RANCANGAN PERCOBAAN

RANCANGAN BUJUR SANGKAR YOUDEN

Disusun Oleh :

1. Ari Cahyani (M0108033)

2. Dimas Ari K P (M0108085)

3. Amalia Ma’rufa (M0110004)

4. Dwi Haryanti (M0110019)

5. Hendrika Handayani (M0110033)

6. Nida Luthfiyah (M0110060)

7. Pitaningsih (M0110064)

8. Retno Jati Sahari (M0110070)

9. Uswatun Nur Chasanah (M0110081)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PRNGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012

1

1. PENDAHULUAN

Dalam suatu percobaan atau suatu penelitian sering bergantung pada kecakapan

dalam pemilihan metode analisis yang tepat, termasuk juga cara-cara perencanaan

yang tepat untuk mendapatkan data yang diperlukan atau yang dikenal dengan

rancangan percobaan. Dimana tujuan dari rancangan percobaan adalah untuk

mengumpulkan informasi sebanyak-banyaknya sehingga berguna dalam penelitian

yang dibahas.

Dalam suatu percobaan atau penelitian seringkali dihadapkan pada kondisi yang

beraneka ragam, termasuk unit-unit percobaan dan perlakuan yang diamati. Apabila

dalam suatu percobaan ingin menghilangkan dua jenis variasi dimana dalam

menghilangkan dua jenis variasi tersebut dilakukan dengan pemblokan dua arah

maka pada kasus ini dapat digunakan beberapa metode, tergantung dari banyaknya

baris, kolom dan perlakuan yang diamati. Apabila banyaknya kolom sama dengan

banyaknya baris dan perlakuan yang diamati maka digunakan Rancangan Bujur

Sangkar Latin (RBSL) akan tetapi apabila banyaknya kolom tidak sama dengan

banyaknya baris dan perlakuan yang diamati maka digunakan Rancangan Bujur

Sangkar Youden (RBSY).

2. RANCANGAN BUJUR SANGKAR YOUDEN

2.1 Pengertian

Rancangan Bujur Sangkar Youden (RBSY) dikembangkan oleh W.J Youden.

Bujur sangkar Youden adalah bujur sangkar Latin yang tidak lengkap karena jumlah

kolomnya tidak sama dengan jumlah baris dan perlakuan yang diteliti. Contoh dari

rancangan bujur sangkar Youden adalah sebagai berikut

BlokPosisi

1 2 3

1 A B C

2 B A D

3 C D B

4 D C A

2

Contoh di atas adalah merupakan contoh bujur sangkar Youden dengan jumlah

kolom = 3, jumlah baris = 4, dan jumlah perlakuan = 4 (A, B,C, dan D). Terlihat

jumlah baris sama dengan jumlah perlakuan dan jumlah kolom berbeda dengan

jumlah baris dan perlakuan.

Selain itu Rancangan Bujur Sangkar Youden (RBSY) dapat merupakan

Rancangan Bujur Sangkar Latin tak lengkap yaitu dengan menambah paling sedikit

satu kolom, atau baris , karena dengan penambahan tersebut akan didapat bujur

sangkar Latin. Misalkan pada contoh RBSY di atas apabila pada baris pertama

ditambah perlakuan D, pada baris kedua ditambah perlakuan C, pada baris ketiga

ditambah perlakuan A, dan pada baris keempat ditambah perlakuan B maka akan

didapat RBSL dengan ukuran 4 x 4 sebagai berikut

BlokPosisi

1 2 3 4

1 A B C D

2 B A D C

3 C D B A

4 D C A B

Selain itu RBSY juga dapat dibuat dari semua Rancangan Blok tak

lengkap seimbang.

2.2 Analisis Statistik

Rancangan Bujur Sangkar Youden memiliki model statistik sebagai berikut

dengan

Yijh : hasil observasi yang dicatat dari blok ke-i, perlakuan ke-j, dan posisi ke-h

: mean keseluruhan

: efek blok ke-i

: efek perlakuan ke-j

: efek posisi ke-h

3

: sesatan random, dimana ε ijh~DNI (0 , σ2 ) .

