PERBANDINGAN SAMPEL ACAK DAN SAMPEL DENGAN …repository.usd.ac.id/31543/2/133114025_full.pdf ·...
Transcript of PERBANDINGAN SAMPEL ACAK DAN SAMPEL DENGAN …repository.usd.ac.id/31543/2/133114025_full.pdf ·...
-
PERBANDINGAN SAMPEL ACAK DAN SAMPEL DENGAN JUMLAH
UNIT SEKUNDER TERBANYAK PADA METODE PENARIKAN
SAMPEL KLASTER SATU TAHAP TANPA PENGEMBALIAN DENGAN
PROBABILITAS TIDAK SAMA
Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
Yolanda Ayu Nugraheni
NIM: 133114025
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
ii
THE COMPARISON OF RANDOM SAMPLE AND SAMPLE WITH THE
MOST QUANTITY OF SECONDARY UNIT ON ONE STEP CLUSTER
SAMPLING WITHOUT REPLACEMENT WITH UNEQUAL
PROBABILITY
A Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by:
Yolanda Ayu Nugraheni
Student Number: 133114025
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tugas akhir ini saya persembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus, yang senantiasa selalu memberkati saya hingga saat
ini, tanpa pertolongan dan kasih-Nya saya tidak akan menjadi diri saya
yang sekarang.
Kedua orang tua saya.
Nenek saya, Suharti.
Ketiga adik saya, Via, Jauza, dan Bagas.
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing tugas akhir
ini.
Seluruh teman-teman saya yang saya sayangi.
Para pembaca yang sudah mau meluangkan waktunya untuk membaca tugas
akhir ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
vii
ABSTRAK
Objek utama dari penarikan sampel adalah memilih sampel dari populasi
dengan tujuan untuk menduga parameter populasi yang ingin diketahui. Ketika
unit-unit dalam populasi memiliki probabilitas berbeda-beda untuk diambil
sebagai sampel, maka hal ini disebut penarikan sampel dengan probabilitas tidak
sama. Metode yang dibahas adalah metode penarikan sampel klaster satu-tahap
tanpa pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson.
Pada tugas akhir ini pengambilan sampel akan dilakukan dengan metode
penarikan sampel klaster satu-tahap dengan dua cara, yaitu
1. Sampel unit penarikan sampel primer (psu) diambil secara acak,
2. Sampel unit penarikan sampel primer (psu) diambil secara langsung dengan
memandang unit penarikan sampel primer (psu) yang memiliki unit penarikan
sampel sekunder terbanyak (ssu).
Kemudian dari kedua cara pengambilan sampel tersebut, akan dibandingkan dan
dipilih hasil penduga yang terbaik.
Metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian dengan
penduga Horvitz-Thompson diterapkan pada pendugaan total produksi padi di
pulau Jawa tahun 2016. Galat baku menjadi kriteria kebaikan penduga. Sampel
terbaik merupakan sampel yang menghasilkan galat baku minimum.
Kata kunci: penarikan sampel probabilitas, penarikan sampel dengan
probabilitas tidak sama, penduga Horvitz-Thompson, metode penarikan sampel
klaster satu-tahap tanpa pengembalian, galat baku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
viii
ABSTRACT
The main object of sampling is select a sample from a population to estimate
the population parameter that have to know. When the units in the population has
different probabilities to be taken as sample, this called sampling with unequal
probabilities. The method that will be discussed is one-stage cluster sampling
method without replacement with Horvitz-Thompson estimator.
In this paper, the sampling will be done in two ways, there are,
1. Primary sampling unit (psu) sample is chosen randomly,
2. Primary sampling unit (psu) sample selected is based on primary sampling
unit (psu) that have the most secondary sampling units (ssu).
Then, that will be compared and we will choose the best estimator.
One-stage cluster sampling method without replacement with Horvitz-
Thompson estimator is implemented on the paddy production data in Java island
in 2016. Standard error is chosen as the comparison criteria of estimator. The
best sample is the sample that produce minimum standard error.
Key words: probability sampling, sampling with unequal probability, Horvitz-
Thompson estimator, one-stage cluster sampling without replacement, standard
error.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala berkat, anugerah,
dan kasih-Nya yang telah menyertai penulis sehingga tugas akhir ini dapat
terselesaikan dengan baik. Tugas akhir saya yang berjudul “Perbandingan Sampel
Acak dan Sampel dengan Jumlah Unit Sekunder Terbanyak pada Metode
Penarikan Sampel Klaster Satu Tahap tanpa Pengembalian dengan Probabilitas
tidak Sama” merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana
Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Dalam penyusunan tugas akhir ini, penulis mendapatkan kendala-kendala
yang tidak diduga baik dari luar maupun dalam diri penulis, namun berkat
dukungan serta bantuan dari berbagai pihak pada akhirnya penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini. Dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan
terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing tugas akhir ini
yang sangat sabar telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta
memberikan masukan, arahan, motivasi dan nasihat kepada penulis.
2. Bapak YG. Hartono, SSi., M.Sc., Ph.D, selaku Kepala Program Studi
Matematika.
3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Wakil Kepala Program Studi
Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik yang selalu mengarahkan dan
memberi nasihat yang berkaitan dengan perkuliahan.
4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi.
5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. Herry Pribawanto Suryawan,
S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si.,
M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., dan Ibu Lusia Krismiyati
Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Dosen Program Studi Matematika yang telah
membagikan ilmu serta pengalaman dalam perkuliahan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................. v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
ABSTRACT ......................................................................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ...................................................... ix
KATA PENGANTAR ............................................................................................ x
DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
A. Latar Belakang .............................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah......................................................................................... 2
C. Batasan Masalah ........................................................................................... 2
D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 3
E. Manfaat Penulisan ........................................................................................ 3
F. Metode Penulisan ......................................................................................... 4
G. Sistematika Penulisan ................................................................................... 4
BAB II DASAR-DASAR TEORI PENARIKAN SAMPEL .................................. 6
A. Probabilitas ................................................................................................... 6
1. Ruang Sampel ........................................................................................... 6
2. Kejadian .................................................................................................... 7
3. Menghitung Banyaknya Titik Sampel ...................................................... 9
4. Probabilitas dari Sebuah Kejadian ......................................................... 13
5. Probabilitas Bersyarat ............................................................................. 14
6. Aturan Dua Probabilitas ......................................................................... 16
7. Variabel Acak ......................................................................................... 18
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xiii
8. Sampel Acak ........................................................................................... 20
9. Bilangan Acak ........................................................................................ 20
B. Distribusi Probabilitas ................................................................................ 22
1. Distribusi Probabilitas Diskrit ................................................................ 22
2. Distribusi Probabilitas Kontinu (Fungsi Densitas) ................................. 27
3. Variabel Acak Saling Bebas ................................................................... 31
4. Nilai Harapan ......................................................................................... 32
5. Variansi .................................................................................................. 38
6. Probabilitas Marginal dan Probabilitas Bersyarat .................................. 41
7. Kovariansi .............................................................................................. 45
C. Distribusi Penarikan Sampel ...................................................................... 49
D. Pendugaan Parameter ................................................................................. 50
E. Istilah-Istilah dalam Penarikan Sampel ...................................................... 55
F. Probabilitas Inklusi ..................................................................................... 59
G. Sampel Acak Sederhana ............................................................................. 60
H. Pendugaan Parameter Sampel Acak Sederhana ......................................... 62
1. Pendugaan Rata-Rata ............................................................................. 63
2. Pendugaan Total ..................................................................................... 72
BAB III METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU LAPIS TANPA
PENGEMBALIAN ............................................................................................... 77
A. Metode Penarikan Sampel Klaster (Cluster Sampling) .............................. 77
B. Metode Penarikan Sampel dengan Probabilitas Tidak Sama ..................... 81
C. Metode Penarikan Sampel Tanpa Pengembalian dengan Probabilitas Tidak
Sama .................................................................................................................. 83
D. Memilih Unit Penarikan Sampel Utama (PSU) .......................................... 85
E. Metode Penarikan Sampel Satu Lapis tanpa Pengembalian (dengan
Probabilitas tidak Sama) .................................................................................... 87
BAB IV APLIKASI METODE PENARIKAN SAMPEL SATU LAPIS TANPA
PENGEMBALIAN DENGAN PROBABILITAS YANG TIDAK SAMA ......... 96
A. Tujuan Penarikan Sampel ........................................................................... 98
B. Populasi Sasaran ......................................................................................... 98
C. Unit Penarikan Sampel ............................................................................... 99
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xiv
D. Pemilihan Sampel ....................................................................................... 99
1. Pemilihan Unit Penarikan Sampel Utama (PSU) secara Acak ............. 101
2. Pemilihan Unit Penarikan Sampel Utama (PSU) dengan Unit Penarikan
Sampel Sekunder Terbanyak ....................................................................... 103
E. Data dan Analisis Data ............................................................................. 105
1. Pendugaan dengan Sampel yang Dipilih secara Acak ......................... 106
2. Pendugaan dengan Sampel yang Dipilih dari Unit Terbesar................ 106
3. Perbandingan Pendugaan ..................................................................... 107
4. Perbandingan antara Kedua Pendugaan yang Mendekati Populasi ...... 108
F. Penerapan Kasus Lain .............................................................................. 110
BAB V PENUTUP .............................................................................................. 114
A. Kesimpulan ............................................................................................... 114
B. Saran ......................................................................................................... 114
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Penarikan sampel merupakan pemilihan bagian dari populasi untuk diamati
sehingga pengamat dapat menduga informasi bagi seluruh populasi. Penarikan
sampel memiliki peranan di dunia statistika yang salah satunya dapat digunakan
untuk menduga total populasi. Sampel yang baik merupakan sampel yang dapat
merepresentasikan populasi sehingga informasi dalam populasi dapat diperoleh
hanya dengan mengambil sampelnya. Penarikan sampel terdiri dari penarikan
sampel probabilitas dan nonprobabilitas, namun prosedur penarikan sampel yang
secara matematika berkembang adalah penarikan sampel probabilitas.
