Derivatif (Turunan): Latar Belakang dan Beberapa Penggunaan DerivatifPERTEMUAN KE-8 DAN KE-9

Latar Belakang Derivatif (turunan) (1)Di dalam matematika, pembahasan di dalam kalkulus dikelompokkan menjadi tiga bagian penting, yaitu: limit, derivatif, dan integral. Derivatif merupakan salah satu gagasan terbesar yang memungkinkan kita menggambarkan dunia. Perlu beribu-ribu tahun merumuskan gagasan tersebut menjadi sesuatu yang berguna.

Latar Belakang Derivatif (turunan)(2)Derivatif dapat dipandang dari beberapa perspektif, tetapi semuanya mengarah pada satu hal, yaitu: Derivatif menggambarkan pendekatan suatu grafik di suatu titik dengan garis lurus. Derivatif (kalkulus diferensial) melibatkan analisis fungsi, khususnya, penentuan laju ubah (instantaneous rates of change). Derivative - History And Usefulness, The Basic Concept, A Concrete Example - Curve, Process, and Mathematics http://science.jrank.org/pages/2017/Derivative.html#ixzz1MmvCo9NF

Latar Belakang Derivatif (turunan)(3)Secara geometri, laju ubah dikaitkan dengan grafik fungsi. Laju ubah garis lurus adalah gradien atau arah garis tersebut.

Latar Belakang Derivatif (turunan) (4)Masalah menentukan garis singgung kurva telah dipelajari oleh banyak matematikawan. Beberapa ahli yang mempelajari penentuan garis singgung diantaranya:Gilles Persone de Roberval pada tahun1630 1640 menentukan garis singgung kurva berdasarkan gerakan vektor di setiap titik pada grafik.Pierre de Fermat (pada saat yang hampir sama dengan Roberval) menggunakan ekstrem (maksimum) dan infinitesimal untuk menentukan garis singgung kurva. Fermat memberikan andil penemuan diferensial. Leibniz dan Newton secara tajam mendefinisikan metode penentuan garis singgung yang diterima hingga saat ini.

Pierre de FermatFermat sangat terkenal dengan masalah maksimum Fermat dan gradien garis singgung Fermat (Fermats maxima and tangent). Permasalahan inilah yang membawa pada derivatif. Pertama, Fermat memberikan teknik penentuan maksimum (Fermats maxima).Kedua, teknik penentuan maksimum mendasari penentuan gradien garis singgung.

Masalah maksimum FermatPermasalahan maksimum Fermat: Suatu segmen garis dibagi menjadi dua bagian. Dicari ukuran masing-masing bagian sehingga hasil kali panjang kedua bagian maksimum.

Leibniz

Selain terkenal dengan penentuan luas di bawah kurva dengan integral, Leibniz menemukan hubungan luas dan derivatif menggunakan konsep diferensial.

Latar Belakang Derivatif (turunan)Gradien didefinisikan sebagai rasio perubahan vertikal dan perubahan horisontal yang terjadi antara dua titik sebarang pada garis. Gradien garis lurus antara dua titik pada garis tersebut selalu sama, sehingga laju ubah fungsi yang grafiknya berupa garis lurus bernilai konstan. Secara umum, laju ubah fungsi yang grafiknya bukan garis lurus berubah-ubah. Laju ubah di sekitar titik tertentu dapat didekati dengan gradien garis lurus melalui dua titik di sekitar titik tersebut.

Kemiringan (gradien) garis melalui P(a, f(a)) dan Q(x, f(x)) adalah

Latar Belakang Derivatif (turunan)(Garis singgung)Selanjutnya, jika Q digerakkan mendekati P sepanjang kurva C dengan cara x dibuat mendekati a, maka garis yang melalui P dan Q akan mendekati garis singgung di P.

