Desain Bujur Sangkar Dan Faktorial

Desain Bujur Sangkar

Desain Bujursangkar (1)

Desain bujursangkar digunakan apabila metode analisis

desain acak sempurna atau desai blok lengkap acak tidak

memberikan hasil yang efisien maupun kurang ekonomis

apabila ditinjau dari besarnya biaya yang dikeluarkan

Beberapa desain bujursangkar diantaranya:

Desain Bujursangkar Latin (DBSL)

Desain Bujursangkar Graeco-Latin

Desain Bujursangkar Youden

DBSL (1)

Dinamakan demikian karena desainnya berbentuk

bujursangkar dan untuk perlakuan diberikan simbol

menggunakan huruf Latin kapital A, B, C, D, dan seterusnya

DBSL merupakan desain khusus untuk menilai pengaruh

relatif berbagai perlakuan terhadap unit eksperimen

dengan batasan pemblokan ganda

DBSL (2)

Desain ini merupakan perluasan dari desain blok lengkap

acak, dimana tiap perlakuan terdapat satu, dan hanya satu

kali dalam tiap baris, dan hanya satu kali dalam tiap kolom;

sedangkan pengacakan dilakukan berdasarkan dua buah

pembatasan, yakni menurut baris dan kolom

Ukuran diberikan bergantung banyaknya perlakuan (m),

sehingga terjadi DBSL m x m dengan m2 unit eksperimen

Untuk keperluan analisis data, dalam DBSL dengan hanya

satu pengamatan untuk tiap unit eksperimen, digunakan

model linier berikut ini:

dengan asumsi

Y ij(k) = hasil pengamatan yang dicatat dari perlakuan ke k, yang dipengaruhi oleh baris ke I dan kolom ke j

= rata-rata umum

i = efek baris ke I

j = efek kolom ke j

k = efek perlakuan ke k

ij = efek unit eksperimen dalam baris ke I dan kolom ke j untuk perlakuan ke k

ij(k)kjiij(k) Y

Harga JK DBSL

m

1i

m

1j

2

ij(k)

2 YY

22

y /mJR

yyyy PKBRY 2yE

i ke baris dalam pengamatan nilaijumlah J dimana

R/mJB

io

m

1i

y

2

ioy

j ke kolom dalam pengamatan nilaijumlah J dimana

R/mJK

oj

m

1j

y

2

ojy

i keperlakuan dalam pengamatan nilaijumlah J dimana

R/mJP

k

m

1i

y

2

ky

Anava DBSL m x m

Daftar Anava Untuk DBLA Sumber Variasi dk JK KT F

Rata-rata

Baris

Kolom

Perlakuan

Kekeliruan

1

m-1

m-1

m-1

(m-1)(m-2)

Ry

By

Ky

Py

Ey

R

B

K

P

E

P/E

Jumlah m2 Y2 -

Contoh DBSL

Misalkan kita bermaksud meneliti apakah empat buah

mesin A, B, C, D pembuat barang Z memperlihatkan

kemampuan berproduksi yang berbeda secara berarti atau

tidak.

Kita tahu bahwa produksi dipengaruhi oleh adanya

operator yang berlainan dan hari-hari kerja yang berbeda.

ALTERNATIF DESAIN

Kolom

1 2 3 4

Baris

1 A B C D

2 B C D A

3 C D A B

4 D A B C

Kolom

1 2 3 4

Baris

1 A B C D

2 B D A C

3 C A D B

4 D C B A

Kolom

1 2 3 4

Baris

1 A B C D

2 B A D C

3 C D B A

4 D C A B

Kolom

1 2 3 4

Baris

1 A B C D

2 B A D C

3 C D A B

4 D C B A

DBLA - DBSL

DBLA

(1)

Hari

1 2 3 4

Mesin

yang

digunakan

A (260) D (345) B (353) C (365)

B (308) C (343) C (350) D (363)

C (230) B (358) A (298) B (323)

D (285) A (280) D (333) A (288)

Operator

Hari

Kerja

1 2 3 4

1 B A D C

2 C B A D

3 A D C B

4 D C B A

DBLA

(2)

Perlakuan (Mesin)

Blok (hari) A B C D

1 260 308 323 330

2 280 358 343 345

3 298 353 350 333

4 288 323 365 363

Bujur Sangkar Latin dan Variasinya

Contoh Soal

Seorang peneliti ingin mengetahui ke efektifan mesin fillet

otomatis A,B,C,D terhadap produksi fillet tuna. Produksi

dipengaruhi oleh adanya operator dan hari kerja yang

berlainan. Peneliti memutuskan membuat design dengan

empat operator sebagai kolom dan empat hari kerja

sebagai baris.

