PERBANDINGAN SAMPEL ACAK DAN SAMPEL DENGAN …repository.usd.ac.id/31543/2/133114025_full.pdf ·...

147
PERBANDINGAN SAMPEL ACAK DAN SAMPEL DENGAN JUMLAH UNIT SEKUNDER TERBANYAK PADA METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU TAHAP TANPA PENGEMBALIAN DENGAN PROBABILITAS TIDAK SAMA Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika Oleh: Yolanda Ayu Nugraheni NIM: 133114025 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2018 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transcript of PERBANDINGAN SAMPEL ACAK DAN SAMPEL DENGAN …repository.usd.ac.id/31543/2/133114025_full.pdf ·...

  • PERBANDINGAN SAMPEL ACAK DAN SAMPEL DENGAN JUMLAH

    UNIT SEKUNDER TERBANYAK PADA METODE PENARIKAN

    SAMPEL KLASTER SATU TAHAP TANPA PENGEMBALIAN DENGAN

    PROBABILITAS TIDAK SAMA

    Tugas Akhir

    Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

    Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

    Program Studi Matematika

    Oleh:

    Yolanda Ayu Nugraheni

    NIM: 133114025

    PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

    FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

    UNIVERSITAS SANATA DHARMA

    YOGYAKARTA

    2018

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • ii

    THE COMPARISON OF RANDOM SAMPLE AND SAMPLE WITH THE

    MOST QUANTITY OF SECONDARY UNIT ON ONE STEP CLUSTER

    SAMPLING WITHOUT REPLACEMENT WITH UNEQUAL

    PROBABILITY

    A Thesis

    Presented as Partial Fulfillment of the

    Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

    Mathematics Study Program

    Written by:

    Yolanda Ayu Nugraheni

    Student Number: 133114025

    MATHEMATICS STUDY PROGRAM

    DEPARTMENT OF MATHEMATICS

    FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

    SANATA DHARMA UNIVERSITY

    YOGYAKARTA

    2018

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • v

    HALAMAN PERSEMBAHAN

    Tugas akhir ini saya persembahkan untuk:

    Tuhan Yesus Kristus, yang senantiasa selalu memberkati saya hingga saat

    ini, tanpa pertolongan dan kasih-Nya saya tidak akan menjadi diri saya

    yang sekarang.

    Kedua orang tua saya.

    Nenek saya, Suharti.

    Ketiga adik saya, Via, Jauza, dan Bagas.

    Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing tugas akhir

    ini.

    Seluruh teman-teman saya yang saya sayangi.

    Para pembaca yang sudah mau meluangkan waktunya untuk membaca tugas

    akhir ini.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • vii

    ABSTRAK

    Objek utama dari penarikan sampel adalah memilih sampel dari populasi

    dengan tujuan untuk menduga parameter populasi yang ingin diketahui. Ketika

    unit-unit dalam populasi memiliki probabilitas berbeda-beda untuk diambil

    sebagai sampel, maka hal ini disebut penarikan sampel dengan probabilitas tidak

    sama. Metode yang dibahas adalah metode penarikan sampel klaster satu-tahap

    tanpa pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson.

    Pada tugas akhir ini pengambilan sampel akan dilakukan dengan metode

    penarikan sampel klaster satu-tahap dengan dua cara, yaitu

    1. Sampel unit penarikan sampel primer (psu) diambil secara acak,

    2. Sampel unit penarikan sampel primer (psu) diambil secara langsung dengan

    memandang unit penarikan sampel primer (psu) yang memiliki unit penarikan

    sampel sekunder terbanyak (ssu).

    Kemudian dari kedua cara pengambilan sampel tersebut, akan dibandingkan dan

    dipilih hasil penduga yang terbaik.

    Metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian dengan

    penduga Horvitz-Thompson diterapkan pada pendugaan total produksi padi di

    pulau Jawa tahun 2016. Galat baku menjadi kriteria kebaikan penduga. Sampel

    terbaik merupakan sampel yang menghasilkan galat baku minimum.

    Kata kunci: penarikan sampel probabilitas, penarikan sampel dengan

    probabilitas tidak sama, penduga Horvitz-Thompson, metode penarikan sampel

    klaster satu-tahap tanpa pengembalian, galat baku.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • viii

    ABSTRACT

    The main object of sampling is select a sample from a population to estimate

    the population parameter that have to know. When the units in the population has

    different probabilities to be taken as sample, this called sampling with unequal

    probabilities. The method that will be discussed is one-stage cluster sampling

    method without replacement with Horvitz-Thompson estimator.

    In this paper, the sampling will be done in two ways, there are,

    1. Primary sampling unit (psu) sample is chosen randomly,

    2. Primary sampling unit (psu) sample selected is based on primary sampling

    unit (psu) that have the most secondary sampling units (ssu).

    Then, that will be compared and we will choose the best estimator.

    One-stage cluster sampling method without replacement with Horvitz-

    Thompson estimator is implemented on the paddy production data in Java island

    in 2016. Standard error is chosen as the comparison criteria of estimator. The

    best sample is the sample that produce minimum standard error.

    Key words: probability sampling, sampling with unequal probability, Horvitz-

    Thompson estimator, one-stage cluster sampling without replacement, standard

    error.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • x

    KATA PENGANTAR

    Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat, anugerah,

    dan kasih-Nya yang telah menyertai penulis sehingga tugas akhir ini dapat

    terselesaikan dengan baik. Tugas akhir saya yang berjudul “Perbandingan Sampel

    Acak dan Sampel dengan Jumlah Unit Sekunder Terbanyak pada Metode

    Penarikan Sampel Klaster Satu Tahap tanpa Pengembalian dengan Probabilitas

    tidak Sama” merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana

    Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma

    Yogyakarta.

    Dalam penyusunan tugas akhir ini, penulis mendapatkan kendala-kendala

    yang tidak diduga baik dari luar maupun dalam diri penulis, namun berkat

    dukungan serta bantuan dari berbagai pihak pada akhirnya penulis dapat

    menyelesaikan tugas akhir ini. Dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan

    terima kasih kepada:

    1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing tugas akhir ini

    yang sangat sabar telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta

    memberikan masukan, arahan, motivasi dan nasihat kepada penulis.

    2. Bapak YG. Hartono, SSi., M.Sc., Ph.D, selaku Kepala Program Studi

    Matematika.

    3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Wakil Kepala Program Studi

    Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik yang selalu mengarahkan dan

    memberi nasihat yang berkaitan dengan perkuliahan.

    4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Sains

    dan Teknologi.

    5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. Herry Pribawanto Suryawan,

    S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si.,

    M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., dan Ibu Lusia Krismiyati

    Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Dosen Program Studi Matematika yang telah

    membagikan ilmu serta pengalaman dalam perkuliahan.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • xii

    DAFTAR ISI

    HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

    HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii

    HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

    HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

    HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................. v

    PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ vi

    ABSTRAK ............................................................................................................ vii

    ABSTRACT ......................................................................................................... viii

    LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ...................................................... ix

    KATA PENGANTAR ............................................................................................ x

    DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

    BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

    A. Latar Belakang .............................................................................................. 1

    B. Rumusan Masalah......................................................................................... 2

    C. Batasan Masalah ........................................................................................... 2

    D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 3

    E. Manfaat Penulisan ........................................................................................ 3

    F. Metode Penulisan ......................................................................................... 4

    G. Sistematika Penulisan ................................................................................... 4

    BAB II DASAR-DASAR TEORI PENARIKAN SAMPEL .................................. 6

    A. Probabilitas ................................................................................................... 6

    1. Ruang Sampel ........................................................................................... 6

    2. Kejadian .................................................................................................... 7

    3. Menghitung Banyaknya Titik Sampel ...................................................... 9

    4. Probabilitas dari Sebuah Kejadian ......................................................... 13

    5. Probabilitas Bersyarat ............................................................................. 14

    6. Aturan Dua Probabilitas ......................................................................... 16

    7. Variabel Acak ......................................................................................... 18

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • xiii

    8. Sampel Acak ........................................................................................... 20

    9. Bilangan Acak ........................................................................................ 20

    B. Distribusi Probabilitas ................................................................................ 22

    1. Distribusi Probabilitas Diskrit ................................................................ 22

    2. Distribusi Probabilitas Kontinu (Fungsi Densitas) ................................. 27

    3. Variabel Acak Saling Bebas ................................................................... 31

    4. Nilai Harapan ......................................................................................... 32

    5. Variansi .................................................................................................. 38

    6. Probabilitas Marginal dan Probabilitas Bersyarat .................................. 41

    7. Kovariansi .............................................................................................. 45

    C. Distribusi Penarikan Sampel ...................................................................... 49

    D. Pendugaan Parameter ................................................................................. 50

    E. Istilah-Istilah dalam Penarikan Sampel ...................................................... 55

    F. Probabilitas Inklusi ..................................................................................... 59

    G. Sampel Acak Sederhana ............................................................................. 60

    H. Pendugaan Parameter Sampel Acak Sederhana ......................................... 62

    1. Pendugaan Rata-Rata ............................................................................. 63

    2. Pendugaan Total ..................................................................................... 72

    BAB III METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU LAPIS TANPA

    PENGEMBALIAN ............................................................................................... 77

    A. Metode Penarikan Sampel Klaster (Cluster Sampling) .............................. 77

    B. Metode Penarikan Sampel dengan Probabilitas Tidak Sama ..................... 81

    C. Metode Penarikan Sampel Tanpa Pengembalian dengan Probabilitas Tidak

    Sama .................................................................................................................. 83

    D. Memilih Unit Penarikan Sampel Utama (PSU) .......................................... 85

    E. Metode Penarikan Sampel Satu Lapis tanpa Pengembalian (dengan

    Probabilitas tidak Sama) .................................................................................... 87

    BAB IV APLIKASI METODE PENARIKAN SAMPEL SATU LAPIS TANPA

    PENGEMBALIAN DENGAN PROBABILITAS YANG TIDAK SAMA ......... 96

    A. Tujuan Penarikan Sampel ........................................................................... 98

    B. Populasi Sasaran ......................................................................................... 98

    C. Unit Penarikan Sampel ............................................................................... 99

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • xiv

    D. Pemilihan Sampel ....................................................................................... 99

    1. Pemilihan Unit Penarikan Sampel Utama (PSU) secara Acak ............. 101

    2. Pemilihan Unit Penarikan Sampel Utama (PSU) dengan Unit Penarikan

    Sampel Sekunder Terbanyak ....................................................................... 103

    E. Data dan Analisis Data ............................................................................. 105

    1. Pendugaan dengan Sampel yang Dipilih secara Acak ......................... 106

    2. Pendugaan dengan Sampel yang Dipilih dari Unit Terbesar................ 106

    3. Perbandingan Pendugaan ..................................................................... 107

    4. Perbandingan antara Kedua Pendugaan yang Mendekati Populasi ...... 108

    F. Penerapan Kasus Lain .............................................................................. 110

    BAB V PENUTUP .............................................................................................. 114

    A. Kesimpulan ............................................................................................... 114

    B. Saran ......................................................................................................... 114

    DAFTAR PUSTAKA

    LAMPIRAN

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 1

    BAB I

    PENDAHULUAN

    A. Latar Belakang

    Penarikan sampel merupakan pemilihan bagian dari populasi untuk diamati

    sehingga pengamat dapat menduga informasi bagi seluruh populasi. Penarikan

    sampel memiliki peranan di dunia statistika yang salah satunya dapat digunakan

    untuk menduga total populasi. Sampel yang baik merupakan sampel yang dapat

    merepresentasikan populasi sehingga informasi dalam populasi dapat diperoleh

    hanya dengan mengambil sampelnya. Penarikan sampel terdiri dari penarikan

    sampel probabilitas dan nonprobabilitas, namun prosedur penarikan sampel yang

    secara matematika berkembang adalah penarikan sampel probabilitas.

