Probabilitas dan Statistika

BAB 7 Distribusi Sampling

Pokok BahasanPengertian dan Konsep DasarDistribusi Mean-mean SamplingDistribusi Proporsi PopulasiDistribusi Perbedaan dan Penjumlahan

dari Sampling

Pengertian dan Konsep DasarTeknik SamplingTeknik sampling :

mengambil sebagian anggota dari populasi untuk mengetahui fungsi distribusi dan karakteristik distribusi populasi tersebut.

Teknik sampling yang baik dapat menghemat biaya dan waktu tanpa harus mengorbankan keakuratan hasil-hasilnya

Pengertian dan Konsep DasarPopulasi Terhingga dan Tak TerhinggaFinite population

adalah populasi yang jumlah seluruh anggotanya tetap dan dapat didaftar

Cth : peserta mata kuliah probabilitas dan statistika semester gansal 2010/2011

Infinite populationadalah populasi yang memiliki anggota yang banyaknya tak terhingga

Cth : pengguna telepon seluler merk “Noki*” di Indonesia

Pengertian dan Konsep DasarRandom SamplingSampling secara acak memungkinkan setiap

anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih sebagai sampel.

Random Sample

Population

Pengertian dan Konsep DasarSampling dengan dan tanpa pergantian

Sampling dengan pergantiansetiap anggota dari populasi dapat terpilih lebih dari sekali

Sampling tanpa pergantiananggota populasi tidak dapat terpilih lebih dari sekali

Pengertian dan Konsep DasarDistribusi SamplingDistribusi Sampling

yaitu suatu distribusi nilai statistik sampel-sampel yang di ambil (mean, range, deviasi standar,…)

Jika di ambil beragam sampel dengan ukuran yang sama dari suatu populasi maka akan menghasilkan statistik yang berbeda-beda.

ContohDistribusi Sampling Suatu populasi terdiri dari empat hasil pengukuran :

3 6 7 10dari populasi ini hendak digunakan 2 hasil pengukuran sebagai sampel, distribusi mean-mean sampling (sampling distribution of the means) yang bisa dibentuk jika sampel tanpa pergantian ialah sbb :

Kemungkinan sampel :[3; 6] [3; 7] [3; 10] [6; 7] [6; 10] [7; 10]

Mean sampel yang terbentuk :4,5 5 6,5 6,5 8 8,5

Sehingga distribusi mean sampling dari sampel-sampel yang terbentuk :Mean sampel

4,5 5 6,5 8 8,5

Frekuensi 1 1 2 1 1

Probabilitas 1/6 1/6 2/6 1/6 1/6

Distribusi Mean-mean SamplingDefinisi

Distribusi mean-mean samplingadalah distribusi mean-mean aritmatika dari seluruh sampel acak berukuran n yang mungkin dipilih dari sebuah populasi yang dikaji

Distribusi Mean-mean SamplingMean dan Deviasi standar-nya Jika sampling tanpa pergantian

dari suatu populasi terhingga berukuran N :

Jika sampling dengan pergantian, yang berarti populasi tak terhingga :

1

N

nN

nx

x

nx

x

n

N

sx

x

Mean dari distribusi

mean samplingMean populasiDeviasi standar dari distribusi mean sampling

Deviasi standar populasi

Ukuran populasi

Ukuran sampel

Distribusi Mean-mean SamplingContoh soalDalam suatu pengujian kelelahan (fatigue test),

material titanium diberi pembebanan berulag sampai deteksi timbulnya retak (crack initiation). Siklus pembebanan rata-rata sampai mulai retak adalah 25000 kali dengan deviasi standar 5000. jika diuji 25 spesimen material titanium yang dipilih secara acak, berapakah :Mean dari sampel tersebut?Deviasi standar dari sampel tersebut?

Distribusi Mean-mean SamplingJawabanMean dari sampel

Deviasi standar dari sampel

100025

5000

25000

nx

x

Distribusi Mean-mean SamplingTeorema Limit Pusat :Dari suatu populasi yang memiliki distribusi

normal maka distribusi mean sampling juga terdistribusi normal untuk nilai n berapapun (tidak tergantung ukuran sampel)

Dari suatu populasi yang tidak terdistribusi normal, jika ukuran sampel cukup besar (n>30), distribusi mean sampling akan mendekati suatu distribusi normal (gaussian) apapun bentuk asli distribusi populasinya.

