Determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

20
DETERMINAN HASIL DEKOMPOSISI DENGAN CARA CROUT PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR DISUSUN OLEH: NILA FITRIANA NIM: 09221044 DOSEN PEMBIMBING: HARTATIANA, M.Pd. DOSEN PENANGGUNG JAWAB : AGUSTIANY DUMEVA PUTERI, S.Si. M.Si. FAKULTAS TARBIYAH PRODI TADRIS MATEMATIKA 1 INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI RADEN FATAH PALEMBANG TAHUN AJARAN 2012

Transcript of Determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

Page 1: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

DETERMINAN

HASIL DEKOMPOSISI DENGAN CARA CROUT

PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR

DISUSUN OLEH:

NILA FITRIANA

NIM: 09221044

DOSEN PEMBIMBING: HARTATIANA, M.Pd.

DOSEN PENANGGUNG JAWAB:

AGUSTIANY DUMEVA PUTERI, S.Si. M.Si.

FAKULTAS TARBIYAH

PRODI TADRIS MATEMATIKA 1

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI RADEN FATAH PALEMBANG

TAHUN AJARAN 2012

Page 2: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

BAB 1

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Matematika merupakan ilmu yang pasti dan konkret, artinya

matematika menjadi ilmu real yang dapat diaplikasikan secara langsung

dalam kehidupan sehari-hari dalam berbagai bentuk. Bahkan tanpa

disadari bahwa ilmu matematika sering diterapkan untuk menyelesaikan

masalah kehidupan. Sehingga matematika merupakan ilmu yang benar-

benar menyatu dalam kehidupan sehari-hari dan mutlak dibutuhkan oleh

setiap manusia, baik untuk dirinya sendiri maupun untuk berinteraksi

dengan sesama manusia.

Pada dasarnya ilmu matematika juga digunakan dalam mempelajari

ilmu apapun, termasuk dalam ilmu kedokteran, mesin, dan tekhnologi

lainnya. Namun ada beberapa cara agar penyelesaian masalah yang ada

dalam setiap kajian ilmu yang digunakan khususnya pada ilmu matematika

yang dipakai oleh semua sumber ilmu, bahkan menjadi dasarnya ilmu

pengetahuan yang diterapkan dari TK sampai perguruan tinggi, menjadi

cara yang lebih mudah dan mencari cara termudah dan gampang namun

hasilnya pun tetap benar dan tidak menyalahi aturan dalam konsep

matematika. Hendaknya cara terbaik dan termudah itulah yang kita

harapkan di dalam menyelesaikan sebuah masalah apapun.

Dalam Matriks, banyak permasalahan yang harus diselesaikan

untuk mencari hasil nilainya, seperti menyelesaikan penjumlahan matriks,

pengurangan matrik, perkalian matriks, transpose matriks, invers matrik

dan determinan matriks, dalam menyelesaikan masalah-masalah tersebut,

banyak cara yang dapat digunakan untuk mencari hasil nilainya, seperti

dalam menyelesaikan determinan matriks, ada beberapa cara /metode yang

dapat digunakan dalam menentukan nilai determinan matriksnya, agar

lebih mudah dalam mencari atau menyelesaikan determinan suatu matriks,

Page 3: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

metode dekomposisi matriks dapat digunakan untuk mencari atau

menyelesaikan nilai dari determinan matriks secara lebih mudah.

Judul determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada

matriks bujur sangkar diambil karena metode ini adalah salah satu cara

untuk menentukan nilai hasil determinan suatu matriks, adapun beberapa

metode yang telah ada dalam menentukan hasil determian suatu matriks,

namun cara tersebut tidak kurang cocok dan masih terlalu sempit dalam

menentukan nilai hasil determinan matrik pada matriks bujur sangkar

dibandingkan dengan metode dekomposisi dengan menggunakan cara

crout ini.

Dengan menggunakan metode dekomposisi matriks dengan cara crout

akan lebih mudah dan cara terpendek dalam menentukan hasil determinan

suatu matriks.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout

dalam menentukan determinan matriks dan dapat digunakan oleh semua

jenis matriks?

2. Bagaimana metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout

dalam menentukan determinan dari matriks bujur sangkar menjadi cara

yang mudah?

C. BATASAN MASALAH

Dalam mencari nilai hasil determinan dengan menggunakan metode

dekomposisi matriks dengan cara Crout ini hanya dapat terdefinisi pada

matriks bujur sangkar atau matriks kuadrat.