    Pada kasus di lapangan, unit-unit dalam populasi biasanya memiliki

    probabilitas yang berbeda untuk dimasukkan dalam sampel, contohnya seorang

    walikota ingin mengetahui jumlah lansia di kotanya, kota tersebut terdiri dari

    kecamatan-kecamatan dan akan dilakukan penarikan sampel. Jarang sekali

    ditemui kasus setiap kecamatan memiliki jumlah rumah tangga yang sama

    sehingga untuk kasus seperti ini penarikan sampel yang lebih tepat digunakan

    adalah penarikan sampel dengan probabilitas tidak sama.

    Secara umum penarikan sampel dilakukan dengan pengembalian dan tanpa

    pengembalian. Penarikan sampel dengan pengembalian kurang efisien

    dibandingkan penarikan sampel tanpa pengembalian karena dalam penarikan

    sampel dengan pengembalian suatu obyek dapat terambil dua kali dan hal tersebut

    tidak memberikan informasi tambahan mengenai populasi. Pada tugas akhir ini

    penarikan sampel dilakukan tanpa pengembalian dengan metode penarikan

    sampel klaster satu-tahap.

    Penduga yang akan digunakan adalah penduga Horvitz-Thompson yang

    diperkenalkan oleh Horvitz dan Thompson pada tahun 1952.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 2

    Untuk mensimulasikan metode tersebut akan digunakan data yang

    bersumber dari Badan Pusat Statistik Indonesia, yaitu data produksi padi pada

    provinsi-provinsi di pulau Jawa. Simulasi dilakukan untuk menduga total hasil

    panen padi di pulau Jawa dengan galat baku (standard error) pendugaan sebagai

    ukuran kebaikan terduga.

    Apabila sebelum dilakukan penarikan sampel informasi mengenai keadaan

    populasi (seperti luas wilayah populasi, pembagian wilayah populasi) telah

    diketahui, informasi ini dapat digunakan untuk memilih unit penarikan sampel

    primer dengan unit penarikan sampel sekunder yang besar sebagai sampel dan

    kemungkinan akan didapatkan pendugaan yang lebih baik. Untuk membuktikan

    pernyataan tersebut, pada tugas akhir ini, akan dilakukan pembandingan hasil

    pendugaan apabila sampel diambil secara acak dan apabila sampel diambil secara

    langsung pada unit penarikan sampel primer (primary sampling unit) dengan

    jumlah unit penarikan sampel sekunder (secondary sampling unit) terbesar.

    B. Rumusan Masalah

    Rumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut

    1. Apa itu metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian

    dengan penduga Horvitz Thompson?

    2. Bagaimana aplikasi metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa

    pengembalian dalam menduga total suatu populasi?

    3. Bagaimana perbandingan hasil pendugaan populasi dengan memilih

    sampel secara acak dan dengan memilih sampel secara langsung dari unit

    penarikan sampel primer dengan unit penarikan sampel sekunder terbesar?

    C. Batasan Masalah

    Batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut

    1. Penarikan sampel yang dibahas hanya penarikan sampel dengan

    probabilitas tidak sama dengan metode penarikan sampel satu-tahap tanpa

    pengembalian, selebihnya hanya sebagai pengantar.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 3

    2. Sampel yang diambil pada masing-masing pendugaan populasi adalah

    sebanyak 2 unit.

    3. Sampel yang diambil berdasarkan unit penarikan sampel primer dengan

    unit penarikan sampel sekunder terbanyak hanya dapat dilakukan apabila

    informasi mengenai wilayah populasi sudah diketahui.

    4. Teori Probabilitas yang dibahas hanya teori yang berkaitan dengan materi

    pokok.

    D. Tujuan Penulisan

    Tujuan penulisan dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut

    1. Mengetahui pendugaan populasi yang probabilitas unit-unitnya tidak sama

    dengan menerapkan metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa

    pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson.

    2. Mengetahui perbedaan hasil dugaan apabila sampel diambil secara acak

    dan sampel diambil berdasarkan unit penarikan sampel primer dengan unit

    penarikan sampel sekunder terbesar.

    3. Menerapkan metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa

    pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson dalam kasus nyata.

    E. Manfaat Penulisan

    Manfaat penulisan dalam tugas akhir ini adalah

    1. Dapat mempelajari metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa

    pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson pada populasi yang

    probabilitas setiap unit penarikan sampel primernya tidak sama.

    2. Dapat mengetahui seberapa baik sampel yang diambil secara acak dan

    sampel yang diambil secara langsung dari unit penarikan sampel primer

    dengan unit penarikan sampel sekunder terbesar.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 4

    F. Metode Penulisan

    Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode studi

    pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku serta jurnal-jurnal

    yang berkaitan dengan penarikan sampel dengan probabilitas tidak sama

    menggunakan metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian

    dan dasar-dasar probabilitas yang digunakan.

    G. Sistematika Penulisan

    BAB I PENDAHULUAN

    A. Latar Belakang

    B. Rumusan Masalah

    C. Batasan Masalah

    D. Tujuan Penulisan

    E. Manfaat Penulisan

    F. Metode Penulisan

    G. Sistematika Penulisan

    BAB II DASAR-DASAR TEORI PENARIKAN SAMPEL

    A. Probabilitas

    B. Distribusi Probabilitas

    C. Distribusi Penarikan Sampel

    D. Pendugaan Parameter

    E. Istilah-Istilah dalam Penarikan Sampel

    F. Probabilitas Inklusi

    G. Sampel Acak Sederhana

    H. Pendugaan Parameter Sampel Acak Sederhana

    BAB III METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU-TAHAP TANPA

    PENGEMBALIAN

    A. Metode Penarikan Sampel Klaster

    B. Metode Penarikan Sampel dengan Probabilitas tidak Sama

    C. Metode Penarikan Sampel tanpa Pengembalian dengan Probabilitas tidak

    Sama

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 5

    D. Memilih Unit Penarikan Sampel Utama

    E. Metode Penarikan Sampel Klaster Satu-Tahap tanpa Pengembalian

    dengan Probabilitas tidak Sama

    BAB IV APLIKASI METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU-

    TAHAP TANPA PENGEMBALIAN DENGAN PROBABILITAS TIDAK

    SAMA

    A. Tujuan Penarikan Sampel

    B. Populasi Sasaran

    C. Unit Penarikan Sampel

    D. Pemilihan Sampel

    E. Data dan Analisis Data

    BAB V PENUTUP

    A. Kesimpulan

    B. Saran

    DAFTAR PUSTAKA

    LAMPIRAN

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 6

    BAB II

    DASAR-DASAR TEORI PENARIKAN SAMPEL

    A. Probabilitas

    1. Ruang Sampel

    Definisi 2.1. Ruang Sampel

    Himpunan semua kemungkinan hasil dari percobaan statistik disebut ruang

    sampel dan dinyatakan dengan simbol .

    Setiap hasil dalam suatu ruang sampel disebut elemen atau anggota

    dari ruang sampel, atau titik sampel. Jika ruang sampel memiliki sejumlah

    berhingga dari elemen-elemen, daftar anggota-anggota dinyatakan dengan

    koma dan ditutup kurung.

    Contoh 2.1

    Dalam percobaan pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali.

    Tentukan ruang sampel dalam percobaan tersebut.

    Jawab:

    Ruang sampel dalam percobaan dua buah dadu adalah

    {

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

    Sehingga diperoleh banyaknya anggota ruang sampel (titik sampel)

    ( ) .

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 7

    Definisi 2.2. Ruang Sampel Diskrit dan Kontinu

    Jika sebuah ruang sampel terdiri atas sejumlah berhingga titik sampel atau

    sejumlah tak berhingga titik sampel tetapi terbilang disebut ruang sampel

    diskrit. Ruang sampel yang tidak diskrit disebut ruang sampel kontinu.

    2. Kejadian

    Definisi 2.3. Kejadian

    Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

    Contoh 2.2

    Diberikan ruang sampel * | +, dengan adalah umur dalam

    tahun dari elektronik tertentu, kemudian kejadian adalah umur

    elektronik yang rusak sebelum tahun kelima, tentukan kejadian .

    Jawab:

    * | +.

    Definisi 2.4. Komplemen Dua Kejadian

    Komplemen dari sebuah kejadian di dalam adalah himpunan bagian

    dari semua elemen-elemen yang tidak di . Komplemen dari

    dinotasikan dengan simbol .

    Contoh 2.3

    Dimisalkan ruang sampel

    *buku, telepon genggam, laptop, alat tulis, botol minum+

    Misalkan *buku, alat tulis, laptop+. Tentukan komplemen dari .

    Jawab:

    Didapatkan komplemen dari adalah *telepon genggam, botol

    minum+.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 8

    Definisi 2.5. Irisan Dua Kejadian

    Irisan dari dua kejadian dan , dinotasikan dengan simbol ,

    merupakan kejadian yang terdiri dari elemen-elemen yang sama antara

    dan .