Selanjutnya jika diasumsikan bahwa banyaknya perlakuan sama dengan a dan

banyaknya blok sama dengan b maka pada RBSY banyaknya perlakuan sama dengan

banyaknya blok atau a=b. Jika banyak masing-masing perlakuan muncul dalam

seluruh percobaan (replikasi) sama dengan r dan banyaknya perlakuan dalam tiap

blok sama dengan k maka setiap dua perlakuan muncul atau tampak bersama-sama

dalam jumlah yang sama dalam seluruh percobaan dapat dituliskan dengan

Selanjutnya,

JKT = JKPerlakuan (Diperbaiki) + JKBlok + JKPosisi + JKS , dengan

; (db) = N-1 ,

dimana : Y… adalah jumlah dari seluruh hasil observasi yang dicatat dan

N adalah banyaknya hasil observasi yang dicatat

JKP(Diperbaiki) = ; (db) = a-1,

dimana : : jumlah perlakuan ke-j yang diperbaiki dan dapat dituliskan :

: Y.j. - 1k ∑i=1

b

nij Y i …, dengan

Yi.. : jumlah dari observasi yang dicatat pada blok ke-i dan

nij : 1, jika perlakuan ke-j ada dalam blok ke-i

0, jika perlakuan ke-j tidak ada dalam blok ke-i

Tujuan dari JKP(Diperbaiki) adalah untuk memisahkan antara efek perlakuan dan blok,

hal ini perlu karena setiap perlakuan diwakili dalam himpunan yang berbeda dari r

blok.

JKBlok = ; (db) = b-1

4

JKPosisi = ; (db) = k-1

JKSesatan = JKT - JKP(Diperbaiki) - JKBlok - JKPosisi ; (db) = N-a-b-k+2

Selain itu dari uraian diatas dapat dibentuk tabel ANAVA sebagai berikut :

Sumber

Variasi

Db JK RK F

Perlakua

n

a-1 JKP(Diperbaiki) RKP(Diperbaiki)=

JKP(Diperbaiki )

a−1F =

RKP(Diperbaiki )

RKS

Blok b-1 JKBlok

RKBlok =

Posisi k-1 JKPosisi

RKPosisi =

Sesatan N-a-b-

k+2

JKS

RKS =

Total N-1 JKT

Untuk uji hipotesis adalah sebagai berikut :

H0 :

H1 : , untuk paling sedikit sebuah i yang memiliki pengaruh.

Daerah kritis H0 ditolak jika F0 >

Statistik uji

F =

RKP(Diperbaiki )

RKS

Menarik kesimpulan.

Jika Ho ditolak maka dilakukan uji jarak berganda Duncan, dengan langkah-

langkah sebagai berikut:

5

1. Rata-rata perlakuan diurutkan dari kecil ke besar

2. Menghitung sesatan standar

S=√ k . RKS

λ . a

3. Mencari nilai r(,p,f), p = 2,3, ...., a

f adalah derajat bebas sesatan

4. Mencari nilai Rp = r(,p,f) . S yi .

5. Membandingkan selisih rata-rata perlakuan dengan Rp

dibandingkan dengan Ra

dibandingkan dengan Ra-1

dibandingkan dengan R2

6. Jika selisih rata-rata perlakuan > Rp maka berbeda .

Jika terdapat dua rata-rata berbeda, tetapi terletak diantara dua rata-rata yang

sama, maka perbedaan tersebut tidak signifikan.

3. CONTOH APLIKASI RANCANGAN BUJUR SANGKAR YOUDEN

Peneliti ingin mempelajari 5 level penerangan pada perakitan barang-barang

industri. Karena waktu diperkirakan menjadi faktor pada percobaan, maka peneliti

.1 a

6

τ̂=k .ϕ j

λ .a

τ a−τ2 .