Latar Belakang Derivatif (turunan)(Garis singgung)Dalam hal ini gradien garis singgung s sebesar m dituliskan

Latar Belakang Derivatif (turunan) (Garis Singgung)Diberikan grafik fungsi f. Penentuan laju ubah f di titik (x,f(x)). Dipilih titik (x+h, f(x+h)) yang dekat dengan (x,f(x)). Dihitung gradien garis yang menghubungkan titik (x,f(x)) dan (x+h, f(x+h)) , yaitu [f(x+h) - f(x)] / [(x+h) - x]. Pendekatan menjadi lebih akurat diperoleh dengan mengambil h semakin kecil. Dengan menggunakan limit, untuk h mendekati nol, gradien garis pendekatan menjadi laju ubah fungsi di titik (x,f(x)). Laju ubah fungsi f di titik x, yang dikenal sebagai derivatif fungsi f di titik x, didefinisikan oleh asalkan nilai limit ada.

8.1 Pengertian Derivatif

8.1 Pengertian Derivatif (2).

8.1 Pengertian Derivatif (3).

8.1 Pengertian Derivatif (4).

8.1 Pengertian Derivatif (5).

8.1 Pengertian Derivatif (6).

8.1 Pengertian Derivatif (7).

8.1 Pengertian Derivatif (8).

8.2 Sifat-sifat Derivatif.(iv)

8.3. Rumus Dasar

8.4. Aturan Rantai (Chain Rule)

8.4. Aturan Rantai (2)Khusus: Jika , maka

8.4. Aturan Rantai (3)

Contoh

Contoh (2)

8.5. Derivatif Tingkat Tinggi

8.5. Derivatif Tingkat Tinggi (2)

8.5. Derivatif Tingkat Tinggi (3)

Contoh

Derivatif digunakan untuk menyelesaikan permasalahan terkait laju ubah dan optimisasi. Derivatif sebagai laju ubah dapat diterapkan pada sebarang masalah laju ubah suatu kuantitas terhadap kuantitas lain. Penggunaan Derivatif (1)

Pemakaian pada masalah teknik dan sains mempengaruhi kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh: Laju ubah satelit komunikasi ditentukan berdasarkan letaknya yang tergantung waktu.Penggunaan Derivatif (2)

Percepatan jatuhnya suatu partikel ditentukan dari penurunan kecepatan terhadap waktu, sedangkan kecepatan jatuhnya partikel tersebut dihitung dari penurunan posisi partikel terhadap waktu.

Penggunaan Derivatif (3)

Gaya yang digunakan untuk mengalirkan gas alam melalui pipa untuk jarak yang panjang dilakukan dengan menurunkan tekanan gas terhadap jarak.Penggunaan Derivatif (4)

Penggunaan Derivatif (5)Aplikasi penting dari derivatif pada grafik melibatkan informasi dari derivatif pertama dan kedua, serta interpretasi geometrik yang terkait. Derivatif pertama memberikan laju ubah. Nilai derivatif pertama di suatu titik memberikan gradien garis singgung grafik (kurva) di titik tersebut. Dalam hal derivatif bernilai positif, fungsi merupakan fungsi naik. Dalam hal derivatif bernilai negatif, fungsi merupakan fungsi turun. Dalam hal derivatif bernilai nol di titik dengan absis x, garis singgung kurva di x berupa garis horisonal sejajar sumbu-x.

Fermat menyelidiki maksimum dan minimum fungsi dengan memperhatikan garis singgung kurva yang sejajar sujmbu-x. Fermat menuliskan hal tersebut ke Descartes. Metode tersebut merupakan metode yang digunakan hingga saat ini, yaitu penentuan maksimum dan minimum diperoleh saat derivatif fungsi bernilai 0.

(Berdasarkan hasil kerja Fermat, Lagrange menyatakan bahwa Fermat merupakan penemu kalkulus. Newton dan Leibniz juga diakui sebagai penemu kalkulus.)

Penggunaan Derivatif (6)Derivatif kedua memberikan laju ubah dari laju ubah, sehingga memberikan informasi kelengkungan (curvature) grafik fungsi. Derivatif kedua positif, fungsi cembung ke bawah (convex downward atau concave upward). Saat derivatif kedua negatif, grafik cekung ke bawah (concave downward atau convex upward). Informasi derivatif pertama dan kedua fungsi memampukan menggambar grafik tanpa melakukan plot beratus-ratus titik.