    Contoh 2.4

    Misalkan *buku, telepon genggam, laptop, alat tulis, botol minum+

    dan *telepon genggam, laptop, kertas, mp3+. Tentukan irisan dari

    dan .

    Jawab:

    Didapatkan irisan dari dan ,

    * +

    Definisi 2.6. Kejadian Saling Asing

    Dua kejadian dan saling asing, jika , yaitu, jika dan

    tidak memiliki elemen-elemen yang sama.

    Contoh 2.5

    Diandaikan percobaan pelemparan sebuah dadu. Masing-masing

    melempar dadu sebanyak dua kali. Didapatkan * + dan * +.

    Apakah saling asing?

    Jawab:

    Karena dadu yang dilempar dan tidak menghasilkan bilangan yang

    sama, maka

    sehingga saling asing.

    Definisi 2.7. Gabungan Dua Kejadian

    Gabungan dari dua kejadian dan , dinotasikan dengan simbol ,

    merupakan kejadian yang memuat semua elemen-elemen yang berada di

    atau atau keduanya.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 9

    Contoh 2.6

    Misalkan * + dan * +. Tentukan .

    Jawab:

    Didapatkan * +.

    3. Menghitung Banyaknya Titik Sampel

    Teorema 2.1

    Bila terdapat elemen, yaitu dan elemen, yaitu

    , maka dapat dibentuk pasang yang memuat satu

    elemen dari setiap kelompok.

    Bukti:

    . . .

    .

    .

    .

    Pada persegi gambar 2.1, terdapat satu persegi dalam tabel untuk setiap

    , pasang dan oleh karena itu jumlahnya persegi.

    Gambar 2.1. Jumlah Pasangan (𝒂𝒊 𝒃𝒋)

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 10

    Contoh 2.7

    Berapa banyaknya titik sampel pada ruang sampel percobaan sepasang

    dadu yang dilempar satu kali?

    Jawab:

    Dimisalkan,

    kemungkinan mata dadu yang didapatkan dadu pertama ,

    kemungkinan mata dadu yang didapatkan dadu kedua ,

    Sehingga didapatkan kemungkinan mata dadu yang

    didapatkan dari sepasang dadu tersebut.

    Definisi 2.8. Permutasi

    Banyaknya cara menyusun obyek berbeda yang diambil dari obyek

    disebut permutasi yang disimbolkan dengan .

    Teorema 2.2

    ( )( ) ( )

    ( )

    Bukti:

    Simbol merupakan banyaknya cara mengisi posisi dengan objek yang

    berbeda. Terapkan teorema 2.1, dilihat bahwa objek pertama dapat dipilih

    satu dari cara. Setelah itu, kedua dapat dipilih ( ) cara, ketiga

    ( ) cara, dan ke- dapat dipilih dengan ( ) cara. Oleh

    karena itu, banyaknya jumlah dari susunan yang berbeda adalah

    ( )( ) ( )

    Dinyatakan dalam,

    ( )( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    dengan ( ) ( )( ) dan .

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 11

    Contoh 2.8

    Nama dari 3 karyawan diambil secara acak, tanpa pengembalian, dari

    mangkok yang terdiri dari 30 nama karyawan dari perusahaan kecil.

    Orang yang namanya terambil pertama mendapatkan $100, dan nama yang

    terambil kedua dan ketiga mendapatkan $50 dan $25, berturut-turut.

    Berapa banyak titik sampel dari kasus ini?

    Jawab:

    Akan dicari titik sampel yang terkait dengan kasus ini. Karena hadiah

    yang diberikan berbeda, banyaknya titik sampel adalah banyaknya susunan

    dari nama yang mungkin terambil nama. Sedemikian

    sehingga, banyaknya titik sampel dalam adalah

    ( )( )( )

    Teorema 2.3

    Banyaknya cara membagi objek berbeda ke mdalam kelompok

    berbeda yang terdiri dari objek, berturut-turut, dengan setiap

    objek muncul dalam tepat satu kelompok dan ∑ , yaitu

    .

    /

    Bukti:

    adalah banyaknya susunan yang berbeda dari objek dalam sebuah

    baris untuk kasus dimana penyusunan kembali dari objek dalam kelompok

    yang tidak dihitung. Contoh huruf hingga disusun dalam tiga

    kelompok, dimana dan

    | |

    merupakan satu susunan.

    Banyaknya susunan yang berbeda dari objek, diasumsikan semua

    objekberbeda, adalah . Sehingga

    sama dengan banyaknya cara

    membagi objek kedalam kelompok, abaikan susunan dalam kelompok

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 12

    dikalikan dengan banyaknya cara menyusun elemen dalam

    setiap kelompok. Penerapan dari perluasan aturan diberikan

    ( ) ( )

    dengan adalah banyaknya susunan yang berbeda dari objek dalam

    kelompok . Penyelesaian untuk , didapatkan

    .

    /

    Contoh 2.9

    Berapa banyak cara untuk 7 mahasiswi pascasarjana ditempatkan 1 kamar

    berisi 3 tempat tidur dan 2 kamar berisi 2 tempat tidur?

    Jawab:

    Banyaknya cara adalah

    .

    /

    Definisi 2.9. Kombinasi

    Banyaknya kombinasi obyek yang diambil dari obyek adalah

    banyaknya himpunan bagian berukuran , dapat dibentuk dari obyek.

    Banyaknya kombinasi dinotasikan dengan atau .

    /

    Teorema 2.4

    Banyaknya himpunan bagian tidak terurut sebanyak dipilih (tanpa

    pengembalian) dari objek yang ada, yaitu

    . /

    ( )

    Bukti:

    Memilih objek dari jumlah ekuivalen dengan membagi objek ke

    dalam kelompok, dipilih, dan ( ) yang tersisa. Ini kasus

    khusus dari penanganan masalah pembagian umum dalam teorema 2.3.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 13

    Dalam kasus yang diberikan, dan ( ) dan, karena

    itu,

    . /

    .

    /

    ( )

    Contoh 2.10

    Seorang anak meminta 5 permainan dari 10 koleksi permainan

    petualangan dan 5 koleksi permainan olahraga. Berapa banyak cara untuk

    mendapatkan 3 koleksi permainan petualangan dan 2 koleksi permainan

    olahraga?

    Jawab:

    Banyaknya cara memilih 3 dari 10 permainan petualangan adalah

    . /

    ( )

    Banyaknya cara memilih 2 dari 5 permainan olah raga adalah

    . /

    ( )

    Menggunakan Teorema 2.1 didapatkan dan sehingga

    ( )( ) cara.

    4. Probabilitas dari Sebuah Kejadian

    Definisi 2.10. Probabilitas Sebuah Kejadian

    Bila merupakan ruang sampel yang berkaitan dengan sebuah percobaan.

    Untuk setiap kejadian dalam ( merupakan himpunan bagian dari ),

    ( ) merupakan probabilitas dari , jika memenuhi aksioma berikut:

    Aksioma 1: ( )

    Aksioma 2: ( )

    Aksioma 3: Jika membentuk barisan kejadian yang saling

    asing berpasangan di dalam , maka

    ( ) ∑ ( )

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 14

    Contoh 2.11

    Sebuah koin dengan dua sisi, yaitu gambar (G) dan angka (A) dilempar

    dua kali. Berapa banyak probabilitas paling sedikit muncul 1 gambar?

    Jawab:

    merupakan ruang sampel koin dengan dua sisi, didapatkan

    * +

    Misalkan probabilitas dari setiap titik sampel, maka atau

    .

    Jika menyatakan kejadian paling sedikit gambar muncul, maka

    * + dan ( )

    5. Probabilitas Bersyarat

    Definisi 2.11. Probabilitas Bersyarat

    Probabilitas bersyarat dari kejadian , diketahui kejadian telah terjadi,

    sama dengan

    ( | ) ( )

    ( )

    apabila ( ) . ( | ) adalah probabilitas dari jika diketahui .

    Contoh 2.12

    Sebuah dadu dilempar satu kali misalkan merupakan kejadian

    munculnya mata dadu ganjil dan Q merupakan kejadian munculnya mata

    dadu lebih dari 2. Tentukan probabilitas munculnya mata dadu ganjil jika

    diketahui munculnya kejadian mata dadu lebih dari dua.

    Jawab:

    Diketahui ruang sampel * +

    kemudian * + * +

    * +

    ( )

    ( )

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 15

    Didapatkan,

    ( | ) ( )

    ( ) ⁄

    Definisi 2.12. Kejadian Saling Bebas

    Dua kejadian dan dikatakan bebas jika salah satu dari pernyataan

    berikut terpenuhi

    ( | ) ( )

    ( | ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    Selainnya, kejadian dikatakan saling bergantung.

    Contoh 2.13

    Terdapat 1 set kartu berisi abjad, kemudian kartu tersebut diambil secara

    acak. Didefinisikan kejadian dan , yaitu

    * +

    * +

    Tunjukkan apakah kejadian dan saling bebas.

    Jawab:

    Diketahui ruang sampel dari 1 set kartu tersebut,

    * +

    Sehingga diperoleh elemen , ( ) .

    ( )

    ( )

    ( )

    ( | ) ( )

    ( ) ⁄

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 16

    ( | ) ( )

    ( ) ⁄

    ( ) ( )

    Jadi kejadian dan saling bebas.

    6. Aturan Dua Probabilitas

    Teorema 2.5

    Probabilitas dari gabungan dua kejadian dan adalah

    ( ) ( ) ( ) ( )

    Jika dan kejadian yang tidak memiliki irisan, maka ( ) dan

    ( ) ( ) ( )

    Bukti:

    Ilustrasi pada gambar 2.2 digunakan untuk memperjelas bukti.

    Gambar 2.2 Ilustrasi Diagram Venn untuk Teorema 2.5

    Dari gambar dapat dinyatakan ( ) dengan dan

    ( ) kejadian saling asing. Kemudian, ( ) ( ),

    dengan ( ) dan ( ) kejadian saling asing. Maka,

    ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( )

    Didapatkan ( ) ( ) ( ), sehingga

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    A B

    𝑆

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 17

    Teorema 2.6

    Jika merupakan sebuah kejadian, maka

    ( ) ( )

    Bukti:

    Ilustrasi pada gambar 2.3 digunakan untuk memperjelas bukti.

