1

Pertemuan 2Pemrograman Linear

Matakuliah : K0442 – Metode Kuantitatif

Tahun : 2005

Versi : 1 / 0

2

Learning Outcomes

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa

akan mampu :

• Merumuskan masalah-masalah yang ada kedalam formulasi model programasi linear

3

Outline Materi

• Formulasi dan asumsi dasar linear programming

• Aplikasi formulasi linear programming

4

Tujuan Perusahaan

• Yang paling sering terjadi adalah sedapat mungkin memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya.

5

Formulasi Model

Komponen Model :

1. Variabel Keputusan

2. Fungsi Tujuan

3. Batasan Model

6

Variabel Keputusan

Merupakan simbol matematika yang menggambarkan tingkatan aktifitas perusahaan.

Contoh : perusahaan elektronik menginginkan untuk memproduksi x1 radio, x2 bakaran roti, dan x3 jam, dimana x1, x2 dan x3 adalah lambang yang menunjukkan jumlah variabel setiap item yang tidak diketahui. Nilai akhir dari x1, x2, x3, sesuai pengarahan perusahaan, merupakan keputusan (misal x1 = 10 radio adalah keputusan perusahaan untuk memproduksi radio).

7

Tahap Dalam Menggunakan Program Linier

1.Masalah harus dapat diidentifikasikan sebagai sesuatu yang dapat diselesaikan dengan program linier.

2.Masalah yang tidak terstruktur harus dapat dirumuskan dalam model matematika, sehingga menjadi terstruktur.

3.Model harus dapat diselesaikan dengan teknik matematika yang telah dibuat

8

Fungsi Tujuan

Merupakan hubungan matematika linier yang menjelaskan tujuan perusahaan dalam terminologi variabel keputusan.

Fungsi tujuan selalu mempunyai salah satu target yaitu memaksimumkan atau meminimumkan suatu nilai (memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya utk memproduksi radio)

9

Batasan Model

Merp hubungan linier dari varibel‑variabel keputusan; batasan‑batasan menunjukkan keterbatasan perusahaan karena lingkungan operasi perusahaan.

Batasan‑batasan dapat berupa keterbatasan sumber daya atau pedoman.

Contoh : hanya 40 jam tenaga kerja tersedia, untuk membuat radio selama proses produksi.

10

CONTOH : Kombinasi Produk

Perusahaan Barang Maju Bersama memproduksi 2 produk setiap hari yaitu mangkok dan cangkir. Perusahaan mempunyai 2 sumber daya yang terbatas jumlahnya yang digunakan untuk memproduksi produk‑produk tersebut seperti tanah liat dan tenaga kerja. Dengan keterbatasan sumber daya, perusahaan ingin mengetahui berapa banyak mangkok dan gelas yang akan diproduksi tiap hari dalam rangka memaksimumkan laba. Kedua produk mempunyai kebutuhan sumber daya untuk produksi serta laba per item adalah sebagai berikut:

11

Tersedia 40 jam tenaga dan 120 pon tanah liat setiap hari untuk produksi. Masalah ini akan dirumuskan sebagai model program linier dengan mendefinisikan terpisah setiap komponen model dan menggabungkan komponen‑komponen tersebut dalam satu model.

Kebutuhan Sumber Daya

Produk $ / unit

Tenaga Tenaga KerjaKerja Tanah LiatTanah Liat Laba / PonLaba / Pon

MangkokMangkok 11 44 44

CangkirCangkir 22 33 55

12

Variabel Keputusan

Keputusan yang dihadapi manajemen dalam masalah ini adalah berapa banyak mangkok dan cangkir yang harus diproduksi tiap hari.

Jumlah yang diproduksi untuk tiap jenis produk adalah sebagai berikut

X1 : jumlah mangkok yang diproduksi

X2 : jumlah cangkir yang diproduksi

13

Fungsi Tujuan

Tujuan perusahaan adalah untuk Tujuan perusahaan adalah untuk memaksimumkan total laba. Laba memaksimumkan total laba. Laba perusahaan adalah jumlah dari laba setiap perusahaan adalah jumlah dari laba setiap mangkok dan cangkir. mangkok dan cangkir.

memaksimumkan Z = $ 4 xmemaksimumkan Z = $ 4 x11+ 5 x+ 5 x2 2

dimana dimana

Z Z = total laba tiap hari = total laba tiap hari

$4x$4x11 = laba dari mangkok = laba dari mangkok

$5x$5x22 = laba dari cangkir = laba dari cangkir

14

Batasan Model-1Batasan Model-1

Dalam masalah berikut terdapat 2 sumber daya digunakan : tenaga kerja dan tanah liat

BATASAN TENAGA KERJA : Untuk setiap mangkok yang diproduksi memerlukan 1

(satu) jam tenaga kerja dan Untuk setiap cangkir diperlukan 2 jam tenaga kerja …….. 1x1 + 2x2

Akan tetapi jumlah tenaga kerja sebesar 1x1 + 2x2 dibatasi sampai dengan 40 jam perhari, maka batasan tenaga kerja menjadi:

1x1 + 2x2 ≤ 40 jam

15

Batasan Model-2

BATASAN TANAH LIAT : Setiap mangkok memerlukan 4 pon tanah liat. Jumlah

tanah liat yang digunakan tiap hari untuk memproduksi mangkok adalah 4 x1 pon

Setiap cangkir memerlukan 3 pon tanah liat. Jumlah tanah liat yang digunakan tiap hari adalah 3 x2.

