Probabilitas 1

download Probabilitas 1

If you can't read please download the document

description

slide tentang materi probabilitas dasar..

Transcript of Probabilitas 1

  • 1. DasarDasar Probabilitas DASARDASARPROBABILITAS1 SuprayogiRuang Sampel,Titik Sampel danKejadian Ruang sampel (samplespace) atau semesta (universe) merupakan himpunan dari semua hasil (outcome)yangmungkin dari suatu percobaan (experiment) Titik sampel (samplepoint) merupakan tiap anggota atau elemen dari ruang sampel Kejadian (event) merupakan himpunan bagian dari ruang sampel DASARDASARPROBABILITAS 2 Suprayogi

2. Contoh Percobaan,Ruang Sampel danKejadian (#1)Percobaan:Pelemparan sebuah dadu dan mencatatangka yangmunculRuang sampelS={1,2,3,4,5,6}A=Kejadian munculnya angka genapA={2,4,6}B=Kejadian munculnya angka 5atau lebihB={5,6}DASARDASARPROBABILITAS 3SuprayogiIlustrasi Ruang Sampel,Titik Sampel dan Kejadian padaPercobaan Perlemparan Sebuah Dadu Ruang sampelB 1 35 A 2 46DASARDASARPROBABILITASSuprayogi 3. Contoh Percobaan,Ruang Sampel danKejadian (#2) Percobaan:Pelemparan dua buah dadu bersamaan dan mencatat angka yangmuncul Ruang sampel S={(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)} A =Kejadian munculnya angka yangsama pada kedua dadu A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} B=Kejadian munculnya jumlah angka 10atau lebih B={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)} DASARDASARPROBABILITAS5 SuprayogiContoh Percobaan,Ruang Sampel danKejadian (#3) Percobaan:Pelemparan tiga koin (uang logam) bersamaan dan mencatat banyaknya muka yang muncul Ruang sampel S={0,1,2,3} A=Kejadian tidak ada muka yangmuncul A={0} B=Kejadian banyaknya muka yangmuncul 2atau kurang B={0,1,2} DASARDASARPROBABILITAS6 Suprayogi 4. Contoh Percobaan,Ruang Sampel danKejadian (#4) Percobaan:Pengamatan terhadap umur (dalam jam) sebuah lampu Ruang sampel S={t|t >0} A=Kejadian umur lampu melebihi 10jam E={t|t >10} B=Kejadian umur lampu antara 0dan 250jam F={t|0 t 250} DASARDASARPROBABILITAS 7 SuprayogiOperasiOperasi dalam Kejadian Irisan (Intersection) Gabungan (Union) Komplemen (Complement) DASARDASARPROBABILITAS 8 Suprayogi 5. Irisan Dua KejadianIrisan dua kejadian Adan B,dinyatakan dengan A B,merupakan kejadian yangelemennya termasukdalam Adan B AB DASARDASARPROBABILITAS 9 SuprayogiGabungan Dua KejadianGabungan dua kejadian Adan B,dinyatakan dengan A B,merupakan kejadian yangmengandung semua elemen yangtermasuk Aatau Batau keduanya AB DASARDASARPROBABILITAS 10 Suprayogi 6. Komplemen Suatu KejadianKomplemen suatu kejadian A,dinyatakan dengan A,adalah himpunan semua elemen dalam Syangtidaktermasuk dalam A A ADASARDASARPROBABILITAS11Suprayogi Contoh OperasiOperasi dalam Kejadian