    Gambar 2.3 Ilustrasi Diagram Venn untuk Teorema 2.6

    Dari gambar, . Karena dan merupakan kejadian saling

    asing, maka ( ) ( ) ( ). Dari definisi 2.10 ( ) ,

    sehingga ( ) ( ) , oleh karena itu ( ) ( ).

    Definisi 2.13. Partisi dari Ruang Sampel

    Untuk suatu bilangan bulat positif , misalkan himpunan

    sedemikian sehingga

    1. .

    2. , untuk .

    Maka kumpulan dari himpunan * + dikatakan partisi dari .

    Teorema 2.7

    Diasumsikan bahwa * + merupakan partisi dari sedemikiam

    sehingga ( ) , untuk . Maka untuk sebarang kejadian

    ( ) ∑ ( | ) ( )

    A

    𝐴𝑐 𝑆

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 18

    Bukti:

    Sebarang himpunan bagian dari dapat ditulis

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    Karena * + merupakan partisi dari , jika , maka

    ( ) ( ) ( )

    ( ) dan ( ) merupakan kejadian yang tidak memiliki irisan.

    Oleh karena itu

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )

    ∑ ( | ) ( )

    Teorema 2.8

    Diasumsikan * + merupakan partisi dari sedemikian

    sehingga ( ) , untuk . Maka

    ( | ) ( | ) ( )

    ∑ ( | ) ( )

    Bukti:

    Didapatkan,

    ( | ) ( )

    ( )

    ( | ) ( )

    ∑ ( | ) ( )

    7. Variabel Acak

    Definisi 2.14. Variabel Acak

    Variabel acak adalah fungsi yang memetakan elemen-elemen dalam ruang

    sampel ke himpunan bilangan real.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 19

    Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital, misal , dan nilainya

    dinotasikan dengan huruf kecil, misal .

    Definisi 2.15. Variabel Acak Diskrit dan Kontinu

    Variabel acak dikatakan diskrit jika himpunan dari kemungkinan

    hasilnya berhingga atau tak berhingga tetapi terbilang. Jika tidak diskrit

    maka variabel dikatakan kontinu.

    Contoh 2.14 (Variabel Acak Diskrit)

    Dua bola diambil berurutan tanpa pengembalian dari sebuah mangkok

    yang terdiri dari 4 bola merah dan 3 bola hitam. Tentukan kemungkinan

    hasil yang didapatkan dan nilai dari variabel acak , dengan jumlah

    bola merah.

    Jawab:

    Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah * +.

    Setiap elemen pada ruang sampel dipetakan ke himpunan bilangan real

    adalah variabel acak .

    Nilai dari adalah .

    𝑀𝑀

    𝑀𝐻

    𝐻𝑀

    𝐻𝐻

    Gambar 2.4 Pemetaan Elemen-Elemen dalam Ruang Sampel ke

    Bilangan Real untuk Contoh 2.14

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 20

    Contoh 2.15 (Variabel Acak Kontinu)

    Misalkan variabel acak yang didefinisikan berat badan mahasiswa.

    Diasumsikan tidak ada mahasiswa yang mempunyai berat badan kurang

    dari 20 kg dan lebih dari 175 kg. Sehingga merupakan variabel acak

    untuk semua nilai antara . Karena merupakan sebuah

    interval maka merupakan variabel acak kontinu.

    8. Sampel Acak

    Definisi 2.16. Sampel Acak

    Misalkan dan menunjukkan banyaknya elemen dalam populasi dan

    sampel. Jika penarikan sampel dilakukan dengan cara setiap ( ) sampel

    memiliki probabilitas yang sama untuk terpilih, penarikan sampel

    dikatakan acak, dan hasilnya merupakan sampel acak.

    Contoh 2.16

    Dalam suatu populasi terdapat 5 elemen, dari populasi tersebut akan

    diambil sampel berukuran 2. Berapa banyak cara sampel tersebut akan

    terpilih secara acak?

    Jawab:

    Banyaknya cara adalah

    (

    )

    9. Bilangan Acak

    Bilangan acak merupakan bilangan yang dihasilkan oleh mekanisme

    yang menghasilkan ketidakpastian (irregularity) dalam arti tertentu akan

    dibuat presisi. Proses yang menghasilkan digit-digit acak (desimal) ketika

    proses tersebut menyajikan variabel acak yang saling bebas dan ambil nilai

    0, 1, …, 9 dengan probabilitas yang sama, variabel acak tersebut

    memenuhi distribusi seragam diskrit (variabel acak memiliki probabilitas

    yang sama untuk muncul). Definisi serupa diterapkan untuk bilangan acak

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 21

    yang lebih dari 10, untuk sebarang himpunan bilangan bulat yang

    berdekatan, atau, secara umum untuk sebarang himpunan yang memenuhi

    distribusi seragam diskrit. Bilangan acak digunakan pada sampel

    probabilitas, yaitu dalam penarikan sampel probabilitas unit sampel dipilih

    dari populasi dengan penarikan sampel probabilitas. Pada sebuah kasus

    penarikan sampel, biasanya setiap unit populasi dinomori, kemudian

    bilangan bulat acak yang terpilih (unit yang telah dinomori) akan menjadi

    unit sampel. Kegunaan lain bilangan acak adalah dalam rancangan

    percobaan untuk memutuskan perlakuan percobaan yang akan diterapkan,

    dsb.

    Salah satu cara untuk mendapatkan bilangan acak dengan

    menggunakan tabel bilangan acak. Tabel bilangan acak pertama kali

    dikenalkan oleh Tippett pada tahun 1927. Tabel bilangan acak merupakan

    tabel yang berisi digit angka. Digit yang diberikan dalam tabel dipilih

    secara acak dari digit 0, 1, 2, 3, …, 9 oleh proses acak dengan setiap digit

    memiliki probabilitas yang sama untuk dipilih.

    Contoh 2.17

    Misalkan akan diambil tiga orang sebagai sampel dari populasi tujuh

    orang. Cara pengambilan sampel dapat dilakukan dengan cara

    menomorinya pada potongan kertas dari 1 sampai 7, kemudian acak

    potongan kertas yang telah digulung dan diambil tiga dari tujuh gulungan

    kertas tersebut. Dengan cara yang berbeda, dapat dilakukan dengan

    menunjuk secara acak pada titik awal di Tabel Bilangan Acak. Andaikan

    titik yang ditunjuk secara acak adalah baris 15 pada kolom 9 dengan digit

    97735 dan yang dipilih adalah digit yang berada pada sisi paling kanan

    yaitu 5. Proses ini layaknya seperti mengambil gulungan kertas secara

    acak dan didapatkan kertas yang berisi angka 5. Kemudian proses ini

    dilanjutkan dengan memilih digit dari arah manapun untuk mendapatkan

    sampel sisanya. Ditentukan arah yaitu ke bawah dari digit yang terpilih

    pertama, sehingga dari tabel didapatkan 49442, dipilih digit yang berada

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 22

    pada sisi paling kanan yaitu 2. Dilanjutkan ke baris selanjutnya, dari tabel

    didapatkan 01188, dipilih digit yang berada pada sisi paling kanan yaitu 8,

    tetapi hanya ada 7 elemen populasi sehingga diabaikan. Kemudian

    dilanjutkan ke baris setelahnya. Dua baris selanjutnya didapatkan angka 5,

    karena angka 5 telah terpilih maka keduanya diabaikan. Pada baris

    selanjutnya dari tabel didapatkan 51851, dipilih digit yang berada pada sisi

    paling kanan yaitu 1. Akhirnya, sampel yang terpilih adalah orang

    bernomor 5, 2, dan 1.

    B. Distribusi Probabilitas

    1. Distribusi Probabilitas Diskrit

    Definisi 2.17. Fungsi Probabilitas Diskrit

    Himpunan pasangan terurut ( ( )) merupakan fungsi probabilitas,

    fungsi masa probabilitas, atau distribusi probabilitas dari variabel acak

    diskrit jika untuk setiap hasil yang mungkin , memenuhi

    a. ( )

    b. ∑ ( )

    Contoh 2.18

    Pengiriman 20 komputer yang sama menuju toko pengecer diantaranya

    terdapat 3 komputer yang cacat. Jika sebuah sekolah membelinya secara

    acak 2 dari komputer-komputer tersebut,

    a. tentukan distribusi probabilitas jumlah komputer yang cacat.

    b. buktikan bahwa ( ) merupakan distribusi probabilitas diskrit.

    Jawab:

    a. Misalkan variabel acak yang nilai -nya merupakan kemungkinan

    banyaknya komputer cacat yang dibeli oleh sekolah. Sehingga

    * +

    ( ) . / . /

    . /

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 23

    ( ) . / . /

    . /

    ( ) . / . /

    . /

    Jadi himpunan pasangan terurut distribusi probabilitas juga dapat

    dinyatakan dalam bentuk tabel 2.1 berikut

    Tabel 2.1.

    Distribusi Probabilitas dari Variabel Acak Diskrit untuk Contoh 2.18

    ( )

    b. Akan dibuktikan ( ) memenuhi definisi 2.17,

    1) ( ) terlihat dari hasil jawaban a,

    2) ∑ ( ) ∑ ( )

    Jadi, terbukti bahwa ( ) merupakan distribusi probabilitas diskrit.

    Definisi 2.18. Fungsi Distribusi Kumulatif Variabel Diskrit

    Fungsi distribusi kumulatif ( ) dari variabel acak diskrit dengan

    distribusi probabilitas ( ) adalah

    ( ) ( ) ∑ ( ) untuk

    Contoh 2.19

    Tentukan fungsi distribusi kumulatif variabel acak pada contoh 2.18.

    Jawab:

    Dari contoh 2.18 didapatkan distribusi probabilitas

    ( ) ⁄ ( )

    ⁄ ( ) ⁄ .

    Akan dicari ( ) ( ) ( ),

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 24

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    sehingga didapatkan fungsi distribusi kumulatif dari adalah

    ( )

    {

    Definisi 2.19. Fungsi Probabilitas Bersama Variabel Diskrit

    Fungsi ( ) merupakan distribusi probabilitas bersama atau fungsi

    massa probabilitas dari variabel acak diskrit dan jika

    a. ( ) untuk ( ),

    b. ∑ ∑ ( )

    Peluang bernilai dan bernilai dinotasikan dengan

    ( ) ( ), untuk setiap daerah di bidang

    dan ,( ) - ∑∑ ( ) .