Jika diasumsikan bahwa tanah liat yang tersedia tiap hari adalah 120 pon, batasan bahan baku dapat dirumuskan sebagai berikut

4 x1 + 3 x2 ≤ 120 pon

16

Batasan Model-3

Batasan akhir adalah bahwa jumlah mangkok dan cangkir yang diproduksi bernilai nihil atau positif

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

17

Model Program Linier :

Memaksimumkan Z = $ 4 x1 + 5 x2

Terbatas pada

1 x1 + 2 x2 ≤ 40

4 x1 + 3 x2 ≤ 120

x1, x2 ≥ 0

18

Contoh Unsur‑Unsur Campuran

Perusahaan makanan biji‑bijian menghasilkan makanan biji‑bijian yang disebut Fortified Munchies, yang diiklankan sebagai makanan yang memenuhi kebutuhan harian atas vitamin A dan D. Departemen pencampuran menggunakan tiga macam unsur-unsur dalam membuat makanan biji‑bijian ‑ terigu, gandum dan beras ‑ semuanya berisi berbagai vitamin A dan D dalam jumlah tertentu. Apabila untuk satu kotak biji‑bijian harus berisi jumlah tertentu vitamin A dan D maka perusahaan menginstruksikan departemen pencampuran untuk menentukan berapa ons setiap unsur yang harus dimasukkan dalam setiap kotak biji‑bijian dalam usaha untuk meminimumkan biaya.

19

Kontribusi Vitamin

Vitamin Terigu Gandum Beras Kebutuhan

  (mg/ons) (mg/ons) (mg/ons) mg/box

A 10 20 8 100

D 7 14 12 70

Biaya 1 ons terigu adalah $.04, biaya satu gandum adalah $.06 dan biaya satu ons beras adalah $.02

20

Variabel Keputusan

Masalah ini berisi tiga variabel keputusan yang menunjukkanjumlah ons untuk setiap unsur dalam kotak yang berisi biji‑bijian. x1 = ons terigu x2 = ons gandum dan x3 = ons beras

21

Fungsi Tujuan

Tujuan : untuk meminimum biaya setiap kotak biji-bijian. Biaya total adalah jumlah biaya‑biaya individu dari setiap unsur.

Jadi fungsi tujuan adalah untuk meminimumkan total biaya, Z, ditunjukkan sebagai

meminimumkan Z = $ 0.04x1 + 0.06x2 + 0.02x3

dimana

Z = total biaya per kotak

$.04 x1 = biaya terigu per kotak

$.06 x2 = biaya gandum per kotak

$.02 x3 = biaya beras per kotak

22

Batasan Model-1

Batasan : kebutuhan vitamin yang terdapat dalam biji‑bijian

Untuk vitamin A : 10 x1 + 20 x2 + 8 x3 ≥ 100 Mg

dimana

10 x1 = kontribusi terigu dalam vitamin A (mg)

20 x2 = kontribusi gandum dalam vitamin A (mg)

8 x3 = kontribusi beras dalam vitamin A (mg)

23

Batasan Model-2

Untuk vitamin D : 7 x1 + 14 x2 + 12 x3 ≥ 70 mg

x1, x2, x3 ≥ 0

24

Batasan Model-3

Model program linier :

meminimumkan

Z = $ 0.04 x1 + 0.06 x2 + 0.02 x3

Terbatas pada

10 x1 + 20 x2 + 8 x3 ≥ 100

7 x1 + 14 x2+ 12 x3 ≥ 70

x1, x2, x3 ≥ 0

25

Karakteristik Masalah Program Linier

1. Masalah mencakup tujuan yang akan dicapai. Jadi langkah pertama dalam memformulasikan model program linier adalah mempelajari masalah dengan sebaik‑baiknya dalam rangka mencapai tujuan manajemen.

2. Menentukan variabel keputusan untuk memudahkan penentuan fungsi tujuan dan batasan

3. Terdapatnya batasan-batasan, membuat pencapaian fungsi tujuan yang tidak terbatas tidak dapat terjadi

26

Kesimpulan

Model program linier dari masalah‑masalah ini memperlihatkan karakteristik‑karakteristik umum tertentu:

1. Fungsi tujuan untuk dimaksimumkan atau diminimumkan

2. Kumpulan batasan‑batasan

3. Variabel‑variabel keputusan untuk mengukur tingkatan aktifitas

4. Semua hubungan batasan dan fungsi tujuan adalah linier