Percobaan:Pelemparan sebuah dadu dan mencatat angka yang muncul Ruang sampel S={1,2,3,4,5,6} Kejadian munculnya angka genap,A A={2,4,6} Kejadian munculnya angka 5atau lebih,B B={5,6} Irisan A dan B A B={6} Gabungan A dan B A B={2,4,5,6} Komplemen dari AA ={1,3,5}DASARDASARPROBABILITAS12Suprayogi 7. Ilustrasi OperasiOperasi Kejadian pada PelemparanSebuah DaduRuang sampel AB 1 3 5 A B A 2 4 6 A BDASARDASARPROBABILITASSuprayogiDua Kejadian Saling TerpisahDua kejadian Adan Bdikatakan saling terpisah (mutuallyexclusive) jika kejadiankejadian tersebut tidak dapatterjadi secara bersamaanAB AB=DASARDASARPROBABILITAS 14Suprayogi 8. Contoh KejadianKejadian Saling TerpisahPercobaan:Pelemparan sebuah dadu dan mencatatangka yangmunculRuang sampelS={1,2,3,4,5,6}Kejadian munculnya angka genap,AA={2,4,6}Kejadian munculnya angka ganjil,BB={1,3,5}Kejadian A dan B saling terpisahA B=DASARDASARPROBABILITAS 15SuprayogiIlustrasi Dua Kejadian Saling Terpisah pada PelemparanSebuah Dadu Ruang sampel B 1 35 A 2 46DASARDASARPROBABILITASSuprayogi 9. Penghitungan Titik SampelJika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1cara,dan bila untuk setiap cara ini operasikedua dapat dilakukan dengan n2 cara,danbila untuk setiap cara ini operasi ketiga dapatdilakukan dengan n3 cara,dst,maka deretan koperasi dapat dilakukan dengan n1n2...nk cara DASARDASARPROBABILITAS 17 SuprayogiContoh Penghitungan Titik SampelTiga buah koin (uang logam)dilemparkan sekali.Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel ?Koin Idapat menghasilkan 2hasil yangmungkin,muka (M)ataubelakang (B)Untuk tiap hasil,Koin IIdapat menghasilkan 2hasil yangmungkin,Matau BUntuk tiap hasil,Koin IIIdapat menghasilkan 2hasil yangmungkin,Matau BJumlah titik sampel yangdihasilkan =(2)(2)(2)=8 DASARDASARPROBABILITAS 18 Suprayogi 10. DASARDASARPROBABILITAS 19 SuprayogiPermutasi &Kombinasi Permutasi (Permutation) Permutasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yangdapat dibentuk yang memperhatikan urutan Kombinasi (Combination) Kombinasi merupakan susunan dari suatu himpunan obyek yangdapat dibentuk tanpa memperhatikan urutan DASARDASARPROBABILITAS 20 Suprayogi 11. Permutasi (1) Banyaknya permutasi nobyek berlainan adalah n! Banyaknya permutasi nobyek berlainan bila diambil rsekaligusn! P =n r (n r )! Banyaknya permutasi nbenda berlainan yang disusun melingkar adalah (n 1)! DASARDASARPROBABILITAS 21 SuprayogiPermutasi (2) Banyaknya permutasi yangberlainan dari n obyek bila n1 adalah jumlah obyek jenis pertama,n2 adalah jumlah obyek jenis kedua, ...,nk jumlah obyek kek adalah n!n1! n2!Lnk ! DASARDASARPROBABILITAS 22 Suprayogi 12. Permutasi (3) Banyaknya cara menyekat nobyek dalam rsel bila masingmasing berisi n1 obyek pada sel pertama,n2 obyek pada sel kedua,dan seterusnya adalah n!n1! n2!Lnr ! dengan n1 +n2 +...