    Contoh 2.20

    Dua bolpoin terpilih secara acak dari kotak yang terdiri dari 3 bolpoin biru,

    2 bolpoin merah, dan 3 bolpoin hijau. Jika merupakan banyaknya

    bolpoin biru yang terpilih dan merupakan banyaknya bolpoin merah

    yang terpilih, tentukan

    a. fungsi probabilitas bersama ( ),

    b. ,( ) - bila merupakan daerah *( )| +.

    Jawab:

    Nilai dari pasangan terurut ( ) yang mungkin adalah ( ), ( ),

    ( ), ( ), ( ) dan ( ).

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 25

    a. Misalkan ( ) merupakan probabilitas bolpoin berwarna merah dan

    hijau terpilih. Banyaknya cara memilih 2 bolpoin dari kotak adalah

    ( ) . Banyaknya cara memilih 1 bolpoin merah dari 2 bolpoin

    merah dan 1 bolpoin hijau dari 3 bolpoin hijau adalah ( )( ) .

    Oleh karena itu, ( ) ⁄ ⁄ . Perhitungan yang sama

    dapat digunakan untuk kasus lain. Hasil distribusi probabilitas

    bersama pada tabel 2.2 dapat dinyatakan dengan

    ( ) . / .

    / .

    /

    ( )

    untuk dan .

    Tabel 2.2

    Hasil Distribusi Probabilitas Bersama untuk Contoh 2.20

    Jumlah

    Baris ( )

    ⁄ ⁄

    ⁄ ⁄

    ⁄ ⁄

    Jumlah

    Kolom

    b. Probabilitas ( ) pada daerah adalah

    ,( ) - ( ) ( ) ( ) ( )

    Sebagai penunjang dari tugas akhir ini, selanjutnya akan dijelaskan

    salah satu contoh distribusi probabilitas diskrit yaitu Distribusi Binomial.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 26

    Contoh lain dari distribusi probabilitas diskrit adalah Distribusi

    Geometrik, Distribusi Hypergeometrik, dan Distribusi Poisson.

    Definisi 2.20. Percobaan Binomial

    Percobaan Binomial memenuhi sifat berikut:

    a. Percobaan terdiri atas ulangan yang identik.

    b. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua kemungkinan hasil, yaitu

    berhasil ( ) atau gagal ( ).

    c. Probabilitas berhasil adalah dan tetap sama untuk ulangan lainnya.

    Probabilitas gagal adalah ( ).

    d. Ulangan bersifat saling bebas.

    e. Variabel acak adalah banyaknya ulangan sukses yang teramati

    selama ulangan

    Contoh 2.21

    Sistem deteksi peringatan dini untuk pesawat terdiri dari 4 unit radar

    identik yang beroperasi secara independen (saling bebas) satu sama lain.

    Misalkan setiap unit radar memiliki peluang 0.95 untuk mendeteksi

    adanya gangguan pada pesawat. Ketika ada gangguan pada pesawat,

    variabel acak merupakan banyaknya unit radar yang tidak mendeteksi

    gangguan. Apakah hal ini merupakan percobaan Binomial?

    Jawab:

    Jika permasalahan pada soal merupakan percobaan Binomial, maka

    permasalahan pada soal harus memenuhi sifat-sifat pada definisi 2.21.

    Variabel acak dalam percobaan ini merupakan banyaknya unit radar

    yang tidak mendeteksi gangguan, sehingga percobaan ini dapat menjadi

    binomial jika dan hanya jika unit radar tidak dapat mendeteksi merupakan

    ulangan sukses.

    a. Percobaan memuat 4 ulangan yang identik. Setiap ulangan

    menentukan apakah unit radar mendeteksi pesawat.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 27

    b. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua hasil, yaitu radar dapat

    mendeteksi atau radar tidak dapat mendeteksi.

    c. Karena radar mendeteksi dengan probabilitas yang sama, maka

    probabilitas pada setiap ulangan sama, dan ( )

    ( ) .

    d. Ulangan-ulangan saling bebas karena unit-unit beroperasi secara

    independen.

    e. Variabel acak merupakan banyaknya ulangan sukses dalam 4

    ulangan.

    Sehingga, percobaan tersebut merupakan percobaan Binomial, dengan

    , , dan .

    2. Distribusi Probabilitas Kontinu (Fungsi Densitas)

    Definisi 2.21. Fungsi Densitas Probabilitas Kontinu

    Fungsi ( ) merupakan fungsi densitas untuk variabel acak kontinu ,

    jika

    a. ( ) untuk

    b. ∫ ( )

    Peluang variabel acak berada dalam interval , - dinyatakan dengan

    ( ) ∫ ( )

    Contoh 2.22

    Misalkan variabel acak kontinu memiliki fungsi densitas probabilitas

    ( ) ,

    Buktikan bahwa ( ) merupakan fungsi densitas.

    Jawab:

    Akan dibuktikan ( ) memenuhi definisi 2.21,

    a. Jelas ( )

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 28

    b. ∫ ( ) ∫

    |

    Terbukti bahwa ( ) merupakan fungsi densitas.

    Definisi 2.22. Fungsi Distribusi Kumulatif Variabel Kontinu

    Fungsi distribusi kumulatif ( ) dari variabel acak kontinu dengan

    fungsi densitas ( ) adalah

    ( ) ( ) ∫ ( )

    untuk

    Contoh 2.23

    Untuk fungsi densitas dari contoh 2.22, tentukan ( ) dan ( )

    Jawab:

    Untuk

    ( ) ∫ ( ) ∫

    |

    Sehingga didapatkan,

    ( ) {

    dan ( ) ( ) ( )

    .

    Definisi 2.23. Fungsi Densitas Bersama Variabel Kontinu

    Fungsi ( ) merupakan fungsi densitas bersama dari variabel acak

    kontinu dan jika

    a. ( ) ( ),

    b. ∫ ∫ ( )

    ,

    Peluang dan di dalam daerah dinotasikan dengan

    ,( ) - ∫∫ ( ) untuk setiap daerah di bidang

    .

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 29

    Contoh 2.24

    Diberikan fungsi densitas bersama sebagai berikut:

    ( ) 8 ⁄ ( )

    a. Tunjukkan bahwa fungsi di atas memenuhi definisi 2.23.

    b. Tentukan ,( ) - dengan

    2( )|

    3.

    Jawab:

    a. - Jelas bahwa ( ) ,

    - Integral dari

    ( ) ∫ ∫ ⁄ ( )

    ∫ 4

    5|

    ∫ (

    )

    ( )|

    b. Didapatkan

    ,( ) - (

    )

    ∫ ∫ ⁄ ( )

    ∫ 4

    5| ⁄

    ∫ (

    )

    4

    5| ⁄

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 30

    [(

    ) (

    )]

    Salah satu contoh dari distribusi probabilitas kontinu yang penting

    adalah Distribusi Normal. Grafik dari distribusi Normal disebut kurva

    Normal. Variabel acak yang distribusinya berbentuk lonceng seperti

    gambar 2.5 disebut variabel acak Normal. Persamaan matematika untuk

    distribusi probabilitas variabel Normal tergantung pada parameter yang

    merupakan rata-rata dan yang merupakan standar deviasi.

    Definisi 2.24. Distribusi Normal

    Variabel acak dikatakan berdistribusi Normal jika dan hanya jika untuk

    dan , fungsi densitas dari adalah

    ( )

    √ ( )

    Sifat-sifat kurva distribusi Normal adalah

    - Modus, dimana titik pada sumbu horizontal dengan kurva maksimum

    terjadi pada ,

    ( )

    𝜎

    𝑥

    Gambar 2.5 Kurva Distribusi Normal

    𝜎

    𝜇 𝜎

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 31

    - Kurva simetris terhadap sumbu vertikal yang melalui rata-rata ,

    - Kurva memiliki titik belok pada , kurva cekung ke bawah

    pada dan kurva cekung ke atas untuk nilai

    lainnya,

    - Kurva Nornal mendekati sumbu horizontal secara asimtotik jika

    atau ,

    - Luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu horizontal sama dengan

    1.

    3. Variabel Acak Saling Bebas

    Definisi 2.25. Variabel Acak Saling Bebas

    Misalkan dan variabel acak, diskrit atau kontinu. mempunyai

    fungsi probabilitas ( ), mempunyai fungsi probabilitas ( ), dan

    dan mempunyai fungsi probabilitas bersama ( ). Maka

    dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

    ( ) ( ) ( )

    untuk setiap pasangan bilangan real ( ).

    Contoh 2.25

    Misalkan

    ( ) {

    Tunjukkan bahwa dan saling bebas.

    Jawab:

    ( )

    {

    4

    |

    5

    Demikian pula,

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 32

    ( )

    {

    Oleh karena itu,

    ( ) ( )

    ( )

    untuk semua bilangan real ( ) sehingga dan bebas.

    4. Nilai Harapan

    Definisi 2.26. Nilai Harapan Variabel Acak

    Misalkan variabel acak dengan distribusi probabilitas diketahui. Rata-

    rata, atau nilai harapan, dari adalah

    ( ) ∑ ( ) , jika variabel acak diskrit

    dan

    ( ) ∫ ( )

    , jika variabel acak kontinu.

    Contoh 2.26

    Muatan 7 komponen diambil sampel untuk pemeriksaan kualitas, muatan

    tersebut terdapat 4 komponen yang bagus dan 3 komponen yang cacat.

    Diambil 3 sampel. Tentukan nilai harapan dari jumlah komponen yang

    bagus dalam sampel.

    Jawab:

    Misalkan merupakan jumlah sampel komponen yang bagus. Distribusi

    probabilitas dari adalah

    ( ) . / .

    /

    . /

    sehingga didapatkan:

    ( ) . / . /

    . /

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 33

    ( ) . / . /

    . /

    ( ) . / . /

    . /

    ( ) . / . /

    . /

    nilai harapan adalah

    ( ) ( ) (

    ) ( ) (

    ) ( ) (

    ) ( ) (

    )

    Contoh 2.27

    Tentukan nilai harapan dari fungsi densitas berikut.

