FUNGSI LINEARPertemuan 6 dan 7

SUB PEMBAHASAN

1. PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS

2. PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR

3. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

4. PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN LINEAR

PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS

Bentuk umum persamaan linear;

Di mana:

a = penggal garisnya pada sumbu vertikal –y

b = koefisien arah atauh lereng garis yang bersangkutan

Penggal a mencerminkan nilai y pada keududkan x = 0

Lereng b mencerminkan tangen dari sudut yang dibentuk garis –y dan s

umbu –x.

Lereng dari suatu fungsi linear selalu konstan, untuk setiap x.

𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥

a: penggal garis y = a + bx, yakni nilai y pada x =

0

b: lereng garis, yakni ∆𝑦

∆𝑥

Pada x = 0, ∆𝑦

∆𝑥= b

Pada x = 1, ∆𝑦

∆𝑥= b

Pada x = 2, ∆𝑦

∆𝑥= b

Lereng fungsi linear selalu konstan.

y

x0

𝑎

𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥

∆𝑦 = 𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

∆𝑥

1 2 3 4

Dalam kasus-kasus tertentu, garis dari se

buah persamaan linear dapat berupa gari

s hrizontal sejajar sumbu –x atau garis ve

rtikal sejajar sumbu –y.

Hal ini terjadi jika lereng garisnya sama d

engan noll, sehingga ruas kanan persam

aan hanya tinggal sebuah konstanta yang

melambangkan penggal garis tsb.

y = a, berupa garis lurus sejajar sumbu h

orizontal x, besar kecilnya nilai x tidak me

mpengaruhi nilai y.

x = c, berupa garis lurus sejajar sumbu ve

rtikal y, besar kecilnya nilai y tidak memp

engaruhi x

y

x0

𝑦 = 𝑎

𝑥=𝑐

c

PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR

Cara dwi-koordinat

Cara koordinat-lereng

Cara penggal-lereng

Cara dwi-penggal

Cara Dwi-koordinatApabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (𝑥1, 𝑦1 ) dan (𝑥2, 𝑦2), maka rumus persamaan linearnya adalah:

Misal, diketahui titik A (2, 3) dan titik B (6, 5), maka persamaan linearnya adalah:𝑦−𝑦1

𝑦2−𝑦1=

𝑥−𝑥1

𝑥2−𝑥1𝑦 − 3

5 − 3=𝑥 − 2

6 − 2

𝑦 − 3

2=𝑥 − 2

4

4𝑦 − 12 = 2𝑥 − 44𝑦 = 2𝑥 + 4y = 2 + 0,5

𝑦−𝑦1

𝑦2−𝑦1=

𝑥−𝑥1

𝑥2−𝑥1

Cara Koordinat-Lereng

Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (𝑥1, 𝑦1 ) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah:

Misal, diketahui bahwa titik A (2,3) dan lereng garisnya adalah 0,5 maka persamaan linear yang memenuhi kedua data ini adalah:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑏 (𝑥 − 𝑥1)𝑦 − 3 = 0,5(𝑥 − 2)𝑦 − 3 = 0,5𝑥 − 1𝑦 = 2 + 0,5𝑥

𝑦 − 𝑦1 = 𝑏 (𝑥 − 𝑥1)

Cara Penggal-Lereng

Apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam hal ini rumus persamaan linearnya adalah:

Misal, jika penggal dan lereng garis y = f(x) masing-masing adalah 2 dan 0,5 maka persamaan linearnya adalah:

𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥

𝑦 = 2 + 0,5𝑥

Cara Dwi-Penggal

Apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing-masing sumbu, yaitu penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0).

Apabila a dan c masing-masing adalah penggal pada sumbu-sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah:

a = penggal vertikal

c = penggal horizontal

Misal, penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horizontal masing-masing 2 dan -4, maka persamaan linear yang memenuhinya adalah:

𝑦 = 𝑎 +𝑎

𝑐𝑥

𝑦 = 2 +2

−4𝑥

𝑦 = 2 + 0,5𝑥

𝑦 = 𝑎 −𝑎

𝑐𝑥

Garis lurus dari persamaan linear y = 2 + 0,5x

0 1 2 3 4 5 6x

y

B

PbA

-2-4

𝑦 = 2 + 0,5𝑥

1

2

3

5

c

Lereng sebuah garis lurus tak lain adalah hasil bagi selisih antara dua ordinat(𝑦2 − 𝑦1) terhadap selisih antara dua absis (𝑥2 − 𝑥1). Menurut cara dwi-koordinat rumus persamaan linear adalah:

Menurut cara koordinat-lereng.