Pada kasus di lapangan, unit-unit dalam populasi biasanya memiliki
probabilitas yang berbeda untuk dimasukkan dalam sampel, contohnya seorang
walikota ingin mengetahui jumlah lansia di kotanya, kota tersebut terdiri dari
kecamatan-kecamatan dan akan dilakukan penarikan sampel. Jarang sekali
ditemui kasus setiap kecamatan memiliki jumlah rumah tangga yang sama
sehingga untuk kasus seperti ini penarikan sampel yang lebih tepat digunakan
adalah penarikan sampel dengan probabilitas tidak sama.
Secara umum penarikan sampel dilakukan dengan pengembalian dan tanpa
pengembalian. Penarikan sampel dengan pengembalian kurang efisien
dibandingkan penarikan sampel tanpa pengembalian karena dalam penarikan
sampel dengan pengembalian suatu obyek dapat terambil dua kali dan hal tersebut
tidak memberikan informasi tambahan mengenai populasi. Pada tugas akhir ini
penarikan sampel dilakukan tanpa pengembalian dengan metode penarikan
sampel klaster satu-tahap.
Penduga yang akan digunakan adalah penduga Horvitz-Thompson yang
diperkenalkan oleh Horvitz dan Thompson pada tahun 1952.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
2
Untuk mensimulasikan metode tersebut akan digunakan data yang
bersumber dari Badan Pusat Statistik Indonesia, yaitu data produksi padi pada
provinsi-provinsi di pulau Jawa. Simulasi dilakukan untuk menduga total hasil
panen padi di pulau Jawa dengan galat baku (standard error) pendugaan sebagai
ukuran kebaikan terduga.
Apabila sebelum dilakukan penarikan sampel informasi mengenai keadaan
populasi (seperti luas wilayah populasi, pembagian wilayah populasi) telah
diketahui, informasi ini dapat digunakan untuk memilih unit penarikan sampel
primer dengan unit penarikan sampel sekunder yang besar sebagai sampel dan
kemungkinan akan didapatkan pendugaan yang lebih baik. Untuk membuktikan
pernyataan tersebut, pada tugas akhir ini, akan dilakukan pembandingan hasil
pendugaan apabila sampel diambil secara acak dan apabila sampel diambil secara
langsung pada unit penarikan sampel primer (primary sampling unit) dengan
jumlah unit penarikan sampel sekunder (secondary sampling unit) terbesar.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut
1. Apa itu metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian
dengan penduga Horvitz Thompson?
2. Bagaimana aplikasi metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa
pengembalian dalam menduga total suatu populasi?
3. Bagaimana perbandingan hasil pendugaan populasi dengan memilih
sampel secara acak dan dengan memilih sampel secara langsung dari unit
penarikan sampel primer dengan unit penarikan sampel sekunder terbesar?
C. Batasan Masalah
Batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut
1. Penarikan sampel yang dibahas hanya penarikan sampel dengan
probabilitas tidak sama dengan metode penarikan sampel satu-tahap tanpa
pengembalian, selebihnya hanya sebagai pengantar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
3
2. Sampel yang diambil pada masing-masing pendugaan populasi adalah
sebanyak 2 unit.
3. Sampel yang diambil berdasarkan unit penarikan sampel primer dengan
unit penarikan sampel sekunder terbanyak hanya dapat dilakukan apabila
informasi mengenai wilayah populasi sudah diketahui.
4. Teori Probabilitas yang dibahas hanya teori yang berkaitan dengan materi
pokok.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut
1. Mengetahui pendugaan populasi yang probabilitas unit-unitnya tidak sama
dengan menerapkan metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa
pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson.
2. Mengetahui perbedaan hasil dugaan apabila sampel diambil secara acak
dan sampel diambil berdasarkan unit penarikan sampel primer dengan unit
penarikan sampel sekunder terbesar.
3. Menerapkan metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa
pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson dalam kasus nyata.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan dalam tugas akhir ini adalah
1. Dapat mempelajari metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa
pengembalian dengan penduga Horvitz-Thompson pada populasi yang
probabilitas setiap unit penarikan sampel primernya tidak sama.
2. Dapat mengetahui seberapa baik sampel yang diambil secara acak dan
sampel yang diambil secara langsung dari unit penarikan sampel primer
dengan unit penarikan sampel sekunder terbesar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
4
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode studi
pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku serta jurnal-jurnal
yang berkaitan dengan penarikan sampel dengan probabilitas tidak sama
menggunakan metode penarikan sampel klaster satu-tahap tanpa pengembalian
dan dasar-dasar probabilitas yang digunakan.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II DASAR-DASAR TEORI PENARIKAN SAMPEL
A. Probabilitas
B. Distribusi Probabilitas
C. Distribusi Penarikan Sampel
D. Pendugaan Parameter
E. Istilah-Istilah dalam Penarikan Sampel
F. Probabilitas Inklusi
G. Sampel Acak Sederhana
H. Pendugaan Parameter Sampel Acak Sederhana
BAB III METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU-TAHAP TANPA
PENGEMBALIAN
A. Metode Penarikan Sampel Klaster
B. Metode Penarikan Sampel dengan Probabilitas tidak Sama
C. Metode Penarikan Sampel tanpa Pengembalian dengan Probabilitas tidak
Sama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
5
D. Memilih Unit Penarikan Sampel Utama
E. Metode Penarikan Sampel Klaster Satu-Tahap tanpa Pengembalian
dengan Probabilitas tidak Sama
BAB IV APLIKASI METODE PENARIKAN SAMPEL KLASTER SATU-
TAHAP TANPA PENGEMBALIAN DENGAN PROBABILITAS TIDAK
SAMA
A. Tujuan Penarikan Sampel
B. Populasi Sasaran
C. Unit Penarikan Sampel
D. Pemilihan Sampel
E. Data dan Analisis Data
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
6
BAB II
DASAR-DASAR TEORI PENARIKAN SAMPEL
A. Probabilitas
1. Ruang Sampel
Definisi 2.1. Ruang Sampel
Himpunan semua kemungkinan hasil dari percobaan statistik disebut ruang
sampel dan dinyatakan dengan simbol .
Setiap hasil dalam suatu ruang sampel disebut elemen atau anggota
dari ruang sampel, atau titik sampel. Jika ruang sampel memiliki sejumlah
berhingga dari elemen-elemen, daftar anggota-anggota dinyatakan dengan
koma dan ditutup kurung.
Contoh 2.1
Dalam percobaan pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali.
Tentukan ruang sampel dalam percobaan tersebut.
Jawab:
Ruang sampel dalam percobaan dua buah dadu adalah
{
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Sehingga diperoleh banyaknya anggota ruang sampel (titik sampel)
( ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
7
Definisi 2.2. Ruang Sampel Diskrit dan Kontinu
Jika sebuah ruang sampel terdiri atas sejumlah berhingga titik sampel atau
sejumlah tak berhingga titik sampel tetapi terbilang disebut ruang sampel
diskrit. Ruang sampel yang tidak diskrit disebut ruang sampel kontinu.
2. Kejadian
Definisi 2.3. Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh 2.2
Diberikan ruang sampel * | +, dengan adalah umur dalam
tahun dari elektronik tertentu, kemudian kejadian adalah umur
elektronik yang rusak sebelum tahun kelima, tentukan kejadian .
Jawab:
* | +.
Definisi 2.4. Komplemen Dua Kejadian
Komplemen dari sebuah kejadian di dalam adalah himpunan bagian
dari semua elemen-elemen yang tidak di . Komplemen dari
dinotasikan dengan simbol .
Contoh 2.3
Dimisalkan ruang sampel
*buku, telepon genggam, laptop, alat tulis, botol minum+
Misalkan *buku, alat tulis, laptop+. Tentukan komplemen dari .
Jawab:
Didapatkan komplemen dari adalah *telepon genggam, botol
minum+.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
8
Definisi 2.5. Irisan Dua Kejadian
Irisan dari dua kejadian dan , dinotasikan dengan simbol ,
merupakan kejadian yang terdiri dari elemen-elemen yang sama antara
dan .
Contoh 2.4
Misalkan *buku, telepon genggam, laptop, alat tulis, botol minum+
dan *telepon genggam, laptop, kertas, mp3+. Tentukan irisan dari
dan .
Jawab:
Didapatkan irisan dari dan ,
* +
Definisi 2.6. Kejadian Saling Asing
Dua kejadian dan saling asing, jika , yaitu, jika dan
tidak memiliki elemen-elemen yang sama.
Contoh 2.5
Diandaikan percobaan pelemparan sebuah dadu. Masing-masing
melempar dadu sebanyak dua kali. Didapatkan * + dan * +.
Apakah saling asing?
Jawab:
Karena dadu yang dilempar dan tidak menghasilkan bilangan yang
sama, maka
sehingga saling asing.
Definisi 2.7. Gabungan Dua Kejadian
Gabungan dari dua kejadian dan , dinotasikan dengan simbol ,
merupakan kejadian yang memuat semua elemen-elemen yang berada di
atau atau keduanya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
9
Contoh 2.6
Misalkan * + dan * +. Tentukan .
