EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - Universitas (6.52.) adalah matriks bujur sangkar 3X3, ... Setiap...

download EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - Universitas (6.52.) adalah matriks bujur sangkar 3X3, ... Setiap matriks bujur sangkat memiliki determinan. Untuk matriks 1X1 misalnya, determinannya adlaah

of 12

  • date post

    10-Apr-2018
  • Category

    Documents

  • view

    250
  • download

    9

Embed Size (px)

Transcript of EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN - Universitas (6.52.) adalah matriks bujur sangkar 3X3, ... Setiap...

  • EKONOMI PRODUKSI PERTANIAN: MAKSIMALISASI PADA HUBUNGAN INPUT-INPUT: Maksimalisasi dalam Kasus Dua Input

    Tatiek Koerniawati Andajani, SP.MP. Laboratorium Ekonomi Pertanian, FP-Universitas Brawijaya

    Email : tatiek.fp@ub.ac.id

    DESKRIPSI MODUL

    Modul ini menjelaskan konsep dasar maksimalisasi dan

    minimalisasi fungsi dengan dua atau lebih input untuk

    menghasilkan satu output secara matematis. Syarat keharusan

    (necessary condition) dan syarat kecukupan (sufficient condition)

    untuk maksimalisasi atau minimalisasi fungsi produksi diturunkan

    secara rinci. Selain itu juga akan dijelaskan mengapa pada kondisi

    tertentu fungsi produksi dapat dimaksimalkan atau sebaliknya,

    diminimalkan. Contoh fungsi dan penerapan aturan maksimalisasi

    dan minimalisasi juga dipelajari pada kegiatan belajar ini. Modul 5

    dan 6 dirancang untuk menjadi materi pembelajaran selama 3

    tatap muka yaitu TM 7 dan TM 9. Alternatif penjadwalan

    perkuliahan untuk bahan kajian pada modul 5 dan 6 dllanjutkan

    setelah ujian tengah semester, dengan penguatan penguasaan

    materi melalui tutorial online

    TUJUAN PEMBELAJARAN Kompetensi dasar yang harus dikuasai mahasiswa setelah:

    1. Membaca modul dan pustaka yang disarankan 2. Mengerjakan tugas terstruktur mandiri

    3. Melaksanakan tutorial online adalah menjelaskan kembali kata kunci dan definisi serta memahami konsep-konsep sebagai berikut:

    1. Maksimalisasi 2. Minimalisasi

    3. Turunan pertama (first order conditions) 4. Turunan kedua (second order conditions) 5. Teorema Young

    6. Syarat keharusan (necessary conditions) 7. Syarat kecukupan (sufficient conditions)

    8. Matriks 9. Matriks dari turunan parsial 10.Prinsip minor

    11.Maksimum lokal 12.Maksimum global

    13.Saddle point 14.Determinan

    15.Nilai kritis (critical value) 16.Maksimalisasi dan minimalisasi tak terkendala 17.Maksimalisasi dan minimalisasi terkendala

    5b

    SELF-PR

    OP

    AG

    ATIN

    G EN

    TREP

    REN

    EUR

    IAL ED

    UC

    ATIO

    N

    DEV

    ELOP

    MEN

    T (SPEED

    )

  • Page 2 of 12

    Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

    MATERI PEMBELAJARAN

    5.6. Konsep Dasar Maksimalisasi

    Peta isokuan dapat diilustrasikan seperti kontur peta suatu bukit atau

    pegunungan. Tinggi pegunungan pada suatu titik dapat diukur dari jumlah output yang

    diproduksinya. Sebuah isokuan menghubungkan semua titik-titik yang memproduksi

    sejumlah input yang sama, atau dengan kata lain memiliki elevasi (ketinggian bukit)

    yang sama.Pada dasarnya, isokuan terdiri dari sejumlah cincin konsentrik (bayangkan

    cincin-cincin konsentrik tersebut sebagai peta kontur sebuah pegunungan yang

    menghubungkan titik-titik sudut elevasi atau ketinggian bukit yang sama).

    Beberapa isokuan infinit dapat digambarkan, di mana setiap isokuan

    menunjukkan level perbedaan output yang sedikit berbeda. Isokuan tidak berpotongan

    satu sama lain. Hal ini mengimplikasikan bahwa kombinasi dua input yang sama tidak

    dapat menghasilkan level output yang berbeda. Kuantitas output yang diproduksi dari

    setiap kombinasi dua input bersifat unik.

    Jika isokuan merupakan cincin-cincin konsentrik, maka setiap isokuan yang

    digambarkan di dalam isokuan lain menunjukkan level output yang sedikit lebih tinggi

    dibandingkan isokuan yang terletak di bagian luar cincin konsentrik tersebut (lihat

    gambar 5.1.). Jika isokuan tidak berbentuk cincin, maka level output tertinggi biasanya

    digambarkan oleh isokuan yang jaraknya terjauh dari titik pusat (origin). Setiap isokuan

    mewakili kuantitas output yang berbeda.

    Sedangkan bila peta isokuan digambarkan sebagai sekelompok cincin konsentrik,

    maka cincin-cincin ini akan menjadi semakin mengecil ke arah pusat diagram. Semakin

    tinggi level output yang dihasilkan, akan semakin kecil cincin isokuan. Hal ini

    menunjukkan bahwa pilihan kombinasi dua input untuk menghasilkan output tersebut

    semakin terbatas.