Operator

Hari

Kerja

1 2 3 4

1 B A D C

2 C B A D

3 A D C B

4 D C B A

Contoh Soal

Contoh Soal

Setelah itu hitung Faktor koreksi, JK baris, kolom, dan perlakuan.

Contoh Soal

Menghitung kuadrat tengah (KT) dari baris, kolom, dan

perlakuan serta Galat.

db = (n-1)

db galat = (n-1).(n-2)

Contoh soal

Menghitung Fhitung perlakuan, baris dan kolom.

Contoh Soal

Masukkan ke dalam tabel ANOVA.

Kesimpulan?

Bagaimana mendapatkan nilai F tabel?

Desain Bujursangkar Graeco-Latin

Dalam DBSL pengacakan dilakukan secara ganda, yakni

menurut baris dan kolom. Apabila desain diperluas

dengan melakukan pengacakan ketiga maka disebut

Desain Bujursangkar Graeco-Latin (DBSGL)

Dalam desain ini menggunakan simbol huruf Latin dan

Greek

Taraf maksimum yang dapat digunakan dalam desain Bujur

Sangkar Graeco latin adalah 5

Desain Bujur Sangkar Latin

Desain bujur sangkar latin

Pengacakan dilakukan secara ganda, yakni baris dan kolom.

Desain bujur sangkar Graeco Latin

Desain diperluas dengan pengacakan yang ketiga, yakni faktor

,,,.

Contoh DBSGL

Misalkan ada petunjuk bahwa waktu kerja (pagi, siang,

sore, dan malam) tiap hari juga mempengaruhi produksi.

Jika faktor digabungkan bersama dengan faktor operator,

hari dan mesin maka dapat disusun sebuah desain

bujursangkar Graeco-Latin 4 x 4

Waktu Kerja Jio

Hari

Kerja

Pagi Siang Sore Malam

1 D(16) C(6) B(15) A(11) 48

2 C(13) D(9) A(10) B(13) 45

3 B(15) A(14) D (14) C(12) 55

4 A(9) B(12) C(8) D(9) 38

Joj 53 41 47 45 186

Nilai Jumlah Nilai Jumlah

JA 44 J 43

JB 55 J 49

JC 39 J 42

JD 44 J 52

Model DBSGL

Untuk keperluan analisis data, dalam DBSGL dengan hanya



dengan asumsi


= rata-rata umum

i = efek baris ke I

j = efek kolom ke j

wl = pembatasan yang ketiga dengan taraf huruf greek



ij(k)kjiij(k) Y lw

Harga JK DBSL

288.2912...1316Y 22222

25,165.24

186R

2

2

y

25,1825,1725,3475,1825,3725,162.2288.2Ey

25,3725,162.2

4

385545482222

yB

75,1825,162.2

4

454741532222

yK

25,3425,162.2

4

483955442222

yP

25,1725,162.2

4

524249432222

yT

Tabel Anova

Sumber

Variasi

dk JK KT F

Rata-rata 1 2.162,25 2.162,25

1,88

Hari 3 37,25 12,42

Waktu kerja 3 18,75 6,25

Operator 3 17,25 5,75

Mesin 3 34,25 11,42

Kekeliruan 3 18,25 6,08

Jumlah 16 2.288

Thitung

Desain Bujursangkar Youden

Desain Bujursangkar Latin memiliki kesamaan jumlah

perlakuan dengan banyak blok (baris) atau banyak kolom.

Jika sekarang adanya perlakuan lebih banyak bila

dibandingkan dengan banyak blok (baris) atau banyak

kolom, sedangkan syarat-syarat lain masih dipenuhi, maka

diperoleh desain bujur sangkar tak lengkap atau sering

dinamakan Desain Bujursangkar Youden. Analisisnya

seperti dilakukan pada desain Blok Tak Lengkap Acak

.