Jawab:
Didapatkan * +.
3. Menghitung Banyaknya Titik Sampel
Teorema 2.1
Bila terdapat elemen, yaitu dan elemen, yaitu
, maka dapat dibentuk pasang yang memuat satu
elemen dari setiap kelompok.
Bukti:
. . .
.
.
.
Pada persegi gambar 2.1, terdapat satu persegi dalam tabel untuk setiap
, pasang dan oleh karena itu jumlahnya persegi.
Gambar 2.1. Jumlah Pasangan (𝒂𝒊 𝒃𝒋)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
10
Contoh 2.7
Berapa banyaknya titik sampel pada ruang sampel percobaan sepasang
dadu yang dilempar satu kali?
Jawab:
Dimisalkan,
kemungkinan mata dadu yang didapatkan dadu pertama ,
kemungkinan mata dadu yang didapatkan dadu kedua ,
Sehingga didapatkan kemungkinan mata dadu yang
didapatkan dari sepasang dadu tersebut.
Definisi 2.8. Permutasi
Banyaknya cara menyusun obyek berbeda yang diambil dari obyek
disebut permutasi yang disimbolkan dengan .
Teorema 2.2
( )( ) ( )
( )
Bukti:
Simbol merupakan banyaknya cara mengisi posisi dengan objek yang
berbeda. Terapkan teorema 2.1, dilihat bahwa objek pertama dapat dipilih
satu dari cara. Setelah itu, kedua dapat dipilih ( ) cara, ketiga
( ) cara, dan ke- dapat dipilih dengan ( ) cara. Oleh
karena itu, banyaknya jumlah dari susunan yang berbeda adalah
( )( ) ( )
Dinyatakan dalam,
( )( ) ( )
( )
( )
( )
dengan ( ) ( )( ) dan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
11
Contoh 2.8
Nama dari 3 karyawan diambil secara acak, tanpa pengembalian, dari
mangkok yang terdiri dari 30 nama karyawan dari perusahaan kecil.
Orang yang namanya terambil pertama mendapatkan $100, dan nama yang
terambil kedua dan ketiga mendapatkan $50 dan $25, berturut-turut.
Berapa banyak titik sampel dari kasus ini?
Jawab:
Akan dicari titik sampel yang terkait dengan kasus ini. Karena hadiah
yang diberikan berbeda, banyaknya titik sampel adalah banyaknya susunan
dari nama yang mungkin terambil nama. Sedemikian
sehingga, banyaknya titik sampel dalam adalah
( )( )( )
Teorema 2.3
Banyaknya cara membagi objek berbeda ke mdalam kelompok
berbeda yang terdiri dari objek, berturut-turut, dengan setiap
objek muncul dalam tepat satu kelompok dan ∑ , yaitu
.
/
Bukti:
adalah banyaknya susunan yang berbeda dari objek dalam sebuah
baris untuk kasus dimana penyusunan kembali dari objek dalam kelompok
yang tidak dihitung. Contoh huruf hingga disusun dalam tiga
kelompok, dimana dan
| |
merupakan satu susunan.
Banyaknya susunan yang berbeda dari objek, diasumsikan semua
objekberbeda, adalah . Sehingga
sama dengan banyaknya cara
membagi objek kedalam kelompok, abaikan susunan dalam kelompok
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
12
dikalikan dengan banyaknya cara menyusun elemen dalam
setiap kelompok. Penerapan dari perluasan aturan diberikan
( ) ( )
dengan adalah banyaknya susunan yang berbeda dari objek dalam
kelompok . Penyelesaian untuk , didapatkan
.
/
Contoh 2.9
Berapa banyak cara untuk 7 mahasiswi pascasarjana ditempatkan 1 kamar
berisi 3 tempat tidur dan 2 kamar berisi 2 tempat tidur?
Jawab:
Banyaknya cara adalah
.
/
Definisi 2.9. Kombinasi
Banyaknya kombinasi obyek yang diambil dari obyek adalah
banyaknya himpunan bagian berukuran , dapat dibentuk dari obyek.
Banyaknya kombinasi dinotasikan dengan atau .
/
Teorema 2.4
Banyaknya himpunan bagian tidak terurut sebanyak dipilih (tanpa
pengembalian) dari objek yang ada, yaitu
. /
( )
Bukti:
Memilih objek dari jumlah ekuivalen dengan membagi objek ke
dalam kelompok, dipilih, dan ( ) yang tersisa. Ini kasus
khusus dari penanganan masalah pembagian umum dalam teorema 2.3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
13
Dalam kasus yang diberikan, dan ( ) dan, karena
itu,
. /
.
/
( )
Contoh 2.10
Seorang anak meminta 5 permainan dari 10 koleksi permainan
petualangan dan 5 koleksi permainan olahraga. Berapa banyak cara untuk
mendapatkan 3 koleksi permainan petualangan dan 2 koleksi permainan
olahraga?
Jawab:
Banyaknya cara memilih 3 dari 10 permainan petualangan adalah
. /
( )
Banyaknya cara memilih 2 dari 5 permainan olah raga adalah
. /
( )
Menggunakan Teorema 2.1 didapatkan dan sehingga
( )( ) cara.
4. Probabilitas dari Sebuah Kejadian
Definisi 2.10. Probabilitas Sebuah Kejadian
Bila merupakan ruang sampel yang berkaitan dengan sebuah percobaan.
Untuk setiap kejadian dalam ( merupakan himpunan bagian dari ),
( ) merupakan probabilitas dari , jika memenuhi aksioma berikut:
Aksioma 1: ( )
Aksioma 2: ( )
Aksioma 3: Jika membentuk barisan kejadian yang saling
asing berpasangan di dalam , maka
( ) ∑ ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
14
Contoh 2.11
Sebuah koin dengan dua sisi, yaitu gambar (G) dan angka (A) dilempar
dua kali. Berapa banyak probabilitas paling sedikit muncul 1 gambar?
Jawab:
merupakan ruang sampel koin dengan dua sisi, didapatkan
* +
Misalkan probabilitas dari setiap titik sampel, maka atau
.
Jika menyatakan kejadian paling sedikit gambar muncul, maka
* + dan ( )
5. Probabilitas Bersyarat
Definisi 2.11. Probabilitas Bersyarat
Probabilitas bersyarat dari kejadian , diketahui kejadian telah terjadi,
sama dengan
( | ) ( )
( )
apabila ( ) . ( | ) adalah probabilitas dari jika diketahui .
Contoh 2.12
Sebuah dadu dilempar satu kali misalkan merupakan kejadian
munculnya mata dadu ganjil dan Q merupakan kejadian munculnya mata
dadu lebih dari 2. Tentukan probabilitas munculnya mata dadu ganjil jika
diketahui munculnya kejadian mata dadu lebih dari dua.
Jawab:
Diketahui ruang sampel * +
kemudian * + * +
* +
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
15
Didapatkan,
( | ) ( )
( ) ⁄
⁄
Definisi 2.12. Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian dan dikatakan bebas jika salah satu dari pernyataan
berikut terpenuhi
( | ) ( )
( | ) ( )
( ) ( ) ( )
Selainnya, kejadian dikatakan saling bergantung.
Contoh 2.13
Terdapat 1 set kartu berisi abjad, kemudian kartu tersebut diambil secara
acak. Didefinisikan kejadian dan , yaitu
* +
* +
Tunjukkan apakah kejadian dan saling bebas.
Jawab:
Diketahui ruang sampel dari 1 set kartu tersebut,
* +
Sehingga diperoleh elemen , ( ) .
( )
( )
( )
( | ) ( )
( ) ⁄
⁄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
16
( | ) ( )
( ) ⁄
⁄
( ) ( )
Jadi kejadian dan saling bebas.
6. Aturan Dua Probabilitas
Teorema 2.5
Probabilitas dari gabungan dua kejadian dan adalah
( ) ( ) ( ) ( )
Jika dan kejadian yang tidak memiliki irisan, maka ( ) dan
( ) ( ) ( )
Bukti:
Ilustrasi pada gambar 2.2 digunakan untuk memperjelas bukti.
Gambar 2.2 Ilustrasi Diagram Venn untuk Teorema 2.5
Dari gambar dapat dinyatakan ( ) dengan dan
( ) kejadian saling asing. Kemudian, ( ) ( ),
dengan ( ) dan ( ) kejadian saling asing. Maka,
( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( )
Didapatkan ( ) ( ) ( ), sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A B
𝑆
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
17
Teorema 2.6
Jika merupakan sebuah kejadian, maka
( ) ( )
Bukti:
Ilustrasi pada gambar 2.3 digunakan untuk memperjelas bukti.
Gambar 2.3 Ilustrasi Diagram Venn untuk Teorema 2.6
Dari gambar, . Karena dan merupakan kejadian saling
asing, maka ( ) ( ) ( ). Dari definisi 2.10 ( ) ,
sehingga ( ) ( ) , oleh karena itu ( ) ( ).
Definisi 2.13. Partisi dari Ruang Sampel
Untuk suatu bilangan bulat positif , misalkan himpunan
sedemikian sehingga
1. .
2. , untuk .
Maka kumpulan dari himpunan * + dikatakan partisi dari .
Teorema 2.7
Diasumsikan bahwa * + merupakan partisi dari sedemikiam
sehingga ( ) , untuk . Maka untuk sebarang kejadian
( ) ∑ ( | ) ( )
A
𝐴𝑐 𝑆
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
18
Bukti:
Sebarang himpunan bagian dari dapat ditulis
( )
( ) ( ) ( )
Karena * + merupakan partisi dari , jika , maka
( ) ( ) ( )
( ) dan ( ) merupakan kejadian yang tidak memiliki irisan.