Distribusi Mean-mean SamplingTeorema Limit Pusat

-6 -4 -2 0 2 4 60

2

4

6

8

10

12 Distribusi X jika n > 30

Distribusi X jika n < 30

Distribusi Populasi(tidak terdistribusi

normal)

Distribusi Mean-mean SamplingContoh soalLima ratus cetakan logam memiliki berat

rata-rata 6,03 N dan deviasi standar 0,4 N. Berapakah probabilitas bahwa suatu sampel acak terdiri dari 100 cetakan yang dipilih akan mempunyai berat total antara 597 sampai 600 N?

Distribusi Mean-mean SamplingJawabanMean dan deviasi standar :

Probabilitas mean tersebut dapat dicari dengan menggunakan tabel distribusi normal standar di mana :

Maka:

1558,00475,02033,0

)67,1()83,0(

)83,067,1(

036,0

03,600,6

036,0

03,697,5)00,697,5(

036,01500

100500

100

4,0

1

03,6

x

x

x

xx

x

x

ZP

ZPXP

xz

N

nN

n

Distribusi Proporsi SampingDefinisi

Distribusi proporsi sampingadalah distribusi proporsi-proporsi dari sejumlah sampel acak berukuran n yang mungkin dipilih dari sebuah populasi

Distribusi Proporsi SamplingMean dan Deviasi standar-nyaJika dalam sebuah populasi probabilitas

terjadinya suatu peristiwa (probabilitas sukses) adalah π sementara probabilitas gagalnya adalah θ = 1 – π maka mean dan deviasi standar distribusi proporsi sampling adalah :

Jika sampling dilakukan tanpa pergantian atau populasi terhingga yang berukuran N :

1

N

nN

nP

P

Distribusi Proporsi SamplingMean dan Deviasi standar-nyaJika sampling dilakukan dengan pergantian

atau populasinya tak terhingga, maka :

nnP

P

)1(

n

NP

P Mean dari distribusi proporsi sampling

Deviasi standar dari distribusi proporsi sampling

Ukuran populasi

Ukuran sampel

Probabilitas sukses

Probabilitas gagal

Distribusi Proporsi SamplingWarning!Proporsi adalah variabel diskrit yang

populasinya mengikuti distribusi binomial.Jika nilai n besar (n>30), distribusi proporsi sampling mendekati suatu distribusi normal.Untuk menentukan probabilitas dengan menggunakan tabel distribusi normal maka diperlukan faktor koreksi terhadap nilai proporsi tersebut. n2

1

Distribusi Proporsi SamplingContoh soalDivisi pengendalian mutu pabrik perkakas

mesin mencatat bahwa 1,5% dari bearing mengalami cacat. Jika dalam pengiriman satu kotak produk terdiri dari 100 bearing, tentukan probabilitas banyaknya bearing yang cacat sebanyak 2% atau lebih!

Distribusi Proporsi SamplingJawabanMean dan deviasi standar :

Faktor koreksi variabel diskrit = 1/2n = 1/200 = 0,005Proporsi (2%) setelah dikoreksi, p= 0,02-0,005 = 0,015Maka,

%505,01)0(1

0122,0

015,0015,01

)01,0(1)01,0(

0122,0100

)015,01(015,0)1(

015,0

p

p

P

P

ZP

ZP

pPpP

nn

Distribusi Perbedaan dari SamplingDistribusi perbedaan dari sampling S1 – S2

memiliki mean dan deviasi standar sebagai berikut :

Dengan syarat bahwa sampel yang dipilih tidak saling terikat (saling bebas)

22

2121

2121

SSSS

SSSS

Distribusi Penjumlahan dari SamplingDistribusi penjumlahan dari sampling S1 + S2

memiliki mean dan deviasi standar sebagai berikut :

Dengan syarat bahwa sampel yang dipilih tidak saling terikat (saling bebas)

22

2121

2121

SSSS

SSSS

ContohLampu bohlam merk Phillups (1) memiliki

daya tahan pakai rata-rata 2400 jam dan deviasi standar 200 jam. Sementara lampu bohlam merk Dup (2) memiliki daya tahan pakai rata-rata 2200 jam dengan deviasi standar 100 jam. Jika dari masing-masing merk dipilih 125 sampel yang diuji, berapakan probabilitas bahwa bohlam merk Phillups (1) memiliki daya tahan pakai sekurang-kurangnya 160 jam lebih lama dibandingkan bohlam merk Dup (2)?

Jawaban Mean dan deviasi standar dari distribusi perbedaan sampling :

Skor z untuk perbedaan mean 160 jam adalah :

Jadi, probabilitas yang akan ditentukan adalah :

%72,979772,00228,01

)2(1)2()160)((

220

200160)()(

20125

)100(

125

)200(

20022002400

2121

21

21

21

21

2121

2121

21

21

22

2

2

1

222

SSSS

SS

SS

SS

SS

SSSS

SSSS

ZPZPSSP

SSZ

nn