Semisal jika kita ingin meneliti kapasitas empat buah mesin

dalam empat hari, namun setiap hari tidak dimungkinkan

adanya shift malam, maka desain bujursangkar Youden

dapat disusun seperti di bawah ini:

Operator

Hari

Kerja

Pagi Siang Sore

1 A B C

2 D A B

3 B C D

4 C D A

DBSY

Untuk keperluan analisis data, dalam DBSY dengan hanya



dengan asumsi


= rata-rata umum

i = efek baris (blok) ke i

j = efek kolom ke j



ij(k)kjiij(k) Y

Harga JK DBSY

m

1i

m

1j

2

ij(k)

2 YY 22y /mJR

yyyy PKBRY 2yE

i ke baris dalam pengamatan nilaijumlah J dimana

R/mJB

io

m

1i

y

2

ioy

j ke kolom dalam pengamatan nilaijumlah J dimana

R/mJK

oj

m

1j

y

2

ojy

i keperlakuan dalam pengamatan nilaijumlah J dimana

R/mJP

k

m

1i

y

2

ky

Penentuan nilai Qj seperti pada desain

blok tak lengkap acak

Eksperimen Faktorial

Eksperimen Faktorial (1)

Eksperimen Faktorial digunakan untuk menyelidiki secara

bersamaan efek beberapa faktor berlainan.

Eksperimen Faktorial merupakan eksperimen yang semua

(hampir semua) taraf sebuah faktor tertentu

dikombinasikan atau disilangkan dengan semua (hampir

semua) taraf tiap faktor lainnya yang ada dalam

eksperimen itu

Eksperimen ini sering diberi nama dengan menambahkan

perkalian antara banyaknya taraf faktor yang satu dengan

banyak taraf faktor atau faktor-faktor lainnya.


Apabila eksperimen terdiri dari 2 faktor (A dan B) maka

disebut dengan eksperimen dua faktor (eksperimen

faktorial a x b)

Sedangkan apabila eksperimen terdiri dari 3 faktor (A, B,

dan C) maka disebut dengan eksperimen tiga faktor

(eksperimen faktorial a x b x c)


Misal, apabila terdapat dua buah faktor, sebuah terdiri atas

empat taraf dan sebuah lagi terdiri atas tiga taraf, maka

diperoleh eksperimen faktorial 4x3

Hal ini memerlukan 12 kondisi eksperimen (kombinasi

perlakuan) yang berbeda-beda

Contoh

Percobaan pertanian telah disediakan 3 macam pupuk antara

lain N, P, dan K. Level dari setiap faktor tersebut didefinisikan

pada pupuk digunakan atau tidak. Maka diperoleh eksperimen

faktorial 2x2x2. Didapatkan 8 kombinasi perlakuan antara lain:

Kombinasi perlakuan tanpa N, tanpa P, tanpa K

Kombinasi perlakuan tanpa N, tanpa P, dengan K

Kombinasi perlakuan tanpa N, dengan P, tanpa K

Kombinasi perlakuan tanpa N, dengan P, dengan K

Kombinasi perlakuan dengan N, tanpa P, tanpa K

Kombinasi perlakuan dengan N, dengan P, tanpa K

Kombinasi perlakuan dengan N, tanpa P, dengan K

Kombinasi perlakuan dengan N, dengan P, dengan K

Organisasi Data untuk Eksperimen Faktorial

2 Faktor

Model dari Efek Tetap

a level faktor diambil dari A faktor yang tetap, b level faktor diambil dari B

faktor yang tetap.

Model dari Eksperimen Faktorial ini adalah:

yijk = + Ai +Bj + ABij +k(ij) i = 1, 2, , a

j = 1, 2, , b

k = 1, 2, , n

Keterangan

Yijk = variabel respons hasil observasi ke-k yang terjadi karena pengaruh

bersama taraf ke I faktor A dan taraf ke j faktor B

= rata-rata umum

Ai = efek dari level ke i dari faktor A

Bj = efek dari level ke j dari faktor B

(AB)ij = efek dari interaksi antara Ai dan Bj k(ij) = efek unit eksperimen ke k dalam kombinasi perlakuan ij

Hipotesis

Ho = Ai = 0 (tidak terdapat perbedaan efek dari Faktor A)

H1 = Ai 0

Ho = Bi = 0 (tidak terdapat perbedaan efek dari Faktor B)

H1 = Bi 0

Ho = (AB)ij = 0 (tidak terdapat perbedaan efek interaksi)