Oleh karena itu
( ) ( ) ( ) ( )
( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )
∑ ( | ) ( )
Teorema 2.8
Diasumsikan * + merupakan partisi dari sedemikian
sehingga ( ) , untuk . Maka
( | ) ( | ) ( )
∑ ( | ) ( )
Bukti:
Didapatkan,
( | ) ( )
( )
( | ) ( )
∑ ( | ) ( )
7. Variabel Acak
Definisi 2.14. Variabel Acak
Variabel acak adalah fungsi yang memetakan elemen-elemen dalam ruang
sampel ke himpunan bilangan real.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
19
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital, misal , dan nilainya
dinotasikan dengan huruf kecil, misal .
Definisi 2.15. Variabel Acak Diskrit dan Kontinu
Variabel acak dikatakan diskrit jika himpunan dari kemungkinan
hasilnya berhingga atau tak berhingga tetapi terbilang. Jika tidak diskrit
maka variabel dikatakan kontinu.
Contoh 2.14 (Variabel Acak Diskrit)
Dua bola diambil berurutan tanpa pengembalian dari sebuah mangkok
yang terdiri dari 4 bola merah dan 3 bola hitam. Tentukan kemungkinan
hasil yang didapatkan dan nilai dari variabel acak , dengan jumlah
bola merah.
Jawab:
Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah * +.
Setiap elemen pada ruang sampel dipetakan ke himpunan bilangan real
adalah variabel acak .
Nilai dari adalah .
𝑀𝑀
𝑀𝐻
𝐻𝑀
𝐻𝐻
Gambar 2.4 Pemetaan Elemen-Elemen dalam Ruang Sampel ke
Bilangan Real untuk Contoh 2.14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
20
Contoh 2.15 (Variabel Acak Kontinu)
Misalkan variabel acak yang didefinisikan berat badan mahasiswa.
Diasumsikan tidak ada mahasiswa yang mempunyai berat badan kurang
dari 20 kg dan lebih dari 175 kg. Sehingga merupakan variabel acak
untuk semua nilai antara . Karena merupakan sebuah
interval maka merupakan variabel acak kontinu.
8. Sampel Acak
Definisi 2.16. Sampel Acak
Misalkan dan menunjukkan banyaknya elemen dalam populasi dan
sampel. Jika penarikan sampel dilakukan dengan cara setiap ( ) sampel
memiliki probabilitas yang sama untuk terpilih, penarikan sampel
dikatakan acak, dan hasilnya merupakan sampel acak.
Contoh 2.16
Dalam suatu populasi terdapat 5 elemen, dari populasi tersebut akan
diambil sampel berukuran 2. Berapa banyak cara sampel tersebut akan
terpilih secara acak?
Jawab:
Banyaknya cara adalah
(
)
9. Bilangan Acak
Bilangan acak merupakan bilangan yang dihasilkan oleh mekanisme
yang menghasilkan ketidakpastian (irregularity) dalam arti tertentu akan
dibuat presisi. Proses yang menghasilkan digit-digit acak (desimal) ketika
proses tersebut menyajikan variabel acak yang saling bebas dan ambil nilai
0, 1, …, 9 dengan probabilitas yang sama, variabel acak tersebut
memenuhi distribusi seragam diskrit (variabel acak memiliki probabilitas
yang sama untuk muncul). Definisi serupa diterapkan untuk bilangan acak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
21
yang lebih dari 10, untuk sebarang himpunan bilangan bulat yang
berdekatan, atau, secara umum untuk sebarang himpunan yang memenuhi
distribusi seragam diskrit. Bilangan acak digunakan pada sampel
probabilitas, yaitu dalam penarikan sampel probabilitas unit sampel dipilih
dari populasi dengan penarikan sampel probabilitas. Pada sebuah kasus
penarikan sampel, biasanya setiap unit populasi dinomori, kemudian
bilangan bulat acak yang terpilih (unit yang telah dinomori) akan menjadi
unit sampel. Kegunaan lain bilangan acak adalah dalam rancangan
percobaan untuk memutuskan perlakuan percobaan yang akan diterapkan,
dsb.
Salah satu cara untuk mendapatkan bilangan acak dengan
menggunakan tabel bilangan acak. Tabel bilangan acak pertama kali
dikenalkan oleh Tippett pada tahun 1927. Tabel bilangan acak merupakan
tabel yang berisi digit angka. Digit yang diberikan dalam tabel dipilih
secara acak dari digit 0, 1, 2, 3, …, 9 oleh proses acak dengan setiap digit
memiliki probabilitas yang sama untuk dipilih.
Contoh 2.17
Misalkan akan diambil tiga orang sebagai sampel dari populasi tujuh
orang. Cara pengambilan sampel dapat dilakukan dengan cara
menomorinya pada potongan kertas dari 1 sampai 7, kemudian acak
potongan kertas yang telah digulung dan diambil tiga dari tujuh gulungan
kertas tersebut. Dengan cara yang berbeda, dapat dilakukan dengan
menunjuk secara acak pada titik awal di Tabel Bilangan Acak. Andaikan
titik yang ditunjuk secara acak adalah baris 15 pada kolom 9 dengan digit
97735 dan yang dipilih adalah digit yang berada pada sisi paling kanan
yaitu 5. Proses ini layaknya seperti mengambil gulungan kertas secara
acak dan didapatkan kertas yang berisi angka 5. Kemudian proses ini
dilanjutkan dengan memilih digit dari arah manapun untuk mendapatkan
sampel sisanya. Ditentukan arah yaitu ke bawah dari digit yang terpilih
pertama, sehingga dari tabel didapatkan 49442, dipilih digit yang berada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
22
pada sisi paling kanan yaitu 2. Dilanjutkan ke baris selanjutnya, dari tabel
didapatkan 01188, dipilih digit yang berada pada sisi paling kanan yaitu 8,
tetapi hanya ada 7 elemen populasi sehingga diabaikan. Kemudian
dilanjutkan ke baris setelahnya. Dua baris selanjutnya didapatkan angka 5,
karena angka 5 telah terpilih maka keduanya diabaikan. Pada baris
selanjutnya dari tabel didapatkan 51851, dipilih digit yang berada pada sisi
paling kanan yaitu 1. Akhirnya, sampel yang terpilih adalah orang
bernomor 5, 2, dan 1.
B. Distribusi Probabilitas
1. Distribusi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.17. Fungsi Probabilitas Diskrit
Himpunan pasangan terurut ( ( )) merupakan fungsi probabilitas,
fungsi masa probabilitas, atau distribusi probabilitas dari variabel acak
diskrit jika untuk setiap hasil yang mungkin , memenuhi
a. ( )
b. ∑ ( )
Contoh 2.18
Pengiriman 20 komputer yang sama menuju toko pengecer diantaranya
terdapat 3 komputer yang cacat. Jika sebuah sekolah membelinya secara
acak 2 dari komputer-komputer tersebut,
a. tentukan distribusi probabilitas jumlah komputer yang cacat.
b. buktikan bahwa ( ) merupakan distribusi probabilitas diskrit.
Jawab:
a. Misalkan variabel acak yang nilai -nya merupakan kemungkinan
banyaknya komputer cacat yang dibeli oleh sekolah. Sehingga
* +
( ) . / . /
. /
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
23
( ) . / . /
. /
( ) . / . /
. /
Jadi himpunan pasangan terurut distribusi probabilitas juga dapat
dinyatakan dalam bentuk tabel 2.1 berikut
Tabel 2.1.
Distribusi Probabilitas dari Variabel Acak Diskrit untuk Contoh 2.18
( )
b. Akan dibuktikan ( ) memenuhi definisi 2.17,
1) ( ) terlihat dari hasil jawaban a,
2) ∑ ( ) ∑ ( )
Jadi, terbukti bahwa ( ) merupakan distribusi probabilitas diskrit.
Definisi 2.18. Fungsi Distribusi Kumulatif Variabel Diskrit
Fungsi distribusi kumulatif ( ) dari variabel acak diskrit dengan
distribusi probabilitas ( ) adalah
( ) ( ) ∑ ( ) untuk
Contoh 2.19
Tentukan fungsi distribusi kumulatif variabel acak pada contoh 2.18.
Jawab:
Dari contoh 2.18 didapatkan distribusi probabilitas
( ) ⁄ ( )
⁄ ( ) ⁄ .
Akan dicari ( ) ( ) ( ),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
24
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
sehingga didapatkan fungsi distribusi kumulatif dari adalah
( )
{
Definisi 2.19. Fungsi Probabilitas Bersama Variabel Diskrit
Fungsi ( ) merupakan distribusi probabilitas bersama atau fungsi
massa probabilitas dari variabel acak diskrit dan jika
a. ( ) untuk ( ),
b. ∑ ∑ ( )
Peluang bernilai dan bernilai dinotasikan dengan
( ) ( ), untuk setiap daerah di bidang
dan ,( ) - ∑∑ ( ) .
Contoh 2.20
Dua bolpoin terpilih secara acak dari kotak yang terdiri dari 3 bolpoin biru,
2 bolpoin merah, dan 3 bolpoin hijau. Jika merupakan banyaknya
bolpoin biru yang terpilih dan merupakan banyaknya bolpoin merah
yang terpilih, tentukan
a. fungsi probabilitas bersama ( ),
b. ,( ) - bila merupakan daerah *( )| +.