    ( ) ,

    Jawab:

    ( ) ∫

    |

    Teorema 2.9

    Misalkan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas ( ) dan

    ( ) ( ) ( ) adalah fungsi dari . Maka

    , ( ) ( )- , ( )- , ( )-

    Bukti:

    , ( ) ( ) ( )- ∑, ( ) ( ) ( )- ( )

    ∑, ( ) ( ) ( ) ( )-

    ∑ ( ) ( )

    ∑ ( ) ( )

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 34

    , ( )- , ( )-

    Teorema 2.10

    Misalkan variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas ( ) dan

    ( ) ( ) ( ) adalah fungsi dari . Maka

    , ( ) ( )- , ( )- , ( )-

    Bukti:

    , ( ) ( )- ∫ *, ( ) ( )- ( )+

    ∫ , ( ) ( ) ( ) ( )-

    ∫ , ( )-

    ∫ , ( )-

    , ( )- , ( )- , ( )-

    Teorema 2.11

    Diberikan suatu konstanta tak nol , maka ( ) .

    Bukti:

    Untuk variabel acak diskrit,

    ( ) ∑

    ( ) ∑ ( )

    Untuk variabel acak kontinu,

    ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

    Jadi, terbukti ( ) .

    Teorema 2.12

    Diberikan suatu konstanta tak nol , maka ( ) ( ).

    Bukti:

    Untuk variabel acak diskrit,

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 35

    ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )

    Untuk variabel acak kontinu,

    ( ) ∫ ( )

    ∫ ( )

    ( )

    Jadi, terbukti ( ) ( ).

    Teorema 2.13

    Jika dan konstanta, maka

    ( ) ( )

    Bukti:

    Untuk variabel acak diskrit,

    ( ) ∑( ) ( )

    ∑ ( ( )) ( ( ))

    ∑ ( ( ))

    ∑ ( )

    ( )

    Untuk variabel acak kontinu,

    ( ) ∫ ,( ) ( )-

    ∫ , ( ) ( )-

    ∫ ( )

    ∫ ( )

    ( )

    Jadi terbukti ( ) ( ) .

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 36

    Definisi 2.27. Nilai Harapan Fungsi Variabel Acak

    Misalkan ( ) merupakan fungsi dari variabel acak,

    , yang memiliki fungsi probabilitas ( ) Maka

    nilai harapan dari ( ) adalah

    , ( )- ∑

    ∑ ( ) ( )

    Jika variabel acak kontinu dengan fungsi densitas gabungan

    ( ), maka

    , ( )- ∫

    ∫ ( )

    ( )

    Contoh 2.28

    Misalkan dan mempunyai fungsi densitas bersama sebagai berikut

    ( ) {

    Tentukan ( )

    Jawab:

    ( ) ∫ ∫ ( )

    ∫ ∫ ( )

    4

    | 5 ∫ (

    )

    |

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 37

    Teorema 2.14

    Misalkan dan variabel acak saling bebas dan ( ) dan ( )

    fungsi dari dan , berturut-turut. Maka

    , ( ) ( )- , ( )- , ( )-

    Bukti:

    Misalkan ( ) adalah fungsi densitas bersama dan . Hasil

    ( ) ( ) merupakan fungsi dari dan . Dengan definisi 2.27 dan

    asumsi bahwa dan saling bebas (definisi 2.25).

    Untuk variabel diskrit,

    , ( ) ( )- ∑∑ ( ) ( ) ( )

    ∑∑ ( ) ( ) ( ) ( )

    ∑ ( ) ( )∑ ( ) ( )

    , ( )- , ( )-

    Untuk variabel kontinu

    , ( ) ( )- ∫ ∫ ( ) ( ) (

    )

    ∫ ∫ ( ) ( ) (

    ) ( )

    ∫ ( ) ( ) 6∫ ( ) ( )

    7

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 38

    ∫ ( ) (

    ) , ( )-

    , ( )-∫ ( ) (

    )

    , ( )- , ( )-

    5. Variansi

    Definisi 2.28. Variansi Variabel Acak

    Misalkan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang telah

    diketahui dan rata-rata . Variansi adalah

    ( ) ,( ) -

    {

    ∑( ) ( )

    ∫ ( ) ( )

    Akar kuadrat positif dari ( ), disebut standar deviasi dari .

    Contoh 2.29 (Variabel Acak Diskrit)

    Tentukan variansi dari contoh 2.26.

    Jawab:

    Dari contoh 2.26 didapatkan ( ) ⁄ ( ) ⁄

    ( ) ⁄ ( ) ⁄ , dan ( )

    ⁄ . Sehingga

    ( ) ∑. ⁄ /

    ( )

    . ⁄ /

    . ⁄ / .

    ⁄ /

    . ⁄ /

    . ⁄ /

    . ⁄ / .

    ⁄ /

    . ⁄ /

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 39

    Contoh 2.30 (Variabel Acak Kontinu)

    Tentukan variansi dari contoh 2.27.

    Jawab:

    Dari contoh 2.27, didapatkan ( ) ⁄ . Sehingga

    ( ) ∫ ( ⁄ ) 4

    5

    ∫ 4

    5

    6

    7

    (

    )

    Teorema 2.15

    Variansi dari variabel acak adalah

    ( ) ,( ) - ( )

    Bukti

    Untuk variabel acak diskrit,

    ( ) ∑( ) ( ) ∑( ) ( )

    ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( )

    Karena dari definisi 2.26 ∑ ( ) dan definisi 2.17 ∑ ( )

    untuk setiap distribusi probabilitas diskrit, ini berarti

    ( ) ∑ ( ) ( )

    Untuk variabel acak kontinu,

    ( ) ∫ ( ) ( )

    ∫ ( ) ( )

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 40

    ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

    Karena dari definisi 2.26 ∫ ( )

    dan definisi 2.21

    ∫ ( )

    untuk setiap distribusi probabilitas kontinu, ini berarti

    ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

    ( )

    Jadi, terbukti ( ) ( ) .

    Teorema 2.16

    Diberikan konstanta tak nol , maka ( ) ( ).

    Bukti:

    ( ) 0( ( )) 1

    ,( ) -

    , -

    , - , - , -

    , -

    , -

    (, - )

    ( )

    Teorema 2.17

    Diberikan konstanta tak nol , maka ( ) ( ).

    Bukti:

    ( ) 0(( ) ( )) 1

    0(( ) ( )) 1

    ,

    -

    , -

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 41

    , -

    ,( ) -

    ( )

    Teorema 2.18

    Diberikan suatu konstanta tak nol a, maka ( ) .

    Bukti:

    ( ) 0( ( )) 1 ,( ) - ( )

    6. Probabilitas Marginal dan Probabilitas Bersyarat

    Definisi 2.29. Fungsi Probabilitas Marginal

    Misalkan dan merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi

    probabilitas bersama ( ) Maka fungsi probabilitas marginal dari

    dan adalah

    ( ) ∑ ( )

    ( ) ∑ ( )

    Contoh 2.31

    Sebuah supermarket memiliki 3 konter pembayaran, yaitu konter 1, konter

    2, dan konter 3. Dua pelanggan datang pada waktu yang berbeda ketika

    konter sepi. Setiap pelanggan memilih konter secara acak, saling bebas.

    Misalkan merupakan jumlah pelanggan yang memilih konter 1 dan

    jumlah pelanggan yang memilih konter 2. Tentukan fungsi probabilitas

    marginal dari dan .

    Jawab:

    Misalkan pasangan ( ) merupakan kejadian dimana pelanggan pertama

    memilih konter dan pelanggan kedua memilih konter , dengan

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 42

    . Dari teorema 2.1 didapatkan ruang sampel yang terdiri dari

    titik sampel. Sehingga ruang sampelnya adalah

    *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

    Bila masing-masing titik sampel berpeluang sama, maka ( )

    merupakan fungsi probabilitas pelanggan pertama memilih konter dan

    pelanggan kedua memilih konter , adalah

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    sehingga ( ) dan ( ) adalah:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    Didapatkan fungsi probabilitas marginal dari adalah

    ( )

    ( )

    ( )

    dan fungsi probabilitas marginal dari adalah

    ( )

    ( )

    ( )

    Definisi 2.30. Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit Bersyarat

    Jika dan merupakan variabel acak diskrit bersama dengan fungsi

    probabilitas bersama ( ) dan fungsi probabilitas marginal ( ) dan

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 43

    ( ), maka fungsi probabilitas diskrit bersyarat dari diberikan

    adalah

    ( | ) ( | ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    Contoh 2.32

    Dari contoh 2.31, tentukan distribusi bersyarat dari , diberikan .

    Jawab:

    ( | ) ( )

    ( )

    ( | ) ( )

    ( )

    ( | ) ( )

    ( )

    Sehingga, dalam supermarket tersebut jika satu pelanggan memilih konter 2

    (jika ), maka pelanggan lain memilih konter 1 memiliki probabilitas

    tinggi (jika ).

    Definisi 2.31. Nilai Harapan Bersyarat Variabel Acak Diskrit

    Nilai harapan bersyarat dari variabel acak diskrit dan , diberikan

    , adalah

    ( | ) ∑ ( | )

    dengan

    ( | ) | ( | ) ( )

    ( )

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 44

    Teorema 2.19

    Dinotasikan ( | ) merupakan fungsi variabel acak yang nilainya

    pada adalah ( | ), sehingga dipenuhi salah satu sifat

    nilai harapan bersyarat

    ( ) , ( | )-

    jika variabel acak diskrit, maka

    , ( | )- ∑ ( | ) ( )

    Bukti:

    Akan dibuktikan ( ) ∑ ( | ) ( ) ,

    , ( | )- ∑ ( | ) ( )

    ∑∑ ( | ) ( )

    ∑∑ ( )

    ( ) ( )

    ∑∑ ( )

    ∑ ∑ ( )

    ∑ ( )

    ( )

    Definisi 2.32. Variansi Bersyarat

    Variansi bersyarat dari diberikan , adalah

    ( | ) *, ( | )- | +

    Teorema 2.20

    Variansi probabilitas bersyarat memenuhi sifat

    ( ) , ( | )- , ( | )-

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 45

    Bukti:

    Akan dicari persamaan dari , ( | )-,

    , ( | )- * ( | ) , ( | )-

    +

    ( ) 0( ( | ))

    1

    Akan dicari persamaan dari , ( | )-,

    , ( | )- *, ( | )- + * , ( | )-+

    *, ( | )- + , ( )-

    Didapatkan,

    , ( | )- , ( | )-

    ( ) *, ( | )-

    + *, ( | )- + , ( )-

    ( ) , ( )-

    ( )

    7. Kovariansi

    Definisi 2.33. Kovariansi

    Jika dan merupakan variabel acak dengan rata-rata dan ,

    kovariansi dari dan adalah

    ( ) ,( )( )-

    Teorema 2.21

    Jika dan merupakan variabel acak dengan rata-rata dan , maka

    ( ) ,( )( )- ( )

    Bukti:

    ( ) ,( )( )-

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 46

    Teorema 2.22

    Jika dan merupakan variabel acak saling bebas, maka

    ( )

    Jadi, variabel acak saling bebas tidak berkorelasi.