τ a−τa−1

memutuskan untuk meneliti 5 blok, dimana setiap blok adalah hari dalam minggu.

Namun, departemen yang melaksanakan percobaan juga memiliki 4 pos pekerjaan

dan pos-pos ini merupakan sumber variasi. Peneliti memutuskan untuk menggunakan

bujur sangkar youden dengan 5 baris (hari atau blok), 4 kolom (pos pekerjaan) dan 5

perlakuan (level penerangan).. Hasil percobaan disajikan dalam data sebagai berikut:

Day

(blok)

Pos pekerjaan Yi..

1 2 3 4

1 A = 3 B = 1 C = -2 D = 0 2

2 B = 0 C = 0 D = -1 E = 7 6

3 C = -1 D = 0 E = 5 A = 3 7

4 D = -1 E = 6 A = 4 B = 0 9

5 E = 5 A = 2 B = 1 C = -1 7

y..h 6 9 7 9 y… = 31

A. Penyelesaian dengan cara manual :

Dari data , diperoleh,

N = 20 ; b = a = 5 ; k = r = 4

λ= r (k−1)a−1

=4 (4−1)5−1

=3

Table perhitungan perlakuan :

Blok A B C D E

1 3 1 -2 0 -

2 - 0 0 -1 7

3 3 - -1 0 5

7

4 4 0 - -1 6

5 2 1 -1 - 5

y.j. 12 2 -4 -2 23

JKTotal = ∑

I∑

J∑

KY IJK

2 −Y .. .

2

N

= (32+12+(−2)2+…+(−1)2 )−312

20

= 183 – 48,05

= 134,95

JKBlok =

= ( 22+62+72+92+72

4−312

20 ) = 54,75 – 48,05

= 6,7

JKPosisi(diperbaiki)

=

= ( 62+9+72+92

5−312

20 )= 49,4 – 48,05

= 1,35

Untuk j = 1 ( perlakuan A )

Q1=12−14

(2+7+9+7 )=234

=5,75

Untuk j = 2 ( perlakuan B )

Q2=2−14

(2+6+9+7 )=−164

=−4

Untuk j = 3 ( perlakuan C )

8

Q3=−4−14

(2+6+7+7 )=−384

=−9,5

Untuk j = 4 ( perlakuan D )

Q4=−2− 14

(2+6+7+9 )=−324

=−8

Untuk j = 5 ( perlakuan E )

Q5=23−14

(6+7+9+7 )=634

=15,75

∑j=1

a=5

Q j=5,75+(−4 )+ (−9,5 )+(−8 )+15,75=0

JKPerlakuan =

= 4 [(5,75)2+(−4 )2+(−9,5)2+(−8)2+(15,75)2 ]

(3 )(5)

= 120,37

JKSesatan = JKTotal JKPerlakuan JKBlok JKPosisi

= 134,95 - 120,37 – 6,7 – 1,35

= 6,53

Tabel Anava

Sumber Variansi db JK RK F

Perlakuan ( diperbaiki )

Blok

Posisi

Sesatan

Total

4

4

3

8

19

120,37

6,7

1,35

6,53

134,95

30,09

1,675

0,45

0,82

36,69

Dari tabel anava di atas dapat dilakukan uji hipotesis untuk melihat apakah kelima

level penerangan mempengaruhi hasil perakitan barang-barang industri, yaitu sebagai

berikut

9

H0 : Tidak ada pengaruh level penerangaan terhadap hasil perakitan barang-

barang industri

H1 : Ada pengaruh level penerangaan terhadap hasil perakitan barang-barang

industri

α = 0.05

H0 di tolak jika F > F(α ; a-1 ; N-a-b-k+2) = F(0,05 ; 4 ; 8) = 3,84

Statistik uji

Didapat F = 36,69

Kesimpulan

Karena F= 36,69 > F0 , 05 ;4 ;8= 3,84 , maka Ho ditolak yang artinya level

penerangaan mempengaruhi hasil perakitan barang-barang industri.