H1 = (AB)ij 0

Harga JK DEF

a

i

abndengandk1

b

1j

n

1k

2

ijk

2 ,YY

b

1j

n

1k

jkYiooJJioo=jumlah nilai pengamatan yang ada

dalam taraf ke i faktor A

a

1i

n

1k

ikYojoJJojo=jumlah nilai pengamatan yang ada

dalam taraf ke j faktor B

n

1k

kYijoJJijo=jumlah nilai pengamatan yang ada dalam

taraf ke I faktor A dan dalam taraf ke j faktor B

a

i

oooJ1

b

1j

n

1k

ijkYJooo=jumlah nilai semua pengamatan

Harga JK DEF

1dkdengan /abn,JR2

oooy

)1(,E 2y nabdengandkABBARY yyyy

1)-(adk dengan

R/bn)(Ja

1i

y

2

iooy

A

1)-(bdk dengan

R/an)(Ja

1i

y

2

ojoy

B

a

i

J1

b

1j

y

2

ijoab R/n)(J

1)-1)(b(dkdengan ,B-A-J yyaby aAB

Tabel Anova

Sumber

Variasi

dk JK KT F

Rata-rata 1 Ry R

Perlakuan

A a-1 Ay A Bergantung

pada model B b-1 By B

AB (a-1)(b-1) Aby AB

Kekeliruan ab(n-1) Ey E

Jumlah abn Y2

Model 1 (Model Tetap)

Apabila peneliti memiliki a buah taraf faktor A dan hanya b buah taraf

faktor B dan semuanya digunakan dalam eksperimen yang dilakukan

Hipotesis

H01= tidak ada efek faktor A dalam eksperimen

H02= tidak ada efek faktor B dalam eksperimen

H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A dan faktor B

Fhitung

H01= F=A/E

H02= F=B/E

H03= F=AB/E

Ftabel H01= F(a-1,ab(n-1)) H02= F(b-1,ab(n-1)) H03= F((a-1)(b-1),ab(n-1))

Model 2 (Model Acak)

Apabila peneliti memiliki sebuah populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor A

dari mana sebanyak a buah taraf faktor A telah diambil secara acak sebagai sample

dan populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor B dari mana sebanyak b buah

taraf faktor B telah diambil secara acak sebagai sample

Hipotesis

H01= tidak ada efek faktor A dalam populasi dari mana sample diambil

H02= tidak ada efek faktor B dalam populasi dari mana sample diambil

H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A dan faktor B dalam populasi dari

mana sample diambil

Fhitung

H01= F=A/AB

H02= F=B/AB

H03= F=AB/E

Ftabel H01= F(a-1,(a-1)(b-1))

H02= F (b-1,(a-1)(b-1))

H03= F((a-1)(b-1),ab(n-1))

Model 3 (Model campuran)

Apabila peneliti memiliki a buah taraf faktor A yang semuanya digunakan dalam

eksperimen yang dilakukan dan populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor B

dari mana sebanyak b buah taraf faktor B telah diambil secara acak sebagai sample

Hipotesis

H01= tidak ada efek faktor A dalam eksperimen

H02= tidak ada efek faktor B dalam populasi dari mana sample diambil

H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A tetap dan faktor B acak

Fhitung

H01= F=A/AB

H02= F=B/E

H03= F=AB/E

Ftabel H01= F(a-1,(a-1)(b-1))

H02= F(b-1,ab(n-1))

H03= F((a-1)(b-1),ab(n-1))

Model 4 (Model campuran)

Apabila peneliti memiliki populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor A dari mana

sebanyak a buah taraf faktor A telah diambil secara acak sebagai sample dan

populasi yang terdiri atas sejumlah taraf faktor B dari mana sebanyak b buah taraf

faktor B telah diambil secara acak sebagai sample

Hipotesis

H01= tidak ada efek faktor A dalam populasi dari mana sample diambil

H02= tidak ada efek faktor B dalam eksperimen

H03= tidak ada efek interaksi antara faktor A tetap dan faktor B acak

Fhitung

H01= F=A/E

H02= F=B/AB

H03= F=AB/E

Ftabel H01= F(a-1, ab(n-1))

H02= F(b-1,(a-1)(b-1))

H03= F((a-1)(b-1),ab(n-1))

Eksperimen Faktorial dengan 3 Faktor

Faktor yang kita gunakan kita lambangkan dengan A, B, C, D sedangkan

untuk taraf faktornya kita lambangkan dengan a, b, c, d.

Jika eksperimennya menggunakan desain acak sempurna dalam setiap

kombinasi perlakuan terdapat n buah unit eksperimen atau observasi, maka

model liniernya sebagai berikut:

Dengan:

i = 1,2, , a

j = 1,2, , b

k = 1,2, , c

l = 1,2, , n

Yijkl = variabel respon hasil observasi ke-i yang terjadi karena pengaruh

bersama taraf ke-i faktor A, taraf ke-j faktor B dan taraf ke-k faktor C

= rata-rata

Ai = efek taraf ke-i faktor A

Bj = efek taraf ke-j faktor B

Ck = efek taraf ke-k faktor C

ABij = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dan taraf ke-j faktor B