Jawab:
Nilai dari pasangan terurut ( ) yang mungkin adalah ( ), ( ),
( ), ( ), ( ) dan ( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
25
a. Misalkan ( ) merupakan probabilitas bolpoin berwarna merah dan
hijau terpilih. Banyaknya cara memilih 2 bolpoin dari kotak adalah
( ) . Banyaknya cara memilih 1 bolpoin merah dari 2 bolpoin
merah dan 1 bolpoin hijau dari 3 bolpoin hijau adalah ( )( ) .
Oleh karena itu, ( ) ⁄ ⁄ . Perhitungan yang sama
dapat digunakan untuk kasus lain. Hasil distribusi probabilitas
bersama pada tabel 2.2 dapat dinyatakan dengan
( ) . / .
/ .
/
( )
untuk dan .
Tabel 2.2
Hasil Distribusi Probabilitas Bersama untuk Contoh 2.20
Jumlah
Baris ( )
⁄ ⁄
⁄
⁄
⁄ ⁄
⁄
⁄ ⁄
Jumlah
Kolom
⁄
⁄
⁄
b. Probabilitas ( ) pada daerah adalah
,( ) - ( ) ( ) ( ) ( )
Sebagai penunjang dari tugas akhir ini, selanjutnya akan dijelaskan
salah satu contoh distribusi probabilitas diskrit yaitu Distribusi Binomial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
26
Contoh lain dari distribusi probabilitas diskrit adalah Distribusi
Geometrik, Distribusi Hypergeometrik, dan Distribusi Poisson.
Definisi 2.20. Percobaan Binomial
Percobaan Binomial memenuhi sifat berikut:
a. Percobaan terdiri atas ulangan yang identik.
b. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua kemungkinan hasil, yaitu
berhasil ( ) atau gagal ( ).
c. Probabilitas berhasil adalah dan tetap sama untuk ulangan lainnya.
Probabilitas gagal adalah ( ).
d. Ulangan bersifat saling bebas.
e. Variabel acak adalah banyaknya ulangan sukses yang teramati
selama ulangan
Contoh 2.21
Sistem deteksi peringatan dini untuk pesawat terdiri dari 4 unit radar
identik yang beroperasi secara independen (saling bebas) satu sama lain.
Misalkan setiap unit radar memiliki peluang 0.95 untuk mendeteksi
adanya gangguan pada pesawat. Ketika ada gangguan pada pesawat,
variabel acak merupakan banyaknya unit radar yang tidak mendeteksi
gangguan. Apakah hal ini merupakan percobaan Binomial?
Jawab:
Jika permasalahan pada soal merupakan percobaan Binomial, maka
permasalahan pada soal harus memenuhi sifat-sifat pada definisi 2.21.
Variabel acak dalam percobaan ini merupakan banyaknya unit radar
yang tidak mendeteksi gangguan, sehingga percobaan ini dapat menjadi
binomial jika dan hanya jika unit radar tidak dapat mendeteksi merupakan
ulangan sukses.
a. Percobaan memuat 4 ulangan yang identik. Setiap ulangan
menentukan apakah unit radar mendeteksi pesawat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
27
b. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua hasil, yaitu radar dapat
mendeteksi atau radar tidak dapat mendeteksi.
c. Karena radar mendeteksi dengan probabilitas yang sama, maka
probabilitas pada setiap ulangan sama, dan ( )
( ) .
d. Ulangan-ulangan saling bebas karena unit-unit beroperasi secara
independen.
e. Variabel acak merupakan banyaknya ulangan sukses dalam 4
ulangan.
Sehingga, percobaan tersebut merupakan percobaan Binomial, dengan
, , dan .
2. Distribusi Probabilitas Kontinu (Fungsi Densitas)
Definisi 2.21. Fungsi Densitas Probabilitas Kontinu
Fungsi ( ) merupakan fungsi densitas untuk variabel acak kontinu ,
jika
a. ( ) untuk
b. ∫ ( )
Peluang variabel acak berada dalam interval , - dinyatakan dengan
( ) ∫ ( )
Contoh 2.22
Misalkan variabel acak kontinu memiliki fungsi densitas probabilitas
( ) ,
Buktikan bahwa ( ) merupakan fungsi densitas.
Jawab:
Akan dibuktikan ( ) memenuhi definisi 2.21,
a. Jelas ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
28
b. ∫ ( ) ∫
|
Terbukti bahwa ( ) merupakan fungsi densitas.
Definisi 2.22. Fungsi Distribusi Kumulatif Variabel Kontinu
Fungsi distribusi kumulatif ( ) dari variabel acak kontinu dengan
fungsi densitas ( ) adalah
( ) ( ) ∫ ( )
untuk
Contoh 2.23
Untuk fungsi densitas dari contoh 2.22, tentukan ( ) dan ( )
Jawab:
Untuk
( ) ∫ ( ) ∫
|
Sehingga didapatkan,
( ) {
dan ( ) ( ) ( )
.
Definisi 2.23. Fungsi Densitas Bersama Variabel Kontinu
Fungsi ( ) merupakan fungsi densitas bersama dari variabel acak
kontinu dan jika
a. ( ) ( ),
b. ∫ ∫ ( )
,
Peluang dan di dalam daerah dinotasikan dengan
,( ) - ∫∫ ( ) untuk setiap daerah di bidang
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
29
Contoh 2.24
Diberikan fungsi densitas bersama sebagai berikut:
( ) 8 ⁄ ( )
a. Tunjukkan bahwa fungsi di atas memenuhi definisi 2.23.
b. Tentukan ,( ) - dengan
2( )|
3.
Jawab:
a. - Jelas bahwa ( ) ,
- Integral dari
( ) ∫ ∫ ⁄ ( )
∫ 4
5|
∫ (
)
( )|
b. Didapatkan
,( ) - (
)
∫ ∫ ⁄ ( )
⁄
⁄
⁄
∫ 4
5| ⁄
⁄
⁄
∫ (
)
⁄
⁄
4
5| ⁄
⁄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
30
[(
) (
)]
Salah satu contoh dari distribusi probabilitas kontinu yang penting
adalah Distribusi Normal. Grafik dari distribusi Normal disebut kurva
Normal. Variabel acak yang distribusinya berbentuk lonceng seperti
gambar 2.5 disebut variabel acak Normal. Persamaan matematika untuk
distribusi probabilitas variabel Normal tergantung pada parameter yang
merupakan rata-rata dan yang merupakan standar deviasi.
Definisi 2.24. Distribusi Normal
Variabel acak dikatakan berdistribusi Normal jika dan hanya jika untuk
dan , fungsi densitas dari adalah
( )
√ ( )
Sifat-sifat kurva distribusi Normal adalah
- Modus, dimana titik pada sumbu horizontal dengan kurva maksimum
terjadi pada ,
( )
𝜎
𝑥
Gambar 2.5 Kurva Distribusi Normal
𝜎
𝜇 𝜎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
31
- Kurva simetris terhadap sumbu vertikal yang melalui rata-rata ,
- Kurva memiliki titik belok pada , kurva cekung ke bawah
pada dan kurva cekung ke atas untuk nilai
lainnya,
- Kurva Nornal mendekati sumbu horizontal secara asimtotik jika
atau ,
- Luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu horizontal sama dengan
1.
3. Variabel Acak Saling Bebas
Definisi 2.25. Variabel Acak Saling Bebas
Misalkan dan variabel acak, diskrit atau kontinu. mempunyai
fungsi probabilitas ( ), mempunyai fungsi probabilitas ( ), dan
dan mempunyai fungsi probabilitas bersama ( ). Maka
dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
( ) ( ) ( )
untuk setiap pasangan bilangan real ( ).
Contoh 2.25
Misalkan
( ) {
Tunjukkan bahwa dan saling bebas.
Jawab:
( )
{
∫
4
|
5
∫
Demikian pula,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
32
( )
{
∫
∫
Oleh karena itu,
( ) ( )
( )
untuk semua bilangan real ( ) sehingga dan bebas.
4. Nilai Harapan
Definisi 2.26. Nilai Harapan Variabel Acak
Misalkan variabel acak dengan distribusi probabilitas diketahui. Rata-
rata, atau nilai harapan, dari adalah
( ) ∑ ( ) , jika variabel acak diskrit
dan
( ) ∫ ( )
, jika variabel acak kontinu.
Contoh 2.26
Muatan 7 komponen diambil sampel untuk pemeriksaan kualitas, muatan
tersebut terdapat 4 komponen yang bagus dan 3 komponen yang cacat.
Diambil 3 sampel. Tentukan nilai harapan dari jumlah komponen yang
bagus dalam sampel.
Jawab:
Misalkan merupakan jumlah sampel komponen yang bagus. Distribusi
probabilitas dari adalah
( ) . / .
/
. /
sehingga didapatkan:
( ) . / . /
. /
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
33
( ) . / . /
. /
( ) . / . /
. /
( ) . / . /
. /
nilai harapan adalah
( ) ( ) (
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) (
)
Contoh 2.27
Tentukan nilai harapan dari fungsi densitas berikut.
( ) ,
Jawab:
( ) ∫
∫
|
Teorema 2.9
Misalkan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas ( ) dan
( ) ( ) ( ) adalah fungsi dari . Maka
, ( ) ( )- , ( )- , ( )-
Bukti:
, ( ) ( ) ( )- ∑, ( ) ( ) ( )- ( )
∑, ( ) ( ) ( ) ( )-
∑ ( ) ( )
∑ ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
34
, ( )- , ( )-
Teorema 2.10
Misalkan variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas ( ) dan
( ) ( ) ( ) adalah fungsi dari . Maka
, ( ) ( )- , ( )- , ( )-
Bukti:
, ( ) ( )- ∫ *, ( ) ( )- ( )+
∫ , ( ) ( ) ( ) ( )-
∫ , ( )-
∫ , ( )-
, ( )- , ( )- , ( )-
Teorema 2.11
Diberikan suatu konstanta tak nol , maka ( ) .