    Cincin-cincin konsentris tersebut pada akhirnya akan menjadi satu titik yang

    disebut titik global output maksimum dan merupakan posisi di mana petani hanya akan

    berproduksi bila input diperoleh secara gratis atau tidak terdapat kendala utilitasi input

    lainnya. Titik tunggal tersebut juga merupakan perpotongan antara dua ridge lines. MRS

    isokuan dari satu titik tunggal tidak didefinisikan, namun titik ini merepresentasikan

    jumlah output maksimum yang dapat diproduksi dengan mengombinasikan dua input x1

    dan x2.

    Nilai maksimum dan minimum keduanya memiliki nilai nol. Dengan demikian

    adalah tidak mungkin membedakan nilai minimum dan maksimum hanya dari

    slopenya. Dalam hal ini aturan matematika memungkinkan dibedakannya nilai minimum

    dan maksimum melalui turunan kedua (second order conditions).

    5.7. Fungsi Maksimum

    Bagaimana kombinasi input x1 dan x2 dari fungsi produksi dua input

    menghasilkan output maksimum merupakan persamaan matematika yang terdiri dari

    dua prosedur sebagai berikut: Untuk fungsi produksi .)1.6...().........,( 21 xxfy turunan

    pertama atau syarat keharusan untuk maksimalisasi output adalah 01 xy atau f1 =0

    .(6.2.) dan 02 xy atau f2=0..(6.3.). Persamaan (6.2.) dan (6.3.) memastikan

    bahwa tititik tersebut adalah tingkatan relatif aksis x1 dan x2.

  • Page 3 of 12

    Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

    Turunan kedua maksimalisasi output mensyaratkan turunan parsial dari turunan

    pertama. Terdapat empat alternatif turunan kedua dari derivasi turunan pertama

    terhadap x1 dan x2 yaitu:

    .)4.6.(....................112

    1

    2

    11 fxyxxy

    .)5.6.......(..........12212

    21 fxxyxxy

    .)6.6.......(..........21122

    12 fxxyxxy

    .)7.6.(....................222

    2

    2

    22 fxyxxy

    Teorema Young menyatakan bahwa urutan dari diferensiasi parsial tidak berbeda sehingga f12=f21.

    Maksimalisasi turunan kedua mensyaratkan f11>0 ..............(6.8.) dan f11f22>f12f21....(6.9.). Karena f12f21 non negatif maka syarat f11f22 positif untuk persamaan

    (6.9) terpenuhi dan f11f22 bernilai positif hanya bila f22 negatif. Turunan pertama dan kedua ini merupakan syarat keharusan dan kecukupan untuk maksimalisasi fungsi produksi dua input.

    5.8. Beberapa Contoh Ilustratif

    Misal .)10.6(..........1010 222

    121 xxxxy

    Turunan pertama atau syarat keharusan tercapainya maksimalisasi adalah:

    .)11.6......(..........0210 11 xf

    .)12.6...(..............................51 x

    .)13.6.....(..........0210 22 xf

    .)14.6..(..............................52 x

    Nilai kritik dari fungsi adalah titik di mana slope fungsi sama dengan nol. Nilai kritik dari

    fungsi tersebut di atas tercapai pada saat x1=5 dan x2=5. Titik ini dapat merupakan

    posisi maksimum, minimum atau titik tengah (saddle point).

    Selanjutnya prinsip maksimalisasi mensyaratkan kondisi turunan kedua sebagai berikut:

    .)15.6......(..........dan 0 2112221111 fffff

    Untuk persamaan (6.10.) :

    .)16.6........(..............................0211 f

    .)17.6....(........................................222 f

    .)18.6.......(..............................02112 ff

    Dengan demikian .)19.6.(..........0421122211 ffff

    Syarat keharusan dan kecukupan untuk memaksimalkan persamaan (6.10.) pada x1=5.

    x2=5, terpenuhi. Fungsi ini diilustrasikan pada diagram A gambar 6.1.

  • Page 4 of 12

    Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

    Gambar 6.1. A. Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

    Pada fungsi .)20.6......(..........1010 222

    121 xxxxy

    Turunan pertama adalah: .)21.6....(....................0210 11 xf .)22.6........(51 x

    .)23.6.........(..........0210 22 xf .)24.6........(..........52 x

    Syarat minimum turunan kedua adalah .)25.6........(....................011 f

    .)26.6.(..............................21122211 ffff

    Untuk persamaan (6.20.) kondisi orde kedua (turunan kedua) adalah:

    .)28.6........(....................2

    .)27.6..(....................02

    22

    11

    f

    f

    Sehingga terbukti .)29.6...(....................0421122211 ffff

    Syarat keharusan dan kecukupan untuk minimalisasi persamaan (6.20) terpenuhi pada

    x1=5, x2=5. Fungsi ini diilustrasikan pada diagram B gambar 6.1.

  • Page 5 of 12

    Mata Kuliah / MateriKuliah 2012 Brawijaya University

    Gambar 6.1.B. Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)

    Pada fungsi .)30.6......(..........1010 222

    121 xxxxy turunan pertama adalah

    .)31.6.....(..........0210 11 xf , .)32.6..(..........51 x

    .)34.6.........(..........5.),33.6......(....................0210 222 xxf

    Untuk persamaan (6.30.) turunan kedua adalah:

    .)36.6(....................2.);35.6.......(..........02 2211 ff

    .)37.6..(........................................0421122211 ffff

    Syarat keharusan dan syarat kecukupan maksimalisasi dan minimalisasi untuk

    persamaan (6.30.) tidak terpenuhi pada x1=5;x2=5. Fungsi ini memiliki titik tengah

    (saddle point) yang unik sebagaimana diilustrasikan pada diagram C gambar 6.1. yang

    menunjukkan nilai maksimum dengan arah paralel terhadap aksis x1 namum bernilai

    minimum dengan arah paralel terhadap aksis x2.

    Gambar 6.1.C Alternatif Second Order Condition (Debertin, 1986)