Karena level penerangan mempengaruhi hasil perakitan barang-barang industri,

maka dicari level penerangan mana yang memberikan hasil perakitan yang paling

baik. Yaitu dengan menggunakan Uji Duncan.

1. Rata-rata perlakuan diurutkan dari kecil ke besar

τ̂ i=k φi

λa

τ̂ A=4.(5,75)

3.5=1,53 τ̂ B=

4.(−4)3.5

=−1,07 τ̂C=4.(−9,5)

3.5=−2,53

τ̂ D=4.(−8)3.5

=−2,13 τ̂ E=4.(15,75)3.5

=4,2

Kemudian rata-rata tersebut diurutkan dari kecil ke besar, urutannya adalah

τ̂C τ̂ D τ̂ B τ̂ A τ̂ E

-2,53 -2,13 - 1,07 1,53 4,2

Kemudian rata-rata tersebut diurutkan dari kecil ke besar, urutannya adalah

τ̂C τ̂ D τ̂ B τ̂ A τ̂ E

-2,53 -2,13 - 1,07 1,53 4,2

2. menghitung sesatan standar

10

S=√ k . RKS

λa

S=√ 4 (0,82)(3 )(5)

=0,47

3. Menacari nilai r(,p,f), p = 2,3, ...., a

f adalah derajat bebas sesatan

r(0.05;2;8)= 3,26

r(0.05;3;8)= 3,39

r(0.05;4;8)= 3,47

r(0.05;5;8)= 3,52

4. Mencari nilai Rp = r(,p,f) . S yi .

R2= (3,26)(0,47) = 1,53

R3= (3,39)(0,47) = 1,59

R4= (3,47)(0,47) = 1,63

R5= (3,52)( 0,47) = 1,65

5. Membandingkan selisih rata-rata perlakuan dengan Rp

τ̂ a−τ̂1 dibandingkan dengan Ra

τ̂ E−τ̂C= 6,73 > R5 ( berbeda )

τ̂ E−τ̂ D = 6,33> R4 ( berbeda )

τ̂ E−τ̂B= 5,27> R3 ( berbeda )

τ̂ E−τ̂ A=2,67 > R2 ( berbeda )

τ̂ A− τ̂C=4,06 > R4 ( berbeda )

τ̂ A− τ̂D= 3,66 > R3 ( berbeda )

τ̂ A− τ̂B=2,6 >R2 ( berbeda )

τ̂ B− τ̂C =1,46 < R3 ( sama )

11

τ̂ B− τ̂D = 1,06 < R2 ( sama )

τ̂ D−τ̂C=0,4 < R2 ( sama )

6. Kesimpulan :

τ̂C τ̂ D τ̂ B τ̂ A τ̂ E

Level penerangan C, B dan D memiliki pengaruh yang sama terhadap hasil

perakitan barang-barang industri.

B. Penyelesaian dengan Menggunakan Software Minitab

H0 : Tidak ada pengaruh level penerangaan terhadap hasil perakitan barang-

barang industri

H 1 : Ada pengaruh level penerangaan terhadap hasil perakitan barang-barang

industri

α = 0.05

H0 di tolak jika P < α

Statistik uji

Dari output minitab di dapat

General Linear Model: ResponY versus Penerang, Hari, Pkerja

Factor Type Levels ValuesPenerang fixed 5 1, 2, 3, 4, 5Hari fixed 5 1, 2, 3, 4, 5Pkerja fixed 4 1, 2, 3, 4

Analysis of Variance for ResponY, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PPenerang 4 126.200 120.367 30.092 36.85 0.000Hari 4 0.867 0.867 0.217 0.27 0.892Pkerja 3 1.350 1.350 0.450 0.55 0.662Error 8 6.533 6.533 0.817Total 19 134.950