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
( ) ∑
( ) ∑ ( )
Untuk variabel acak kontinu,
( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Jadi, terbukti ( ) .
Teorema 2.12
Diberikan suatu konstanta tak nol , maka ( ) ( ).
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
35
( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )
Untuk variabel acak kontinu,
( ) ∫ ( )
∫ ( )
( )
Jadi, terbukti ( ) ( ).
Teorema 2.13
Jika dan konstanta, maka
( ) ( )
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit,
( ) ∑( ) ( )
∑ ( ( )) ( ( ))
∑ ( ( ))
∑ ( )
( )
Untuk variabel acak kontinu,
( ) ∫ ,( ) ( )-
∫ , ( ) ( )-
∫ ( )
∫ ( )
( )
Jadi terbukti ( ) ( ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
36
Definisi 2.27. Nilai Harapan Fungsi Variabel Acak
Misalkan ( ) merupakan fungsi dari variabel acak,
, yang memiliki fungsi probabilitas ( ) Maka
nilai harapan dari ( ) adalah
, ( )- ∑
∑ ( ) ( )
Jika variabel acak kontinu dengan fungsi densitas gabungan
( ), maka
, ( )- ∫
∫ ( )
( )
Contoh 2.28
Misalkan dan mempunyai fungsi densitas bersama sebagai berikut
( ) {
Tentukan ( )
Jawab:
( ) ∫ ∫ ( )
∫ ∫ ( )
∫
4
| 5 ∫ (
)
|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
37
Teorema 2.14
Misalkan dan variabel acak saling bebas dan ( ) dan ( )
fungsi dari dan , berturut-turut. Maka
, ( ) ( )- , ( )- , ( )-
Bukti:
Misalkan ( ) adalah fungsi densitas bersama dan . Hasil
( ) ( ) merupakan fungsi dari dan . Dengan definisi 2.27 dan
asumsi bahwa dan saling bebas (definisi 2.25).
Untuk variabel diskrit,
, ( ) ( )- ∑∑ ( ) ( ) ( )
∑∑ ( ) ( ) ( ) ( )
∑ ( ) ( )∑ ( ) ( )
, ( )- , ( )-
Untuk variabel kontinu
, ( ) ( )- ∫ ∫ ( ) ( ) (
)
∫ ∫ ( ) ( ) (
) ( )
∫ ( ) ( ) 6∫ ( ) ( )
7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
38
∫ ( ) (
) , ( )-
, ( )-∫ ( ) (
)
, ( )- , ( )-
5. Variansi
Definisi 2.28. Variansi Variabel Acak
Misalkan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang telah
diketahui dan rata-rata . Variansi adalah
( ) ,( ) -
{
∑( ) ( )
∫ ( ) ( )
Akar kuadrat positif dari ( ), disebut standar deviasi dari .
Contoh 2.29 (Variabel Acak Diskrit)
Tentukan variansi dari contoh 2.26.
Jawab:
Dari contoh 2.26 didapatkan ( ) ⁄ ( ) ⁄
( ) ⁄ ( ) ⁄ , dan ( )
⁄ . Sehingga
( ) ∑. ⁄ /
( )
. ⁄ /
. ⁄ / .
⁄ /
. ⁄ /
. ⁄ /
. ⁄ / .
⁄ /
. ⁄ /
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
39
Contoh 2.30 (Variabel Acak Kontinu)
Tentukan variansi dari contoh 2.27.
Jawab:
Dari contoh 2.27, didapatkan ( ) ⁄ . Sehingga
( ) ∫ ( ⁄ ) 4
5
∫ 4
5
6
7
(
)
Teorema 2.15
Variansi dari variabel acak adalah
( ) ,( ) - ( )
Bukti
Untuk variabel acak diskrit,
( ) ∑( ) ( ) ∑( ) ( )
∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( )
Karena dari definisi 2.26 ∑ ( ) dan definisi 2.17 ∑ ( )
untuk setiap distribusi probabilitas diskrit, ini berarti
( ) ∑ ( ) ( )
Untuk variabel acak kontinu,
( ) ∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
40
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Karena dari definisi 2.26 ∫ ( )
dan definisi 2.21
∫ ( )
untuk setiap distribusi probabilitas kontinu, ini berarti
( ) ∫ ( ) ∫ ( )
( )
Jadi, terbukti ( ) ( ) .
Teorema 2.16
Diberikan konstanta tak nol , maka ( ) ( ).
Bukti:
( ) 0( ( )) 1
,( ) -
, -
, - , - , -
, -
, -
(, - )
( )
Teorema 2.17
Diberikan konstanta tak nol , maka ( ) ( ).
Bukti:
( ) 0(( ) ( )) 1
0(( ) ( )) 1
,
-
, -
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
41
, -
,( ) -
( )
Teorema 2.18
Diberikan suatu konstanta tak nol a, maka ( ) .
Bukti:
( ) 0( ( )) 1 ,( ) - ( )
6. Probabilitas Marginal dan Probabilitas Bersyarat
Definisi 2.29. Fungsi Probabilitas Marginal
Misalkan dan merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi
probabilitas bersama ( ) Maka fungsi probabilitas marginal dari
dan adalah
( ) ∑ ( )
( ) ∑ ( )
Contoh 2.31
Sebuah supermarket memiliki 3 konter pembayaran, yaitu konter 1, konter
2, dan konter 3. Dua pelanggan datang pada waktu yang berbeda ketika
konter sepi. Setiap pelanggan memilih konter secara acak, saling bebas.
Misalkan merupakan jumlah pelanggan yang memilih konter 1 dan
jumlah pelanggan yang memilih konter 2. Tentukan fungsi probabilitas
marginal dari dan .
Jawab:
Misalkan pasangan ( ) merupakan kejadian dimana pelanggan pertama
memilih konter dan pelanggan kedua memilih konter , dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
42
. Dari teorema 2.1 didapatkan ruang sampel yang terdiri dari
titik sampel. Sehingga ruang sampelnya adalah
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
Bila masing-masing titik sampel berpeluang sama, maka ( )
merupakan fungsi probabilitas pelanggan pertama memilih konter dan
pelanggan kedua memilih konter , adalah
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
sehingga ( ) dan ( ) adalah:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Didapatkan fungsi probabilitas marginal dari adalah
( )
( )
( )
dan fungsi probabilitas marginal dari adalah
( )
( )
( )
Definisi 2.30. Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit Bersyarat
Jika dan merupakan variabel acak diskrit bersama dengan fungsi
probabilitas bersama ( ) dan fungsi probabilitas marginal ( ) dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
43
( ), maka fungsi probabilitas diskrit bersyarat dari diberikan
adalah
( | ) ( | ) ( )
( ) ( )
( )
Contoh 2.32
Dari contoh 2.31, tentukan distribusi bersyarat dari , diberikan .
Jawab:
( | ) ( )
( )
( | ) ( )
( )
( | ) ( )
( )
Sehingga, dalam supermarket tersebut jika satu pelanggan memilih konter 2
(jika ), maka pelanggan lain memilih konter 1 memiliki probabilitas
tinggi (jika ).
Definisi 2.31. Nilai Harapan Bersyarat Variabel Acak Diskrit
Nilai harapan bersyarat dari variabel acak diskrit dan , diberikan
, adalah
( | ) ∑ ( | )
dengan
( | ) | ( | ) ( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
44
Teorema 2.19
Dinotasikan ( | ) merupakan fungsi variabel acak yang nilainya
pada adalah ( | ), sehingga dipenuhi salah satu sifat
nilai harapan bersyarat
( ) , ( | )-
jika variabel acak diskrit, maka
, ( | )- ∑ ( | ) ( )
Bukti:
Akan dibuktikan ( ) ∑ ( | ) ( ) ,
, ( | )- ∑ ( | ) ( )
∑∑ ( | ) ( )
∑∑ ( )
( ) ( )
∑∑ ( )
∑ ∑ ( )
∑ ( )
( )
Definisi 2.32. Variansi Bersyarat
Variansi bersyarat dari diberikan , adalah
( | ) *, ( | )- | +
Teorema 2.20
Variansi probabilitas bersyarat memenuhi sifat
( ) , ( | )- , ( | )-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
45
Bukti:
Akan dicari persamaan dari , ( | )-,
, ( | )- * ( | ) , ( | )-
+
( ) 0( ( | ))
1
Akan dicari persamaan dari , ( | )-,
, ( | )- *, ( | )- + * , ( | )-+
*, ( | )- + , ( )-
Didapatkan,
, ( | )- , ( | )-
( ) *, ( | )-
+ *, ( | )- + , ( )-
( ) , ( )-
( )
7. Kovariansi
Definisi 2.33. Kovariansi
Jika dan merupakan variabel acak dengan rata-rata dan ,
kovariansi dari dan adalah
( ) ,( )( )-
Teorema 2.21
Jika dan merupakan variabel acak dengan rata-rata dan , maka
( ) ,( )( )- ( )
Bukti:
( ) ,( )( )-
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
46
Teorema 2.22
Jika dan merupakan variabel acak saling bebas, maka
( )
Jadi, variabel acak saling bebas tidak berkorelasi.