Berarti:

𝑦−𝑦1

𝑦2−𝑦1=

𝑥−𝑥1

𝑥2−𝑥1

𝑦 − 𝑦1 = 𝑏 (𝑥 − 𝑥1)

𝑏 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

Dua buah garis lurus mempunyai 4 macam kemungkinan bentuk hubungan:

1. Berimpit

2. Sejajar

3. Berpotongan

4. Tegak lurus

Sejajar

Dua buah garis akan sejajar apabila lereng garis yang satu sama dengan lereng garis yang lain.

Garis 𝑦1 = 𝑎1 + 𝑏1𝑥 akan sejajar dengan garis 𝑦2 = 𝑎2 +𝑏2𝑥 jika:

𝑏1 = 𝑏2,𝑎1 ≠ 𝑎2

y

x

Berpotongan

Dua buah garis akan berpotongan apabila lereng garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain.

Garis 𝑦1 = 𝑎1 + 𝑏1𝑥 akan sejajar dengan garis 𝑦2 = 𝑎2 +𝑏2𝑥 jika:

𝑎1 ≠ 𝑎1𝑏1 ≠ 𝑏2

y

x

Tegak Lurus

Dua buah garis akan saling tegak lurus apabila lereng garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda berlawanan.

Garis 𝑦1 = 𝑎1 + 𝑏1𝑥 akan sejajar dengan garis 𝑦2 = 𝑎2 + 𝑏2𝑥 jika:

𝑏1 = −1

𝑏2Atau

𝑏1. 𝑏2 = −1

y

x

PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN LINEAR

1. Cara Subtitusi

2. Cara Eliminasi

3. Cara Determinan

Cara SubtitusiDengan cara menyelesaikan terlebih

dahulu sebuah persamaan untuk sala

h satu bilangan, kemudian mensubtit

usikannya ke dalam persamaan yang

lain.

Misal, carilah nilai variabel-variabel x

dan y dari dua persamaan berikut:

2x + 3y = 21

x + 4y = 23

Penyelesaian:

x + 4y = 23 x = 23 – 4y

2x + 3y = 21

2 (23 – 4y) + 3y = 21

46 – 8y + 3y = 21

46 – 5y = 21

25 = 5y

y = 5

Subtitusikan nilai y ke salah satu persamaan:

x + 4y = 23

x + 4 (5) = 23

x = 23 – 20

x = 3

Sehingga akar-akar persamaan tsb adalah x = 3 dan y = 5

Cara Eliminasi

Dengan cara menghilangkan untuk sementara salah satu dari bilangan yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan yang lain.

Misal, carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut:

2x + 3y = 21

x + 4y = 23

Penyelesaian:

2x + 3y = 21 x 1 2x + 3y = 21

x + 4y = 23 x 2 2x + 8y = 46

-5y = -25

y = 5

x + 4y = 23

x + 4(5) = 23

x +20 = 23

x = 23 – 20

x = 3

Sehingga akar-akar persamaan tsb adalah x = 3 dan y = 5

Cara Determinan

• Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi:𝑎 𝑏𝑑 𝑒

• Sebuah determinan bisa saja mempunyai sejumlah besar baris dan kolom, akan tetapi banyaknya baris harus sama dengan banyaknya kolom.

• Banyaknya baris dan kolom suatu determinan menunjukkan dimensi dari determinan tersbeut, sekaligus juga merupukana derajat determinannya.

• Dengan demikian, determinan berderajat-n maksudnya ialah determinan yang berdimensi-n, yakni determinan yang terdiri atas n baris dan n kolom.

• Prinsip kerja determinan ialah dengan mengalikan unsur-unsurnya secara diagonal, dari kir-atas menurun ke kanan-bawah dan dari kiri-bawah menaik ke kanan atas; kemudian hasil perkalian menurun dikurangi dengan hasil perkalian naik.

