Probabilitas

Oleh Azimmatul Ihwah

Teori Probabilitas

• Life is full of uncertainty

• Dimana terkadang kita tidak tahu apa yang akan terjadi semenit kemudian.

• Namun suatu kejadian dapat diperkirakan lebih sering terjadi daripada kejadian yang lain. Contohnya hujan akan lebih sering turun di daerah Bogor dibandingkan dengan Samarinda.

Teori Probabilitas • Munculnya teori probabilitas berawal dari tempat

judi.

• Banyak para penjudi dahulu kala bertanya bagaimana caranya memenangkan perjudian pada para matematikawan.

• Tetapi pada masa sekarang ilmu probabilitas banyak dimanfaatkan dalam berbagai bidang, contohnya peramalan curah hujan, penentuan harga saham

Eksperimen, Ruang Sampel dan Kejadian

• Eksperimen merupakan setiap proses yang menghasilkan data mentah (raw data).

• Ruang sampel adalah himpunan semua peristiwa yang terjadi dalam eksperimen.

• Kejadian adalah jika dalam suatu eksperimen kita tertarik pada satu ‘kejadian’ saja.

• Contoh eksperimen pengambilan bola dalam kotak dimana kesepuluh bola yang ada diberi nomor 1-10. Ruang sampel disimbolkan dengan S = {1,2,3,…,10}. Jika A merupakan himpunan bola bernomor prima, maka A = {2,3,5,7} yg merupakan subset dari S dan A merupakan kejadian dalam ruang sampel S.

• Banyaknya anggota dalam ruang sampel disimbolkan dengan n(S)

• Banyak anggota dalam kejadian A disimbolkan dengan n(A)

Ruang Sampel Diskrit dan Ruang Sampel Kontinu

• Ruang sampel kontinu bila anggotanya berada dalam interval. Contoh S = {x|10<x<11}, S = {x|x>0}

• Ruang sampel diskrit bila anggotanya terhitung. Contoh S = {rendah,tinggi,sedang}, S = {2,4,6,8,10}

Diagram Pohon (Tree Diagrams)

• KASUS: suatu pesan penting akan dikirimkan kepada pimpinan dengan cara berantai. Orang pertama akan mengirimkan ke orang kedua, orang kedua mengirim pesan ke orang ketiga dan orang ketiga akan langsung menyampaikan pesan ke pimpinan. Jika sifat pengiriman pesan dari orang 1 ke orang berikutnya adalah terlambat atau on time, untuk memudahkan pendataan ruang sampel dapat terlebih dahulu membuat diagram pohon

Diagram pohon

• Jadi S = {(o,o,o),(o,o,l),(o,l,o),(o,l,l),(l,o,o),(l,o,l),(l,l,o),(l,l,l)}

Diskusikan

• Sebuah perusahaan automobile menyediakan mobil dengan perlengkapan yang dapat dipilih. Setiap mobil yang ditawarkan

1. Dengan atau tanpa automatic tranmission

2. Dengan atau tanpa AC

3. Dengan satu dari tiga pilihan sistem stereo

4. Dengan satu dari 4 pilihan warna eksterior

Buat diagram pohon tipe-tipe kendaraan yang mungkin berdasarkan perlengkapan yang ditawarkan!berapa n(S)?

Union (gabungan), Intersection (Irisan) dan Complement (Komplemen)

• Union dari dua kejadian A dan kejadian B merupakan kejadian yang anggotanya merupakan anggota kejadian A atau anggota kejadian B. Disimbolkan 𝐴 ∪ 𝐵.

• Irisan dari dua kejadian A dan B merupakan kejadian yang anggotanya harus merupakan anggota dua kejadian tersebut. Disimbolkan 𝐴 ∩ 𝐵.

• Komplemen dari suatu kejadian A adalah himpunan peristiwa dalam ruang sampel yang bukan merupakan anggota dari suatu kejadian tersebut. Disimbolkan 𝐴′.

