Probabilitas

Oleh Azimmatul Ihwah

Teori Probabilitas

• Life is full of uncertainty

• Dimana terkadang kita tidak tahu apa yang akan terjadi semenit kemudian.

• Namun suatu kejadian dapat diperkirakan lebih sering terjadi daripada kejadian yang lain. Contohnya hujan akan lebih sering turun di daerah Bogor dibandingkan dengan Samarinda.

Teori Probabilitas • Munculnya teori probabilitas berawal dari tempat

judi.

• Banyak para penjudi dahulu kala bertanya bagaimana caranya memenangkan perjudian pada para matematikawan.

• Tetapi pada masa sekarang ilmu probabilitas banyak dimanfaatkan dalam berbagai bidang, contohnya peramalan curah hujan, penentuan harga saham

Eksperimen, Ruang Sampel dan Kejadian

• Eksperimen merupakan setiap proses yang menghasilkan data mentah (raw data).

• Ruang sampel adalah himpunan semua peristiwa yang terjadi dalam eksperimen.

• Kejadian adalah jika dalam suatu eksperimen kita tertarik pada satu ‘kejadian’ saja.

• Contoh eksperimen pengambilan bola dalam kotak dimana kesepuluh bola yang ada diberi nomor 1-10. Ruang sampel disimbolkan dengan S = {1,2,3,…,10}. Jika A merupakan himpunan bola bernomor prima, maka A = {2,3,5,7} yg merupakan subset dari S dan A merupakan kejadian dalam ruang sampel S.

• Banyaknya anggota dalam ruang sampel disimbolkan dengan n(S)

• Banyak anggota dalam kejadian A disimbolkan dengan n(A)

Ruang Sampel Diskrit dan Ruang Sampel Kontinu

• Ruang sampel kontinu bila anggotanya berada dalam interval. Contoh S = {x|10<x<11}, S = {x|x>0}

• Ruang sampel diskrit bila anggotanya terhitung. Contoh S = {rendah,tinggi,sedang}, S = {2,4,6,8,10}

Diagram Pohon (Tree Diagrams)

• KASUS: suatu pesan penting akan dikirimkan kepada pimpinan dengan cara berantai. Orang pertama akan mengirimkan ke orang kedua, orang kedua mengirim pesan ke orang ketiga dan orang ketiga akan langsung menyampaikan pesan ke pimpinan. Jika sifat pengiriman pesan dari orang 1 ke orang berikutnya adalah terlambat atau on time, untuk memudahkan pendataan ruang sampel dapat terlebih dahulu membuat diagram pohon

Diagram pohon

• Jadi S = {(o,o,o),(o,o,l),(o,l,o),(o,l,l),(l,o,o),(l,o,l),(l,l,o),(l,l,l)}

Diskusikan

• Sebuah perusahaan automobile menyediakan mobil dengan perlengkapan yang dapat dipilih. Setiap mobil yang ditawarkan

1. Dengan atau tanpa automatic tranmission

2. Dengan atau tanpa AC

3. Dengan satu dari tiga pilihan sistem stereo

4. Dengan satu dari 4 pilihan warna eksterior

Buat diagram pohon tipe-tipe kendaraan yang mungkin berdasarkan perlengkapan yang ditawarkan!berapa n(S)?

Union (gabungan), Intersection (Irisan) dan Complement (Komplemen)

• Union dari dua kejadian A dan kejadian B merupakan kejadian yang anggotanya merupakan anggota kejadian A atau anggota kejadian B. Disimbolkan 𝐴 ∪ 𝐵.

• Irisan dari dua kejadian A dan B merupakan kejadian yang anggotanya harus merupakan anggota dua kejadian tersebut. Disimbolkan 𝐴 ∩ 𝐵.

• Komplemen dari suatu kejadian A adalah himpunan peristiwa dalam ruang sampel yang bukan merupakan anggota dari suatu kejadian tersebut. Disimbolkan 𝐴′.

Diskusikan

Ruang sampel . Jika 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, 𝐸4, 𝐸5 adalah kejadian-kejadian dalam ruang sampel S, dan ,

, tentukan

a. b. c. 𝐸2 ∪ 𝐸5 d. 𝐸2 ∩ 𝐸5

e. 𝐸3 ∩ 𝐸5 f. 𝐸4 ∪ 𝐸5 g. 𝐸1′ h. 𝐸5

′

Kejadian Saling Asing (mutually exclusive)

• Dua kejadian A dan B dinamakan dua kejadian saling asing jika 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

• Contoh dalam pengambilan bola bernomor 1-10, jika kejadian A adalah kejadian terambil bola bernomor genap dan B adalah kejadian terambil bola bernomor ganjil, maka kejadian A dan B saling asing. Jika digambarkan dalam diagram

Diskusikan • 50 sampel plastik karbonat dianalisis mengenai

scratch dan shock resistansinya dengan hasil sebagai berikut :

Jika A adalah kejadian bahwa sampel mempunyai shock resistansi yang tinggi dan B adalah kejadian bahwa sampel mempunyai scratch resistansi yang tinggi, maka tentukan n(𝐴 ∩ 𝐵), n(𝐴′), n(𝐴 ∪𝐵), n(𝐵′)!apakah A dan B saling asing?

