Sistem LinearSistem Linear

Pertemuan 7Pertemuan 7

Penyelesaian Persamaan Linear (Metode Gauss)Penyelesaian Persamaan Linear (Metode Gauss)

Arnawan Hasibuan

PembahasanPembahasan

Metode GaussMetode Gauss

- Tujuan dan manfaat Metode GaussTujuan dan manfaat Metode Gauss- Bentuk Metode GaussBentuk Metode Gauss

- Contoh kasus penyelesaian dengan metode GaussContoh kasus penyelesaian dengan metode Gauss

PendahuluanPendahuluan

Pada pertemuan ini akan dibahas suatu Pada pertemuan ini akan dibahas suatu prosedur sistematis untuk menyelesaikan prosedur sistematis untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. sistem persamaan linear.

Konsepnya didasarkan pada gagasan Konsepnya didasarkan pada gagasan mereduksi matriks yang diperbanyak menjadi mereduksi matriks yang diperbanyak menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut bisa diselesaikan dalam persamaan tersebut bisa diselesaikan dalam bentuk substitusibentuk substitusi

Tujuan ‘n ManfaatTujuan ‘n Manfaat

Ketika memodelkan permasalahan teknik, seringkali Ketika memodelkan permasalahan teknik, seringkali berhadapan dengan persamaan linear yang harus berhadapan dengan persamaan linear yang harus diselesaikan yang melibatkan banyak variabel yang diselesaikan yang melibatkan banyak variabel yang tidak diketahuitidak diketahui

Perlu cara sistematis untuk menyelesaikannya, Perlu cara sistematis untuk menyelesaikannya, diantaranya dengan menggunakan metode eliminasi diantaranya dengan menggunakan metode eliminasi gaussgauss

Eliminasi ini dapat digunakan pada sistem Eliminasi ini dapat digunakan pada sistem persamaan berskala kecil maupun skala besarpersamaan berskala kecil maupun skala besar

Bentuk Metode GaussBentuk Metode Gauss

Pada metode ini yang perlu dilakukan adalah Pada metode ini yang perlu dilakukan adalah melakukan operasi pada koefisien yang ada dalam melakukan operasi pada koefisien yang ada dalam persamaan, dan hasil akhirnya adalah sistem persamaan, dan hasil akhirnya adalah sistem persamaan ekivalen yang selanjutnya dapat dengan persamaan ekivalen yang selanjutnya dapat dengan mudah diselesaikan dengan metode substitusimudah diselesaikan dengan metode substitusi

Contoh Kasus (1)Contoh Kasus (1)

Cari nilai dari I1, I2, dan I3 dengan menggunakan Cari nilai dari I1, I2, dan I3 dengan menggunakan eliminasi Gauss !eliminasi Gauss !

Penyelesaian Kasus (1)Penyelesaian Kasus (1)

Contoh Kasus (2)Contoh Kasus (2)

Selesaikan sistem persamaan berikut :Selesaikan sistem persamaan berikut :

Dimulai dengan menuliskan bentuk Dimulai dengan menuliskan bentuk augmented augmented matriknya :matriknya :

Kemudian lakukan prosedur eliminasi Gauss dengan Kemudian lakukan prosedur eliminasi Gauss dengan menggunakan bentuk menggunakan bentuk augmented augmented matrik H = [A b]matrik H = [A b]

Langkah 1 :Langkah 1 :

Hilangkan kolom pertama di bawah diagonalHilangkan kolom pertama di bawah diagonal

Gantikan baris ke2 dengan baris ke2 dikurang 2 kali Gantikan baris ke2 dengan baris ke2 dikurang 2 kali baris ke1 :baris ke1 :

Dan sekarang gantikan baris ke3 dengan baris ke3 Dan sekarang gantikan baris ke3 dengan baris ke3 dikurang baris ke1:dikurang baris ke1:

Langkah 2:Langkah 2:

Hilangkan kolom kedua dibawah diagonalHilangkan kolom kedua dibawah diagonal

Gantikan baris ke3 dengan baris ke3 dikurang 3 kali Gantikan baris ke3 dengan baris ke3 dikurang 3 kali baris ke2:baris ke2:

Langkah 3:Langkah 3:

Gunakan substitusi untuk mendapatkan penyelesaianGunakan substitusi untuk mendapatkan penyelesaian

KesimpulanKesimpulan

Algoritma dasar metode GaussAlgoritma dasar metode Gauss

Secara umum sistem persamaan linear:Secara umum sistem persamaan linear:

1. Ubahlah sistem persamaan tersebut menjadi matrik 1. Ubahlah sistem persamaan tersebut menjadi matrik augment (berukuran n x (n+1) )augment (berukuran n x (n+1) )

3. Lakukan proses triangularisasi, sehingga menjadi 3. Lakukan proses triangularisasi, sehingga menjadi bentuk:bentuk:

Langkah terakhir :Langkah terakhir :

lakukan proses substitusi mundur untuk memperoleh lakukan proses substitusi mundur untuk memperoleh nilai x1, x2, x3, ….. , xnnilai x1, x2, x3, ….. , xn

Contoh:Contoh:

Selesaikan sistem persamaan linear berikut:Selesaikan sistem persamaan linear berikut:

Sistem ini adalah sistem yang determined. Untuk Sistem ini adalah sistem yang determined. Untuk menyelesaikannya buat augmented matriknya.menyelesaikannya buat augmented matriknya.

LatihanLatihan

Selesaikan sistem persamaan berikut:Selesaikan sistem persamaan berikut:

1.1.

2.2.

Operasi Baris ElementerOperasi Baris Elementer

SummarySummary

Ketika jumlah persamaan kurang dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka sistem tersebut dikatakan sebagai sistem yang underdetermined

Ketika jumlah persamaan lebih besar dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka sistem tersebut dikatakan sebagai sistem yang overdetermined

Daftar PustakaDaftar Pustaka

Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi

7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi

7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta

Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar LinearNoor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear