FUNGSI LINEARPertemuan 6 dan 7
SUB PEMBAHASAN
1. PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS
2. PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR
3. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
4. PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN LINEAR
PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS
Bentuk umum persamaan linear;
Di mana:
a = penggal garisnya pada sumbu vertikal βy
b = koefisien arah atauh lereng garis yang bersangkutan
Penggal a mencerminkan nilai y pada keududkan x = 0
Lereng b mencerminkan tangen dari sudut yang dibentuk garis βy dan s
umbu βx.
Lereng dari suatu fungsi linear selalu konstan, untuk setiap x.
π¦ = π + ππ₯
a: penggal garis y = a + bx, yakni nilai y pada x =
0
b: lereng garis, yakni βπ¦
βπ₯
Pada x = 0, βπ¦
βπ₯= b
Pada x = 1, βπ¦
βπ₯= b
Pada x = 2, βπ¦
βπ₯= b
Lereng fungsi linear selalu konstan.
y
x0
π
π¦ = π + ππ₯
βπ¦ = π
π
π
π
βπ₯
1 2 3 4
Dalam kasus-kasus tertentu, garis dari se
buah persamaan linear dapat berupa gari
s hrizontal sejajar sumbu βx atau garis ve
rtikal sejajar sumbu βy.
Hal ini terjadi jika lereng garisnya sama d
engan noll, sehingga ruas kanan persam
aan hanya tinggal sebuah konstanta yang
melambangkan penggal garis tsb.
y = a, berupa garis lurus sejajar sumbu h
orizontal x, besar kecilnya nilai x tidak me
mpengaruhi nilai y.
x = c, berupa garis lurus sejajar sumbu ve
rtikal y, besar kecilnya nilai y tidak memp
engaruhi x
y
x0
π¦ = π
π₯=π
c
PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR
Cara dwi-koordinat
Cara koordinat-lereng
Cara penggal-lereng
Cara dwi-penggal
Cara Dwi-koordinatApabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (π₯1, π¦1 ) dan (π₯2, π¦2), maka rumus persamaan linearnya adalah:
Misal, diketahui titik A (2, 3) dan titik B (6, 5), maka persamaan linearnya adalah:π¦βπ¦1
π¦2βπ¦1=
π₯βπ₯1
π₯2βπ₯1π¦ β 3
5 β 3=π₯ β 2
6 β 2
π¦ β 3
2=π₯ β 2
4
4π¦ β 12 = 2π₯ β 44π¦ = 2π₯ + 4y = 2 + 0,5
π¦βπ¦1
π¦2βπ¦1=
π₯βπ₯1
π₯2βπ₯1
Cara Koordinat-Lereng
Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (π₯1, π¦1 ) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah:
Misal, diketahui bahwa titik A (2,3) dan lereng garisnya adalah 0,5 maka persamaan linear yang memenuhi kedua data ini adalah:
π¦ β π¦1 = π (π₯ β π₯1)π¦ β 3 = 0,5(π₯ β 2)π¦ β 3 = 0,5π₯ β 1π¦ = 2 + 0,5π₯
π¦ β π¦1 = π (π₯ β π₯1)
Cara Penggal-Lereng
Apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam hal ini rumus persamaan linearnya adalah:
Misal, jika penggal dan lereng garis y = f(x) masing-masing adalah 2 dan 0,5 maka persamaan linearnya adalah:
π¦ = π + ππ₯
π¦ = 2 + 0,5π₯
Cara Dwi-Penggal
Apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing-masing sumbu, yaitu penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0).
Apabila a dan c masing-masing adalah penggal pada sumbu-sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah:
a = penggal vertikal
c = penggal horizontal
Misal, penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horizontal masing-masing 2 dan -4, maka persamaan linear yang memenuhinya adalah:
π¦ = π +π
ππ₯
π¦ = 2 +2
β4π₯
π¦ = 2 + 0,5π₯
π¦ = π βπ
ππ₯
Garis lurus dari persamaan linear y = 2 + 0,5x
0 1 2 3 4 5 6x
y
B
PbA
-2-4
π¦ = 2 + 0,5π₯
1
2
3
5
c
Lereng sebuah garis lurus tak lain adalah hasil bagi selisih antara dua ordinat(π¦2 β π¦1) terhadap selisih antara dua absis (π₯2 β π₯1). Menurut cara dwi-koordinat rumus persamaan linear adalah:
Menurut cara koordinat-lereng.
Berarti:
π¦βπ¦1
π¦2βπ¦1=
π₯βπ₯1
π₯2βπ₯1
π¦ β π¦1 = π (π₯ β π₯1)
π =π¦2 β π¦1π₯2 β π₯1
HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
Dua buah garis lurus mempunyai 4 macam kemungkinan bentuk hubungan:
1. Berimpit
2. Sejajar
3. Berpotongan
4. Tegak lurus
Sejajar
Dua buah garis akan sejajar apabila lereng garis yang satu sama dengan lereng garis yang lain.
Garis π¦1 = π1 + π1π₯ akan sejajar dengan garis π¦2 = π2 +π2π₯ jika:
π1 = π2,π1 β π2
y
x
Berpotongan
Dua buah garis akan berpotongan apabila lereng garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain.
Garis π¦1 = π1 + π1π₯ akan sejajar dengan garis π¦2 = π2 +π2π₯ jika:
π1 β π1π1 β π2
y
x
Tegak Lurus
Dua buah garis akan saling tegak lurus apabila lereng garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda berlawanan.
Garis π¦1 = π1 + π1π₯ akan sejajar dengan garis π¦2 = π2 + π2π₯ jika:
π1 = β1
π2Atau
π1. π2 = β1
y
x
PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN LINEAR
1. Cara Subtitusi
2. Cara Eliminasi
3. Cara Determinan
Cara SubtitusiDengan cara menyelesaikan terlebih
dahulu sebuah persamaan untuk sala
h satu bilangan, kemudian mensubtit
usikannya ke dalam persamaan yang
lain.
Misal, carilah nilai variabel-variabel x
dan y dari dua persamaan berikut:
2x + 3y = 21
x + 4y = 23
Penyelesaian:
x + 4y = 23 x = 23 β 4y
2x + 3y = 21
2 (23 β 4y) + 3y = 21
46 β 8y + 3y = 21
46 β 5y = 21
25 = 5y
y = 5
Subtitusikan nilai y ke salah satu persamaan:
x + 4y = 23
x + 4 (5) = 23
x = 23 β 20
x = 3
Sehingga akar-akar persamaan tsb adalah x = 3 dan y = 5
Cara Eliminasi
Dengan cara menghilangkan untuk sementara salah satu dari bilangan yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan yang lain.
Misal, carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut:
2x + 3y = 21
x + 4y = 23
Penyelesaian:
2x + 3y = 21 x 1 2x + 3y = 21
x + 4y = 23 x 2 2x + 8y = 46
-5y = -25
y = 5
x + 4y = 23
x + 4(5) = 23
x +20 = 23
x = 23 β 20
x = 3
Sehingga akar-akar persamaan tsb adalah x = 3 dan y = 5
Cara Determinan
β’ Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi:π ππ π
β’ Sebuah determinan bisa saja mempunyai sejumlah besar baris dan kolom, akan tetapi banyaknya baris harus sama dengan banyaknya kolom.
β’ Banyaknya baris dan kolom suatu determinan menunjukkan dimensi dari determinan tersbeut, sekaligus juga merupukana derajat determinannya.
β’ Dengan demikian, determinan berderajat-n maksudnya ialah determinan yang berdimensi-n, yakni determinan yang terdiri atas n baris dan n kolom.
β’ Prinsip kerja determinan ialah dengan mengalikan unsur-unsurnya secara diagonal, dari kir-atas menurun ke kanan-bawah dan dari kiri-bawah menaik ke kanan atas; kemudian hasil perkalian menurun dikurangi dengan hasil perkalian naik.
π βππ π‘
= ππ‘ β π (βπ)
π ππ π
= ππ β ππ
Untuk determinan berderajat 3:
π π ππ π ππ β π
= πππ + πππ + πβπ β πππ β πππ β ππβ
Contoh:
Penyelesaian:
π· =2 31 4
= 2 4 β 3 1 = 5
π·π₯ =21 323 4
= 21 4 β 23 3 = 15
π·π¦ =2 211 23
= 2 23 β 1 21 = 25
π₯ =π·π₯π·
=15
5= 3
π¦ =π·π¦
π·=25
5= 5
2π₯ + 3π¦ = 21π₯ + 4π¦ = 23
Jika kita memiliki tiga persamaan dengan tiga bilangan:
ππ₯ + ππ¦ + ππ§ = πππ₯ + ππ¦ + ππ§ = πππ₯ + βπ¦ + ππ§ = π
Maka:
π· =
π π ππ π ππ β π
= πππ + πππ + πβπ β πππ β πππ β ππβ
π·π₯ =π π ππ π ππ β π
= πππ + πππ + πβπ β πππ β πππ β ππβ
π·π¦ =π π ππ π ππ π π
= πππ + πππ + πππ β πππ β πππ β πππ
π·π§ =π π ππ π ππ β π
= πππ + πππ + πβπ β πππ β πππ β ππβ
β’ Selanjutnya
π₯ =π·π₯π·
π¦ =π·π¦
π·
π§ =π·π§π·
Penyelesaian:
π· =1 2 β12 5 20 1 β3
= 1 5 β3 + 2 2 0 + β1 1 2 β 0 5 β1 β 2 2 β3 β 1 2 1 = β7
π·π₯ =0 2 β114 5 2β7 1 β3
= 0 5 β3 + 2 2 β7 + β1 1 14 β β7 5 β1 β 14 2 β3 β 0 2 1 = β7
π·π¦ =1 0 β12 14 20 β7 β3
= 1 14 β3 + 0 2 0 + β1 β7 2 β 0 14 β1 β 2 0 β3 β 1 2 β7 = β14
π·π§ =1 2 02 5 140 1 β7
= 1 5 β7 + 2 14 0 + 0 1 2 β 0 5 0 β 2 2 β7 β 1 14 1 = β21
π₯ + 2π¦ β π§ = 02π₯ + 5π¦ + 2π§ = 14π¦ β 3π§ = β7
π₯ =π·π₯π·
=7
β7= β1 π¦ =
π·π¦
π·=β14
β7= 2 π§ =
π·π§π·
=β21
β7= 3
Contoh:
Latihan soal:
1. Carilah persamaan yang membentuk kurva linear berimpit, sejajar, berpotongan dan tegak lurus?
2. Selesaikan determinan-determinan berikut:
a.7 3 24 8 56 4 9
b.1 12 β310 7 6β5 4 3
c.1 2 34 5 67 8 9
3. Hitunglah nilai-nilai x dan y apabila 8x = 4 + 4y dan 2x + 3y β 21 = 0
4. Kerjakan soal nomor (3) dengan cara determinan
5. Carilah nilai a, b dan c dengan cara determinan jika:
a + b + c = 3
5a β 9b β 2c = 8
3a + 5b β 3c = 45