Probabilitas

• Konsep probabilitas yang akan dibahas pada bab ini adalah probabilitas pada ruang sampel diskrit.

• Definisi

Suatu kejadian A yang merupakan subset ruang sampel S, maka probabilitas terjadinya kejadian A dihitung dengan

𝑃 𝐴 =𝑛 𝐴

𝑛 𝑆

Aksioma Probabilitas • Bila S adalah ruang sampel dan A adalah sebarang

kejadian dalam eksperimen, maka

1. P(S) = 1

2. 0≤ P(A) ≤ 1

3. Jika dua kejadian A dan B saling asing dengan 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

Lebih umum jika terdapat kejadian berhingga ataupun tak hingga 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … yang saling asing, maka

𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ ⋯ = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐴3 + ⋯

Following Results

• Jika kejadian A merupakan himpunan kosong maka

𝑃 ∅ = 0 • Jika A adalah suatu kejadian dalam ruang sampel

S maka 𝑃 𝐴′ = 1 − 𝑃 𝐴

• Untuk setiap kejadian A dan B dalam ruang sampel S berlaku

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 • Jika A dan B kejadian dalam ruang sampel S

dengan 𝐴 ⫃ 𝐵 maka 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵

Definisi • Untuk ruang sampel diskrit, probabilitas

kejadian A, dinotasikan dengan P(A), merupakan jumlahan probabilitas dari outcomes (peristiwa) yang terjadi dalam A.

Contoh (DISKUSIKAN)

Dari suatu eksperimen menghasilkan outcomes {a,b,c,d} dengan probabilitas masing-masing 0.1,0.3,0.5 dan 0.1. Jika A= {a,b}, B = {b,c,d} dan C = {d},tentukan

𝑃 𝐴 , 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐶 , 𝑃 𝐴′ , 𝑃 𝐵′ , 𝑃 𝐶′ , 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 , 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 , 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶

KASUS

• Dalam proses manufaktur, 10% hasil produksi mengandung surface flaws, dan 25% dari hasil yang mengandung surface flaws bersifat defektif, sedangkan hasil produksi yang tidak mengandung surface flaws hanya 5% yang bersifat defektif.

Misalkan D merupakan kejadian hasil produksi bersifat defektif dan F merupakan kejadian hasil produksi mengandung surface flaws, jika ditanyakan probabilitas kejadian D dengan lebih dulu diketahui bahwa hasil produksi mengandung surface flaws maka disimbolkan dengan 𝑃 𝐷|𝐹

Jawab Kasus

• Jika digambarkan

• Dapat ditentukan bahwa 𝑃 𝐷|𝐹 = 0.25 dan 𝑃 𝐷 𝐹′ = 0.05

Diskusikan

• Kasus serupa contoh, dengan data sebagai berikut:

• Tentukan : 𝑃 𝐷|𝐹 , 𝑃 𝐷|𝐹′ , 𝑃 𝐹|𝐷 , 𝑃 𝐹|𝐷′

Diagram Pohon dari Kasus di Atas

• Tree diagram

Probabilitas Kondisional

• Definisi: notasi 𝑃 𝐵|𝐴 disebut probabilitas kondisional dari kejadian 𝐵 jika diberikan kejadian 𝐴, yaitu

𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴

Probabilitas kondisional hasil produksi bersifat defektif dengan terlebih dahulu diketahui bahwa yang terambil mengandung surface flaws adalah

Diskusikan 1. Sebuah perusahaan AC melakukan kontrol produksi dengan menganalisis AC keluarannya, diperoleh data sebagai berikut :

Hitung probabilitas

a. Tidak terjadinya gas leaks

b. Terjadi electrical failure jika diketahui telah terjadi gas leaks

c. Terjadi gas leaks jika diketahui telah terjadi electrical failure

Diskusikan 2. A batch of 500 containers for frozen orange juice contains 5 that are defective. Two are selected, at random, without replacement from the batch.

A. What is the probability that the second one selected is defective given that the first one was defective?

B. What is the probability that both are defective?

C. What is the probability that both are acceptable?

Teorema Perkalian Probabilitas

• Definisi probabilitas kondisional dapat disajikan ulang dalam bentuk yang lebih umum untuk probabilitas irisan dua kejadian A dan B, yaitu

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵

Teorema Probabilitas Total

• A dan A’ merupakan kejadian yang saling asing, jika terdapat kejadian B yang merupakan gabungan kejadian B di dalam A dengan kejadian B di dalam A’, yaitu 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴′ . Jika digambarkan

Teorema Probabilitas Total

• Probabilitas total dari dua kejadian A dan B adalah

𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴′= 𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵|𝐴′ 𝑃 𝐴′

Teorema Probabilitas Total dari k Kejadian

• Jika 𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑘 merupakan k kejadian saling asing dan 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ ⋯ ∪ 𝐸𝑘 = 𝑆, maka

𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐸1 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐸2 + ⋯ + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐸𝑘

= 𝑃 𝐵|𝐸1 𝑃 𝐸1 + 𝑃 𝐵|𝐸2 𝑃 𝐸2 + ⋯+ 𝑃 𝐵|𝐸𝑘 𝑃 𝐸𝑘

Misal gambar untuk 4 kejadian

Diskusikan • Dalam suatu perusahaan manufaktur semi

konduktor, probabilitas terkontaminasi dibagi dalam 3 level:tinggi, sedang dan rendah dengan probabilitas masing-masing 0,2; 0,3 dan 0,5. Selanjutnya probabilitas kegagalan produk tiap level disajikan sebagai berikut

• Jika F merupakan kejadian terjadinya kegagalan produk, maka tentukan 𝑃 𝐹 !

