PROBABILITAS DAN STATISTIKA
16
UPT SAM Sesi 2. UJI HIPOTESIS DUA RATAAN Mata Kuliah MAS2001 PROBABILITAS DAN STATISTIKA Sarjana Informatika Sarjana Manajemen Rekayasa Sarjana Sistem Informasi Sarjana Teknik Bioproses Yoli Agnesia, S.Pd, M.Si
Transcript of PROBABILITAS DAN STATISTIKA
Pengujian HipotesisSarjana Sistem Informasi Sarjana Teknik
BioprosesYoli Agnesia, S.Pd, M.Si
SUB TOPIK
2. Uji Hipotesis Dua Rataan (variansi sama dan tidak diketahui)
3. Uji Hipotesis Dua Rataan (variansi beda dan tidak diketahui)
4. Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
2
REFERENSI
Buku Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, edisi ke-4
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
3
Uji Hipotesis Dua Rataan
Uji hipotesis dua rata-rata adalah uji statistik yang digunakan untuk mengetahui apakah dua populasi memiliki rata-rata yang sama dengan, atau selisih rata-rata nya lebih kecil atau lebih besar dari suatu nilai tertentu sesuai dengan hipotesis yang telah ditetapkan.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
4
Prosedur Pengujian Hipotesis :
1. Tuliskan hipotesis nol 0 2. Pilih hipotesis tandingan 1 3. Pilih taraf signifikansi berukuran
4. Pilih uji statistik yang sesuai dan tentukan daerah kritisnya.
5. Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel
6. Keputusan :
-Tolak 0, bila uji statistik tersebut mempunyai nilai dalam daerah kritis, atau sebaliknya
-Tolak 0, bila p-value lebih kecil atau sama dengan taraf keberartian α yang ditentukan, atau
sebaliknya terima 0.
5
Zα→ Nilai z tabel pada α tertentu
• Z5% = Z0,05 = 1,645 • Z10% = Z0,10 = 2,33 • Z2,5% = Z0,025 = 1,96 • Z0,5% = Z0,005 = 2,575
tdb;α → Nilai t tabel pada α dan derajat bebas (db)
db = derajat bebas = degree of freedom (df) Dua populasi→ rumusnya disesuaikan dengan informasi mengenai variansi kedua populasi
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
6
Contoh Soal:
Suatu sampel acak berukuran 25 diambil dari populasi normal dengan simpangan baku 5,2, mempunyai rataan 81 . Sampel kedua berukuran 36,diambil dari populasi normal yang lain dengan simpangan baku 3,4, mempunyai rataan 76. Ujilah hipotesis bahwa kedua rataan sama, dengan taraf kerpercayaan 95%. Dan berapa nilai-P?
Penyelesaian:
1. Rumusan hipotesis nol 0 µ1 = µ2
2. Rumusan hipotesis tandingan 1: µ1 ≠ µ2 (uji dua arah kiri)
3. Tingkat signifikansi berukuran = 5% = 0,05
4. Karena variansi kedua populasi diketahui, maka digunakan uji statistik z. Titik kritis z0.025 = 1,96 dan
-z0.025 = -1,96 . Daerah Kritis z < -1,96 atau z >-1.96
5. Nilai uji statistik
Pengambilan keputusan menggunakan p-value, P=2[P(Z<4,221)]=0,0000…<0,05
6. Keputusan : karena nilai P< , maka tolak 0. Artinya, dengan tingkat kepercayaan 95% sudah cukup bukti untuk menyatakan bahwa kedua rata-rata tidak sama.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
7
Contoh Soal:
Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gesekan dua bahan yang diberikan lapisan. Dua belas potong bahan I diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan II diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan I rata-ratanya 85 satuan dan simpangan bakunya 4, sedangkan sampel bahan II rata-ratanya 81 satuan dan simpangan bakunya 5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada tingkat signifikansi 0,05, keausan bahan I melampaui bahan II sebanyak lebih dari 2 satuan. Anggap kedua populasi hampir normal dengan variansi yang sama.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
8
Penyelesaian:
1. Rumusan hipotesis nol 0 µ1 − µ2 = 2
2. Rumusan hipotesis tandingan 1: µ1 − µ2 > 2 (uji satu arah kiri)
3. Tingkat signifikansi berukuran = 5% = 0,05
4. Karena variansi populasi sama dan tidak diketahui, maka digunakan uji statistik t. Titik kritis t20;0.05 = 1,725, dengan db=12+10-2=20. Daerah Kritis t > 1.725
5. Nilai uji statistik
Pengambilan keputusan menggunakan nilai uji statistit t=1,04<1,725 (Daerah penerimaan 0)
6. Keputusan : karena , t< t20;0.05 ,maka terima 0atau jangan tolak 0. Artinya tidak dapat disimpulkan bahwa keausan bahan I melampaui bahan 2 lebih 2 satuan.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
9
Uji Hipotesis Dua Rataan (variansi beda dan tidak diketahui)
Contoh Soal: Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gesekan dua bahan yang diberikan lapisan. Dua belas potong bahan I diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan II diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan I rata- ratanya 85 satuan dan simpangan bakunya 4, sedangkan sampel bahan II rata-ratanya 81 satuan dan simpangan bakunya 5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada tingkat signifikansi 0,05, keausan bahan II melampaui bahan I sebanyak lebih dari 2 satuan. Anggap kedua populasi hampir normal dengan variansi yang berbeda.