Bukti:
Dari teorema 2.21 didapatkan
( ) ( )
Karena dan saling bebas, dari teorema 2.14 didapatkan
( ) ( ) ( )
Sehingga,
( ) ( )
Contoh 2.33
Misalkan dan mempunyai fungsi densitas bersama
( ) {
Tentukan kovariansi dari dan .
Jawab:
( ) ∫ ∫ ( )
∫ ∫ ( )
∫ (
7
)
∫
( ) ∫ ∫ ( )
∫ ∫ ( )
∫
-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
47
∫
Dari contoh 2.28, didapatkan ( )
, sehingga
( ) ( )
(
) (
)
Jadi dan merupakan variabel acak saling bebas yang tidak
berkorelasi.
Definisi 2.34. Fungsi Linear
Jika merupakan konstanta, fungsi linear untuk variabel acak
adalah
∑
Teorema 2.23
Misalkan dan merupakan variabel acak dengan
( ) dan ( ) . Didefinisikan
∑
∑
untuk konstanta dan . Maka berlaku
a. ( ) ∑
b. ( ) ∑ ( )
∑∑ ( )
dengan penjumlahan ganda untuk semua ( ) pasang dengan .
c. ( ) ∑ ∑ ( )
.
Bukti:
a. Didapatkan
( ) (∑
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
48
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
∑
b. Didapatkan
( ) , ( )-
[∑
∑
]
[∑
( )]
[ ∑
( ) ∑∑ ( )( )
]
∑ ( )
∑∑ [( )( )]
∑
( ) ∑∑
( )
karena ( ) ( ), maka
( ) ∑ ( )
∑ ∑
( )
c. Didapatkan
( ) *, ( )-, ( )-+
*(∑
∑
)(∑
∑
)+
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
49
,[∑
( )] *∑
( )+-
*∑∑
( )
( )+
∑∑
[( )( )]
∑∑
( )
C. Distribusi Penarikan Sampel
Distribusi penarikan sampel dari sebuah statistik tergantung pada distribusi
dari populasi, ukuran sampel, dan metode pemilihan sampel.
Definisi 2.35. Distribusi Probabilitas Bersama Sampel Acak
Misalkan variabel acak yang saling bebas, masing-masing memiliki
distribusi probabilitas ( ) yang sama. Didefinisikan sebagai
sampel acak berukuran dari populasi ( ) dan distribusi probabilitas
bersamanya adalah
( ) ( ) ( ) ( )
Definisi 2.36. Statistik
Statistik adalah fungsi dari variabel acak yang diobservasi dalam sampel acak.
Statistik digunakan untuk membuat kesimpulan (pendugaan atau keputusan)
mengenai parameter populasi yang tidak diketahui. Karena semua statistik
merupakan fungsi dari variabel acak yang diamati dalam sampel, maka semua
statistik merupakan variabel acak. Karena itu, semua statistik memiliki distribusi
probabilitas yang merupakan distribusi penarikan sampel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
50
Teorema 2.24
Misalkan merupakan variabel acak saling bebas dengan ( )
dan ( ) . Maka,
̅
∑
memiliki rata-rata ( ̅) dan variansi ( ̅)
⁄
Bukti:
Karena ̅ merupakan fungsi linear dari dengan semua konstanta
, yaitu
̅
∑
( )
( )
( )
Dengan teorema 2.23(a),
( ̅) ∑
∑
∑
∑
Dengan teorema 2.23(b),
( ̅) ∑ ( )
∑∑ ( )
Semua kovarian bernilai nol, karena variabel acak saling bebas. Oleh karena itu
didapatkan
( ̅) ∑(
)
∑(
)
∑
D. Pendugaan Parameter
Setiap populasi memiliki karakteristik yang dinyatakan dengan sebuah
bilangan yang disebut parameter. Parameter yang menjadi objek penelitian
disebut parameter sasaran. Tujuan dari penelitian statistik adalah untuk menduga
satu atau lebih parameter yang relevan. Distribusi penarikan sampel memiliki
peran yang penting dalam pendugaan parameter.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
51
Definisi 2.37. Penduga
Sebuah penduga merupakan aturan yang sering kali dinyatakan dalam rumus,
yang menghitung nilai dari sebuah penduga berdasarkan pengukuran-pengukuran
yang termuat dalam sampel.
Salah satu penduga adalah penduga titik. Penduga titik merupakan penduga
yang menghasilkan nilai tunggal dalam menduga parameternya.
Contoh 2.34
Rata-rata sampel dinyatakan dengan rumus
̅
∑
merupakan salah satu penduga titik dari rata-rata populasi .
Penduga titik yang baik harus memenuhi sifat tak bias atau memiliki bias
sekecil mungkin, maksudnya adalah menduga distribusi penarikan sampel agar
sama dengan parameter yang diduga yaitu ( ̂) Diandaikan adalah titik
yang digunakan untuk menduga parameter populasi. Penduga dari akan
disimbolkan dengan ̂.
Definisi 2.38. Penduga Tak Bias untuk Penduga Titik
Misalkan ̂ merupakan penduga titik untuk parameter . Maka ̂ merupakan
penduga tak bias jika ( ̂) . Jika ( ̂) , maka ̂ dikatakan bias.
Definisi 2.39. Variansi Populasi dalam Penarikan Sampel
Misalkan merupakan populasi, maka variansi dari sebuah populasi
adalah
∑( ̅ )
dengan ̅ merupakan rata-rata populasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
52
Definisi 2.40. Variansi Sampel
Misalkan merupakan sampel acak, maka variansi sampel adalah
∑( ̅)
dengan ̅ merupakan rata-rata sampel.
Teorema 2.25
Misalkan merupakan sampel acak dengan ( ) dan ( )
. Maka
∑( ̅)
merupakan penduga tak bias untuk .
Bukti:
Berdasarkan definisi 2.38 akan ditunjukkan bahwa ( ) ,
( ) [
∑( ̅)
]
[∑( ̅)
]
[∑(
̅ ̅ )
]
[∑
∑
4∑
5 4
∑
5
]
[∑
4∑
5
∑
]
[∑
̅ ]
[ (∑
) ( ̅ )]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
53
Menurut teorema 2.15 ( ) ( ) sehingga ( ) ( )
( ) , ( )-
dapat juga ditulis ( ) ( ) , ( )-
,
( ̅ ) ( ̅) , ( ̅)-
Didapatkan,
[∑ (
)
( ̅ )]
[∑( ) 4
5
]
, ( ) -
( )
( )
Jadi, terbukti bahwa merupakan penduga tak bias dari .
Definisi 2.41. Bias Penduga Titik
Bias dari penduga titik ̂ adalah
( ̂) ( ̂) .
Definisi 2.42. Rata-Rata Kuadrat Galat Penduga Titik
Rata-rata kuadrat galat (Mean Squared Error) dari penduga titik ̂ adalah
( ̂) 0( ̂ ) 1
Definisi 2.43. Variansi Penduga Titik
Variansi dari penduga titik ̂ adalah
( ̂) [. ̂ ( ̂)/
]
Teorema 2.26
Jika ̂ merupakan penduga , maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
54
( ̂) ( ̂) [ ( ̂)]
Bukti:
( ̂) 0( ̂ ) 1
0( ̂ ( ̂) ( ̂) ) 1
{0. ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) )1
}
[. ̂ ( ̂)/
. ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) ) ( ( ̂) ) ]
[. ̂ ( ̂)/
] 0 . ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) )1
0( ( ̂) ) 1
( ̂) 0. ̂ ( ̂)/ ( ( ̂) )1 [ ( ̂)]
( ̂) [ ( ̂)]
( ̂) [ ( ̂)]
Definisi 2.44. Galat Baku
Galat baku (Standard Error) dari penduga titik ̂, dinotasikan dengan
( ̂) √ ( ̂)
Teorema 2.27
Variansi dari penduga titik ̂ memenuhi
( ̂) ( ̂ ) [ ( ̂)]
Bukti:
( ̂) [. ̂ ( ̂)/
]
[ ̂ ̂ ( ̂) . ( ̂)/
]
( ̂ ) [ ̂ ( ̂)] [ ( ̂)]
( ̂ ) ( ̂) ( ̂) [ ( ̂)]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
55
( ̂ ) [ ( ̂)] [ ( ̂)]
( ̂ ) [ ( ̂)]
E. Istilah-Istilah dalam Penarikan Sampel
Sampel yang baik harus representatif yang berarti karakteristik dari populasi
dapat diwakili atau diduga dari sampel dengan derajat akurasinya yang diketahui.
Berikut akan disebutkan beberapa istilah dalam penarikan sampel beserta
definisinya.
Definisi 2.45. Populasi
Populasi merupakan kumpulan/agregat dari elemen-elemen, dengan kesimpulan
akan dibuat.
Contoh 2.35
Sebuah partai politik A ingin mengetahui dengan proporsi suara yang mungkin
didapatkan sehingga sebagai evaluasi apakah perkiraannya masuk dalam
pemilihan daerah. Populasinya merupakan kumpulan semua pemilih yang
terdaftar di daerah tersebut.
Perlu dicatat bahwa populasi yang sama akan memiliki himpunan
pengukuran yang berbeda untuk variabel yang berbeda yang akan dipelajari.
Populasi disebut berhingga atau tidak berhingga, tergantung pada banyaknya
unit-unit dari populasi. Populasi pemilih yang terdaftar dalam contoh 2.35
merupakan populasi berhingga. Populasi air dalam tangki atau lembaran logam
dapat dipertimbangkan sebagai populasi tidak berhingga berdasarkan dari jumlah
molekulnya.
Definisi 2.46. Sampel
Sampel merupakan himpunan bagian dari populasi yang dipilih dari kerangka
penarikan sampel untuk menarik kesimpulan tentang karakteristik populasi.
Banyaknya unit yang dipilih untuk sampel kurang dari ukuran populasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
56
Contoh 2.36
Dari contoh 2.35, pilihan untuk partai A hanya akan ditanyakan dari pemilih yang
terdaftar dan terpilih sebagai sampel. Informasi ini kemudian akan digunakan
untuk menentukan penduga proporsi semua suara (populasi) yang didapatkan
partai A.
Definisi 2.47. Unit Pengamatan
Unit pengamatan merupakan sebuah obyek yang akan diukur, yang merupakan
unit dasar pengamatan, dapat disebut sebagai elemen.
Dalam mempelajari populasi manusia, unit-unit pengamatan sering kali
merupakan individual-individual.
Contoh 2.37
Survei nasional korban kekerasan dimaksudkan untuk mempelajari tingkat
korban. Survei dikelola oleh biro sensus U.S. dan biro statistik keadilan. Jika
karakteristik yang dipelajari merupakan jumlah total penghuni rumah di U.S. yang
menjadi korban kejahatan tahun lalu, maka elemen-elemennya merupakan
penghuni rumah dapat menjadi unit pengamatan.
Definisi 2.48. Populasi Sasaran
Populasi sasaran merupakan himpunan yang lengkap dari pengamatan yang ingin
dipelajari.
Contoh 2.38
Dari contoh 2.37, yang menjadi populasi sasaran adalah semua penghuni rumah di
U.S.
Definisi 2.49. Kerangka Sampel
Kerangka sampel merupakan daftar, peta, atau rincian lain dari unit penarikan
sampel dalam populasi yang mungkin terpilih.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
57
Contoh 2.39
Dari contoh 2.35, jika pemilih individual diambil sebagai unit penarikan sampel
maka daftar semua pemilih terdaftar akan menjadi kerangka penarikan sampel. Di
lain sisi, jika rumah diambil sebagai unit penarikan sampel maka daftar semua
rumah, diperoleh setelah menyusun daftar rumah yang berada di desa dan kota
yang berbeda daerah, dapat disajikan sebagai kerangka penarikan sampel untuk
memilih sampel rumah.
Hal ini menunjukkan bahwa mungkin tidak semua unit penarikan sampel
dari populasi termasuk dalam kerangka penarikan sampel pada waktu tertentu,
daftar unit-unit tidak diperbarui setiap hari. Jika kerangka penarikan sampel
merupakan daftar pemilih terdaftar, hal ini mungkin termasuk beberapa pemilih
yang telah meninggal sekarang, dan mungkin tidak termasuk nama-nama orang
yang sudah layak untuk memilih.
Definisi 2.50. Populasi yang Disampel (Sampled Population)
Populasi yang disampel merupakan kumpulan semua kemungkinan unit-unit
pengamatan yang dapat dipilih sebagai sampel. Secara ringkas populasi yang
disampel adalah populasi darimana sampel diambil.
Contoh 2.40
Dari contoh 2.37, populasi yang disampel adalah himpunan semua penghuni
rumah dalam kerangka sampel yang memiliki ijin membangun rumah, yang
berada di rumah dan setuju untuk menjawab pertanyaan.
Definisi 2.51. Unit Penarikan Sampel
Unit penarikan sampel merupakan unit yang dapat dipilih sebagai sampel. Untuk
mempelajari individu, tidak perlu daftar semua individu dalam populasi sasaran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
58
Contoh 2.41
Dari contoh 2.35, elemennya merupakan seorang pemilih terdaftar. Namun,
karena pertimbangan biaya atau keefektifan waktu, seseorang dapat menarik
sampel rumah di daerah tempat pemilih terdaftar, dan menanyakan pilihan semua
pemilih terdaftar yang rumahnya menjadi sampel. Dalam situasi seperti itu,
rumah merupakan unit penarikan sampel dan banyaknya elemen-elemen setiap
unit penarikan sampel bisa nol, satu, atau lebih tergantung banyaknya pemilih
terdaftar disetiap rumah yang menjadi sampel. Jika setiap unit penarikan sampel
terdiri dari satu elemen, maka unit penarikan sampel dan elemen identik.
Dalam survei yang ideal, populasi yang disampel akan identik dengan
populasi sasaran, tetapi hal tersebut jarang ditemui. Dalam survei orang, populasi
yang disampel biasanya lebih kecil daripada populasi sasaran. Pada gambar 2.6
dalam contoh 2.42 diilustrasikan tidak semua orang dalam populasi sasaran
termasuk dalam kerangka penarikan sampel, dan jumlah orang yang tidak
menanggapi survei.
Contoh 2.42
Jajak pendapat masyarakat sering kali digunakan untuk memperkirakan kandidat
mana yang akan menang pada pemilihan selanjutnya. Gambar 2.6 merupakan
populasi sasaran dan populasi yang disampel dalam sebuah survei telepon calon
pemilih. Populasi sasarannya merupakan calon pemilih yang terdaftar untuk
memilih dalam pemilihan selanjutnya, namun tidak semua rumah memiliki
telepon, sehingga jumlah orang dalam populasi sasaran yang merupakan calon
pemilih yang tidak memiliki telepon tidak akan berada dalam kerangka sampel.
Beberapa rumah dengan telepon, penghuninya tidak terdaftar dalam pemilihan
dan karenanya tidak memenuhi ketentuan untuk survei. Beberapa orang yang
memenuhi ketentuan berada dalam kerangka penarikan sampel populasi tidak
merespon karena tidak dapat dihubungi, beberapa menolak untuk merespon, dan
beberapa mungkin sakit dan tidak mampu merespon. Populasi yang disampel
merupakan calon pemilih yang menanggapi telepon dan yang dinilai mungkin
akan memilih dalam pemilihan selanjutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
59
Gambar 3.1
A. Kerangka Penarikan Sampel Probabilitas
F. Probabilitas Inklusi
Dalam penarikan sampel probabilitas, diperlukan daftar sebanyak unit
dalam populasi berhingga. Populasi berhingga atau semesta dari unit
dinotasikan dengan himpunan indeks
* +
Dari populasi dapat dipilih sampel, yang merupakan himpunan bagian dari .
Sampel yang terpilih dinotasikan dengan , himpunan bagian yang terdiri dari
unit di .
Dalam penarikan sampel probabilitas, karena setiap sampel yang mungkin dengan
probabilitasnya telah diketahui akan menjadi sampel yang terpilih, setiap unit
dalam populasi yang probabilitasnya diketahui akan muncul dalam sampel
terpilih. Didefinisikan
(unit ke-i dalam sampel)
yaitu probabilitas bahwa unit berada dalam sampel. dapat dihitung dengan
menjumlahkan probabilitas dari semua kemungkinan sampel yang memuat unit .
Populasi
Kerangka Penarikan
Populasi Sasaran Sampel Populasi
Tidak termasuk
dalam kerangka
sampel
(Terdaftar tetapi
tidak memiliki
telepon)
Tidak dapat
dihubungi
Tidak
memenuhi
Menolak ketentuan
menanggapi (Memiliki
telepon
tetapi tidak
Tidak mampu terdaftar)
menanggapi
Populasi yang disampel
(Memiliki telepon dan
mau menanggapi)
Gambar 2.6 Bagan Populasi untuk Survei Calon Pemilih
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
60
diketahui sebelum dilakukan survey, dan diasumsikan untuk setiap unit
dalam populasi. dapat disebut probabilitas inklusi. Dalam penarikan sampel
probabilitas, probabilitas inklusi digunakan untuk menentukan titik pendugaan
seperti, ̂ dan ̅. Contoh 2.43 akan memperjelas cara menghitung .
Contoh 2.43
Diketahui sebuah populasi memiliki 4 unit. Sehingga,
* +
Bila diambil sampel dengan ukuran 2 tanpa pengembalian, akan didapatkan
( ) kemungkinan sampel berikut:
* + * + * + * + * + * +,
didapatkan masing-masing: ( ) ( ) ⁄
Sehingga,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
G. Sampel Acak Sederhana
Definisi 2.52. Penarikan Sampel Acak Sederhana
Penarikan sampel acak sederhana merupakan metode pemilihan unit dari
sedemikan sehingga setiap unit dari sampel yang berbeda memiliki
kesempatan yang sama untuk diambil sebagai sampel.
Metode penarikan sampel acak sederhana merupakan dasar dari penarikan
sampel probabilitas. Dalam penerapannya, sampel acak sederhana diambil per
unit. Unit-unit dalam populasi dinomori dari 1 hingga . Barisan bilangan acak
antara 1 dan diambil dengan tabel bilangan acak atau dengan program
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
61
komputer yang dapat menghasilkan bilangan acak. Unit-unit yang termasuk
dalam merupakan sampel. Pada setiap penarikan sampel, setiap unit-unit dalam
populasi yang belum terambil harus memiliki kesempatan yang sama untuk
terpilih. Terdapat dua cara penarikan sampel acak sederhana, yaitu dengan
pengembalian dengan unit yang sama dapat terambil sebagai sampel lebih dari
satu kali dan tanpa pengembalian dengan semua unit yang terambil sebagai
sampel berbeda. Dalam tugas akhir ini metode yang digunakan adalah
pengambilan sampel tanpa pengembalian, sehingga akan lebih banyak dibahas
teori yang berkaitan dengan penarikan sampel acak sederhana tanpa
pengembalian.
Definisi 2.53. Penarikan Sampel Acak Seder