𝑝 −𝑞𝑠 𝑡

= 𝑝𝑡 − 𝑠(−𝑞)

𝑎 𝑏𝑑 𝑒

= 𝑎𝑒 − 𝑏𝑑

Untuk determinan berderajat 3:

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

= 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐ℎ𝑑 − 𝑔𝑒𝑐 − 𝑑𝑏𝑖 − 𝑎𝑓ℎ

Contoh:

Penyelesaian:

𝐷 =2 31 4

= 2 4 − 3 1 = 5

𝐷𝑥 =21 323 4

= 21 4 − 23 3 = 15

𝐷𝑦 =2 211 23

= 2 23 − 1 21 = 25

𝑥 =𝐷𝑥𝐷

=15

5= 3

𝑦 =𝐷𝑦

𝐷=25

5= 5

2𝑥 + 3𝑦 = 21𝑥 + 4𝑦 = 23

Jika kita memiliki tiga persamaan dengan tiga bilangan:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑘𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓𝑧 = 𝑙𝑔𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑖𝑧 = 𝑚

Maka:

𝐷 =

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

= 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐ℎ𝑑 − 𝑔𝑒𝑐 − 𝑑𝑏𝑖 − 𝑎𝑓ℎ

𝐷𝑥 =𝑘 𝑏 𝑐𝑙 𝑒 𝑓𝑚 ℎ 𝑖

= 𝑘𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑚 + 𝑐ℎ𝑙 − 𝑚𝑒𝑐 − 𝑙𝑏𝑖 − 𝑘𝑓ℎ

𝐷𝑦 =𝑎 𝑘 𝑐𝑑 𝑙 𝑓𝑔 𝑚 𝑖

= 𝑎𝑙𝑖 + 𝑘𝑓𝑔 + 𝑐𝑚𝑑 − 𝑔𝑙𝑐 − 𝑑𝑘𝑖 − 𝑎𝑓𝑚

𝐷𝑧 =𝑎 𝑏 𝑘𝑑 𝑒 𝑙𝑔 ℎ 𝑚

= 𝑎𝑒𝑚 + 𝑏𝑙𝑔 + 𝑘ℎ𝑑 − 𝑔𝑒𝑘 − 𝑑𝑏𝑚 − 𝑎𝑙ℎ

• Selanjutnya

𝑥 =𝐷𝑥𝐷

𝑦 =𝐷𝑦

𝐷

𝑧 =𝐷𝑧𝐷

Penyelesaian:

𝐷 =1 2 −12 5 20 1 −3

= 1 5 −3 + 2 2 0 + −1 1 2 − 0 5 −1 − 2 2 −3 − 1 2 1 = −7

𝐷𝑥 =0 2 −114 5 2−7 1 −3

= 0 5 −3 + 2 2 −7 + −1 1 14 − −7 5 −1 − 14 2 −3 − 0 2 1 = −7

𝐷𝑦 =1 0 −12 14 20 −7 −3

= 1 14 −3 + 0 2 0 + −1 −7 2 − 0 14 −1 − 2 0 −3 − 1 2 −7 = −14

𝐷𝑧 =1 2 02 5 140 1 −7

= 1 5 −7 + 2 14 0 + 0 1 2 − 0 5 0 − 2 2 −7 − 1 14 1 = −21

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 14𝑦 − 3𝑧 = −7

𝑥 =𝐷𝑥𝐷

=7

−7= −1 𝑦 =

𝐷𝑦

𝐷=−14

−7= 2 𝑧 =

𝐷𝑧𝐷

=−21

−7= 3

Contoh:

Latihan soal:

1. Carilah persamaan yang membentuk kurva linear berimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus?

2. Selesaikan determinan-determinan berikut:

a.7 3 24 8 56 4 9

b.1 12 −310 7 6−5 4 3

c.1 2 34 5 67 8 9

3. Hitunglah nilai-nilai x dan y apabila 8x = 4 + 4y dan 2x + 3y – 21 = 0

4. Kerjakan soal nomor (3) dengan cara determinan

5. Carilah nilai a, b dan c dengan cara determinan jika:

a + b + c = 3

5a – 9b – 2c = 8

3a + 5b – 3c = 45