Untuk penyelesaiannya silahkan dicoba masing-masing sebagai latihan.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
10
11
Uji hipotesis dua rataan data berpasangan adalah uji statistik yang digunakan untuk mengetahui apakah suatu pengamatan (dari data berpasangan) memiliki rata-rata yang sama dengan, atau selisih rata-rata nya lebih kecil atau lebih besar dari suatu nilai tertentu sesuai dengan hipotesis yang telah ditetapkan.
Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan
Prosedur Pengujian Hipotesis
1. Tuliskan hipotesis nol 0 2. Pilih hipotesis tandingan 1 3. Pilih taraf signifikansi berukuran
4. Pilih uji statistik yang sesuai dan tentukan daerah kritisnya.
5. Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel
6. Keputusan :
-Tolak 0, bila uji statistik tersebut mempunyai nilai dalam daerah kritis, atau sebaliknya
-Tolak 0, bila p-value lebih kecil atau sama dengan taraf keberartian α yang ditentukan, atau
sebaliknya terima 0.
12
Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan
Contoh soal: Dari penelitian ‘Comparison of Sorbic Acid in Country Ham Before and After Storage’ yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1983, diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam bagian per sejuta, dalam daging ham segera setelah dicelupkan dalam larutan sorbat dan setelah disimpan 60 hari dicatat dalam Tabel 1. Anggap populasi asam sorbat dalam ham sebelum dan sesudah disimpan setelah 60 hari berdistribusi normal, apakah terdapat kenyataan yang cukup, pada taraf keberartian 0,05, untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan memperngaruhi konsentrasi sisa asam sorbat?
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
13
disimpan (1)
Setelah
disimpan (2) 1 224 116 2 270 96 3 400 239 4 444 329 5 590 437 6 660 597 7 1400 689 8 680 576
Tabel 1. Sisa Asam Sorbat Dalam Ham
Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan
Penyelesaian:
1. Rumusan hipotesis nol 0 µ1 = µ2 atau 0 µ = µ1 − µ2 = 0
2. Rumusan hipotesis tandingan 1: µ1 ≠ µ2 atau µ = µ1 − µ2 ≠ 0 (uji dua arah kiri)
3. Tingkat signifikansi berukuran = 5% = 0,05
4. Karena variansi populasi tidak diketahui, yang diketahui adalah ragam sampel, dan pengamatanya berpasangan maka yang digunakan adalah statistik uji t berpasangan (paired). Titik kritis -t7;0.025 =-2,365 dan t7;0.025 =2,365. Daerah Kritis t < -t7;0.025 atau t > t7;0.025
5. Nilai uji statistik
Pengambilan keputusan menggunakan nilai uji statistit t=2,673 > 2,365
6. Keputusan : karena , t > t7;0.025 ,maka tolak 0 . Artinya dapat disimpulkan bahwa terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan memperngaruhi konsentrasi sisa asam sorbat dalam daging ham.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
14
= (108+174+161+115+153+63+711+104) / 8
= 1589 / 8 = 198.62
Daerah kritis
( ) ( ) ( )( ) 4.44169
)18(8
25249216248018
of freedom, tails]
of freedom, tails]
15
2. Silahkan cari satu contoh soal pengujian hipotesis dua rataan dari 2 populasi dengan variansi Populasi diketahui, lalu selesaikan.