    Bukti:

    Dari teorema 2.21 didapatkan

    ( ) ( )

    Karena dan saling bebas, dari teorema 2.14 didapatkan

    ( ) ( ) ( )

    Sehingga,

    ( ) ( )

    Contoh 2.33

    Misalkan dan mempunyai fungsi densitas bersama

    ( ) {

    Tentukan kovariansi dari dan .

    Jawab:

    ( ) ∫ ∫ ( )

    ∫ ∫ ( )

    ∫ (

    7

    )

    ( ) ∫ ∫ ( )

    ∫ ∫ ( )

    -

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 47

    Dari contoh 2.28, didapatkan ( )

    , sehingga

    ( ) ( )

    (

    ) (

    )

    Jadi dan merupakan variabel acak saling bebas yang tidak

    berkorelasi.

    Definisi 2.34. Fungsi Linear

    Jika merupakan konstanta, fungsi linear untuk variabel acak

    adalah

    Teorema 2.23

    Misalkan dan merupakan variabel acak dengan

    ( ) dan ( ) . Didefinisikan

    untuk konstanta dan . Maka berlaku

    a. ( ) ∑

    b. ( ) ∑ ( )

    ∑∑ ( )

    dengan penjumlahan ganda untuk semua ( ) pasang dengan .

    c. ( ) ∑ ∑ ( )

    .

    Bukti:

    a. Didapatkan

    ( ) (∑

    )

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 48

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    b. Didapatkan

    ( ) , ( )-

    [∑

    ]

    [∑

    ( )]

    [ ∑

    ( ) ∑∑ ( )( )

    ]

    ∑ ( )

    ∑∑ [( )( )]

    ( ) ∑∑

    ( )

    karena ( ) ( ), maka

    ( ) ∑ ( )

    ∑ ∑

    ( )

    c. Didapatkan

    ( ) *, ( )-, ( )-+

    *(∑

    )(∑

    )+

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 49

    ,[∑

    ( )] *∑

    ( )+-

    *∑∑

    ( )

    ( )+

    ∑∑

    [( )( )]

    ∑∑

    ( )

    C. Distribusi Penarikan Sampel

    Distribusi penarikan sampel dari sebuah statistik tergantung pada distribusi

    dari populasi, ukuran sampel, dan metode pemilihan sampel.

    Definisi 2.35. Distribusi Probabilitas Bersama Sampel Acak

    Misalkan variabel acak yang saling bebas, masing-masing memiliki

    distribusi probabilitas ( ) yang sama. Didefinisikan sebagai

    sampel acak berukuran dari populasi ( ) dan distribusi probabilitas

    bersamanya adalah

    ( ) ( ) ( ) ( )

    Definisi 2.36. Statistik

    Statistik adalah fungsi dari variabel acak yang diobservasi dalam sampel acak.

    Statistik digunakan untuk membuat kesimpulan (pendugaan atau keputusan)

    mengenai parameter populasi yang tidak diketahui. Karena semua statistik

    merupakan fungsi dari variabel acak yang diamati dalam sampel, maka semua

    statistik merupakan variabel acak. Karena itu, semua statistik memiliki distribusi

    probabilitas yang merupakan distribusi penarikan sampel.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 50

    Teorema 2.24

    Misalkan merupakan variabel acak saling bebas dengan ( )

    dan ( ) . Maka,

    ̅

    memiliki rata-rata ( ̅) dan variansi ( ̅)

    Bukti:

    Karena ̅ merupakan fungsi linear dari dengan semua konstanta

    , yaitu

    ̅

    ( )

    ( )

    ( )

    Dengan teorema 2.23(a),

    ( ̅) ∑

    Dengan teorema 2.23(b),

    ( ̅) ∑ ( )

    ∑∑ ( )

    Semua kovarian bernilai nol, karena variabel acak saling bebas. Oleh karena itu

    didapatkan

    ( ̅) ∑(

    )

    ∑(

    )

    D. Pendugaan Parameter

    Setiap populasi memiliki karakteristik yang dinyatakan dengan sebuah

    bilangan yang disebut parameter. Parameter yang menjadi objek penelitian

    disebut parameter sasaran. Tujuan dari penelitian statistik adalah untuk menduga

    satu atau lebih parameter yang relevan. Distribusi penarikan sampel memiliki

    peran yang penting dalam pendugaan parameter.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 51

    Definisi 2.37. Penduga

    Sebuah penduga merupakan aturan yang sering kali dinyatakan dalam rumus,

    yang menghitung nilai dari sebuah penduga berdasarkan pengukuran-pengukuran

    yang termuat dalam sampel.

    Salah satu penduga adalah penduga titik. Penduga titik merupakan penduga

    yang menghasilkan nilai tunggal dalam menduga parameternya.

    Contoh 2.34

    Rata-rata sampel dinyatakan dengan rumus

    ̅

    merupakan salah satu penduga titik dari rata-rata populasi .

    Penduga titik yang baik harus memenuhi sifat tak bias atau memiliki bias

    sekecil mungkin, maksudnya adalah menduga distribusi penarikan sampel agar

    sama dengan parameter yang diduga yaitu ( ̂) Diandaikan adalah titik

    yang digunakan untuk menduga parameter populasi. Penduga dari akan

    disimbolkan dengan ̂.

    Definisi 2.38. Penduga Tak Bias untuk Penduga Titik

    Misalkan ̂ merupakan penduga titik untuk parameter . Maka ̂ merupakan

    penduga tak bias jika ( ̂) . Jika ( ̂) , maka ̂ dikatakan bias.

    Definisi 2.39. Variansi Populasi dalam Penarikan Sampel

    Misalkan merupakan populasi, maka variansi dari sebuah populasi

    adalah

    ∑( ̅ )

    dengan ̅ merupakan rata-rata populasi.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 52

    Definisi 2.40. Variansi Sampel

    Misalkan merupakan sampel acak, maka variansi sampel adalah

    ∑( ̅)

    dengan ̅ merupakan rata-rata sampel.

    Teorema 2.25

    Misalkan merupakan sampel acak dengan ( ) dan ( )

    . Maka

    ∑( ̅)

    merupakan penduga tak bias untuk .

    Bukti:

    Berdasarkan definisi 2.38 akan ditunjukkan bahwa ( ) ,

    ( ) [

    ∑( ̅)

    ]

    [∑( ̅)

    ]

    [∑(

    ̅ ̅ )

    ]

    [∑

    4∑

    5 4

    5

    ]

    [∑

    4∑

    5

    ]

    [∑

    ̅ ]

    [ (∑

    ) ( ̅ )]

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 53

    Menurut teorema 2.15 ( ) ( ) sehingga ( ) ( )

    ( ) , ( )-

    dapat juga ditulis ( ) ( ) , ( )-

    ,

    ( ̅ ) ( ̅) , ( ̅)-

    Didapatkan,

    [∑ (

    )

    ( ̅ )]

    [∑( ) 4

    5

    ]

    , ( ) -

    ( )

    ( )

    Jadi, terbukti bahwa merupakan penduga tak bias dari .

    Definisi 2.41. Bias Penduga Titik

    Bias dari penduga titik ̂ adalah

    ( ̂) ( ̂) .

    Definisi 2.42. Rata-Rata Kuadrat Galat Penduga Titik

    Rata-rata kuadrat galat (Mean Squared Error) dari penduga titik ̂ adalah

    ( ̂) 0( ̂ ) 1

    Definisi 2.43. Variansi Penduga Titik

    Variansi dari penduga titik ̂ adalah

    ( ̂) [. ̂ ( ̂)/

    ]

    Teorema 2.26

    Jika ̂ merupakan penduga , maka

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 54

    ( ̂) ( ̂) [ ( ̂)]

    Bukti:

    ( ̂) 0( ̂ ) 1

    0( ̂ ( ̂) ( ̂) ) 1

    {0. ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) )1

    }

    [. ̂ ( ̂)/

    . ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) ) ( ( ̂) ) ]

    [. ̂ ( ̂)/

    ] 0 . ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) )1

    0( ( ̂) ) 1

    ( ̂) 0. ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) )1 [ ( ̂)]

    ( ̂) [ ( ̂)]

    ( ̂) [ ( ̂)]

    Definisi 2.44. Galat Baku

    Galat baku (Standard Error) dari penduga titik ̂, dinotasikan dengan

    ( ̂) √ ( ̂)

    Teorema 2.27

    Variansi dari penduga titik ̂ memenuhi

    ( ̂) ( ̂ ) [ ( ̂)]

    Bukti:

    ( ̂) [. ̂ ( ̂)/

    ]

    [ ̂ ̂ ( ̂) . ( ̂)/

    ]

    ( ̂ ) [ ̂ ( ̂)] [ ( ̂)]

    ( ̂ ) ( ̂) ( ̂) [ ( ̂)]

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 55

    ( ̂ ) [ ( ̂)] [ ( ̂)]

    ( ̂ ) [ ( ̂)]

    E. Istilah-Istilah dalam Penarikan Sampel

    Sampel yang baik harus representatif yang berarti karakteristik dari populasi

    dapat diwakili atau diduga dari sampel dengan derajat akurasinya yang diketahui.

    Berikut akan disebutkan beberapa istilah dalam penarikan sampel beserta

    definisinya.

    Definisi 2.45. Populasi

    Populasi merupakan kumpulan/agregat dari elemen-elemen, dengan kesimpulan

    akan dibuat.

    Contoh 2.35

    Sebuah partai politik A ingin mengetahui dengan proporsi suara yang mungkin

    didapatkan sehingga sebagai evaluasi apakah perkiraannya masuk dalam

    pemilihan daerah. Populasinya merupakan kumpulan semua pemilih yang

    terdaftar di daerah tersebut.

    Perlu dicatat bahwa populasi yang sama akan memiliki himpunan

    pengukuran yang berbeda untuk variabel yang berbeda yang akan dipelajari.