S = 0.903696 R-Sq = 95.16% R-Sq(adj) = 88.50%

Kesimpulan

12

Karena P = 0.000 < α = 0.05 maka H0 ditolak, artinya Ada pengaruh level

penerangaan terhadap hasil perakitan barang-barang industri

Dilakukan uji kecocokan model untuk melihat kecocokan antara model dengan

data. Model dikatakan cocok dengan data apabila

a. Memenuhi asumsi kenormalan

Asumsi normal dipenuhi apabila plot data mendekati garis lurus

b. Memenuhi asumsi independensi

Asumsi independensi dipenuhi apabila plot antara sisa dengan urutan

memperoleh data tidak membentuk pola tertentu

c. Memenuhi asumsi homogenitas variansi

Asumsi homogenitas variansi dipenuhi apabila plot antara sisa dan model tidak

membentuk pola tertentu atau dapat di uji lebih lanjut dengan menggunakan uji

bartlet’s.

Untuk melakukan uji kecocokan model harus dipenuhi beberapa asumsi

1. Asumsi Normal

Terlihat dari plot di atas titik – titiknya mendekati garis lurus maka asumsi

kenormalan dipenuhi.

13

2. Asumsi independensi

Terlihat dari plot di atas titik – titiknya dapat dikatakan berpola acak atau tidak

membentuk pola tertentu sehingga asumsi independensi dipenuhi atau asumsi

independensi tidak dilanggar.

3. Analisis adanya interaksi

dari grafik residuals vs the fitted values tampak titik- titik yang acak (tidak

membentuk pola tertentu), berarti tidak ada interaksi antara perlakuan (penerangan)

terhadap hari dan pos kerja.

14

Uji homogenitas variansi dengan menggunakan metode bartlet’s

1. Respon vs penerangan

H0 : Terdapat homogenitas variansi pada perlakuan

H1 : Tidak terdapat homogenitas variansi pada perlakuan

α = 0.05

H0 di tolak jika P < α

Statistik uji

Dari output terlihat di gunakan uji Bartlett di dapat P = 0.901

Kesimpulan

Karena P = 0.901 > α maka H0 tidak di tolak artinya terdapat homogenitas

variansi pada model atau dengan kata lain asumsi homogenitas variansi dipenuhi atau

tidak dilanggar.

2. Respon vs hari

H0 : Terdapat homogenitas variansi pada Hari

H1 : Tidak terdapat homogenitas variansi pada Hari

α = 0.05

H0 di tolak jika P < α

15

Statistik uji

Kesimpulan : Dari plot test for equal variances for respon vs hari diperoleh P-

value 0.901> 0.05, sehingga asumsi homogenitas untuk hari terpenuhi.

3. Respon Vs posisi kerja

H0 : Terdapat homogenitas variansi pada posisi kerja

H1 : Tidak terdapat homogenitas variansi pada posisi kerja

α = 0.05

H0 di tolak jika P < α

Statistik uji

16

Kesimpulan : Dari plot test for equal variances for respon vs posisi kerja

diperoleh P-value 0.955 > 0.05, sehingga asumsi homogenitas untuk posisi

kerja terpenuhi.

Karena ketiga asumsi di atas di penuhi maka dapat disimpulkan bahwa tidak

terdapat kekurangcocokan antara model dengan data atau model sesuai

dengan data.

17

4. KESIMPULAN

1. Rancangan bujur sangkar Youden merupakan bujur sangkar Latin yang tidak

lengkap karena jumlah kolomnya tidak sama dengan jumlah baris dan

perlakuan yang diteliti.

2. Rancangan Bujur Sangkar Latin merupakan rancangan bujur sangkar youden

dengan menambah paling sedikit satu kolom, baris , atau diagonal.

3. Pada Rancangan bujur sangkar Youden jumlah perlakuan yang diteliti harus

sama dengan jumlah blok akan tetapi berbeda dengan jumlah posisi.

4. Rancangan bujur sangkar Youden memiliki model statistik

18