3.
4.
16
SUB TOPIK
2. Uji Hipotesis Dua Rataan (variansi sama dan tidak diketahui)
3. Uji Hipotesis Dua Rataan (variansi beda dan tidak diketahui)
4. Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
2
REFERENSI
Buku Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, edisi ke-4
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
3
Uji Hipotesis Dua Rataan
Uji hipotesis dua rata-rata adalah uji statistik yang digunakan untuk mengetahui apakah dua populasi memiliki rata-rata yang sama dengan, atau selisih rata-rata nya lebih kecil atau lebih besar dari suatu nilai tertentu sesuai dengan hipotesis yang telah ditetapkan.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
4
Prosedur Pengujian Hipotesis :
1. Tuliskan hipotesis nol 0 2. Pilih hipotesis tandingan 1 3. Pilih taraf signifikansi berukuran
4. Pilih uji statistik yang sesuai dan tentukan daerah kritisnya.
5. Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel
6. Keputusan :
-Tolak 0, bila uji statistik tersebut mempunyai nilai dalam daerah kritis, atau sebaliknya
-Tolak 0, bila p-value lebih kecil atau sama dengan taraf keberartian α yang ditentukan, atau
sebaliknya terima 0.
5
Zα→ Nilai z tabel pada α tertentu
• Z5% = Z0,05 = 1,645 • Z10% = Z0,10 = 2,33 • Z2,5% = Z0,025 = 1,96 • Z0,5% = Z0,005 = 2,575
tdb;α → Nilai t tabel pada α dan derajat bebas (db)
db = derajat bebas = degree of freedom (df) Dua populasi→ rumusnya disesuaikan dengan informasi mengenai variansi kedua populasi
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
6
Contoh Soal:
Suatu sampel acak berukuran 25 diambil dari populasi normal dengan simpangan baku 5,2, mempunyai rataan 81 . Sampel kedua berukuran 36,diambil dari populasi normal yang lain dengan simpangan baku 3,4, mempunyai rataan 76. Ujilah hipotesis bahwa kedua rataan sama, dengan taraf kerpercayaan 95%. Dan berapa nilai-P?
Penyelesaian:
1. Rumusan hipotesis nol 0 µ1 = µ2
2. Rumusan hipotesis tandingan 1: µ1 ≠ µ2 (uji dua arah kiri)
3. Tingkat signifikansi berukuran = 5% = 0,05
4. Karena variansi kedua populasi diketahui, maka digunakan uji statistik z. Titik kritis z0.025 = 1,96 dan
-z0.025 = -1,96 . Daerah Kritis z < -1,96 atau z >-1.96
5. Nilai uji statistik
Pengambilan keputusan menggunakan p-value, P=2[P(Z<4,221)]=0,0000…<0,05
6. Keputusan : karena nilai P< , maka tolak 0. Artinya, dengan tingkat kepercayaan 95% sudah cukup bukti untuk menyatakan bahwa kedua rata-rata tidak sama.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
7
Contoh Soal:
Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gesekan dua bahan yang diberikan lapisan. Dua belas potong bahan I diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan II diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan I rata-ratanya 85 satuan dan simpangan bakunya 4, sedangkan sampel bahan II rata-ratanya 81 satuan dan simpangan bakunya 5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada tingkat signifikansi 0,05, keausan bahan I melampaui bahan II sebanyak lebih dari 2 satuan. Anggap kedua populasi hampir normal dengan variansi yang sama.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
8
Penyelesaian:
1. Rumusan hipotesis nol 0 µ1 − µ2 = 2
2. Rumusan hipotesis tandingan 1: µ1 − µ2 > 2 (uji satu arah kiri)
3. Tingkat signifikansi berukuran = 5% = 0,05
4. Karena variansi populasi sama dan tidak diketahui, maka digunakan uji statistik t. Titik kritis t20;0.05 = 1,725, dengan db=12+10-2=20. Daerah Kritis t > 1.725
5. Nilai uji statistik
Pengambilan keputusan menggunakan nilai uji statistit t=1,04<1,725 (Daerah penerimaan 0)
6. Keputusan : karena , t< t20;0.05 ,maka terima 0atau jangan tolak 0. Artinya tidak dapat disimpulkan bahwa keausan bahan I melampaui bahan 2 lebih 2 satuan.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
9
Uji Hipotesis Dua Rataan (variansi beda dan tidak diketahui)
Contoh Soal: Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gesekan dua bahan yang diberikan lapisan. Dua belas potong bahan I diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan II diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan I rata- ratanya 85 satuan dan simpangan bakunya 4, sedangkan sampel bahan II rata-ratanya 81 satuan dan simpangan bakunya 5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada tingkat signifikansi 0,05, keausan bahan II melampaui bahan I sebanyak lebih dari 2 satuan. Anggap kedua populasi hampir normal dengan variansi yang berbeda.