    Populasi disebut berhingga atau tidak berhingga, tergantung pada banyaknya

    unit-unit dari populasi. Populasi pemilih yang terdaftar dalam contoh 2.35

    merupakan populasi berhingga. Populasi air dalam tangki atau lembaran logam

    dapat dipertimbangkan sebagai populasi tidak berhingga berdasarkan dari jumlah

    molekulnya.

    Definisi 2.46. Sampel

    Sampel merupakan himpunan bagian dari populasi yang dipilih dari kerangka

    penarikan sampel untuk menarik kesimpulan tentang karakteristik populasi.

    Banyaknya unit yang dipilih untuk sampel kurang dari ukuran populasi.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 56

    Contoh 2.36

    Dari contoh 2.35, pilihan untuk partai A hanya akan ditanyakan dari pemilih yang

    terdaftar dan terpilih sebagai sampel. Informasi ini kemudian akan digunakan

    untuk menentukan penduga proporsi semua suara (populasi) yang didapatkan

    partai A.

    Definisi 2.47. Unit Pengamatan

    Unit pengamatan merupakan sebuah obyek yang akan diukur, yang merupakan

    unit dasar pengamatan, dapat disebut sebagai elemen.

    Dalam mempelajari populasi manusia, unit-unit pengamatan sering kali

    merupakan individual-individual.

    Contoh 2.37

    Survei nasional korban kekerasan dimaksudkan untuk mempelajari tingkat

    korban. Survei dikelola oleh biro sensus U.S. dan biro statistik keadilan. Jika

    karakteristik yang dipelajari merupakan jumlah total penghuni rumah di U.S. yang

    menjadi korban kejahatan tahun lalu, maka elemen-elemennya merupakan

    penghuni rumah dapat menjadi unit pengamatan.

    Definisi 2.48. Populasi Sasaran

    Populasi sasaran merupakan himpunan yang lengkap dari pengamatan yang ingin

    dipelajari.

    Contoh 2.38

    Dari contoh 2.37, yang menjadi populasi sasaran adalah semua penghuni rumah di

    U.S.

    Definisi 2.49. Kerangka Sampel

    Kerangka sampel merupakan daftar, peta, atau rincian lain dari unit penarikan

    sampel dalam populasi yang mungkin terpilih.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 57

    Contoh 2.39

    Dari contoh 2.35, jika pemilih individual diambil sebagai unit penarikan sampel

    maka daftar semua pemilih terdaftar akan menjadi kerangka penarikan sampel. Di

    lain sisi, jika rumah diambil sebagai unit penarikan sampel maka daftar semua

    rumah, diperoleh setelah menyusun daftar rumah yang berada di desa dan kota

    yang berbeda daerah, dapat disajikan sebagai kerangka penarikan sampel untuk

    memilih sampel rumah.

    Hal ini menunjukkan bahwa mungkin tidak semua unit penarikan sampel

    dari populasi termasuk dalam kerangka penarikan sampel pada waktu tertentu,

    daftar unit-unit tidak diperbarui setiap hari. Jika kerangka penarikan sampel

    merupakan daftar pemilih terdaftar, hal ini mungkin termasuk beberapa pemilih

    yang telah meninggal sekarang, dan mungkin tidak termasuk nama-nama orang

    yang sudah layak untuk memilih.

    Definisi 2.50. Populasi yang Disampel (Sampled Population)

    Populasi yang disampel merupakan kumpulan semua kemungkinan unit-unit

    pengamatan yang dapat dipilih sebagai sampel. Secara ringkas populasi yang

    disampel adalah populasi darimana sampel diambil.

    Contoh 2.40

    Dari contoh 2.37, populasi yang disampel adalah himpunan semua penghuni

    rumah dalam kerangka sampel yang memiliki ijin membangun rumah, yang

    berada di rumah dan setuju untuk menjawab pertanyaan.

    Definisi 2.51. Unit Penarikan Sampel

    Unit penarikan sampel merupakan unit yang dapat dipilih sebagai sampel. Untuk

    mempelajari individu, tidak perlu daftar semua individu dalam populasi sasaran.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 58

    Contoh 2.41

    Dari contoh 2.35, elemennya merupakan seorang pemilih terdaftar. Namun,

    karena pertimbangan biaya atau keefektifan waktu, seseorang dapat menarik

    sampel rumah di daerah tempat pemilih terdaftar, dan menanyakan pilihan semua

    pemilih terdaftar yang rumahnya menjadi sampel. Dalam situasi seperti itu,

    rumah merupakan unit penarikan sampel dan banyaknya elemen-elemen setiap

    unit penarikan sampel bisa nol, satu, atau lebih tergantung banyaknya pemilih

    terdaftar disetiap rumah yang menjadi sampel. Jika setiap unit penarikan sampel

    terdiri dari satu elemen, maka unit penarikan sampel dan elemen identik.

    Dalam survei yang ideal, populasi yang disampel akan identik dengan

    populasi sasaran, tetapi hal tersebut jarang ditemui. Dalam survei orang, populasi

    yang disampel biasanya lebih kecil daripada populasi sasaran. Pada gambar 2.6

    dalam contoh 2.42 diilustrasikan tidak semua orang dalam populasi sasaran

    termasuk dalam kerangka penarikan sampel, dan jumlah orang yang tidak

    menanggapi survei.

    Contoh 2.42

    Jajak pendapat masyarakat sering kali digunakan untuk memperkirakan kandidat

    mana yang akan menang pada pemilihan selanjutnya. Gambar 2.6 merupakan

    populasi sasaran dan populasi yang disampel dalam sebuah survei telepon calon

    pemilih. Populasi sasarannya merupakan calon pemilih yang terdaftar untuk

    memilih dalam pemilihan selanjutnya, namun tidak semua rumah memiliki

    telepon, sehingga jumlah orang dalam populasi sasaran yang merupakan calon

    pemilih yang tidak memiliki telepon tidak akan berada dalam kerangka sampel.

    Beberapa rumah dengan telepon, penghuninya tidak terdaftar dalam pemilihan

    dan karenanya tidak memenuhi ketentuan untuk survei. Beberapa orang yang

    memenuhi ketentuan berada dalam kerangka penarikan sampel populasi tidak

    merespon karena tidak dapat dihubungi, beberapa menolak untuk merespon, dan

    beberapa mungkin sakit dan tidak mampu merespon. Populasi yang disampel

    merupakan calon pemilih yang menanggapi telepon dan yang dinilai mungkin

    akan memilih dalam pemilihan selanjutnya.

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 59

    Gambar 3.1

    A. Kerangka Penarikan Sampel Probabilitas

    F. Probabilitas Inklusi

    Dalam penarikan sampel probabilitas, diperlukan daftar sebanyak unit

    dalam populasi berhingga. Populasi berhingga atau semesta dari unit

    dinotasikan dengan himpunan indeks

    * +

    Dari populasi dapat dipilih sampel, yang merupakan himpunan bagian dari .

    Sampel yang terpilih dinotasikan dengan , himpunan bagian yang terdiri dari

    unit di .

    Dalam penarikan sampel probabilitas, karena setiap sampel yang mungkin dengan

    probabilitasnya telah diketahui akan menjadi sampel yang terpilih, setiap unit

    dalam populasi yang probabilitasnya diketahui akan muncul dalam sampel

    terpilih. Didefinisikan

    (unit ke-i dalam sampel)

    yaitu probabilitas bahwa unit berada dalam sampel. dapat dihitung dengan

    menjumlahkan probabilitas dari semua kemungkinan sampel yang memuat unit .

    Populasi

    Kerangka Penarikan

    Populasi Sasaran Sampel Populasi

    Tidak termasuk

    dalam kerangka

    sampel

    (Terdaftar tetapi

    tidak memiliki

    telepon)

    Tidak dapat

    dihubungi

    Tidak

    memenuhi

    Menolak ketentuan

    menanggapi (Memiliki

    telepon

    tetapi tidak

    Tidak mampu terdaftar)

    menanggapi

    Populasi yang disampel

    (Memiliki telepon dan

    mau menanggapi)

    Gambar 2.6 Bagan Populasi untuk Survei Calon Pemilih

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 60

    diketahui sebelum dilakukan survey, dan diasumsikan untuk setiap unit

    dalam populasi. dapat disebut probabilitas inklusi. Dalam penarikan sampel

    probabilitas, probabilitas inklusi digunakan untuk menentukan titik pendugaan

    seperti, ̂ dan ̅. Contoh 2.43 akan memperjelas cara menghitung .

    Contoh 2.43

    Diketahui sebuah populasi memiliki 4 unit. Sehingga,

    * +

    Bila diambil sampel dengan ukuran 2 tanpa pengembalian, akan didapatkan

    ( ) kemungkinan sampel berikut:

    * + * + * + * + * + * +,

    didapatkan masing-masing: ( ) ( ) ⁄

    Sehingga,

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    G. Sampel Acak Sederhana

    Definisi 2.52. Penarikan Sampel Acak Sederhana

    Penarikan sampel acak sederhana merupakan metode pemilihan unit dari

    sedemikan sehingga setiap unit dari sampel yang berbeda memiliki

    kesempatan yang sama untuk diambil sebagai sampel.

    Metode penarikan sampel acak sederhana merupakan dasar dari penarikan

    sampel probabilitas. Dalam penerapannya, sampel acak sederhana diambil per

    unit. Unit-unit dalam populasi dinomori dari 1 hingga . Barisan bilangan acak

    antara 1 dan diambil dengan tabel bilangan acak atau dengan program

    PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  • 61

    komputer yang dapat menghasilkan bilangan acak. Unit-unit yang termasuk

    dalam merupakan sampel. Pada setiap penarikan sampel, setiap unit-unit dalam

    populasi yang belum terambil harus memiliki kesempatan yang sama untuk

    terpilih. Terdapat dua cara penarikan sampel acak sederhana, yaitu dengan

    pengembalian dengan unit yang sama dapat terambil sebagai sampel lebih dari

    satu kali dan tanpa pengembalian dengan semua unit yang terambil sebagai

    sampel berbeda. Dalam tugas akhir ini metode yang digunakan adalah

    pengambilan sampel tanpa pengembalian, sehingga akan lebih banyak dibahas

    teori yang berkaitan dengan penarikan sampel acak sederhana tanpa

    pengembalian.

    Definisi 2.53. Penarikan Sampel Acak Seder