+nr =n DASARDASARPROBABILITAS23 SuprayogiKombinasi (1) Kombinasi berkaitan dengan penentuan banyaknya cara memilih robyek dari sejumlah nobyek tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi merupakan sekatan dengan dua sel,sel pertama berisi robyek yangdipilih dan (n r)obyek sisanya. DASARDASARPROBABILITAS24 Suprayogi 13. Kombinasi (2)Jumlah kombinasi dari nobyek yangberlainanjika diambil sebanyak rn! C = n r !(n r )! r DASARDASARPROBABILITAS25 SuprayogiContoh KombinasiSuatu kelas terdiri atas 4pria dan 3wanitaBanyaknya panita yangdibentuk yangberanggotakan 2pria dan1wanita? 4!Banyaknya cara memilih 2dari 4pria = C 24 ==62!2!Banyaknya cara memilih 1dari 3wanita = C13 = 3! = 31!2!Banyaknya panita yangdapat dibentuk =(6)(3)=18 DASARDASARPROBABILITAS26 Suprayogi 14. Probabilitas Kejadian Probabilitas suatu kejadian merupakan suatu ukuran kemungkinan kejadian tersebut terjadi Probabilitas kejadian A dinyatakan dengan P(A) DASARDASARPROBABILITAS 27 SuprayogiAksiomaAksioma Probabilitas Kejadian0 P(A) 1 P()=0P(S)=1 DASARDASARPROBABILITAS 28 Suprayogi 15. Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan SamaJika suatu percobaan dapat menghasilkan Nmacam hasil yangberkemungkinan sama(equallylikely) dan jika tepat terdapat sebanyaknhasil yangberkaitan dengan kejadian A,makaprobabilitas kejadian Aadalah P ( A) =nNDASARDASARPROBABILITAS 29SuprayogiContoh Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan Sama (#1)Percobaan pelemparan sebuah daduMisal Akejadian munculnya angka genapJumlah seluruh hasil yangmungkin N=6Jumlah hasil yangmungkin untuk kejadian A,n=3Probabilitas kejadian A,P(A)?P ( A) = 3 1= 6 2DASARDASARPROBABILITAS 30Suprayogi 16. Contoh Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan Sama (#2)Percobaan pengambilan selembar kartu dari 52kartu bridge.Misal Bkejadian terpilihnya kartu heartJumlah seluruh hasil yangmungkin N=52Jumlah hasil yangmungkin untuk kejadian B,n=13Probabilitas kejadian B,P(B)?P (B ) = 13 1 = 52 4 DASARDASARPROBABILITAS31 SuprayogiContoh Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan Sama (#3)Dalam suatu kotak,terdapat 4bolamerah dan 6bolaputih.Jika empat boladiambil secara random,probabilitas terpilih 2bolamerah dan 2bolaputih?A=kejadian terpilih 2bolamerah dan 2bolaputihJumlah cara memilih 2dari 4bolamerah = C 4 = 4! = 6 22!2!Jumlah cara memilih 2dari 6bolaputih = C 6 = 6! = 152 2!4! 