Untuk penyelesaiannya silahkan dicoba masing-masing sebagai latihan.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
10
11
Uji hipotesis dua rataan data berpasangan adalah uji statistik yang digunakan untuk mengetahui apakah suatu pengamatan (dari data berpasangan) memiliki rata-rata yang sama dengan, atau selisih rata-rata nya lebih kecil atau lebih besar dari suatu nilai tertentu sesuai dengan hipotesis yang telah ditetapkan.
Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan
Prosedur Pengujian Hipotesis
1. Tuliskan hipotesis nol 0 2. Pilih hipotesis tandingan 1 3. Pilih taraf signifikansi berukuran
4. Pilih uji statistik yang sesuai dan tentukan daerah kritisnya.
5. Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel
6. Keputusan :
-Tolak 0, bila uji statistik tersebut mempunyai nilai dalam daerah kritis, atau sebaliknya
-Tolak 0, bila p-value lebih kecil atau sama dengan taraf keberartian α yang ditentukan, atau
sebaliknya terima 0.
12
Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan
Contoh soal: Dari penelitian ‘Comparison of Sorbic Acid in Country Ham Before and After Storage’ yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1983, diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam bagian per sejuta, dalam daging ham segera setelah dicelupkan dalam larutan sorbat dan setelah disimpan 60 hari dicatat dalam Tabel 1. Anggap populasi asam sorbat dalam ham sebelum dan sesudah disimpan setelah 60 hari berdistribusi normal, apakah terdapat kenyataan yang cukup, pada taraf keberartian 0,05, untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan memperngaruhi konsentrasi sisa asam sorbat?
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
13
disimpan (1)
Setelah
disimpan (2) 1 224 116 2 270 96 3 400 239 4 444 329 5 590 437 6 660 597 7 1400 689 8 680 576
Tabel 1. Sisa Asam Sorbat Dalam Ham
Uji Hipotesis Dua Rataan Data Berpasangan
Penyelesaian:
1. Rumusan hipotesis nol 0 µ1 = µ2 atau 0 µ = µ1 − µ2 = 0
2. Rumusan hipotesis tandingan 1: µ1 ≠ µ2 atau µ = µ1 − µ2 ≠ 0 (uji dua arah kiri)
3. Tingkat signifikansi berukuran = 5% = 0,05
4. Karena variansi populasi tidak diketahui, yang diketahui adalah ragam sampel, dan pengamatanya berpasangan maka yang digunakan adalah statistik uji t berpasangan (paired). Titik kritis -t7;0.025 =-2,365 dan t7;0.025 =2,365. Daerah Kritis t < -t7;0.025 atau t > t7;0.025
5. Nilai uji statistik
Pengambilan keputusan menggunakan nilai uji statistit t=2,673 > 2,365
6. Keputusan : karena , t > t7;0.025 ,maka tolak 0 . Artinya dapat disimpulkan bahwa terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan memperngaruhi konsentrasi sisa asam sorbat dalam daging ham.
MAS2001_PROBABILITAS DAN STATISTIK_PENGUJIAN HIPOTESIS_WEEK 11_JUN & YAG
14
= (108+174+161+115+153+63+711+104) / 8
= 1589 / 8 = 198.62
Daerah kritis
( ) ( ) ( )( ) 4.44169
)18(8
25249216248018
of freedom, tails]
of freedom, tails]
15
2. Silahkan cari satu contoh soal pengujian hipotesis dua rataan dari 2 populasi dengan variansi Populasi diketahui, lalu selesaikan.
3.
4.
16