Diskusikan

Ruang sampel . Jika 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, 𝐸4, 𝐸5 adalah kejadian-kejadian dalam ruang sampel S, dan ,

, tentukan

a. b. c. 𝐸2 ∪ 𝐸5 d. 𝐸2 ∩ 𝐸5

e. 𝐸3 ∩ 𝐸5 f. 𝐸4 ∪ 𝐸5 g. 𝐸1′ h. 𝐸5

′

Kejadian Saling Asing (mutually exclusive)

• Dua kejadian A dan B dinamakan dua kejadian saling asing jika 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

• Contoh dalam pengambilan bola bernomor 1-10, jika kejadian A adalah kejadian terambil bola bernomor genap dan B adalah kejadian terambil bola bernomor ganjil, maka kejadian A dan B saling asing. Jika digambarkan dalam diagram

Diskusikan • 50 sampel plastik karbonat dianalisis mengenai

scratch dan shock resistansinya dengan hasil sebagai berikut :

Jika A adalah kejadian bahwa sampel mempunyai shock resistansi yang tinggi dan B adalah kejadian bahwa sampel mempunyai scratch resistansi yang tinggi, maka tentukan n(𝐴 ∩ 𝐵), n(𝐴′), n(𝐴 ∪𝐵), n(𝐵′)!apakah A dan B saling asing?

Probabilitas

• Konsep probabilitas yang akan dibahas pada bab ini adalah probabilitas pada ruang sampel diskrit.

• Definisi

Suatu kejadian A yang merupakan subset ruang sampel S, maka probabilitas terjadinya kejadian A dihitung dengan

𝑃 𝐴 =𝑛 𝐴

𝑛 𝑆

Aksioma Probabilitas • Bila S adalah ruang sampel dan A adalah sebarang

kejadian dalam eksperimen, maka

1. P(S) = 1

2. 0≤ P(E) ≤ 1

3. Jika dua kejadian A dan B saling asing dengan 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

Lebih umum jika terdapat kejadian berhingga ataupun tak hingga 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … yang saling asing, maka

𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ ⋯ = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐴3 + ⋯

Following Results

• Jika kejadian A merupakan himpunan kosong maka

𝑃 ∅ = 0 • Jika A adalah suatu kejadian dalam ruang sampel

S maka 𝑃 𝐴′ = 1 − 𝑃 𝐴

• Untuk setiap kejadian A dan B dalam ruang sampel S berlaku

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 • Jika A dan B kejadian dalam ruang sampel S

dengan 𝐴 ⫃ 𝐵 maka 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵

KASUS

• Dalam proses manufaktur, 10% hasil produksi mengandung surface flaws, dan 25% dari hasil yang mengandung surface flaws bersifat defektif, sedangkan hasil produksi yang tidak mengandung surface flaws hanya 5% yang bersifat defektif.

Misalkan D merupakan kejadian hasil produksi bersifat defektif dan F merupakan kejadian hasil produksi mengandung surface flaws, jika ditanyakan probabilitas kejadian D dengan lebih dulu diketahui bahwa hasil produksi mengandung surface flaws maka disimbolkan dengan 𝑃 𝐷|𝐹

Jawab Kasus

• Jika digambarkan

• Dapat ditentukan bahwa 𝑃 𝐷|𝐹 = 0.25 dan 𝑃 𝐷 𝐹′ = 0.05

Diskusikan

• Kasus serupa contoh, dengan data sebagai berikut:

• Tentukan : 𝑃 𝐷|𝐹 , 𝑃 𝐷|𝐹′ , 𝑃 𝐹|𝐷 , 𝑃 𝐹|𝐷′

Probabilitas Kondisional

• Notasi 𝑃 𝐵|𝐴 disebut probabilitas kondisional dari kejadian 𝐵 jika diberikan kejadian 𝐴, yaitu

𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴

Probabilitas kondisional hasil produksi bersifat defektif dengan terlebih dahulu diketahui bahwa yang terambil mengandung surface flaws adalah

Diskusikan Sebuah perusahaan AC melakukan kontrol produksi dengan menganalisis AC keluarannya, diperoleh data sebagai berikut :

Hitung probabilitas

a. Tidak terjadinya gas leaks

b. Terjadi electrical failure jika diketahui telah terjadi gas leaks

c. Terjadi gas leaks jika diketahui telah terjadi electrical failure

Teorema Perkalian Probabilitas

• Definisi probabilitas kondisional dapat disajikan ulang dalam bentuk yang lebih umum untuk probabilitas irisan dua kejadian A dan B, yaitu

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵

Teorema Probabilitas Total

• A dan A’ merupakan kejadian yang saling asing, jika terdapat kejadian B yang merupakan gabungan kejadian B di dalam A dengan kejadian B di dalam A’, yaitu 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴′ . Jika digambarkan

Teorema Probabilitas Total

• Probabilitas total dari dua kejadian A dan B adalah

𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴′= 𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵|𝐴′ 𝑃 𝐴′