Kejadian Saling Bebas • Biasa disebut pula dengan kejadian saling

independen.

• Dimana pada kasus tertentu, muncul atau tidaknya kejadian A tidak mempengaruhi muncul atau tidaknya kejadian B, begitu pula sebaliknya.

• Jadi, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵

• Sehingga 𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐵∩𝐴

𝑃 𝐴=

𝑃 𝐵 𝑃 𝐴

𝑃 𝐴= 𝑃 𝐵

Atau 𝑃 𝐴|𝐵 =𝑃 𝐴∩𝐵

𝑃 𝐵=

𝑃 𝐴 𝑃 𝐵

𝑃 𝐵= 𝑃 𝐴

Contoh

• Dalam suatu sirkuit, terdapat aliran dari a ke b, dimana terdapat dua jalur yaitu atas dan bawah dari a menuju ke b. Digambarkan sebagai berikut:

Jika T merupakan kejadian melalui jalur atas dan B merupakan kejadian melalui jalur bawah maka Tentukan 𝑃 𝑇 ∪ 𝐵 dengan asumsi T dan B independen

Teorema Bayes • Dari probabilitas kondisional

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴

• Maka

𝑃 𝐴|𝐵 =𝑃 𝐵|𝐴 𝑃 𝐴

𝑃 𝐵

• Untuk 𝐸1, 𝐸2, … , 𝐸𝑘 merupakan k kejadian saling asing dan 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ ⋯ ∪ 𝐸𝑘 = 𝑆, dimana B adalah sebarang kejadian, dengan menggunakan Teorema Probabilitas total maka diperoleh Teorema Bayes :

Diskusikan

Customers are used to evaluate preliminary product design. In the past, 95% of successsful products received good reviews, 60% of moderately products received good reviews, and 10% of poor products received good reviews. In addition, 40% of products have been highly successful, 35% of products have been moderately successful and 25% of products have been poor products.

a. What is the probability that a products attains a good review?

b. If a new design attains a good review, what is the probability that it will be a highly a successful product?

c. If a product doesn’t attain a good review, what is the probability that it will be a highly successful product?

Teknik Sampling

• Teknik pengambilan sampel

• Dibagi menjadi 2:

1. Probability Sampling • Anggota populasi memiliki peluang sama

• Sampel dipilih berdasarkan peluang

2. Non-probability Sampling • Anggota populasi tidak mempunyai peluang sama

• Sampel dipilih berdasarkan pertimbangan peneliti

Teknik Sampling

Probability Sampling

Simple Random Sampling

Systematic Sampling

Disproportionate Stratified Random

Sampling Proportionate

Stratified Random Sampling

Cluster Sampling

Non Probability Sampling

Sampling Purposif

Sampling Kuota

Sampling Aksidental

Sampling Jenuh

Snowball Sampling

Teknik Sampling

Probability Sampling

Dibagi menjadi 5: 1. Simple Random Sampling

▪ acak tanpa memperhatikan strata dalam populasi

▪ Anggota populasi dianggap homogen

2. Systematic Sampling ▪ Titik awal pengambilan sampel dilakukan secara acak

kemudian pengambilan sampel berikutnya diambil mengikuti deret bilangan tertentu (dengan selang tertentu) sampai jumlahnya mencapai target yang diinginkan

Probability Sampling (cont.)

3. Proportioned Stratified Sampling • Anggota populasi tidak homogen (antar strata) dan

berstrata secara proporsional

4. Disporportioned Stratified Sampling • Anggota populasi berstrata tapi kurang proporsional

5. Cluster Sampling • Objek yang akan diteliti sangat luas • Populasi antar cluster harus homogen • Populasi dalam cluster harus heterogen

Non-probability Sampling

Dibagi menjadi 5: 1. Convenience Sampling

▪ Sampel yang dipilih adalah yang mudah dihubungi, dikenal dan mau bekerjasama

2. Accidental Sampling ▪ Penentuan sampel berdasarkan kebetulan, yaitu siapa

saja yang secara kebetulan bertemu dengan peneliti

Non-probability Sampling (cont.)

3. Purposive Sampling ▪ Sampel dipilih berdasarkan pertimbangan sesuai

dengan tujuan penelitian

4. Quota Sampling ▪ Menentukan sampel dari populasi yang memiliki ciri-ciri

tertentu sampai jumlah kuota yang diinginkan

5. Snowball Sampling Jika informasi tentang populasi hanya sedikit. Sampel

dipilih dari sampel terdahulu