ACik = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dan taraf ke-k faktor C

BCjk = efek interaksi antara taraf ke-j faktor B dan taraf ke-k faktor C

ABCijk = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A, taraf ke-j faktor B, dan

taraf ke-k faktor C

l(ijk) = efek unit eksperimen ke l dikarenakan oleh kombinasi perlakuan ijk

Hipotesis

Ho = Ai = 0 (tidak terdapat efek dari Faktor A)

H1 = Ai 0

Ho = Bj = 0 (tidak terdapat efek dari Faktor B)

H1 = Bj 0

Ho = (AB)ij = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor A dan B)

H1 = (AB)ij 0

Ho = Ck = 0 (tidak terdapat efek dari Faktor C)

H1 = Ck 0

Ho = (AC)ik = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor A dan C)

H1 = (AC)ik 0

Ho = (BC)jk = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor B dan C)

H1 = (BC)jk 0

Ho = (ABC)ijk = 0 (tidak terdapat efek interaksi faktor A, B dan C)

H1 = (ABC)ijk 0

Harga JK DEF

a

i

c

k

abcndengandk1

b

1j 1

n

1l

2

ijkl

2 ,YY

a

i

ijk

abcn

JJ

1

b

1j

c

1k

y

2

R-Jabc=jumlah kuadrat antara sel untuk daftar axbxc

a

1i

b

1j

2ij

cn

Jyab RJ

Jab=jumlah kuadrat antara sel untuk daftar axb

Jijk=elemen dalam sel (ijk) dari daftar axbxc=Yijkl

a

1i

c

1k

2

ik

bn

Jyac RJ

Jac=jumlah kuadrat antara sel untuk daftar axc

Jij=elemen dalam sel (ij) dari daftar axb = Jijk

Jik= elemen dalam sel (ik) dari daftar axc = Jijk

b

1j

c

1k

2

jk

an

Jybc RJ

Jbc=jumlah kuadrat antara sel untuk daftar bxc

Jjk= elemen dalam sel (jk) dari daftar bxc = Jijk

Harga JK DEF

1dkdengan ,R

2

1 1 1 1

y

abcn

Ya

i

b

j

c

k

n

l

ijkl

)1(,E 2y nabcdengandkABCBCACABBARY yyyyyyy

1)-(adk dengan

R/bcn)(Aa

1i

y

2

iy

A

1)-(bdk dengan

R/acn)(Bb

1j

y

2

jy

B

1)-1)(b(dkdengan ,B-A-J yyaby aAB1)-(bdk dengan

R/abn)(Cc

1k

y

2

ky

C

1)-1)(c(dkdengan ,C-A-J yyaby aAC

1)-1)(c(dkdengan ,C-B-J yybcy bBC1)-1)(c)(1(dkdengan ,BC-AC-AB-C-B-A-J yyyyyyabcy baABC

Tabel Anova

Sumber

Variasi

dk JK KT F

Rata-rata 1 Ry R

Perlakuan

A a-1 Ay A Bergantung

pada model B b-1 By B

C (c-1) Cy C

AB (a-1)(b-1) Aby AB

AC (a-1)(c-1) Acy AC

BC (b-1)(c-1) Bcy BC

ABC (a-1)(b-1) (c-1) ABCy ABC

Kekeliruan abc(n-1) Ey E

Jumlah abcn Y2

Model Kombinasi

Model Taraf

A B C

Model 1 Tetap Tetap Tetap

Model 2 Acak Acak Acak

Model 3 Tetap Tetap Acak

Tetap Acak Tetap

Acak Tetap Tetap

Tetap Acak Acak

Acak Tetap Acak

Acak Acak Tetap

Tugas

1 kelompok 2 orang

Tuliskan nama dan NIM

1. Jelaskan perbedaan eksperimen faktorial dengan eksperimen yang

sudah dilakukan pada bab sebelumnya!

2. Berikan contoh untuk desain eksperimen faktorial a x b dan

tunjukkan hipotesis nolnya!

3. Jelaskan persamaan dan perbedaan 4 model eksperimen faktorial a x

b, terkait dengan perhitungan statisitik F!

4. Berikan pula contoh untuk desain eksperimen faktorial a x b x c dan

tunjukkan hipotesis nolnya!

5. Jelaskan 3 model eksperimen faktorial a x b x c meliputi model tetap,

acak, dan campuran terkait dengan perhitungan statisitik F!

Desain Bujur Sangkar Dan Faktorial

Documents

Transcript of Desain Bujur Sangkar Dan Faktorial