10!Jumlah cara memilih 4dari 10bola= C4 = 10= 210 4!6! P ( A) =(6)(15) = 3 (210) 7 DASARDASARPROBABILITAS32 Suprayogi 17. HukumHukum ProbabilitasJika Adan Bdua kejadian sembarang,makaP(A B)=P(A)+P(B) P(A B)Jika Adan Bkejadian yangsaling terpisah,makaP(A B)=P(A)+P(B)Jika Adan A adalah kejadian salingberkomplemen,makaP(A)=1 P(A)DASARDASARPROBABILITAS 33SuprayogiProbabilitas BersyaratProbabilitas bersyarat (conditionalprobability)Bjika diketahui A P (A B) P (B| A ) = ;jikaP (A ) > 0P (A)Kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan P (A B ) = P (A )P (B| A ) = P (B )P (A|B )DASARDASARPROBABILITAS 34Suprayogi 18. Contoh Probabilitas Bersyarat (#1) BekerjaTakBekerja Pria 46040 Wanita 140 260M =pria terpilihE=orang terpilih berstatus bekerja600 2 P (E ) = =900 3460 23 P (E M ) = =900 45 23 45 23 P (M |E ) ==2330 DASARDASARPROBABILITAS 35 SuprayogiContoh Probabilitas Bersyarat (#2)Diberikan sekumpulan kartu bridgeyangterdiri atas 52kartu.Dua buah kartu diambil satu persatu tanpa pengembalianProbabilitas kartu heartterpilih pada dua pengambilan ?A1 =kejadian kartu heartyangterambil pada pengambilan IA2 =kejadian kartu heartyangterambil pada pengambilan II13 1P (A1 ) ==52 412 4P (A2 ) ==51 17 1 4 1P (A1 A2 ) = = 4 17 17 DASARDASARPROBABILITAS 36 Suprayogi 19. 1 4 112 4 P (A1 A2 ) = = P (A2 | A1 ) = = 4 17 1751 17 51Kartu A2 12Heart13 1 39NonheartP (A1 ) = =A252 4 39 13 1 13 13 P (A2 | A1 ) = = P (A1 A2 ) = =A1 51 17 4 17 68 52Kartu,13heart39NonheartA1 3 13 13 39 3 P (A2 | A1 ) =13P (A1 A2 ) = =P (A1 ) = =51 4 51 68 52 4A2 51Kartu 13Heart 38Nonheart A2 38 P (A2| A1 ) = 3 38 3851 P (A1 A2 ) = = 4 51 68 DASARDASARPROBABILITAS37 SuprayogiContoh Probabilitas Bersyarat (#3)Kotak pertama terdiri atas 4bolaputih dan 3bolahitam,dankotak kedua terdiri atas 3bolaputih dan 5bolahitam.Sebuah boladiambil dari kotak pertama dan ditempatkan (tanpaterlihat)ke kotak kedua.Probabilitas bahwa sebuah yangdiambil dari kotak kedua adalahhitam?H1 =kejadian bolahitam yangterpilih dari kotak IP1 =kejadian bolaputih yangterpilih dari kotak IH2 =kejadian bolahitam yangterpilih dari kotak IIP2 =kejadian bolaputih yangterpilih dari kotak II DASARDASARPROBABILITAS38 Suprayogi 20. P[(H1 H2 ) (P1 H2 )] = P (H1 H2 ) + P (P1 H2 )= P (H1 )P (H2 |H1 ) + P (P1 )P (H2 |P1 )= ( 7 )( 6 ) + ( 4 )( 9 )3 9 75= 3863 3 6 P (H2 |H1 ) =6P (H1 H2 ) = 9 7 9 H2 KotakII3P,6H 3 P (H1 ) =P23 7P (P2 |H1 ) = 3 3 9 P (H1 P2 ) = H1 7 9 KotakI 4P,3HP1 4 5 4 P (H2 |P1 ) =5 P (P1 H2 ) = P (P1 ) = 9 7 9 7 H2 KotakII4P,5HP24 4 4 P (P2 |P1 ) = P (P1 P2 ) = DASARDASARPROBABILITAS9 7 9 39Suprayogi KejadianKejadian Saling BebasKejadiankejadian Adan Bsaling bebas(independent) jika P (A B ) = P (A )P (B )DASARDASARPROBABILITAS 40Suprayogi 21. Contoh KejadianKejadian Bebas (#1)Diberikan sekumpulan kartu bridgeyangterdiri atas 52kartu.Dua buah kartu diambil satu persatu dengan pengembalianProbabilitas kartu heartterpilih pada dua pengambilan ?A1 =kejadian kartu heartyangterambil