D. TUJUAN

Page 4: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

1. Untuk mengetahui metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara

Crout, apakah menentukan determinan suatu matriks dapat digunakan oleh

semua jenis matriks atau tidak.

2. Untuk mengetahui cara-cara termudah dalam menyelesaikan dan

menentukan nilai determinan suatu matriks dan dapat lebih cepat dalam

mencari nilai determinannya.

E. MANFAAT

1. Bagi Pembahas

Manfaat bagi pembahas materi tentang determinan matriks hasil

dekomposisi cara crout pada matriks bujur sagkar ini yaitu, dapat

menambah pengetahuan yang mengenai beberapa cara atau metode yang

dapat digunakan dalam menentukan determinan dari matriks bujur

sangkar. dengan menggunakan metode dekomposisi matriks cara crout

dalam menentukan determinan,metode ini adalah cara yang lebih mudah,

cepat, dan gampang dalam menentukan nilai dari determinan suatu

matriks.

2. Bagi Pembaca

Manfaat bagi pembaca yaitu, dapat menjadikan metode

dekomposisi matriks dengan cara crout sebagai cara yang paling mudah

dalam menentukan nilai determinan dari suatu matriks.

Page 5: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

BAB II

PEMBAHASAN

a. Matriks

Definisi Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus

dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi panjang atau

bujur sangkar yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ].matriks

tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

dimana

b. Matriks Bujur Sangkar

Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks yang banyaknya baris sama

dengan banyaknya kolom, yang dinyatakan dengan , dimana m = n ,

dapat ditulis dengan n x n, Matriks berordo n x n disebut juga

matriks bujur sangkar ordo n.

Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom dinyatakan dengan:

dimana m=n, Maka:

Page 6: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

Elemen-elemen matriks bujur sangkar:

disebut element diagonal utama, sedangkan

disebut element diagonal kedua.

Dalam hal ini hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai elemen diagonal

utama dan elemen diagonal kedua.

Contoh:

c. Dekomposisi Matriks

Definisi Dekomposisi

Dekomposisi matriks adalah mengurai matriks dalam bentuk penjumlahan atau

perkalian beberapa matriks. Dalam hal ini, apabila beberapa matriks hasil

dekomposisi tersebut dijumlahkan atau dikalikan, maka akan kembali lagi pada

bentuk matriks asalnya. Ada beberapa metode dalam mendekomposisikan suatu

matriks, diantaranya adalah metode crout.

Definisi Dekomposisi Matriks

Dekomposisi Matriks adalah transformasi atau modifikasi dari suatu

matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan/atau matriks segitiga atas (U).

jika A merupakan matriks bujur sangkar, matriks A dapat didekomposisi menjadi

LU, L, atau U.

A=

Page 7: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

1. A=LU

dimana:

L=

2. A=L

3. A=U

Dalam mendekomposisi suatu matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan

atau matriks segitiga atas (U) dapat menggunakan empat metode yaitu: Metode

Crout, Doolittle, Cholesky, dan Eliminasi Gauss.

d. Metode Crout

Metode Crout mendekomposisi suatu matriks untuk memperoleh elemen

diagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satu dan elemen lainnya bernilai

bebas.

Page 8: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

e. Determinan Matriks

Definisi Determinan

Determinan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk bujur sangkar

dan disajikan di antara dua garis tegak. Determinan sebagai satu kesatuan yang

mewakili suatu nilai dari matriks yang diberikan. Determinan matriks A

dinotasikan dengan atau det (A).

.Jika diketahui matriks bujur sangkar A yang berordo 2 x 2

Maka determinan matriks A didefinisikan sebagai hasil kali elemenelemen yang

berada di diagonal dari kiri atas ke kanan dikurangi dengan hasil kali elemen-

elemen yang berada di diagonal dari kanan atas ke kiri bawah. Secara matematis

bisa ditulis sebagai berikut:

Contoh:

Tentukan determinan matriks A berikut:

Penyelesaian:

Definisi Determinan Matriks

Determinan Matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua

permutasi elemen matriks bujur sangkar. jika subskrip permutasi elemen

matriks adalah genap (inversi genap) diberi tanda (+) sebaliknya jika subskrip

permutasi elemen matriks adalah ganjil (inverse ganjil) diberi tanda (-). Inversi

terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilanga yang lebih kecil dalam

urutan subskrip permutasi elemen matriks.

Page 9: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks

kuadrat).

Notasi determinan matriks A:

det(A)= |A| atau det A= |A|

Jika deketahui matriks A:

Maka determinan dari matriks A:

atau

Ada beberapa metode untuk menentukan determinan dari matriks bujur sangkar,

salah satunya yaitu Metode dekomposisi matriks.

