsiDefinisi 5.1:Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh

    grafik fungsi.

    Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni

    (i) Asimtot Tegak

    Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika

    (ii) Asimtot Datar

    Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika

    (iii) Asimtot Miring

    Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika

    dan

    =

    )(lim xfcx

    bxfx

    =

    )(lim

    ax

    xfx

    =

    )(lim baxxfx = )(lim

    MA1114 KALKULUS I 3

    x=a asimtot tegak

    a

    =

    )(lim xfax

    =+

    )(lim xfax

    Dalam kasus

    dan

    x=a asimtot tegak

    Dalam kasus

    =

    )(lim xfax

    =+

    )(lim xfax

    dan

    a

    Asimtot tegak

  • 7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf

    2/15

    2

    MA1114 KALKULUS I 4

    y= b

    Garis y = b asimtot datar karena

    Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hinggaTapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri olehGrafik fungsi(tidak dipotong lagi)

    bxfx

    =+

    )(lim

    MA1114 KALKULUS I 5

    baxy +=

    y=f(x)

    Garis y = ax + b asimtot miring

    Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datardan asimtot miring

    MA1114 KALKULUS I 6

    Contoh Tentukan semua asimtot dari

    Jawab :

    (i) Asimtot tegak : x= 2, karena

    dan

    (ii) Asimtot datar :

    =

    ++ 2

    42lim

    2

    2 x

    xx

    x

    Maka asimtot datar tidak ada

    2

    42)(

    2

    +=

    x

    xxxf

    =

    + 2

    42lim

    2

    2 x

    xx

    x

    )(

    )1(lim

    2

    42lim)(lim

    2

    2

    212

    4222

    xx

    xx

    xxx x

    x

    x

    xxxf

    +=

    +=

    =

    +=

    )(

    )1(lim

    2

    2

    21

    42

    xx

    xx

    x

  • 7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf

    3/15

    3

    MA1114 KALKULUS I 7

    xxxx

    xxfa

    xx1.

    242lim)(lim

    2

    +==

    xxxx

    x 242lim

    2

    2

    +=

    1)1(

    )1(lim

    )1(

    )1(lim

    2

    42

    22

    42222

    =

    +=

    +=

    x

    xx

    xx

    xx

    x x

    x

    (iii) Asimtot miring

    02

    4lim =

    =

    xx

    2

    )2(42lim

    2

    +=

    x

    xxxx

    x

    xx

    xx

    x

    +=

    2

    42lim

    2

    axxfbx

    =

    )(lim

    Asimtot miring y= x

    2

    242lim

    22

    ++=

    x

    xxxx

    x

    MA1114 KALKULUS I 8

    1

    1)(

    =

    xxf

    3

    1)(

    +=

    xxxf

    1

    2)(

    2

    2

    +=

    x

    xxxf

    3

    2)(

    =

    x

    xxf

    Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :

    Soal Latihan

    1

    2)( 2

    2

    +

    +=

    x

    xxxf

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    MA1114 KALKULUS I 9

    C. Kemonotonan Fungsi

    Definisi 5.2 Fungsi f(x) dikatakan

    monoton naik pada interval I jika untuk

    ( ) ( ) Ixxxfxfxx

  • 7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf

    4/15

    4

    MA1114 KALKULUS I 10

    Fungsi f monoton turun pada selang I

    f(x1)

    f(x2)

    x1 x2

    monoton turun pada interval I jika untuk

    ( ) ( ) Ixxxfxfxx >< 212121 ,,

    I

    MA1114 KALKULUS I 11

    Teorema 5.1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka

    Fungsi f(x) monoton naik pada I jika

    Fungsi f(x) monoton turun pada I jika

    Contoh Tentukan selang kemonotonan dari

    Jawab :

    f(x) monoton naik

    f(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4).

    Ixxf >0)('

    Ixxf

  • 7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf

    5/15

    5

    MA1114 KALKULUS I 13

    Maxlokal

    Minlokal

    Maxglobal

    Minglobal Max

    lokalMinlokal

    a b c d e f

    Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]

    MA1114 KALKULUS I 14

    Ada tiga jenis titik kritis :

    Titik ujung selang I

    Titik stasioner ( yaitu x =c dimana ) ,

    secara geometris : garis singgung mendatar

    dititik (c,f(c))

    Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ),

    secara geometris: terjadi patahan pada grafik f

    di titik (c,f(c))

    0)(' =cf

    )(' cf

    MA1114 KALKULUS I 15

    Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal

    Jika0)('

    0)('

    xf

    xf),( cc

    0)('

    0)('

    >

    0) dan disebelah kanan cmonoton turun (f

  • 7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf

    6/15

    6

    MA1114 KALKULUS I 16

    Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal

    Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan

    nilai lokal f

    Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari

    Jawab:

    0)(' =cf

    0)(''

    0)(''

    >

    =V0156)5(''

  • 7/22/2019 Aplikasi Turunan-stt-3hal.pdf

    15/15

    15

    MA1114 KALKULUS I 43

    Soal Latihan

    1. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 100 dan hasil

    kalinya minimum

    2. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 1000 dankelilingnya minimum

    2cm

    3. Tentukan titik pada garis 6x + y = 9 yang terdekat ke titik (-3,1)

    4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesardengan alas pada sumbuxserta dua titik sudutnya di atas sumbuxserta terletak pada parabola 28 xy =

    5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesarsehingga dapat diletakkan dalam lingkaran berjari-jarir

    MA1114 KALKULUS I 44

    6. KotaA terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B

    terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dariA. Pemerintah

    Daerah setempat akan memasang kabel telepon dari kotaA

    ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dariA ke B untuk setiap

    kilometer melewati jalan laut dua kali besarnya dibandingkan biaya

    pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biaya

    pemasangan kabel telepon dariA ke B semurah mungkin.

    UTS Semester Pendek 2006/ 2007

    Kalkulus I

    Hari/ Tanggal: Rabu/ 25 Juli 2007

    Waktu: 13 s/d 15

    Bahan: sampai dengan Penerapan Turunan

    Ruang: B 307