pada pengambilan IA2 =kejadian kartu heartyangterambil pada pengambilan II 13 1 P (A1 ) == 52 4 13 1 P (A2 ) == 52 4 1 1 1 P (A1 A2 ) = = 4 4 16DASARDASARPROBABILITAS41Suprayogi 1 1 1P (A2 | A1 ) = 13 1 =P (A1 A2 ) = = 52 4 4 4 16A2 13 1 P (A1 ) = =A2 52 439 3 1 3 3 P (A2| A1 ) ==P (A1 A2 ) = = A152 4 4 4 16 A1 3 1 3 39 3P (A2 | A1 ) = 13 1 = P (A1 A2 ) = =P (A1 ) = = 52 4 4 4 16 52 4 A2A2 39 3P (A2| A1 ) == 3 3 9 52 4 P (A1 A2 ) = = 4 4 16DASARDASARPROBABILITAS42Suprayogi 22. Contoh KejadianKejadian Bebas (#2)Sebuah koin (uang logam)yangseimbang dilempar tiga kali.Probabilitas mendapatkan 2muka (M)dan 1belakang (B)?Ruang sampelS={MMM,MMB,MBM,MBB,BMM,BMB,BBM,BBB}A =kejadian muncul 2Mdan 1BA={MMB,MBM,BMM}P(A)=P(MMB)+P(MBM)+P(BMM)DASARDASARPROBABILITAS43SuprayogiP (MMB ) = P (M M B ) = P (M )P (M )P (B ) = ( 1 )( 1 )( 1 ) = 1 2 2 2 8P (MBM ) = P (M B M ) = P (M )P (B )P (M ) = ( 1 )( 1 )( 1 ) = 1 2 2 2 8P (BMM ) = P (B M M ) = P (B )P (M )P (M ) = ( 1 )( 1 )( 1 ) = 1 2 2 2 8P (A) = 1 + 1 + 1 = 88 8 83 1 1 1 1 P(MMM) = = P(M) = 1 2 2 2 8 21 P(B) = 1 1 1 1 P(M) = 12P(MMB) = = 2 2 2 2 81 P(B) = 1 1 1 12 P(M) = 1 P(MBM) = = 2 2 2 2 8 1 P(M) =P(B) =1 2 1 1 1 12P(MBB) = = 2 2 2 8 1 1 1 1 1P(BMM) = =P(B) = 1 P(M) = 2 2 2 8 2 211P(B) = 1 1 1 1P(M) =2P(BMB) = =2 2 2 2 8 1P(B) = 2 1 1 1 1 1 P(M) = P(BBM) = = 2 2 2 2 81 P(B) = 1 1 1 12P(BBB) = = 2 2 2 8DASARDASARPROBABILITAS44Suprayogi 23. Aturan Bayes (1)P (B A )P (B| A ) = P (A)BB A = (B A ) (B A ) AP (A ) = P (B A ) + P (B A )P (B A )P (B| A ) =P (B A ) + P (B A ) P (B )P (A|B )= P (B )P (A|B ) + P (B)P (A|B) DASARDASARPROBABILITAS45 SuprayogiAturan Bayes (2) B1B2P (Bi A ) P (Bi | A) = n A P(B A)i =1i B5 B4 B3 P (Bi )P (A|Bi ) =n P(B )P(A|B )i =1ii DASARDASARPROBABILITAS46 Suprayogi 24. Contoh Aturan BayesDua orang dicalonkan menjadi Bupati.Probabilitas PakAnu terpilih adalah 0,6;P(A1)=0,6.Probabilitas PakBadu terpilih adalah 0,4;P(A2)=0,4.Jika PakAnu terpilih,probabilitas kenaikan pajak adalah 0,8;P(B1|A1)=0,8.Jika PakBadu terpilih,probabilitas kenaikan pajak adalah 0,1;P(B1|A2)=0,1.Jika ternyata diketahui terjadi kenaikan pajak,probabilitas bahwa PakBaduyangterpilih,P(A2|B1)P (A2 B1 )P (A2 |B1 ) = P (A1 B1 ) + P (A2 B1 ) P (A2 )P (B1 | A2 ) =P (A1 )P (B1 | A1 ) + P (A2 )P (B1 | A2 ) (0,4 )(0,1) = DASARDASARPROBABILITAS(0,6 )(0,8 ) + (0,4 )(0,1)47 Suprayogi = 0,0769 P( A2 B1 )P( A2 | B1 ) =P(B1 ) Contoh Pohon ProbabilitasP( A B ) =2 P( A1 B1 ) + P( A2 B1 )0,04 = 0,48 + 0,04P(A1 B1) = (0,8)(0,6) = 0,48 = 0,0769B1 P(B1| A1) = 0,8 B2 A1 P(A1) = 0,6 P(B2| A1) = 0,2P(A1 B2) = (0,2)(0,6) = 0,12P(A2 B1) = (0,1)(0,4) = 0,04 A2P(A2) = 0,4 B P(B1| A2) = 0,1 1 B2P(B2| A2) = 0,9P(A2 B2) = (0,9)(0,4) = 0,36 DASARDASARPROBABILITAS 48 Suprayogi