Sifat-sifat Determinan

Page 10: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan.

Jadi,

2) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan

matriks itu sama dengan nol.

3) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur,

determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.

4) Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda

determinan.

5) Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah

bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.

6) Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama

dengan nol.

7) Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan

merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah

dua determinan yang berukuran sama.

8) Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah

bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian

dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.

9) Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

10) Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan

kofaktor-kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara

matematis,

atau , jika

Jika , hasilnya sama dengan

f. Determinan Matriks Hasil Dekomposisi Cara Crout

Menentukan determinan suatu matriks dengan cara matriks tersebut terlebih

dahulu didekomposisi menggunakan metode Crout ( Elemen diagonal matriks L

adalah 1).

Page 11: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

Determinan matriks A:

det A= indeks baris

atau

det A= , i= indeks baris

contoh:

1. Tentukan determinan matriks berikut:

A=

Solusi:

Tahap 1:

Tahap 2:

Page 12: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

Tahap 3:

Tahap 4:

Tahap 5:

Page 13: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

= .

Det A = ( ( 1) =

2. Tentukan determinan matriks berikut:

B =

Solusi:

Tahap 1:

Tahap 2:

Tahap 3:

Page 14: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

Tahap 4:

Tahap 5:

= .

Det B = (

Contoh matriks 4x4:

A=

Page 15: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

Tahap 1:

Tahap 2:

Tahap 3:

Page 16: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

Tahap 4:

Tahap 5:

Page 17: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

Tahap 6:

Tahap 7:

Det A =

Page 18: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan adanya beberapa cara atau metode dalam menentukan

nilai hasil determinan suatu matriks, maka dapat disimpulkan bahwa

metode dekomposisi dengan menggunakan cara crout adalah cara

termudah dalam menentukan nilai hasil determinan dari suatu matriks.

Jenis matriks yang dapat diselesaikan dalam determinan suatu matriks

hanya terdefinisi pada matriks bujur sangkar saja, karena dalam

menyelesaikan determinan suatu matriks hanya berlaku pada matriks yang

berordo sama atau dapat disebut dengan matriks pangkat dan bujur

sangkar.

B. Saran

Dari hasil pembahasan pada materi determinan dan cara untuk

menentukan determinan matriks hasil dekomposisi dengan menggunakan

cara crout pada matriks bujur sangkar ini, ada baiknya jika pembaca dapat

lebih menggunakannya dalam menentukan nilai dari hasil determinan.

Karena dengan menggunakan cara crout penyelasaiannya lebih cepat dan

mudah untuk dipahami.

Page 19: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard, Aljabar Linier Elementer, Jakarta: Erlangga, 1991.

Ruminta, Matriks Persamaan Linier dan Pemrograman Linier, Bandung:

Rekayasa Sains, 2009.

Choiron,Mochammad,Agus,ST.,MT.http://mesin.brawijaya.ac.id/diktat_ajar/data/01_e

_bab3_anum.pdf,Persamaan Aljabar linier serentak.

http://p4tkmatematika.org/downloads/smk/Matriks.pdf

Page 20: Determinan  hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

DETERMINAN HASIL DEKOMPOSISI DENGAN CARA CROUT

PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR

Nila Fitriana1

ABSTRAK

Determinan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk bujur

sangkar dan disajikan di antara dua garis tegak. Determinan sebagai satu kesatuan

yang mewakili suatu nilai dari matriks yang diberikan. Determinan Matriks adalah

bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi elemen matriks bujur

sangkar. Dekomposisi matriks adalah mengurai matriks dalam bentuk

penjumlahan atau perkalian beberapa matriks. Dalam hal ini, apabila beberapa

matriks hasil dekomposisi tersebut dijumlahkan atau dikalikan, maka akan

kembali lagi pada bentuk matriks asalnya. Ada beberapa metode dalam

mendekomposisikan suatu matriks, diantaranya adalah metode crout. Penyelesaian

determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar dapat

disusun secara bertahap melalui beberapa langkah dan memudahkan cara dalam

menentukan hasil determinannya. Metode Crout mendekomposisi suatu matriks

untuk memperoleh elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satu

dan elemen lainnya bernilai bebas.

Kata kunci: Dekomposisi, Segitiga Atas, Metode Crout.

1 Mahasiswa Tadris Matematika 01 Angkatan 2009 IAIN Raden Fatah Palembang