Penggunaan Derivatif (7)Derivatif mempunyai aplikasi pada masalah penentuan ekstrem (maksimum atau minimum) fungsi. Sebagai contoh, jika volume benda ditentukan, maka dapat ditunjukkan bahwa bola mempunyai luas permukaan terkecil daripada sebarang bentuk geometri di ruang dimensi-3. Hal ini memberikan interpretasi bentuk optimum air hujan berupa bola pejal dengan luas permukaan terkecil tetapi volume air terbesar.

Contoh masalah derivatif (2)Hukum Newton untuk pemanasan (atau pendinginan) menyatakan bahwa laju ubah temperatur T suatu benda (misal kentang) proporsional terhadap selisih temperatur antara obyek dengan sekitarnya (misal oven), yaitu,

Pada saat suhu oven dan suhu kentang di ruangan ( ) dimasukkan ke dalam oven saat t = 0. Diketahui termometer pengukur suhu pembakaran dimasukkan ke dalam kentang. Setelah 3 menit, suhu kentang menjadi . Berapa waktu yang diperlukan agar suhu kentang mencapai ?

Contoh masalah derivatif (3) Diketahui V (t) menyatakan volume tumor saat t. Pertumbuhan tumor diketahui memenuhi persamaan Gompertzian, yaitu

dengan a dan b konstanta positif. Tunjukkan bahwa volume tumor naik monoton terhadap waktu dan mempunyai nilai berhingga untuk t mendekati1. Tentukan nilai limit tersebut.

Contoh masalah derivatif (4)Jika banyaknya radioaktif isotop uranium-232 berkurang 25% setelah 30 tahun, berapa banyak radioaktif tersebut setelah 100 tahun? Berapa waktu paruh radioaktif tersebut?

Contoh masalah derivatif (5)OPTIMISASI Masalah optimisasi mengacu pada masalah ekstrem (maksimum atau minimum).

Hendak dibuat persegi-panjang dengan keliling 1000 cm. Tentukan ukuran panjang dan lebar persegi-panjang tersebut sehingga luasnya maksimum!

Contoh masalah derivatif (6)Cara terbaik menyelesaikan permasalahan adalah dengan membuat sketsa persegi-panjang yang hendak ditentukan ukurannya.

Contoh masalah derivatif (7)(i) Katakan panjang p cm dan lebar cm. Luas dinyatakan dengan A dan keliling dinyatakan dengan K.(ii) Diperhatikan bahwa A= p dan K = 2 +2p.(iii) Menurut yang diketahui, 2 +2p = 1000. (iv) Diperhatikan bahwa A merupakan fungsi dengan dua perubah. Menggunakan (iii), A dapat diubah menjadi fungsi satu perubah, katakan dalam (Saudara juga dapat menyatakan ke dalam perubah p saja).

Contoh masalah derivatif (8)(v) Subtitusi nilai ke A, diperoleh(vi) A merupakan fungsi dengan perubah bebas p. Grafik fungsi A merupakan parabola dengan titik balik maksimum (p, A), dengan

Contoh masalah derivatif (9)

(vii) Untuk mendapatkan maksimum p, derivatif A terhadap p bernilai 0.(viii) Diperoleh panjang 250 cm dan lebar 250 cm.(ix) Dengan demikian luas maksimum sebesar 62.500 centimeter persegi.

Derivatif lanjutPermasalahan di dalam kehidupan sehari-hari tidak hanya melibatkan fungsi satu perubah. Permasalahan derivatif untuk fungsi dua perubah atau lebih membawa diselesaikan dengan derivatif parsial.

Contoh masalah derivatif fungsi dua perubah atau lebihKimia Fisika (Physical chemists): sifat-sifat termodinamika dari sistem kimia menggunakan konsep integral dan derivatif (derivatif parsial dan persamaan diferensial).EntropyThe Maxwell relations for the Gibbs energy state function

Contoh masalah derivatif fungsi dua perubah atau lebihGibbs free energy and corresponding Maxwells relation

PustakaThe History of the Calculus and the Development of Computer Algebra Systems

http://www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calctoc.html Brendenberger, B.M.Jr., Mathematics, Vol. 1 Ab-Cy, Macmillan reference USA, Thomson Gale, 2002.