Teorema Probabilitas Total dari k Kejadian

• Jika 𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑘 merupakan k kejadian saling asing dan 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ ⋯ ∪ 𝐸𝑘 = 𝑆, maka

𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐸1 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐸2 + ⋯ + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐸𝑘

= 𝑃 𝐵|𝐸1 𝑃 𝐸1 + 𝑃 𝐵|𝐸2 𝑃 𝐸2 + ⋯+ 𝑃 𝐵|𝐸𝑘 𝑃 𝐸𝑘

Misal gambar untuk 4 kejadian

Diskusikan • Dalam suatu perusahaan manufaktur semi

konduktor, probabilitas terkontaminasi dibagi dalam 3 level:tinggi, sedang dan rendah dengan probabilitas masing-masing 0,2; 0,3 dan 0,5. Selanjutnya probabilitas kegagalan produk tiap level disajikan sebagai berikut

• Jika F merupakan kejadian terjadinya kegagalan produk, maka tentukan 𝑃 𝐹 !

Kejadian Saling Bebas • Biasa disebut pula dengan kejadian saling

independen.

• Dimana pada kasus tertentu, muncul atau tidaknya kejadian A tidak mempengaruhi muncul atau tidaknya kejadian B, begitu pula sebaliknya.

• Jadi, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵

• Sehingga 𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐵∩𝐴

𝑃 𝐴=

𝑃 𝐵 𝑃 𝐴

𝑃 𝐴= 𝑃 𝐵

Atau 𝑃 𝐴|𝐵 =𝑃 𝐴∩𝐵

𝑃 𝐵=

𝑃 𝐴 𝑃 𝐵

𝑃 𝐵= 𝑃 𝐴

Contoh

• Dalam suatu sirkuit, terdapat aliran dari a ke b, dimana terdapat dua jalur yaitu atas dan bawah dari a menuju ke b. Digambarkan sebagai berikut:

Jika T merupakan kejadian melalui jalur atas dan B merupakan kejadian melalui jalur bawah maka Tentukan 𝑃 𝑇 ∪ 𝐵 dengan asumsi T dan B independen

Teorema Bayes • Dari probabilitas kondisional

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴

• Maka

𝑃 𝐴|𝐵 =𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴

𝑃 𝐵

• Untuk 𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑘 merupakan k kejadian saling asing dan 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ ⋯ ∪ 𝐸𝑘 = 𝑆, dimana B adalah sebarang kejadian, dengan menggunakan Teorema Probabilitas total maka diperoleh Teorema Bayes :

Diskusikan

Karena prosedur tindakan medis yang baru menghendaki keefektifan pengobatan awal suatu penyakit, maka diadakan suatu pengetesan. Probabilitas hasil tes pasien bersifat positif jika diketahui pasien dengan penyakit adalah 0,99 dan probabilitas hasil tes bersifat negatif jika diketahui pasien tanpa penyakit adalah 0,95. Diketahui pada populasi umum probabilitas seseorang terkena penyakit sebesar 0,0001.

Diskusikan • Jika seseorang melakukan tes medis dan

diketahui bahwa hasilnya positif, berapa probabilitas dia terkena penyakit?

Misal D merupakan kejadian seseorang terkena penyakit, dan S adalah kejadian hasil tes bersifat positif. Jadi yang harus menghitung :

𝑃 𝐷|𝑆 =𝑃 𝑆|𝐷 𝑃 𝐷

𝑃 𝑆|𝐷 𝑃 𝐷 + 𝑃 𝑆|𝐷′ 𝑃 𝐷′

Petunjuk : dari soal diketahui bahwa 𝑃 𝑆|𝐷 =0,99 dan 𝑃 𝑆′|𝐷′ = 0,95

Frekuensi Harapan Definisi :

• Jika suatu eksperimen dilakukan n kali, probabilitas kejadian A adalah 𝑃 𝐴 , maka frekuensi harapan kejadian A, dinotasikan 𝑓ℎ 𝐴 , adalah

𝑓ℎ 𝐴 = 𝑛 𝑥 𝑃 𝐴

Misal eksperimen pelambungan dua dadu dilempar bersama sebanyak 300 kali. Jika A adalah kejadian munculnya mata dadu berjumlah 6, yaitu A =

{(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)},maka 𝑃 𝐴 =5

36, jadi

𝑓ℎ 𝐴 = 300 x 5

36 =

125

3